trabajo de resistencia
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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA
FUERZA ARMADA
SAN TOMÉ-NÚCLEO ANZOATEGUI
Profesor: Bachilleres:
Arq. Verónica González Díaz Mersileydis C.I:21.176.677
Rodríguez Jhosimar C.I: 19629854
Ana Acevedo C.I:
Anais Velasquez C.I:
San Tomé 07/02/2011 Sección: DN
INTRODUCCION
Mediante la teoría de Euler-Bernoulli para el cálculo de vigas es la que se
deriva de la hipótesis cinemática de Euler-Bernouilli, y puede emplearse para
calcular tensiones y desplazamientos sobre una viga o arco de longitud de eje
grande comparada con el canto máximo o altura de la sección transversal.
Cuando un sólido está sujeto por uno de sus extremos y por el otro está
sometido a una fuerza P que actúa perpendicularmente a su eje, se dice que está
sometido a un esfuerzo de flexión.
También surge un esfuerzo de flexión en un cuerpo cuando está sujeto por
sus dos extremos y se aplica una carga sobre él.
Una viga es un elemento estructural diseñado para soportar cargas
aplicadas en diferentes puntos de su longitud. En la mayoría de los casos, estas
cargas son perpendiculares al eje principal de la viga y los únicos esfuerzos que
se producirán serán esfuerzos cortantes y momentos flectores. Si en algún caso
se aplican cargas que no sean perpendiculares al eje de la viga, se producirán
también esfuerzos axiales (paralelos al eje principal).
Para poder determinar los esfuerzos producidos en un elemento sometido a
flexión, es necesario realizar primero un estudio de las deformaciones normales
producidas sobre la sección transversal del elemento.
La flexión también se trata de una fuerza cortante y momento flector, A este
momento lo denominamos momento flector y directamente dependerá de la
magnitud de la fuerza y de la distancia al punto de aplicación.
La Torsión en sí, se refiere a la deformación helicoidal que sufre un cuerpo
cuando se le aplica un par de fuerzas ( sistemade fuerzas paralelas de igual
magnitud y sentido contrario). La torsión se puede medir observando la
deformación que produce en un objeto un par determinado.
MARCO TEORICO
FLEXIÓN
Flexión al tipo de deformación que presenta un elemento estructural
alargado en una dirección perpendicular a su eje longitudinal. El término
"alargado" se aplica cuando una dimensión es dominante frente a las otras. Un
caso típico son las vigas, las que están diseñadas para trabajar, principalmente,
por flexión. Igualmente, el concepto de flexión se extiende a elementos
estructurales superficiales como placas o láminas.
El rasgo más destacado es que un objeto sometido a flexión presenta una
superficie de puntos llamada fibra neutra tal que la distancia a lo largo de cualquier
curva contenida en ella no varía con respecto al valor antes de la deformación. El
esfuerzo que provoca la flexión se denomina momento flector.
Las vigas se pueden clasificar según sus vínculos en:
Apoyada o doblemente apoyada
Apoyada y empotrada
En voladizo
Empotrada o doblemente empotrada
Con múltiples apoyos
La distancia entre sus soportes se llama luz de la viga.
Podemos encontrarnos con dos tipos de flexión: isostática e hiperestática.
En la flexión isostática, las reacciones resultantes de la acción de las
fuerzas sobre los soportes de la viga se pueden calcular mediante las tres
ecuaciones de la estática; al haber tres incógnitas, se trata de casos estáticamente
determinados. Si aparecen más de tres incógnitas, se dice que es un caso
estáticamente indeterminado o hiperestático, como sucede en las vigas
empotradas en sus dos extremos.
FLEXIÓN PURA
La flexión pura se refiere a la flexión de un elemento bajo la acción de un
momento flexionante constante. Cuando un elemento se encuentra sometido a
flexión pura, los esfuerzos cortantes sobre él son cero. Un ejemplo de un elemento
sometido a flexión pura lo constituye la parte de la viga entre las dos cargas
puntuales P.
FLEXIÓN SIMPLE
En la vida práctica son pocos los elementos que se encuentran sometidos a
flexión pura. Por lo general los miembros se encuentran en flexión no uniforme lo
que indica que se presentan de forma simultanea momentos flectores y fuerzas
cortantes. Por lo tanto se hace necesario saber que sucede con los esfuerzos y las
deformaciones cuando se encuentran en esta situación. Para ello se deben
conocer las fuerzas internas que actúan sobre los elementos determinándolas
para la obtención de los diagramas de momentos flectores y fuerzas cortantes que
actúan sobre un elemento dado.
