señales y sistemas - trabajo práctico n° 3 (representación generalizada en serie de fourier)

8/12/2019 Seales y sistemas - Trabajo Prctico N 3 (Representacin generalizada en Serie de Fourier)

1/27

Universidad Nacional de Tres de Febrero

Ingeniera de sonido

Seales y Sistemas

Trabajo Prctico Nro. 3:

Representacin generalizada en Serie de

Fourier

Docentes:

Ing. Antonio Greco

Mg. Lic. Myriam Sassano

Alumnos:

Alan Rubellin

Andrs Sabater

Fecha de entrega:

20/07/2012


2/27

1

ndice:

1. .................................................................................................................................. 2

1.1 ............................................................................................. 2

1.2 ............................................................................. 3

1.3 ..................................................................................... 4

1.4 ............................................................................................................ 5

1.5 ......................................................................................................................... 5

1. ...........................................................................................

1..1 ...........................................................................................................................

1..2 ...................................................................................

1..3 ....................................................................................

1..4 .............................................................................................

1..5 ..........................................................................................................

1. ....................................................................................................

1. ............................................................................................................

2. ................................................................................................................................... 10

3. ...................................................................................................................................... 11

3.1 ..................................................................................... 11

3.2 ............................................................................................................... 12

4. ................................................................................................................... 1

4.1 ...................................................................................................................... 1

4.2 ................................................................................. 1

4.2.1 5 .......................................................... 1

4.2.2 20 ........................................................ 20

4.2.3 50 ........................................................ 21

4.2.4 100 ...................................................... 22

4.2.4 100 ................................................. 23

4.3 ..................................................................................................... 24

5. .................................................................................................................................. 25

. .................................................................................................................................... 2


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2

1. Marco terico

1.1 Series trigonomtricas de Fourier

La series de Fourier constituyen una poderosa herramienta para el anlisis de sealesperidicas, tanto continuas como discretas. Este tipo de seales pueden ser representadas

mediante una suma infinita de combinaciones lineales de funciones senoidales y

cosenoidales relacionadas armnicamente con la frecuencia fundamental de la sealoriginal.

Para el caso de las seales continuas y peridicas, la representacin en Serie de Fourier en

el intervalo [-T/2, T/2] queda representada de la siguiente manera:

Expresin 1. Representacin en Serie de Fourier de una seal continua y peridica.

O bien, equivalentemente puede rescribirse:

Expresin 2. Representacin equivalente en Serie de Fourier de una seal continua y peridica.

Donde:x(t)es la seal original.Tesel perodo fundamental de la seal original.es la pulsacin angular de la seal original.

an y bn son los coeficientes de la serie de Fourier de la seal original, representados

mediante las siguientes expresiones:

Expresin 3. Coeficiente ande la Serie de Fourier de una seal continua y peridica.

Expresin 4. Coeficiente bnde la Serie de Fourier de una seal continua y peridica.

=

+

+=

1

0 cos)(n

nnT

tnsenb

T

tnaatx

=

+

+=

1

0

22cos

2)(

n

nn

ntsenb

nta

atx

( )=2/

2/cos)(

2

T

Tn dtnttx

Ta

( )=2/

2/)(

2

T

Tn dtntsentx

Tb


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3

1.2 Propiedad de las funciones pares e impares

Las propiedades de simetra de una funcin permiten saber anticipadamente que trminos

de estarn ausentes en la expansin en Serie de Fourier de la funcin as como tambin unasimplificacin para el clculo los trminos restantes. Para el caso el caso de la paridad de

una funcin, se tienen las siguientes propiedades:

a) La suma de dos (o ms) funciones impareses impar.

b) El producto de dos (o ms) funcionesparesespar.

c) El producto de dos (o ms) funciones impareses impar.

d) El productor de dos funciones, una impary la otrapar, es impar.

e) La derivada de una funcin par es impar.

f) La derivada de una funcin par es impar.

Sea x(t) una funcin peridicaparde perodo T, con a las propiedades (b) y (d) se tiene :

Por lo tanto, la expansin en Serie de Fourier de una seal peridica parde perodo T slo

contiene trminos con cosenos y queda determinada por la siguiente expresin:

Expresin 5. Expansin en Serie de Fourier de una seal peridica par de perodo T.

