INDICE

INDICE...........................................................................................................................................1

RESUMEN......................................................................................................................................2

ABSTRACT......................................................................................................................................3

1 INTRODUCCION.....................................................................................................................4

2 OBJETIVOS.............................................................................................................................5

3 FUNDAMENTO TEORICO.......................................................................................................6

3.1 Geoestadistica...............................................................................................................6

3.2 Conceptos Requeridos...................................................................................................8

3.2.1. KRIGE.............................................................................................................................8

4 CÁLCULOS Y ANALISIS DEL PROBLEMA..................................................................................9

4.1 Formulación del problema............................................................................................9

4.2 Desarrollo del problema..............................................................................................10

4.3 Desarrollo de la varianza de un punto dentro de un deposito....................................11

4.4 Desarrollo de la varianza de un bloque respecto al depósito......................................12

4.5 Desarrollo de la varianza de un punto respecto a un bloque......................................13

4.6 Comparación de resultados.........................................................................................14

5 CONCLUSIONES...................................................................................................................15

6 BIBLIOGRAFIA......................................................................................................................15

RESUMEN

En este informe corroboraremos la relación de krige la cual se centra en una relación de varianzas en un depósito respecto a una muestra y a un bloque, en la cual se cumple una igualdad que detallaremos más adelante.

Es utilizada principalmente en minería para la evaluación de yacimientos minerales.

Nace como una ciencia a partir de los trabajos de H. Sichel [Sic52] y D. G. Krige [Kri51] en los años 50 y es formalizada por G. Matheron, durante los años 60. ˜ Durante la evaluación de un yacimiento, el principal objetivo es la determinación de la calidad y cantidad de recursos, esto es, de la ley y el tonelaje esperable. Para este propósito son obtenidas muestras geo-referenciadas (testigos) mediante sondajes.

ABSTRACT

In this report we will check Krige's relationship which focuses on a relationship of variances in a tank for a sample and a block in which equality m {as what will detail below is met.

It is used primarily in mining for evaluation of mineral deposits.

Born as a science from the work of H. Sichel [Sic52] and DG Krige [Kri51] in the 50s and is formalized by G. Matheron, during the 60 ~ During the evaluation of a reservoir, the main objective it is the determination of the quality and quantity of resources, that is, of the law and expected tonnage. For this purpose samples are obtained geo-referenced (witnesses) by drilling.

1 INTRODUCCION

La relación de krige puede ser entendido como una predicción lineal o una forma de inferencia bayesiana. Parte del principio: puntos próximos en el espacio tienden a tener valores más parecidos que los puntos más distantes. La técnica de kriging asume que los datos recogidos de una determinada población se encuentran correlacionados en el espacio. Esto es, si en un vertedero de residuos tóxicos y peligrosos la concentración de zinc en un punto p es x, será muy probable que se encuentren resultados muy próximos a x cuanto más próximos se esté del punto p (principio de geoestadística). Sin embargo, desde una cierta distancia de p, ciertamente no se encontrarán valores próximos a x porque la correlación espacial puede dejar de existir.

Se considera al método de kriging del tipo MELI (Mejor Estimador Lineal Insesgado) o ELIO (Estimador Lineal Insesgado Óptimo): es lineal porque sus estimaciones son combinaciones lineales ponderadas de los datos existentes; y es insesgado porque procura que la media de los errores (desviaciones entre el valor real y el valor estimado) sea nula; es el mejor (óptimo) porque los errores de estimación tienen una variancia (variancia de estimación) mínima.

2 OBJETIVOS

Con las condiciones dadas por el Dr. Marín , comprobar la “ Relación de Krige “

Ver los alcances de “ Relación de Krige “

Comprender al detalle dicha relación, para poder generar el algoritmo correcto para la

generación del programa.

3 FUNDAMENTO TEORICO

3.1 Geoestadistica

La geoestadística es un conjunto de técnicas usadas para analizar y predecir valores de una

propiedad distribuida en espacio o tiempo. En contraposición con la estadística clásica o

convencional, tales valores no se consideran independientes, por el contrario se suponen de

manera implícita que están correlacionados unos con otros, es decir que existe una

dependencia espacial. Intuitivamente esto indica que mientras más cercanos estén situados

dos puntos están más correlacionados y mientras más separados hay menos relación entre

estos.

