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Trabajo y Energa Autores Ignacio Cruz Encinas Mario Enrique lvarez Ramos Roberto Pedro Duarte Zamorano Ezequiel Rodrguez Juregui Rogelio Gmez Corrales UNIVERSIDAD DE SONORA Departamento de Fsica

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Contenido Introduccin Introduccin Trabajo y Energa debido a una Fuerza Constante Trabajo y Energa debido a una Fuerza Constante Aplicada en la direccin de movimiento. Aplicada en la direccin de movimiento. Aplicada en direccin diferente a la del movimiento. Aplicada en direccin diferente a la del movimiento. Producto Escalar de Vectores (repaso) Producto Escalar de Vectores (repaso) Trabajo y Energa debido a una Fuerza Variable Trabajo y Energa debido a una Fuerza Variable Aplicada en la direccin de movimiento. Aplicada en la direccin de movimiento. Aplicada en direccin diferente a la del movimiento. Aplicada en direccin diferente a la del movimiento.

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Introduccin En los captulos anteriores, se resolvieron problemas donde se involucraban Fuerzas constantes utilizando la segunda ley de Newton: En los captulos anteriores, se resolvieron problemas donde se involucraban Fuerzas constantes utilizando la segunda ley de Newton: F = m a Donde F viene expresada en funcin de las propiedades del cuerpo y del medio ambiente que lo rodea, por medio de la ley de fuerzas ( o ley de la naturaleza ) respectiva que rige el movimiento de un cuerpo. Bajo ciertas condiciones iniciales, pudimos conocer la aceleracin a del cuerpo y al sustituirla en las ecuaciones de movimiento o Donde F viene expresada en funcin de las propiedades del cuerpo y del medio ambiente que lo rodea, por medio de la ley de fuerzas ( o ley de la naturaleza ) respectiva que rige el movimiento de un cuerpo. Bajo ciertas condiciones iniciales, pudimos conocer la aceleracin a del cuerpo y al sustituirla en las ecuaciones de movimiento o Ecuaciones de cinemtica (exclusivas para aceleracin constante) x = x 0 + v 0 t + a t 2 x = x 0 + ( v + v 0 ) t v = v 0 + a t v 2 - v 0 2 = 2 a ( x x 0 )

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Introduccin Ecuaciones que determinan la posicin como una funcin del tiempo x(t) as como su velocidad v(t), con lo cual queda resuelta la primera parte del problema fundamental de la mecnica clsica. Es una primera parte ya que nicamente se consider el caso de una Fuerza constante y en consecuencia una aceleracin dada por la segunda ley de Newton: a = F m a = F m Si se analiza la ecuacin anterior, la aceleracin del cuerpo depende de la Fuerza y de la masa. La segunda parte del problema de la mecnica clsica es cuando la Fuerza que acta sobre el cuerpo es variable, en cuyo caso, la aceleracin tambin lo ser y consecuentemente, anteriores ya que stas son exclusivamente para aceleracin constante. En este captulo se aborda el mtodo (integracin) para resolver este tipo de problemas. La segunda parte del problema de la mecnica clsica es cuando la Fuerza que acta sobre el cuerpo es variable, en cuyo caso, la aceleracin tambin lo ser y consecuentemente, no se pueden aplicar las ecuaciones de movimiento de cinemtica anteriores ya que stas son exclusivamente para aceleracin constante. En este captulo se aborda el mtodo (integracin) para resolver este tipo de problemas.

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Introduccin La tercera parte del problema es cuando se consideran sistemas de masa variable como en el caso de los cohetes que al ir quemando combustible su masa vara. Sin embargo, este tipo de problemas corresponde a un segundo curso de mecnica. Dentro de la primera parte, aunque podemos conocer la posicin y velocidad de la partcula como una funcin del tiempo sin necesidad de abordarlos desde el punto de vista del Trabajo y Energa, para fines didcticos y facilitar el estudio y entendimiento de casos complicados como el de fuerzas variables, es necesario definir estos conceptos y poder llegar al teorema del trabajo y la energa, en el cual no es necesario conocer la aceleracin de la partcula aunque indirectamente se aplique la segunda ley de Newton. Dentro de la primera parte, aunque podemos conocer la posicin y velocidad de la partcula como una funcin del tiempo sin necesidad de abordarlos desde el punto de vista del Trabajo y Energa, para fines didcticos y facilitar el estudio y entendimiento de casos complicados como el de fuerzas variables, es necesario definir estos conceptos y poder llegar al teorema del trabajo y la energa, en el cual no es necesario conocer la aceleracin de la partcula aunque indirectamente se aplique la segunda ley de Newton. En el captulo anterior vimos que el concepto de fuerza lo relacionbamos con jalar o empujar un objeto y que para fines cientficos requeramos de una definicin mas formal. De la misma forma, el concepto que tenemos de la palabra trabajo, lo relacionamos con cualquier actividad que requiere de un esfuerzo muscular o intelectual, as decimos que vamos al trabajo, que al levantar y sostener un objeto estamos realizando trabajo, que se requiere de un trabajo intelectual para entender las notas de clase, etc.

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Trabajo En fsica, el cientfico requiere enunciar con exactitud lo que significa la palabra trabajo, restringindola a los casos en los cuales interviene la aplicacin de una fuerza sobre un cuerpo y un desplazamiento. Sin embargo, dentro de dicha restriccin existen diferentes variantes ya que la fuerza aplicada sobre un cuerpo puede ser: a.Constante b.Variable En cualquiera de los dos casos el desplazamiento puede ocurrir i.En una dimensin ii.En dos dimensione. iii.En tres dimensiones Adicionalmente, la fuerza aplicada puede estar en: a)En la direccin de movimiento b)En direccin diferente a la del movimiento. As como en cinemtica donde al inicio se abordan los casos mas sencillos y despus se van complicando a medida que se avanza en el curso, para el caso del trabajo y la energa se procede de la misma forma, abordando el caso mas sencillo que es:

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Trabajo realizado por una Fuerza Constante Consideremos un cuerpo colocado sobre una superficie horizontal spera, al cual se le aplica una fuerza horizontal constante ( P ) de tal manera que mueve al cuerpo en la direccin positiva, desde la posicin inicial x 0 hasta la posicin final x f En una primera aproximacin, definimos el trabajo (W) realizado por la fuerza P aplicada sobre el cuerpo como : W = P x = Pd la unidad de trabajo es el Newton-metro denominado Joule. ( 1 N ) ( 1 m ) = 1 Joule El trabajo realizado por esta fuerza tiene un valor positivo ya que tanto P como x apuntan en la direccin positiva. P PP x0x0 xfxf x = x x 0 = d x x + (m)

