Ejercicio 1.Tres habitantes de un conjunto cerrado dueños de su casa, cuyas profesiones son: un carpintero, un electricista y un plomero, llegan al acuerdo de hacer reparaciones necesarias en las tres casas, y deciden trabajar en total diez días cada uno, así:

DÍAS DE TRABAJOCarpintero Electricista Plomero

Casa del Carpintero

2 1 6

Casa del Electricista

5 5 1

Casa del Plomero

3 4 3

Por los impuestos de la DIAN, tienen que reportar y pagarse entre sí un salario diario, incluyendo el trabajo que cada uno hace en su propia casa, Un salario entre $60.000, $70.000 y $80.000 diarios, pero acuerdan ajustar su pago de forma que ninguno obtenga ventaja, es decir de forma que la cantidad pagada por cada uno sea igual a la cantidad total que reciba cada uno.

Hallar el valor que cada uno va a recibir diariamente, teniendo en cuenta que el valor se obtiene en el orden, el que obtenga el mayor valor, se multiplica por el valor diario establecido en el ejercicio, para así establecer los valores finales individuales de cada uno. ¿Cuál fue el costo total invertido por cada casa?

Respuesta.

Podemos apreciar en el diagrama que en la casa del carpintero se trabajaron 9 días; en la casa del electricista se trabajaron 11 días y en la casa del plomero se trabajaron 10 días.

Como los sueldos que pagara cada uno en su casa deben ser iguales a los 10 días de su propio trabajo creamos las ecuaciones, donde:

x=sueldo del carpintero

y=sueldo del electricista

z=sueldo del plomero

2 x+ y+6 z=10x

5 x+5 y+z=10 y

3 x+4 y+3 z=10 z

Si llevamos las ecuaciones a 0 tenemos:

2 x+ y+6 z=10x→2 x−10 x+ y+6 z=0→−8 x+ y+6 z=0

−8 x+ y+6 z=0(Ec .1)

5 x+5 y+z=10 y→5 x+5 y−10 y+z=0→5x−5 y+z=0

5 x−5 y+z=0(Ec .2)

3 x+4 y+3 z=10 z→3 x+4 y+3 z−10 z=0→3 x+4 y−7 z=08*53142

3 x+4 y−7 z=0(Ec .3)

Tomamos la (Ec .2) y la multiplicamos por 3 y tomamos la (Ec .3) y la multiplicamos por −5 y luego sumamos las dos ecuaciones.

15 x−15 y+3 z=0−15 x−20 y+35 z=0−35 y+38 z=0

Despejando ( y ) tenemos:

−35 y=−38 z→ y=−38−35

z→ y=3835

z

y=3835

z (Ec .4 )

Ahora Reemplazo el valor de ( y ) o sea la ecuación 4 en la ecuación 1.

−8 x+ y+6 z=0→−8 x+ 3835

z+6 z=0→…

…→−8x+z ( 3835+6)=0→−8 x+z ( 24835 )=0Despejamos x

z ( 24835 )=8x→x=( 248358 ) z→ x= 248280

z

Simplificamos (dividimos entre 8 el numerador y el denominador).

x=3135

z (Ec .5)

Y como z=z podemos decir que tenemos los sueldos de acuerdo al sueldo de z.

Le asignamos el valor de $60000 a la variable z.

Entonces, los sueldos que recibirá cada uno serán:

x=3135

(60000 )=186000035

=53142,85

y=3835

(60000 )=228000035

=65142,85

z=$60000

Ahora hayamos lo invertido en cada vivienda.

Primero para la vivienda del Plomero.

3 x+4 y+3 z=3 (53142,85 )+4 (65142,82 )+3 (60000 )=…

…=159428,55+260571,4+180000=599999,95

Lo invertido en la casa del plomero fue: $599999,95

Para la vivienda del electricista.

