UNIVERSIDAD TCNICA DE COTOPAXI.

CIYA

Operacin DE SEP

DOCENTE:

ING. Xavier Proao

ALUMNO:

EDWIN FAZ

DANIEL MEJA

EDWIN VELASCO

VIGTOR YUGCHA

CICLO:

OCTAVO ELCTRICA

FECHA:

29 12 2014

LATACUNGA - COTOPAXI

ECUACIN DE OSCILACIN DEL GENERADOR Y MTODOS DE

SOLUCIN.

OBJETIVO GENERAL:

Conocer las ecuaciones de oscilacin del generador y los mtodos de solucin

mediante la investigacin y lectura cientfica, para de esta manera dar soluciones

correctas y rpidas en los sistemas elctricos.

OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Definir sobre las ecuaciones de oscilacin del generador.

Identificar los mtodos de solucin de las ecuaciones de oscilacin del

generador.

Determinar el mtodo ms exacto y recomendado de los cuatro mtodos a

analizar.

RESUMEN EJECUTIVO:

En el trabajo a continuacin detallado presentaremos un trabajo investigativo donde

daremos a conocer sobre las ecuaciones de oscilacin del generador y sus mtodos

de solucin los cuales nos ayudaran a identificar el comportamiento de cada uno de

los generadores en anlisis.

En el informe presentado se detalla sobre la ecuacin de oscilacin en generadores

los cuales analizan cmo se comporta el rotor y otros componentes con los diversos

mtodos que existen para identificar cada uno de los parmetros para de esta manera

identificar si su funcionamiento es el acorde con lo establecido o caso contrario dar

solucin inmediata.

Los mtodos de solucin de las ecuaciones de oscilacin en generadores son el

Punto a Punto, Euler, Euler Modificado, Runge-Kutta y el Mtodo de la Regla

Trapezoidal.

MARCO TEORICO:

ECUACIN DE OSCILACIN DEL GENERADOR.

El comportamiento de cada generador se describe mediante una ecuacin diferencial,

denominada ecuacin de oscilacin.

El anlisis de estabilidad transitoria en un sistema elctrico de potencia se realiza

mediante la solucin de las ecuaciones de oscilacin de las mquinas del sistema.

Debido a la no linealidad de dicho conjunto de ecuaciones diferenciales, resulta

imposible una solucin cerrada, por lo cual se han aplicado mtodos numricos de

prediccin.

La ecuacin de oscilacin de la mquina, es la ecuacin fundamental que gobierna la

dinmica rotacional del generador sncrono en los estudios de estabilidad. Se observa

que esta ecuacin es diferencial de segundo orden que se puede escribir como dos

ecuaciones diferenciales de primer orden.

Bajo condiciones normales de operacin, el ngulo relativo entre el eje del rotor y el eje

del campo magntico giratorio resultante, se mantiene fijo. A este ngulo se lo

denomina ngulo de torque.

Ante una perturbacin el rotor se acelera o se desacelera con respecto a este campo

magntico giratorio producindose un movimiento relativo, descrito a travs de la

ecuacin de oscilacin que es la forma:

En que, TM Y PM son el torque y la potencia mecnica desarrollados por la turbina de

accionamiento del generador, TE y PE son el torque y la potencia electromagntica

desarrollados por el generador y M es la constante de aceleracin angular relacionada

con el momento de inercia J de las partes rotatorias, las constante de inercia H y la

frecuencia f a travs de las expresiones:

P es el nmero de pares de los polos tal que =p E [ elctricos] que corresponde a lo

que a continuacin se esquematiza:

La ecuacin de oscilacin gobierna el movimiento del rotor de una maquina

relacionando el torque de inercia a la resultante de los torques mecnico y elctrico en el

rotor, esto es:

= [. ]

Donde J es el momento de inercia en Kg.m2 de todas las masas rotativas conectadas al

eje; es el ngulo mecnico del eje en radianes, con respecto a una referencia fija; y

es el torque acelerante en newton-metros actuando en el eje.

