trabajo colaborativo 2 probabilidad
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TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 2 PROBABILIDAD
PRESENTADO POR
NO IMPORTA, LO IMPORTANTE ES QUE LES SIRVA, DE UN AGROFORESTAL PARA EL QUE LO NECESITE.
ESTUDIANTE DE INGENIERA AGROFORESTAL
UNAD
INTRODUCCIN
A partir de trabajar activamente desarrollando los ejercicios propuestos para la comprensin de esta unidad 2 del modulo de probabilidad, nosotros los estudiantes, adquirimos destrezas en el desarrollo adecuado de problemas que se nos pueden presentar a lo largo d e nuestra vida as como en las carreras profesionales que nos ofrece la UNAD. En forma muy general este documento nos presenta el desarrollo de 39 ejercicios propuestos sobre variables aleatorias y distribuciones de probabilidad utilizando las formulas correspondientes para solucionar cada uno de ellos.
OBJETIVO GENERAL
Desarrollar un taller de ejercicios sobre los contenidos de los captulos 1, 2 y 3 de la Unidad 2 del curso PROBABILIDAD, los cuales nos permitirn profundizar en los temas tratados.
OBJETIVOS ESPECFICOS
Identificar las distintas variables que nos ofrece cada ejercicio con el fin de poder aplicar la frmula adecuada.
Realizar cada ejercicio indicando los pasos efectuados para el desarrollo de cada uno de ellos.
Resolver las preguntas planteadas en cada ejercicio.
VARIABLES ALEATORIAS, FUNCIN DE PROBABILIDAD Y VALOR ESPERADO
1.- Determine el valor de a de manera que cada una de las siguientes funciones pueda servir como distribucin de probabilidad de la variable aleatoria discreta X
a) f (x) = a(x2 + 4) x = 0, 1, 2, 3
Solucin:Para que sea distribucin de probabilidad debe cumplir:a [(02 + 4) + (12 + 4) + (22 + 4) + (32 + 4)] =1a (4 + 5 + 8 + 13) =1a(30) = 11a = 30
Luego el valor de a en la distribucin de probabilidad es
130 = 0,033%
b) f(x) = a( 2C x) (3C3-x) para x = 0,1,2
Solucin:Para que sea distribucin de probabilidad debe cumplir
22) a (xI=0
3) (3 x
) = 1
22a ) (xI=0
3) (3 x
) = 1
23a [( ) (
23) + ( ) (
23) + ( ) (
)] = 1
03 0
13 1
23 2
a (1 1 + 2 3 + 1 3) = 1a (1 + 6 + 3) = 1a (10) = 11a =101
Luego el valor de a en la distribucin de probabilidad es
10 = 0,1%
2.- Encuentre la distribucin de probabilidad para el nmero de discos de salsacuando se eligen al azar cuatro discos de una coleccin que consta de cuatro
discos de salsa y cuatro discos de msica clsica. Exprese los resultados a travs de una formula.
Solucin:La variable aleatoria X el nmero de discos de salsa, donde empleamos la distribucin hper geomtrico.
x= 0, 1, 2, 3, 4
(N(k)(Nk)
P(X = x) = h(x , N, n, K) =
xnx n )
(4)( 4 )1
P(X = x) = h(0,8,4,4) =
040 =
(84)70
(4)( 4 )16
P(X = x) = h(1,8,4,4) =
141 =
(84)70
(4)( 4 )36
P(X = x) = h(2,8,4,4) =
242 =
(84)70
(4)( 4 )16
P(X = x) = h(3,8,4,4) =
343 =
(84)70
(4)( 4 )1
P(X = x) = h(4,8,4,4) =
444 =4) (870
x01234
h(x , N, n, K)170167036701670170
3.- Se seleccionan al azar dos calcetines y de manera sucesiva, se sacan de un cajn que contiene seis calcetines cafs y cuatro verdes, Defina la variable aleatoria X que represente el nmero de calcetines cafs que se selecciona. Encuentre la funcin de probabilidad f(X), F(X), E(X), Varianza y desviacin estndar de la variable aleatoria.
Solucin: La variable aleatoria X est definida por 0, 1 y 2 ; la funcin de probabilidad f(x) es:
(N(k)(Nk)
(x) = P(X = x) = h(x, N, n, K) =
xnx n )
(6)(4)6
=(x) = P(X = 0) = h(0,10,4,6) =
02(10
2 )45(6)(4)24
=(x) = P(X = 1) = h(1,10,4,6) =1 1(10
2 )45(6)(4)15
=(x) = P(X = 2) = h(2,10,4,6) =2 0(10
)452 La funcin de probabilidad F(x) es:
0garax 0f 6
F(x) =
I 45 I30 45
gara 0 x 1gara 1 x 2
7 1garax 2 La ganancia o media es:
6x = E(x) = (0 45
24+ 1 45
15
+ 2 ) 45
x = E(x) = (0 +54
2430+)4545
x = E(x) =45La ganancia es de5445
Calculo de varianza:
226
2916
224
2916
215
2916
ox = V(x) = [(0
) () + (1 452025
) () + (2 452025
) ()] 452025
262916
242916
152916
ox = V(x) = [() () + (1 ) () + (4 ) ()] 45202545 2025452025
217496
61236
481140
ox = V(x) = [ () + ( 9112591125
) + (
)] 91125
ox2 = V(x) =
524880= 5.7691125
La varianza es de 5.76.
