TRABAJO DE PROGRAMACIN LINEALFECHA DE ENTREGA: Mircoles 27 de abril 19h30 OBSERVACIONES: El trabajo debe ser realizado utilizando el mtodo grfico y en papel Pueden presentar el trabajo en grupos de hasta dos estudiantes. EJERCICIOS: 1) Un autobs Madrid-Pars ofrece plazas para fumadores al precio de 60 y a no fumadores al precio de 36. Al no fumador se le deja llevar 50 kg. de peso y al fumador 20 kg. Si el autobs tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3000 kg. Cul ha de ser la oferta de plazas de la compaa para optimizar el beneficio? Una fbrica de tableros de madera pintados produce dos tipos de tableros: Normales, llevan una mano de imprimacin y otra de pintura. Extras, llevan una mano de imprimacin y tres de pintura. Se dispone de imprimacin para 10.000 m2 y pintura para 20.000 m2. En los tableros normales se ganan 2 por m2 y en los tableros extras 3 por m2. Qu cantidad de tableros de cada tipo conviene fabricar para que las ganancias sean mximas? Una empresa fabrica dos productos A y B. Se sabe que la produccin de B no supera en 1000 unidades a la de A; adems la produccin de ambos no supera las 5000 unidades, y del producto B se elaboran, como mnimo, 2000 unidades. El coste de la elaboracin de A es un tercio mayor que el de B. Cuntas unidades ha de elaborar de cada producto si se desea que el coste sea mnimo? Determinar el nmero de unidades que elabora en cada caso. Una entidad financiera capta depsitos y presta dinero. La captacin de dinero lleva una hora para convencer al cliente y otra hora de trabajo burocrtico. El prstamo de dinero lleva una hora para convencer al cliente y dos horas de trabajo burocrtico. El mximo nmero de horas de trabajo disponible es de 40 horas para convencer a los clientes y 60 horas para el trabajo burocrtico. El beneficio obtenido por prestar dinero es 1/3 mayor que el de captar depsitos. Cuntas operaciones de cada tipo le conviene realizar para obtener el mximo beneficio? Cuntas operaciones realiza de cada tipo? Se desea realizar una mezcla de dos sustancias A y B, que ha de contener como mnimo 15 unidades de cada una de ellas. Estas sustancias nos las venden dos proveedores en forma de lotes. El lote del primer proveedor es tal que los contenidos de A y B estn en relacin de 5 a 1 y contienen una unidad de A. El lote del segundo proveedor es tal que los contenidos de A y B estn en relacin de 5 a 1 y contiene una unidad de B. El primer proveedor vende cada lote a 1000 ptas. precio que es un tercio de a lo que vende el segundo el suyo. Ambos proveedores nos venden lotes enteros o fracciones de ellos Qu nmero de lotes hemos de comprar para que el coste sea mnimo?. Cul es el coste mnimo? Un comerciante desea comprar dos tipos de lavadoras, A y B. Las tipo A cuestan 270 euros y las de tipo B, 450 euros. Dispone de 6300 euros y de sitio para 20 lavadoras y, al menos, ha de comprar una de cada tipo. Cuntas lavadoras ha de comprar de cada tipo para obtener beneficios mximos con su venta posterior, sabiendo que en cada lavadora gana el 20% del precio de compra? Un empresario tiene dos centros en los que sirve comida rpida. En uno de los centros tardan 14 minutos en preparar los platos precocinados y 4 minutos en hacer bocadillos y abre 10 horas al da. En el otro centro tardan 6 minutos tanto en la preparacin de platos precocinados como en la de los bocadillos, abrindolo 9 horas al da. Si el empresario obtiene una ganancia de 1,50 por plato precocinado y 0,50 por bocadillo, cuntos platos precocinados y cuntos bocadillos debe vender para obtener la mxima ganancia? Una empresa fabrica agua de colonia de dos tipos: A y B. La colonia A lleva un 10% de extracto de rosas, un 20% de alcohol y el resto de agua. La B lleva un 30% de extracto de rosas, un 120% de alcohol y el resto agua. Se dispone de 1800 litros de extracto de rosas y 1600 de alcohol. La empresa vende a 1 euro el litro del producto B y a medio euro el litro de producto A. Hallar el nmero de litros de cada producto que ha de fabricar para que el importe de la venta sea mximo.