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Trabajo realizado por una Fuerza Constante Sobre un cuerpo pueden estar actuando varias fuerzas, en el siguiente diagrama se presentan varias fuerzas que pueden estar actuando sobre el cuerpo. En el caso anterior, encontramos que la fuerza P realiza un trabajo positivo, sin embargo, se pueden dar las condiciones para que el trabajo sea negativo o nulo. Por ejemplo, la fuerza de rozamiento cintico que la superficie spera del piso ejerce sobre el cuerpo se opone al movimiento resultando un trabajo negativo, ya que la direccin de la fuerza (f k ) y el desplazamiento son opuestos. N P W fkfk P W fkfk a) b)

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Trabajo realizado por una Fuerza Constante Cuando actan varias fuerzas sobre el cuerpo, el trabajo realizado por cada una de ellas se determina a partir de la definicin de trabajo dada anteriormente, y el trabajo neto realizado por las fuerzas sobre el cuerpo es la suma algebraica de los trabajos realizados por cada una de las fuerzas, calculados individualmente, esto es: W Total = W P + W mg + W N + W fk En el diagrama de cuerpo libre a), al aplicar la segunda ley de Newton encontramos una fuerza resultante o neta F positiva y constante, motivo por el cual el trabajo neto sobre el cuerpo es positivo. El efecto de este trabajo positivo, en virtud de la segunda ley de Newton, se manifiesta en una aumento de la velocidad del cuerpo. N P W fkfk a)

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Trabajo realizado por una Fuerza Constante En el diagrama de cuerpo libre b), reducimos la fuerza aplicada de tal manera que su magnitud fuera igual a la fuerza de rozamiento, de esta manera el cuerpo va a continuar movindose con velocidad constante por lo que la aceleracin del cuerpo ser cero y en consecuencia la fuerza neta o resultante, luego entonces, el trabajo neto efectuado por las fuerzas sobre el cuerpo es nulo. N P W fkfk b)

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Trabajo realizado por una Fuerza Constante Para encontrar la relacin entre el trabajo y los cambios de velocidad, analicemos un movimiento que nos es familiar en el laboratorio. El ejemplo es el siguiente: Un mvil se desplaza sobre un riel de aire sin friccin bajo la accin de una fuerza constante transmitida por medio de la tensin de un hilo que pasa por una polea sin friccin, en cuyo extremo se encuentra suspendido un peso a una altura h, tal como se muestra en la siguiente figura. h v1v1 v 0 = 0 x 0 = 0 x1x1 mg x= d

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Trabajo realizado por una Fuerza Constante Al soltar el peso, el mvil inicia su movimiento (v 0 = 0 ) a partir del origen (x 0 = 0 ), y la posicin (x 1 ) del mvil al recorrer una distancia d vendr dada por la ecuacin: y el trabajo realizado es: W = T x donde T es la tensin del hilo, siendo la nica fuerza que acta sobre el cuerpo (en el eje x) y en consecuencia la Fuerza neta, la cual viene expresada de acuerdo con la segunda ley de Newton como: T = m a Sustituyendo los valores de T y x 1 en W tenemos que:

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Trabajo y Energa para Fuerza constante Al adquirir esta velocidad (v 1 ), el mvil se encuentra en la posicin x 1 y el peso ha chocado con el suelo por lo cual la fuerza representada por la tensin del hilo desaparece. Como no existe rozamiento, el mvil continuar movindose con esta misma velocidad Sin embargo, el mvil ha adquirido una propiedad que no posea cuando se encontraba en reposo, esta propiedad consiste en la capacidad que tiene ahora de realizar trabajo sobre otro objeto que interaccione con l. Para comprobar lo anterior hagamos lo siguiente: En la posicin x 2 coloquemos un clavo apuntalado horizontalmente en un bloque de algn material (frigolit) que permita al clavo penetrar en l y que a la vez evite que el mvil retroceda en el choque. v1v1 v 0 = 0 x 0 = 0 x1x1 v 1 = v 2 x2x2 v = constante

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Trabajo y Energa para Fuerza constante De sta forma, el mvil que tiene una velocidad v 1 = v 2 ejercer una fuerza F constante sobre el clavo, la cual se suspender cuando su velocidad v 3 sea cero. La aceleracin (desaceleracin) del mvil que en magnitud es la misma que experimenta el clavo se puede determinar a partir de la siguiente ecuacin de movimiento: donde v 2 es la velocidad del mvil al momento del impacto e igual a v 1 y v 3 = 0 por lo que: donde v 2 es la velocidad del mvil al momento del impacto e igual a v 1 y v 3 = 0 por lo que: v 3 = 0 v 0 = 0 x 0 = 0 x2x2 v 1 = v 2 x3x3 v = variable v1v1 x1x1 v = constante

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Trabajo y Energa para Fuerza constante Por lo que la fuerza que ejerce el clavo sobre el mvil (Fc/m) de acuerdo a la segunda ley es: Por la tercera ley de Newton, esta fuerza debe de ser de igual magnitud pero en sentido contrario a la que ejerce el mvil sobre el clavo. El trabajo realizado por el mvil sobre el clavo al clavarlo una distancia x 3 - x 2 es:

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Trabajo y Energa para Fuerza constante Luego entonces se puede afirmar lo siguiente: El trabajo realizado por una fuerza neta sobre el mvil es el mismo trabajo que ste puede realizar sobre otro objeto que interaccione con l. A la propiedad que tienen los cuerpos para realizar un trabajo se le denomina Energa, en este caso, el trabajo se relaciona con la velocidad del mvil, recibiendo el nombre de Energa Cintica. La palabra cintica proviene del griego kinematics que significa movimiento, utilizndose el smbolo K para representarla y su valor es igual al trabajo que puede efectuar un cuerpo en movimiento hasta quedar en reposo.