FLEXIÓN BIAXIAL
La flexión biaxial se presenta cuando un elemento es sometido a cargas
que actúan sobre direcciones que son oblicuas a los ejes de simetría de su
sección transversal. Un ejemplo lo constituye la viga en voladizo de la siguiente
figura sometida a la acción de una carga P, cuya dirección es oblicua a los ejes de
simetría.
Flexión Asimétrica:
- Flexión Asimétrica Pura
Para el análisis de esta se debe estudiar el comportamiento de miembros
sometidos a flexión pura de sección transversal asimétrica, considerando que
"cuando una viga asimétrica se encuentra sometida a flexión pura, el plano del
momento flexionante es perpendicular a la superficie neutra sólo si los ejes
centroidales de la sección transversal son los ejes principales de la misma".
Los ejes principales son aquellos con respecto a los cuales la sección
transversal presenta sus momentos de inercia máximo y mínimo, siendo, El
producto de inercia para estos es cero.
FLEXIÓN EN VIGAS Y ARCOS
Las vigas o arcos son elementos estructurales pensados para trabajar
predominantemente en flexión. Geométricamente son prismas mecánicos cuya
rigidez depende, entre otras cosas, del momento de inercia de la sección
transversal de las vigas. Existen dos hipótesis cinemáticas comunes para
representar la flexión de vigas y arcos:
La hipótesis de Navier-Bernouilli.
La hipótesis de Timoshenko.
-Teoría de Euler-Bernoulli
La teoría de Euler-Bernoulli para el cálculo de vigas es la que se deriva de la
hipótesis cinemática de Euler-Bernouilli, y puede emplearse para calcular
tensiones y desplazamientos sobre una viga o arco de longitud de eje grande
comparada con el canto máximo o altura de la sección transversal.
Para escribir las fórmulas de la teoría de Euler-Bernouilli conviene tomar un
sistema de coordenadas adecuado para describir la geometría, una viga es de
hecho un prisma mecánico sobre el que se pueden considerar las coordenadas (s,
y, z) con s la distancia a lo largo del eje de la viga e (y, z) las coordenadas sobre la
sección transversal. Para el caso de arcos este sistema de coordenadas
es curvilíneo, aunque para vigas de eje recto puede tomarse como cartesiano (y
en ese caso s se nombra como x). Para una viga de sección recta la tensión el
caso de flexión compuesta esviada la tensión viene dada por la fórmula de
Navier:
Donde:
son los segundos momentos de área (momentos de inercia) según
los ejes Y y Z.
es el momento de área mixto o producto de inercia según los ejes Z e
Y.
Son los momentos flectores según las direcciones Y y Z,
que en general variarán según la coordenada x.
es el esfuerzo axial a lo largo del eje.
Si la dirección de los ejes de coordenadas (y, z) se toman coincidentes con
las direcciones principales de inercia entonces los productos de inercia se anulan
y la ecuación anterior se simplifica notablemente. Además si se considera el caso
de flexión simple no-desviada las tensiones según el eje son simplemente:
Por otro lado, en este mismo caso de flexión simple no esviada, el campo de
desplazamientos, en la hipótesis de Bernoulli, viene dada por la ecuación de
la curva elástica:
Donde:
Representa la flecha, o desplazamiento vertical, respecto de la
posición inicial sin cargas.
Representa el momento flector a lo largo de la ordenada x.
el segundo momento de inercia de la sección transversal.
el módulo de elasticidad del material.
Representa las cargas a lo largo del eje de la viga.
