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Prueba de Hipótesis:

Hipótesis es una aseveración de una población elaborado con el propósito de

poner aprueba, para verificar si la afirmación es razonable se usan datos.

En el análisis estadístico se hace una aseveración, es decir, se plantea una hipótesis, después se hacen las pruebas para verificar la aseveración o para determinar que no es verdadera.

Por tanto, la prueba de hipótesis es un procedimiento basado en la evidencia muestral y la teoría de probabilidad; se emplea para determinar si la hipótesis es una afirmación razonable.

Prueba de una hipótesis: se realiza mediante un procedimiento sistemático de cinco paso:

Procedimiento sistemático para una prueba de hipótesis de una muestra

Paso 1: Plantear la hipótesis nula Ho y la hipótesis alternativa H1.

Cualquier investigación estadística implica la existencia de hipótesis o afirmaciones acerca de las poblaciones que se estudian.

La hipótesis nula (Ho) se refiere siempre a un valor especificado del parámetro de población, no a una estadística de muestra. La letra H significa hipótesis y el subíndice cero no hay diferencia. Por lo general hay un "no" en la hipótesis nula que indica que "no hay cambio" Podemos rechazar o aceptar Ho.

La hipótesis nula es una afirmación que no se rechaza a menos que los datos maestrales proporcionen evidencia convincente de que es falsa. El planteamiento de la hipótesis nula siempre contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parámetro.

La hipótesis alternativa (H1) es cualquier hipótesis que difiera de la hipótesis nula. Es una afirmación que se acepta si los datos maestrales proporcionan evidencia suficiente de que la hipótesis nula es falsa. Se le conoce también como la

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hipótesis de investigación. El planteamiento de la hipótesis alternativa nunca contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parámetro.

Paso 2: Seleccionar el nivel de significancia.

Nivel de significancia: Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. Se le denota mediante la letra griega α, también es denominada como nivel de riesgo, este termino es mas adecuado ya que se corre el riesgo de rechazar la hipótesis nula, cuando en realidad es verdadera. Este nivel esta bajo el control de la persona que realiza la prueba.

Si suponemos que la hipótesis planteada es verdadera, entonces, el nivel de significación indicará la probabilidad de no aceptarla, es decir, estén fuera de área de aceptación. El nivel de confianza (1-α), indica la probabilidad de aceptar la hipótesis planteada, cuando es verdadera en la población.

Intervalo de confianza

Las líneas verticales representan 50 construcciones diferentes de intervalos de

confianza para la estimación del valor μ.

En estadística, se llama intervalo de confianza a un par de números entre los

cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada

probabilidad de acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que

se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es

un parámetro poblacional. La probabilidad de éxito en la estimación se representa

con 1 - α y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el

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llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las

posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo.1

El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma

que un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de

confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una

estimación más precisa, aumentan sus posibilidades de error.

Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario

conocer la distribución teórica que sigue el parámetro a estimar,θ. Es habitual que

el parámetro presente una distribución normal. También pueden construirse

intervalos de confianza con la desigualdad de Chebyshov.

En definitiva, un intervalo de confianza al 1 - α por ciento para la estimación de un

parámetro poblacional θ que sigue una determinada distribución de probabilidad,

es una expresión del tipo [θ1, θ2] tal que P[θ1 ≤ θ ≤ θ2] = 1 - α, donde P es

la función de distribución de probabilidad de θ.

Ejemplos

Intervalo de confianza para la media de una población.

De una población de media y desviación típica se pueden

tomar muestras de elementos. Cada una de estas muestras tiene a su vez una

media ( ). Se puede demostrar que la media de todas las medias muestrales

coincide con la media poblacional:

Pero además, si el tamaño de las muestras es lo suficientemente grande, la

distribución de medias muestrales es, prácticamente, una

distribución (o gaussiana) con media μ y una desviación típica dada por la

siguiente expresión:

. Esto se representa como sigue:

.

Si estandarizamos, se sigue que

En una distribución Z ~ N(0, 1) puede calcularse fácilmente un intervalo dentro del

cual caigan un determinado porcentaje de las observaciones, esto es, es sencillo

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hallar z1 y z2 tales que P[z1 ≤ z ≤ z2] = 1 - α, donde (1 - α)·100 es el porcentaje

deseado.

Se desea obtener una expresión tal que

En esta distribución normal de medias se puede calcular el intervalo de confianza

donde se encontrará la media poblacional si sólo se conoce una media muestral (

), con una confianza determinada. Habitualmente se manejan valores de

confianza del 95 y del 99 por ciento. A este valor se le llamará (debido a

que es el error que se cometerá, un término opuesto).

Para ello se necesita calcular el punto —o, mejor dicho, su versión

estandarizada o valor crítico— junto con su "opuesto en la

distribución" . Estos puntos delimitan la probabilidad para el intervalo, como

se muestra en la siguiente imagen:

Dicho punto es el número tal que:

Y en la versión estandarizada se cumple que:

Así:

Haciendo operaciones es posible despejar para obtener el intervalo:

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De lo cual se obtendrá el intervalo de confianza:

Obsérvese que el intervalo de confianza viene dado por la media muestral ± el

producto del valor crítico por el error estándar .

Si no se conoce y n es grande (habitualmente se toma n ≥ 30):4

, donde s es la desviación típica de una muestra.

Aproximaciones para el valor para los niveles de confianza estándar son 1,96

para y 2,576 para .

Intervalo de confianza para una proporción.

El intervalo de confianza para estimar una proporción p, conocida una proporción

muestral pn de una muestra de tamaño n, a un nivel de confianza del (1-α)·100%

es:

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Alumno: Cesar Jesús Estrada Escobedo

2DO cuatrimestre Sección “A”

Maestro: Lic. Gerardo Edgar Mata

Materia: Estadística

Fecha: 18/04/12