LA REGLA DE MULTIPLICACIÓN Y LA

REGLA DE BAYES

12 DE AGOSTO DE 2014

APELLIDOS Y NOMBRES: LEXTERC CICLO: V SECCIÓN: B

DOCENTE: JURO ASTOCAZA, WALTER

PROBABILIDAD:

La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un

acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento

aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo

condiciones suficientemente estables.

La probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las

diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de

un rango estadístico.

La probabilidad de un evento se denota con la letra “p” y se expresa en términos

de una fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por

otra parte, la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el

valor de “p” y se denota con la letra “q”

Existen tres métodos para el cálculo de las probabilidades que son la regla de la

adición, la regla de la multiplicación y la distribución binomial, pero en esta

presentación solo nos referiremos a la regla de la multiplicación.

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN:

La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos

o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus

probabilidades individuales.

P(A y B) = P(A B) = P(A).P(B/A) si A y B son dependientes

P(A y B) = P(A B) = P(A).P(B) si A y B son independientes.

EVENTOS DEPENDIENTES.

Si A y B son dos eventos dependientes, es decir, si la ocurrencia de A afecta

la probabilidad de ocurrencia de B, entonces, dicha probabilidad de calcula

empleando la siguiente regla:

La probabilidad del evento B, calculada bajo la suposición de que el evento A ha

ocurrido, se denomina probabilidad condicional de B, dado A, y se denota por P

(B/A).

EJEMPLOS:

1. De una baraja estándar de 52 cartas sea A el suceso de sacar un 7 de Trébol

en la primera extracción y B sacar un Rey en la segunda extracción. Calcular

la probabilidad de sacar dos Ases en dos extracciones sin devolver la

carta extraída.

A y B son sucesos dependientes porque la ocurrencia de A afecta la

probabilidad de ocurrencia de B.

La probabilidad de que la primera carta sea un As es:

𝑃(𝐴) = 1/52

A y B son sucesos dependientes porque la ocurrencia de A afecta la

probabilidad de ocurrencia de B.

𝑃(𝐵/𝐴) = 4/51

Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la

multiplicación de probabilidades para eventos dependientes se obtiene:

𝑃(𝐴𝑦𝐵) = 𝑃(𝐴) ∗ 𝑃(𝐵/𝐴) 𝑃(𝐴𝑦𝐵) = 1/52 ∗ 4/51

= 1/663

2. Dentro de una urna hay 7 canicas rojas, 3 canicas verdes y 5 canicas azules,

sea el evento A de extraer 2 canicas rojas y el evento B de extraer 1 y 2

canicas azul y roja respectivamente.

Siendo los sucesos A y B dependientes ya que la ocurrencia de A afecta la

probabilidad del suceso B.

𝑃(𝐴) =2

15

𝑃(𝐵/𝐴) = 3/13

𝑃(𝐴𝑦𝐵) = 𝑃(𝐴) ∗ 𝑃(𝐵/𝐴)

𝑃(𝐴𝑦𝐵) = 2/15 ∗ 3/13

= 2/65

3. Un lote de 27 artículos, tiene 11 defectuosos. Se toma al azar 5 artículos

del lote, uno tras otro. Hallar la probabilidad de que sean buenos.

A= {Sacar el primer artículo}

B= {Sacar el segundo artículo}

C= {Sacar el tercer articulo}

D= {Sacar el cuarto articulo}

E= {Sacar el quinto articulo}

𝑃 = 16/27 ∗ 15/26 ∗ 14/25 ∗ 13/24 ∗ 12/23

𝑃 = 0.05410628

EVENTOS INDEPENDIENTES.

Si A y B son dos eventos independientes, es decir, si el conocimiento de la

incidencia de uno de ellos no tiene efecto en la probabilidad de ocurrencia del

otro, entonces, para calcular la probabilidad de dichos eventos se aplica la

siguiente regla:

Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la

probabilidad de ocurrencia del otro, esto es, si:

Ejemplos:

1. En una baraja de 52 cartas se toma una carta al azar luego se regresa y se

toma otra. Cuál es la probabilidad de que en el evento “A” la primera carta

sea diamantes, y en el evento “B” la segunda carta sea de tréboles.

