TRABAJO FIN DE ESTUDIOS

Matemáticas y ajedrez

Raquel Villar Pajares

MÁSTER UNIVERSITARIO EN PROFESORADO DE ESO, BACHILLERATO, FPY ENSEÑANZA DE IDIOMAS

Tutor: Clara Jiménez GestalFacultad de Letras y de la Educación

Curso 2010-2011

MATEMÁTICAS

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2012

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Matemáticas y ajedrez, trabajo final de estudiosde Raquel Villar Pajares, dirigido por Clara Jiménez Gestal (publicado por la Universidad

de La Rioja), se difunde bajo una LicenciaCreative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.Permisos que vayan más allá de lo cubierto por esta licencia pueden solicitarse a los

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Matemáticas

y

Ajedrez.

Raquel Villar Pajares

Trabajo Fin de Master-Curso 2010/2011

Índice.

1. Marco teórico de los procesos enseñanza-aprendizaje en las Matemáticas....pág. 1-13

1.1. Marco teórico general............................................................................pág. 1-7

1.1.1. Idea inicial................................................................................pág. 1

1.1.2. Elementos del proceso.............................................................pág. 1-2

1.1.3. Pautas previas..........................................................................pág. 3-4

1.1.4. Organización del proceso enseñanza-aprendizaje................pág. 4

1.1.5. Selección de medios y recursos...............................................pág.5

1.1.6. Proceso de aprendizaje cognitivo...........................................pág. 5-7

1.2. Marco teórico en las Matemáticas........................................................pág. 7-13

1.2.1. Antecedentes en la investigación............................................pág. 8-9

1.2.2. Desarrollo del pensamiento matemático de los niños..........pág. 9-11

1.2.3 Tipos de competencia matemática..........................................pág. 11

1.2.4 Aproximaciones al estudio del desarrollo de conceptos matemáticos..11-12

1.2.5 Dificultades en el aprendizaje de las Matemáticas...............pág. 12-14

2. Elementos fundamentales de la Memoria de Prácticas.....................................pág. 14-52

2.1 Unidad Didáctica.....................................................................................pág. 14-50

2.2 Reflexión y conclusiones.........................................................................pág. 50-52

3. Proyecto de Innovación Educativa......................................................................pág. 53

3.1 Problema............................................................................................pág. 53-54

3.2 Exploración........................................................................................pág. 54-55

3.3 Fundamenación.................................................................................pág. 55-59

3.4 Trabajo de campo..............................................................................pág. 59-72

3.5 Innovación..........................................................................................pág. 72-75

3.5.1 Objetivos..............................................................................pág. 72

3.5.2 Metodología........................................................................pág. 73-74

3.5.3 Evaluación..........................................................................pág. 74-75

3.5.4 Anexo...................................................................................pág. 76

4. Bibliografía............................................................................................................pág. 77

1. Marco teórico de los procesos de enseñanza-aprendizaje enlas Matemáticas.

1.1 Marco teórico general.

1.1.1 Idea inicial.

Enseñanza y aprendizaje son conceptos que forman parte de un único proceso que tiene

como fin la formación del estudiante. La referencia etimológica de ambos términos puede servirnos

de apoyo inicial: Enseñar es instruir, amaestrar, señalar algo a alguien. No es enseñar cualquier

cosa, es mostrar lo que se desconoce. Por otra parte, el término aprender hace referencia a la

adquisición del conocimiento de algo por medio del estudio o de la experiencia.

1.1.2 Elementos del proceso.

Podemos distinguir por tanto dentro del proceso a un sujeto que conoce (el que puede

enseñar), y otro que desconoce (el que puede aprender). El primero se trata del profesor, el cual no

sólo debe de poder enseñar, también tiene que querer y sabe hacerlo. El segundo es el alumno, que

no sólo debe de poder aprender, si no que además debe de querer y saber cómo hacerlo. Por tanto,

es necesario que exista una disposición previa por parte de ambos.

Los contenidos que se transmiten, aquello que quiere enseñarse y aprenderse, son los

elementos curriculares, y el conjunto de herramientas y procedimientos empleados para ello

quedan definidos como los medios.

El fin o la meta fijada que se desea alcanzar cuando se enseña algo son los objetivos, los

cuales quedan enmarcados bajo ciertas condiciones físicas, sociales y culturales, que conforman el

contexto del proceso enseñanza-aprendizaje.

De acuerdo con lo expuesto, consideraremos el proceso de enseñar como el acto mediante

el cual el profesor, el cual no debe de ser considerado como mera fuente de información si no como

un catalizador que motive e incremente las posibilidades de éxito del proceso, muestra o suscita

contenidos educativos (conocimientos, habitos, habilidades) al alumno, a través de unos medios, en

función de unos objetivos y dentro de un contexto.

Por otra parte, el proceso de aprender es el proceso complementario Aprender es el acto

por el cual un alumno intenta captar y elaborar los contenidos expuestos por el profesor, o por

cualquier otra fuente de información, a través de unos medios (técnicas de estudio o de trabajo

intelectual). Este proceso de aprendizaje es realizado en función de unos objetivos, que pueden o no

identificarse con los del profesor y se lleva a cabo dentro de un determinado contexto.

El siguiente esquema recoje una visión general de los elementos definidos en torno a ambos

procesos, que unidos en uno solo forman el proceso de enseñanda-aprendizaje:

1.1.3 Pautas previas.

Para poder llevar a cabo con éxito el proceso de enseñanza-aprendizaje, es necesario conocer

de antemano la situación real del alumno. Generalmente tendemos a suponer lo que el alumno sabe,

es y hace, por el hecho de pertenecer a un determinado curso, sin pararnos a pensar en que cada

alumno tiene una capacidad cognitiva, una forma de comportarse y en definitiva una serie de

características que lo hace diferente a los demás, y por tanto único.

A la hora de enseñar, siempre tenemos que tener presente que los objetivos del aprendizaje

se fundamentan a partir de las conductas y las capacidades del alumno, y no en base a las

habilidades o conductas que posee por el mero hecho de encontrarse en un nivel académico u otro.

Cuanto mayor y más preciso sea el conocimiento, más acertadas serán las decisiones tomadas

durante el proceso.

Definir lo que se quiere conseguir del alumno no es tarea fácil. Para ello hay que tener

claro qué es lo que se quiere conocer, y debe de ser la primera actividad de quien programa la

acción educativa directa, convertir las metas imprecisas en conductas observables y evaluables. Es

la forma óptima de medir la distancia que debemos cubrir entre lo que el alumno es y lo que debe

ser, organizando de forma sistemática los aprendizajes mediante la formulación de los objetivos a

alcanzar, de forma que una vez llevado a cabo el proceso de aprendizaje podamos observar si

realmente tuvo efecto y en qué medida

Una vez definidas las distintas conductas a alcanzar por el alumno, es fundamental

ordenarlas de forma secuencial, en vistas a establecer un aprendizaje que siga un desarrollo

lógico en el espacio y en el tiempo.

A partir de aquí, formularemos los objetivos, los cuales son imprescindibles para llevar a

cabo la programación de un proceso de aprendizaje, ya que nos permite fijar la conducta final en

términos operativos con claridad, da la posibilidad al propio alumno de conocer lo que se espera de

él, lo cual sirve como elemento motivador y centra de alguna manera su esfuerzo y dedicación, y es

la única forma consistente de que el profesor y el alumno puedan en cualquier momento observar y

evaluar los logros conseguidos y en qué fase del proceso enseñanza-aprendizaje se encuentran.

1.1.4 Organización del proceso de aprendizaje.

Para poder programar el proceso de aprendizaje es necesario tener claros los recursos

económicos, medios, espacio, tiempo y por supuesto seres humanos de los que se dispone,

entendiendo a estos últimos no sólo como personas físicas que parten de un nivel académico

determinado, si no como seres diferentes entre sí.

El número de alumnos óptimo para llevar a cabo el proceso en las matemáticas es variable y

difícil de fijar. Habrá actividades para las que lo ideal sería disponer de una atención

individualizada, otras requerirán trabajo en grupos reducidos y otras, de carácter más teórico,

podrán elaborarse de forma satisfactoria simultáneamente a toda la clase. Por ello es necesario

definir previamente las actividades que se llevarán a cabo y en base a estas establecer los grupos

óptimos para el desarrollo de las mismas.

En un proceso de interacción profesor-alumno, los roles de ambos deben poder cambiar de

forma flexible. La idea tradicional del profesor que imparte conocimientos y el alumno que recibe

pasivamente evoluciona hacia una multiplicidad de actividades que requieren un cambio de actitud

en los participantes.

La importancia de la motivación en el proceso de aprendizaje está más que demostrada. Es

indispensable organizar las actividades del mismo con la idea de conseguir despertar el interés del

alumno, para que éste se centre y le dedique un esfuerzo mayor, y en consecuencia obtenga mejores

resultados.

1.1.5 Selección de medios y recursos.

A la hora de elegir los medios y recursos que se van a emplear durante el proceso de

enseñanza-aprendizaje, bien para transmitir determinados contenidos, para utilizarlos como

actividad práctica o para emplearlos como instrumento de evaluación, los medios que se

seleccionan deben permitir obtener el tipo de respuesta esperado en el alumno para comprobar si se

han alcanzado los objetivos previstos. Además deben de ser adecuados al propósito para el que se

transmiten los datos, y ajustables a las limitaciones del medio en el que se van a emplear (personal,

tiempo, materiales...).

1.1.6 Proceso de aprendizaje cognitivo

Las corrientes cognitivas del aprendizaje, presentan el modo en el que se desarrolla el

aprendizaje individual, denominado Modelo de la teoría cognitiva, que viene representado en el

siguiente esquema:

Control ejecutivo: Aquello que hace referencia a los aprendizajes anteriores, a la retroalimentación,

al estudio de necesidades de los alumnos y de la sociedad, etc.

Entorno: Todo lo que envuelve el proceso educativo.

Receptores: Son los sentidos afectados por los estímulos exteriores que le permiten al sistema

nervioso recibir la información.

Registro sensorial: Donde se da la primera codificación, codificación simple o representación.

Memoria a corto plazo: Donde se da la segunda codificación o conceptualización.

Memoria a largo plazo: En ella se almacenan algunas de las representaciones yconceptualizaciones.

Recuperación: Proceso por el que sale a flote lo almacenado tanto en la memoria a corto plazo

como a largo plazo. Sin este proceso no podríamos tener ningún tipo de comportamiento.

Generador de respuestas: Los comportamientos, conocimientos y habilidades recuperadas que

pueden salir al exterior.

Efectores: Los sentidos que permiten que lo almacenado salga al exterior, manifestándose así los

comportamientos.

Proceso:Los estímulos afectan a los receptores entrando en el Sistema nervioso a través

del Registro sensorial. A partir de ahí se produce:

Primera codificación: Codificación simple es una mera Representación.

Segunda codificación: Conceptualización al entrar en Memoria a corto plazo.

Almacenamiento en la Memoria a largo plazo.

Recuperación: por parte de la Memoria a corto plazo.

Conductas: Paso al Generador de respuestas.

Etapas:

Motivación: Expectativa establecida previamente al aprendizaje.

Atención o percepción selectiva: Selección de los estímulos recibidos.

Repaso: Permanencia por más tiempo en la Memoria a corto plazo. Sirve para relacionar

una información con la precedente y posterior.

Codificación: Paso a la Memoria a largo plazo.

-Relacionar la nueva información con cuerpos informativos más amplios.

-Transformar la información en imágenes.

-Transformar las imágenes en conceptos.

Búsqueda y recuperación: El material almacenado se hace accesible volviendo a la

Memoria a corto plazo.

Transferencia del aprendizaje a nuevas situaciones.

Generación de respuestas: Los contenidos se transforman en actuaciones del que aprende.

Retroalimentación: El que aprende recibe información sobre su actuación. Si es positiva,

sirve de refuerzo.

1.2 Marco teórico en las Matemáticas.

Lo primero que debemos tener claro es que el objetivo del proceso enseñanza-aprendizaje de

las matemáticas no se limita a que los niños aprendan las cuatro reglas aritméticas básicas, trabajen

con las unidades de medida y conozcan los conceptos geométricos tradicionales, sino que sean

capaces de resolver problemas por sí mismos y empelar las nociones aprendidas y destrezas

matemáticas adquiridas en su vida cotidiana. Al margen de las dificultades que se les pueden

presentar a los alumnos con problemas o trastornos psicológicos como la discalculia a la hora de

aprender matemáticas, el fracaso escolar en esta materia es con diferencia de los más elevados en la

enseñanza en nuestro país.

