TRABAJO DE FISICA III

FANNY BARRAZA CHAMORRO

LUIS BELTRAN COTTA

KAREN JIMENEZ TORRES

SANDRA MENDOZA AGUILAR

CELESTINO ORTEGA VARGAS

Profesor: Daniel Puertas

UNIVERSIDAD DE CARTAGENA

FACULTAD DE INGENIERIA

PROGRAMA DE INGENIERIA DE ALIMENTOS

FECHA:

TRABAJO DE FISICA III

Movimiento de una partícula unida a un resorte.

1. Un arquero jala la cuerda de su arco hacia atrás 0.400m, ejerciendo una fuerza sobre la cuerda que se incrementa uniformemente desde cero hasta 230N. a) ¿Cuál es la constante de fuerza equivalente del arco?, b) ¿Qué cantidad de trabajo emplea en tensar el arco?

F=−kx →230N=−k (−0.400m )→k= −230N(−0.400m)

=575N /m

Representación matemática del M.A.S.

2. Un balón que se ha dejado caer desde una altura de 4.00m choca con el suelo con una colisión perfectamente elástica. Suponiendo que no se pierde energía debido a la resistencia del aire, a) demostrar que el movimiento resultante es periódico y b) determinar el periodo del movimiento, c) ¿Es el movimiento armónico simple? Explicar la respuesta.

a) Siendo la colisión perfectamente elástica, el balón rebotará a una altura de 4.00 m y entonces repetirá el movimiento una y otra vez. Por lo tanto, el movimiento es periódico.

b) Para determinar el periodo, usamos: x=12

g t2

El tiempo para que el balón toque el suelo es t=√ 2 xg

=√ 2(4.00m)9.8m /s

=0.903 seg

Esta ecuación es ½ del periodo, así que T=2 (09.03 seg )=1.806 seg

c) No. La fuerza neta que actúa sobre el balón está dad por F=−mg (excepto cuando está en contacto con el piso), la cual no está en la forma de la Ley de Hooke.

3. La posición de una partícula viene dada por la expresión x=(4.00m) cos (3.00πt+π ), donde x se mide en metros y t en segundos. Determinar a) la frecuencia y el periodo del movimiento, b) la amplitud del movimiento, c) la constante de fase y d) la posición de la partícula en el instante t=0.250 s.

Comparando x=(4.00m) cos (3.00πt+π ) con la ecuación x=Acos(ωt+φ) tenemos que

a) ω=2πf →f = ω2 π

=3.00 π rad

seg2π

=1.5 seg ó1.5Hz y T=1f= 11.5 seg

=0.66 seg−1

b) A=4.00mc) φ=π radd) x (0.250 )=(4.00m) cos (3.00 π (0.250 )+π )=(4.00m )cos (1.75 π )=2.82m

4. Una partícula se mueve con M.A.S., con una frecuencia de 3.00 Hz y una amplitud de 5.00 cm. a) ¿Cuál es la distancia total recorrida por la partícula en un ciclo completo de su movimiento?, b) ¿Cuál es su rapidez máxima? ¿Dónde la alcanza?, c) Averiguar cuál es la aceleración máxima de la partícula. ¿En qué parte del movimiento se produce la aceleración máxima?

a) Como parte del origen se utiliza la ecuación x (t )=Acos (wt )

Tenemos que w=2πf →w=2π (3.00Hz )=6π radseg

T=1f= 13.00Hz

=13

se g

Luego x (t=13 seg)=5cm cos [6 πseg (13 seg )]

x (t=13 seg)=5cm cos (2π )=5cm cos (360 )=5cm (1 )=5 cm

b) v (t )=dxdt

=−Asen ( wt )

vmax=Aw=5cm (6 π )=30 π=93.25 cmseg

wt=3 π2

→6 π t=3 π2

→t=0.25 seg

c) a (t )=d x2

d t 2=−A w2cos (wt )

amax=A w2=5cm(6 πseg )