Teoría de Timoshenko
La diferencia fundamental entre la teoría de Euler-Bernouilli y la teoría
de Timoshenko es que en la primera el giro relativo de la sección se aproxima
mediante la derivada del desplazamiento vertical, esto constituye una
aproximación válida sólo para piezas largas en relación a las dimensiones de la
sección transversal, y entonces sucede que las deformaciones debidas al esfuerzo
cortante son despreciables frente a las deformaciones ocasionadas por
el momento flector. En la teoría de Timoshenko, donde no se desprecian las
deformaciones debidas al cortante y por tanto es válida también para vigas cortas,
la ecuación de la curva elástica viene dada por el sistema de ecuaciones más
complejo:
Derivando la primera de las dos ecuaciones anteriores y substituyendo en ella la
segunda llegamos a la ecuación de la curva elástica incluyendo el efecto del
esfuerzo cortante:
FLEXIÓN EN PLACAS Y LÁMINAS
Una placa es un elemento estructural que puede presentar flexión en dos
direcciones perpendiculares. Existen dos hipótesis cinemáticas comunes para
representar la flexión de placas y láminas:
La hipótesis de Love-Kirchhoff
La hipótesis de Reissner-Mindlin.
Siendo la primera el análogo para placas de la hipótesis de Navier-Bernouilli
y el segundo el análogo de la hipótesis de Timoshenko.
Teoría de Love-Kirchhoff
La teoría de placas de Love-Kirchhoff es la que se deriva de la hipótesis
cinemática de Love-Kirchhoff para las mismas y es análoga a la hipótesis de
Navier-Bernouilli para vigas y por tanto tiene limitaciones similares, y es adecuada
sólo cuando el espesor de la placa es suficientemente pequeño en relación a su
largo y ancho.
Para un placa de espesor constante h emplearemos un sistema de coordenadas
cartesianas con (x, y) según el plano que contiene a la placa, y el ese z se tomará
según la dirección perpendicular a la placa (tomando z = 0 en el plano medio).
Con esos ejes de coordenadas las tensiones según las dos direcciones
perpendiculares de la placa son:
Donde:
, es el segundo momento de área por unidad de ancho.
, son los momentos flectores por unidad de ancho, que pueden
relacionarse con el campo de desplazamientos verticales w(x,y) mediante las
siguientes ecuaciones:
Para encontrar la flecha que aparece en la ecuación anterior es necesario resolver
una ecuación en derivadas parciales que es el análogo bidimensional a la
ecuación de la curva elástica:
El factor: se llama rigidez flexional de placas.
Teoría de Reissner-Mindlin
La teoría de Reissner-Mindlin es el análogo para placas de la teoría de
Timoshenko para vigas. Así en esta teoría, a diferencia de la teoría más
aproximada de Love-Kirchhoff, el vector normal al plano medio de la placa una vez
deformada la placa no tiene por qué coincidir con el vector normal a la superficie
media deformada.
TORSION
Torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento
sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como
pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre
las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas.
La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela
al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por las
dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él
(ver torsión geométrica).
El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de
solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por dos
fenómenos:
1. Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la sección
transversal. Si estas se representan por un campo vectorial sus líneas de
flujo "circulan" alrededor de la sección.
2. Cuando las tensiones anteriores no están distribuidas
adecuadamente, cosa que sucede siempre a menos que la sección tenga
simetría circular, aparecen alabeos seccionales que hacen que las
secciones transversales deformadas no sean planas.
LOS EFECTOS DE LA APLICACIÓN DE UNA CARGA DE TORSIÓN A
UNA BARRA SON:
Producir un desplazamiento angular de la sección de un
extremo respecto al otro
Originar tensiones cortantes en cualquier sección de la barra
perpendicular a su eje.
A veces, a lo largo de un eje actúan una serie de pares. En este caso, es
conveniente introducir un nuevo concepto, el momento torsor, que se define para
cada sección de la barra, como la suma algebraica de los momentos de los pares
aplicados, situados a un lado de la sección considerada. Naturalmente, la elección
de lado es arbitraria en cada caso.
La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela
al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por las
dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él
(ver torsión geométrica).
El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de
solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por dos
fenómenos:
1. Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la sección
transversal. Si estas se representan por un campo vectorial sus líneas de
flujo "circulan" alrededor de la sección.
2. Cuando las tensiones anteriores no están distribuidas
adecuadamente, cosa que sucede siempre a menos que la sección tenga
simetría circular, aparecen alabeos seccionales que hacen que las
secciones transversales deformadas no sean planas.
Dominios de la torsión
En el caso general se puede demostrar que el giro relativo de una sección no es
constante y no coincide tampoco con la función de alabeo unitario. A partir del
caso general, y definiendo la esbeltez torsional como:
Donde G, E son respectivamente el módulo de elasticidad transversal y el módulo
elasticidad longitudinal, J, Iω son el módulo torsional y el momento de
alabeo y L es la longitud de la barra recta. Podemos clasificar los diversos casos
de torsión general dentro de límites donde resulten adecuadas las teorías
aproxiamdas expuestas a continuación.