Los alumnos tienden a sentir respeto, incluso rechazo, por la asignatura, considerándola en

muchas ocasiones la más difícil de todas las que tienen que superar. Para comprender la naturaleza

de las dificultades es necesario conocer cuáles son los conceptos y habilidades matemáticas que

deben ser consideradas básicas, cuál es la forma óptima de enseñarlos para que éstos sean

adquiridos por el alumno y qué procesos cognitivos subyacen a la ejecución matemática.

1.2.1 Antecedentes en la investigación.

A lo largo de la historia de la psicología, el estudio de las matemáticas se ha realizado desde

perspectivas muy diversas. Ya desde un periodo inicial se estableció un enfrentamiento entre los

partidarios de un aprendizaje de las habilidades matemáticas elementales basado en la práctica,

fijando su enseñanza en la mecánica del ejercicio continuo, y los que defendían el aprendizaje de

una serie de métodos de razonamiento básicos antes de pasar a la práctica, centrando así su

enseñanza en la comprensión de los conceptos.

Entre las diversas teorías desarrolladas sobre el proceso de enseñanza-aprendizaje

matemático, cabe destacar la Teoría del aprendizaje de Thorndike, basada en el asociacionismo, y

cuya ley del efecto fue de gran influencia para el diseño del currículo de las matemáticas

elementales en la primera mitad de este siglo, y las teorías conductistas, que defendían un

aprendizaje pasivo, producido por la repetición de asociaciones estímulo. A estas teorías se opuso

Browell, que defendía un aprendizaje cuyo objetivo principal debía centrarse en la comprensión y

no los procedimientos mecánicos. Por otra parte, Piaget, reaccionando también contra los

postulados asociacionistas, estudiando las operaciones lógicas que subyacen a muchas de las

actividades matemáticas básicas. Aunque no se centra en los problemas de aprendizaje de las

matemáticas, muchas de sus aportaciones siguen vigentes en la enseñanza de las mismas y

constituyen un legado que se ha incorporado al mundo educativo de manera consustancial. Sin

embargo, su afirmación de que las operaciones lógicas son un requisito previo para construir los

conceptos numéricos y aritméticos ha sido contestada desde planteamientos más recientes que

defienden un modelo de integración de habilidades, donde son importantes tanto el desarrollo de los

aspectos numéricos como los lógicos. Otros autores como Ausubel, Bruner Gagné y Vygotsky,

también se preocuparon por el aprendizaje de las matemáticas y por desentrañar que es lo que

piensan realmente los niños y adolescentes cuando llevan a cabo una actividad matemática.

1.2.2 Desarrollo del pensamiento matemático de los niños:

Durante mucho tiempo se ha creído que los niños pequeños carecen del pensamiento

matemático en esencia. Definiremos a continuación diferentes tipos de conocimiento en el campo

de la matemática:

Conocimiento intuitivo:

-Sentido natural del número: Para ver si un niño pequeño pude distinguir conjuntos de cantidades

distintas, se realiza un experimento que consiste en mostrar al niño 3 objetos. Pasado un tiempo, se

le añade o se le quita uno de ellos, y si el niño no presta atención será porque no se ha percatado de

la diferencia. Por el contrario, si se ha dado cuenta del cambio prestará más atención, respondiendo

al estímulo que le provoca la aparición o desaparición de algo. Tanto el alcance como la precisión

del sentido numérico de un niño pequeño son limitados. No son capaces de distinguir entre

conjuntos mayores como cuatro y cinco, en el sentido de que no son capaces de ordenarlos en

función de su magnitud, aunque si pueden hacer compraciones gruesas entre magnitudes.

-Nociones intuitivas de magnitud y equivalencia: El sentido numérico básico de los niños

constituye la base del desarrollo matemático. Cuando los niños comienzan a andar, no sólo

distinguen entre conjuntos de tamaño diferente sino que, como ya hemos mencionado, pueden hacer

comparaciones gruesas entre magnitudes. Ya a los dos años de edad aproximadamente, aprenden

palabras para expresar relaciones matemáticas que pueden asociarse a sus experiencias concretas.

Pueden comprender términos como "igual", "diferente" y "más". Respecto a la equivalencia, existen

investigaciones recientes que confirman que cuando a los niños se les pide que determinen cuál de

dos conjuntos tiene más, los niños de tres años de edad, los preescolares atrasados y los niños

pequeños de culturas no alfabetizadas pueden hacerlo de forma rápida y sin necesidad de contar.

-Nociones intuitivas de la adición y la sustracción: los niños reconocen muy pronto que añadir un

objeto a un conjunto hace que sea más y que quitar un objeto hace que sea menos. El problema

surge con la imprecisión de la aritmética intuitiva. Un niño pequeño cree que 5 + 4 es más que 9 + 2

porque para él se añaden más objetos en el primer caso que en el segundo.

Conocimiento informal:

Llega un momento en su etapa de desarrollo en el que los propios niños encuentran que el

conocimiento intuitivo, simple y llanamente, no es suficiente para abordar tareas cuantitativas. Por

tanto, se apoyan cada vez más en instrumentos más precisos fiables: numerar y contar. En realidad,

poco después de empezar a hablar, los niños comienzan a aprender los nombres de los números.

Hacia los dos años, emplean la palabra dos para designar todas las pluralidades; hacia los dos años y

medio, ya empiezan a utilizar la palabra tres para designar a muchos objetos. Por tanto, contar se

basa en el conocimiento intuitivo y lo complementa en gran parte. Así, descubren de forma natural

que las etiquetas numéricas como tres no están ligadas a la apariencia de conjuntos y objetos, y que

resultan útiles para especificar conjuntos equivalentes. Contar coloca el número abstracto y la

aritmética elemental al alcance del niño. Pero a medida que los números aumentan, el contar y la

aritmética informal se hacen cada vez menos útiles. Los métodos informales van siendo cada vez

más propensos al error.

Conocimiento formal:

La matemática formal ofrece mediante los símbolos escritos un medio para anotar números

grandes y trabajar con ellos. Así, es importante que los niños asimilen los términos de unidades,

decenas, centenas...fomentando el pensamiento abstracto y generando una forma eficaz de trabajar

con cantidades grandes.

1.2.3 Tipos de competencia matemática.

La mayor parte de las teorías psicológicas comparten el objetivo de comprender el

comportamiento del alumno a la hora de enfrentarse a las matemáticas, pero difieren en los niveles

de análisis que adoptan (que puede ser conductual, fisiológico y cognitivo) y en las tres áreas de

conducta (social, emocional e intelectual).

El alumno no puede dividirse física ni psicológicamente, por lo que deben intentar analizar

al mismo tiempo su estado social, emocional e intelectual, utilizando los tres niveles de análisis,

para poder comprender cómo se ha producido el aprendizaje o por qué se ha producido el no-

aprendizaje.

Cuando hablamos del aprendizaje matemático debemos distinguir entre los aspectos

computacionales de las matemáticas y los aspectos conceptuales. Asi, podemos diferenciar en la

competencia matemática tres componentes: aspectos procedimentales, aspectos conceptuales y

aspectos simbólicos.

1.2.4 Aproximaciones al estudio del desarrollo de conceptos matemáticos.

El lenguaje humano está íntimamente ligado a los conceptos y a la formación de los mismos,

por lo que un aspecto fundamental en ellos es su denominación. A los niños les cuesta

especialmente separar un concepto de su nombre. La diferenciaes se trata de algo esencial, aunque

no tan intuitivo en un primer momento para ellos como nos puede resultar a nosotros. Gran parte de

nuestro conocimiento cotidiano es aprendido directamente a partir de nuestro entorno, y los

conceptos que se emplean no son muy abstractos. Un concepto es una idea; el nombre de un

concepto es un sonido, o una marca sobre el papel asociada con él.

Uno de los problemas de los conceptos matemáticos consiste en su gran capacidad de

abstracción y generalidad, lograda por generaciones sucesivas de sujetos especialmente inteligentes,

por lo que las matemáticas no pueden aprenderse directamente del entorno cotidiano sino que es

necesaria la existencia de un profesor que establezca el vínculo adecuado, controlando en todo

momento qué es lo que el alumno sabe y a qué objetivo lo quiere llevar.

Podemos señalar que existen dos marcos teóricos generales para explicar la caracterización del

término concepto:

- Teoría Clásica: Considera a los conceptos como entidades abstractas representativas de la

realidad que nos rodea. Están claramente definidos en función de un conjunto de cualidades

y de las relaciones que se establecen entre ellos.

- Teoría probabilística : Mantiene que los conceptos o categorías naturales han de analizarse

en relación con la noción de prototipo o modelo.

1.2.5 Dificultades en el aprendizaje de las matemáticas.

Factores de riesgo en el desarrollo matemático.

Los factores de riesgo son una serie de variables que aumentan la probabilidad de que se

produzcan dificultades en el desarrollo del aprendizaje matemático. La vulnerabilidad y el grado de

resistencia ante las adversidades y los problemas varían de unos alumnos a otros. La siguiente lista

muestra algunos de los factores principalemente influyentes:

-Constitucionales: Influencias hereditarias y anomalías genéticas; complicaciones

prenatales y durante el nacimiento; enfermedades y daños sufridos después del nacimiento;

alimentación y cuidados médicos inadecuados.

-Familiares: Pobreza; malos tratos, indiferencia; conflictos, desorganización,

psicopatología, estrés; familia numerosa.

-Emocionales e interpersonales: Patrones psicológicos tales como baja autoestima,

inmadurez emocional, temperamento difícil; Incompetencia social; rechazo por parte de los

iguales.

-Intelectuales y académicos: Inteligencia por debajo de la media. Trastornos del

aprendizaje. Fracaso escolar.

-Ecológicos: Vecindario desorganizado y con delincuencia. Injusticias raciales, étnicas y de

género.

-Acontecimientos de la vida no normativos que generan estrés: Muerte prematura de los

progenitores. Estallido de una guerra en el entorno inmediato.

Discalculia.

El principal problema o dificultad en el aprendizaje matemático es la Discalculia: Se trata

de un trastorno en el aprendizaje que afecta a la correcta adquisición y ejecución de las habilidades

aritméticas y del conocimiento numérico. Puede afectar tanto al rendimiento académico del alumno

como a situaciones de su vida cotidiana, pero es un problema totalmente independiente de su

capacidad intelectual. En algunos casos se asocia a otras alteraciones como la dislexia, el TDAH, o

diversos problemas cromosómicas (X frágil).

Es importante detectar este tipo de problemas en edades tempranas, para que el niño

comience a ejercitar sus carencias lo antes posible. Un niño con discalculia puede presentar

dificultades para memorizar las tablas de multiplicar, operar con números sencillos e incluso a la

hora de distinguir los propios grafos de los mismos. Por ello, necesita una enseñanza más intensiva

y práctica sobre el sentido numérico, y un periodo de tiempo más extenso en el aprendizaje de los

conocimientos básicos, además de tratamientos específicos en función del grado de gravedad del

problema, ya que no todos los niños con discalculia se encuentran al mismo nivel.

2. Elementos fundamentales de la Memoria de

Prácticas.

2.1 Unidad Didáctica.

1ºBACHILLERATO: Funciones.

1. Introducción

Cuando hablamos del concepto de función, el nombre del matemático suizo Leonhard Euler

(1707-1783) clama a gritos ser mencionado. Fue quien precisó el concepto en sí y realizó un estudio

sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales. No obstante,

la idea de funcíón venía siendo estudiada desde los orígenes de las matemáticas por las culturas

babilónica, egipcia y china.

A lo largo de los años se han descubierto numerosos fenómenos sobre los que aplicarlas en

diferentes campos como la física, la tecnología el arte o la naturaleza, que nos dejas ejemplos como

la relación entre un gas a temperatura constante y la presión o la fuerza de atracción entre dos

cuerpos, la masa de los mismos y la distancia que les separa.