Calculo de desviacin estndar.
xox = o2ox = 45.76ox = 2.4La desviacin estndar es de 2.4
4.- Un jugador lanza un dado corriente. Si sale nmero primo, gana tantos cientos de dlares como marca el dado, pero si no sale nmero primo, pierde tantos cientos de dlares como marca el dado. Determinar la funcin de probabilidad y la esperanza matemtica del juego.
Solucin:La variable X indica las ganancias en dlares puede tener lossiguientes valores:
X = 100, 200, 300, 400, 500, 600 P(X) = X6
1002003004005006006+6+66+66P (X) = []
P (X) = [
11006
1000]6
P (X) =
1006
La ganancia esperada es100 = 16.6665.- El experimento aleatorio consiste en lanzar una moneda 3 veces, Defina Xla variable aleatoria que representa el nmero de caras observadas. Encuentre f(X), E(X), V(X) y desviacin estndar.
Solucin:La variable X tiene los valores 0, 1, 2, 3 Definiendo as los siguientes sucesos.P(0)= P({XXX}), P(1) =P({CXX,XCX,XXC}), P(2) =P({CCX,CXC,XCC}) y P(3)=P({CCC})
(x) = P(X = x) =(x) = P(X = x) =(x) = P(X = x) =(x) = P(X = x) =(x) = P(X = x) =
3Cx 8(3)1
0=88(3)3
1=88(3)3
2=88(3)1
3=88
La distribucin de probabilidad es:
X0123
P(X=x)18383818
6.- Una urna contiene 4 bolas con los nmeros 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Si se toman dos bolas de la urna sin sustitucin y X representa la suma de los nmeros de las dos bolas extradas.
Determine la funcin de probabilidad f(X), el valor esperado E(X) y la varianza de la variable aleatoria
Solucin:Al tomar las dos bolas tenemos las siguientes posibilidades.S = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (, 4,3)}Para que sea distribucin de probabilidad debe cumplir La variable X corresponde a 3, 4, 5, 6 y 7
P(3) = {(1,2), (2,1)} ==12621P(4) = {(1,3), (3,1)} ==12641P(5) = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} ==12321P (6) = {(2,4), (4,2)} ==12621P(7) = {(3,4), (4,3)} ==126
21
P(X = x) =
11111
++++= 1 66366
x = E(x) = {(3
1
) + (4 6
1
) + (5 6
1
) + (6 3
11
) + (7 )} 66
x = E(x) =
125++233
7+ 1 +6
540== 5108
El valor esperado es de 5
ox2 = V(x) = [(32
1 ) 5 + (426
1 ) (5) + (526
1 ) (5) + (623
1
) (5) 6
ox2 = V(x) =
+ (72 1) (5)]6
2654753701075146512060++++=6636618= 670
La varianza aleatoria es de 670
7.- A un dependiente de un auto lavado se le paga de acuerdo con el nmero de automviles que lava. Suponga que las probabilidades son 1/12, 1/12. ., ., 1/6 y 1/6 respectivamente de que el dependiente reciba $5, $7, $9, $ 11, $ 13 o$ 17 entre las 4 y 5 de la tarde en un da soleado. Encuentre las ganancias queespera el dependiente para este periodo especfico.
Solucin:
x579111317
P(x)111111
12124466
x = E(x) = ) (5
1
) + (7 12
1
) + (9 12
1
) + (11 4
1
) + (13 4
11
) + (17 ) 66
5x = E(x) = ) (
7) + (
) + (
911) + (
13) + (
17) + ()
1212x = E(x) = ) (12
1220) + (4
446630
) + () 6
x = E(x) = 11La ganancia esperada es 11
8.- Una persona pide prestado un llavero con cinco llaves, y no sabe cul es la que abre un candado. Por tanto, intenta con cada llave hasta que consigue abrirlo. Sea la variable aleatoria X que representa el nmero de intentos necesarios para abrir el candado.
a - Determine la funcin de probabilidad de X. b - .Cual es el valor de P (X 1)?
Solucin:Para que sea distribucin de probabilidad debe cumplir La variable x seria 1, 2, 3, 4 y 51P(1) =5
P(2) =
411=545
P(3) =
431121
== 543605
P(4) =
4321
= 5432
241=1205
P(5) =
4321
= 5432
241=1205
P(X = x) =
++++= 1 55555
11111
9- Se sacan 3 balotas sucesivamente de una caja que contiene 4 balotas negras y 2 balotas verdes; cada balota se regresa a la caja antes de sacar la siguiente, Encuentre la distribucin de probabilidad para la variable X que representa el numero de balotas verdes.
