República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior

Universidad Bolivariana de Venezuela (UBV)

Carvajal - Edo. Trujillo

MEDICION Y FORMULA

TRIUNFADORES:

Yessika Perdomo C.I. 23.593.940

Raíza Bastidas C.I. 21.064.498

Marisol Matheus C.I. 10.914.528

Álvaro Ramírez C.I. 12.458.823

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Trayecto Inicial

Prof. Freddy

INDICE pág.

Introducción…………………………………………………………………..…. 3

Medición y formula………………………………………………….……… 4 al 17

Conclusión…………………………………………………………………….. 18

2

INTRODUCCION

El estudio de la matemáticas nos permite aprender y poner en práctica

las mediciones y fórmulas matemáticas y así ser capaces de usar los

métodos básicos matemáticos en el futuro para poder alcanzar nuestras

metas universitarias por la cual encontraremos que es la medición, la fórmula

que se deben aplicar tanto en geometría y en algebra, también contamos con

el sistema internacional de unidades, las cifras significativas y aproximación

la notación científica y forma de aplicar formulas.

3

Medición y Formula

En Geometría, Estadística y otras ramas de las Matemáticas, una

fórmula es una ecuación que relaciona constantes o variables matemáticas y

que se expresa mediante una igualdad matemática. Existen fórmulas para el

cálculo de las áreas de los polígonos regulares.

Por ejemplo, el problema de determinar el volumen de los cuerpos

geométricos, como los sólidos platónicos, o las relaciones métricas del

triángulo, o las razones trigonométricas . El volumen de una esfera requiere

cálculo integral para su resolución, según Arquímedes, puede calcularse

mediante la fórmula que relaciona el volumen con el radio.

En álgebra una fórmula es una identidad que se utiliza para simplificar

los cálculos o resolver una ecuación o factorizar polinomios. Por ejemplo

para la ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen

siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que

pueden ser reales o complejas. Se denomina fórmula cuadrática1 a la

ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:

Donde el símbolo ± indica que los valores

4

y

Constituyen las dos soluciones.

Las cantidades, medidas o incógnitas, que aparecen se suelen

identificar o simbolizar con letras mayúsculas (V=volumen), letras minúsculas

(r=radio), letras griegas (π=pi=3,1415926...) y otros símbolos (Σ representa la

suma de muchas cantidades similares, una flecha sobre una letra indica que

se trata de un vector, , un punto sobre una letra, , indica la derivada o

diferencial de esa función, etc.). A veces es necesario el uso de subíndices

(x1, x2...) y superíndices (x2, x3,...)

Sistema Internacional de unidades

También conocido como sistema métrico, establece las unidades que

deben ser utilizadas internacionalmente. Fue creado por el Comité

Internacional de Pesos y Medidas con sede en Francia. Estableció 7

magnitudes fundamentales y creó los patrones para medirlas:

1. Longitud

2. Masa

3. Tiempo

4. Intensidad eléctrica

5. Temperatura

6. Intensidad luminosa

7. Cantidad de sustancia

Y otras 2 magnitudes complementarias:

1. Ángulo plano

2. Ángulo sólido

5

También estableció muchas magnitudes derivadas, que no necesitan de un

patrón, por estar compuestas de magnitudes fundamentales.

Cifras Significativas y Aproximación

Las cifras significativas representan el uso de una o más escalas de

incertidumbre en determinadas aproximaciones. Se dice que 2,7 tiene 2

cifras significativas, mientras que 2,70 tiene 3. Para distinguir los ceros que

son significativos de los que no son, estos últimos suelen indicarse como

potencias de 10. También cuando no se pueden poner más de tres cifras

simplemente se le agrega un número a el otro si es 5 o mayor que 5 y si es

6

menor simplemente se deja igual. Ejemplo 5,36789 solo se pueden mostrar

tres cifras así que se le suma una unidad a la cifra 6 (6+1=7)ya que la cifra 7

es mayor que 5 así que queda 5,37 y si el número es menor que cinco así

5,36489 y se cortan queda 5,36 por que la cifra 4 es menor que 5.

El uso de estas considera que el último dígito de aproximación es

incierto, por ejemplo, al determinar el volumen de un líquido con una probeta

cuya resolución es de 1 ml, implica una escala de incertidumbre de 0,5 ml.

Así se puede decir que el volumen de 6 ml será realmente de 5,5 ml a 6,5 ml.

El volumen anterior se representará entonces como (6,0 ± 0,5) ml. En caso

de determinar valores más próximos se tendrían que utilizar otros

instrumentos de mayor resolución, por ejemplo, una probeta de divisiones

más finas y así obtener (6,0 ± 0,1) ml o algo más satisfactorio según la

resolución requerida.