La representación de funciones, tanto de forma algebraica como gráficamente resulta

esencial para su estudio e interpretación. El objetivo principal de esta unidad es que los alumnos, a

partir del recordatorio del concepto de función y de la observación e interpretación de las funciones

calificadas como elementales, conozcan y aprendan de manera progresiva las diferentes propiedades

de las mismas, existentes también en el resto de funciones, y sean capaces de localizarlas y

definirlas.

Como se mencionó anteriormente, esta unidad está desarrollada a partir de otra creada

previamente para 4º de ESO, de manera que los contenidos y objetivos tengan un enfoque

propedéutico, incluyendo también las competencias de la misma.

2. Objetivos.

2.1 Objetivos generales.

La lista presentada a continuación refleja de manera general los objetivos que se pretende

que los alumnos alcancen con esta unidad, y que en el siguiente apartado serán mencionados de

manera más específica:

1.- Utilizar las formas de pensamiento lógico en los distintos ámbitos de la actividad humana.

2.- Aplicar en nuestra vida diaria las herramientas aprendidas de manera adecuada y con soltura.

3.- Utilizar el lenguaje matemático de manera clara y precisa con el fin de comunicarse

correctamente.

4.- Utilizar con soltura y sentido crítico los distintos recursos tecnológicos (calculadoras, programas

informáticos…) de forma que supongan una ayuda en el aprendizaje y en las aplicaciones

instrumentales de las Matemáticas.

5.- Resolver problemas matemáticos, utilizando diferentes estrategias, procedimientos y recursos,

desde la intuición hasta los algoritmos.

6.- Aplicar los conocimientos sobre la representación geométrica de funciones para comprender y

analizar mejor el mundo físico que nos rodea.

7.- Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que el alumno debe adquirir a

lo largo de la Educación Secundaria Obligatoria.

8.- Desarrollar técnicas y métodos relacionados con los hábitos de trabajo, la curiosidad y el interés

para investigar y resolver problemas, la responsabilidad y colaboración en el trabajo en equipo con

la flexibilidad suficiente para cambiar el propio punto de vista en la búsqueda de soluciones.

2.1 Objetivos Específicos.

Los objetivos específicos desarrollados a partir de los objetivos generales para esta unidad

didáctica son los siguientes:

1.- Estudiar el dominio y el recorrido de una función a través de su expresión algebraica y de su

representación gráfica.

2.- Conocer y estudiar los conceptos de crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos, puntos de

inflexión, acotación, simetría y periodicidad de una función expresada gráficamente.

3.- Dadas las expresiones algebraicas de f(x) y g(x), obtener la expresión algebraica de (f+g)(x) y

(f-g)(x) e interpretar los resultados que se obtienen.

4.- Dadas las expresiones algebraicas de f(x) y g(x), obtener la expresión algebraica de (f*g)(x) y

(f/g)(x) e interpretar los resultados que se obtienen.

5.- Obtener e interpretar las asíntotas de una función dada, introduciendo la idea de tendencia y de

límite de una función.

6.- Obtener la expresión algebraica de la función recíproca de una dada e interpretar los resultados

que se obtienen.

7- Calcular la imagen de puntos en una función definida a trozos y representarla gráficamente.

8.- Calcular la imagen de los puntos de una función valor absoluto y representarla gráficamente.

9.- Reconocer y representar la gráfica de funciones lineales y cuadráticas.

10.- Reconocer y representar la gráfica de funciones de proporcionalidad inversa y funciones

racionales.

11.- Reconocer y representar la gráfica de funciones logarítmicas y exponenciales.

12.- Reconocer la función exponencial como la inversa de la logarítmica y viceversa.

13.- Reconocer y representar la gráfica de las funciones trigonométricas.

14.- Partiendo de funciones más sencillas de las que se conoce su gráfica, mediante traslaciones,

dilataciones, contracciones y simetrías, elaborar la gráfica de funciones más complejas.

3. Contenidos.

A continuación se exponen los conceptos, conocimientos y aptitudes que se pretenden

alcanzar con esta unidad didáctica.

3.1 Conceptos.

1.- Concepto de función.

2.- Dominio de una función. Restricciones al dominio.

3.- Crecimiento y decrecimiento de una función. Máximos y mínimos.

4.- Discontinuidad y continuidad de una función. Puntos de inflexión.

5.- Periodicidad. Funciones periódicas. Función par y función impar.

6.- Funciones definidas a trozos.

7.- Función valor absoluto.

8.- Funciones recíprocas o inversas.

9.- Operaciones con funciones(suma, resta, producto, cociente, composición).

10.- Concepto de función lineal. Concepto de pendiente.

11.- Función cuadrática. Parábola. Vértice.

12.- Función de proporcionalidad inversa.

13.- Función racional.

14.- Función exponencial.

15.- Función logarítmica.

16.- Funciones trigonométricas.

3.1 Procedimientos.

1.- Visualización del grafo de una función para comprender la misma.

2.- Relación entre la expresión analítica de una función y su gráfica.

3.- Representación de funciones.

4.- Reconocimiento de discontinuidades, de máximos y mínimos, de intervalos de crecimiento y de

periodicidades.

5.- Dibujo de la gráfica de una función para estudiarla e interpretarla.

6.- Estudio de las propiedades de las funciones más habituales.

7.- Dibujo de la gráfica de funciones más complejas a partir de funciones sencillas.

3.3 Actitudes.

1.- Reconocimiento de la utilidad de la representación gráfica para un estudio rápido de una

función.

2.- Apreciar ventajas e inconvenientes que tiene la representación analítica frente a la representación

gráfica.

3.- Valoración crítica ante el uso de las nuevas tecnologías (calculadora, ordenador…) a la hora de

estudiar las funciones.

4.- Interés y valoración del lenguaje gráfico que aparece en el mundo cotidiano.

5.- Reconocimiento de la utilidad del conocimiento de las funciones más habituales en matemáticas.

6.- Apreciar ventajas e inconvenientes que encontraremos al dibujar de forma intuitiva las gráficas

de una función.

7.- Identificación y asociación de las funciones estudiadas en el mundo real.

4.Competencias.

Las competencias básicas consideradas en esta unidad didáctica son las siguientes:

4.1 Competencia matemática.

1.- Interpretar una función a través de su gráfica.

2.- Reconocimiento del grafo de una función a partir de la expresión analítica de la misma.

3.- Reconocer y utilizar las características de los tipos de funciones en situaciones

problemáticas que se les presenten a los alumnos.

4.1 Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico.

1.- Interpretar una función a través de su gráfica.

2.-Reconocer y utilizar las características de los tipos de funciones en situaciones

problemáticas que se les presenten a los alumnos.

3.- Utilización de la gráfica de una función para estudiar experimentos o situaciones

cercanas a los alumnos.

4.2 Competencia social y ciudadana.

1.- Reconocer y utilizar las características de los tipos de funciones en situaciones

problemáticas que se les presenten a los alumnos.

4.3 Competencia para aprender a aprender.

1.- Utilización de la gráfica de una función para estudiar experimentos o situaciones

cercanas a los alumnos que posteriormente ellos mismos puedan analizar y autoinstruirse.

5. Estrategias de Intervención y adaptaciones curriculares.

Es necesario exponer una gran cantidad de ejemplos para que los alumnos entiendan bien el

concepto de función, enfatizando la diferencia entre variable dependiente e independiente y de

dominio y recorrido. Ejemplos propios de la vida cotidiana resultan muy útiles para que los

alumnos comprendan mejor los conceptos de crecimiento y decrecimiento, así como la periodicidad

y la acotación.

La combinación de funciones que posean máximos y mínimos con aquellas que no los

posean resulta muy práctica.

En el cálculo de funciones recíprocas, es interesante que los alumnos comprueben siempre la

veracidad del resultado obtenido, independientemente del orden de composición que empleen.

6. Metodología.

El desarrollo de esta unidad se llevará a cabo de manera un poco diferente a la convencional.

Tras introducir como recordatorio el concepto de función, estudiaremos las características básicas

que los alumnos deben conocer sobre funciones a partir del estudio de las funciones elementales,

intentando desarrollar al mismo tiempo su capacidad intuitiva para reconocerlas simplemente con

ver la fórmula que las define y su capacidad para operar y definir las características de las mismas a

través de un estudio más detallado. No estudiarán primero todas las características como tal para

posteriormente definirlas en las funciones elementales, si no que partiremos de las funciones

elementales, e iremos introduciendo en cada una de ellas una o varias características, teniendo en

cuenta siempre qué funciones nos facilitan el reconocimiento de las mismas más intuitivamente.

Utilizaremos hojas de cálculo y nos apoyaremos en una herramienta informática, el programa

Geogebra, para representar las diferentes funciones y construir animaciones que les ayuden a

entender el comportamiento de las funciones en diferentes entornos de su dominio de una forma

más visual, que les ayudará a retener una visión general de la forma que tienden a adoptar las

funciones elementales sin necesidad de hacer cálculos previamente.

7. Actividades.

7.1 Sesiones.

La unidad queda dividida en 8 sesiones, en las que se explicarán los conceptos teóricos que

aparecen a continuación y se realizarán ejercicios como los de los ejemplos expuestos,

deteniéndonos en cada detalle para que lleguen a entender los contenidos y sean capaces de aplicar

los conocimientos adquiridos en la resolución de ejercicios relacionados con los mismos. El estudio

de algunos tipos de funciones es mucho más completo si nos apoyamos en animaciones y

representaciones gráficas, por lo que emplearemos la mayor parte del tiempo el programa

Geogebra. Como generalmente suelen dedicarse dos unidades didácticas al estudio de Funciones y

hemos fusionado ambas en una, se dedicará una tercera semana de 4 sesiones más a realizar

ejercicios en la línea de los ejemplos aquí propuestos, así como a resolver dudas o cuestiones que

puedan surgirles a los alumnos.

1. Concepto de Función (Una sesión).

Idea:

Supongamos que tenemos una máquina que podemos programar de tal forma que al meter

un objeto en ella nos calcule una característica del mismo, como su peso, su altura, su edad...

devolviéndola como resultado, o no devolviendo nada en caso de que no pueda calcularla.

Supongamos ahora que además podemos programar nuestra máquina para que introduzcamos en

ella el valor que le damos a una incógnita(variable independiente) perteneciente a una expresión

algebraica, el cual es sustituido en la ecuación dentro de la máquina, que nos devuelve el resultado

obtenido para ese valor concreto (variable dependiente). Esa especie de máquina en la que

introducimos un valor "x" y nos devuelve como máximo otro valor "y", y que siempre que

introduzcamos un valor concreto "x" nos devolverá el mismo valor "y", nos define de forma

intuitiva el concepto de función.

Definición:

Llamamos Función real de variable real (f) a una correspondencia que asocia, dentro de un

determinado conjunto de números reales, a cada elemento del mismo, un único número real, que

por tanto depende de éste y se denota por y=f(x).

Llamamos variable independiente (x), a la variable de entrada, cuyo valor fijamos

previamente.

Llamamos variable dependiente (y), a la variable cuyo valor se deduce a través de la

función y por tanto depende de la variable independiente.

Llamamos Dominio de la fución (D(f)), al conjunto de todos los valores que puede tomar la

variable independiente.

Llamamos Recorrido o imagen de la función (R(f), Im(f)), al conjunto de todos los valores

que toma la variable dependiente (imágenes).

Características básicas:

A la hora de estudiar y representar una función, hay una serie de características básicas que

debemos conocer y que iremos definiendo a lo largo de la unidad. Éstas son:

Crecimiento y decrecimiento.

Acotación.

Simetría.

Operaciones (Suma, resta, producto y cociente).

Máximos y mínimos.

Reciprocidad(función inversa).

Periodicidad.

Asíntotas.

Composición.

Funciones Elementales.

Existen una serie de funciones que comparten una serie de características que determinan su

representación gráfica de forma que podamos realizar una clasificación de las mismas.

Estudiaremos una por una estas funciones, definiendo a partir de ellas las características

mencionadas antes. Estas funciones son:

Funciones polinómicas.

Funciones logarítmicas y exponenciales.

Funciones Trigonométricas.

Funciones racionales.

Funciones definidas a trozos.

2. Funciones Polinómicas. (Una sesión)

Llamamos funciones lineales a las funciones polinómicas de grado 1. Tienen la forma y =

mx+n, y su representación gráfica es la recta.

m es la pendiente de la recta. Si m>0, la función es creciente, y si m<0 decimos que la

función es decreciente.

n es la ordenada en el origen, es decir, el valor de y cuando x = 0.