La ecuacin de oscilacin para cada mquina se puede resolver por diversos mtodos

numricos, los cuales permiten resolver numricamente la ecuacin a partir de la

solucin de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, tal como se indica a

continuacin:

Ecuaciones de oscilacin en un sistema multigenerador.

Consideremos un SEP alimentado por m generadores como se indica en la Figura 6.6,

donde se supone que las reactancias transientes de los generadores estn incluidas en la

red pasiva del sistema.

Empleando el mtodo nodal de resolucin de circuitos, para la red de un SEP de m

barras (nudos) se puede escribir:

Donde: [IB] es el vector de corriente inyectadas en las barras: [EB] vector de voltaje de

barra e [YB] es la matriz de admitancia de barras, que se pueden escribir como:

Considerando las ecuaciones (6.17) a (6.20), se puede escribir:

por lo tanto, la potencia compleja suministrada por el i-simo generador es:

Suponiendo que:

Se tiene que:

De donde:

Es decir, la potencia suministrada a la red por una unidad cualquiera, depende de las

posiciones angulares j de todo el resto de los generadores, adems de la propia i,

ambas funciones del tiempo. La admitancia Yij sufre cambios discontinuos debido a los

cambios topologa de la red (prefalla, en falla, falla despejada, reconexin, etc.)

En el clculo de Pgi se ha supuesto que las velocidades de las mquinas permanecen

constantes, en consecuencia se tendr un sistema de ecuaciones diferenciales

simultneas de la forma:

MTODOS DE SOLUCIN.

Existen diferentes mtodos para la evaluacin numrica de las ecuaciones de oscilacin

tales como el Punto a Punto, Euler, Euler Modificado, Runge-Kutta y el Mtodo de la

Regla Trapezoidal, etc. Todos estos mtodos son esencialmente procedimientos

iterativos, adems, son prcticos solamente cuando se emplean computadoras,

especialmente cuando se estudian sistemas de gran tamao.

En todos los casos, se trata de determinar en funcin de t, graficando la respuesta y de

esta forma determinar si el sistema es estable o no.

MTODO PASO A PASO.

El mtodo paso a paso fue desarrollado para aplicarlo en

un Analizador de Redes y clculos a mano, es mucho

ms simple que alguno de los mtodos utilizados para

clculos en computadora, como los mtodos de Euler o

Runge-Kutta. En este mtodo el cambio en la posicin

angular del rotor durante un corto intervalo de tiempo se

calcula bajo las siguientes suposiciones:

1. La potencia de aceleracin Pa calculada al

principio de un intervalo, es constante desde la mitad

del intervalo que le precede hasta la mitad del intervalo considerado.

2. A lo largo de cualquier intervalo, la velocidad angular es constante e igual al

valor calculado en la mitad del intervalo.

La figura (2.8) ayuda a visualizar estas suposiciones y determina el procedimiento para

calcular el valor del ngulo en cada intervalo.

Las consideraciones realizadas asumen un movimiento circular uniformemente variado

(MCUV) en donde:

De la figura 2.7 (b) se escribe la aceleracin angular en trminos de las velocidades

angulares evaluadas en la mitad de los intervalos:

De la figura (c), haciendo uso de la relacin entre la variacin del ngulo y la

velocidad angular en el movimiento circular uniforme (MCU), se escriben las

siguientes relaciones.

Al despejar las variaciones angulares y realizar la operacin se tiene la

siguiente ecuacin:

De la cual, despajando se obtiene:

De la ecuacin de oscilacin se tiene que:

Remplazando esto en la ecuacin se obtiene:

Para expresar el ngulo en grados elctricos se tiene que

Finalmente, las ecuaciones que permite calcular el valor de n en un intervalo son:

Mtodo punto a punto (Solucin por partes): Es un mtodo simple, que permite

realizar clculos a mano y por lo tanto es aplicable slo a sistemas pequeos. Se divide

el tiempo total de estudio en n intervalos de duracin t segundos cada uno, tal como

se indica en la Figura 6.18. Generalmente se utiliza un t = 0,05 segundos y el clculo

se hace bajo las siguientes suposiciones:

La potencia de aceleracin determinada al comienzo de un intervalo, es

constante desde la mitad del intervalo anterior hasta la mitad del intervalo

considerado. En algunos casos, en vez de la potencia de aceleracin se emplea la

aceleracin angular.