5 x+5 y+z=5 (53142,85 )+5 (65142,85 )+ (60000 )=…

…=265714,25+325714,25+60000=651428,5

Lo invertido en la casa del electricista fue: $651428,5

Para la vivienda del carpintero.

2 x+ y+6 z=2 (53142,85 )+(65142,85 )+6 (60000 )=…

…=106285,7+65142,85+360000=531428,55

Lo invertido en la casa del carpintero fue: $531428,55

Adjunto imagen de evidencia de ecuación.

Ejercicio 2.

Tres extractos de frutas se combinan para formar tres tipos de mermelada. Una unidad de la mermelada del tipo I requiere 10<¿del extracto de fruta A, 30<¿ del extracto de fruta B y 60 Lt. del extracto de fruta C. Una unidad de mermelada del tipo II requiere 20<¿ del A, 30<.del B, Y 50<¿ del C. Una unidad III requiere 50<¿ del A y 50<¿ del C. Si hay disponibles 1600<¿del A, 1200<¿ del B Y 3200<¿del C. ¿Cuántas unidades de los tres tipos de mermelada se pueden producir si se usa todo el extracto de fruta disponible? Resolver el problema a través de Gauss Jordán para hallar el valor de las variables establecidas.

Solución.

Primero creo una tabla.

EXTRACTOS TIPOS DE MERMELADA Cantidad disponibleI II II

A 10 20 50 1600B 30 30 0 1200C 60 50 50 3200

Para crear nuestras ecuaciones lo siguiente:

La variable x representará las unidades del tipo I de mermelada.

La variable y representara las unidades del tipo II de mermelada.

La variable z representará las unidades del tipo III de mermelada.

Así tenemos que:

10 x+20 y+50 z=1600 Ecuación1(ec .1)

30 x+30 y=1200Ecuación 2(ec .2)

60 x+50 y+50 z=3200 Ecuación3(ec .3)

Lo haremos en pasos.

Paso 1. Construyo la matriz de los coeficientes.

[10 20 5030 30 060 50 50]

Paso 2. Amplio la matriz con los términos independientes

[10 20 5030 30 060 50 50|

160012003200 ]

Paso 3. Ahora realizamos la búsqueda de ceros de las celdas diferentes a la diagonal principal. Para ello me ayudo colocando la matriz inversa deseada.

[10 20 5030 30 060 50 50|

160012003200‖

1 0 00 1 00 0 1 ]

Paso 4.comenzamos con las celdas 3.1 y 2.1

Las operaciones que realizamos para convertirlas en cero son las siguientes:

d

(3 )∗R1−R2→R2(6 )∗R1−R3→R3[10 20 50

0 30 1500 70 250|

160036006400‖

1 0 03 −1 06 0 −1]

La matriz queda:

[10 20 500 30 1500 70 250|

160036006400‖

1 0 03 −1 06 0 −1 ]

Paso 5. La siguiente celda es 3.2

dd

(7 )∗R2−(3 )∗R3→R3[10 20 500 30 1500 0 300|

160036006000‖

1 0 03 −1 03 −7 3 ]

La matriz resultante es:

[10 20 500 30 1500 0 300|

160036006000‖

1 0 03 −1 03 −7 3 ]

Paso 6. Las siguientes celdas son: 1.3 y 2.3

(6 )∗R1−R3→R1(2 )∗R2−R3→R2

∙ [60 120 00 60 00 0 300|

360012006000‖

3 7 −33 5 −33 −7 3 ]

La matriz resultante es:

[60 120 00 60 00 0 300|

360012006000‖

3 7 −33 5 −33 −7 3 ]

Paso 7. La siguiente celda es: 1.2

R1−(2 )∗R2→R1∙. [60 0 0

0 60 00 0 300|

120012006000‖

−3 −3 33 5 −33 −7 3 ]

La matriz resultante es:

[60 0 00 60 00 0 300|

120012006000‖

−3 −3 33 5 −33 −7 3 ]

Paso 8. Ahora buscamos operaciones para convertir a unos (1)los valores que están en la diagonal principal.