Sea x(t) una funcin peridica imparde perodo T, con a las propiedades (d) y (c) se tiene:

( ) ( ) == 2/

0

2/

2/cos)(

4cos)(

2

TT

Tn dtnttx

Tdtnttx

Ta

( ) 0)(2

2/

2/==

T

Tn dtntsentx

Tb

=

+=

1

0

2cos

2)(

n

n

nta

atx

( ) 0cos)(2

2/

2/==

T

Tn dtnttx

T

a

( ) ( ) == 2/

0

2/

2/)(

4)(

2

TT

Tn dtntsentx

Tdtntsentx

Tb


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4

Por lo tanto, la expansin en Serie de Fourier de una seal peridica imparde perodo T

slo contiene trminos con senos y queda determinada por la siguiente expresin:

Expresin 6. Expansin en Serie de Fourier de una seal peridica impar de perodo T.

1.3 Forma Compleja de la serie de Fourier

Es posible obtener una frmula alternativa a la representacin en Serie de Fourier,

utilizando la frmula de Euler:

Expresin 7. Representacin de cos(nt) por medio de la frmula de Euler.

Expresin 8. Representacin de sen(nt) por medio de la frmula de Euler.

Sustituyendo los trminos de la expresin 1 con las expresiones 5 y 6, se obtiene:

2)cos(

ntjntj ee

nt

+=

j

eentsen

ntjntj

2)(

=

=

+++=

=

1

0 )(2

1)(

2

1

2)(

n

ntj

nn

ntj

nn ejbaejbaa

tx

[ ] [ ] [ ]=++=++=

=

=

=

11

0

1

0

n

ntj

n

n

ntj

n

n

ntj

n

ntj

n ececcececc

=

=n

ntj

nec

=

=

1 2)(

n

n

ntsenbtx


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5

Por lo tanto, se obtiene la forma compleja de la Serie de Fourier:

Expresin 9. Forma compleja de la Serie de Fourier.

Donde los coeficientes complejos cnse pueden obtener mediante la siguiente expresin:

Expresin 10. Coeficientes complejos de la Serie de Fourier.

1.4 Condiciones de Dirichlet

Para que se garantice la convergencia de la Serie de Fourier de x(t) a x(t), es necesario que

sta ltima cumpla determinadas condiciones, conocidas como las condiciones de Dirichlet.Si x(t) es una funcin peridica acotada que en cualquier perodo posee:

1. Un nmero finito de mximos y mnimos aislados.2. Un nmero finito de discontinuidades finitas.

Entonces la expansin en Serie de Fourier de x(t) converge a x(t) en todos los puntos donde

x(t) es continua, y al promedio de los lmites por derecha y por izquierda en los puntos

donde x(t) es discontinua.

1.5 Efecto de Gibbs

En las discontinuidades de x (t) la convergencia de su Serie de Fourier se hace ms lenta yesto se conoce como el Fenmeno o Efecto de Gibbs. La magnitud de los saltos no

disminuye conforme el nmero de armnicos tiende a infinito, sino que tiende a un pico. En

general, la magnitud del salto hacia arriba y hacia abajo juntos, es de alrededor del 18% de

la magnitud de la discontinuidad (|f(t)+-f(t)

-|).

=

=n

ntj

nectx

)(

dtetxT

cT

ntj

n =

)(1


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Figura 1. Fenmeno de Gibbs en la aproximacin de una onda cuadrada (Advanced Engineering

Mathematics. Paul ONeil. Editorial Cenage; 7ma Edicin; 2007).

1.6 Propiedades de la Serie de Fourier

1.6.1 Linealidad

Sea x(t) tal que:

Donde g(t) y h(t) son funciones peridicas de periodo T, ay bson constantes arbitrarias,

entonces:

Expresin 11. Propiedad de linealidad.

Donde:

Siendo An(h) y Bn(h) los coeficientes de la Serie de Fourier de h(t), y An(g) y Bn(g) los

coeficientes de la Serie de Fourier de g(t).

bh(t)g(t))( += atx

)()cos(2

)(1

0 tnsenBtnAa

txn

nn

=

++=

)()( hbAgaAA nnn +=

)()( hbBgaBB nnn +=


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1.6.2 Integracin de una Serie de Fourier

Sea x(t) una funcin de perodo 2

Expresin 12. Serie de Fourier de una funcin de periodo 2.

Si se procede a integrar la expresin anterior en el intervalo [t1 t], se obtiene:

Expresin 13.Integracin de una Serie de Fourier de una funcin de periodo 2.