Solucin:Para que sea distribucin de probabilidad debe cumplirLa variable X corresponde a 1 y 2 donde n=3 la probabilidad es P(x) = 2 = 163P(X = x) = nCx P(x)x (1 P(x)3x )
1 x 1
3x
1 x 2
3x
P(X = x) = nCx (3)
(1 ( )3
) = nCx ( )3
(( ))3
3P(0) = (0
1 0) ( )3
2 3
( ) 3
88= 1 1 =2727
3P(1) = (13
1 1) ( )31 2
2 2
( ) 32 1
1412= 3 =3927126
P(2) = (2
) ( )3
( ) 3
= 3 =9327
3P(3) = (3
1 3) ( )3
2 0
( ) 3
1= 1 27
1 1 =27
P(X = x) =
81261
+++= 1 27272727
10.- Al invertir en acciones financieras, una persona puede lograr una ganancia de 4000 dlares en un ao con probabilidad de 0.3 o bien tener una prdida de1.000 dlares con probabilidad de 0.7. Cul sera la ganancia esperada de esapersona.
Solucin:La variable X es 4000 y 1000 y la probabilidad es 0.3 y 0.7 respectivamente:
x = E(x) = (4000 0.3 1000 0.7)x = E(x) = (1200 700)x = E(x) = 500La ganancia obtenida por la persona es de 500
11.- Suponga que un comerciante de joyera antigua est interesado en comprar una gargantilla de oro para la cual las probabilidades de poder venderla con una ganancia de $ 250, $ 100, al costo, o bien con una prdida de$150 son: respectivamente: 0.22, 0.36, 0.28, 0.14. Cul es la gananciaesperada del comerciante?
Solucin:La variable X es 250, 100, 0, 150La probabilidad es 0.22, 0.36, 0.28, 0.14
x = E(x) = (250 0.22 + 100 0.36 + 0 0.28 150 0.14)x = E(x) = (55 + 36 + 0 21)x = E(x) = 70La ganancia esperada es de 70
12.- Un piloto privado desea asegurar su avin por 50.000 dlares. La compaa de seguros estima que puede ocurrir una prdida total con probabilidad de 0.002, una prdida de 50% con una probabilidad de 0.01 y una de 25% con una probabilidad de 0.1. Si se ignoran todas las otras prdidas parciales, que prima debe cargar cada a o la compaa de seguros para obtener una utilidad media de US $500 ?
Solucin:
x = E(x) = (x 0.002 + (x 0.01) + (x 0.1))x = E(x) = 0.002x + 0.01x + 0.1x 500 = 0.112x500
= x 0.112
x = 4464.28El valor de la prima que la compaa debe carga cada ao es de 4464.2813.- Sea X una variable aleatoria con funcin de densidad f (x) =a (3x x2 )0 x 30 en otro caso
a) Determine el valor de a para que la funcin sea efectivamente una funcin de densidad de probabilidadb) Calcule P (1 < X < 2)
Solucin:a). Para que sea distribucin de probabilidad debe cumplir La variable x corresponde a 0, 1, 2 y 3a[(3(0) + 02 ) + (3(1) + 12 ) + (3(2) + 22 ) + (3(3) + 32)] = 1a[0 + 4 + 10 + 18] = 1a(32) = 11
a = 321
El valor de a corresponde a
= 0.03132
b)2P(1 x 2) = (x)dx122211
P(1 x 2) = 32
(3x + x2 )dx =32
3(x)dx + x2 dx
11P(1 x 2) = =32
3x 2 [(2
11x 3) + ()]3
P(1 x 2) = =
13(2)2 + 2(2)3[(326
) + (
3(1)2 + 2(1)36
)] =
128[(326
5) + ( )]6
P(1 x 2) =
133() =326
33192
= 0.17
El valor de P es de 0.17
14. SXillt ifii/t
tlllil , liliit.
S li llll
il X ,
x = E(x) = (0 0
)2
1+ (1 )2
2+ (2 )2
x = E(x) = 0 + 1 + 22x = E(x) = 5 = 2.52Ell.
llio = V(x) = ) [(x2 x) 2 ]x2x 51525
o2 = V(x) = [(02 0) (
) + (12
) (
) + (22
) ( )]
x222222515
o2 = V(x) = [0 + (
) + ()]
x42o2 = V(x) = 70 = 8.75x8i.
lliit
xxo = o2
xo = 48.75 = 2.95
La desviacin estndar corresponde a 2.95
15.- Sea X una variable aleatoria con funcin de densidad f (x) =a (4x x3 ) 0 x 20 en otro caso
a) Determine el valor de a para que la funcin sea efectivamente una funcin de densidad de probabilidadb) Calcule P (1 < X < 1,5)c) Obtenga el valor esperado de la variable
Solucin:
Para que sea distribucin de probabilidad debe cumplir:
a) La variable X corresponde a 0, 1, y 2a[(4(0) + 02 ) + (4(1) + 12 ) + (4(2) + 22 )] = 1a[0 + 5 + 12] = 1a[17] = 11
a = 17
el valor de a corresponde es =
1= 0.05817
b)1.5PP(1 x 1.5) = (x)dx1
1.51
1.51
1.5
P(1 x 1.5) =
(4x + x3 )dx =1717
4(x)dx + x 3dx
11P(1 x 1.5) = =17
4x 2 [(2
11x4) + ()]4
P(1 x 1.5) =
1 [(17
16(1.5)2 + 2(1.5)4136
) + (
16(1)2 + 2(1)4)]136
P(1 x 1.5) =
1
[( 17
16(2.25) + 2(5.06)136
) + (
16(1) + 2(1)
)] 136
64.18
1091.06
P(1 x 1.5) = 1
46.12 [(
181+ ()] =() =
= 0.472
17136 )
136
17136
2312
EllP.