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En una pequea empresa se fabrican slo dos tipos de aparatos, A y B. Como mximo pueden fabricarse 3 aparatos de cada tipo y, obligatoriamente, al menos uno de tipo B. Se quieren obtener unas ventas superiores a 600 euros, teniendo en cuenta que los precios a los que vende los artculos A y B son 300 y 100 euros, respectivamente. 10) Un empresario posee dos restaurantes. En el primero se emplea una hora en elaborar una comida y otra hora en servirla. En el segundo se emplea una hora en elaborar una comida y dos en servirla. El mximo nmero de horas de trabajo disponibles es de 40 horas para elaborar comidas y 60 para servirlas. El beneficio obtenido en el segundo restaurante es 1/3 mayor que en el primero Cuntas comidas le conviene elaborar y servir en cada restaurante para obtener el mximo beneficio? Expresar mediante inecuaciones el recinto definido. Dar la funcin objetivo. Cuntas comidas elabora y sirve cada restaurante? 11) Dos pinturas A y B tienen ambas dos tipos de pigmentos p y q; A est compuesto de un 30% de p y un 40% de q, B est compuesto de un 50% de p y un 20% de q, siendo el resto incoloro. Se mezclan A y B con las siguientes restricciones: La cantidad de A es mayor que la de B. Su diferencia no es menor que 10 gramos y no supera los 30 gramos. B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10 gramos. a. Qu mezcla contiene la mayor cantidad del pigmento p? b. Qu mezcla hace q mnimo? 12) En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composicin mnima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado slo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo X con una composicin de una unidad de A y cinco de B, y el tipo Y, con una composicin de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 1000 pesetas y el del tipo Y es de 3000 pesetas. Se pregunta: Qu cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mnimo? 13) Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 ptas. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos ms grandes, le paga 7 pesetas por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada da es capaz de repartir 150 impresos como mximo. Lo que se pregunta el estudiante es: cuntos impresos habr de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea mximo?. Respuesta: 50 de A y 100 de B. 14) En una fbrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal valen 450 pesetas y las halgenas 600 pesetas. La produccin est limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al da ms de 400 normales y 300 halgenas ni ms de 500 en total. Si se vende en toda la produccin, cuntas de cada clase convendr producir para obtener la mxima facturacin? Respuesta: 200 normales y 300 algenas 15) Una compaa area tiene dos aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. El avin A debe hacer ms veces el trayecto que el avin B pero no puede sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer ms de 60 vuelos pero no menos de 200.

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En cada vuelo A consume 900 litros de combustible y B 700 litros. En cada viaje del avin A la empresa gana 300000 ptas. y 200000 por cada viaje del B. Cuntos viajes debe hacer cada avin para obtener el mximo de ganancias? Cuntos vuelos debe hacer cada avin para que el consumo de combustible sea mnimo? Respuesta: La mxima ganancia se obtiene con 120 viajes del avin A y 80 del avin B y es de 52 millones de pesetas. El mnimo consumo se obtiene con 30 viajes de cada avin y es 48000 litros 200 normales y 300 viajes de cada avin y es 48000 litros. Una fbrica de carroceras de automviles y camiones tiene dos naves. En la nave A, para hacer la carrocera de un camin, se invierten 7 das-operario, para fabricar la de un coche se precisan 2 das-operario. En la nave B se invierten tres das operario tanto en carroceras de camin como de coche. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 das operario, y la nave B de 270 das-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camin son de 6 millones de pesetas y por cada automvil 2 millones de pesetas, cuntas unidades de cada uno se deben producir para maximizar las ganancias? Respuesta: 66 automviles y 24 camiones. Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azcar y 275 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles P y Q. Para hacer una docena de pasteles de tipo P necesita 3 kg de harina, 1 kg de azcar y 1 de mantequilla y para hacer una docena de tipo Q necesita 6 kg de harina, 05 kg de azcar y 1 kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena de tipo P es 20 y por una docena de tipo Q es 30. Halla, utilizando las tcnicas de programacin lineal, el nmero de docenas que tiene que hacer de cada clase para que el beneficio sea mximo. Respuesta: 5 docenas de pasteles del tipo P y 22. 