Notación Científica

La notación científica es un recurso matemático empleado para

simplificar cálculos y representar en forma concisa números muy grandes o

muy pequeños. Para hacerlo se usan potencias de diez.

Básicamente, la notación científica consiste en representar un número

entero o decimal como potencia de diez.

En el sistema decimal, cualquier número real puede expresarse

mediante la denominada notación científica.

Para expresar un número en notación científica identificamos la coma

decimal (si la hay) y la desplazamos hacia la izquierda si el número a

convertir es mayor que 10, en cambio, si el número es menor que 1 (empieza

con cero coma) la desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea

necesario para que (en ambos casos) el único dígito que quede a la

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izquierda de la coma esté entre 1 y 9 y que todos los otros  dígitos aparezcan

a la derecha de la coma decimal.

Es más fácil entender con ejemplos:

732,5051  = 7,325051 • 102  (movimos la coma decimal 2 lugares hacia la

izquierda)

−0,005612  =  −5,612 • 10−3  (movimos la coma decimal 3 lugares hacia la

derecha).

Nótese que la cantidad de lugares que movimos la coma (ya sea a izquierda

o derecha) nos indica el exponente que tendrá la base 10 (si la coma la

movemos dos lugares el exponente es 2, si lo hacemos por 3 lugares, el

exponente es 3, y así sucesivamente.

Nota importante:

Siempre que movemos la coma decimal hacia la izquierda el

exponente de la potencia de 10 será positivo.

Siempre que movemos la coma decimal hacia la derecha el

exponente de la potencia de 10 será negativo.

Otro ejemplo, representar en notación científica: 7.856,1

1. Se desplaza la coma decimal hacia la izquierda, de tal manera que antes

de ella sólo quede un dígito entero diferente de cero (entre 1 y 9), en este

caso el 7.

7,8561

La coma se desplazó 3 lugares.

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2. El número de cifras desplazada indica el exponente de la potencia de diez;

como las cifras desplazadas son 3, la potencia es de 103.

3. El signo del exponente es positivo si la coma decimal se desplaza a la

izquierda, y es negativo si se desplaza a la derecha. Recuerda que el signo

positivo en el caso de los exponentes no se anota; se sobreentiende.

Por lo tanto, la notación científica de la cantidad 7.856,1 es:

7,8561 • 103

Operaciones con números en notación científica

Multiplicar

Para multiplicar se multiplican las expresiones decimales  de las

notaciones científicas y se aplica producto de potencias para las potencias

de base 10.

Ejemplo:

(5,24  • 106) • (6,3  •  108)  = 5,24 • 6,3  • 106 + 8  = 33,012 •  1014  =  3,301215

Veamos el procedimiento en la solución de un problema:

Un tren viaja a una velocidad de 26,83 m/s, ¿qué distancia recorrerá en

1.300 s?

1. Convierte las cantidades a notación científica.

26,83 m/s  = 2,683 • 101  m/s

1.300 s  = 1,3 • 103  s

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2. La fórmula para calcular la distancia indica una multiplicación: distancia

(d)  = velocidad (V)  x tiempo (t).

d = Vt

Reemplazamos los valores por los que tenemos en notación científica

d = (2,683 • 101  m/s) • (1,3 • 103 s)

3. Se realiza la multiplicación de los valores numéricos de la notación

exponencial,

(2,683 m/s) x 1,3 s  =  3,4879 m.

4. Ahora multiplicamos las potencias de base 10. Cuando se realiza una

multiplicación de potencias que tienen igual base (en este caso ambas son

base 10) se suman los exponentes.

(101) • (103)  = 101+3  =  104

5. Del procedimiento anterior se obtiene:

3,4879  •  104

Por lo tanto, la distancia que recorrería el ferrocarril sería de

3,4879  • 104  m

La cifra 3,4879 •  10 elevado a 4 es igual a 34.879 metros. 

Dividir

Se dividen las expresiones decimales de las notaciones científicas y

se aplica división de potencias para las potencias de 10. Si es necesario, se

ajusta luego el resultado como nueva notación científica.

