UNIVERSIDAD CATOLICA DE SANTA MARIA

FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERIASFISICASY FORMALES

PROGRAMA PROFECIONAL DE INGENIERIA MECANICA ELECTRICA Y MECATRONICA

MECANICA COMPUTACIONAL II

INFORME DE FASE N°1

ING. JUAN CARLOS CUADROS

AREQUIPA-PERÚ 2009-10-8

NOMBRE CODIGO SECCIONMEDINA VILLEGAS ARNULFO ANDRE 2008201681 A

SALINAS BARREDA EDISON ERICK 2008802361 AARENAS OVIEDO ALVARO ALONSO 2008203911 A

MONZÓN ARU DIEGO YAIR 2008201561 A

TRABAJO DE FASE N°1

1. Si se drena el agua desde un tanque cilíndrico vertical por medio de abrir una válvula en la base, el liquido fluirá rápidamente cuando el tanque este lleno y despacio conforme se drene. La tasa a la que el nivel del agua disminuye es:

dydt

=−k √ y

donde es una constante que depende de la forma del agujero y del área de la sección transversal del tanque y agujero de drenaje. La profundidad del agua y se mide en metros y el tiempo t en minutos. Si k=0.06 determine cuánto tiempo se requiere para vaciar el tanque si el nivel del fluido se encuentra en un inicio a 3 m.

2.1.1. Resuelva analíticamente con por la metodología de Euler. Utilice un paso de 0.5 minutos2.1.2. Resuelva analíticamente por la metodología de RK2, bajo las mismas condiciones.2.1.3. Haga una grafica de los resultados de cada uno de los métodos aplicados

Resolución de 2.1.1 y 2.1.2 adjuntado en el archivo de Excel

2.1.3Grafica de Euler

0 10 20 30 40 50 60-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Grafica de RK2

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

1.5

2

2.5

3

VALOR REAL DE LA INTEGRACION:

1−0.06∫3

0 dy√ y

=∫0

t

dt

10.06

(2√3 )=t

t=57,72. Implemente un programa en MATLAB que solucione el problema anterior. El programa

deberá solicitar cual de los dos métodos se empleará en la solución, y una vez hecha la elección por parte del usuario deberá mostrar la respuesta al problema en forma tabular y gráfica. Adjuntar su diagrama de flujo.

Código:

clc, clear allq=menu('seleccione el metodo','metodo de Euler','Metodo de RK2');switch q case 1 F=inline('-0.06*sqrt(y)'); h=0.5; y(1)=3; t(1)=0; i=1; while y(i)>0 y(i+1)=y(i)+F(y(i))*h; t(i+1)=t(i)+h;

fprintf('%5.5f %5.5f %5.5f %5.5f\n',t(i),y(i),t(i+1),y(i+1)) i=i+1; end grid on plot(t,y) grid on case 2 F=inline('-0.06*sqrt(y)'); h=0.5; y(1)=3; t(1)=0; i=1; while y(i)>0 k1=F(y(i)); y1(i+1)=y(i)+F(y(i))*h; if y1(i+1)<0 break end t(i+1)=t(i)+h; k2=F(y1(i+1)); yn(i+1)=y(i)+(h/2)*(k1+k2); fprintf('%5.5f %5.5f %5.5f %5.5f %5.5f %5.5f %5.5f\n',t(i),y(i),k1,t(i+1),y1(i+1),k2,yn(i+1)) y(i+1)=yn(i+1); i=i+1; end grid on plot(t,y) grid onendAlgoritmo:

i. Elegir el método a realizarii. Si se elige el método de Euler

i. Ingresar la función, h, y0, t0, i=1ii. Mientras y(i)>0

1. y(i+1)=y(i)+f(y(i))*h2. t(i+1)=t(i)+h;3. i=i+1

iii. Si se elige el método de RK2i. Ingresar la función, h, y0, t0, i=1

ii. Mientras y(i)>01. K1=f(y(i))2. y(i+1)=y(i)+F(y(i))*h3. t(i+1)=t(i)+h;4. k2=F(y1(i+1));5. yn(i+1)=y(i)+(h/2)*(k1+k2)6. y(i+1)=yn(i+1)7. i=i+1

y(i)>0

i=i+1

t(i), y(i), t(i+1), y(i+1)

y(i)>0

i=i+1

t(i),y(i),K1,t(i+1),y1(i+1),k2,yn(i+1)