Ejercicio resuelto: Representa y estudia las funciones f(x)=2x+1; g(x)=-x-4.

Crecimiento y decrecimiento:

Definimos tasa de variación de una función f al pasar del punto a al punto b como :

TV[a,b]=f(b)-f(a). Así, una función es creciente en un intervalo si para cualquier par de

valores del mismo, siendo el primer valor menor que el segundo, la tasa de variación es

positiva, y es decreciente si la tasa de variación es negativa.

Observando la representación, podemos ver que la primera función es creciente y la segunda

es decreciente. Además, notar que cuando el coeficiente que acompaña a x es positivo, las rectas

son crecientes, mientras que cuando son negativos, son decrecientes.

Acotación:

Una función f está acotada inferiormente/superiormente si existe un número real k tal

que para todo x f(x)<=k/ f(x)>=k. El número k se llama cota inferior/superior. Así, una

función estará acotada si lo está inferior o superiormente.

Estas funciones son rectas con pendiente no nula, es decir, rectas no horizontales, y por tanto

no están acotadas.

Simetría:

Una función f es par o simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del

dominio se verifica que f(-x) = f(x).

Una función f es impar o simétrica respecto del origen cuando para todo x del dominio

se verifica que f(-x) = f(x).

Esta recta no es par ni impar.

Suma y resta:

La suma de dos funciones f y g es otra función (f+g) que a cada x del dominio común de

ambas le hace corresponder f(x) mas g(x).

La diferencia de dos funciones f y g es otra funcón (f-g) que a cada x del dominio

común de ambas le hace corresponder f(x) menos g(x).

En este caso, se trata de funciones polinómicas, por lo que su suma será otra función

también polinómica, x-3, y su diferencia 3x+5.

Producto:

El producto de dos funciones f y g es otra función f*que a cada x del dominio común de

ambas le hace corresponder f(x)*g(x).

El producto de un número real k por una función f es una función kf que asocia, a cada

x, k veces el valor de f(x).

En este caso, el producto de la función f por la función g se trata de un producto de

polinomios, que da como resultado −x2−9x−4 . Se trata de un polinomio de segundo grado,

que ya no es una recta; es una parábola.

Llamamos funciones polinómicas de segundo grado o funciones cuadráticas a aquellas

de la forma ax2bxc . Sus gráficas son parábolas. Si a>0, la parábola se abre hacia

arriba, y si a <0, se abre hacia abajo. El eje de la parábola es la recta x = -b/2a y el vértice es el

punto de la parábola que tiene abscisa x = -b/2a.

La función está acotada superiormente, tiene un máximo en su vértice. Notemos que el

vértice de toda parábola será un máximo, y por tanto la parábola irá hacia abajo, si el coeficiente de

la x elevada al cuadrado es negativo, y por el contrario su vértice será un mínimo si el coeficiente de

la x elevada al cuadrado es positivo, luego estará acotada inferiormente.

Además, toda parábola cuyo vértice esté situado en el eje de ordenadas será simétrica con

respecto al mismo.

Notar también que el crecimiento y decrecimiento de este tipo de funciones cambia al llegar

a su vértice, pasando de creciente a decreciente cuando el vértice es un máximo, y de decreciente a

creciente cuando el vértice es un mínimo.

A continuación veremos unos ejemplos de funciones polinómicas de grado mayor que

dos, en este caso de grado tres y de grado cuatro, y a partir de su representación deduciremos

sus propiedades y la forma que de manera intuitiva podemos decir que tienen:

a) f x =x3x2−4x2

b) f x = x−2x2 x−1x−4

c) f x = x−2x−2 x2x2

Notar que las funciones polinómicas SIEMPRE son continuas.

3. Funciones de Proporcionalidad Inversa (Una sesión).

Son aquellas funciones de la forma y=k/x. Sus gráficas son curvas llamadas hipérbolas.

Su dominio y su recorrido es el conjunto de números reales, salvo el cero.

A medida que x se aleja del origen, por la izquierda o por la drecha, los valores

correspondientes de y se aproximan a cero.

A medida que x se acerca al origen, por la izquiera o por la derecha, los valores

correspondientes de y se alejna de cero.

Si x>0, la función es siempre decreciente, y si k<0, creciente.

Ejercicio resuelto: Representa y estudia la función y=−4 / x−2 :

Una asíntota de una función es una recta cuya distancia a la función tiende a cero

cuando x tiende a infinito o bien x tiende a un punto concreto. Así, dependiendo de la posición

de dicha recta, la denominaremos asíntota horizontal, vertical, u oblicua.

El cociente de dos funciones f y g es otra función f:g que, a cada x del dominio común

de ambas, le hace corresponder f(x) entre g(x).

En este caso, podemos decir que tenemos el cociente de dos funciones, una polinómica de

grado cero y otra polinómica de grado uno, y que queda definida una asíntota vertical en x=2, así

como una asíntota horizontal en y=0 (eje de abscisas).

4. Funciones racionales (Una sesión).

Llamamos funciones racionales a las funciones de la forma y =p(x)/q(x) , con p y q

funciones polinómicas y q x ≠0 . Así, su domino será toda la recta real salvo aquellos

valores que anulen el denominador.

Ejercicio resuelto: Estudiar y representar las siguientes funciones :

(x-2)/(x-2):

Vemos de nuevo un cociente de dos funciones polinómicas, esta vez ambas de primer grado.

Aunque podríamos haber pensado que la función se trataba de la recta y =1, esta función tiene un

agujero en el punto x=2, en el cual no está definida.

(x+1)/(x-2):

La función tiene una asíntota vertical en x = 2, y una vertical en y = 0.

5. Funciones exponenciales (Una sesión).

Las funciones de la forma y=a x , donde a es un número real positivo distinto de 1, se

denominan funciones exponenciales. Su dominio es toda la recta real, y su recorrido los

números reales positivos. Son funciones continuas en todo su dominio.

Si a>1, la función es creciente en todo su dominio. Estas funciones tienen como asíntota

horizontal en −∞ a la recta y =0.

Si 0<a<1, la función es decreciente en todo su dominio. Estas funciones tienen como

asíntota horizontal en ∞ a la recta y=0.

Ejercicio resuelto: Representa las funciones y=e x ; y=e−x ; y=3x ; y=3−x ; y=10x :

Estas dos primeras funciones son especialmente importantes porque aparecen en la

descripción de múltiples procesos naturales, como el crecimiento de poblaciones de

microorganismos( e x , en verde) o las desintegraciones radiactivas ( e− x , en rojo).

La función exponencial 10 x también se trata de una función que describe multitud

de procesos naturales. Suelen emplearse para medir magnitudes que tienen un rango de

variación muy grande, como por ejemplo, la energía que es liberada en un terremoto.

Ambas funciones tienen una asíntota horizontal en la recta y = 0 (eje de abscisas).

Conforme aumente o disminuya el valor de la base, la rama tendrá una forma más o menos

abierta respectivamente.

6. Funciones Logarítmicas (Una sesión).

Las funciones de la forma f(x) = log x, que asocian a cada número real positivo x el

valor de u logaritmo en base a, se denominan funciones logarítmicas.

Su dominio está formado por el conjunto de números reales positivos, y su recorrido

por todos los números reales. Estas funciones son continuas en todo su dominio.

Ejercicio resuelto: Representa y estudia las funciones y = logx; y = ln x:

Teniendo en cuenta que:

Si a>1, la función es negativa para valores de x menores que 1 y positiva para valores de x

mayores que 1, siendo creciente en todo su dominio.

Si a<1, la función es positiva para x<1 y x>1, siendo decreciente en todo su dominio.

En ambos casos la base es mayor que 1. Luego la función es negativa para valores de x menores que

1 y positiva para valores de x mayores que 1, siendo creciente en todo su dominio.

Decimos que dos funciones f y g son recíprocas si se verifica que la composición de f

con g es igual a la composición de g con f, y a la vez es igual a la función identidad. Las

gráficas de una función (f) y su recíproca ( f −1 ) son simétricas respecto a la bisectriz del

primer cuadrante.

Así, la función logarítmica (azul) y la función exponencial (verde) son funciones recíprocas:

(Animación Geogebra)

7. Funciones Trigonométricas (Una sesión).

Intuitivamente, podemos considerar que una función es periódica cuando su

representación gráfica se repite de forma constante indefinidamente. Decimos que una

función f es periódica de período T si, para todos los puntos del dominio, se verifica que f

(x+T) =f(x).

Ejemplos de funciones periódicas son las funciones trigonométricas, que son aquellas

funciones que representan al seno de un ángulo cualquiera (f(x) = senx), al coseno de un

ángulo cualquiera (f(x) = cosx) y a la tangente de un ángulo cualquiera (f(x) = tg x), así como

sus funciones inversas, que no estudiaremos en este curso. El periodo de las funciones seno y

coseno es T=2 , mientras que el de la función tangente es T = .

(Aplicación Geogebra)

8. Funciones definidas a trozos (Una sesión).

Mientras que algunas funciones quedan definidas por una única fórmula, otras se

definen aplicando diferentes fórmulas en función de en qué parte del dominio de la misma nos

encontremos. Este tipo de funciones se conocen como Funciones a trozos.

Ejemplo: Representar la siguiente función:

si x <= 1, f(x) = -x

si 1< x < 4, f(x) = x2−2

si x>= 4, f(x) = x-2

Los tres trozos por separado vienen representado por las lineas negras, mientras que las líneas rojas

representan la función f(x).

Función valor absoluto: La función valor absoluto puede considerarse como un tipo

particular de función definida a trozos. Sabemos que el valor absoluto de un número real es el

propio número sin tener en cuenta su signo. Así, la representación gráfica de los valores reales

que toma una función real de variable real siempre tomará valores positivos, por lo que todos

aquellos valores negativos se representarán sin tener en cuenta su signo.

Ejemplo:

f x =x2−2

La función f(x) representada como tal es la que aparece en negro. Si queremos representar la

función |f(x)| tendremos que eliminar los valores que están por debajo del eje de abscisas y

representarlos sobre él. Estos valores son los representados en rojo en el dibujo.

Es importante no confundir las funciones definidas a trozos con la composición de

funciones. Dadas dos funciones, f y g, llamamos función compuesta de f con g a la función

fºg(x) = g(f(x)). Notar que (gºf)(x) y (fºg)(x) son funciones diferentes.

Intuitivamente, podemos verlo con el siguiente dibujo:

Ejemplo propuesto: Dadas las funciones: f x =x21 ; g x =2x−3 , calcula el valor de:

a) (gºf)(x)

b) (fºg)(x)

c) (gºf)(2)

d) (fªg)(-2)

8. Evaluación.

A continuación voy a definir los tres tipos de evaluación que voy a seguir:

8.1 Evaluación inicial.

Para conocer el nivel que tienen nuestros alumnos sobre esta unidad didáctica, les haremos

una pequeña prueba sobre el reconocimiento y la representación de funciones elementales. Esta

prueba no intenta realmente calificar al alumno, si no saber cuál es la base de la que parte, qué

carencias puede presentar, y dónde conviene detenerse más o menos tiempo a lo largo de la unidad

didáctica.

8.2 Evaluación formativa o continua.

Su objetivo es la reorientación del proceso de enseñanza-aprendizaje, que permite cambiar

sobre la marcha determinados elementos de la unidad en función de la capacidad de aprendizaje de

nuestros alumnos.

A lo largo de las clases, se evaluará a los alumnos el trabajo a diario realizado tanto en el

aula como en casa con la realización de ejercicios propuestos o voluntarios. Sumado al

comportamiento del alumno en el aula, podrá afectar hast aun 30% en la nota final del alumno.

8.3 Evaluación sumativa ó final.

Se aplica al final de la unidad didáctica como comprobación de los objetivos marcados. Se

trata de un examen escrito y su puntuación máxima es 10 puntos. Para concretar la final de

evaluación se tendrá en cuenta: el trabajo diario realizado por el alumno, las notas de los exámenes

de las unidades didácticas y el comportamiento del mismo.

Al trabajo diario le daremos un valor del 30% y el 70% restante será una media de los

exámenes realizados en la evaluación. Estos porcentajes son valores estimados, que podrán variar

ligeramente en función del criterio de evaluación del profesor.