El proceso de estimación y modelación de la función que describe la correlación espacial es

conocido como “análisis estructural”. Una vez realizado el análisis estructural, la predicción de

valores en puntos no muestrales se puede hacer aplicando la técnica de interpolación "kriging"

o simulándolos a través de “simulaciones condicionales”.

En resumen, a grosso modo un análisis geoestadístico está compuesto por tres etapas: (a) el

análisis exploratorio de los datos, (b) el análisis estructural y (c) las predicciones (kriging o

simulaciones)

La primera etapa, conocida como análisis exploratorio de datos, está basada en técnicas

estadísticas convencionales que nos permiten obtener todo un conjunto de información,

desconocida a priori sobre la muestra bajo estudio, que es imprescindible para realizar

“correctamente” cualquier análisis estadístico y en particular un análisis geoestadístico.

Muchos de las ideas de las geoestadística han sido inspiradas en su hermana menor: las series

cronológicas o series de tiempo. Se puede advertir que los objetivos del Análisis de Series de

Tiempo son similares a los de la Geoestadística. Mientras que el Análisis de Series Temporales

está orientado al estudio de procesos unidimensionales con datos muestrales uniformemente

distribuidos, la Geoestadística se ocupa del estudio de fenómenos con datos distribuidos de

forma arbitraria en el espacio y tiempo, por lo que la metodología de ésta última tiene un

carácter mucho más general. En un marco más amplio, la geoestadística es una disciplina que

pertenece a la estadística espacial.

La geoestadística ha sido ampliamente aplicada en diversas ramas de las ciencias aplicadas y en

las ingenierías, entre otras tenemos: petróleo, minería, pesca, geofísica marina, hidrogeología,

medio ambiente, estudios forestales, salud pública, ingeniería civil, procesamiento de

imágenes, cartografía, finanzas, ciencias de materiales, meteorología, edafología, etc.

3.2 Conceptos Requeridos

3.2.1. KRIGE

El krigeaje o krige (del francés krige) es un método geoestadístico de estimación de puntos que utiliza un modelo de variograma para la obtención de datos. Calcula los pesos que se darán a cada punto de referencias usados en la valoración. Esta técnica de interpolación se basa en la premisa de que la variación espacial continúa con el mismo patrón. Fue desarrollada inicialmente por Danie G. Krige a partir del análisis de regresión entre muestras y bloques de mena, las cuales fijaron la base de la geoestadística lineal.

3.2.1. VARIANZA

En teoría de probabilidad, la varianza (que suele representarse como  ) de una variable

aleatoria es una medida de dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la

desviación de dicha variable respecto a su media.

Está medida en unidades distintas de las de la variable. Por ejemplo, si la variable mide

una distancia en metros, la varianza se expresa en metros al cuadrado. La desviación

estándar es la raíz cuadrada de la varianza, es una medida de dispersión alternativa

expresada en las mismas unidades de los datos de la variable objeto de estudio. La

varianza tiene como valor mínimo 0.

Hay que tener en cuenta que la varianza puede verse muy influida por los valores atípicos y

no se aconseja su uso cuando las distribuciones de las variables aleatorias tienen colas

pesadas. En tales casos se recomienda el uso de otras medidas de dispersión

más robustas.

4 CÁLCULOS Y ANALISIS DEL PROBLEMA

4.1 Formulación del problema

El ejercicio solicitado por el Dr. Alfredo Marín consiste en crear mil datos aleatorios, cada uno

de estos datos tiene una coordenada norte (y), una coordenada este (x) y una ley de mineral (%

de cobre), para simular esto se utilizó números randón en los tres casos. Las coordenadas

“norte” y “este” tiene valores que van desde 0 hasta 1000 y los valores de ley mineral van

desde 0 hasta 1%.La distribución geográfica del depósito de muestra en la siguiente tabla.

