DEBER DE SEALES Y SISTEMAS #6

Integrantes:

Henry Arias

Tania Torres.

Fecha:

Sbado 14 de Febrero del 2015

Profesor:

Ing. Ivn Escandn

Desarroll

CUESTIONARIO SOBRE EL TEMA 6: ANLISIS DE SISTEMAS NO LINEALES Y VARIANTES.

1.- Qu es la transformada de Hilbert?

La transformada de Hilbert (TH) es un operador matemtico lineal que entrega un resultado que est en el mismo dominio que la funcin de partida, en claro contraste con la transformada de Fourier que como ya se vio, cambia de dominio. El nombre proviene de David Hilbert matemtico y cientfico alemn que invento y desarrollo un gran abanico de ideas, quien introdujo por primera vez el operador con el fin de resolver un caso especial del problema de Riemann- Hilbert para funciones analticas (o funciones holomorfas). [1] [2] [3]

2.- Cmo se plantea matemticamente la transformada de Hilbert?

La transformada de Hilbert de una seal x(t) puede obtenerse por un sistema que tenga una funcin de transferencia H(f) dada por:

Donde H (f (t)) es igual a la convolucion de f(t) con , entonces se puede escribir:

Aplicamos la propiedad conmutativa de la convolucion:

Y esta es otra forma de resolver la transformada.

La integral de la transformada de Hilbert es impropia ya que t=, y no se encuentra definida, para que no ocurra este inconveniente se calcula la integral de manera simtrica en torno t= como se ve en la siguiente ecuacin:

Y as planteamos matemticamente la integral para hallar la transformada de Hilbert. [1] [2] [4]

3.- Enumerar y enunciar los principales teoremas de la transformada de Hilbert.

1. Linealidad:

2. T. de una constante :

3. Desplazamiento:

4. Amplificacin:

5. Convolucion:

6. Derivacin:

[1][2][4]

4.- En qu se aplica la transformada de Hilbert? (busque al menos 2 aplicaciones distintas)

1. Diferenciadores de filtros FIR:

Los filtros FIR de fase lineal pueden tambin disearse con una respuesta de frecuencia mximamente plano. Estos filtros se utilizan de un filtrado exacto en bajas frecuencias. El diseo de filtros pasa-bajas mximamente planos usa una forma cerrada de la funcin de transferencia ().

Un diferenciador digital es el descrito por () = 2, || 0.5. En situaciones prcticas, rara vez se necesitan filtros que diferencien en todo el intervalo hasta || = 0.5. Si requerimos diferenciacin solo hasta una frecuencia de corte Fc, Entonces: (2)

Como () es impar [0]. Para encontrar [], 0 se usa la DTFT inversa para obtener: (2)

Utilizar la relacin de Euler y la simetra, Esto se simplica en:

Para = 0.5, esto produce [0] = 0 y [] = () , 0. 2.

2. El Ultrasonido:

Las seales recibidas resultan de la modulacin en amplitud de una portadora cuya frecuencia angular 0 es la nominal del transductor: [3]

x (t) = A(t)sen( t + 0 )

La mayora de los algoritmos de procesamiento digital de seal se aplican sobre este tipo de seales, mientras que la informacin til suele estar en la envolvente A(t) . Entre estos algoritmos encontramos los siguientes: [3]

2. focalizacin dinmica en arreglos,

3. reduccin de ruido estructural,

4. diversos tipos de filtrado lineal y no lineal,

5. cnicas de deconvolucin y de correlacin.

Las seales que produce la aplicacin de estos algoritmos es tambin una seal de radiofrecuencia, de la que finalmente, hay que extraer la envolvente. Uno de los mtodos ms utilizados se basa en calcular la envolvente como el valor absoluto de la seal analtica, que resulta de: [3]

() = [ () + (()) ]/2

donde H() es la transformada de Hilbert, que se obtiene, bien mediante el clculo de una FFT directa y otra inversa, o sometiendo a x(t) a un filtro FIR en cuadratura de orden suficiente para obtener una buena aproximacin en toda la banda pasante de la seal. La envolvente se obtiene, finalmente, calculando el mdulo de la seal analtica resultante (una raz cuadrada de una suma de cuadrados para cada valor de t ). Es, pues, un proceso intensivo en clculo que puede ocupar un tiempo considerable. (3)

5.- Qu es la transformada Wavelet?