2

=17.76cm /se g2

Luego wt=π→t= π6π

=16

seg=0.17 seg

5. En un motor, un pistón oscila con M.A.S., de modo que su posición varía de acuerdo con la expresión x=(5.00 cm ) cos (2t +π /6) donde x viene expresado en cm y t en segundos. En el instante t=0, averiguar a) la posición de la partícula, b) su velocidad y c) su aceleración, d) Averiguar el periodo y la amplitud del movimiento.

a) x=(5.00 cm ) cos (2t+π /6), para t = 0, x=(5.00 cm ) cos( π6 )=4.33 cm

b) v=dxdt

=−Aωsen ( ωt+π )=−(10.0 cmseg )sen (2 t+ π

6 )¿−(10.0 cm

seg )sen (30 ) , para t=0 , v=−5.00 cmseg

c) a=d2 xd t2

=−A ω2cos (ωt+π )=−(20.0 cm /seg2 )cos (2t+π ) , para t=0

a=−(20.0 cmseg2 )cos (30 )=17.3 cm /seg2

d) A=5.00 cm y T=2 πω

=2 π2

=3.14 seg

6. Un resorte es estira 3.90cm cuando un objeto de 10.0g cuelga de él es reposo. Si este objeto es reemplazado por un objeto de 25.0g, al que se coloca en M.A.S., calcular el periodo del movimiento.

7. Una partícula que se mueve a lo largo del eje x con M.A.S. comienza a partir de su posición de equilibrio, el origen en t = 0 y se mueve hacia la derecha. La amplitud de su movimiento es 2.00cm y la frecuencia de 1.50 Hz. a) Demostrar que la posición de la partícula viene dada por x=(2.00 cm ) sen (3.00 πt ). Determinar b) la rapidez máxima y el primer instante (t > 0) en el que la partícula alcanza esa rapidez, c) la aceleración máxima y el primer instante (t > 0) en el que la partícula alcanza esa aceleración y d) la distancia total recorrida entre t = 0 y t = 1.00 s.

a) Para t = 0, x = 0 y v es positiva (se mueve hacia la derecha). Por consiguiente, la situación correspondiente es x=Asenωt y v=v i cosωt .

Siendo la f = 1.5 Hz, entonces ω=2πf =2π (1.50Hz )=3.00 π . También, A=2.00 cm, por lo tanto, x=(2.00cm ) sen (3.00πt ).

b) vmax=v i=Aω=(2.00 cm ) (3.00π )=6.00π cmseg

=18.8 cmseg

La partícula tiene esta velocidad a t = 0 y luego t=T2=13

seg.

c) amax=A ω2=2.00cm(3.00 π )2=18.0π2 cmseg2

=177.6 cm / seg2

Este valor positivo para la aceleración máxima ocurre si t=34

T=0.500 seg

d) Si T=23

seg y A=2.00 cm, la partícula viajará 8.00 cm en este tiempo. De aquí que , en

1.00 seg=( 32 T ), la partícula viajará 8.00cm+4.00cm=12.0 cm

8. Un oscilador armónico simple tarda 12.0 seg en realizar cinco vibraciones completas. Averiguar a) el periodo de su movimiento, b) la frecuencia en Hz. y c) la frecuencia angular en Rad/seg.

a) T= tn= 12.0 seg5 vibraciones

=2.4 seg .

b) f = 1T

= 12.4 seg

=0.41Hz

c) ω=2πf =2π (0.41Hz )=2.57 rad /seg

9. Un objeto de 7.00 kg cuelga dele extremo inferior de un resorte vertical sujeto a un travesaño. Se hace vibrar al objeto mediante oscilaciones verticales con un periodo de 26.0 seg. Averiguar cuál es la constante de fuerza del resorte.

T=1f=2π √m

k,Despejando k se tiene, k=4 π2m

T 2 =4 π2(7.00 kg)(2.60 seg)2

=40.8 Nm

10. La posición inicial y la rapidez inicial de un objeto en M.A.S. son x i, vi, ai; la frecuencia angular de la oscilación es w. a) Demostrar que la posición y velocidad del objeto en cualquier momento se pueden expresar como

x (t )=x i coswt+( vi

w )senwt y v (t )=−x i w sen wt+vi coswt .b) Si la amplitud del

movimiento es A, demostrar que v2−ax=v i2−ai x i=w2 A2.