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Trabajo y Energa para Fuerza constante Para terminar el anlisis de esta seccin, supongamos que de la posicin x 2 retiramos el bloque con el clavo y a partir de esta posicin cancelamos todos los orificios por donde sale el aire, en esta nueva situacin, el mvil ya no estar "suspendido", por lo que las superficies entrarn en contacto generando una nueva fuerza: la fuerza de rozamiento cintico. Esta fuerza ser la nica que acte sobre el mvil y por lo tanto la fuerza neta que har que se detenga a una determinada distancia (x 3 -x 2 ) El trabajo realizado por esta fuerza ser: v 3 = 0 v 0 = 0 x 0 = 0 x2x2 v 1 = v 2 x3x3 v = variable v1v1 x1x1 v = constante

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Trabajo y Energa para Fuerza constante donde la fuerza f k viene dada por la segunda ley de Newton: f k = m a sustituyendo tenemos que: W = m a (x) donde la aceleracin se encuentra a partir de la ecuacin: sustituyendo tenemos el trabajo realizado por la fuerza neta, en ste caso la fuerza de friccin:

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Teorema del Trabajo y la Energa siendo K la energa cintica final del mvil y K 0 su energa cintica inicial. Luego entonces: relacin que se conoce con el nombre deTeorema del Trabajo y la Energa, cuyo enunciado es: El trabajo realizado sobre un cuerpo por la fuerza resultante es igual al cambio de su energa cintica. Como el valor de la velocidad est elevada al cuadrado, la energa cintica siempre es positiva, pero en cambio, la diferencia de energas puede ser positiva, negativa o nula. En el caso anterior, como v < v 0 encontramos una K < 0, es decir el trabajo realizado por la fuerza neta sobre el mvil es negativo y en virtud de la tercera ley de Newton, el trabajo efectuado sobre el mvil es el negativo del trabajo realizado por el mvil sobre el agente que produjo esa fuerza, por lo anterior decimos que: la energa cintica de un cuerpo disminuye en la misma proporcin en que dicho cuerpo efecta trabajo.

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Trabajo y Energa para Fuerza constante En la seccin anterior se defini el trabajo hecho por una fuerza constante, la cual estaba aplicada en la direccin de movimiento (entendindose por direccin el eje x), en algunos casos el sentido de la fuerza era el mismo y en otros contrario, como por ejemplo la fuerza de rozamiento. Sin embargo, esta fuerza constante aplicada puede estar en una direccin diferente a la del movimiento, tal como se muestra en la siguiente figura, en donde la fuerza forma un ngulo con respecto a la direccin de movimiento. P PP x0x0 xfxf x = x x 0 = d x x + (m)

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Trabajo y Energa para Fuerza constante En este caso, se define el trabajo efectuado por la fuerza sobre el cuerpo como: El producto de la componente de la fuerza en la direccin de movimiento por la distancia que recorre el cuerpo a lo largo de dicha direccin. De la figura observamos que dicha componente es: P x = P cos luego entonces, el trabajo realizado por la fuerza P para llevar al cuerpo de la posicin inicial x 0 hasta la posicin final x es: W = ( Pcos ) x W = ( Pcos ) ( x x 0 ) W = P cos (d) W = P d cos donde d es la distancia recorrida por el cuerpo y es el ngulo que forma la fuerza con respecto a la direccin de movimiento es el ngulo que forma la fuerza con respecto a la direccin de movimiento

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Trabajo y Energa para Fuerza constante Segn la ecuacin anterior, el trabajo realizado por la fuerza aplicada, al igual que en la seccin anterior, puede ser positivo, negativo o nulo, esto depender del ngulo que forme la fuerza con respecto a la direccin del movimiento ( el ngulo se mide a partir de la direccin de movimiento y en sentido contrario a las manecillas del reloj ), de tal forma que si: 0 0 0 90 0 < < 180 0 el trabajo W < 0 180 0 < < 270 0 el trabajo W < 0 270 0 0 Para ejemplificar lo anterior, supongamos que una persona se pone a jugar con una cuerda en cuyo extremo se encuentra atado un cuerpo de masa m. En todos los casos que se presentan a continuacin, la persona realiza un esfuerzo fsico que puede manifestarse en cansancio.

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Trabajo y Energa para Fuerza constante 1.La persona levanta verticalmente al cuerpo hasta una altura h, de tal forma que el movimiento es tan lento que no se pueden apreciar los cambios de velocidad. Con esta condicin, la fuerza aplicada es constante, la aceleracin resultante ser cero y en consecuencia tambin la fuerza neta. La fuerza aplicada por la persona sobre el cuerpo es igual a la tensin de la cuerda. A continuacin calculamos los trabajos realizados por cada una de las fuerzas que intervienen. El trabajo realizado por la fuerza aplicada es: El trabajo realizado por la fuerza aplicada es: W 1 = T h cos Donde T, por la segunda ley de Newton es T = mg y = 0 0 por lo que: W 1 = + m g h El trabajo realizado por la Tierra (peso): El trabajo realizado por la Tierra (peso): W 2 = w h cos Donde w, es el peso del cuerpo y = 180 0 por lo que: W 2 = - m g h El trabajo total efectuado sobre el cuerpo para levantarlo verticalmente, es igual a la suma de los trabajos individuales calculados en los incisos anteriores, esto es: W = W 1 + W 2 = mgh mgh = 0

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Trabajo y Energa para Fuerza constante 2.Posteriormente, la persona sostiene al cuerpo en esa posicin a una altura h El trabajo realizado por las fuerzas del punto No. 1 es cero debido a que no existe desplazamiento. 3.La persona se mueve hacia la derecha una cierta distancia d El trabajo realizado por la fuerza aplicada es: El trabajo realizado por la fuerza aplicada es: W 3 = m g d cos con = 90 0 W 3 = 0 El trabajo realizado por la fuerza que ejerce la tierra sobre el cuerpo es: El trabajo realizado por la fuerza que ejerce la tierra sobre el cuerpo es: W 4 = m g d cos con = 270 0 W 4 = 0 El trabajo total realizado por las fuerzas para desplazar el cuerpo una distancia d hacia la derecha es: W = W 3 + W 4 = 0

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Trabajo y Energa para Fuerza constante 4.La persona baja el cuerpo desde la altura h hasta el suelo, en las mismas condiciones en que lo subi (v = constante). El trabajo efectuado por la fuerza aplicada es: El trabajo efectuado por la fuerza aplicada es: W 5 = m g h cos con = 270 0 W 5 = - mgh El trabajo efectuado por la Tierra es: El trabajo efectuado por la Tierra es: W 6 = m g h cos con = 0 0 W 5 = + mgh El trabajo total realizado por las fuerzas al bajar el cuerpo una altura h es: W = W 5 + W 6 = 0

