TRABAJO PRACTICO Nº2

Modelación en Ingeniería

Tema: Teoría de errores

Alumnos:

BERNHARDT, Nicolás

CALIBA, Augusto

CZEREPAK, Enzo

GOMEZ, Pablo

GOMEZ, David

SCHLENDER, Rudy A.

2014

INTRODUCCION:

La mayoría de las ciencias, que estudian fenómenos físicos, químicos, biológicos, etc. Necesitan realizar mediciones para su posterior análisis. En todas estas ciencias, siempre existen factores que provocan que esas medidas no seas totalmente correctas, es decir acarrean errores.

En ingeniería principalmente, el manejo de mediciones y magnitudes es algo cotidiano, es por ello que se hace especial hincapié en que estos errores sean lo menos significativos posibles. Para ello se pautan ciertas normas y procedimientos que hacen que el resultado sea lo más próximo al valor nominal buscado.

Entre los errores que se pueden cometer en una medición, se pueden mencionar los absolutos que poseen la misma unidad de la magnitud medida, y da una idea de cuán lejos del valor nominal se está. O bien los errores relativos, que están dados por la relación entre el error absoluto y el valor nominal, esto es muy útil para poder comparar errores en magnitudes distintas, independientemente de la unidad de la variable medida.

PROBLEMA Nº 1

Se desea encontrar la intensidad de corriente en un determinado conductor situado en un circuito. El amperímetro utilizado tiene una sensibilidad de 0,5mA en la escala correspondiente. La medida se repitió varias veces y los valores obtenidos fueron:

15,2mA; 16,03mA; 18,5mA; 17,7mA; 15,05mA; 16,5mA; 17,5mA;18,21mA; 17,59mA; 21,84mA.

a) Exprese correctamente el valor final de la intensidad de corriente.b) Calcule y exprese correctamente la potencia disipada en el conductor si la resistencia del mismo es de R= 0,47 ± 0,01Ω.

DESARROLLO

La sensibilidad del amperímetro es de 0,5 mA, es decir que las cifras de orden inferior a las decimas de miliamperio no son significativos. Entonces se procede a eliminar estas cifras por medio del proceso de redondeo. Los valores obtenidos son:

15,2mA; 16mA; 18,5mA; 17,7mA; 15,1mA; 16,5mA; 17,5mA; 18,2mA; 17,6mA; 21,8mA.

Como tenemos 10 mediciones, el valor que tomamos como resultado de la medición es el valor medio I :

I=∑i=1

10

Ii

10=17,4 mA

Pero también tenemos que considerar cierto grado de incertidumbre que afecta a esta medida, entonces podemos expresar el resultado de la medición como:

I=I ± ∆ I

Donde ∆ I es la suma del error instrumental y el error accidental:

∆ I=∆ Iinst +σ

El error instrumental lo obtenemos a partir de la sensibilidad del instrumento:

∆ I inst=S3=0,5 mA

3=1

6mA

El error accidental es un resultado probabilístico y corresponde al valor de la desviación estándar del conjunto de mediciones.

σ=√∑n=1

10

( I−I n)2

9=1,96 mA

Entonces, teniendo en cuenta como cifras significativas hasta el orden de las decimas, tenemos que el error total cometido es:

∆ I=∆ Iinst +σ=16

mA+1,96 mA=2,1 mA

Quedando como valor final de intensidad de corriente:

I=17,4mA ± 2,1 mA

Ahora procederemos a calcular la potencia disipada en un conductor que presenta una resistencia de 0,47 Ω± 0,01 Ω cuando circula en este una intensidad de corriente I=17,4mA ± 2,1 mA. Al igual que la intensidad de corriente y la resistencia del conductor, vamos a expresar la potencia como P=P ± ∆ P.

Nosotros sabemos que P=I 2∗R, entonces nuestra potencia media es:

P=I 2∗R=142,3 μW

Ahora calculamos ∆ P por medio de las derivadas parciales:

∆ P= ә Pә I

∗∆ I + ә Pә R

∗∆ R

∆ P=2∗I∗∆ I∗R+ I 2∗∆ R=37,4 μW

Entonces el valor final de la potencia disipada en el conductor es:

P=142,3 W ± 37,4 W

PROBLEMA Nº2

La ley de Stefan–Boltzmann puede ser empleada para estimar la velocidad de cambio de energía H para una superficie. Esto es:

H=A . e . Ks .T 4 [W ]