La velocidad angular es constante en cada intervalo e igual al valor calculado

para la mitad del mismo.

Por supuesto, ninguna de las condiciones anteriores es exacta ya que est cambiando

continuamente y tanto Pa como ' son funciones de . A medida que el intervalo de

tiempo disminuye, la curva de oscilacin calculada de esta forma se hace ms exacta.

La Figura 6.18 ayuda a visualizar estas suposiciones. La potencia de aceleracin se

calcula en los puntos encerrados en crculos en los extremos de los intervalos n-2, n-1 y

n, que son los comienzos de los intervalos n-1, n y n+1 respectivamente. La velocidad

angular ' corresponde a d/dt, es decir al exceso de la velocidad angular de la mquina,

sobre la velocidad sncrona s. Entre las ordenadas n-3/2 y n-1/2 hay un cambio de

velocidad originado por la potencia de aceleracin constante.

El cambio de velocidad es igual al producto de la aceleracin por el intervalo de tiempo:

La variacin del ngulo en un intervalo cualquiera es igual al producto de la velocidad

' en el intervalo por el tiempo. As, el cambio de durante el intervalo n-1 es

y durante el intervalo n

Restando (6.37) a (6.38) e introduciendo el resultado en (6.36), se obtiene:

Luego:

La ecuacin (6.40) permite obtener como funcin del tiempo o sea corresponde a la

solucin paso a paso de la ecuacin de oscilacin. Por otra parte, la velocidad ' se

puede determinar a partir de (6.39), dividiendo por t y se obtiene:

Discontinuidad en la potencia de aceleracin: Cuando ocurre una falla, se produce una

discontinuidad en la potencia de aceleracin Pa que tiene un valor cero antes de la falla

y un valor distinto de cero despus de sta. Esta discontinuidad ocurre al comienzo del

fenmeno (cuando t = 0). Lo mismo sucede cuando se producen aperturas de

interruptores, reconexiones, etc. Teniendo en cuenta que este mtodo supone que la

potencia de aceleracin calculada al comienzo del intervalo es constante desde la mitad

del intervalo anterior hasta la mitad del intervalo que est siendo considerado y que en

este caso se tiene dos valores distintos para la potencia acelerante, se debe tomar el

valor promedio de estos valores como la potencia acelerante constante. En general, para

una discontinuidad en un tiempo t se tiene:

En el caso en que la discontinuidad ocurra en el punto medio del intervalo no hay

necesidad de emplear (6.42) pues el mtodo contempla una discontinuidad justamente

en ese punto. En otro caso, conviene aproximar al ms cercano, esto es, al comienzo o al

medio del intervalo, segn corresponda.

MTODO DE EULER O DE LAS TANGENTES

Constituye un algoritmo relativamente sencillo y didctico aunque poco preciso, se basa

en el uso de la derivada de una funcin evaluada en un punto de operacin.

La ecuacin de oscilacin expresada como dos ecuaciones diferenciales de primer orden

se representa por (2.74) y (2.75):

De donde es posible linealizar el recorrido de la curva por medio de intervalos de

tiempo t pequeos de tal manera que pueda asumirse que:

La determinacin del valor de las variables , , Pe se consigue al recorrer una distancia

corta (t) por la lnea tangente, obteniendo de esta manera un punto cercano de la curva

de solucin de cada una de las variables. El proceso es repetido en el nuevo punto, el

subndice j indica el nmero de intervalos t calculados, de esta manera las frmulas

para las iteraciones son:

El hecho de calcular , y Pe al final del intervalo en funcin de la derivada al

comienzo del mismo hace que el mtodo sea poco preciso, cuando

y

cambian con

rapidez dentro del intervalo, como se aprecia en la figura (2.8).

