REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POULARA PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA

DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL

PORTUGESA-GUANARE

Introducción

Bachilleres:

Yolvis Simanca

Asdrúbal Peraza

Carlo Casamoyor

Enso Montana

Carlo Viscalla

Andrés Rodríguez

Prof. Ing. Abilexy Montilla

El comportamiento de los fluidos es un fenómeno común a la vida

diaria, el estudio de su mecanismo es esencialmente impulsado por entender

la física involucrada en él, así como su control en diversas aplicaciones de

ingeniería. Diferentes ramas de la ciencia estudian en común la mecánica de

los fluidos, su comportamiento, su estudio y su función en la vida a nivel

científico.

Un fluido, no es más que una sustancia que sufre una deformación

continua cuando se le aplica un esfuerzo cortante muy pequeño a diferencia

de un sólido elástico cuando se le aplica un esfuerzo cortante, este no se

deforma continuamente, sino que asume una configuración determinada fija.

Estas distinciones entre un sólido y un fluido son muy simplificadas ya que

existen ciertos materiales que exhiben ambas características.

Sistema de coordenadas, acelerado y rotario.

La rotación, ω, de una partícula de fluido se define como la

velocidad angular promedio de dos elementos de línea cualesquiera de

la partícula, mutuamente perpendiculares. La rotación es una cantidad

vectorial. Una partícula que se mueve en un campo de flujo tridimensional

puede rotar alrededor de los tres ejes coordenados,

Como se comentó anteriormente, el movimiento arbitrario de un

elemento de fluido consta de traslación, rotación y deformación. Para

ilustrar la rotación de un elemento de fluido, considérese, para un tiempo t

= to , el volumen de control mostrado en la Figura 3.12. Por simplicidad,

se selecciona un elemento rectangular infinitesimal que se traslada en el

plano z= 0, con una velocidad (u, v),en su esquina número

1. Las longitudes de los lados, paralelos a las direcciones x e y son

Δx y Δy, respectivamente.

Figura 3.12 Velocidad angular de un elemento rectangular de fluido

Debido a las variaciones de velocidad, el elemento de fluido puede

rotar y presentar deformación en forma simultánea, por ejemplo, la

componente x de la velocidad en la esquina superior (No. 4) del elemento

está dada por

u+(∂u/∂ y)Δy, donde los términos de orden superior son despreciados. En

un tiempo posterior (t = to+ Δt) esta diferencia en las velocidades de los

segmentos 1–2 y 3–4 causará deformación en el

diferencia en las velocidades de los segmentos1–2 y 3–4 causará

deformación en el elemento de fluido, como se muestra en el lado

derecho de la Figura 3.8. La componente de la velocidad angular ωz

del elemento de fluido puede obtenerse al promediar las velocidades

angulares instantáneas del los segmentos 1–2 y 1–4 del elemento. La

velocidad angular instantánea del segmento 1–2 es la diferencia en las

velocidades lineales de las dos aristas de este segmento dividido por la

distancia Δx,

La componente z de la velocidad angular del elemento de fluido

es, por lo tanto, el promedio de estas dos componentes,

Las dos componentes adicionales de la velocidad angular se pueden

obtener de forma similar, con lo que:

De esta forma, el vector de velocidad angular queda expresado por

Esta expresión puede presentarse en notación vectorial como

Una partícula de fluido moviéndose sin rotación en un campo de flujo,

no puede desarrollar una rotación bajo la acción de una fuerza másica o de

fuerzas de superficie normales (presión). El desarrollo de rotación en una

partícula de fluido, inicialmente sin ese movimiento, requiere de la acción de

un esfuerzo cortante sobre la superficie de la partícula. Puesto que el

esfuerzo cortante es proporcional a la relación de deformación angular,

entonces una partícula que se encuentra inicialmente sin rotación no

desarrollará una rotación sin una deformación angular simultánea. El

esfuerzo cortante se relaciona con la relación de la deformación angular

mediante la viscosidad. La presencia de fuerzas viscosas significa que el

flujo es rotacional. La condición de irracionalidad puede ser una

suposición válida para aquellas regiones de flujo en las que son

despreciables las fuerzas viscosas. Una cantidad que es conveniente

introducir en este punto es la verticidad, la cual está definida como el doble

de la velocidad angular

La verticidad es una medida de la rotación de un elemento de fluido

conforme éste se mueve en el campo de flujo.