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Trabajo y Energa para Fuerza constante 5.Una vez colocado en el suelo, la persona tira de l en forma horizontal, arrastrndolo con velocidad constante hasta llevarlo nuevamente a su posicin inicial. El trabajo realizado por la fuerza aplicada es: El trabajo realizado por la fuerza aplicada es: W 7 = F a d cos con = 0 0 W 7 = F a d W 7 = F a d El trabajo efectuado por la fuerza de rozamiento cintico es: El trabajo efectuado por la fuerza de rozamiento cintico es: W 8 = f k d cos con = 270 0 y puesto que se mueve con velocidad constante, por la segunda ley de Newton, la fuerza aplicada es igual a la fuerza de rozamiento cintico ( f k = F a ) y puesto que se mueve con velocidad constante, por la segunda ley de Newton, la fuerza aplicada es igual a la fuerza de rozamiento cintico ( f k = F a ) W 8 = - F a d El trabajo total realizado por las fuerzas al desplazar al cuerpo sobre el suelo una distancia d es: W = W 7 + W 8 = 0

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Trabajo y Energa para Fuerza constante Si deseamos conocer el trabajo total realizado sobre el cuerpo en todo el recorrido, desde que se levant hasta que regres a su posicin original al ser arrastrado por el suelo, hacemos: W T = W 1 + W 2 + W 3 + W 4 + W 5 + W 6 + W 7 + W 8 W T = +mgh mgh +0 + 0 mgh + F a d - F a d = 0 6.En el punto 1, se encontr que el trabajo realizado por una fuerza constante para subir el cuerpo hasta una altura era mgh, es decir, dependa del peso del cuerpo y de la altura. Calcularemos ahora el trabajo que se realiza cuando el cuerpo es subido a esa misma altura h pero bajo las siguientes condiciones: es empujado por una fuerza constante, es subido con velocidad constante, el plano inclinado es liso (sin friccin), el plano inclinado es de diferentes longitudes. Analicemos el caso mediante la siguiente figura:

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Trabajo y Energa para Fuerza constante La fuerza necesaria para subirlo con velocidad constante se encuentra aplicando la segunda ley de Newton: SF x = ma x (a x = 0 es subido con v = constante) P w x = 0 P mg sen = 0 P = mg sen La distancia que recorre es la longitud del plano inclinado: d = h sen El trabajo realizado por la fuerza P es: W P = Pd cos (con = 0 0 ; misma direccin) W P = (mg sen ) ( h sen ) W P = mg h h P P mg N P WxWx WyWy

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Trabajo y Energa para Fuerza constante Como se puede apreciar, la fuerza aplicada depende del peso y del ngulo de inclinacin del plano inclinado. P = mg sen si se desea subir hasta una altura h con el mnimo esfuerzo, el ngulo debe ser pequeo, lo que trae como consecuencia que la distancia (longitud del plano) se incremente. d = h sen Sin embargo, el trabajo realizado es independiente del ngulo de inclinacin del plano. W P = mg h depende exclusivamente del peso y de la altura h del plano. depende exclusivamente del peso y de la altura h del plano. h P P

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Trabajo y Energa para Fuerza constante 7.Analicemos un ltimo caso: La persona hace girar el cuerpo sobre su cabeza, describiendo una trayectoria circular con movimiento uniforme Cuando se analiz el movimiento circular, se vio que el desplazamiento es tangente a la trayectoria y que la fuerza centrpeta es radial y dirigida hacia el centro de rotacin por lo que la fuerza y el desplazamiento forman un ngulo de 90 0, por lo que el trabajo realizado es: W = 0

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Producto Escalar (repaso) Aunque en la parte relativa a vectores se abord ste tema, nuevamente se retoma para redefinir el concepto de trabajo. Sean A y B dos vectores que forman un ngulo entre ellos. Se define el producto escalar como el producto de la magnitud de uno de ellos (digamos A) por la proyeccin de B sobre A. o viceversa, es decir, la magnitud de B por la proyeccin de A sobre B, tal como se muestra en la figura adjunta a la anterior. Bcos Proyeccin de B sobre A A cos Proyeccin de A sobre B A B A B

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Producto Escalar (repaso) Del producto punto entre vectores unitarios (perpendiculares entre s) tenemos que: Lo cual nos muestra que el producto punto entre dos vectores es un escalar debido a que tenemos la multiplicacin de la magnitud de un vector por la magnitud del otro lo cual nos da un escalar, que se multiplica por el coseno del ngulo que se forma entre ellos, el cual tambin es un escalar adimensional. Toda vez que tenemos definido el producto punto entre vectores, tenemos que el trabajo lo podemos definir como: W = Fx = F cos x = F d cos ya que la magnitud del desplazamiento es la distancia recorrida (d = x ) y F cos es la proyeccin del vector fuerza sobre el vector desplazamiento. Por ello: W = Fx W = Fx

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Trabajo y Energa para Fuerza constante (mtodo grfico) Antes de abordar el siguiente tema, para fuerzas variables, retomemos nuevamente el caso donde la fuerza es constante y hagamos un anlisis grfico de la situacin mostrada a continuacin. Si graficamos la fuerza constante aplicada contra desplazamiento tendremos la siguiente grfica: P PP x0x0 xfxf x = x x 0 = d x x + (m) F (Newton) x (m) P ctte. x0x0 xfxf

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Trabajo y Energa para Fuerza constante (mtodo grfico) En donde se ha sombreado toda la parte que se encuentra bajo la recta que indica a la fuerza P constante, formndose un rectngulo de altura P y base d. Como vimos anteriormente, el trabajo realizado por la fuerza constante es: W = P x= P x cos = P d cos 0 0 = P d El producto de P por d no es otra cosa mas que la altura del rectngulo multiplicado por su base, es decir, el rea del rectngulo. Luego entonces: A = P d = W El trabajo realizado por la fuerza P es igual al rea del rectngulo que se forma bajo la recta.