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Hagamos una división:

(5,24  • 107)

(6,3  •  104)=

(5,24  ÷ 6,3) • 107−4 = 0,831746 • 103 = 8,31746 • 10−1

• 103 = 8,31746 • 102

 Suma y resta 

Si tenemos una suma o resta (o ambas) con expresiones en notación

científica, como en este ejemplo: 

5,83 • 109 − 7,5 • 1010  +  6,932 • 1012  = 

Lo primero que debemos hacer es factorizar, usando como factor la más

pequeña de las potencias de 10, en este caso el factor será 109 (la potencia

más pequeña), y factorizamos:

109 (5,83  − 7,5 • 101  + 6,932 • 103) = 109 (5,83  −  75  +  6932)  = 6.862,83 •

109

Arreglamos de nuevo el resultado para ponerlo en notación científica y nos

queda:

6,86283 • 1012,  si eventualmente queremos redondear el número con solo

dos decimales, este quedará 6,86 • 1012.

Ver: PSU: Matemática, Pregunta 06

Potenciación

Si tenemos alguna notación científica elevada a un exponente, como

por ejemplo:

(3 • 106)2

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¿Qué hacemos?

Primero elevamos (potenciamos) el 3, que está al cuadrado (32) y en

seguida multiplicamos los exponentes pues la potencia es (106)2, para quedar

todo:

9 • 1012

Ejemplo:

La masa del Sol en kilogramos es expresar este número en notación

científica, basta con contar los dígitos que hay a la derecha del 1, que son 30

en total, y se escribe:

El número de moléculas en 22,4 litros de un gas es:

es decir, .

Qué es una fórmula y para qué sirve

Una fórmula es un tipo especial de ecuación que muestra la relación

entre diferentes variables (una variable es un símbolo que representa un

número que no conocemos todavía).

En la matemática, la fórmula es la modalidad sintáctica formal que

expresa una proposición de esta ciencia. Las fórmulas matemáticas más

comunes son las que se componen de símbolos constantes, símbolos de

funciones y símbolos de relación.

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Otro caso muy común de fórmula es el caso de la magistral, aquella

que se utiliza en la preparación de compuestos farmacéuticos. Este tipo de

medicamentos se destinan a pacientes individuales por sus condiciones o

necesidades especiales. El compuesto se prepara por un farmacéutico

acreditado, y debe cumplir con una prescripción facultativa de las sustancias

medicinales que lo componen, las normas técnicas y científicas acatadas y

debe además ser provisto en una farmacia con la debida autorización e

información al comprador.

Estas fórmulas sólo pueden ser llevadas a cabo por un profesional

farmacéutico, y constituyen uno de los aspectos más claves de su profesión.

El medicamento que surge como resultado está hecho a la medida del

paciente, en ocasiones por padecer de alguna afección rara o poco frecuente

para la que los medicamentos no se consiguen con facilidad.

Ejemplo: La fórmula para calcular el volumen de una caja es

V = lpa

V significa volumen, l longitud, p profundidad y a altura.

Si l=5, p=10 y a=4, entonces V = 5×10×4 =

200

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Análisis Dimensional

Una útil herramienta de la mecánica de fluidos moderna, que está

cercanamente relacionada con el principio de similitud, es el campo de las

matemáticas conocido como análisis dimensional - las matemáticas de las

dimensiones de las cantidades. Aunque se puede argumentar con éxito que

la similitud y el análisis dimensional son de hecho idénticos, ya que implican

las mismas cosas y con frecuencia conducen a los mismos resultados, sus

métodos son lo suficientemente diferentes para justificar el tratamiento de los

mismos como tópicos diferentes.

Los métodos del análisis dimensional se basan sobre el principio de la

homogeneidad dimensional de Fourier (1822), el cual establece que una

ecuación que expresa una relación física entre cantidades debe ser

dimensionalmente homogénea; esto es, las dimensiones de cada lado de la

ecuación deben ser las mismas.

La investigación adicional de este principio revelará que el mismo

proporciona un medio de determinar las formas de las ecuaciones físicas, a

partir del conocimiento de las variables principales y de sus dimensiones.

Aunque no se puede esperar que las manipulaciones dimensionales

produzcan soluciones analíticas de los problemas de física, el análisis

dimensional provee una poderosa herramienta en la formulación de

problemas que desafían la solución analítica y que deben ser resueltos

experimentalmente. En este caso, el análisis dimensional entra en su

propiedad señalando el camino hacia un máximo de información, a partir de

un mínimo de experimentación. Logra lo anterior por medio de la formación

de grupos adimensionales, algunos de los cuales son idénticos con las

relaciones de fuerzas desarrolladas con el principio de similitud.