La solución propuesta es x (t )=x i coswt+( vi

w )senwt , inferimos que

v ( t )=−x i w sen wt+vi coswty

a=−x i ω2 cosωt−v iωsenωt=−ω2(x icosωt+( vi

ω )senωt )=−ω2x

a)

b) v2−ax=(−x iωsenωt+v i cosωt )2— (−x¿¿ i ω2 cosωt−v i senωt)( xi cosωt+( v i

ω )senωt )¿

v2−ax=x i2ω2 sen2ωt−2 x i v iωsenωtcosωt +v i

2 cos2ωt+x i2ω2cos2ωt+x i v i ωcosωtsenωt+x i v iωsenωtcosωt+v i

2 sen2ωt=x i2ω2+v i

2

11. Un objeto de 0.500 kg, unido a un resorte que tiene una constante de fuerza de 8.00N/m, vibra con M.A.S de amplitud igual a 10.0cm. Calcular a) el valor máximo de su rapidez y aceleración, b) la rapidez y aceleración cuando el objeto está a 6.00cm de la posición de equilibrio y c) el tiempo que necesita el objeto para desplazarse desde x = 0 hasta x = 8.00cm.

a) ω=√ km

=√ 8.00N /m0.500 kg

=4.00Hz, por lo tanto, la posición está dad por

x=10.0 sen (4.00 t )cmDe esto tenemos que v=40.0 cos (4.00 t ) cm /seg , vmax=40.0cm /seg

a=−160 sen (4.00 t ) cmseg2

, amax=160 cm /seg2

b) t=( 14.00 seg−1 )sen−1( x

10.0 ) , donde x=6.00 cm , entonces se reemplaza x en la

expresión, t=(0.25 seg ) sen−1( 6.00 cm10.0 cm )=0.161 seg

Por lo tanto, tenemos

v=40.0 co s [ 4.00 (0.161 ) ]=32.0 cmseg

a=−160 sen [4.00 (0.161 ) ]=−96.0cm / seg2

c) Usando t=( 14.00 seg−1 )sen−1( x

10.0 ), donde x = 0 y t = 0, por lo tanto,

x=8.00 cm , t=0232 segPor consiguiente, ∆ t=0.232 seg

12. El movimiento de un pistón en un motor de gasolina es un M.A.S. Si los extremos de su desplazamiento con relación a su punto central están situados a ± 5.00 cm, averiguar la velocidad y aceleración máximas del pistón cuando el motor está funcionando a una relación de 3.600 revoluciones por minuto.

x (t )=Acosωt , A=0.05m ,v ( t )=−Aωsenωt ,a=−A ω2 cosωt

Si f =3600 revolucionesminutos

=60Hz , Entonces ω=120 π seg−1

vmax=0.05 (120 π ) mseg

=18.8 mseg

;amax=0.05(120π )2 m/seg2¿7.11km/seg2

13. Después de un salto escalofriante, los aficionados a saltar desde un puente quedan rebotando libremente, colgando de la cuerda elásticas durante muchos ciclos (fig 1). Para averiguar la masa de cada persona, utilizando un factor que se puede determinar resolviendo el siguiente problema: si un objeto de masa m oscila libremente colgando de un resorte vertical con un período T (fig 2) y un objeto de masa desconocida m’ colgado del mismo resorte oscila con un período T’ determinar a) la constante de fuerza y b) la masa desconocida.

FIG 1 FIG 2

ω=√ km

=2πT

a) k=ω2m=4 π2mT2

, b) m'= k (T ' )2

4 π2=m(T '

T )2

Consideraciones de energía en el M.A.S.

14. Durante una prueba de seguridad, se hace chocar un automóvil con una masa de 1.000kg contra un muro de ladrillos. La defensa del coche se comporta con un

resorte de constante 5.00*106 N/m y se comprime 3.16 cm a medida que el coche alcanza la posición de reposo. ¿Cuál era la rapidez del coche en el momento del impacto, suponiendo que la energía mecánica del coche permanece constante durante el impacto con el muro?