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Trabajo y Energa para Fuerza variable Consideraremos ahora el trabajo realizado por una fuerza que no es constante. El caso ms sencillo es cuando la fuerza est aplicada en la direccin de movimiento y que sta depende de la posicin del cuerpo. Por ejemplo, tenemos el caso de un resorte con uno de sus extremos fijo en una pared y en el otro extremo un cuerpo que es jalado mediante una cuerda. Si deseamos recorrer el cuerpo una cierta distancia, debemos de ejercer una fuerza F 1, si queremos moverlo mas, debemos ejercer una fuerza F 2 mayor. En pocas palabras, a medida que queremos aumentar la distancia que recorra, en la misma forma debemos de aumentar la fuerza aplicada.

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Trabajo y Energa para Fuerza variable Consideraremos ahora el trabajo realizado por una fuerza que no es constante. El caso ms sencillo es cuando la fuerza est aplicada en la direccin de movimiento y que sta depende de la posicin del cuerpo. Por ejemplo, tenemos el caso de un resorte con uno de sus extremos fijo en una pared y en el otro extremo un cuerpo que es jalado mediante una cuerda. Si deseamos recorrer el cuerpo una cierta distancia, debemos de ejercer una fuerza F 1, si queremos moverlo mas, debemos ejercer una fuerza F 2 mayor. En pocas palabras, a medida que queremos aumentar la distancia que recorra, en la misma forma debemos de aumentar la fuerza aplicada.

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Trabajo y Energa para Fuerza variable (aplicada en direccin de movimiento) Si medimos la fuerza con un dinammetro y la posicin del cuerpo para esa fuerza aplicada, estaremos en posibilidad de realizar una tabulacin de Fuerza contra posicin (F vs. x) y graficar como se muestra a continuacin.

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Trabajo y Energa para Fuerza variable Al igual que para el caso de una fuerza constante, el trabajo realizado por una fuerza variable tambin es igual al rea bajo la recta, en este caso, un tringulo rectngulo de altura F 5 - F 0 y base x 5 - x 0, siendo sta: F1F1 F2F2 F3F3 F4F4 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 F5F5 x (m) F (Newton) h = F 5 F 0 d = x 5 x 0

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Trabajo y Energa para Fuerza variable En los dos casos anteriores, calcular el trabajo realizado por las fuerzas mediante el mtodo del rea bajo la curva fue sencillo debido a que las figuras geomtricas que se forman son conocidas. Sin embargo, existen fuerzas variables que dependen de la posicin y cuya grfica de fuerza contra posicin son complejas. En estos casos, el problema se complica y se requiere de un mtodo mas sofisticado para calcular el trabajo realizado por la fuerza. Dicho mtodo es el mtodo matemtico de la integracin. Para llegar a l, supongamos que un cuerpo se mueve en la direccin del eje x de la posicin x 1 hasta la posicin x 2 bajo la accin de una fuerza variable que depende de la posicin y que al medirla se obtiene la siguiente grfica.

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Trabajo y Energa para Fuerza variable xixi xfxf FiFi FfFf F(x) x + (m)

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Trabajo y Energa para Fuerza variable Dividamos el desplazamiento total de x i hasta x f en pequeos desplazamientos iguales de anchura x xixi xfxf FiFi FfFf F(x) x + (m) xxxxxxxx F2F2 F3F3 F4F4 F1F1 F2F2 F3F3 F4F4

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Trabajo y Energa para Fuerza variable Como se puede observar, se forman rectngulos de altura F variable y anchura x constante. Consideremos el primer desplazamiento de x 1 a x 2 (o bien de x 1 a x 1 + x ), en este intervalo, la fuerza puede considerarse aproximadamente constante, teniendo un valor F 1. El trabajo realizado por dicha fuerza para desplazar al cuerpo un x es: W 1 = F 1 x (rea del primer rectngulo) En el siguiente intervalo de x 1 a x 2 (o bien de x 1 a x 1 + x ), el trabajo realizado es: W 2 = F 2 x (rea del segundo rectngulo) De esta forma se sigue calculando el trabajo para cada desplazamiento (reas de los rectngulos). El trabajo total aproximado ser la suma de todos los incrementos de trabajo calculados individualmente, lo cual expresado en notacin matemtica es:

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Trabajo y Energa para Fuerza variable Se dice que es un trabajo aproximado debido a que dentro de cada intervalo la fuerza vara. Si tomamos el valor de F 1 en la posicin x 1, observaremos que para el primer intervalo se forma un rectngulo de altura F 1 y anchura x, adems de una figura geomtrica por encima. Para el siguiente intervalo, se forma un rectngulo de altura F 2 y tambin de anchura x, as como una segunda figura geomtrica parecida a un tringulo. En los siguientes dos intervalos sucede algo parecido. Con el procedimiento anterior, se puede asegurar que lo que estamos calculando son las reas de los rectngulos de altura F i y anchura x, quedndonos por encima de ellos las reas de las figuras geomtricas sin calcular, las cuales representan la diferencia entre el trabajo aproximado y el trabajo real efectuado por las fuerzas.

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Trabajo y Energa para Fuerza variable xixi xfxf FiFi FfFf F(x) x + (m) xxxxxxxx F2F2 F3F3 F4F4 rea faltante rea excedente

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Trabajo y Energa para Fuerza variable Para minimizar los faltantes y excedentes, procedemos a aumentar el nmero de intervalos haciendo mas pequeos los x, con lo cual obtendremos un mayor nmero de figuras geomtricas por encima y debajo de los rectngulos pero cuyas reas son mucho menores que las anteriores. xixi xfxf FiFi FfFf x + (m) xxxxxxxx F2F2 F3F3 F4F4 rea faltante rea excedente xxxxxxxx

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Trabajo y Energa para Fuerza variable Seguimos aumentando el nmero de intervalos haciendo mas pequeos los x. xixi xfxf FiFi FfFf x + (m) F4F4 F2F2 F3F3 rea faltante rea excedente xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

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Trabajo y Energa para Fuerza variable Seguimos aumentando el nmero de intervalos haciendo mas pequeos los x. xixi xfxf FiFi FfFf x + (m) F4F4 F2F2 F3F3 rea faltante rea excedente xx

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Trabajo y Energa para Fuerza variable Sin embargo an seguimos teniendo pequeas reas faltantes y excedentes, por lo que se procede nuevamente a tomar x cada vez ms pequeos. Si queremos aproximarnos an mas al trabajo real, debemos hacer que el nmero de rectngulos tienda a infinito y que x 0 por lo que para cada rectngulo tendremos valores mas representativos de la fuerza. De esta forma, el trabajo realizado por la fuerza ser: Se define la integral definida de F con respecto a x como:

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Trabajo y Energa para Fuerza variable Cuyo significado es el siguiente: En el lmite cuando cada rectngulo se aproxima a cero, el rea [ F(x) x ] de cada rectngulo se aproxima al valor real del rea situada debajo de la curva F(x) entre los lmites x 1 y x n, lo cual nos permite decir que El valor de la integral F(x) entre los limites x 1 y x 2 es igual al rea situada debajo de la curva descrita por F(x) entre esos lmites. Por lo tanto, el trabajo efectuado por la fuerza F(x) que mueve al cuerpo de la posicin x i hasta la posicin x f es: o en forma vectorial

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Trabajo y Energa para Fuerza variable De igual forma que encontramos la relacin entre el trabajo realizado por una fuerza constante y la velocidad del cuerpo (energa cintica), as mismo lo hacemos para una fuerza variable que dependa de la posicin. En aquella parte hicimos uso de las ecuaciones de cinemtica ya que la aceleracin era constante, pero ahora, no se pueden usar debido a que la fuerza aplicada es variable y en consecuencia tambin lo es la aceleracin. Para salvar esta dificultad, realizamos un truco matemtico (multiplicar y dividir por la misma cantidad) expresando la aceleracin de la siguiente forma:

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Trabajo y Energa para Fuerza variable Con ello, la ecuacin para el trabajo la podemos expresar como: Sustituyendo la expresin de la aceleracin encontrada anteriormente y recordando que en la posicin inicial (x i ) el cuerpo tiene una velocidad inicial (v 0 ); y que en la posicin final (x f ) tiene una velocidad final (v ), tenemos que: Del clculo tenemos que la integral: Luego entonces:

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Trabajo y Energa para Fuerza variable Que es el Teorema del Trabajo y la Energa encontrado anteriormente para una Fuerza constante

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Trabajo y Energa para Fuerza variable (aplicada en cualquier direccin) La fuerza que acta sobre un cuerpo puede variar tanto en magnitud como en direccin por lo que el cuerpo se mover en un plano o en el espacio tridimensional describiendo trayectorias curvas. Encontraremos el trabajo realizado por una fuerza variable que acta sobre un cuerpo que se mueve en el plano, pudiendo generalizarse el resultado de igual forma para el espacio. En la siguiente figura se representa la trayectoria que describe el cuerpo y la fuerza F que acta sobre l en varios puntos ( x, y ), as como el ngulo que forma la fuerza con respecto al vector desplazamiento r el cual es tangente a la trayectoria en esos puntos.

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Trabajo y Energa para Fuerza variable El trabajo realizado sobre el cuerpo por una de las fuerzas puede calcularse a partir de: Y + (m) x + (m) r r F a ( x 1, y 1 ) b ( x 2, y 2 ) r r F F r r x1 x1 x2 x2 y1 y1 y2 y2

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Trabajo y Energa para Fuerza variable (aplicada en cualquier direccin) Donde la fuerza y el desplazamiento dependen de las coordenadas (x, y), la fuerza podemos descomponerla en sus componentes rectangulares: Una perpendicular al vector desplazamiento Una perpendicular al vector desplazamiento Otra paralela o tangente a la trayectoria; Otra paralela o tangente a la trayectoria; siendo esta ltima componente la que realiza trabajo. El trabajo realizado por esta componente podemos considerarlo como un elemento de trabajo que contribuye al trabajo total realizado sobre el cuerpo para llevarlo desde la posicin a hasta la posicin b. De esta forma, el elemento de trabajo correspondiente a un punto sobre la trayectoria viene expresado por:

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Trabajo y Energa para Fuerza variable (aplicada en cualquier direccin) El trabajo aproximado se encuentra sumando todos los estos pequeos elementos de trabajo calculados para cada uno de los segmentos lineales de r. Cuando estos segmentos se van haciendo mas pequeos, los incrementos pueden reemplazarse por los diferenciales dr y la suma por una integral. Luego entonces, el trabajo realizado por la fuerza para llevar al cuerpo desde a hasta b ser: Como podemos observar, en la expresin anterior, F y cos varan por lo que no podemos realizar la integracin hasta no conocer esta variacin de punto a punto sobre la trayectoria. Por otro lado, sabemos que:

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Trabajo y Energa para Fuerza variable Por lo que el producto escalar entre ellos vine dado por: Desarrollando y haciendo uso del producto escalar entre vectores unitarios, encontramos lo siguiente: Sustituyendo esta ltima expresin encontramos que: La integral anterior es sobre todos los puntos de la trayectoria desde a hasta b por eso se le conoce con el nombre de integral de lnea. Para encontrar la relacin entre el trabajo realizado por la fuerza variable y la velocidad del cuerpo, hacemos uso de la ecuacin:

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Trabajo y Energa para Fuerza variable Descomponemos la Fuerza en sus componentes tangencial F t y perpendicular F o normal F N a la trayectoria como se muestra en la siguiente figura: Y + (m) x + (m) F r r x1 x1 x2 x2 y1 y1 y2 y2 FtFt FNFN

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Trabajo y Energa para Fuerza variable Expresando la segunda ley de Newton en trminos de la componente tangencial de la fuerza y la aceleracin (la componente normal no realiza trabajo) tenemos que: donde v es la velocidad lineal o tangencial del cuerpo, la cual viene expresada como: despejando Luego entonces: sustituyendo en la expresin para el trabajo tenemos que:

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Trabajo y Energa para Fuerza variable Cuando el cuerpo se encuentra en el punto a, tiene asociada una velocidad v = v i y cuando pasa por el punto b tiene una velocidad v = v f, por lo que los lmites de integracin cambiaron en la expresin anterior al cambiar las variables de integracin, quedndonos: Integrando tenemos que: Por lo que el teorema del trabajo y la Energa se sigue cumpliendo, no importa si la fuerza es constante o variable; si el movimiento es en una, dos o tres dimensiones; o si la fuerza aplicada se encuentra en la direccin de movimiento o no.

