TRABAJO COLABORATIVO 2

METODOS NUMERICOS

PRESENTADO POR:

ALBA LUCY VIVEROS

C.C 1089077407

JONATHAN ALEXIS ARANGO LONDOO

C.C 1088270195

CODIGO DEL CURSO:

100401-51

PRESENTADO A:

SOLON EFREN LOSADA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

CCAV EJE CAFETERO

SANTA ROSA DE CABAL (RISARALDA)

NOVIEMBRE DE 2013

Primera parte: La construccin de un mapa conceptual por captulo de la Unidad Sistema de Ecuaciones Lineales, no Lineales e Interpolacin con base a la lectura y anlisis que los estudiantes del curso realicen del contenido de la Unidad 1.

Segunda Parte: Se resolvern una lista de 5 (CINCO) ejercicios enfocados a poner en prctica los

procesos desarrollados en la Unidad. Los ejercicios son los siguientes:

1. Determinar la matriz inversa

= (5 6 93 0 21 4 6

)

2. Dado el sistema lineal:

1 2 + 3 = 1 1 + 22 3 = 2

1 + 2 + 3 = 1

a) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistema no tiene solucin.

b) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistema tiene infinitas soluciones.

c) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistema tiene una nica solucin.

3. Obtenga las cuatro primeras iteraciones empleando el mtodo de Gauss-Seidel para el siguiente

sistema lineal. Segn los resultados concluya la posible solucin del sistema, es decir, concrete cual es

la solucin

31 0.52 + 0.63 = 5.24 0.31 42 3 = 0.387

0.71 + 22 + 73 = 14.803

4. De la siguiente tabla de datos realizar los siguientes procedimientos:

X -3 -1 2

f(X) 2 4 -1

4.1 halle el polinomio de diferencias divididas de Newton

4.2 identifique el coeficiente de x y 2

5. Se tienen los siguientes datos para que halle un polinomio P(x) de grado desconocido, con el mtodo

de Diferencias divididas de Newton:

X 0 1 2 3

f(X) 1 6 8 12

Y con la ecuacin o polinomio que logre aproxime el valor de P (1.7).

MAPA CONCEPTUAL

SOLUCIN

1) Determinar la matriz inversa de:

= (5 6 93 0 21 4 6

)

Inicialmente se halla el determinante por el mtodo de cofactores

|| = ( ) ( ) + ( ) =

Se hallara la inversa por el mtodo de determinantes de acuerdo a la siguiente ecuacin

=()

||

Se halla la matriz transpuesta de

= (5 3 16 0 49 2 6

)

Ahora se halla la matriz Adjunta de la transpuesta de

() = (8 0 12

16 39 3712 26 18

)

Finalmente se obtiene la matriz inversa de dividiendo la () entre el determinante de

=()

||= (

8/52 0 12/5216/52 39/52 37/5212/52 26/52 18/52

) = (2/13 0 3/134/13 3/4 37/52

3/13 1/2 9/26)

= (2/13 0 3/134/13 3/4 37/52

3/13 1/2 9/26)

2) Dado el sistema lineal:

1 2 + 3 = 1 1 + 22 3 = 2

1 + 2 + 3 = 1

a) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistema no tiene solucin.

b) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistema tiene infinitas soluciones.

c) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistema tiene una nica solucin.

Se crea la matriz de coeficientes X a partir del sistema de ecuaciones

= (1 1

1 2 1 1

)

Se halla el determinante por el mtodo de cofactores

|| = ( + ) + ( + ) + ( ) = +

Para que un sistema de ecuaciones tenga solucin, es necesario que el determinante de la matriz

de coeficientes de ese sistema sea distinto de cero. Por lo tanto para saber en qu valores de el

sistema no tiene solucin o tiene infinitas soluciones, se hace necesario calcular que valor de

hace que el determinante tenga valor 0. De esta forma y siendo el determinante de la matriz de

coeficientes igual a + se procede a despejar .

+ =

=

= =

a) Si se tiene = 1 , se puede comprobar por simple inspeccin que la primera y tercera columna de la matriz son iguales; esto es suficiente para establecer que el sistema NO tiene

solucin para = 1.

b) Si se tiene = 1 , se puede observar que la primera columna es igual a la primera fila "transpuesta". Esto implica que el rango de la matriz (el nmero de filas y columnas

independientes), es menor al nmero de incgnitas con lo cual tenemos un sistema que admite

infinitas soluciones.

c) El sistema tendr una nica solucin - {-1, 1}; es decir que tendr una nica solucin para todo valor de en los reales excepto -1 y 1.