lll:
x = E(x) = [x (4x x3)
x = E(x) = [ 0 117
(4(0) 03 ) + (1 117
(4(1) 13 )
+ (2
1 (4(2) 23) ]17
x = E(x) = [(0) + (1 117
(3) + (2 117
(0) ]
x = E(x) = [(0) + ( 3 ) + 0]17
x = E(x) = 317
= 0.183
el ralor esgerado es de
17 = 0.18
1 .itijilt li iiltitl. Ellllt l il tiijtil t li ii,ttilti,ii, tiliitfii:
XfX
tilili,tli, lil t li i:t tlllit li ilij.
S lililit.
(x) = x0 x 1
100P(50 x 100) = xdx =50
x2 100|=250
10022
502+2
= 6250
La probabilidad de que los nios vean televisin entre 50 y 100 horas es de6250 cuando f(x)=x 0 x 1(x) = 2 x1 x 2
100
100
100
x2 100
P(50 x 100) = (2 x)dx =
2dx xdx = 2x
|250
5050x2 100
50(100)2
(50)2
P(50 x 100) = 2x
|250
= [(2(100)
) + (2(50) )] 22
P(50 x 100) = 4800 1150 = 5950La probabilidad de que los nios vean televisin entre 50 y 100 horas es de -5950 cuando f(x)=2 - x 1 x 2
b) la probabilidad entre 120 y 150 horas(x) = x0 x 1
150P(120 x 150) = xdx =120
x2 150|=2 120
15022
1202+2
= 18450
La probabilidad de que los nios vean televisin entre 120 y 150 horas es de18450 cuando f(x)=x 0 x 1(x) = 2 x1 x 2
150P(120 x 150) = (2 x)dx =120
150 2dx 120
150 xdx = 2x 120
x 2 150|2 120
P(120 x 150) = 2x
x2 150|2 120
= [(2(150)
(150)22
) + (2(120)
(120)2
)] 2
P(120 x 150) = 10950 + (6960) = 17910La probabilidad de que los nios vean televisin entre 120 y 150 horas es de -17910 cuando f(x)=2 - x 1 x 2
Promedio de horas:
1P(0 x 1) = xdx =0
x2 1|=20
(1)22
(0)21+=22
x = E(x) = [(0
1
) + (1 2
111
)] = (0 + ) = 222
1la ganancia es de 2 = 0.5; gara la uncion de (x) = x 0 x 1
222
x2 2
P(1 x 2) = (2 x)dx = 2dx xdx = 2x |2 1
1P(1 x 2) = (2(2)
112212
7771421) + (2 2)] =22+2=2) + (2(1) ) = 22
7= 3.52
x = E(x) = [(1
= 10.5
la ganancia es de
21
= 10.5; gara la uncion de (x) = 2 x gara 1 x 2 2
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS Y CONTINUAS
17- En una clase de ciencias naturales de 12 alumnos se elegir un representante de grupo, para lo cual se usara el nmero de lista de cada alumno. Se anotan 12 papeles con nmeros del 1 al 12 respectivamente se doblan y se meten en un frasco. Luego se extrae al azar un papel para designar al representante. Determine la probabilidad de que el numero que salga sea menor que 5; determine la probabilidad de que el numero sea mayor que 3 pero menor que 7.
Solucin:La probabilidad de que P(x 5) es:
1P(x 5) = 1 P(x X 5) = 1 125
1dx = 1 x| 12 5
1= 1 {12
(5) +
157
()} = 1 = 121212
7la probabilidad de P(x 5) es =12
= 0.58
P(3 x 7)7
1P(3 x 7) = 123
1dx =12
7
x|= 3
1(7) +12
1(3) =12
7310+=121212
10la probabilidad de P(3 x 7) es =12
= 0.83
18.- Como participante de una encuesta de contaminacin del aire, un inspector decide examinar las emisiones de seis de los 24 camiones de una compaa. Si cuatro de los camiones emiten cantidades excesivas de contaminantes cual es la probabilidad de que ninguno de ellos sea parte de la Muestra del inspector
Solucin:La variable X es igual a 0
(N(k)(Nk)
(x) = P(X = x) = h(x, N, n, K) =
xnx n )
(4)(20)
(x) = P(X = x) = h(0,24,6,4) =
06(24
6 )
(x) = h(0,24,6,4) =
1 (38750)(134596) = 0.28
La probabilidad de que ninguno de ellos sea parte de la muestra es de 0.28
19.- Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra, tomada al azar, de dos calculadoras manuales, de cada lote que llega de 18, y acepta el lote si ambas estn en buenas condiciones de trabajo; de otra manera, se inspecciona todo el lote y el costo se carga al vendedor, determine la probabilidad de que un lote se acepta sin inspeccin adicional, si contiene:
a. Cuatro calculadoras que no estn en buenas condiciones de trabajob. Ocho calculadoras que no estn en buenas condiciones de trabajo
Solucin:
a) la variable X es igual 0 para que el lote no sea devuelto. Donde N= 18, n=2 K= 4
(N(k)(Nk)
(x) = P(X = x) = h(x, N, n, K) =
xnx n )
(4)(14)
1 9191
(x) = h(0,18,2,4) =
02
)(18
== 0.59
153
=2
153
La probabilidad de que se acepte el lote con cuatro calculadoras en malascondiciones es de 0.59
b) la variable X es igual 0 para que el lote no sea devuelto. Donde N= 18, n=2 K= 8
(N(k)(Nk)
(x) = P(X = x) = h(x, N, n, K) =
xnx n )
(8)(10)
1 4545
(x) = h(0,18,2,8) =
02
)(18
== 0.294
153
=2
153
La probabilidad de que se acepte el lote con ocho calculadoras en malascondiciones es de 0.59
20.- Una florera tiene 15 vehculos de reparto, que se utilizan principalmente para llevar flores y arreglos florales en una ciudad, suponga que seis de los 15 camiones tienen problemas con los frenos. Se seleccionaron cinco vehculos al azar para probarlos, cual es la probabilidad de que d os de los camiones probados tengan frenos defectuosos?