𝑃(𝐴𝛾𝐵) = 𝑃(𝐴) ∗ 𝑃(𝐵)

= 13/52 ∗ 13/52

= 169/2704

2. En la urna "𝛼" tenemos 7 bolas blancas y 13 negros y en la urna "𝛽" 12

bolas blancas y 8 bolas negras.

Cuál es la probabilidad de que se extraiga una bola blanca de cada una.

𝑃(𝐴𝛾𝐵) = 𝑃(𝐴) ∗ 𝑃(𝐵)

= 7/20 ∗ 12/20

= 84/400

= 21/100

3. Una Empresa de Encuestadora desea seleccionar a 3 personas para

obtener sus resultados sobre el referéndum que se a llevado a cabo en el

lugar, dicho esto se desea saber cuál es la probabilidad de que las dos

primeras personas votaran a favor del referéndum, dado que solo hay

opción de votar a favor o en contra.

F: A favor

C: En contra

Elaborando el diagrama el diagrama del árbol se obtienen todas las

probabilidades:

Estos son eventos independientes, ya que la probabilidad de que ocurra el evento

A no afecta la ocurrencia de probabilidad de que ocurra el evento o suceso B.

Evento A= {Votara a Favor}

Evento B= {Votara en Contra}

𝑝(𝐴𝑦𝐵) = 𝑃(𝐴) ∗ 𝑃(𝐵)

= 1/2 ∗ 1/2

REGLA DE BAYES

La regla de Bayes es un caso especial de la probabilidad condicional que se aplica

cuando se desea calcular la probabilidad condicional de un evento que ocurrió

primero dado lo que ocurrió después.

El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en

el Teorema de la probabilidad total:

Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A

(probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la

probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).

Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un

accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía

buen tiempo?).

La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura

permite el cálculo de probabilidades después de haber sido realizado un

experimento (probabilidades a posteriori), basándose en el conocimiento de la

ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se parte

de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento

(probabilidades apriori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias

del experimento (las que aparecen durante la ocurrencia del evento).

Continuando nuestro análisis sobre el teorema de Bayes, la probabilidad

condicional de Ai dado B, para cualquier i, es:

Aplicando en el numerador la Regla de Multiplicación P(Ai∩B) = P(Ai) P(B/Ai) y en

el denominador el Teorema de Probabilidad Total P(B) = P(A1) P(B | A1) + P(A2)

P(B | A2) + . . . + P(An) P(B | An), obtenemos la ecuación que representa al:

Teorema de Bayes

EJEMPLOS:

1. Una fábrica que produce material para la construcción tiene 3 máquinas, a

las que se les denomina A, B y C. La máquina A produce tabique, la B

adoquín y la C losetas. La máquina A produce el 50% de la producción

total de la fábrica, la B el 30% y la C el 20%. Los porcentajes de artículos

defectuosos producidos por las máquinas son, respectivamente, 3%, 4% y

5%. Si se selecciona un artículo al azar y se observa que es defectuoso,

encontrar la probabilidad de que sea un tabique.

Definamos el evento D como sea un artículo defectuoso. De acuerdo a esto

tenemos que:

P(A) = 0.5 P(D|A) = 0.03

P(B) = 0.3 P(D|B) = 0.04

P(C) = 0.2 P(D|C) = 0.05

Si el artículo del que deseamos calcular la probabilidad es un tabique,

significa que es producido por la máquina A. También observamos que en

la solución solamente participan los artículos defectuosos, ya que se pone

por condición esta característica. Por lo tanto:

2. A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35

son mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres

son especialistas en computación. Si se selecciona al azar a un especialista

en computación ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Evento H: {Sea un hombre}

Evento M: {Sea una mujer}

Evento E: {La persona sea especialista en computación}

Por lo tanto:

3. Un ingeniero químico sabe que cuando se compran etiquetas a un

proveedor A, el número de etiquetas defectuosas y no defectuosas están

en la relación 1:24; mientras que el proveedor B afirma que la probabilidad

de encontrar una etiqueta no defectuosa en su compañía es de 9/10. Si se

compra la misma cantidad de etiquetas a ambos proveedores:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que si se encontró una defectuosa, ésta sea del

proveedor B?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea del proveedor A, si se encontró que

no es defectuosa?

Sea “D” el evento de que la etiqueta sea defectuosa y DC que no lo sea. Entonces

por el corolario anterior se tiene:

G