Como puede observarse, el resultado de la integracin de una Serie de Fourier no

necesariamente es otra Serie de Fourier.

1.6.3 Derivacin de una Serie de Fourier

Sea x(t) una funcin de perodo 2 definida en la expresin 11, su derivada (siempre que

sta exista) se determina mediante la siguiente expresin:

Expresin 14. Derivacin de una Serie de Fourier de una funcin de periodo 2.

Como puede observarse, el resultado de la derivacin de una Serie de Fourier es otra Serie

de Fourier con el coeficiente a0=0.

1.6.4 Teorema de la multiplicacin

Sean f(t) y g(t) dos funciones peridicas de perodo T, entonces:

Expresin 15.Teorema de la multiplicacin.

( ) ( )[ ]

=++=

1

0 cos2

)(n

nn ntsenbntaatx

( )

=

++=

1

1110 )cos()()cos()(

2)(

1n

nnnn

t

t

tn

btsen

n

at

n

btsen

n

att

adx

( ) ( )[ ]

==

1cos

n

nn ntsenantnbdt

dx

=

=2

2

)()(T

1

T

T n

nndcdttgtf


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Donde cn y dn son los coeficientes complejos de las series de Fourier de f(t) y g(t)

respectivamente.

1.6.5 Teorema de Parseval

Sea f(t) una funcin peridica de perodo T, entonces:

Expresin 16.Teorema de Parseval.

Por lo tanto, la raz cuadrtica media de una funcin en el perodo [t 1 t2] puede calcularse

como:

Expresin 17. Raz cuadrtica media de una funcin en un perodo de tiempo.

1.7 Serie generalizada de Fourier

Si x(t) es una funcin continua a pedazos en el intervalo t1


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1.7 Error Cuadrtico Medio

Si se desea aproximar la funcin x(t) por medio de N sumas parciales, utilizando la serie

generalizada de Fourier, se tiene que:

Expresin 20. Aproximacin de x(t) por medio de N sumas parciales utilizando la Serie generalizada de

Fourier.

Por lo tanto, puede calcularse el error cuadrtico medio cometido en la aproximacin

realizada por la Serie generalizada de Fourier con respecto en la seal original, de la

siguiente forma:

Expresin 21.Error cuadrtico medio.

Para que la expansin en Serie generalizada de Fourier de x(t) sea una aproximacin

cercana a x(t), es necesario que el error cuadrtico medio sea mnimo. Puede probarse queel ECM es mnimo para todo N, cuando los coeficientes Cn se eligen de acuerdo a la serie

generalizada de Fourier (Matemticas avanzadas para ingeniera.Glyn James. Editorial

Pearson Prentice Hall; 2da Edicin; 2002). Por lo tanto, la Serie generalizada de Fourierfinita en N sumas parciales, da la mejor aproximacin a x(t).

==N

n

nnN tctx1

)()(

[ ]212

2

1

)()(tt

1 =t

tN txtxECM


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10

2. Objetivos

Desarrollar un programa capaz de aproximar una funcin peridica, cualquiera seasu forma, por medio de la Serie generalizada de Fourier; de esta forma, se

minimizar el error cuadrtico medio cometido al realizar la aproximacin.

Comprobar la existencia del efecto Gibbs, en el caso que la seal que se deseeaproximar presente puntos de discontinuidad.


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3. Desarrollo

3.1 Parmetros de entrada del programa

Con el fin de alcanzar los objetivos anteriormente detallados, se desarroll un algoritmo en

Matlab capaz de realizar la expansin en Serie generalizada de Fourier de una sealperidica dada. Esta seal puede ser seleccionada por el usuario, modificando los siguientes

parmetros:

Porcentaje del perodo que ocupa la primera parte de la seal.

Forma de onda de la primera parte de la seal (triangular, escaln, diente de sierra).

Amplitud pico de la primera parte de la seal.

Forma de onda de la segunda parte de la seal (triangular, escaln, diente de sierra).

Amplitud pico de la segunda parte de la seal.