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Potencia En las secciones anteriores se analiz la parte de trabajo y energa cintica. Para una fuerza constante, se calculo el trabajo realizado para subir un cuerpo hasta una altura h con velocidad constante, ya sea subindolo verticalmente o utilizando un plano inclinado con diferentes ngulos de inclinacin. Se encontr que: La fuerza aplicada depende del peso y del ngulo de inclinacin. La fuerza aplicada depende del peso y del ngulo de inclinacin. P = mg sen La distancia recorrida o longitud del plano depende de la altura a la que se encuentre la parte superior y del ngulo de inclinacin. La distancia recorrida o longitud del plano depende de la altura a la que se encuentre la parte superior y del ngulo de inclinacin. d = h sen Finalmente, que el trabajo realizado es independiente del ngulo de inclinacin del plano. Finalmente, que el trabajo realizado es independiente del ngulo de inclinacin del plano. W P = mg h h P P

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Potencia El trabajo realizado para subir un objeto hasta una cierta altura puede efectuarse en un segundo, un minuto, un da, una semana, o en el tiempo que se desee. Sin embargo, el trabajo seguir siendo el mismo. Lo que puede cambiar es la Potencia ( P ) con que se realiza el trabajo. Este nuevo concepto se define como: el trabajo realizado por una fuerza aplicada por el tiempo que tarda en efectuarse, es decir, la rapidez con que se efecta. Si una cantidad de trabajo W se realiza en un intervalo de tiempo t, la potencia media P se define como: Es una cantidad escalar cuyas unidades son el Watt que se define como: Si el trabajo realizado en una unidad de tiempo no es constante (por ejemplo cuando lo produce una fuerza variable), en este caso la potencia instantnea P se define como el lmite de este cociente cuando t 0

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Potencia En nuestra vida cotidiana es comn referirnos a la potencia que desarrolla un motor en unidades del sistema britnico: caballos de fuerza o horse power abreviado hp. Su equivalencia en el Sistema Internacional es: 1 hp = 746 watts La potencia tambin puede ser expresada como: para una fuerza constante que mueve el cuerpo (con velocidad tambin constante) en la direccin de movimiento. Como sabemos, el trabajo tiene unidades de energa (Joule), con la definicin de potencia y a partir de la ecuacin que la define, al despejar el trabajo se encuentra un nuevo tipo de unidad. el Watt por segundo. que en unidades derivadas es mejor conocido como kilowatt hora (kWh).

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Potencia Un kilowatt hora es el trabajo realizado por un agente que desarrolla una potencia constante de 1000 watts Es decir, en un segundo el agente desarrolla una potencia de 1000 Watts, luego entonces, en una hora el trabajo realizado es: 1 kWh = (3600 s) (1000 Watts) = 3.6 x 10 6 J = 3.6 MJ El ejemplo mas notable del uso de esta unidad, lo encontramos en los recibos de luz o de consumo de energa elctrica.

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Fuerzas conservativas y no conservativas En dinmica se hizo una clasificacin de fuerzas dependiendo de su naturaleza (por contacto o interaccin a distancia). Las fuerzas conservativas o no conservativas no son un nuevo tipo de fuerzas; son referidas mas bien a sistemas donde interaccionan cuerpos que disipan o no energa. El trabajo realizado por estas fuerzas es: W total = W c + W D Un ejemplo de fuerza no conservativa o disipativa es la friccin. Al lanzar un cuerpo con una velocidad inicial sobre una superficie spera, vemos que el cuerpo se detiene despus de recorrer una distancia. El trabajo realizado por el piso para detenerlo es: a) Aplicando el teorema del trabajo y la energa cintica W fk = K = K K 0 = mv 2 - mv 0 2 = - mv 0 2

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Fuerzas conservativas y no conservativas b) Aplicando trabajo, dinmica y cinemtica W fk = f k x W fk = f k x cos Donde por la segunda ley, la nica fuerza que acta sobre el cuerpo es la friccin y por consecuencia: -f k = ma x El desplazamiento de acuerdo a cinemtica, en funcin de velocidades y aceleracin es: x = (v 2 v 0 2 ) 2a Sustituyendo: W fk = - ma x cos 180 0 W fk = - ma x (-1) W fk = ma (v 2 v 0 2 ) 2a W fk = - mv 0 2

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Fuerzas conservativas y no conservativas Donde el trabajo encontrado es el mximo trabajo realizado por el cuerpo hasta que se detiene. A medida que ste avanza, va realizando trabajo (disipando energa en forma de calor), es decir, depende de la trayectoria, a mayor distancia recorrida mayor ser el trabajo realizado, hasta un mximo igual a la energa cintica que se le proporcion. En el caso de fuerzas conservativas, se tienen la fuerza gravitacional, la fuerza elctromagntica y la fuerza elstica. En estos casos, se encuentra que el trabajo realizado: Es independiente de la trayectoria. Es independiente de la trayectoria. Se puede recuperar en su totalidad. Se puede recuperar en su totalidad. Depende de la posicin inicial y de la final. Depende de la posicin inicial y de la final. Los cuales se analizan en las siguientes secciones

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Energa Potencial En las secciones anteriores se analiz la parte de trabajo y energa cintica. Uno de los casos analizados fue subir un cuerpo hasta una determinada altura movindolo con velocidad constante, ya sea subindolo verticalmente o utilizando un plano inclinado con diferentes ngulos de inclinacin. Se encontr que el trabajo realizado por la persona (o agente externo) fue W = mgh Que depende exclusivamente del peso del cuerpo y de la altura a la que se encuentra con respecto a un cierto nivel o posicin inicial. A este trmino se le denomina Energa Potencial (U): Energa por que se realiz un trabajo para subirlo y, Potencial por que adquiere una propiedad que no posea antes: la capacidad de poder realizar un trabajo. Para ver que tanto trabajo puede realizar, analicemos nuevamente un caso que nos es familiar: un cuerpo que se desliza sobre un plano inclinado liso partiendo del reposo.