Velocidad angular de un elemento fluido

Si tenemos un fluido (liquido o gas) que este en reposoeste ejercerá una

fuerza perpendicular a cualquier superficie que este en contactocon él, como

la pared del recipiente o un cuerpo sumergido en el fluido .Si suponemos una

superficie dentro del fluido, éste ejerce fuerzas iguales y opuestas a cada

lado de ella (si no, la superficie se aceleraría y el fluido no permanecería en

reposo). Supongamos una superficie pequeña de área dAcentrada en un

punto en el fluido. La fuerza normal ejercida por el fluido sobre cada lado es

dF⊥.Se define presiónPen ese punto a la fuerza normal por unidad de área.

Ec. (1)

Si la presión es la misma en todos los puntos de la superficie plana finita de

área A, entonces:

Ec. (2)

Donde F⊥es la fuerza normal neta sobre un lado de la superficie. Además,

sobre la superficie libre del fluido actúa la presión atmosférica Po. A nivel del

mar es:

Ec. (3)

Mediante sencillas consideraciones podemos deducir una expresión general

entre la presión Pen cualquier punto de un fluido en reposo y la altura z del

mismo. Sabiendo que la densidad ρy la aceleración debida a la gravedad g

son las mismas en todo el fluido, si éste está en equilibrio cada elemento de

volumen también lo estará. Si tomamos un elemento delgado, de altura dz,

con superficies inferior y superior de área A, ubicadas a alturas z y z+dzpor

encima de algún nivel de referencia donde z=0 (Figura 1). El volumen del

elemento de fluido es:

Ec. (4)

y su masa dmy la fuerza peso dWque actúa sobre esta masa son:

Ec. (5)

Ec. (6)

Las otras fuerzas que actúan sobre este elemento son las fuerzas de

presión. La presión en la superficie superior es p+dpy en la inferior es p

(Figura 1).

Figura. 1

Representación gráfica de un diferencial de volumen del fluido en la dirección

z (en esta dirección el fluido se encuentra en reposo).

Como el elemento de fluido está en equilibrio en la dirección z, usando la

segunda ley de Newton obtenemos que la fuerza neta en esta dirección debe

anularse:

Ec. (7)

Es decir: Ec. (8)

Usando las expresiones (4) y (6) obtenemos:

Ec. (9)

Y finalmente:

Ec. (10)

Para ajustar la presión hay que realizar el mismo razonamiento en la

dirección x del sistema. Este estudio se realizó con una aceleración

determinada en la dirección x. Por esta razón, usando las leyes de Newton,

la fuerza neta es:

Ec. (11)

A continuación se desarrolla el mismo razonamiento para los dos sistemas

estudiados.

Primer caso:Si sometemos un recipiente a una aceleración constante en la

dirección creciente de x (ver Figura 2). Como consecuencia la superficie

adquiere una pendiente distinta de cero.

figura.(2)

Figura 2-Izquierda: Recipiente de largo Lque contiene un fluido en reposo.

Derecha: Al acelerar uniformemente el recipiente se observa el cambio en la

pendiente de la superficie libre del fluido.

Imaginamos un volumen pequeño de ancho dx. La presión aplicada sobre el

mismo es psobre la cara izquierda y p+dpsobre la cara derecha (ver Figura

3).

figura.(3)

Figura 3- Representación gráfica de un elemento diferencial de volumen del

fluido sometido a una aceleración constante en el sentido de xcreciente.

Usando la ley de Newton (ecuación (11)) obtenemos:

Ec. (12)

Donde A es el área de la superficie y dmla masa del volumen elegido. Con

las relaciones definidas por la ecuación (5):

Ec. (13)

Finalmente obtenemos:

Ec. (14)

De las Ec. (10) y (14) obtenemos:

Ec. (15)

De donde vemos que si z aumenta, Pdisminuye. Es decir que al subir en el

fluido, la presión disminuye.

Para obtener la constante αplanteamos condiciones de contorno. Sabemos

que el punto medio de la superficie del fluido en x0 = L/2 se mantiene

constante (a la altura inicial del líquido en reposo); entonces:

Ec. (16)

Por otro lado, en la superficie del líquido la presión es siempre la misma y

vale P0.