Solucin:
La variable X es igual 2de los camiones probados. Donde N= 15, n=6 y k= 5
(N(k)(Nk)
(x) = P(X = x) = h(x, N, n, K) =
xnx n )
(5)(10)
10 210
2100
(x) = h(2,15,6,5) =
24=(15
5005
=5005
= 0.42
6 )La probabilidad de que dos de los camiones probados tengan sus frenosdefectuosos es de 0.42
21.- En una fbrica de circuitos electrnicos, se afirma que la proporcin de unidades defectuosas de cierto componente que esta produce es del 5%. Cul
es la probabilidad de que un comprador al revisar 15 unidades al azar encuentre cuatro defectuosas?
Solucin:
La variable X corresponde a 4 unidades defectuosas, donde n=15 unidades y la proporcin de unidades defectuosas es de 5% =0.05, para esto utilizaremo s una distribucin bi nominal.
15(4; 0.05.15) = (4
) 0.054 (1 0.05)11
(4; 0.05.15) = 1365 0.00000625 0.5688(4; 0.05.15) = 0.00485La probabilidad de que un comprador encuentre 4 unidades defectuosas es de0.00485
22.- Un investigador inyecta un germen patgeno a varios ratones a la vez, hasta que haya 2 que han contrado la enfermedad. Si la probabilidad de contraer el padecimiento es de 1/6. Cul es la probabilidad de que sean necesarios 8 ratones?
Solucin:
La variable X corresponde a 8 ratones, donde r=2 ratones que han contrado la enfermedad y la P = 1/6 para esto utilizaremos una distribucin binomial negativa.
175 61 2
(8; 6 , 2) = (1) (6)
( ) 6
1156251
109375
(8; 6 , 2) = 7 46656 36 = 1679616 = 0.065La probabilidad de que sean necesarios ocho ratones es de 0.065
23.- Segn los registros universitarios fracasa el 5% de los alumnos de cierto curso. Cul es la probabilidad de que de 6 estudiantes seleccionados al azar, menos de 3 hayan fracasado?
Solucin:La variable X corresponde a 0, 1, 2 donde n= 6 estudiante seleccionados y P = 5% = 0.05, para esto utilizaremos una distribucin binomial
6(0; 0.05,6) = (0
) 0.050 (1 0.05)6 = 1 1 0.735 = 0.735
6(1; 0.05,6) = (1
) 0.051 (1 0.05)5 = 6 0.05 0.774 = 0.2322
6(2; 0.05,6) = (2
) 0.052 (1 0.05)4 = 15 0.0025 0.8145 = 0.0305
P = (X < 3) = 0.735 + 0.2322 + 0.0305 = 0.3362
La probabilidad de que menos de tres alumnos hayan fracasado es de 0.3362
24.- Segn un estudio publicado por un grupo de socilogos de la Universidad de Massachusetts, aproximadamente el 60% de los consumidores del tranquilizante Valium en dicho estado, tomaron el frmaco por problemas psicolgicos, Determine la probabilidad de que entre los siguientes 8 consumidores entrevistados en este estado, por lo menos 5 hayan comenzado a tomarlo por problemas psicolgicos.
Solucin:
La variable X corresponde a 0, 1, 2, 3, 4; donde n= 8 consumidores y P = 60%= 0.6, para esto utilizaremos una distribucin binomial
(0; 0.6,8) = (
8) 0.60 (1 0.6)8 = 1 1 0.000655 = 0.0006550
(1; 0.6,8) = (
8) 0.61 (1 0.6)7 = 8 0.6 0.00164 = 0.007871
(2; 0.6,8) = (
8) 0.62 (1 0.6)6 = 28 0.36 0.0041 = 0.41332
(3; 0.6,8) = ((4; 0.6,8) = (
8) 0.63 (1 0.6)5 = 56 0.216 0.01024 = 0.123838) 0.64 (1 0.6)4 = 70 0.1296 0.0256 = 0.23224
P = (X < 3) = 0.000655 + 0.00787 + 0.4133 + 0.1238 + 0.2322 = 0.7778
La probabilidad de que por lo menos cinco hayan comenzado a tomarlos por problemas psicolgicos es de 0.7778
25.- La probabilidad de que una persona que vive en cierta ciudad tenga un perro se estima en 0.3. Determine la probabilidad de que la decima persona entrevistada al azar en dicha ciudad sea la quinta en poseer un perro.