5 docenas de pasteles del tipo Q. Una empresa fabrica dos tipos de rotuladores, de la clase A a 200 ptas. la unidad y de la clase B a 150 ptas. En la produccin diaria se sabe que el nmero de rotuladores de la clase B no supera en 1000 unidades a los de la A; adems, entre las dos clases no superan las 3000 unidades y la de la clase B no bajan de 1000 unidades por da. Hallar el costo mximo y mnimo de la produccin diaria. Respuesta: La solucin ptima mnima es producir 1000 rotuladores de clase B y ninguno de la clase A, siendo el costo mnimo diario de 150000 pesetas. La solucin ptima mxima es producir 2000 rotuladores de la clase A y 1000 de la clase B, siendo el costo mximo de 550000 pesetas. Una compaa fabrica dos modelos de sombrero: Bae y Viz. La fabricacin de los sombreros se realiza en las secciones de moldeado, pintura y montaje. La fabricacin de cada modelo Bae requiere 2 horas de moldeado, 3 de pintura y una de montaje. La fabricacin del modelo Viz requiere tres horas de moldeado, 2 de pintura y una de montaje. Las secciones de moldeado y pintura disponen, cada una, de un mximo de 1.500 horas cada mes, y la de montaje de 600.Si el modelo Bae se vende a 10.000 pesetas y el modelo Viz a 12.000 pesetas, qu cantidad de sombreros de cada tipo ha de fabricar para maximizar el beneficio mensual? Respuesta: 300 sombreros del tipo Bae y 300 sombreros del tipo Viz. Una persona tiene 500.000 pesetas para invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene bastante riesgo con un inters anual del 10% y el tipo B es bastante seguro con un inters anual del 7%. Decide invertir como mximo 300.000 pesetas en A y como mnimo 100.000 pesetas en B, e invertir en A por lo menos tanto como en B. Cmo deber invertir sus 500.000 pesetas para maximizar sus intereses anuales? Respuesta: 300000 pesetas en acciones del tipo A y 200000 pesetas en acciones del tipo B. Una industria vincola produce vino y vinagre. El doble de la produccin de vino es siempre menor o igual que la produccin de vinagre ms cuatro unidades. Por otra parte, el triple de la produccin de vinagre sumado con cuatro veces la produccin de vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades. Halla el nmero de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un beneficio mximo, sabiendo que cada unidad de vino deja un beneficio de 800 ptas. y cada unidad de vinagre de 200 ptas. Respuesta: 3 unidades de vino y 2 de vinagre. Un hipermercado necesita como mnimo 16 cajas de langostino, 5 cajas de ncoras y 20 de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades, pero slo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A enva en cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de ncoras y 2 de percebes. Por su parte, B enva en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente. Cada contenedor que suministra A cuesta 210.000 ptas., mientras que los del mayorista B cuestan 300.000 pesetas cada uno. Cuntos contenedores debe pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades mnimas con el menor coste posible? Respuesta: 3 contenedores al mayorista A y 2 al mayorista B. Imaginemos que las necesidades semanales mnimas de una persona en protenas, hidratos de carbono y grasas son 8, 12, 9 unidades respectivamente. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composicin mnima mezclando los productos A y B cuyos contenidos por kilogramo son los que se indican en la siguiente tabla: Protenas Hidratos Grasas Coste(kg) Producto A 2 6 1 600 Producto B 1 1 3 400 Cuntos kilogramos de cada producto debern comprarse semanalmente para que el costo de preparar la dieta sea mnimo? Respuesta: 3 kg del producto A y 2 kg del producto B. Podemos comprar paquetes de abono A o B. Cada paquete contiene las unidades de potasio (K), fsforo (P) y nitrgeno (N) indicadas en la tabla, donde se da el precio del paquete. Marca K P N Precio A 4 6 1 15 B 1 10 6 24 En qu proporcin hay que mezclar ambos tipos de abono para obtener al mnimo precio un abono que contenga 4 unidades de K, 23 de P y 6 de N? Respuesta: Se minimiza el precio con 1/2 de A y 2 de B. Dos mataderos, P y Q, se encargan de suministrar la carne consumida semanalmente en tres ciudades, R, S y T: 20, 22 y 14 toneladas, respectivamente. El matadero P produce cada semana 26 toneladas de carne, y el Q, 30. Sabiendo que los costes de transporte, por tonelada de carne, desde cada matadero de a cada ciudad, son los reflejados en la siguiente tabla: R S T P 1 3 1 Q 2 1 1 Determinar cul es la distribucin