De acuerdo con Kollbruner y Basler:1
Torsión de Saint-Venant pura, cuando .
Torsión de Saint-Venant dominante, cuando .
Torsión alabeada mixta, cuando .
Torsión alabeada dominante, cuando .
Torsión alabeada pura, cuando .
El cálculo exacto de la torsión en el caso general puede llevarse a cabo
mediante métodos variacionales o usando un lagrangiano basado en la energía de
deformación. El caso de la torsión alabeada mixta sólo puede ser tratado la teoría
general de torsión. En cambio la torsión de Saint-Venant y la torsión alabeada
puras admiten algunas simplifaciones útiles.
La teoría de la torsión de Saint-Venant es aplicable a piezas prismáticas de gran
inercia torsional con cualquier forma de sección, en esta simplificación se asume
que el llamado momento de alabeo es nulo, lo cual no significa que el alabeo
seccional también lo sea. La teoría de torsión de Saint-Venant da buenas
aparoximaciones para valores λT > 10, esto suele cumplirse en:
1. Secciones macizas de gran inercia torsinal (circulares o de otra forma).
2. Secciones tubulares cerradas de pared delgada.
3. Secciones multicelulares de pared delgada.
Para secciones no circulares y sin simetría de revolución la teoría de Sant-Venant
además de un giro relativo de la sección transversal respecto al eje baricéntrico
predice un alabeo seccional o curvatura de la sección transversal. La teoría de
Coulomb de hecho es un caso particular en el que el alabeo es cero, y por tanto
sólo existe giro.
Torsión recta: Teoría de Coulomb
La teoría de Coulomb es aplicable a ejes de transmisión de potencia macizos o
huecos, debido a la simetría circular de la sección no pueden existir alabeos
diferenciales sobre la sección. De acuerdo con la teoría de Coulomb la torsión
genera una tensión cortante el cual se calcula mediante la fórmula:
Donde:
: Esfuerzo cortante a la distancia ρ.
T: Momento torsor total que actúa sobre la sección.
: Distancia desde el centro geométrico de la sección hasta el punto donde
se está calculando la tensión cortante.
J: Módulo de torsión.
Esta ecuación se asienta en la hipótesis cinemática de Coulomb sobre como se
deforma una pieza prismática con simetría de revolución, es decir, es una teoría
aplicable sólo a elementos sección circular o circular hueca. Para piezas con
sección de ese tipo se supone que el eje baricéntrico permanece inalterado y
cualquier otra línea paralea al eje se transforma en una espiral que gira alrededor
del eje baricéntrico, es decir, se admite que la deformación viene dada por unos
desplazamientos del tipo:
El tensor de deformaciones para una pieza torsionada como la anterior se obtiene
derivando adecuadamente las anteriores componentes del vector de
desplazamiento:
A partir de estas componentes del tensor de deformaciones usando
las ecuaciones de Lamé-Hooke llevan a que el tensor tensión viene dado por:
Usando las ecuaciones de equivalencia se llega a la relación existente entre la
función α y el momento torsor:
Donde , es el momento de inercia polar que es la suma de
los segundos momentos de área.
Torsión no recta: Teoría de Saint-Venant
Para una barra recta de sección no circular además del giro relativo aparecerá un
pequeño alabeo que requiere una hipótesis cinemática más complicada. Para
representar la deformación se puede tomar un sistema de ejes en el que X
coincida con el eje de la viga y entonces el vector de desplazamientos de un punto
de coordenadas (x, y, z) viene dado en lahipótesis cinemática de Saint-Venant por:
Donde es el giro relativo de la sección (siendo su derivada constante);
siendo zC y yC las coordenadas del centro de cortante respecto al centro de
gravedad de la sección transversal y siendo ω(y, z) la función de alabeo
unitario que da los desplazamientos perpendiculares a la sección y permiten
conocer la forma curvada final que tendrá la sección transversal. Conviene
señalar, que la teoría al postular que la derivada del giro es constante es sólo una
aproximación útil para piezas de gran inercia torsional. Calculando las
componentes del tensor de deformaciones a partir de las derivadas del
desplazamiento se tiene que:
Calculando las tensiones a partir de las anteriores deformaciones e
introduciéndolas en la ecuación de equilibrio elástico se llega a:
Analogía de la membrana de Prandtl
La pendiente de una membrana de Prandtl deformada coinciden con las tensiones
tangenciales de torsión de un prisma mecánico cuya sección transversal tenga
precisamente la misma forma que la membrana.