Solucin:La variable X corresponde a 10 persona entrevistadas, donde r=5 y la P = 0.3 para esto utilizaremos una distribucin binomial negativa
(10; 0.3,5) = (
9) (0.7)5 (0.3)5 = 126 0.1681 0.00243 = 0.05154
La probabilidad de que la decima persona entrevistada sea la quinta en poseerun perro es de 0.0515
26.- Suponga que cierto estudiante tiene una probabilidad de 0,75 de aprobar el examen de ingles en cualquier intento que haga. Cul es la probabilidad de que lo logre aprobar en el cuarto intento?
Solucin:La variable X corresponde a 4, donde r=1 y la P = 0.75 para esto utilizaremos una distribucin binomial negativa
(4; 0.75,1) = (
3) (0.25)3 (0.75)1 = 1 0.015625 075 = 0.011720
La probabilidad de que logre aprobar en el cuarto intento es de 0.01172
27.- De acuerdo con un reporte de la secretaria de movilidad, en Bogot se registran en promedio 7,5 peatones atropellados a la semana (7 das). Determine la probabilidad de que en tres das de una semana cualquiera ocurran entre 6 y 8 casos de personas atrope lladas en la ciudad.
Solucin:La variable X corresponde a 6 y 8 casos de personas atropelladas es la cuidad, el promedio es de 7.5 en siete das, por lo tanto en tres das el pro medio seria de 3.2, por tanto se utilizara la distribucin de poison.Teniendo as: Z= 3.21
P(6 x 8) = (
e3.21 3.218 8!
) + (
e3.21 3.217 7!
) + (
e3.213.216)6!
P (6 x 8) = (
0.040 11273.0240320
) + (
0.040 3511.845040
) + (
0.040 1094.03
) 720
P(6 x 8) = (
450.9240320
) + (
140.4745040
) + (
43.76
) 720
P(6 x 8) = 0.011 + 0.027 + 0.061 = 0.099La probabilidad de que en tres das de una semana ocurran entre 6y 8 casosde persona atropelladas es de 0.099
28.- El nmero de camiones en promedio que llegan a una central de abastos en cierta ciudad, es de 12 por da. Cul es la probabilidad de que en un da cualquiera lleguen menos de nueve camiones a esa central de abastos?
Solucin:La variable X corresponde a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 casos de personas atropelladas es la cuidad, el promedio es de 12 por da, con base en esto se utilizara la distribucin de poison.
P(x 9) = (
e12128 8!
) + (
e12 127 7!
) + (
e12126 6!
) + (
e12 125 5!
) + (
e12124)4!
e12 123+ (3!
) + (
e121222!
) + (
e12 1211!
) + (
e12120)0!
P(x 9) = (
2641.8940320
) + (
220.165040
) + (
18.35720
) + (
1.53120
) + (
0.12724
) + (
0.011
) 6
0.000884+ (2
0.0000737) + (1
) + (
0.00000614)1
P(x 9) = 0.066 + 0.044 + 0.0255 + 0.01275 + 0.0053 + 0.00183 + 0.000442+ 0.0000737 + 0.00000614P(x 9) = 0.1559La probabilidad de que lleguen al menos 9 camiones a la central de abastos esde 0.1559
29.- Si Z es la distribucin normal tipificada, encuentre el rea bajo la curva que cae:a. A la izquierda de z = - 1,13b. Entre z = - 2,06 y z = - 0,15c. A la derecha de z = 1,44
Solucin:
a. A la izquierda de z = - 1,13P(z = 1.13) = P(z X 1.13)P(z = 1.13) = 1 P(z 1.13) = 1 0.8708 = 0.1292El rea bajo la curva a la izquierda de z = -1.13 es de 0.1292 o 12.92%
b. Entre z = - 2,06 y z = - 0,15P(2.06 z 0.15) = P(2.06 X z X 0.15)= (1 P(z 0.15)) (1 P(z 2.06))= (1 0.5596) (1 0.98030) = (0.4404) (0.0197) = 0.4207El rea bajo la curva entre de z = -2.06 y z = -0.15 es de 0.4207 o 42.07%
c. A la derecha de z = 1,44P(z X 1.44) = 1 P(z X 1.44) = 1 0.9251 = 0.0749El rea bajo la curva a la derecha de z = 1.44 es de 0.0749 o 7.49%
30.- Si la variable aleatoria Z tiene una distribucin normal tipificada, encuentre la mejor aproximacin de las tablas para el valor de k, tal que:a. P (Z > K) = 0,3500b. P (Z < K) = 0,5500c. (Ko < Z < k1) = 0,9500
Solucin:
a. P (Z > K) = 0,3500P(z X k) = 1 P (z k)P(z X k) = 1 0.3500 = 0.65K corresponde al valor de la tabla inversa de distribucin normal tipificada uqees igual a 0.3853
b. P (Z < K) = 0,5500P(z k) = 0.5500K corresponde al valor de la tabla inversa de distribucin normal tipificada quees igual a 0.125661
c. (Ko < Z < k1) = 0,9500P(k0 z k1 ) = P(z k1 ) (1 P(z k0 )) = 0.5500 (1 0.5500)= 0.5500 0.4500 = 0.1000K corresponde al valor de la tabla inversa de distribucin normal tipificada quees igual a 3.091
31.- Las notas de un examen hecho a una clase de 36 alumnos siguen una distribucin Normal con media 4.2 y desviacin estndar 1.3.a) Calcular el nmero de alumnos con nota entre 5 y 7.b) Numero de alumnos con nota entre 4 y 6
Solucin:
Distribucin normal
= 4.2 y o = 1.3
a) nmero de alumnos con nota entre 5 y 7
x
5 4.2
0.8
z1 =o=
== 0.61531.31.3
x
7 4.2
2.8
z1 =o=
== 2.151.31.3
P(0.62 z 2.15) = P(z X 2.15) P(z X 0.62) = 0.98422 0.7324 = 0.252El nmero de alumnos con nota entre 5 y 7 es de 0.252 * 36 =9.072 es deciraproximadamente 9 alumnos.
b) nmero de alumnos entre 4 y 6
z1 =
x =ox
4 4.2
= 1.36 4.2
0.2= 0.1541.31.8
z1 =o=
== 1.381.3 1.3
P(0.15 z 1.38) = P(z X 1.38) (1 P(z X 0.15))= 0.9162 (1 0.5596) = 0.9162 0.4404 = 0.4758El nmero de alumnos con nota entre 4 y 6 es de 0.4758 * 36 = 17.12 es decir aproximadamente 17 alumnos
32.- El peso de las naranjas sigue una distribucin normal de media 180 g y desviacin tpica 20 g. Un almacenista ha comprado 10.000 kg. Calcular:a) Kilos de naranjas que se espera pesen menos de 150 g.b) Kilos de naranjas cuyo peso se espera que este entre 160 y 200 g.
Solucin:
= 180 y o = 20
a) Kilos de naranjas que se espera pesen menos de 150 g.
x
150 18030
z1 =o=
= = 1.52020
P(z 1.5) = P(z X 1.5) = 1 P(z X 1.5) = 1 0.9332 = 0.0668Los kilos de naranja que se espera pesen menos de 150 gramos es 10000 * 0.0668 = 668 kilos
b) Kilos de naranjas cuyo peso se espera que este entre 160 y 200 g
x
160 18020
z1 =o=
= = 1.002020
x
200 18020
z2 =o=
== 1.002020
P(1.00 z 1.00) = P(z 1.00) (1 P(z X 1.00))= 0.8416 (1 0.8416) = 0.8416 0.1584 = 0.6832Los kilos de naranja que se espera entre 160 y 200 gramos es 10000 * 0.6832= 6832 kilos
33.- El Departamento de Talento Humano de una universidad ha hecho un estudio sobre la distribucin de las edades del profesorado y ha observado que se distribuyen normalmente con una media de 34 aos y una desviacin tpica de 6 aos. De un total de 400 profesores hallar:a) Cuantos profesores hay con edad menor o igual a 35 aos?b) Cuantos de 55 aos o ms?
Solucin: = 34 y o = 6
a. profesores con edad menor o igual de 35 aos
P(x 35) = z2 =
x =o
35 346
1== 0.166
P(z 0.16) = 0.5636Los profesores con edad menor o igual a 35 aos son de 400 * 0.5636 =225.44 aproximadamente 225 profesores.
b. profesores con 55 aos o ms.
P(x X 55) = z2 =
x =o
55 346
21== 3.56
P(z X 3.5) = 1 P(z 3.5) = 1 0.999767 = 0.000233Los profesores con 55 aos o ms es de 400 * 0.000233 = 0.0932 profesores
34.- En una panadera se cortan panecillos con un peso que se ajusta a una distribucin normal de media 100 g y desviacin tpica 9. Cul es la probabilidad de obtener un panecillo cuyo peso oscile entre 80 g y la media?
Solucin:
= 100 y o = 9
P(80 x 100) = z1 =
x =o
80 1009
20
= = 2.22 9
P(80 x 100) = z1 =
x =o
100 1009
0== 0.009
P(2.22 z 0.00) = P(z 0.00) (1 P(z X 2.22))= 0.5000 (1 0.98679) = 0.5000 0.01321 = 0.48679Los probabilidad de tener un panecillo con un peso entre 80g y 100g es de0.48679
35.- La duracin media de un lavavajillas es de 15 a os, con una desviacin tpica igual a 0.5 aos. Si la vida til de electrodomsticos se distribuye normalmente, halla la probabilidad de que al comprar un lavavajillas este dure ms de 16 aos.