El programa a su vez, permite ingresar el nmero de armnicos con los cules se desea

aproximar la funcin original, determinada por los parmetros ingresados anteriormente.Finalmente, el algoritmo muestra como resultado la grfica de la seal original superpuesta

con la grfica de la seal aproximada por la Serie generalizada de Fourier con el nmero de

armnicos elegido. El programa tambin entrega el error cuadrtico medio cometido en la

aproximacin y; si la funcin a aproximar presenta discontinuidades, mostrar el valorporcentual entre los saltos hacia arriba y hacia abajo juntos de la funcin aproximada con

respecto al valor de la discontinuidad de la seal original (|f+-f

-|), con el fin de evaluar el

efecto Gibbs.


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3.2 Cdigo del programa

A continuacin se detalla el cdigo del programa realizado en Matlab:

% Programa en Matlab;

% Clculo de los coeficientes de Fourier para una seal

% peridica de perodo T=2*pi, con la posibilidad de modificacin de la% forma de la onda entre triangular, cuadrada y diente de sierra, y% modificacin del ciclo til.

clearclcclf

% Ingreso de parmetros necesarios para crear la seal

p=input('ingrese el porsentaje del perodo correspondiente a la primera

parte de la seal; p= ')

s1=input('Para la primera parte de la seal, ingrese "1" para triangular,"2" escaln, "3" diente de sierra; s1= ')

a1=input('Ingrese el valor pico de la primera parte de la seal; a1= ')

s2=input('Para la segunda parte de la seal, ingrese "1" para triangular,

"2" escaln, "3" diente de sierra; s2= ')

a2=input('Ingrese el valor pico de la segunda parte de la seal; a2= ')

N=input('Ingrese el numero de armnicos que pretende; N= ')

% Generacin vector tiempo

t=0:0.01:2*pi;

% Determinacin cantidad de puntos que tendr la funcin

h=length(t);


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13

forj=1:h

% Evaluacin de la primera parte de la sealift(j)


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14

% Determinacin de coeficiente principal

Ao=0;

forj=1:h

Ao=Ao+((1/h)*F(j));

end

% Muestra en pantalla coeficiente principalAo

% Generacin del vector que contendr la sumatoria de Fourier

S=zeros(1,h);

% Generacin del vector que contendr los coeficientes A (sin)

A=zeros(1,N);

% Generacin del vector que contendr los coeficientes B (cos)

B=zeros(1,N);

% Realizacin de la primer parte de la suma

forj=1:hS(j)=Ao/2;end

% Clculo de los coeficientes An y Bn

forn=1:Nforj=1:h

A(n)=A(n)+((1/h)*(F(j)*cos(n*t(j)/2)));B(n)=B(n)+((1/h)*(F(j)*sin(n*t(j)/2)));

endend

% Realizacin de la segunda parte de la sumatoria, habiendo sumado ya en% cada punto el coeficiente Ao.% S es la seal generada aplicando la expansin en Serie generalizada de

Fourier.

forn=1:Nforj=1:h

S(j)=S(j)+(A(n)*cos(n*t(j)/2))+(B(n)*sin(n*t(j)/2));end

end

% Clculo del Error Cuadrtico Medio

ECM=(sum((F-S).^2))/h


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15

% Clculo efecto Gibbs

Fmax1=0;Fmin1=0;Smax1=0;Smin1=0;Fmax2=0;Fmin2=0;Smax2=0;Smin2=0;

c1=floor(h*p/100);

% Bsqueda de Max y Min de la Serie de Fourier y la Seal original

forj=1:c1ifS(j)>Smax1

Smax1=S(j); % para la primer parte de la sealFmax1=F(j);

endifS(j)Smax2 % para la segunda parte de la sealSmax2=S(j);Fmax2=F(j);

endifS(j)a2

Gibbs=(abs(Smax1-Smin2)/abs(Fmax1-Fmin2)-1)*100;elseifa1


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1

% Grfica de los resultados obtenidos

plot (t,S) %Grfica seal fourier%plot (t,F,'r')grid onhold onplot (t,F,'r'); % grafica seal originaltitle('Serie de Fourier');xlabel('Tiempo');axis ([0,7,-2,4]);ylabel('Amplitud');legend('Serie de Fourier','F(t)');hold off


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1

4. Resultados Obtenidos

4.1 Seales elegidas

Para permitir la visualizacin de los resultados obtenidos por medio del algoritmodesarrollado en Matlab, se eligi una seal determinada en base a los siguientes parmetros:

p = 30 (30%) [Porcentaje del periodo que ocupa la primera parte de la seal]

s1= 3 (diente de sierra) [Forma de onda de la primera parte de la seal]

a1= 3 [Amplitud pico de la primera parte de la seal]

s2= 2 (escaln) [Forma de onda de la segunda parte de la seal]

a2= -1 [Amplitud pico de la segunda parte de la seal]