12

m v2=12

k x2: v=x √ km

= (3.16∗10−2 )√(5.00¿6103 )=2.23m /seg

15. Un bloque de 200g está unido a un resorte horizontal y se somete a un M.A.S. sobre una superficie sin rozamiento con un periodo de 0.250 seg. Si la energía total del sistema es 200 J, averiguar a) la constante de fuerza del resorte y b) la amplitud del movimiento.

m=200 g ,T=0.250 seg ,E=2.00 J ;ω=2πT

= 2π0.250 seg

=25.1 rad / seg

a) k=m v2=0.200 kg (25.1 radseg )

2

=126N /m

b) E= k A2

2⟹ A√2 E/k=√2(2.00) /126=0.178m

16. Un sistema resorte-bloque oscila con una amplitud de 3.50 cm. Si la constante de fuerza es 250 N/m y la masa es de 0.500kg, determinar a) la energía mecánica del sistema, b) la rapidez máxima del bloque y c) la aceleración máxima.

a) E= k A2

2=250 N

m(3.50∗10−2m2 )

2=0.153 J

b) vmax=Aωdondeω=√k /m=√250 /0.500=22.4 se g−1, porlotanto ,

vmax=0.784m

segc) amax=A ω2=3.50∗10−2m (22.4 se g−1 )=17.5m /se g2

17. Un bloque de 50.0 g conectado a un resorte con una constante de fuerza de 35.0 N/m oscila sobre una superficie horizontal, sin rozamiento, con una amplitud de 4.00 cm. Averiguar a) la energía total del sistema y b) la rapidez del bloque cuando el desplazamiento es 1.00 cm. Calcular c) la energía cinética y d) la energía potencial cuando el desplazamiento es 3.00 cm.

a) E=12

k A2=12 (35.0 N

m ) (4.00∗10−2m )=28.0mJ

b) |v|=w√A2−x2=√ km √ A2−x2

|v|=√35.0/50.0∗10−3√(4.00∗10−2 )2−(1.00∗10−2)2=1.02m/ seg

c)12

m v2=12

k A2−12

k x2=12

(35.0 ) [ (4.00∗10−2 )2−(1.00∗10−2 )2 ]=12.2mJ

d)12

k x2=E−12

mv2=15.8mJ

18. Un bloque de 2.00 kg unido a un resorte está colocado sobre una superficie horizontal uniforme. Se necesita una fuerza horizontal uniforme. Se necesita una fuerza horizontal de 20.0 N para mantener el bloque en reposo cuando se jala 0.200 m desde su posición de equilibrio. Ahora, desde este punto, se libera el bloque desde el reposo y entonces comienza a experimentar un M.A.S. Averiguar a) la constante de fuerza del resorte, b) la frecuencia de las oscilaciones y c) la rapidez máxima del bloque. ¿Dónde se alcanza esta rapidez máxima? d) Calcular la aceleración del bloque. ¿Dónde se alcanza? e) Calcular la energía total del sistema oscilante. Calcular f) la rapidez y g) la aceleración cuando la posición sea igual a 1/3 de su valor máximo.

a) k=|F|x

= 20.0N0.200m

=100 Nm

b) ω=√ km

=√50.0 radseg

ó f= ω2π

=1.13Hz

c) vmax=ωA=√50.0 (0.200 )=1.41 mseg para t = 0.

d) amax=ω2 A=50.0 (0.200 )=10.0/se g2, para x = ± A

e) E=12

k A2=12

(100 ) (0.200 )2=2.00 J

f) |v|=ω√A2−x2=√50.0 √ 89 (0.200 )2=1.33m /seg

g) |a|=ω2 x=50.0( 0.2003 )=3.33m / se g2

19. Una partícula ejecuta un M.A.S. con una amplitud de 3.00 cm. ¿En qué posición alcanzará su rapidez un valor equivalente a la mitad de la rapidez máxima?

v2+ω2 x2=ω2 A2

vmax=ωA y v=ωA2 así que (ωA

2 )2

+ω2 x2=ω2 A2

De esto se tiene que x2=34

A2 y x=√32

A=±2.60cm donde A=3.00cm

El péndulo simple.