de transporte que supone un coste mnimo. Desde dos almacenes A y B, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. El almacn A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que se reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. El coste del transporte desde cada almacn a cada mercado viene dado por el siguiente cuadro: Almacn Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3 A 10 15 20 B 15 10 10 Planificar el transporte para que el coste sea mnimo. Se va a organizar una planta de un taller de automviles donde van a trabajar electricistas y mecnicos; por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual nmero de mecnicos que de electricistas y que el nmero de mecnicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 20 electricistas y 30 mecnicos. El beneficio de la empresa por jornada es 25.000 ptas. por electricista y 20.000 por mecnico. Cuntos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el mximo beneficio? Respuesta: 20 electricistas y 30 mecnicos. Una empresa fabrica dos tipos de colonia: A y B. La primera contiene un 15% de extracto de jazmn, un 20% de alcohol y el resto es agua y la segunda lleva un 30% de extracto de jazmn, un 15% de alcohol y el resto es agua. Diariamente se dispone de 60 litros de extracto de jazmn y de 50 litros de alcohol. Cada da se pueden producir como mximo 150 litros de la colonia B. El

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precio de venta por litro de la colonia A es de 500 pesetas y el de la colonia B es 2.000 pesetas. Hallar los litros de cada tipo que deben producirse diariamente para que el beneficio sea mximo. Respuesta: 100 litros de colonia del tipo A y 150 litros de colonia del tipo B. Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursin. Para ello se contrata el viaje a una empresa que dispone de 8 autobuses con 40 plazas y 10 con 50 plazas, pero slo de 9 conductores para ese da. Dada la diferente capacidad y calidad, el alquiler de cada autobs de los grandes cuesta 8000 ptas. y el de cada uno de los pequeos, 6000 ptas. Cuntos autobuses de cada clase convendr alquilar para que el viaje resulte lo ms econmico posible? Respuesta: Hay que alquilar 5 autobuses de 40 plazas y 4 de 50 plazas. El precio es de 62000 pesetas. La casa X fabrica helados A y B, hasta un mximo diario de 1000 kg. La fabricacin de un kg de A cuesta 180 ptas. y uno de B, 150. Calcule cuntos kg de A y B deben fabricarse, sabiendo que la casa dispone de 270000 ptas/da y que un kg de A deja un margen igual al 90% del que deja uno de B. Respuesta: 1000 kg del helado tipo B y nada de tipo A. A una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos A y B para que tome una mezcla de ambos con las siguientes recomendaciones: No de be tomar ms de 150 g de la mezcla ni menos de 50 g. La cantidad de A debe ser igual o superior a la de B. No debe incluir ms de 100 g de A Si 100g de A contiene 30 mg de vitaminas y 450 caloras y 100 g de B contienen 20 mg de vitaminas y 150 caloras: a) Cuntos gramos de cada producto debe mezclar para obtener el preparado ms rico en vitaminas? b) Y el ms pobre en caloras? Respuesta: (a) 100 g de A y 50 g de B; (b) 25 g de A y 25 g de B Se desea obtener tres elementos qumicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero; un kilo de B tiene 4 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero. Si se desea obtener al menos 16 gramos del primer elemento y las cantidades del segundo y del tercero han de ser como mucho 5 y 20 gramos respectivamente y la cantidad de A es como mucho el doble que la de B, calcule los kilos de A y y los de B que han de tomarse para que el coste sea mnimo si un kilo de A vale 200 ptas. y uno de B 1000 ptas. Puede eliminarse alguna restriccin? Respuesta: 1.6 kg de A y 0.8 kg de B. Los precios de venta de dos productos A y B estn en la misma relacin que 7 y 6. La produccin de estos est definida por las siguientes condiciones: La produccin de A es mayor o igual que la mitad de B y menor o igual que el doble de B. La produccin total es tal que si slo se produce A, se producen 10 kg, y si slo se produce B, se producen 15 kg. Y si se producen conjuntamente, la produccin mxima se encuentra en la recta que une los puntos anteriores. Determinar los kilos que se han de producir de cada producto para obtener el mximo beneficio. Respuesta: 30/7 kilogramos del producto A y 60/7 kilogramos del producto B Un carpintero tiene que construir mesas rectangulares cuyas dimensiones no sobrepasen 2 metros y tales que la suma de su dimensin mayor y el doble de la menor no sobrepase 4 metros. Cul es el mximo valor del permetro de dichas mesas? Respuesta: 6 metros.