INICION

h=0.5;y(1)=3;t(1)=0;i=1;q

q=1 q=2

FIN

Diagrama de flujo:

3. Es frecuente que en los análisis avanzados de ingeniería surjan funciones de Bessel, como en el estudio

de los campos eléctricos. Dichas funciones por lo general no son susceptibles de evaluarse en forma directa y, por ello, no es raro que estén compiladas en tablas matemáticas estándar. Por ejemplo,

x J1(x)1.8 0.58152 0.57672.2 0.5562.4 0.52022.6 0.4708

Estime J1(2.1) con el uso de un polinomio de interpolación de Lagrange de grado máximo de acuerdo a los datos proporcionados. Si el valor verdadero es 0.568292, haga el cálculo del error absoluto y el error relativo

x=2.1

f (xn )=0.568292

|Ea|=¿?

|Er|=¿?

F (x2,1 )=( x−21.8−2 )( x−2.2

1.8−2.2 )( x−2.41.8−2.4 )( x−2.6

1.8−2.6 ) (0.5815 )+¿

( x−1.82−1.8 )( x−2.2

2−2.2 )( x−2.42−2.4 )( x−2.62−2.6 ) (0.5767 )+¿

( x−1.82.2−1.8 )( x−2

2.2−2 )( x−2.42.2−2.4 )( x−2.6

2.2−2.6 ) (0.5560 )+¿

( x−1.82.4−1.8 )( x−2

2.4−2 )( x−2.22.4−2.2 )( x−2.6

2.4−2.6 )(0.5202 )+¿

( x−1.82.6−1.8 )( x−2

2.6−2 )( x−2.22.6−2.2 )( x−2.4

2.6−2.4 ) (0.4708 )+¿

x=2.1

F (x2,1 )=( 2.1−21.8−2 )(2.1−2.21.8−2.2 )( 2.1−2.41.8−2.4 )(2.1−2.61.8−2.6 ) (0.5815 )+¿

( 2.1−1.82−1.8 )(2.1−2.22−2.2 )(2.1−2.42−2.4 )(2.1−2.62−2.6 ) (0.5767 )+¿

( 2.1−1.82.2−1.8 )(2.1−22.2−2 )( 2.1−2.42.2−2.4 )( 2.1−2.62.2−2.6 ) (0.5560 )+¿

( 2.1−1.82.4−1.8 )( 2.1−22.4−2 )( 2.1−2.22.4−2.2 )( 2.1−2.62.4−2.6 )(0.5202 )+¿

( 2.1−1.82.6−1.8 )( 2.1−22.6−2 )( 2.1−2.22.6−2.2 )( 2.1−2.42.6−2.4 ) (0.4708 )+¿

F (x2,1 )=0,571147

Ea=|F (x2,1 )−F (xn)F x2,1 |∗100

Ea=|0,571147−0,5682920,571147 |∗100Ea=0,499871

Er=|0.0182(x−1.8)(x−2)( x−2.2)(x−2.4)(x−2.6)|

Er=8.1900∗10−6

4. ados los datos de la siguiente tabla:

x F(x) 1.8 0.5815 - - - -2 0.5767 -0.024 - - -2.2 0.556 -0.1035 -0.19875 - -2.4 0.5202 -0.179 -0.18875 0.016 -2.6 0.4708 -0.247 -0.017 0.03125 0.0182

x f(x)1 32 63 195 997 2918 444

1. Calcule f(4) con el uso de polinomios de interpolación de Newton de órdenes de 1 a 4. Elija los puntos base para obtener una buena exactitud.