20. Un “péndulo secundario” pasan por su posición de equilibrio una vez por segundo (el periodo del péndulo es de 2.00 segundos). La longitud de un péndulo secundario situado en Tokio es de 0.9927 m, mientras que en Cambridge,

Inglaterra, otro péndulo del mismo periodo tiene una longitud de 0.9942 m. ¿Cuál es el cociente entre los valores de la aceleración de caída libre es esos dos lugares?

El período en Tokio es T T=2π √LT /gT y el período en Cambridge es T C=2π √LC /gC

Sabemos que T T=T C=2.00 seg, por lo cual vemos que LT

gC=

LC

gC o

gC

gT=

LC

LT= 0.99420.9927

=1.0015

21. Un péndulo simple tiene una masa de 0.250 kg y una longitud de un metro. Se le desplaza hasta un ángulo de 15° y en seguida se libera. ¿Cuáles son a) la rapidez máxima, b) la aceleración angular máxima y c) la fuerza de recuperación máxima?

A=rθ=1m 15 ° π180

°=0.262m

ω=√ gL=√ 9.8 m

se g2

1m=3.13 rad /se g2

a) vmax=Aw=0.262m(3.13 radse g2 )=0.820m / seg

b) amax=A w2=0.262m(3.13 radse g2 )

2

=2.57 mseg

a tan=rα , ∝=a tanr

=2.57 m

se g2

1m=2.57 rad /se g2

c) F=ma=0.25 kg(2.57 mse g2 )=0.641 N

Más precisamente,

a) mgh=12

m v2 y h=L (1−cosθ )∴ vmax=√2 gL(1−cosθ)=0.817 mseg

b) I∝=mgLsenθ

∝max=mgLsenθ

m L2= g

Lsenθi=2.54

radse g2

c) Fmax=mgsenθi=(0.250 ) (9.80 ) (sen15 ° )=0.634N

El péndulo físico.

22. Una varilla rígida muy ligera con una longitud de 0.500 m, se extiende desde un extremo de una regleta de medir. La regleta está suspendida de un pivote situado en uno de sus extremos y se le hace oscilar. a) Determinar el periodo de la oscilación. (Sugerencia: Utilizar el teorema del eje paralelo de la sección 10.11) b) ¿En qué porcentaje difiere del periodo de un péndulo simple de 1.00 m de largo y la misma masa?

a) Teorema del eje paralelo

I=ICM+M d2= 112

M L2+ M d2= 112

M (1.00m )2+M (1.00m )2=M ( 1312m2)

T=2π √ IMgd

=2π √ M (13m2 )12Mg (1.00 )

=2π √ 13m

12(9.80 mse g2 )

=2.09 seg

b) Para el péndulo simple, se tiene que

T=2π √ 1.00m9.80

m

se g2=2.01 seg

Difiere=2.09 seg−2.01 seg2.01 seg

=4.08%

Oscilaciones amortiguadas.

23. Demostrar que el régimen de cambio de la energía mecánica en un oscilador

amortiguado no forzado viene dada por dEdt

=−b v2 y es, por tanto, siempre

negativa. (Sugerencia: Obtener la derivada de la expresión de la energía mecánica

de un oscilador, E=12

m v2+ 12

k x2 ,y luego utilizar la ecuación 12.28).

La energía total E=12

m v2+ 12

k x2

Derivando con respecto al tiempo, tenemos dEdt

=mv d2 xd t 2

+kxv

Usando la ecuación 12.28: md2 xd t2

=−kx−bv

dEdt

=v ( – kx−bv )+kxv

Por lo tanto, dEdt

=−b v2<0

24. Se suelta un péndulo con una longitud de 1.00 m desde un ángulo inicial de 15°. Después de 1000 segundos su amplitud sea reducido, a causa del rozamiento, hasta 5.50°. ¿Cuál es el valor de b/2m?