Secciones cerradas simples de pared delgada
En este caso las tensiones tangenciales pueden considerarse aproximadamente
constantes sobre una línea paralela al espesor de la pieza, es decir, perpendicular
al contorno exterior de la pieza. La tensión tangencial en este caso puede
expresarse mediante:
Donde:
, es el área encerrada por la línea media de la sección tubular.
, es el espesor de la sección tubular en el punto s de la curva del
contorno.
Mientras que el giro:
En caso de que el espesor sea e(s) = e0constante esta última ecuación se reduce
a:
Secciones multicelulares de pared delgada
Torsión alabea pura
Para piezas de muy escasa inercia torsional, como las piezas de pared delgada
abierta, puede construirse un conjunto de ecuaciones muy simples en la que casi
toda la resistencia a la torsión se debe a las tensiones cortantes inducidas por el
alabeo de la sección. En la teoría de torsión alabeada pura se usa la aproximación
de que el momento de alabeo coincide con el momento torsor total. Esta teoría se
aplica especialmente a piezas de pared delgada abierta, donde no aparecen
esfuerzos de membrana.
Secciones abiertas de pared delgada
Para un rectángulo muy alargado (b << a) la tensión tangencial máxima y el giro
pueden aproximarse por:
Para una perfil I o perfil H que puede ser aproximado uniendo rectangulos de
dimensiones (ai,bi) (dos alas rectangualres alargadas y un alma rectangular
alargada) las expresiones anteriores se pueden generalizar a:
Donde τi,max es la tensión tangencial máxima sobre el rectángulo i-ésimo, bi es el
espesor (ancho) de dicho rectángulo y ai su largo.
Torsión mixta
En el dominio de torsión de Saint-Venant dominante y de torsión alabeada
dominante, pueden emplearse con cierto grado de aproximación la teoría de Sant-
Venant y la teoría de torsión alabeada. Sin embargo en el dominio central de
torsión extrema, se cometen errores importantes y es necesario usar la teoría
general más complicada.
Donde las magnitudes geométricas son respectivamente el segundo
momento de alabeo y el módulo de torsión y los "esfuerzos" se
denominan bimomento y momento de alabeo, todos ellos definidos para prismas
mecánicos.
Ejercicios:
FLEXION EN VIGAS.
Ejercicio: TORSION
CONCLUSION
El rasgo más destacado es que un objeto sometido a flexión presenta una
superficie de puntos llamada fibra neutra tal que la distancia a lo largo de cualquier
curva contenida en ella no varía con respecto al valor antes de la deformación. El
esfuerzo que provoca la flexión se denomina momento flector. Donde no es mas
que aquella que esta vinculada estrictamente con las vigas o arcos son elementos
estructurales pensados para trabajar predominantemente en flexión.
Geométricamente son prismas mecánicos cuya rigidez depende, entre otras
cosas, del momento de inercia de la sección transversal de las vigas.
. Existen dos hipótesis cinemáticas comunes para representar la flexión de
vigas y arcos:
La hipótesis de Navier-Bernouilli.
La hipótesis de Timoshenko.
La diferencia fundamental entre la teoría de Euler-Bernouilli y la teoría de
Timoshenko es que en la primera el giro relativo de la sección se aproxima
mediante la derivada del desplazamiento vertical, esto constituye una
aproximación válida sólo para piezas largas en relación a las dimensiones de la
sección transversal, y entonces sucede que las deformaciones debidas al esfuerzo
cortante son despreciables frente a las deformaciones ocasionadas por el
momento flector
Da información directamente del comportamiento a cortadura del
material y la información de su comportamiento a tracción se puede deducir
fácilmente.
La torsión en sí se refiere a un desplazamiento circular de una
determinada sección transversal de un elemento cuando se aplica sobre
éste un momento torsor o una fuerza que produce un momento torsor
alrededor del eje. El ángulo de torsión varía longitudinalmente.