La transformada Wavelet es una herramienta matemtica que convierte una seal en una de forma diferente. Esta conversin tiene el objetivo de revelar las caractersticas ocultas dentro de la seal original y representar la seal original de forma ms sucinta, es decir de una forma ms breve y concisa. Cabe recalcar que el trmino wavelet se refiere a pequeas onda que se encuentran en el espacio y que ha concentrado su energa en el tiempo. [6]

Para analizar las estructuras de seal de muy diferentes tamaos, es necesario el uso de estas en tiempo-frecuencia con diferentes soportes de tiempo. La transformada wavelet descompone las seales en un conjunto de funciones que se los denomina Wavelets. [7]

Esta transformada es eficaz para el anlisis local de seales de banda ancha transitorios no estacionarios y rpidos. La transformada de wavelet es un mapeo de una seal de tiempo que descompone la seal en una basada por la traslacin y la dilatacin de esta funcin. [8]

6.- Qu tipos hay?

Transformada de wavelet contina

Esta transformada continua se realiza de la misma forma que la transformada de Fourier cuando multiplicamos la seal por una funcin wavelet, y esta se calcula para diferentes segmentos de seal en el tiempo. [6]

Ofrece la mxima libertad en la eleccin de la Wavelet, con la nica restriccin que satisfaga la condicin de media nula. Esta condicin permite que la transformada sea invertible en rango. La transformada inversa viene dada por:[12]

Donde satisface la condicin de media nula comentada anteriormente, con dada:

Transformada de wavelet semidiscreta

Para esta transformada tomaremos dos parmetros donde = 2 y b = 2 donde k, s pertenecen a nmeros enteros, en la cual estos parmetros son discretos mientras que la variable temporal es continua. [9][10]

Transformada de wavelet discreta Para esta transformada tomaremos dos parmetros donde y donde K, s pertenece a nmeros enteros, con estos valores de a y b la integral seria:

Y ahora discretearemos la funcin y nos queda:

Cada s se denomina octava o escala, y consiste en cada uno de los niveles en los que se descompone la seal. Las escalas bajas tienen en cuenta las frecuencias bajas y las escalas altas, las frecuencias mayores. [6]

7.- Cmo se plantea matemticamente la transformada Wavelet?

En trminos matemticos la Transformada de Wavelet se define como:

Donde

Donde s es el factor de escala y el factor de traslacin.

Una vez que la funcin Wavelet satisface esta condicin, la transformada Wavelet es calculada de manera similar que la transformada de Fourier. [8][9][10]

8.- Cules son las propiedades y caractersticas ms importantes de las Wavelet?

Propiedad de oscilacin.- Es trascendente en las aplicaciones de anlisis de seales, para la deteccin de fenmenos puntuales, como discontinuidades o bruscos cambios en las derivadas [8]

Propiedad de Cambio.- Si f(x) tiene una transformada Wavelet contina (, ) entonces g(x)=f(x-) tiene una transformada Wavelet en forma continua: [8]

Propiedad de Escala.- Si f(x) tiene una transformada Wavelet en forma continua (, ), entonces ,tiene una transformada Wavelet en forma continua: [8]

Propiedad de Localizacin.- Sea () = ( 0), es decir la funcin Delta de Dirac en el punto x0: [8]

Donde, es la wavelet madre.[8]

Resolucin de identidad

Cuando se puede encontrar la transformada contina inversa. [7]

Invarianza:

Respecto a las traslaciones o cambios de escala de la seal. [7]

Localizacin en el tiempo y la frecuencia:

Permite ubicar las wavelets en singularidad tanto en tiempo como en frecuencia. [7]

Regularidad:

Permiten efectuar filtrados. Posee caractersticas de espacio, tamao y direccin. Esta propiedad reconstruye una seal a partir de coeficientes calculados en la transformacin [6]

Momento de desvanecimiento:

Define la complejidad de las Wavelet. Trata de la comprensin y eliminacin de ruido en una seal determinada [6]

Soporte de compacto:

Es decir que la wavelet sea de duracin finita. Es la cantidad de coeficientes de filtro, incluye directamente en el tiempo de clculo y en la distorsin que se produce en los extremos al procesar una seal [6]

Simetra:

Cuando la seal se analiza como un filtro, se puede decir que tiene una fase lineal, es decir que los filtros se comporten como lineales. [6]

Ortogonalidad:

Que se logra cuando el producto de dos vectores es igual a cero. [6]

9.- Enumerar y enunciar al menos 2 aplicaciones distintas de las Wavelet.

