COLISIONES EN DIRECCION VERTICAL.

MATERIA:

Mecánica clásica II

SEMESTRE:

CUARTO

PRODUCTO ACADEMICO:

RESUMEN

TEMA

RESUMEN DEL ARTÍCULO DE LAS COLISIONES ELASTICAS

PRESENTA

DANIELA ALEJANDRA CAJAMARCA GOMEZ, 20121135095

DOCENTE

WALTER PULIDO

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISO JOSE DE CALDAS, noviembre de 2013.

INTRODUCCION

Con los experimentos de demostración se busca explicar ,de la manera más sencilla posible, los conceptos físicos, para lograr en los estudiantes un mayor entendimiento de los temas, facilitando una imagen en la cual se pueda ver cómo funciona el entorno que le rodea desde el punto de vista físico , mostrando una parte de la enseñanza teórica más didáctica y sencilla de entender y retener, ya que involucra objetos sencillos –en el caso de la mecánica clásica -, que son parte del diario vivir de cada estudiante .

Con este experimento de demostración en especial , se busca ilustrar y reforzar los conceptos de las leyes de conservación del ímpetu y la energía mecánica, que en este caso no se cumple; No obstante, el experimento nos mostrara las cualidades del momentum y la energía mecánica que se verán , y crearan una retención del tema con una mayor facilidad .

En este caso se está experimentando con una colisión vertical, elástica, entre dos cuerpos, que caen, una encima de la otra , se dejan caer juntas y luego la pelota que está arriba se devuelve con una altura mayor de la inicial ; Para llevar eso acabo comenzamos con suponer que es un choque elástico . Luego se acude al coeficiente de restitución que dirá que tan elástico o inelástico es el choque de las dos pelotas.

PROBLEMA.

Dos pelotas de masas diferentes se dejan caer por separado desde una altura fija; cada pelota rebota en el suelo y sube hasta una altura menor que la altura desde donde fue soltada. Luego las pelotas se dejan caer como una pareja, estando unaEncima de la otra. ¿Qué valores deben tener las masas para que, dejando caer las dos pelotas una encima de la otra, la de abajo se quede en el suelo y la de encima rebote hasta una altura mayor que la altura desde donde fueron soltadas?

OBJETIVOEnseñar como una colisión vertical no cumple la conservación de momentum ni la energía mecánica , mostrando con los resultados una descripción concreta de la colisión.

DESCRIPCION EXPERIMENTAL

Se tiene un conjuntos de pelotas de masas diferentes, de las cuales una pareja tiene una relación en su masa aproximadamente 3 veces mayor una masa de la otra, primero se deja caer cada una de las pelotas, se puede ver, que al encontrarse con el suelo no se devuelven hasta su altura inicial; Después se procede a lanzar 2 pelotas, que no tiene relación con respecto a sus masas, una enseguida de la otra. Segundos después de que las pelotas choquen con el suelo, la pelota inferior se eleva una altura pequeña, mientras que la pelota superior se eleva una altura menor que la altura inicial desde donde se arrojó.

Luego se pasa a arrojar las dos pelotas que tiene una relación en su masa, siendo una 3 veces mayor que la otra, se dejan caer, estando la más maciza encima, y se ve que el resultado no es diferente a los anteriores. Entonces se cambia la ubicación de las pelotas, dejando la más liviana en la parte superior, y se nota un cambio en el resultado, la esfera más ligera en su rebote de vuelta supera la altura inicial, mientras la otra queda en reposo en el suelo.

DESCRIPCION TEORICA

Cuando se analiza el hecho, de que ninguna de las pelotas que fueron soltadas solas al momento de chocar con el suelo no regresaran a una altura mayor y cercana a la inicial demuestra que la energía mecánica no se conserva, Esto se debe a que la pelota tiene una interacción con fuerzas producidas por el aire, calor o sonido y también a la interacción que tiene con el piso que crea una deformación en la pelota.

En el caso de las masas que están relacionadas, lo que produce que la pelota más liviana revote más alto que su altura inicial, es la transferencia de energía que se presenta en el momento del choque de la pelota más maciza con el suelo y luego con la pelota liviana, la pelota maciza transfiere su energía, quedando en reposo y produciendo que la pelota liviana gane energía para tener un mayor rebote.