MTODO DE EULER MODIFICADO:

En este mtodo, la ecuacin diferencial

= () se resuelve utilizando la expresin:

donde y*i+1 es un valor auxiliar que corresponde a una prediccin del valor de yi+1, que

se obtiene utilizando la frmula de Euler, ecuacin (6.43). El valor yi+1 de (6.47) es el

valor mejorado o corregido. Aplicado al problema dado por (6.45), la predicin se

obtienen usando (6.46) y luego se aplica (6.48):

MTODO RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN.

Este mtodo es uno de los ms difundidos y a la vez ms exactos en la solucin de

ecuaciones diferencies no lineales. El mtodo calcula el valor de la variable al final del

intervalo en funcin del valor conocido al inicio del mismo, y de un promedio

ponderado entre dicho valor y algunas estimaciones para puntos intermedios, suposicin

que mejora bastante la precisin, permitiendo alargar el intervalo de integracin t con

lo cual se reduce el nmero de veces que hay que resolver las ecuaciones elctricas

algbricas del sistema.

El mtodo de Runge-Kutta se apoya en la simplificacin del desarrollo en serie de

Taylor, motivo por el cual es posible considerarlo como un promedio ponderado de

cuatro pendientes por cada intervalo t y cada variable, en este caso , Pe y .

El clculo de los promedios de las pendientes es realizado por las siguientes ecuaciones:

Las pendientes D y W son calculadas de la siguiente manera:

CONCLUSIONES:

Las ecuaciones de oscilacin de los generadores nos permiten determinar el

comportamiento de los mismos, de esta manera dando un anlisis de estabilidad

o inestabilidad en el sistema con ello dando pronsticos de cmo se encuentra

dicho sistema

Los mtodos de solucin de las ecuaciones de oscilacin del generador son el

Punto a Punto, Euler, Euler Modificado, Runge-Kutta y el Mtodo de la Regla

Trapezoidal entre otros.

El mtodo ms exacto y recomendado para estos anlisis es el Runge-Kutta.

RECOMENDACIONES:

Recomendamos identificar la funcin que cumplen las ecuaciones de oscilacin

en los generadores y aplicabilidades caso contrario no podremos realizar un

correcto anlisis.

Recomendamos conocer los mtodos de solucin de las ecuaciones de oscilacin

del generador de forma correcta y clara.

Recomendamos saber cul de los mtodos es el ms exacto para hacer un

correcto anlisis del sistema.

BIBLIOGRAFA:

Peralta H, (2004), Power system , Disponible en:

http://biblioteca.cenace.org.ec/jspui/bitstream/123456789/826/21/Estabilidad%20Tra

nsitoria%20A.pdf

Anlisis de estabilidad transiente en un SEP, Disponible en:

http://www.cib.espol.edu.ec/Digipath/D_Tesis_PDF/D-4451.pdf

Anderson, (2012), Algoritmo de estabilidad, Disponible en:

http://tesis.ula.ve/pregrado/tde_arquivos/9/TDE-2012-09-19T01:47:54Z-

1646/Publico/gomezana_parte2.pdf

HERNANDEZ Franciso, (2000), Ecuaciones de oscilacin, Disponible en:

http://www.academia.edu/7584549/CAPITULO_6_ESTABILIDAD_6.1

VILLACRESES Schuberth, (2012), Estabilidad en generadores, Disponible en:

http://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/4910/1/Medici%C3%B3n%20del%20%C

3%81ngulo%20de%20Potencia%20de.pdf

JAGB, (2010), Estabilidad es un SEP, Disponible en:

http://www.eueti.uvigo.es/files/material_docente/268/estabilidadtransitoriadelta.pdf

Snchez Fernando, (2007), Oscilaciones en sistemas de potencia, Disponible en:

http://cdigital.dgb.uanl.mx/te/1080072465.pdf

LEDESMA Pablo, (2008), Estabilidad, Disponible en: http://ocw.uc3m.es/ingenieria-

electrica/operacion-y-control-de-sistemas-electricos/II_OCSE_EST.pdf