Solucin: = 15 y o = 0.5
P(x X 16) = z1 =
x =o
16 150.5
1== 20.5
P(z 2) = P(z 2) = 1 P(z 2) = 1 0.97725 = 0.0228La probabilidad de que el lavavajilla dure 16 es de 0.0228
36.- Se ha determinado que para varones normales en una cierta poblacin normalmente distribuida, la temperatura media es de 37 C y desviacin estndar de 0,5C. Si se consideran 1000 de estas personas. Cuantas se puede esperar que tengan una temperatura comprendida entre 37 C y 37,6C?
Solucin:
= 37C y o = 0.5C N = 1000
x
37 370
z1 =o=
== 00.50.5
x
37.6 37
0.6
z2 =o=
== 1.20.50.5
P(0 z 1.2) = P(z 1.2) P(z 0) = 0.8849 0.5000 = 0.3849El total de personas que se puede esperar es de 1000 * 0.3849 = 384.9aproximadamente 385 personas tendrn temperaturas entre 37C y 37.6C
37.- Un calentador de agua requiere por trmino medio 30 minutos para calentar 40 galones de agua hasta una temperatura determinada. Si los tiempos de calentamiento se distribuyen normalmente con una desviacin estndar de 0,5 minutos. Qu porcentaje de los tiempos de calentamiento son superiores a 31 minutos?
Solucin: = 30 y o = 0.5 N = 40
x
31 301
z1 =o=
== 21.5 0.5
P(z X 2) = 1 P(z X 2) = 1 0.97725 = 0.0228El porcentaje de los tiempos de calentamiento superiores a 31 minutos es de40 * 0.0228 = 0.912 * 100 = 91.2%
38.- Los resultados de una prueba objetiva de seleccin hecha a 200 personas indicaron que la distribucin de puntuaciones era normal, con media 60 puntos y desviacin tpica de 6 puntos. Calcular cuntos examinados han obtenido una puntuacin entre 30 y 40 p untos, y cul es la minina puntuacin por debajo de la cual estn el 75 % de los examinados ?
Solucin: = 60 y o = 6 N = 200
a. personas que obtuvieron puntuacin entre 30 y 40 puntos.
x
30 6030
z1 =o=
= = 566
x
40 6020
z2 =o=
= = 3.3366
P(5 z 3.33) = (1 P(z 3.33)) (1 P(z 5))= (1 0.999565) (1 0.999999) = 0.000435 0.000001= 0.000434
Los examinados que tuvieron puntaje entre 30 y 40 puntos es de 200 * 0.000434 = 0.0868 o el 8.68% de personas
b. puntuacin mnima por debajo del 75% de los examinados.
x z =o
0.75 =
x 606
x = 0.75 6 + 60 = 64.5La minina puntuacin que se encuentra por debajo del 75% de los examinadoses de 64.5
39.- Suponiendo que las tallas de los adultos de un pas A siguen una distribucin normal con media 180 cm. y desviacin tpica 5 cm. y que las tallas de los adultos en un pas B siguen una distribucin tambin normal, pero con media 180 cm. y desviacin tpica 15 cm., contestar de manera justificada en cul de los dos pases es ms probable encontrar adultos con talla superior a 195 cm. y donde es ms probable encontrar adultos con talla comprendida entre 175 y 185 cm.
Solucin:a) A: = 180 cm y o = 5 cm B: = 180 cm y o = 15 cm
z =
x =ox
195 18015== 355195 18015
zB =o=
== 11515
P(z 3) = 1 P(z 3) = 1 0.998650 = 0.00135P(z 1) = 1 P(z 1) = 1 0.8416 = 0.1584Es ms probable encontrar adultos con talla superior a 195 cm en el pas B yaque hay una probabilidad de 0.1584 con respecto al pas A, que tiene una probabilidad de 0. 00135
b) pas A:
x
175 1805
z1 =o=
= = 155
x
185 1805
z2 =o=
== 155
P(1 z 1) = P(z 1) (1 P(z 1)) = 0.8416 (1 0.8416)= 0.8416 0.1584 = 0.6832Pas B:
x
175 1805
z1 =o=
= = 0.331515
x
185 1805
z2 =o=
== 0.331515
P(0.33 z 0.33) = P(z 0.33) (1 P(z 0.33))= 0.6293 (1 0.6293) = 0.6293 0.3707 = 0.259Es ms probable encontrar adultos con talla entre 175 cm y 185 cm en el pasA ya que hay una probabilidad de 0.6832 con respecto al pas B, que tiene una probabilidad de 0.259
CONCLUSIN
Gracias al desarrollo de este taller me he dado cuenta que las variables aleatorias y las distribuciones de probabilidad son de gran utilidad ya que dando un buen uso de las formulas que estas nos ofrecen podemos dar solucin rpida a problemas que se nos pueden p resentar en cualquier parte de nuestro trabajo, ya sea en investigacin o en la vida cotidiana.
BIBLIOGRAFA
Robayo.Adriana.2007.Modulo de probabilidad. UNAD. Bogot. D.C. Canavos. George 1988. Probabilidad y estadstica. McGraw Hill. Mxico.