Ec. (17)

Ec.(18)

Despejando z, obtenemos la forma de la superficie del líquido:

Ec. (19)

que, como vemos, depende de x. La expresión (19) obtenida se reduce a

z=h=cte. Cuando a=0 (fluido en equilibrio).

Segundo caso: Si hacemos girar el fluido con velocidad angular constante ω

alrededor de su eje de simetría, estamos aplicando una aceleración radial

constante dirigida hacia el eje. De esta manera se forma una superficie libre

curva debido a los cambios en la presión generados por este movimiento (ver

Figura 4).

Figura (4)

Izquierda: Recipiente con un fluido en reposo. Derecha: Al acelerar al

recipiente radialmente se observa el cambio en la forma de la superficie libre

del fluido.

La resolución de este problema es muy similar al Caso 1, teniendo en cuenta

que en el presente caso, la aceleración, como es radial, apunta hacia el eje

de rotación (ver Figura 5).

Figura.(5)

Representación gráfica de un elemento diferencial de volumen del fluido en

rotación.

A través del uso de las leyes de Newton (ecuación (11)) resulta:

Ec. (20)

Usando el mismo razonamiento con el que se determinó la presión en

función de la altura obtenemos:

Ec.(21)

Combinando las expresiones (10) y (21) obtenemos:

Ec.(22)

Al igual que en el Caso 1 sabemos que sobre la superficie la presión es igual

a P0:

Ec.(23)

Para obtener la constante αplanteamos condiciones de contorno, para lo que

tomamos en cuenta que el volumen del fluido se mantiene constante. Como

la profundidad del recipiente no varía, en este caso lo que se mantiene

constante es el área (región sombreada de la Figura 4). De esta forma

planteamos que el área total bajo la curva z(x) debe ser igual al área inicial

(A= L h). Para resolver las integrales efectuamos los siguientes cambios de

variables:

Ec.(24)

Ec.(25)

Planteando las integrales y utilizando la ecuación (22):

Ec.(26)

de donde:

Ec.(27)

Igualando las expresiones (25) y (28) obtenemos:

Ec.(29)

y finalmente obtenemos la forma de la superficie del líquido z(x)

introduciendo (29) en (23):

Ec.(30)

Esta expresión predice que la superficie del fluido que gira con velocidad

angular constante Tomará la forma de una parábola. Del análisis de las

expresiones (19) y (30) podemos observar que, en el marco del modelo

propuesto, la forma que adopta la superficie del fluido acelerado no depende

de la densidad del mismo.

Volumen de control y sistema

Para aplicar las leyes físicas al flujo de un fluido es necesario definir los

concepto de volumen de control y de sitema.se entiende por volumen de

control una región fija en el espacio donde puede existir flujo de fluido a

través de sus fronteras. Por esta razón, en diferentes en instante, se pueden

tener diferentes partículas en el interior del volumen del control. Sistema se

refiere a un conjunto de partículas en el cual permanece siempre las

mismas.es decir, seestá observando siempre una cantidad fija de material.

El volumen de control está limitado poruna superficie cerrada, superficie de

Control, a través de la cual se realizanlos procesos de intercambio de

energía y

Masa con el entorno.

Una vez seleccionados el volumen y la superficie de control para nuestro

sistema, se analizan en ellos las siguientes características:

Conclusión

Se puede observar que al aplicar una aceleración constante a lo largo de una

dirección se forma una superficie

del fluido con pendiente distinta de cero; en

nuestro caso, como la aceleración tiene el mismo sentido en que crece el eje

x, la recta formada es de pendiente negativa. Por otro lado, al rotar el fluido

alrededor de su eje con una velocidad angular constante, sobre la superficie

del fluido se observa una parábola de concavidad positiva. Estas superficies

se forman debido al gradiente de presión que se genera en el fluido. Sería

interesante estudiar el comportamiento de fluidos de diferentes viscosidades

en presencia de una aceleración, ya que el modelo teórico no tiene en cuenta

las fuerzas viscosas.

Bibliografía

1. F. Sears, M. Zemansky, H. Young y R. Freedman, Física universitaria, vol.

1, 9aed.,

Addison-Wesley Longman, México, 1999.

2. Esta técnica de medición puede verse en: S. Gil y E. Rodríguez, Física re-

Creativa:

Experimentos de Física usando nuevas tecnologías, Prentice Hall, Buenos

Aires, 2001.