θi=15° θ ( t=100 )=5.5000 B0

x=A e−bt2m x100

x i=

A e−bt2m

A =5.5015.0=e

−b (100 )2m

ln (5.5015.0 )=−1.00=−b (100 )2m

∴ b2m

=1.00∗10−3 se g−1

25. Demostrar que la ecuación 12.29 es una solución de la ecuación 12.28 siempre que b2<4mk.

Tenemos que x=A e−bt2m cos ( wt+φ )

Es una solución de – kx−b dxdt

=m d2xd t 2

(1 )

Donde w=√ km

−( b2m )

2

(2)

x=A e−bt2m cos ( wt+φ ) (3 )

dxdt

=A e−bt2m (−b2m )cos ( wt+φ )−A e

−bt2m wsen (wt+φ )(4)

d2 xd t 2

=−b2m [A e

−bt2m (−b2m )cos (wt+φ )−A e

−bt2m wsin (wt+φ )]−[A e

−bt2m (−b2m )wsen (wt+φ )+ A e

−bt2m w 2cos ( wt+φ )]

(5)

Sustituyendo (3) y (4) en el lado izquierdo de (1) y (5) en el lado derecho de (1):

−kA e−bt2m cos (wt+φ )+ b2

2mAe

−bt2m cos ( wt+φ )+bwA e

−bt2m sin ( wt+φ )=−b

2 [A e−bt2m (−b2m )cos (wt+φ )−A e

−bt2m wsen ( wt+φ )]+ b

2Ae

−bt2m wsen (wt+φ )−m v2 A e

−bt2m cos (wt+φ)

Comparando los coeficientes de A e−bt2m cos (wt+φ ) y A e

−bt2m sen (wt+φ ) :

Término coseno: −k+ b2

2m=−b2 (−b2m )−mv2= b2

4m−m( k

m− b2

4m2 )=−k+ b2

2m

Término seno: bw=+b2

( w )+ b2

( w )=bw

Si los coeficientes son iguales, entonces x=A e−bt2m cos ( wt+φ ) es una solución de la

ecuación.

Oscilaciones forzadas.

26. Un bebé disfruta durante el día arriba y abajo en su cuna. Su masa es de 12.5 kg y el colchón de la cuna puede ser modelado como un resorte ligero con una constante de fuerza de 4.30 kN/m. a) El bebé aprende rápidamente a dar botes con la máxima amplitud y el mínimo esfuerzo. ¿Con qué frecuencia debe flexionar sus rodillas para conseguirlo? b) El bebé aprende a utilizar el colchón como un trampolín, perdiendo contacto con el mismo durante unos instantes en cada ciclo. Para que esto suceda, ¿Qué valor debe superar la amplitud del movimiento?

a)f 0=

w0

2π= 12π √ k

m= 12 π √ 4.30∗10

−3Nm

12.5kg=2.95Hz

b) amax=A w2→ A w2=g

A= gw2=

gkm

= gmk

, A= gmk

=(9.80 m

se g2 ) (12.5 kg )

4.30∗10−3 Nm

=2.85 cm

Problemas adicionales.

27. Un objeto de m1 = 9.00 kg se encuentra en equilibrio mientras está conectado a un resorte ligero de constante k = 100 N/m y que está fijado a una pared de la forma que se muestra en la fig 3a. Un segundo objeto, de masa m2 = 7.00 kg, es empujado lentamente contra m1, comprimiendo el resorte hasta una distancia A = 0.200 m, (fig3b.). A continuación se suelta el sistema y ambos objetos se mueven hacia la derecha sobre una superficie sin rozamiento. a) Cuando m1 alcanza la posición de equilibrio, m2 pierde contacto con m1 (fig 3c) y se mueve hacia la derecha con una rapidez v. Determinar el valor de v. b) ¿A qué distancia se encuentran los objetos en el momento en que el resorte alcanza su máxima elongación por primera vez (D en la fig 3d)? (Sugerencia: En primer lugar, determine el periodo de oscilación y la amplitud del sistema resorte-m1 después de que m2 pierda contacto con m1.)