Para facilitar la explicación teórica se supondrá que antes de que la pelota maciza choque con el suelo, ambas pelotas no están en roce directamente, sino separadas por una distancia lo bastante pequeña para que las velocidades puedan considerarse de igual magnitud, pero lo suficientemente grande para que la pelota maciza tenga tiempo de chocar con el suelo y después chocar con la otra justo cuando empiece a rebotar. Este choque se da en un tiempo muy pequeño.

La idea es explicar porque la pelota liviana rebota más alto , entonces se tomaran algunas consideraciones para facilitar las cosas , como que la colisión es unidimensional y elástica lo que ara que la ley de la conservación de la energía mecánica y el momentum , se den. No olvidar q el momento no se conserva debido a las fuerzas externas que actúan sobre las pelotas.

Para comenzar a determinar el por qué la pelota liviana rebota tan alto, se comienza determinando la velocidad inicial; como se consideró que la magnitud de la velocidad es igual en ambas pelotas. Debido a que la distancia entre ambas es lo suficientemente pequeña para despreciarla, se determina haciendo conservación de la energía , teniendo en cuenta que el punto 0 es la altura R , siendo R el radio cuando una pelota cae y queda en reposo , entonces se cumple para cada pelota hay una energía potencial en R . la velocidad con la que se llega

al suelo v i por conservación de energía seria m1gh=(m¿¿1v i

2)2

¿ y de ahí se

despeja v12=2gh , siendo la velocidad de todas las pelotas que se dejen caer

desde una altura h , si R< h . En la imagen se muestra primero la caída juntas y luego el rebote de la mas liviana.

.

Antes del choque de ambas pelotas luego del choque

Luego del choque de ambas pelotas, la pelota maciza queda con velocidad nula v2d=0 , debido a que su velocidad pasa a la pelota liviana y con esto la pelota liviana comienza a subir de nuevo .

Para comenzar a hallar la relación entre las dos pelotas, primero hallamos el ímpetu que es igual aPo=P f , considerando esto y tomando la dirección positiva hacia arriba , el mometum inicial entre las pelotas es igual Pa=m2 v2 a−m1 v1a y el final (teniendo en cuenta que la velocidad de v2d=0 ) es : Pd=m1 v1d ; Al igualar los mometums de impetums se obtiene :

Pa=m2 v2a−m1 v1a

Pd=m1 v1d

Al igualar

Pa=Pd

m2 v2a−m1 v1a=m1 v1d

Factorizando la velocidad Tener en cuenta -----> v1a=v2a

(m¿¿2−m1)v1a=m1 v1d ¿ (1)

Luego se calcula la energía cinética antes y después de la colisión, antes:

k a=(m1 v1a2 )2

+(m2 v2a2 )2

, después : k d=(m1 v1d2 )2

, solo se considera la energía cinética,

que es suficiente para la conservación de la energía mecánica , por eso no se tiene en cuenta la potencial ; así que k a=k d , entonces :

k a=(m1 v12a2 )+(m2 v22a2 ) después k d=m1 v1d

2

2

Ecd=Eca

12m1 v1a

2 + 12m2 v1a

2 +m2 v2a2 =1

2m1 v1d

2

12

(m1 v1a2 +m2 v2a2 )=1

2m1 v1d

2

m1 v1d2 =m1 v1a

2 +m2 v2a2 (2)

Dividiendo (2) entre (1) para despejar la v1d con la que la pelota 1 sube :

m1v1d2 =m1 v1a

2 +m2 v2a2

m1 v1d2 =(m2−m1)V 1a

=¿

v1d=(v1a2 (m1+m2 ))v1a(m2−m1)

V 1d=(m1+m2 )(m2−m1)

V 1a (3)

Sustituyendo (3) en (2) o (1) se obtiene los valores de la masa

Ahora remplazando (3) en (1)

(m¿¿2−m1)v1a=m1 v1d ¿

m1( (m1+m2)(m2−m1 )

V 1a)=m1 v1am12 v1a+m1m2 v1a=((m2−m1 ) (m2−m1 )) v1a

¿ (m2−m1 )2 v1a

Desarrollando el binomio cuadrado

m12V 1a+m1m2 v1a=(m2

2−2m2m1+m12)∙ v1a

m12 v1a+m1m2 v1a=m2

2 v1a+2m2m1 v1a+m12 v a

2

0=m22 v1a−2m2m1 v1a−m1m2 v1a

0=m22 v1a−3m1m2 v1a

0=v1a (m22−3m2m1 v1a )