3) Obtenga las cuatro primeras iteraciones empleando el mtodo de Gauss-Seidel para el siguiente sistema lineal. Segn los resultados concluya la posible solucin del sistema, es

decir, concrete cual es la solucin.

31 0.52 + 0.63 = 5.24 0.31 42 3 = 0.387

0.71 + 22 + 73 = 14.803

Se procede a despejar cada incgnita de acuerdo a su orden en la diagonal principal

1 =5.24 + 0.52 0.63

3

2 =0.387 + 0.31 3

4

3 =14.803 + 0.71 22

7

Se suponen valores iniciales 2 = 0 3 = 0 para calcular 1

Primera iteracin

10 =

5.24

3= 1.746666

20 =

0.387 + 0.3(1.746666)

4= 0.227749

30 =

14.803 + 0.7(1.746666) 2(0.227749)

7= 2.224309

Segunda iteracin con los valores que se obtuvieron en la iteracin anterior

11 =

5.24 + 0.5(0.227749) 0.6(2.224309)

3= 1.339763

21 =

0.387 + 0.3(1.339763) 2.224309

4= 0.358845

31 =

14.803 + 0.7(1.339763) 2(0.358845)

7= 2.351217

Tercera iteracin

12 =

5.24 + 0.5(0.358845) 0.6(2.351217)

3= 1.216615

22 =

0.387 + 0.3(1.216615) 2.351217

4= 0.399808

32 =

14.803 + 0.7(1.216615) 2(0.399808)

7= 2.350606

Cuarta iteracin

13 =

5.24 + 0.5(0.399808) 0.6(2.350606)

3= 1.209910

23 =

0.387 + 0.3(1.209910) 2.350606

4= 0.400158

33 =

14.803 + 0.7(1.209910) 2(0.400158)

7= 2.350036

Despus de cuatro iteraciones se tiene

1 1.209910

2 0.400158

3 2.350036

Para comprobar se evaluaran estos valores en la primera ecuacin

31 0.52 + 0.63 = 5.24

3(1.209910) 0.5(0.400158) + 0.6(2.350036) = 5.2398306 5.24

4) De la siguiente tabla de datos realizar los siguientes procedimientos:

X -3 -1 2

f(X) 2 4 -1

4.1 halle el polinomio de diferencias divididas de Newton

() 0 = 3 2 1 = 1 4 2 = 2 -1

[,] =[] []

[,, ] =[,] [, ]

[] = 2 [,] = 1

[] = 4 [,,] = 8

15

[,] = 5

3

[] = 1

Se procede a hallar el polinomio de interpolacin con la siguiente ecuacin

() = ()

() = 2 + ( + 3)(1) + ( + 3)( + 1) (8

15)

= 8

152

17

15 +

17

5

4.2 identifique el coeficiente de x y 2

() = 8

152

17

15 +

17

5

Con el polinomio anterior se identifica lo siguiente:

El coeficiente de 17

15

El coeficiente de 2 8

15

5) Se tienen los siguientes datos para que halle un polinomio P(x) de grado desconocido, con el mtodo de Diferencias divididas de Newton:

X 0 1 2 3

f(X) 1 6 8 12

Y con la ecuacin o polinomio que logre aproxime el valor de P (1.7).

() 0 = 0 1 1 = 1 6 2 = 2 8 3 = 3 12

[,] =[] []

[,, ] =[,] [, ]

[] = 1 [,] = 5

[,,] = 3

2

[] = 6

[,] = 2 [,,,] =5

6

[,,] = 1 [] = 8 [,] = 4 [] = 12

Se procede a hallar el polinomio de interpolacin con la siguiente ecuacin

() = ()

() = 1 + ( 0)5 + ( 1) (3

2) + ( 1)( 2) (

5

6)

=5

63 42 +

49

6 + 1

Se procede a reemplazar P (1.7) en el polinomio obtenido.

(1.7) =5

6(1.7)3 4(1.7)2 +

49

6(1.7) + 1 7.4175

CONCLUSIONES

Realizamos un estudio y lectura profundizada de la unidad dos del mdulo, permitindonos aclarar los conceptos necesarios para la solucin de problemas matemticos.

Por medio de la aplicacin de los mtodos de interpolacin logramos dar solucin a varios problemas matemticos.

Se logr la comprensin de los diferentes mtodos de interpolacin tratados en el mdulo del curso.

Se observaron algunos mtodos para la solucin de sistemas de ecuaciones lineales.

Se recordaron las diferentes operaciones con matrices.

BIBLIOGRAFIA

Narvez G, R. (2008). Mdulo del Curso Mtodos Numricos. Bogot: Universidad Nacional Abierta y a

Distancia. Texto virtual.