Para ilustrar los pasos matemáticos en un problema dimensional

sencillo, considérese la familiar ecuación de la estática de fluidos,

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                                p = γh

Pero supóngase que se conocen las dimensiones de γ y de h, y que las de p

son desconocidas. Las dimensiones de p sóIo pueden ser alguna

combinación de M, L, y T, y esta combinación puede descubrirse escribiendo

la ecuación dimensionalmente como

 (Dimensiones de p) = (Dimensiones de γ) * (Dimensiones de h)

0 en la cual a, b, y c son desconocidas. Al aplicarse el principio de la

homogeneidad dimensional, el exponente de cada una, de las dimensiones

fundamentales es el mismo en cada lado de la ecuación, lo que da

                     a = 1, b =-2+ 1 = -1, c=-2

 (Dimensiones de p) = ML-1T-2 = M/LT2

Es obvio, Por supuesto que este resultado podría haberse obtenido

más directamente por la cancelación de L en el miembro derecho de la

ecuación, ya que este ha sido, y continuara siéndolo, el método más usual de

obtener las dimensiones desconocidas de una cantidad.

  Para ilustrar otro ejemplo familiar, supóngase que se sabe que la

potencia, p que se puede extraer de una turbina hidráulica dependedle

régimen de flujo de la máquina Q, del peso específico del fluido circulante, γ,

y de la energía mecánica unitaria, E, que cada unidad de peso proporciona al

pasar a través de la máquina. Supóngase que es desconocida la relación

entre estas cuatro variables, pero se sabe que estás son las únicas variables

implicadas.  Con este escaso conocimiento, se puede hacer la siguiente

afirmación matemática:

P = f (Q, γ, E)

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 Es aparente por el principio de la homogeneidad dimensional que las

cantidades implicadas no se pueden sumar o sustraer, ya que sus

dimensiones son diferentes. Este principio limita la ecuación a una

combinación de productos de las potencias de las cantidades implicadas, la

que se puede expresar en la forma general

  P = C Qa γb Ec

 En la cual C es una constante adirnensional que puede existir en la ecuación

pero que, por supuesto, no se puede obtener por los métodos dimensionales.

Escribiendo la ecuación en forma dimensional se obtienen las siguientes

ecuaciones en los exponentes de las dimensiones:

M: 1 = b a= 1, b = 1

L: 2=3a-2b+c

T: -3=-a-2b

De donde.

a=1 b=1 c=1

y la resustitucion de estos valores en la ecuación anterior de P, da

  P = CQγE

La magnitud de C se puede obtener, ya sea a partir de un análisis

físico del problema o a partir de mediciones experimentales de P, Q, γ, y E.

De los problemas anteriores parece que en el análisis dimensional (de,

problemas de mecánica) sólo se pueden escribir tres ecuaciones, ya que

sólo existen tres dimensiones fundamentales independientes: M, L y T. Este

hecho limita la plenitud con la que se puede resolver un problema de más de

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tres incógnitas, pero no limita la utilidad del análisis dimensional para obtener

la forma de los términos de la ecuación.

  El método del análisis dimensional de Raleigh fue mejorado por

Buckingham con una amplia generalización que se conoce como el

Teorema-Π. Buckingham demostró que si n variables (tales como D, l, p, μ V

son funciones una de otra, se pueden escribir k ecuaciones (en donde k es el

número de dimensiones independientes de sus exponentes. El análisis

dimensional reunirá las variables en (n-k) grupos adimensionales que estén

funcionalmente relacionados. Buckingham designó estos grupos

adimensionales con la letra griega (mayúscula) Π. El teorema de Π ofrece

considerable ventaja sobre el estudio de Raleigh, en que muestra antes del

análisis cuántos grupos pueden esperarse y permite al ingeniero mayor

flexibilidad en la formulación de los números (en particular si ya se sabe que

ciertos grupos, por ejemplo, las relaciones entre fuerzas, son pertinentes).

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CONCLUSION

La medición y la formula es una ecuación que relaciona constantes o

variables matemáticas y que se expresa mediante una matemática. Existen

fórmulas para el cálculo de las áreas de los polígonos regulares. Sistema

Internacional de unidades y También conocido como sistema métrico,

establece las unidades que deben ser utilizadas internacionalmente y por la

cual las cifras significativas representan el uso de una o más escalas de

incertidumbre en determinadas aproximaciones; por otra parte la notación

científica es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos y

representar en forma concisa números muy grandes o muy pequeños como

así los podemos multiplicar, dividir sumar y restar, también podemos decir,

que una fórmula es un tipo especial de ecuación que muestra la relación

entre diferentes variables (una variable es un símbolo que representa un

número que no conocemos todavía). Los métodos del análisis dimensional

se basan sobre el principio de la homogeneidad dimensional de Fourier

(1822), el cual establece que una ecuación que expresa una relación física

entre cantidades.

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