La transformada de Wavelet consiste en un par de filtros uno pasa bajos y otro pasa altos, que cumplen con una serie de condiciones. [5]

1. Ritmos de la seal de Electroencefalograma

Para poder obtener cada uno de los ritmos de la seal de EEG, se deben realizar varios niveles de descomposicin, donde se puede seguir descomponiendo a partir de la subseal de salida del filtro pasa bajos o del filtro pasa altos. A medida que aumenta la frecuencia de muestreo, se necesitar un mayor nmero de niveles para poder representar las subseales en sus respectivas bandas.

Por ejemplo para una seal con fs=256 Hz se necesitaran 8 niveles.

Cada nivel de descomposicin tiene la mitad del ancho de banda del nivel anterior, y este ancho de banda est distribuido entre la seal de salida del filtro pasbamos. La seal de salida del filtro pasa alto; de esta forma, la identificacin de los ritmos para fs=256 Hz.[5] [10]

2. Algoritmo de fusin de imgenes

Basado en la transformada wavelet para fusionar imgenes multisensor. Cuando las imgenes se combinan en el espacio wavelet, diferentes rangos de frecuencia se procesan de manera diferente. Se puede combinar la informacin a partir de imgenes originales de forma adecuada y mejorar las capacidades de anlisis de informacin y extraccin de caractersticas. Extensos experimentos que incluyen la fusin de imgenes registradas multibanda, imgenes multiespectrales, enfoque mltiple imgenes de las cmaras digitales, se presentan multisensor de imgenes VISMR e imgenes CTMRI mdicos. [5][10]

3. Deteccin de dao en estructura

La transformada de wavelet aparece como una herramienta til para detectar dao en las estructuras. En los ensayos estticos, se puede utilizar para analizar la deformada esttica de la estructura y detectar posibles cambios producidos por la presencia de un dao. La transformada Wavelet sirve para detectar la disminucin de rigidez, modelada mediante la ecuacin dinmica del sistema, tambin permite la deteccin de cambios y singularidades en la seal de entrada que puede ser aplicada tanto a seales temporales como a seales espaciales.[13][14]

BIBLIOGRAFIA

[1] Suarez Vargas Francisco Csar, Transformada de Hilbert, Argentina: Jorge Sarmiento Editor - Universitas, 2012.

[2] A. Ambardar, Transformada de Hilbert, Colombia: Thomson, 2005.

[3] E. M. G. C. Hernndez Matos, Transformada de Hilbert, Chile: Editorial de la Universidad de Santiago de Chile, 2012.

[4] F. W. King, Transformada de Hilbert, de Hilbert Transforms, Hilbert Transforms, United Kingdom at the University Press, Cambridge.

[5] D. M. Ballesteros Larrotta, "Aplicacin de la transformada "wavelet" en la descomposicin temporo-frecuencial de seales de electroencefalografa," Umbral Cientfico, vol. 003, p. 12, 2006.

[6] R. X. Gao, Wavelets: Theory and Applications for Manufacturing, Nanjing, Jiangsu: Springer, 2010.

[7] S. Mallat, A Wavelet tour of signal processing, Paris: Academic press, 1999.

[8] A. D. Poularikas, TRANSFORMS AND APPLICATIONS HANDBOOK, Florida: CRC PRESS, 2010.

[9] G. E. M. Y. H. L. M. Jameson, Wavelets: Theory and Applications, USA: Oxford University Press, 1996.

[10] T. H. Koornwinder, Wavelets: An Elementary treatment of theory and Applications, London, Hong Kong: World scientific, 1993.

[11] K. J. S., "Wavelet Transform Aplications," Electronics Computer Technology (ICECT), vol. 1, no. 12096325, pp. 11-17, 2011.

[12] Castro, R. Dias H. Anlisis De Seales utilizando la transformada de Wavelet. Captulo 2

[13] S. Zhong, S. Ulutunde, Crack detection in simply supported beams without baseline modal parameters by stationary wavelet Transform vol. 7, March 1998

[14] A. Ovanesova, L.E. Suarez, Applications of Wavelet transforms to damage detection in frame structures, Engineering Structures, vol. 26, 2004