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Energa Potencial Las fuerzas que actan sobre el cuerpo son la fuerza normal y el peso. El cuerpo se acelera debido a la componente del peso en la direccin del movimiento. Esto es: F x = ma x w x = ma x mg sen = ma x a x = g sen La velocidad con la que llega a la parte inferior del plano despus de recorrer una distancia x = h sen es: v 2 v 0 2 = 2a x v 2 = 2gsen ( h sen ) v 2 = 2gh mg N WxWx WyWy h v = ? v 0 = 0 x = h sen Sen = h x

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Energa Potencial El cambio de energa cintica es: K K 0 = mv 2 - mv 0 2 K = m(2gh) K = mgh Por el teorema del trabajo y la energa cintica: K = W W = mgh Es decir, el cuerpo puede realizar un trabajo igual al que se realiz para subirlo hasta la altura h. Un cuerpo puede tener diferentes valores de energa potencial, debido a que sta, est referida a un cierto nivel (o sistema) de referencia. Pongamos el siguiente ejemplo: A un profesor que imparte clases en el tercer piso de un edificio, inadvertidamente se le cae el borrador. Si desea colocarlo nuevamente sobre el pizarrn, debe realizar un trabajo.

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Energa Potencial W = mgh 2 Donde h 2 = y 2 y 1 es la altura del piso a la parte inferior del pizarrn. Si desea colocarlo en la parte superior del pizarrn, debe realizar un trabajo adicional: W = mgh 3 Donde h 3 = y 3 y 2 es el ancho del pizarrn. La energa potencial con respecto al piso, es U = mg (h 2 + h 3 ) Pero con respecto a la parte inferior del pizarrn es: U = mgh 3 Se puede decir que la energa potencial del borrador es cero cuando est en el suelo, pero si recordamos que nos encontramos en el tercer piso, el borrador contina teniendo energa potencial, debido a que realizamos trabajo para llevarlo a ese tercer piso, esto es: U = mgh 1 Donde h 1 = y 1 y 0

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Energa Potencial Siendo y 0 la posicin en el suelo del primer piso y y 1 la posicin en el piso del tercer piso. Energa que puede ser liberada si dejamos caer el borrador desde el tercer piso y que puede realizar un trabajo (producir un sonido al golpear el suelo, abollar o clavar un objeto, etc.). En todos los casos, se ha analizado el trabajo realizado por el profesor, es decir, por la fuerza que ste le aplica al borrador. Sin embargo, tambin acta la Fuerza Gravitacional. El trabajo realizado por dicha fuerza, es el negativo del realizado por el profesor, en virtud de que la direccin de movimiento y la fuerza gravitacional son opuestas ( 180 0 ). W G = -W P Donde W G es el trabajo realizado por la Fuerza Gravitacional y W P es el trabajo realizado por el profesor. En trmino de energa potencial gravitacional W P = U = mgh = mg (y 2 - y 1 ) W G = - U

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Energa Potencial Elstica Cuando se abord el trabajo realizado por una fuerza variable, se consider a un cuerpo elstico, los cuales se definen como aqullos que recobra su tamao y forma original cuando deja de actuar la fuerza deformante. Robert Hooke encontr que cuando se aplica una fuerza F a sobre un resorte, se produce en l un alargamiento x que es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada. F a = kx Donde k es una constante de proporcionalidad que vara de acuerdo al tipo de material (en resortes rgidos k es grande, en resortes flexibles k es pequeo). Las unidades son N / m. Por el contrario y de acuerdo a la tercera Ley de Newton, el resorte ejerce una fuerza (F R ) de igual magnitud pero en sentido contrario a la fuerza aplicada F R = -kx Donde F R es una fuerza restitutiva que se opone al movimiento

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Energa Potencial Elstica Ya sea para alargar o comprimir un resorte, se debe aplicar una fuerza variable. El trabajo realizado por dicha fuerza es: Este trabajo realizado por el agente externo sobre el resorte, queda almacenado en forma de Energa Potencial Elstica, que se libera al momento de soltar el resorte. Ver video Ver video

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Energa mecnica de sistemas conservativos Al lanzar un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial, ste adquiere una energa cintica: K 0 = mv 0 2 Al ir ascendiendo y en ausencia de fuerzas disipativas, va perdiendo velocidad (energa cintica) pero a la vez va ganando altura (energa potencial). U = mg (y y 0 ) En el punto de mxima altura, su velocidad es cero y ha adquirido su mxima energa potencial con respecto al lugar de lanzamiento. El trabajo realizado para lanzarlo, de acuerdo al teorema del trabajo y la energa cintica es W = K = K K 0 = mv 2 - mv 0 2 Por otro lado, para poder subir el cuerpo hasta esa altura, se debi realizar un trabajo en contra de la fuerza gravitacional W = - U = - (U U 0 ) Igualando ambas expresiones para el trabajo K = -U K + U = 0 K + U = 0

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Energa mecnica de sistemas conservativos (K K 0 ) + (U U 0 ) = 0 mv 2 - mv 0 2 + mg y mgy 0 = 0 mv 2 + mg y = mv 0 2 + mgy 0 Se define la energa mecnica total (E) de un sistema de fuerzas conservativas como la suma de las energa cintica y la potencial en cualquier momento. E = K + U Siendo E una constante. Es decir: E f = E 0 Lo cual es el principio de la conservacin de la energa mecnica para sistemas conservativos: Si sobre un sistema actan solo fuerzas conservativas que estn efectuando trabajo, la energa mecnica total del sistema no crece ni disminuye, permanece constante, es decir, se conserva

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Trabajo hecho por fuerzas no conservativas Cuando arrojamos un cuerpo sobre una superficie horizontal, ste se detiene. La energa cintica inicial se convirti en otra forma de energa (trmica). El trabajo realizado por el piso para detenerlo es: W fk = f k x W fk = f k x cos Donde por la segunda ley, la nica fuerza que acta sobre el cuerpo en la direccin de movimiento es la friccin y por consecuencia: -f k = ma x El desplazamiento de acuerdo a cinemtica y en funcin de velocidades y aceleracin es: x = (v 2 v 0 2 ) 2a Sustituyendo: W fk = - ma x cos 180 0 W fk = - ma x (-1) W fk = ma (v 2 v 0 2 ) 2a W fk = - mv 0 2

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Ley de la conservacin de la energa En la vida diaria generalmente tenemos disipacin de energa por friccin. En un sistema la energa debe conservarse, es decir, que en cualquier proceso la energa inicial debe ser igual a la final. En el caso de sistemas disipativos, la ley de la conservacin de la energa dice que: La energa (cintica y potencial) inicial de un sistema es igual a la energa (cintica y potencial) final mas las prdidas de energa. K 0 + U 0 = K + U + Q mv 0 2 + mgy 0 = mv 2 + mgy + W fk