Se pasa a dividir el v1a

0=(m¿¿22−3m2m1)¿

Pasando el −3m2m1 al otro lado

3m2m1=m22

3m1=m2 (4)

Teniendo v1d y m2 se calcula la altura de la pelota en su rebote. Considerando que se cumple la conservación de la energía , para el movimiento en caída seria

m1gh1' =

(m1gva2 )2

y para el de subida m1gh1' =m1 v1d

2

2 , Considerando que h1es donde

se dejó caer y h1' es la altura a la que regresa , ambas se miden desde el nivel de

referencia escogido que es el nivel cero cuando la esfera choca con el suelo , con esto se sustituye la ultima expresión (4) y también (3)

TENIENDO EN CUENTA

i m1gh=12m1 v1a

2

ii m1gh ´=12m1 v1d

2

m1gh ´=12m1( (m1+m2 )

m2−m1v1a)

2

¿ 12m1¿

¿ 12m1

((m12+2m1m2+m22 ))m22−2m2m1+m1

2 v1a2

¿12

(m13 v1a2+2m12m2 v1a+m1m22 v1a2 )(m2

2−2m2m1+m12)

Remplazando m2

¿ 12

(m¿¿1¿¿3v1a2+2m1

23m1 v1a2+m1(3m1)

2 v1a2)

((3m1 )2−2 (3m1 )m1+m12)¿¿

m13 v1a

2+6m13 v1a

2+9m13 v1a

2

9m12−6m1

2m12

¿ 12 ( (16m13 v1a3 )

4m12 )

¿(16m13 v1a2 )8m1

2

¿4 (m13 v1a2 )2m1

2

m1gh'=2m1 v1a

2

m1gh1'

2m1=v1a

2

g h1'

2=v1a

2

REMPLAZANDO EN i

m1gh1=12m1( 12 gh1' )

m1gh1=14m1 gh1

'

h'=h1'

4

4 h1=h1' (5)

Todo se deja en función de la pelota 1, debido a que después del el lanzamiento con la pelota más maciza esta realiza un rebote con una altura superior a la inicial.

Después de despejar la altura a la cual rebota la pelota 1, luego del choque con la pelota maciza; Este resultado no es esperado debido a que no hay conservación ni de energía y ímpetu, y experimentalmente no es posible lograr este tipo de resultados.

COEFICIENTE DE RESTITUCION

El coeficiente de restitución es la operación que se realiza para saber que tan elástico e inelástico es el choque, en este caso cuando el lanzamiento se hace con una sola pelota , el choque no es exactamente elástico , debido a que tienen una deformación cuando choca con el suelo;Para hallar el coeficiente de restitución hay que tener en cuenta la interacción entre 2 cuerpos , el negativo del cociente de la velocidad relativa después de la colisión y antes :

e=(v¿¿1d−v2d)

(v1a−v2a)¿

e = 1 colisión perfectamente elástica

e = 0 colisión perfectamente inelástica

Teniendo en cuenta que la velocidad de la pelota 2 despues del choque es 0 , y que la magnitud de la velocidad inicial es igual para ambas pelotas debido a que van juntas , y el espacio que las separa es despreciable , la ecuación quedaría:

Teniendo en cuenta (3) y (4)

V 1d=(m1+m2 )(m2−m1)

V 1a (3)

3m1=m2 (4)

e=(v¿¿ad−vbd)(v¿¿aa−vba)¿

¿

Entonces

vad=0

v1a=v2a

vAa2 =2gh

vAa2 =√ (2 gh )=vba

Teniendo en cuenta lo anterior

e=vd−−→despues del choque

va−−→antes de lacolision

e=vdva

=√2g hd√2 gha

=√ hdhaOBSERVACIONES FINALES

Hacer el experimento en físico es muy difícil debido a que los centros de las pelotas tienen que estar alineados verticalmente , también la forma de agarre que se tenga al ser lanzadas afecta a la hora del rebote , porque si no se tira de la forma correcta el rebote no será horizontal