8.4 Criterios de evaluación.

La evaluación puede conceptualizarse como un proceso dinámico, continuo y sistemático,

enfocado hacia los cambios de las conductas y rendimientos, mediante el cual verificamos los

logros adquiridos en función de los objetivos propuestos.

El Currículo de ESO de La Rioja, establece como criterios de evaluación para 4º ESO en el

tema Funciones: identificar relaciones cuantitativas en una situación y determinar el tipo de función

que puede representarlas. Este criterio pretende evaluar la capacidad de discernir a qué tipo de

modelo de entre los estudiados, lineal, cuadrático, de proporcionalidad inversa, exponencial ó

logarítmica, responde un fenómeno determinado y de extraer conclusiones razonables de la

situación asociada al mismo, utilizando para su análisis, cuando sea preciso, las tecnologías e la

información. Además, a la vista del comportamiento de una gráfica ó de los valores numéricos de

una tabla, se valorará la capacidad de extraer conclusiones sobre el fenómeno estudiado.

A partir de los criterios de evaluación definidos para la unidad de 4º de ESO y teniendo en

cuenta los establecidos para bachiller para saber en cuáles de ellos era conveniente profundizar y

qué conceptos era necesario ampliar, hemos elaborado los criterios de evaluación para la unidad de

1º de Bachiller, que es la que queda recogida en esta memoria.

Los criterios de evaluación se han seleccionado teniendo en cuenta los objetivos específicos

definidos anteriormente, como se puede observar en la siguiente tabla:

Objetivos Específicos Criterios de evaluaciónEstudiar el dominio y el recorrido de una

función a través de su expresión algebraica o su

representación gráfica.

Estudiar las características principales de una

función a través de su expresión algebraica ó su

representación gráfica.Conocer y estudiar los conceptos de

crecimiento, decrecimiento, máximos y

mínimos, puntos de inflexión, acotación,

simetría y periodicidad de una función

expresada gráficamente.

Estudiar las características principales de una

función a través de su expresión algebraica ó su

representación gráfica.

Dadas las expresiones algebraicas de f(x) y g(x),

obtener la expresión algebraica de (f+g)(x) y (f-

g)(x) e interpretar los resultados que se obtienen.

Dadas dos funciones, ser capaz de operar con

ellas e interpretar los resultados que se obtienen.

Dadas las expresiones algebraicas de f(x) y g(x),

obtener la expresión algebraica de (f*g)(x) y

(f/g)(x) e interpretar los resultados que se

obtienen.

Dadas dos funciones, ser capaz de operar con

ellas e interpretar los

resultados que se obtienen.

Obtener e interpretar las asíntotas de una

función dada, introduciendo la idea de tendencia

y de límite de una función.

Obtener la expresión algebraica de la

función recíproca de una dada e

interpretar los resultados que se obtienen.Obtener la expresión algebraica de la función

recíproca de una dada e interpretar los resultados

que se obtienen.

Dadas dos funciones, ser capaz de operar con

ellas e interpretar los resultados que se obtienen.

Calcular la imagen de puntos en una función

definida a trozos y representarla gráficamente.

Estudiar y representar funciones definidas en

varios trozos.Reconocer y representar la gráfica de funciones

lineales y cuadráticas.

Reconocer las funciones lineal y cuadrática, y

dominar las propiedades que las caracterizan.

Reconocer y representar la gráfica de funciones

de proporcionalidad inversa y funciones

racionales.

Reconocer las funciones de proporcionalidad

inversa y las funciones racionales, y dominar las

propiedades que las caracterizan..

Reconocer la función exponencial como la

inversa de la logarítmica y viceversa.

Reconocer las funciones logarítmica y

exponencial, y dominar las propiedades que las

caracterizan.Reconocer y representar la gráfica de las

funciones trigonométricas.

Reconocer las funciones trigonométricas y

dominar las propiedades que las caracterizan.

Partiendo de funciones más sencillas de las que

se conoce su gráfica, mediante traslaciones,

dilataciones, contracciones y simetrías, elaborar

la gráfica de funciones más complejas.

Construir la gráfica de funciones más complejas

a partir de la gráfica de otras funciones más

sencillas.

8.4 Modelos de exámenes.

A continuación, expongo un modelo de prueba inicial y otro de examen de evaluación:

-Examen previo.

1.- Observa la siguiente gráfica:

a) ¿Cuál es la pendiente de la recta?

b) ¿Cuál es la ordenada en el origen?

c) Escribe su ecuación.

2.- Por reparar una avería, un fontanero cobra 9 euros por el desplazamiento y 12 euros por

hora trabajada.

a) Calcula cuánto cobrará por reparar una avería en la que ha invertido 4 horas de trabajo.

b) ¿Cuánto tiempo le llevó reparar una avería por la que cobró 63 euros?

c) Escribe la función que determina el precio a cobrar dependiendo de las horas trabajadas.

3.- Se lanza una pelota al aire. La gráfica representa la altura alcanzada por la pelota en

función del tiempo. Contesta a las siguientes preguntas:

a) ¿Cuánto estuvo en el aire?

b) ¿Cuál es la máxima altura que alcanzó la pelota?

c) Durante cuántos segundos subió y bajó la pelota.

4.- A la vista de la gráfica de la función f x =x4−4x2 :

a) Indica el dominio de la función.

b) ¿En qué intervalos crece y decrece?

c) ¿Cuáles son sus máximos y sus mínimos relativos?

d) Indica los puntos en que corta los ejes coordenados.

e) Señala si es simétrica.

f) Señala si es periódica.

g) Indica en qué puntos no es continua.

-Examen de evaluación.

1. Sea la función 4 21 36( )13 13

f x x x= - +

a) Justifica razonadamente cuál es el Dominio de ( )f x .

b) Justifica razonadamente si es simétrica respecto al eje de las Y.

c) Calcula el valor o valores que puedo introducir en la función ( )f x para obtener como

resultado: 0.

d) ¿Está -2 en el recorrido de la función ( )f x ?

e) ¿Qué valor o valores puedo introducir en la función ( )f x para obtener 3613

?

f) Justifica si es una función inyectiva y, por tanto, si puede tener función inversa.

g) Hacia dónde se acerca la función f(x) cuando x ®+¥ , es decir, cuál es lim ( )x

f x®+¥

h) Hacia dónde se acerca la función f(x) cuando x ®-¥ , es decir, cuál es lim ( )x

f x®-¥

i) Justifica, a la vista de los apartados anteriores, si podría ser ( )f x la función

representada abajo.

Ahora, suponiendo que tuvieras la gráfica de f(x), contesta a las siguientes preguntas

j) Razonando y sin hacer ninguna operación, como dibujarías 4 21 36( )13 13

g x x x= - + -

k) Razonando y sin hacer ninguna operación, cómo dibujarías 4 21 36( )13 13

h x x x= - +

2. Sea la función 2

1 2( )

8 15 2x si x

f xx x si x

- + <ì= í - + ³î

a) Represéntala en unos ejes coordenados

b) Indica por qué no es continua en x = 2

c) Indica si tiene algún máximo o mínimo relativo y/o absoluto.

d) Cómo podría modificar el trozo parabólico de la derecha para que fuese continua.

3. Sean la función 2 3( )3 3

xf xx+

=-

a) Calcula su Dominio

b) Calcula su Recorrido

c) Calcula su función inversa o recíproca

d) Estudia qué pasa con la función cuando x ®+¥

e) Estudia qué pasa con la función cuando x ®-¥

f) Estudia qué pasa con la función cuando 1x ®

g) Justifica, a la vista de lo que has obtenido, si alguna de las dos gráficas siguientes podría

ser la de ( )f x

h) Si la función dada hubiese sido 2

2

2 3( )3 3

x xg xx x

+=

- , cuál hubiese sido la diferencia con

f(x).

4. Con los siguientes apartados:

- Justifica adecuadamente si los pasos dados para razonar son correctos o incorrectos.

- Justifica adecuadamente si las conclusiones son correctas o no y, en caso de que el

razonamiento dado no sea correcto, haz tú un razonamiento adecuado.

a) Dadas 3 3( ) 2 3 , ( ) 2 6f x x g x x= - = + , cuando x ®+¥ , si tomamos valores de x

suficientemente grandes: 3 3

3 3

( ) 2 3 2 1( ) 2 6 2

f x x xg x x x

-= » =

+, por consiguiente

3

3

2 3lim 12 6x

xx®¥

-=

+

b) Dadas 3 3( ) 2 3 , ( ) 2 6f x x g x x= - = + , cuando x ®+¥ , si tomamos valores de x

suficientemente grandes: ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3( ) ( ) 2 3 2 6 2 2 0f x g x x x x x- = - - + » - = , por

consiguiente ( ) ( )3 3lim 2 3 2 6 0x

x x®¥

é ù- - + =ë û

c) Dada 3

3

2 3( )1

xf xx

-=

-, cuando x ®+¥ , si tomamos valores de x suficientemente

grandes tenemos que: 3 3

3 3

2 3 2 21

x xx x

-= =

-, por tanto, ( )f x tiene una asíntota horizontal

en 2y = .

5. Sean la función 4 21 36( )13 13

f x x x= - +

a) Justifica razonadamente cuál es el Dominio de ( )f x .

9. Materiales y recursos de apoyo.

Para alcanzar un desarrollo óptimo para esta unidad didáctica, es interesante utilizar como

material y recursos complementarios el programa Geogebra, el cual permite representar todo tipo de

funciones y estudiar con rapidez los posibles cambios y transformaciones realizables sobre las

mismas de una forma muy visual y sencilla de utilizar.

Las hojas de cálculo también resultan de gran ayuda, bien para dar valores con mayor

precisión o para dar grandes cantidades de los mismos.

La utilización de material recogido en prensa o revistas de actualidad puede reflejar muy

bien la aparición de las funciones en el mundo real, así como su gran utilidad y su constante

aplicación.

2.2 Reflexión y conclusiones.

Es complicado relacionar los contenidos recibidos de las clases teóricas del Master con las

prácticas, puesto que la idea que uno tiene en la cabeza de lo que va a ser entrar a un aula e impartir

clase antes de hacerlo no tiene nada que ver con la realidad. Hay actividades que pueden

aprovecharse y sirven de gran utilidad, sobre todo elaboradas en las asignaturas específicas, a la

hora de plantear problemas, herramientas y técnicas para resolverlos, y algunos conceptos

estudiados en las asignaturas genéricas se ven claramente reflejados en los alumnos y pueden servir

de pauta para saber cómo reaccionar, bien sea con alumnos con algún problema visto en la

asignatura de Psicología, con el funcionamiento del centro, el grupo en conjunto y sus reacciones

que pueden enmarcarse en conceptos estudiados en Pedagogía, o con la influencia de su entorno

social y familiar trabajado en Sociología. No obstante, el periodo de prácticas me parece

indispensable para este Master, ya que por mucho que se estudie de forma teórica el funcionamiento

de un centro, los diferentes comportamientos y actitudes de los alumnos y los recursos que pueden

resultar de mayor utilidad a la hora de impartir los contenidos básicos, hasta que no son puestos en

práctica no se aprecia la verdadera dificultad que todo ello supone. Trabajar con personas es una

labor realmente compleja, y más aún cuando se trata de personas en pleno proceso de cambio, como

son los adolescentes.

Cada alumno es único y necesita ser tratado como tal, lo cual es complicado teniendo en

cuenta que cada clase cuenta con más de 20 estudiantes diferentes a los que prestar atención al

mismo tiempo. A lo largo del período de prácticas fui anotando reflexiones sobre situaciones,

comentarios e intervenciones que me llamaron la atención, incluso sobre algunos de ellos en

concreto, que forman parte de la memoria de prácticas. Incluiré a continuación las más

significativas:

1. Presume de ser capaz, al igual que las mujeres, de hacer dos cosas a la vez: Lavarse los dientes y

hacer pis. Es de los más pequeños, quizás el más pequeño de todos, aunque juega a baloncesto, pero

eso es lo de menos, yo a su edad no creo que llegase al metro cuarenta. Para él su equipo es el

mejor, y sólo pierde cuando los otros son muy grandes o cuando tienen a algún negro. Se sienta a la

izquierda, en primera fila, y no es capaz de aguantar callado durante más de un par de minutos

seguidos, pero tiene la buena costumbre de levantar la mano para hablar. Se muerde los labios como

si las palabras estuvieran empujando contra sus dientes para salir de su boca, y estira el brazo como

si pretendiera tocar con su dedo índice el techo de la clase. Es un niño gracioso, de mucha

imaginación, demasiada, a veces, pero tiene algo que le diferencia de los demás: Siempre se ríe.