2. Estime el error para cada predicción según la ecuación de error Rn

F(4)=???x = 4

a) Grado º 1 :

F (4 )=F (x0 )+F (x1 , x0 )(x−x0)

F (4 )=19+40(4−3)F (4 )=59

Error (Rn) :

x F(x) 3 19 - 5 99 407 291 96 14

Rn=14∗(x−x0 )∗(x−x1 )Rn=|−14|=14

b) Grado º 2 :

F (4 )=F (x0 )+F (x1 , x0 ) (x−x0 )+F (x2 , x1 , x0 ) (x−x0 )(x−x1)

F (4 )=6+13 (4−2 )+9 (4−2 )(4−3)

F (4 )=50

Error (Rn) :

x F(x) 3 19 - 5 99 40

x F(x) 2 6 - -3 19 13 -5 99 40 9

Rn=1∗(x−x0 )∗(x−x1 )∗(x−x2)Rn=|−2|=2

c) Grado º 3 :

F (4 )=F (x0 )+F (x1 , x0 ) (x−x0 )+F (x2 , x1 , x0 ) (x−x0 ) (x−x1)+F (x3, x2 x1 , x0 )(x−x0 ) (x−x1 )(x−x2)

F (4 )=3+3 (4−1 )+5 (4−1 ) (4−2 )+1 (4−1 )(4−2)(4−3)

F (4 )=48

Error (Rn) :

Rn=0

d) Grado º 4 :

F (4 )=F (x0 )+F (x1 , x0 ) (x−x0 )+F (x2 , x1 , x0 ) (x−x0 ) (x−x1)+F (x3 , x2x1 , x0 ) (x−x0 ) (x−x1 ) (x−x2 )+F ¿

)(x−x0 ) (x−x1 ) (x−x2 )(x−x3)

x F(x) 2 6 - -3 19 13 -5 99 40 97 291 96 14 1

x F(x) 1 3 - - - 2 6 3 - - 3 19 13 5 - 5 99 40 9 1

x F(x) 1 3 - - -2 6 3 - -3 19 13 5 -5 99 40 9 17 291 96 14 1 0

F (4 )=3+3 (4−1 )+5 (4−1 ) (4−2 )+1 (4−1 )(4−2)(4−3 )+0(4−1)(4−2)(4−3)(4−5)

F ( 4 )=48

Error (Rn) :

Rn=0

5. Suponga que esta diseñando un tanque esférico para almacenar agua para un poblado pequeño del país. El volumen de líquido que puede contener el tanque se calcula con:

V=π h2 (3 R−h)3

donde V=volumen(m3), h=profundidad del agua en el tanque (m), y R=radio del tanque (m)

Resuelva por el método de la Falsa Posición hasta que el error relativo se menor o igual que 0.5e-4.

Intervalo: [1:3]

a f(a) b f(b) xr f(xr) e1.00000 -21.62242 3.0000 26.54867 1.89773 -3.21571 1001.89773 -3.21471 3.0000 26.54867 2.01679 -0.25564 5.903172.01679 -0.25564 3.0000 26.54867 2.02617 -0.01871 0.46282.02617 -0.01871 3.0000 26.54867 2.02685 -0.00136 0.033852.02685 -0.00136 3.0000 26.54867 2.0269 -0.0001 0.002462.02690 -0.00010 3.0000 26.54867 2.02691 -0.00001 0.00018

x F(x) 1 3 - - - -2 6 3 - - -3 19 13 5 - -5 99 40 9 1 -7 291 96 14 1 0

x F(x) 1 3 - - - -2 6 3 - - -3 19 13 5 - -5 99 40 9 1 -7 291 96 14 1 08 444 153 19 1 0 0

2.02691 -0.00001 3.0000 26.54867 2.02691 0 0.00001

Resuelva por el método de Newton Raphson de 2° Orden, hasta que el error relativo se menor o igual que 0.5e-4.

xr e1.9 100.000002.02682 6.257152.02691 0.004172.02691 0.00000

6. Implemente un programa en MATLAB que solucione el problema anterior. El programa deberá solicitar cual de los dos métodos se empleará en la solución, y una vez hecha la elección por parte del usuario deberá mostrar la respuesta al problema en forma tabular y gráfica. Adjuntar su diagrama de flujo.