(1/60 )∗R1→R1(1/60 )∗R2→R2

(1/300 )∗R3→R3[1 0 00 1 00 0 1|

202020‖

−1 /20 −1/20 1/201 /20 1/12 −1/201 /100 −7 /300 1/100 ]

La matriz resultante es:

[1 0 00 1 00 0 1|

202020‖

−1/20 −1/20 1/201 /20 1 /12 −1/201/100 −7 /300 1/100 ]

Una vez resuelta la matriz, a la pregunta, ¿Cuántas unidades de los tres tipos de mermelada se pueden producir si se usa todo el extracto de fruta disponible? Respondemos que 20 unidades de los tres tipos de mermelada.

Ejercicio 4.1 Encuentre la ecuación del plano que contiene a los puntos A(1 ,2,1); B(1 ,0,1) ;C(0 ,1 ,−1)

Formamos los vectores A⃗B y A⃗C

A⃗B=B−A= (1 ,0 ,1 )−(1 ,2,1 )=(0 ,−2,0)

A⃗C=C−A=(0 ,1 ,−1 )−(1 ,2,1 )=(−1 ,−1 ,−2)

Hallamos ahora un vector (N⃗ vector normal) que sea perpendicular a A⃗B y A⃗C simultáneamente.

N⃗= A⃗B X A⃗C=[ i j k0 −2 0

−1 −1 −2]=i [−2 0−1 −2]− j [ 0 0

−1 2]+k [ 0 −2−1 −1]

N⃗=i [ (−2∗−2 )−(−1∗0 ) ]− j [ (0∗2 )−(−1∗0 ) ]+k [ (0∗−1 )−(−1∗−2 ) ]

N⃗=i [ (4 )−(0 ) ]− j [ (0 )−(0 ) ]+k [ (0 )−(2 ) ]

N⃗=4 i−0 j−2k

N⃗=4 i−2 k

Utilizamos el punto B para hallar la ecuación.

4 ( x−1 )−2 ( z−1 )=0

4 x−4−2 z+2=0

4 x−2 z=4−2

4 x−2 z=2Ecuación del plano.

Ejercicio 5.

Demuestre que las líneas, se intersectan.

x = 3z + 7.

y = 2z + 3 y

y= 4z + 4

Desarrollo

Por ser planosdebemos organizarlos de la formacorrecta.

Ax+By+Cz=D

x−3 z=7

y−2 z=3

y−4 z=4

Relaciono lasdos formulas semejantes , parahallar z .

Serestala segundaecuacion en la tercera,quedandode lasiguientemanera

y−2 z=3

y−4 z=4

−2 z=1

z=−1 /2

Remplazamos el valor de z en laecuacion 2

y−2(−12 )=3y+1=3→ y=3−1

y=2

De igual forma solodebemos remplazar el valor de z , en la primera ecuacion.

x−3(−12 )=7x+3/2=7

x=11/2

Las lineas se intersectanen las coordenadas(11/2 ,2,−1/2)

EJERCICIO CORREGIDO POR TUTORA POR MEDIO DE CORREO

5. Demuestre que las líneas, se intersectan.

x = 3z + 7.

x = 2z + 3

y= 4z + 4

Desarrollo

Por ser planosdebemos organizarlos de la formacorrecta.

Ax+By+Cz=D

x−3 z=7

x−2 z=3

y−4 z=4

Relaciono lasdos formulas semejantes , parahallar z .

Serestala primeraecuacion en la segunda ,quedandode la siguientemanera

x−3 z=7

x−2 z=3

−1 z=4

z=−4

Remplazamos el valor de z en laecuacion 2

x−2 (−4 )=3

x+8=3→ y=3−8

x=−5

De igual forma solodebemos remplazar el valor de z , en la terceraecuacion .

y−4 (−4 )=4

y+16=4

y=−12

Las lineas se intersectanen las coordenadas (−5 ,−12 ,−4 )