FIG 3

a) Energía total = 12

k A2=12 (100 N

m ) (0.200m )2=2.00 J

En equilibrio, la energía total es: 12 (m1+m2) v

2=12

(16.0 kg) v2= (8.00 kg ) v2

Por lo tanto, (8.00 kg ) v2=2.00 J → v=0.500m /segb) La energía del sistema m1-resorte en equilibrio es:12

m1 v2=12

(9.00kg )(0.500 mseg )

2

=1.125 J

Esto también es igual a 12

k ( A' )2 , donde A’ es la amplitud del sistema m1-resorte. Por lo

tanto, 12

(100 ) (A ' )2=1.125ó A '=0.150m.

El periodo del sistema m1-resorte es T=2π √ m1

k=1.885 seg y toma ¼ T = 0.471 seg,

después de pasar el punto de equilibrio del resorte

D=v (T4 )−A'= 0.500m

seg (0.471 seg )−0.150m=0.0856=8.56cm

28. Un péndulo de longitud L y de masa M tiene un resorte de constante de fuerza k conectado a él a una distancia h por debajo de su punto de suspensión (fig 4). Averiguar la frecuencia de vibración del sistema para valores pequeños de amplitud (θ pequeño). Suponga que la barra de suspensión vertical de longitud L es rígida y de masa despreciable.

FIG

τ=Iα y d2θ

d t 2=−α

τ=MgLsenθ+kxhcosθ=−I d2θd t 2

Por lo tanto, d2θ

d t 2=−( MgL+k h2

I )θ=−w2θ

w=√ MgL+k h2

M L2=2πf →f= 1

2π √ MgL+k h2

M l2

29. Una tabla horizontal de masa m y longitud L pivota sobre unos de sus extremos. El otro extremo de la tabla de apoya en un resorte de constante de fuerza k (fig 5). El

momento de inercia de la tabla con respecto al pivote es 13

m L2. Se desplaza la

tabla un pequeño ángulo θ con relación a su posición de equilibrio horizontal y luego se suelta la tabla. a) Demostrar que se mueve son un M.A.S. de frecuencia angular ω=√3 k /m. b) Calcular la frecuencia si la masa de la tabla es 5.00 kg y el resorte tiene una constante de fuerza de 100 N/m.

FIG 5

a) En equilibrio, tenemos

∑ τ=0−mg( L2 )+k x0L

∑ τ=−mg( L2 )+kxL=−mg( L

2 )+k ( x0−Lθ ) L=−kθ L2

Pero ∑ τ=Iα=13

m L2 d2θd t2

. Así d2θ

d t2=−3k

mθ

b)f = w2π

= 12π √ 3k

m= 12π √ 3(100 N

m )5.00 kg

=1.23Hz

30. Un bloque de masa m está unido a un resorte de masa m que oscila con M.A.S. sobre una superficie horizontal sin rozamiento (fig 6). La constante de fuerza del resorte es k y la longitud en equilibrio es l. Averiguar a) la energía cinética del sistema cuando el bloque alcanza una rapidez v y b) e periodo de oscilación. [Sugerencia: Suponga que todas las partes del resorte oscilan en fase y que la velocidad de un segmento dx es proporcional a la posición x del segmento, medida desde el extremo fijo; es decir, vx=(x /l)v. Tenga también en cuenta que la masa de un segmento del resorte es dm=(m / l)dx.]

FIG 6

a) Para cada segmento del sistema

dK=12

(dm ) vx2

También, vx=xl

v y dm=ml

dx

Por lo tanto, la energía cinética del sistema bloque-resorte es

K=12

M v2+ 12∫0

l

( x2 v2

l2 )ml

dx=12 (M+ m

3 ) v2

b) w=√ km

y 12

m v2=12 (M+ m

3 )v2

Por lo tanto, T=2π

w=2π √ M+ m

3k

31. Un bloque de masa m está unido a dos resortes que tienen constantes de fuerzas k1 y k2, como se muestra en la fig 7. En cada caso, el bloque se mueve sobre una mesa sin rozamiento después de haber sido desplazado de su posición de equilibrio y luego soltado. Demostrar que, en ambos casos, el bloque tiene M.A.S. con periodos

a) T=2π √ m(k1+k2)k1 k2

b) T=2π √ mk1+k2

FIG 7