Código:

clc,clear allq=menu('elija el metodo','Falsa Posicion','Newton Raphson 2do orden');switch q case 1 a=1; b=3; e=0.5*10^-4; x0=0; er=100; F=inline('(pi*x^2*(9-x)/3)-30'); while F(a)*F(b)>0 a=input('ingrese un nuevo primer valor: '); b=input('ingrese un nuevo segundo valor: '); end while e<er xr=a-((F(a)*(b-a))/(F(b)-F(a))); er=abs((xr-x0)/xr)*100; x0=xr; fprintf('%5.5f %5.5f %5.5f %5.5f %5.5f %5.5f %5.5f\n',a,F(a),b,F(b),xr,F(xr),er) if F(xr)*F(a)<0 b=xr; elseif F(xr)*F(a)>0 a=xr; elseif F(xr)*F(a)==0 break end end case 2 F=inline('(pi*x^2*(9-x)/3)-30'); DF=inline('pi*(6*x-x^2)'); D2F=inline('pi*(6-2*x)'); er=100; e=0.5*10^-4; con=inf; while con>1 x0=1.9; con=abs(F(x0)*D2F(x0)/(DF(x0)^2)); end while e<er x1=x0-(DF(x0)/D2F(x0))+((sqrt((DF(x0)^2)-(2*D2F(x0)*F(x0))))/D2F(x0)); x2=x0-(DF(x0)/D2F(x0))-((sqrt((DF(x0)^2)-(2*D2F(x0)*F(x0))))/D2F(x0)); e1=abs((x1-x0)/x1)*100; e2=abs((x2-x0)/x2)*100; if e1<e2 x0=x1; er=e1; else x0=x2; er=e2; end fprintf('%5.5f %5.5f\n',x0,er) endend

Algoritmo:

Algoritmo de la falsa posición:

i. Ingresar f(x), a, b, es, x0=0, er=100ii. Comparar

1. Si f(a)*f(b)<0a. Mientras es<er

i. xr=a− f ( a )∗(b−a )f (b )− f ( a )

ii. er=|xr−x0xr

|∗100iii. Comparar

1. Si f(xr)*f(a)<0a. b=xr

2. Si f(xr)*f(a)>0a. a=xr

3. Si f(xt)*f(a)=0a. Xr=0

2. Si f(a)*f(b)>0a. Volver a pedir un intervalo

Algoritmo de Newton Raphson de segundo orden

i. Ingresar f(x), f’(x), f’’(x), es, con=inf, er=infii. Mientras con>1

1. Ingresar x0

2. con=|f ' (x0 )∗f ' '(x0)

f ' (x0)2 |

iii. Mientras es<er

1. x1=x0−f ' (x0 )f ' ' (x0 )

+ √ f ' (x0 )2−2∗f ' ' (x0 )∗f (x0 )f ' ' (x0 )

2. x1=x0−f ' (x0 )f ' ' (x0 )

−√ f ' (x0 )2−2∗f ' ' (x0 )∗f (x0 )f ' ' ( x0 )

3. e1=|xr−x0xr

|∗1004. e2=|xr−x0

xr|∗100

5. Comparara. Si e1<e2

i. x0=x1

ii. er=e1

b. Sinoi. x0=x2

ii. er=e2

INICIO

f(x), a ,b, es, er=100, x0=0

f(a)*f(b)>0

a, b

es<er

f(a)*f(xr)>0

f(a)*f(xr)<0

A, f(a), b, f(b), xr, f(xr) ,er

a=xr

b=xr

xr=0

FIN

Diagrama de flujo

Diagrama de la falsa posición:

Inicio

f(x), f’(x), f’’(x), x0, es, er=100, con=inf

con>1

X0

es<er

e1<e2

er=e1

x0=x1

er=e2

x0=x2

FIN

Diagrama de flujo de Newton Raphson de Segundo orden

INICIO

q

q=1Realizar los procedimientos de la falsa posición

Realizar los procedimientos de Newthon-Rhanposon de segundo orden

q=2

Fin

Diagrama del programa de selección de Método

7. Suponga que la fuerza hacia arriba de la resistencia del aire sobre un objeto que cae es proporcional al cuadrado de la velocidad. Para este caso, la velocidad se calcula con: donde =coeficiente de arrastre de segundo orden.

v ( t )=√ gmCatanh (√ gCa

mt )

Si 9.8m /¿s2 , m=68.1 kg, y ca=0.25 Kgm

, use integración analítica para determinar qué tan lejos cae el

objeto en 10 segundos.

Haga lo mismo, pero evalué la integral empleando la regla de Simpson 1/3 compuesta. Pruebe con diferentes hasta obtener tres dígitos significativos de exactitud.

Integración Analítica:

∫0

10

√ 9.8∗68.10.25∗tanh (√ 9.8∗0.2568.1

∗t)dt=333.9262

Integración por Simpson 1/3

Cuarta derivada

F4=67228/2318805*(1-tanh(7/1362*1362^(1/2)*t)^2)^2*tanh(7/1362*1362^(1/2)*t)*1362^(1/2)-33614/2318805*tanh(7/1362*1362^(1/2)*t)^3*(1-tanh(7/1362*1362^(1/2)*t)^2)*1362^(1/2)

M 4=max x∈[0,10]|f 4|

Para valor máximo de la cuarta derivadat=2.2F4 =0.2732a=0b=10

b−a180

h4M 4 ≥0.0005 h≥0.4356 h≅ 1

h=b−a2n n=10

x0 0.00000 f(x0) 0x1 1.00000 f(x1) 9.6841x2 2.00000 f(x2) 18.711x3 3.00000 f(x3) 26.5902x4 4.00000 f(x4) 33.0832x5 5.00000 f(x5) 38.1846x6 6.00000 f(x6) 42.0446x7 7.00000 f(x7) 44.883x8 8.00000 f(x8) 46.9266x9 9.00000 f(x9) 48.3755x10 10.00000 f(x10) 49.3918

S=∫0

10

f ( t )dt ≈ h3 [¨ f (x 0 )+4∑

i=1

2n−1

f ( xi )+2∑i=2

2n−2

f (xi )+ f (x2n)]

S=∫0

10

f ( x )dx ≈ 13 [0+4 (9,1841+26,5002+38.1846+44,8830+48,3755 )+2 (18,711+33,0832+42.0446+46,9266 )+49,3918 ]

S≈334,064

CONCLUSIONES:

Como se ve en los programas realizados, el comando syms es de mucha utilidad al momento de realizar métodos de interpolación, porque permiten trabajar con las funciones creadas con una gran libertad ya que, a diferencia del comando inline, se define al inicio una variable

El comando inline tiene un mejor uso en los programas y métodos que requieren una fácil evaluación, ya que define la función no solo en una variable, sino en varias

Los cálculos de errores relativos son útiles si se quiere encontrar el grado de erro de un resultado, sin tener el verdadero resultado en el cual basarse y así, dar una idea de cuánto es el error del método

En los métodos de interpolación, como se puede apreciar en esta práctica, mientras haiga más valores, el resultado será más exacto al resultado real.

Como se pudo observar en el los métodos para encontrar raíces, el método de Newton de segundo orden lo encuentra más rápido que la falsa posición, esto se debe, a que Newton de segundo orden trabaja con la segunda derivada.