0 200 400 600 800 1000 12000

200

400

600

800

1000

1200

GRAFICA DE 1000 LEYES DE COBRE DISPERSAS DISPERSOS

CORDENADA ESTE

CORD

ENAD

A N

ORT

E

Tabla 4.1 distribución geográfica de leyes de cobre dispersas

El problema dejado por el Doctor Alfredo Marín consiste en demostrar

experimentalmente la relación de Krige:

σ 2(v /V )=σ2(o/V )−σ

2(o/ v)

Dónde:σ 2(v /V )=varinza deunbloquerespecto aundepositoσ 2(o /V )=varianza deun puntomuestral respecto al depositoσ 2

( ov )=varianzadeun puntomuestral respecto aunbloque

Para poder realizar esta prueba experimentalmente se utilizó el software de

programación Visual Basic y una hoja de cálculo de Excel. El desarrollo del ejercicio se

muestra a continuación.

4.2 Desarrollo del problema.

Para desarrollar el problema planteado se programó en Visual Basic tres fórmulas diferentes,

una para cada término de la relación de Krige y se izó que el resultado de cada una de estas

fórmulas se muestre en la hoja de cálculo de Excel.

Figura 4.2: Desarrollo del problema en Visual Basic

4.3 Desarrollo de la varianza de un punto dentro de un deposito

Para desarrollar este término de la relación de Krige se utilizó la siguiente sentencia en

visual Basic

Esta sentencia lo que hace es hallar primero la media de los 1000 datos y después

hallar la varianza de estos 1000 puntos para finalmente mostrar el resultado en la celda

(6,I) .

Figura 4.3: Sentencia usada para calcular la varianza de un punto dentro del bloque

4.4 Desarrollo de la varianza de un bloque respecto al depósito

De manera análoga la anterior se creó en Visual Basic una sentencia capaz de

desarrollar este término de la relación de Krige.

La sentencia muestra el resultado en la celda (6,K)

La sentencia lo que hace es dividir todo el deposito (1000 x 1000) en bloques de menor área

(100 x 100) , para luego calcular la media de las muestras que se encuentre dentro de cada

bloque .como resultado de esto se tiene la media de 100 bloques .Finalmente la sentencia halla

la varianza de las medias de los bloques y muestra el resultado en la celda (6,K).

Figura 4.6: Histograma de datos acumulados

Figura 4.4: Sentencia usada para calcular la varianza de un bloque respecto a un depósito.

4.5 Desarrollo de la varianza de un punto respecto a un bloque

Para desarrollar este factor de la relación de Krige se usó la siguiente sentencia:

La sentencia lo que hace primero es dividir topo el depósito en bloques de 100 x 100,

para luego hallar la varianza de los puntos que se encuentran dentro de cada bloque.

Como resultado de esto de obtiene 100 varianzas, una por cada bloque. Finalmente se

promedia estas 100 varianzas y se muestra el resultado en la celda (6, J).

Figura 4.5: Sentencia usada para calcular la varianza de un punto respecto a un bloque.

4.6 Comparación de resultados

Los resultados obtenidos en cada caso son los siguientes:

σ 2(v /V )=0.196σ 2(o /V )=2.081σ 2

( ov )=1.865

Usando la relación de Krige se obtiene lo siguiente:

σ 2(v /V )=σ2(o/V )−σ

2(o/ v)

0.196≅ 2.081−1.865

0.196≅ 0.216

Como se muestra la relación de KRIGE se cumple aproximadamente en este

caso, lo cual demuestra lo pedido por el Doctor Marin en clase.

5 CONCLUSIONES

1. La relación de krige se cumple con una buena aproximación, con un error de 0.02.

2. Es una base práctica como corroboración de mi data tomada de un determinado

deposito, mediante las varianzas.

3. Mediante otras iteraciones realizadas , observe que la RELACION DE KRIGE es más

aproximada mientras más pequeña es la malla y más leyes del mineral tomo , eso se

debe que mientras más confinado están las leyes tienen comportamiento similares .

6 BIBLIOGRAFIA

DIAZ VIERA, MARTIN (Julio, 2012) ,Geo estadística Aplicada.

http://mmc2.geofisica.unam.mx/cursos/geoest/GeoEstadistica.pdf

GARAY SAICO, GUILLERMO RAIMONDI (Enero 2009).Introducción a la Geoestadistica.

http://mmc2.geofisica.unam.mx/cursos/geoest/Presentaciones/CG6_2009.pdf

Clases dictadas por el PhD. Alfredo Marín Suarez y el Ingeniero Augusto Tevés Rojas.