Figura 2. Grfica de la primera seal elegida


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1

Luego, para poder contrastar la existencia del efecto Gibbs en seales que presentan

discontinuidades con respecto a las que no, se eligi una seal triangular con los siguientes

parmetros:

p = 75 (75%) [Porcentaje del periodo que ocupa la primera parte de la seal]

s1= 1 (triangular) [Forma de onda de la primera parte de la seal]

a1= 3 [Amplitud pico de la primera parte de la seal]

s2= 1 (triangular) [Forma de onda de la segunda parte de la seal]

a2= -1 [Amplitud pico de la segunda parte de la seal]

Figura 3. Grfica de la segunda seal elegida.


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1

4.2 Resultados entregados por el programa

A continuacin se exponen los resultados entregados por el programa realizado en Matlab,

para las seales elegidas anteriormente.Para el caso de la primera seal, se evaluaron los resultados utilizando 5, 20, 50 y 100

armnicos, con el fin de efectuar una comparacin coherente entre todos los casos.Para el caso de la seal triangular, se evaluaron los resultados utilizando 100 armnicospara analizar lo sucedido referente al efecto Gibbs en seales que no presentan

discontinuidades.

4.2.1 Aproximacin de la primer seal con 5 armnicos

ECM = 0.2931

Gibbs = 14.0836

Figura 4. Grfica de la primera seal aproximada por medio de la expansin en Serie generalizada de

Fourier, utilizando la cantidad de 5 armnicos.


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20


ECM = 0.0816

Gibbs = 19.4744




22/27


23/27

22


ECM = 0.0163

Gibbs = 18.3002




24/27

23

4.2.4 Aproximacin de la seal triangular con 100 armnicos

ECM = 4.75e-6

Gibbs = -0.7442

Figura 8. Grfica de la primera seal triangular aproximada por medio de la expansin en Serie

generalizada de Fourier, utilizando la cantidad de 100 armnicos.


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4.3 Comparativa de resultados

A fin de realizar la comparacin pertinente de los resultados obtenidos en cada casa, se ha

confeccionado la siguiente tabla:

Primer Seal

N de armnicos ECM Gibbs (%)5 0,2931 14,0836

20 0,0816 19,4744

50 0,0326 18,4252

100 0,0163 18,3002

Seal Triangular 100 4,75 x 10- -0.7442

Tabla 1.Comparativa de resultados.


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5. Conclusiones

Luego de alcanzar el algoritmo necesario en un programa de Matlab; se ha logrado

desarrollar la expansin en serie de Fourier de una seal generada a partir de la

combinacin entre seales fundamentales.

Se ha podido observar un decremento del Error Cuadrtico Medio inversamenteproporcional a la cantidad de armnicos con que se aproxima la funcin. As como

tambin, en el caso de una seal triangular, se denota una reduccin considerable del ECMdebido a que esta no presenta discontinuidades, notndose la misma tendencia por parte del

efecto Gibbs en esta seal. Por lo tanto se puede afirmar que la aproximacin por serie de

Fourier presenta error en las discontinuidades; debindose esto al efecto Gibbs.

Observando las grficas generadas se puede determinar que el error de aproximacin sepresenta fundamentalmente en las discontinuidades. En los puntos continuos de la funcin,

a medida que se incrementa el nmero de armnicos la aproximacin se ajusta

minimizando considerablemente el error.


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6. Bibliografia

Seales y Sistemas. Oppenheim Willsky Nawab . Editorial Pearson PrenticeHall; 2

daEdicin; 1997

Matlab: Una Introduccin con Ejemplos Prcticos. Amos Gilat. EditorialRevert; 2da Edicin; 2006

Matemticas Avanzadas para Ingeniera. Glyn James. Editorial Pearson Prentice Hall; 2

daEdicin; 2002.

Advanced Engineering Mathematics. Paul ONeil. Editorial Cenage; 7maEdicin; 2007.

Introduccin a la Teora y Sistemas de Comunicacin.B.P. Lathi. EditorialLimusa; 2001.

señales y sistemas - trabajo práctico n° 3 (representación generalizada en serie de fourier)

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