Hasta cuando hace algo mal, da igual lo que le digas, lo acepta con buena cara y con una sonrisa de

oreja a oreja o una carcajada. Y aunque todos incluido él te estén sacando de quicio, aunque ya no

sepas qué hacer para que entiendan que si el valor de X no es correcto es matemáticamente

imposible que al sustituirlo en la función se cumpla la igualdad, aunque tengas un día horrible y te

mueras de sueño...siempre acaba consiguiendo hacerte reír a ti también.

2. En conclusión: A esa edad el "demasiado" no existe. Por muy repetitivas que puedan sonar tus

palabras, nunca alcanza al "suficiente", siempre cabe una vez más. Siempre hay alguien que no te

escuchó, que no lo entendió, o que creyó que lo entendió pero estaba equivocado. Puedes pasarte

semana y media dibujando funciones y recordando cada 10 minutos que sólo hacen falta dos puntos

para representar una recta, pero llegará el día del examen y al corregir descubrirás que todavía

muchos le siguen dando tres, cinco, incluso siete valores a la incógnita, y no son capaces de

reconocer la ecuación a simple vista sin necesidad de pintarlos. Sin embargo dos puntos bastan. Dos

simples, pequeños e insignificantes puntos pueden representar la sorprendente y abrumadora

infinitud. Y es que no hay nada más triste que ver cuándo algo bueno se termina. Cuando al punto

final de los finales, no le quedan dos puntos suspensivos. Por eso cuando pregunto "¿es necesario

que los pinte?" Ellos siempre dicen sí. Ellos no quieren que termine, y aunque me quede sin tiza, yo

sigo pintando dos puntos.

3. Me recuerda tanto a él que en ocasiones he estado a punto de confundir su nombre al llamarle.

Muchas veces te mira, a veces interviene, y aunque podría decir más, mucho más, se permite el lujo

de desaparecer bajo su abrigo enorme y algún que otro comentario sobre su equipo de baloncesto.

Tras esos ojos marrones cargados de legañas, y bajo ese pelo medio rubio medio castaño casi

siempre despeinado, hay una cabeza a la que le sobra capacidad, pero le falta atención, que no

interés. Sólo es cuestión de disciplina, de que ordene sus ideas y se moleste en estudiar algo más.

Aun así sus resultados son buenos, pero si hay algo de lo que estoy convencida es de que podrían

ser mejores. Él es consciente, lo sabe, pero no parece darle demasiada importancia. Desinterés,

quizás, madurez, tal vez. No soy capaz de distinguirlo, y me preocupa, a veces, pero sin saber cuál

es el problema, no puedo encontrar la solución.

3. Proyecto de Innovación Educativa.

3.1 Problema.

El origen del problema a plantear surge de la dificultad mostrada por la mayor parte de los

alumnos a la hora de interpretar, reflexionar y resolver problemas matemáticos. Bien sea por la

carencia de instrucción adecuada o por tratarse de una técnica sobre la que no se le pueden

proporcionar al alumno pautas claras a seguir, numerosos estudios recientes muestran las

dificultades ,incluso la incapacidad, mostrada por los alumnos en la resolución de problemas

matemáticos.

Este tipo de carencias nace principalmente de la falta de interés mostrada por los alumnos en

las matemáticas y del respeto que sienten en general hacia ellas, considerándola una de las

asignaturas más complicadas a las que deben enfrentarse, por lo que parece necesario intentar

introducir técnicas o métodos de enseñanza-aprendizaje de carácter innovador, que de alguna

manera rompan con la rutina tradicional de las clases y despierten en los alumnos curiosidad y

entusiasmo, sin que los relacionen directamente con las mismas y evitando por tanto ese rechazo

que de primeras muestran.

A partir de aquí, profundizando en la idea reflejada y partiendo de qué es lo que requiere

enfrentarse con éxito a un problema matemático, se definen una serie de aspectos que el alumno

debe desarrollar para potenciar su capacidad de resolución de problemas: Ejercitación práctica,

planificación, creatividad, y capacidad de atención, concentración, reflexión y análisis.

Además, la ayuda y potenciación del razonamiento matemático desde edades tempranas

genera efectos considerablemente positivos sobre los procesos posteriores de conceptualización, y

de adquisición de hábitos de planificación y desarrollo a la hora de enfrentarse a una tarea.

Intención educativa.

En vista a todo ésto, parece necesario potenciar determinadas habilidades o estrategias

generales (competencia comunicativa, razonamiento, reflexión creativa...) y despertar el interés de

los alumnos por el aprendizaje de las matemáticas en general, y en concreto por la resolución de

problemas.

3.2 Exploración.

Gran parte de los errores cometidos por los alumnos en la resolución de problemas

matemáticos viene de la mala comprensión lectora de los mismos. Existe una tendencia general de

aplicar la mecánica aprendida en la parte operacional con los datos enunciados sin prestar

demasiada atención al contenido del mismo, y a no analizar los resultados obtenidos al finalizar el

problema, ni reflexionar sobre el sentido racional de los mismos, lo cual en varios casos puede

alertarnos de soluciones absurdas, en muchos casos provocados por meros errores de cálculo.

Los contenidos matemáticos establecidos en los curriculum oficiales de la enseñanza

obligatoria no llegan a ser comprendidos por todos los alumnos. Algunos porque no pueden, pues se

encuentran limitados por sus capacidades, y otros no quieren, y por tanto no muestran el mínimo

interés, pero tanto unos como otros necesitan cierta destreza en la comprensión de órdenes escritas y

fluidez en la utilizacion de los conceptos básicos necesraios a lo largo de su vida,

independientemente de que vayan a continuar sus estudios matemáticos o no en un futuro.

El tiempo que en general los alumnos dedican a resolver un problema es mínimo. Al margen

de las dificultades que una vez analizado y reflexionado sobre el enunciado puedan encontrar, la

mayor parte de los casos en los que son incapaces de dar con la solución parten de que no perdieron

el tiempo suficiente en comprender el enunciado. El hecho de enfrentarse a un problema en lugar de

a meras cuentas mecánicas les provoca "pereza", sobre todo cuando se enfrentan a enunciados

largos o con varias preguntas que resolver. Sin embargo son este tipo de problemas los que más les

ayudan a potenciar su capacidad de reflexión, análisis, estrategia y planificación, por lo que la

solución no es descartarlos, si no preparar al alumno para que los afronte con más interés y con la

idea de que está perfectamente capacitado para entenderlos y encontrar la solución de los mismos.

Los aspectos lúdicos de las matemáticas quedan ocultos tras la monotonía del formalismo

abstracto de su ejercicio, mientras que el ajedrez se muestra inicialmente como una actividad lúdica,

sirviendo de herramienta que conecta lo abstracto con lo concreto sin exponer directamente los

aspectos formales que lo forman. Así, puede utllizarse como un recurso que sirva de catalizador

para romper con la monotonía de los métodos tradicionales, donde siempre se utliza el mismo

patrón de problemas que tanto parecen aburrir a los alumnos, y con ello disminuir su atención e

interés, lo cual les lleva a la equivocada idea de que se trata de una tarea demasiado complicada

para resolver por sí solos.

Por tanto, la dimensión y hámbito desde el que se lleva a cabo trata de ofrecer una

modalidad alternativa para el aprendizaje, de presentar un nuevo enfoque o estrategia para los

enriquecer los procesos de enseñanza-aprendiaje.

3.3 Fundamentación.

El matemático inglés Stephen J. Turner dijo: "Quien solo haya hecho ejercicios de

matemáticas sin haber resuelto ningún problema, es igual a quien sabe mover las piezas del ajedrez

sin haber jugado nunca un verdadero juego; lo real en matemáticas es participar en el juego". A lo

largo de la historia han aparecido grandes matemáticos que a su vez han sido grandes ajedrecistas:

Adolf Anderssen fue profesor de matemática y campeón del mundo sin corona, Wilhelm Steinitz

fue un notable estudiante de matemáticas campeón de 1986 a 1904, Emanuel Lasker, Doctor en

Matemáticas, fue campeón de 1904 a 1921 y Max Euwe, también Doctor, de 1935 a 1937, y más

recientemente contamos con nombres como J. Nunn, J. Speelmann y E. Guik, entre otros.

No se sabe con certeza cual es su origen del ajedrez. Existen numerosas leyendas que lo

motivan, pero la más conocida de ellas es la siguiente: Una vez un rey ofreció cualquier cosa que se

le quisiera pedir a cambio de la invención de un juego que le agradase. Apareció un inventor que,

tras inventar el juego, sugirió como forma de pago tener suficiente trigo como para poner en la

primer casilla un grano, dos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta y así

sucesivamente, duplicando la cantidad de la casilla anterior hasta llenar todas las casillas del

tablero. El Rey ordenó inmediatamente que se hiciera el pago, llamó al matemático de la corte para

que calculara el número de granos necesarios, y tras efectuar los cálculos el matemático le dijo a su

Rey: "Su Majestad, el número total de granos es:

122223...264=265−1

No hay en todo el reino trigo suficiente ni lo habrá en muchos siglos de cosechas, para cumplir el

pago". Se trata de un número de 20 dígitos en el sistema decimal, sería necesario llenar de trigo un

cubo con 7 km de arista.

La parte menos conocida de la leyenda es la forma en la que el matemático, para salvar el

honor de su rey, resolvió la situación. Le propuso al inventor que le pagarían lo que pedía yademás

lo que se obtuviera de agregar sin fin, más y más casillas al tablero. El inventor aceptó esta nueva

forma de pago, dando por hecho que obtendría una mayor cantidad de trigo, pero cuando hicieron

lso cálculos para ver la cantidad de granos (G) obtuvieron lo siguiente:

G = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 +...

G = 1+2(1 + 2 + 4 + 8 + 16 +...)

G = 1+2G

Resolviendo la última ecuación, obtenemos que T = -1, es decir, el inventor le debía un grano de

trigo al Rey. Esta leyenda pone de manifiesto que las matemáticas y el ajedrez han estado

relacionadas desde sus inicios. Podemos encontrar múltiples ejemplos de ello en campos como

Probabilidad, Geometría, Álgebra, Teoría de Números o Estadística, entre otros.

La práctica del ajedrez induce a la práctica de las matemáticas y viceversa. Este vínculo se

corresponde principalmente con los procesos dialécticos y ontológicos(abstracción, memoria,

análisis, creatividad, planificación, estratgia, intuición) generados a la hora de buscar soluciones en

los problemas que surgen en ambos casos.

Grandes matemáticos como Georg Pólya, Lindelöf, Carl Gauss, L. Euler, Landau o Donald

E. Knuth, se han interesado por los problemas matemáticos ocultos tras el ajedrez. Encontrar la

mínima cantidad de piezas del mismo tipo que cubran todo el tablero o el número máximo de piezas

del mismo tipo que se pueden colocar sin que se protejan entre ellas. El matemático suizo Leonard

Euler se planteó y resolvió el "problema del movimiento del caballo", que demuestra la posibilidad

de recorrer con el caballo todas las casillas del tablero sin pasar dos veces por ninguna de ellas. Otro

problema que ha apasionado tanto a matemáticos como a jugadores es la consturcción de los

"cuadrados mágicos de orden n (arreglo cuadrado de los números 1, 2, 3,...,n2, en donde la suma de

los elementos de cada fila, columna y diagonal suman lo mismo )". Euler logró dar una solución

simultánea a ambos problemas, representada en la figura expuesta a continuación, donde cada fila y

cada columna suma 260, cada fila y cada columna de cada uno de los cuatro subcuadrados de orden

4 suma 130 y tal que en este "tablero mágico" de orden 8 se describe la ruta del movimiento del

caballo por todo el tablero.

1 48 31 50 33 16 63 1830 51 46 3 62 19 14 3547 2 49 32 15 34 17 6452 29 4 45 20 61 36 135 44 25 56 9 40 21 60

28 53 8 41 24 57 12 37

43 6 55 26 39 10 59 2254 27 42 7 58 23 38 11

Otro problema, bastante sencillo, conocido como "el rey intangible", plantea si es posible

que la dama blanca en ayuda de su rey, que tiene prohibido moverse, de mate al rey enemigo

solitario. Muchos ajedrecistas dijeron que no, pero el matemático Landau descubrió que se puede si

el rey blanco intangible está ubicado en una de las casillas c3, c6, f3 ó f6 con la dama blanca y el

rey negro en cualquier casilla, en no más de 23 movimientos. Podemos encontrar numerosos

problemas de optimización para plantear, como el que pide averiguar el recorrido máximo del

caballo en un tablero de n×n sin que estos se crucen. Knuth encontró que hay dos en el tablero de

orden 3, cinco en el de orden 4, cuatro en el de 5, uno en el de 6, catorce en el de 7, y cuatro en el de

8.

Además, existen competencias internacionales de resolución de problemas matemáticos en

el ajedrez. Cuestiones como cuántos movimientos tiene la partida más larga posible (5899

movimientos) o cuántas partidas diferentes de ajedrez existen (1018900 partidas diferentes) han sido

planteadas sin analizar su calidad. Preguntas que han provocado discusiones desde inicios de siglo,

y que la aparición de los ordenadores han ayudado a responder.

También en competiciones matemáticas reconocidas encontramos reflejados problemas

relacionados con el ajedrez y la exitosa participación de ajedrecistas en las mismas. En la Olimpíada

Costarricense de Matemática del año 1996, los ajedrecistas Fabián Carballo y David Rodríguez

obtuvieron medalla de bronce, Gustavo Madrigal medalla de plata y Mauricio Chicas medalla de

oro.

Pero no sólo problemas basados en las reglas, disposición y movimientos del juego resultan

útiles para el aprendizaje matemático, también la estrategia del juego en sí, el esfuerzo reflexivo que

supone el hecho de jugar una partida, tiene aportaciones muy positivas que favorecen el desarrollo

del aprendizaje del alumno y en especial de su capacidad para resolver problemas.

"La matemática, como un sistema puramente formal, se puede comparar con el ajedrez, los

elementos primitivos en ajedrez son las 32 piezas y el tablero; los axiomas son las descripciones de

los movimientos de las piezas, no son evidentes, no son ni verdaderos ni falsos, son así y se aceptan

sin discutir, las reglas del juego constituyen la lógica del sistema. Nadie se pregunta si el ajedrez es

verdadero o falso, lo único importante es saber si se siguen las reglas" ( Mariano Perero).

3.4 Trabajo de campo.

El ajedrez se trata de un juego de estrategia, con reglas bien definidas y con una gran riqueza

particular de movimientos, lo cual hace que se preste a un análisis intelectual cuyas características

son muy semejantes a las del desarrollo matemático. Al igual que el ajedrez, la matemática está

formada por un conjunto de piezas o partes, cada una con una función particular que a su vez

guarda relación con el resto, formando un conjunto. Podemos encontrar características semejantes

entre unas piezas y otras. Las reglas válidas de manejo de las mismas son dadas por sus definiciones

y por todos los procedimientos de rarazonamiento admitidos como válidos, los cuales pueden ser

simples y elementales o tremendamente complejos, en función del nivel y del conocimiento que se

posea.

La labor más compleja consiste en distinguir dónde termina el juego y dónde empieza la

matemática, en saber extraer aquello que resulte útil para potenciar en el alumno sus capacidades y

que de alguna manera vea las matemáticas reflejadas en el propio juego, comprenda su utilidad y la

aplique de forma adecuada, y a la vez, de manera inconsciente, potencie otras destrezas ya

mencionadas anteriormente.

Además, es conveniente realizar una prueba inicial a los alumnos para saber en qué nivel se

encuentran, qué conocimientos previos poseen sobre el ajedrez, y qué tipo de ejercicios serían los

más adecuados, así como el grado de dificultad de los mismos, teniendo en cuenta tamibén el curso

escolar en el que se encuentran. A continuación planteamos una serie de problemas de diferente

grado de dificultad.

PROBLEMAS BÁSICOS.

Una torre se mueve en el tablero de ajedrez siguiendo la fila o la columna en la que está.

Para que nos resulte más cómodo, utilizaremos la notación siguiente para nombrar a las casillas del

tablero:

En este caso, por ejemplo, tenemos que la torre está en la casilla D5.

Problema 1:

¿Es posible que una torre recorra todo el tablero de ajedrez pasando una sola vez por cada casilla,

empezando en lacasilla A1y terminando en la casilla H1?

Problema 2:

¿Es posible que una torre recorra todo el tablero de ajedrez pasando una sola vez por cada casilla,

empezando en la casilla A1y terminando en la casilla A8?

Problema 3:

¿Es posible que una torre recorra todo el tablero de ajedrez pasando una sola vez por cada casilla,

empezando en la casilla A1y terminando en la casilla H8?

Problema 4:

¿Es posible que una torre recorra todo el tablero de ajedrez pasando una sola vez por cada casilla,

empezando en la casilla C5 y terminando en la casilla H1?

Problema 5:

Reflexiona: ¿En qué se diferencian estos cuatro problemas? ¿Cuál te pareció más difícil?

Problema 6:

Un alfil se mueve en un tablero de ajedrez siguiendo sus diagonales, cualquier pieza que se

encuentre en su camino estará siendo atacada por él. ¿Podrías colocar, en un tablero de ajedrez,

doce alfiles sin que se ataquen entre sí?

Problema 7:

¿Podrías colocar, en un tablero de ajedrez, catorce alfiles sin que se ataquen entre sí?

Problema 8:

Reflexiona: ¿Cuál de los dos problemas de alfiles te ha resultado más difícil? ¿Crees que podrías

hacer ésto mismo con más de catorce alfiles? ¿Por qué?

PROBLEMA ITERATIVO

Dado un tablero de ajedrez, colocar 8 damas sin que se ataquen entre sí. Se trata de uno de

los problemas más complicados de su género, el cual el propio Gauss tardó varios meses en

resolver. Sería interesante no plantearlo como labor individual para los alumnos, si no exponerlo en

clase y dedicar una o varias sesiones a resolverlo con ellos, deteniéndose en los detalles y

relacionándolos con otros conceptos e ideas vistas. Así, se propone una actividad que de forma

iterativa y secuencial nos llevará al problema en cuestión, al alcance de estudiantes de cualquier

edad.

1. Dibujar en papel cuadriculado 8 tableros de ajedrez. Hay que recordar que estos tableros son

cuadrados de 8 x 8 casillas.

2. Explicar el movimiento de la dama, la cual puede considerarse la ficha más poderosa en el

tablero:

3. Elige una casilla del tablero en la que quieras dibujar una dama.Con el mismo color con el

que dibujaste la dama y ayudándote de una regla, marca todas las posibilidades que tiene la

dama para moverse. Cualquier pieza que quede en una de esas líneas estará atacada por tu

dama.

4. Ahora coloca, en el mismo tablero, una segunda dama de otro color, de tal manera que las

dos damas no se ataquen entre sí. ¿Cuántas lugares posibles existen para colocar la segunda

dama? Compara tu solución con la de tus compañeros.

5. En otro tablero dibuja las dos damas del paso uno, marcando con el color que les

corresponde las posibilidades que cada una tiene para moverse. Ahora trata de colocar una

tercera dama, de manera que las dos damas anteriores no la ataquen y viceversa, que ella no

ataque a las otras dos. ¿Tuvo la misma dificultad colocar la tercera dama, que colocar la

segunda? ¿Cuántas lugares posibles existen para colocar la tercera dama? Compara tu

solución con la de tus compañeros.

6. En un tablero nuevo dibuja las tres damas del paso anterior con sus respectivas líneas.

Ahora intenta colocar una nueva dama sin que ninguna de las cuatro damas se ataquen entre

sí.¿Piensas que el problema se va complicando?¿Por qué?

7. Siguiendo el mismo procedimiento, ve colocando cada vez una dama más hasta llegar a 8.

Si no lo consigues no te preoucpes, varios matemáticos y ajedrecistas han dedicado horas y

horas a intentar resolver este problema y muy pocos de ellos lo han logrado.

Una posible estrategia es ir cambiando la posición de la primera dama. Aquí te enseñamos un

tablero en el que hay colocadas 5 damas y ninguna de ellas ataca a las demás.

Las damas deberán colocarse tal y como se muestra en el dibujo. Con las flechas de colores puedes

comprobar que no se atacan mutuamente.

PROBLEMAS AVANZADOS.

Problema 1: Fichas en el tablero. Se dispone de un tablero de 64 casillas, cada una de 3 cm. de

lado, y de fichas de ajedrez cuya base es un círculo de 3 cm. de diámetro. ¿Cuántas fichas pueden

ponerse en el tablero sin colocar una encima de otra y sin sobrepasar sus bordes?

Problema 2: Rey y caballo. Tenemos nuestro rey en un ángulo del tablero de ajedrez; en el ángulo

diagonalmente opuesto, nuestro adversario tiene un caballo. No hay ninguna otra pieza en el

tablero. El caballo es el primero en jugar. ¿Durante cuántas jugadas podrá el rey ir eludiendo el

jaque?

Problema 3: Ajedrez y dominó. De un tablero de ajedrez que, como sabemos, tiene 64 casillas

cuadradas, suprimimos las dos del extremo de una diagonal. Tomemos ahora 31 fichas de dominó,

cada una de tamaño igual a dos casillas del tablero. Se trata de colocarlas de forma que cubran las

62 casillas que tiene el tablero tras la eliminación de las dos indicadas.

Problema 4: Colocando fichas de dominó. Carmen y yo jugamos a menudo al siguiente juego.

Sobre un tablero de ajedrez uno coloca una ficha de dominó (no importa la numeración) ocupando

dos casillas del tablero. luego el otro coloca otra; luego el otro;... El primero que no puede colocar

pierde. Carmen, que amablemente, me deja siempre colocar el primero... ¡Siempre me gana! ¿En

qué consiste su plan?

Problema 5: Jugar es grande . Vd. tiene un tablero de ajedrez con 4 millones de casillas de lado.

¿Cuántos saltos debe dar un caballo de ajedrez, como mínimo, para ir de un vértice del tablero al

vértice diagonalmente opuesto?

Problema 6: El paseo de la Torre. (visto en problemas básicos)¿Es posible que la torre recorra

todo el tablero de ajedrez pasando sólo una vez por cada casillero partiendo de A8 y terminando en

H1? ¿Y si parte de C5 y termina en H1? Razona y demuestra tu respuesta.

Problema 7: Mate en el centro . ¿Puedes encontrar un método en el que un caballo y dos torres

pueden dar mate a un rey solitario en el centro del tablero?

Problema 8: Los 12 y 14 alfiles. (visto en problemas básicos) En este tablero de ajedrez hemos

colocado 12 alfiles, de manera que ninguno de ellos ataca a ningún otro. ¿Hay más formas de

conseguirlo? ¿Podrás hacer lo mismo con 14 alfiles? Razona y demuestra tu respuesta.

Al Al . Al Al Al . . Al Al Al Al Al Al Al

Problema 9: El enroque. El enroque es el mecanismo mediante el cual el rey y una torres cambian

de posición para reforzar la defensa. El rey queda más protegido y la torre adopta una posición más

favorable, que le concede mayor libertad de movimiento. ¿Qué requisitos han de cumplirse para que

el enroque sea válido?

Problema 10: ¿Cuál fue la última jugada de las blancas? Las blancas acaban de mover. ¿Cuál

fue la última jugada?

RN . TB . AB . RB . .

Problema 11: Damas del mismo color. ¿Cuántas damas del mismo color pueden colocarse en un

tablero de ajedrez sin que se defiendan entre ellas? Por supuesto el tablero es de 8x8.

Problema 12: Mate en una fracción de jugada. En la siguiente partida, las blancas juegan y dan

mate en una fracción de jugada. ¿Cómo?

RN . CB AB TB DB RB .

Problema 13: Las tablas. Una partida finaliza en tablas cuando la victoria final no corresponde a

ninguno de los dos jugadores. ¿Por qué motivos puede acabar una partida en tablas?

Problema 14: ¿Cómo evitar dar mate en una? Hallar un movimiento de las piezas blancas que no

acarree el mate inmediato del rey negro.

AB RB TB TN AB TB AN PN PN PB RN PB PN PB PN PB PB PB CB CB

Problema 15: Ajedrez y estrellas (1 ) Demuestra que en un tablero de 4x4 es posible poner siete

estrellitas de manera tal que si se borran dos filas y dos columnas cualesquiera del tablero, queda al

menos una estrellita.

Problema 16: Ajedrez y estrellas (2). Demuestra que en un tablero de 4x4 si hay menos de siete

estrellitas, siempre es posible borrar dos filas y dos columnas de manera tal que todas las casillas

queden vacías.

Problema 17: Muchos cuadrados. ¿Cuántos cuadrados hay en el tablero de ajedrez de 8x8

casillas? ¿Y, en un tablero de 6x6 casillas?

Problema 18: El tablero de ajedrez y los granos de trigo. Según la leyenda, el inventor del juego

de ajedrez pidió como recompensa un grano de trigo para la primera casilla, más dos granos para la

segunda, más 22 para la tercera y así sucesivamente, duplicando cada vez la cantidad de la casilla

anterior. A la última casilla corresponden 263 granos de trigo. Aparentemente se contentaba con

poco. Pero hagamos el cálculo. El número de granos de trigo solicitado sería: S = 1 + 2 + 22 +

23+ ... + 263 Para calcular esta suma, observemos que multiplicando ambos miembros por 2 resulta

2S = 2 + 22+ 23+ 24+ ... + 263+ 264= 264+ S - 1

y por lo tanto S = 264- 1. Este número, pesado de calcular (se puede hacer con una calculadora) es:

S = 1.844.674.407.370.955.165 o sea que es un número de 20 cifras. Lo podemos aproximar por el

menor número de 20 cifras que es 1019. Para dar una idea de la cantidad de trigo que esto

representa, supongamos que cada gramo pesa un miligramo, o sea 10-3 gramos. El peso total será:

10-3. 1019 gr = 1016 gr = 1013 kg = 1010 toneladas.

La producción anual de la Argentina en los últimos años ha sido del orden de los 10 millones de

toneladas. Suponiendo que se mantuviera esa cantidad, o sea 107 toneladas por año, resulta que la

cantidad de trigo solicitada por el inventor del juego de ajedrez es equivalente a la producción de

trigo de la Argentina durante 1000 años.

Problema 19: El torneo de mi prima Sonia. El verano pasado mi prima Sonia participó en un

torneo de ajedrez que se celebró en Valencia. Se jugó por el sistema todos contra todos solamente

una vez. La suma de los puntos obtenidos por todos los jugadores, excepto mi prima, fue de 100

puntos. ¿Cuántos puntos obtuvo mi prima Sonia?

Problema 20: Mate en una. Las blancas juegan y dan mate en una jugada. ¿Qué jugada deben

hacer? Este problema (de Sam Loyd) apareció publicado en 1876 en el American Chess Journal. La

solución requiere hacer una marcha atrás en la partida, para deducir jugadas anteriores.

AN TB RN PN PN PB PB PN PN PB PN RB PB PB PN PB PB .

Problema 21: Para no ganar. Problema de Karl Faber. En él las blancas han de mover una pieza y

no dar mate al adversario.

AB RB TB TN AB TB AN PN PN PB RN PB PN PB PN PB PB PB CB CB

Problema 23: Cubrir rectángulos con caballos de ajedrez. En el JRM 23 volumen 4 de 1991

Jackson y Pargas daban soluciones de cubrir tableros cuadrados atacando todas las casillas,

utilizando la menor cantidad de caballos de ajedrez. Dieron una solución con 54 caballos para el

tablero de 18x18. Se considera atacada una casilla cubierta por un caballo. ¿Puede Vd. superarla?

PROBLEMA DE AMPLIACIÓN.

Problema 24: El ajedrez ha sido una fuente de problemas matemáticos, por ejemplo, en la

Olimpíada Húngara de Matemática del año 1926 se planteó el siguiente problema: "Pruebe que, si a

yb son enteros dados, el sistema de ecuaciones

x+y+ 2z+ 2t = a2x- 2y+z-t = b

tiene soluciones enteras para x,y,y t". Con un poco de ayuda del álgebra se obtienen las soluciones x

= a-b, y = -b, z = -a+b y t=a, que se pueden verificar por simple sustitución. Más que la solución,

nos interesa ver de dónde nace este problema. Suponga que se tiene un tablero infinito de ajedrez,

como el del desesperado Rey, sobre este tablero sobreponemos un plano cartesiano de manera que

cada par ordenado (a, b), con a y b enteros, se encuentre en el centro de cada escaque. Si llamamos

a (0, 0) como el origen del sistema podemos ver que los 8 movimientos posibles del caballo, a partir

del origen, se pueden representar por:

u1= (1, 2) u2= (1, - 2) u3= (2, 1) u4= (2, - 1)

-u1= (- 1, - 2) -u2= (- 1, 2) -u3= (- 2, - 1) -u4= (- 2, 1)

ui y -ui son opuestos en el sentido de que si movemos y retrocedemos, llegamos de nuevo al origen.

En este sentido, efectuar x veces el movimiento u1 se representa por (x, 2x), efectuar y veces el

movimiento u2 se representa por (y, - 2y), efectuar z veces el movimiento u3 se representa por (2z,z)

y efectuar t veces el movimiento u4 se representa por (2t, -t), así al efectuar todos los movimientos

juntos se obtiene de la suma vectorial y se puede representar como (x+y+ 2z+ 2t, 2x- 2y+z-t) y las

soluciones del sistema de ecuaciones, describen los movimientos para llegar con el caballo al

escaque (a,b), es decir se prueba que el caballo puede visitar todas las casillas del tablero y da su

recorrido.

3.5 Innovación.

3.5.1 Objetivos.

A pesar de las múltiples similitudes que encontramos entre las matemáticas y el

ajedrez, es importante saber distinguir el juego de la matemática como tal. Se trata de una actividad

complementaria, lo que se pretende introduciendo el ajedrez en la enseñanza de las matemáticas es

añadir un elemento nuevo que motive a los alumnos y refuerce su aprendizaje, rompiendo con la

rutina a la que están acostumbrados y ofreciéndoles un recurso más para ejercitar sus capacidades,

especialmente a la hora de resolver problemas. El objetivo principal no es que los alumnos aprendan

las reglas básicas del juego y se limiten a jugar partidas de ajedrez, ni tampoco que sin entender la

estrategia sean capaces de resolver problemas matemáticos. La idea se fundamenta en enlazarlos

adecuadamente, en fusionar ambos elementos, partiendo del nivel que el alumno dispone en ambos

campos y estableciendo una conexión entre ellos para que el aprendizaje se desarrolle

paralelamente de forma progresiva.

El objetivo de este proyecto sigue un enfoque trasversal. Aunque sirve de gran utilidad para

la unidad didáctica que presento desarrollada en este trabajo, no se trata de utilizar el ajedrez como

complemento o como recurso para una unidad didáctica en concreto, si no de aprovechar la gran

relación que guarda con las diferentes ramas de las matemáticas e introducirlo a lo largo del curso

en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las diferentes unidades didácticas, fundamentalmente a

la hora de resolver problemas, pero también como método para "desconectar" del desarrollo

tradicional de las clases mediante partidas organizadas de forma eventual, que aunque

aparentemente no guarden una relación directa o pueda resultar menos intuitiva verla, existen

numerosos estudios que demuestran que el simple hecho de jugar al ajedrez ya está reforzando y

ejercitando muchas de las capacidades necesarias para el estudio matemático.

3.5.2 Metodología.

Lo primero que se necesita conocer es la base de la que partir. Lo más normal es que la

mayoría de los alumnos de la clase no sepa jugar al ajedrez, entendiendo "jugar al ajedrez" como

algo más complejo que el mero hecho de conocer los posibles movimientos de cada ficha,

tratándose también ésto último de algo que no necesariamente tienen por qué conocer todos. Por

ello, salvo en casos excepcionales en los que grupos enteros dispongan de una base mínima, se

dedicarán unas primeras sesiones (en principio debería de ser suficiente con un par de horas), a

explicar las reglas básicas del juego y jugar una primera partida de prueba.

A partir de aquí, se elaborarán ejercicios acordes con el curso en el que se trabaje,

compaginándolos con partidas en común en las que se estudiarán los movimientos realizados, el por

qué de los mismos y la reflexión conjunta de si es o no el más adecuado, y con partidas por parejas

en las que los alumnos jugarán entre ellos exponiéndolo como un "descanso" que realmente aporta

mucho más, pues pone en práctica la capacidad individual de decisión del alumno, además de

potenciar el resto de capacidades. El número de sesiones de ajedrez a lo largo del curso en la

asignatura de matemáticas se repartirá de forma homogénera, dedicándole una sesión a la semana y

pudiendo dejar alguna semana libre en caso de que se necesite más tiempo para impartir los

contenidos de la materia, consiguiendo finalmente que el ajedrez abarque alrededor de un 20% de la

asignatura.

Los problemas planteados tratarán de guardar alguna relación con la unidad didáctica que se

está impartiendo, aunque no necesariamente deberá ser siempre así, y seguirán una evolución en

cuanto a su nivel de dificultad, comenzando en las primeras sesiones por ejercicios de ingenio

relativamente sencillos, que despierten la curiosidad del alumno por resolverlos sin que les resulten

demasiado complejos, y conforme su capacidad reflexiva y analítica vaya mejorando iremos

profundizando en el nivel de dificultad de los mismos, siempre teniendo presente en qué curso nos

encontramos y que no podemos exigir lo mismo a unos alumnos que a otros, pues se trata de una

actividad en la que las capacidades individuales del niño o adolescente influyen considerablemente

en los objetivos que éste puede llegar a alcanzar.

Lo ideal para impartir esta parte de la asignatura sería disponer de un tablero de ajedrez para

cada pareja de alumnos en el centro, que evite que sean éstos los que tengan que traerlo de sus

propias casas cada día.

3.5.3 Evaluación.

La evaluación se llevará a cabo conjuntamente con la asignatura en general y con cada

unidad didáctica en particular. Las pruebas de evaluación de cada unidad contará con un problema

del estilo de los planteados en las sesiones de ajedrez de clase a lo largo del desarrollo de la unidad

que se está evaluando. No se evaluará si el alumno conoce las reglas del juego o las estrategias

básicas, si no su capacidad para plantear y resolver los problemas correctamente, estudiándose si ha

progresado o no en los diversos aspectos mencionados a reforzar.

A modo de prueba inicial, llevé a la práctica un par de sesiones con alumnos de 1º de ESO

en el IES Cosme García (centro en el que realicé las prácticas del Master), en las que tras explicar

de forma rápida las reglas básicas del ajedrez, proporcioné una colección de los 8 problemas básicos

incluídos anteriormente, e invité a los alumnos a que intentaran resolverlos.

Los resultados obtenidos fueron bastante satisfactorios. Teniendo en cuenta que más de la

mitad no había jugado nunca una partida de ajedrez, y varios de ellos no sabían ni si quiera cuál era

el movimiento de las piezas, el 80% de los alumnos consiguió dar con la solución de los problemas

de la torre y cerca de un 30% consiguió colocar 12 alfiles en el tablero. Además, la reacción

mostrada por los alumnos y su opinión sobre el nuevo recurso resultó muy satisfactoria,

considerándolo la gran mayoría como una forma entretenida y diferente de ver las matemáticas, y

demostrando un interés y entusiasmo por encima de lo habitual, en vista de lo cual creo que puede

tratarse de un tema interesante sobre el que profundizar e investigar, y cuya incorporación a la

asignatura de Matemáticas en la enseñanza secundaria puede resultar positiva para los alumnos.

6 Bibliografía.

Apuntes de las asignaturas de Psicología y Pedagogía del primer cuatrimestre.

Artículos encontrados en Internet sobre el proceso enseñanza-aprendizaje en las Matemáticas.

Historia e Historias de Matemáticas, Perero, Mariano, Grupo Editorial Iberoamérica, 1994.

Ajedrez, maestro contra amateur, M.Euwe y W. Meiden, Editorial hipano europea.