Donde A es el área de la superficie, e es la emisividad que caracteriza la propiedad de emisión de la superficie y es adimensional, Ks es la constante de Stefan–Boltzmann y T la temperatura absoluta.

a) Determinar el error relativo porcentual en el cálculo de H en una placa cuadrada de acero medida con una regla milimetrada, con:

e= 0.90 ± 0.05 [1] A= 0,15 [m2] T= 650 ± 25 [K 4 ]

Ks=5,67 10−8 [W m−2 K 4 ]

DESARROLLO

Para la determinación del error relativo porcentual en el cálculo de H, se formula por un análisis matemático, en el cual se toma la función y se calcula su diferencial, pero para este estudio se trabaja con incrementos muy pequeños:

H=A . e . Ks .T 4 [W ]

Se observa que la función H, está en función de las variables de área, emisividad, constante de Boltzmann y la temperatura.

H ( A ,e , KS ,T )

∆ H=∂ H∂ A

.∆ A+ ∂ H∂ e

.∆ e+ ∂ H∂ Ks

. ∆ Ks+ ∂ H∂ T

.∆ T EC 3.1

Y sus respectivas derivadas son:

∂ H∂ A

=e . Ks .T 4

∂ H∂ e

=A . Ks .T 4

∂ H∂ Ks

=e . A . T4

∂ H∂T

=4. e . A .Ks . T 3

Quedando la expresión final como:

∆ H=e . Ks . T4 . ∆ A+ A .Ks . T 4 . ∆ e+e . A . T 4 . ∆ Ks+4. e . A . Ks .T 3 .∆ TEC 3.2

Recurriendo a la definición de error relativo porcentual:

e=∆ HH

.100

Reemplazando las ecuaciones anteriores:

e= e . Ks .T4 . ∆ A+ A . Ks . T 4 . ∆ e+4. e . A . Ks . T3 . ∆ TA .e . Ks . T 4 .100

Aplicando común denominador:

e=e . Ks .T 4 . ∆ AA . e . Ks . T 4 + A . Ks . T 4 . ∆ e

A .e .Ks . T 4 + e . A .T 4 .∆ KsA .e . Ks . T 4 + 4.e . A .Ks . T3 .∆ T

A . e . Ks . T4 .100

Que simplificando nos queda:

e=∆ AA

+ ∆ ee

+ ∆ KsKs

+ 4. ∆ TT .100 EC 3.3

Que es la expresión final del error relativo porcentual para el cálculo de la función H.

Recordando que:

e= 0.90 ± 0.05 [1] A= 0,15 [m2] T= 650 ± 25 [K 4 ]

Ks=5,6710−8 [W m−2 K 4 ]

Aquí se tiene especial consideración en el dato del área, ya que lo único que se sabe, es que fue medida con una regla milimetrada, es decir un instrumento cuya sensibilidad corresponde a la diferencia entre dos líneas consecutivas, por ende vale 1mm. Según la teoría de errores, el error absoluto del instrumento (regla) se debe calcular por la relación de:

Δ Linst=s3=1mm

3=1

3[ mm ]

O lo que es lo mismo:

Δ Linst=13

mm .1 m

1000 mm=0,00033333333 [ m ]

Considerando que el área de una placa vale → A=L.L [m]2= L2 [m]2 EC 3.4

Donde las longitudes (L) se miden con la regla milimetrada, insertando en la medida ciertos errores. Es decir la longitud de la placa medida con la regla estará afectada por un valor medido, más una incertidumbre provocada por el instrumento.

L=Lm ± ∆ Linst EC 3.5

El error cometido en la medición de los lados, provocara errores de propagación al calcular el área.

Teniendo en cuenta la EC 3.4, y reemplazando los valores de la EC 3.5 se llega a:

A=(Lm± ∆ Linst)2

Desarrollando:

A=Lm2± 2Lm . ∆ Linst+∆ L2

Como ∆ L2, es un valor muy chico elevado al cuadrado se vuelve más chico aun, y se lo puede despreciar, entonces se llega a:

A=Lm2 ±2 Lm. ∆ Linst EC 3.6

A=Am± ∆A

± ∆A=± 2 Lm . ∆ Linst

Calculando la longitud medida:

A=Lm2→Lm=A1/2≈ (0,15)1/2≈ 0,38 [m]

Reemplazando los valores correspondientes:

± ∆A=± 2 Lm . ∆ Linst=∆ A ≈ 2.0,38 .0,00033333333 [m]2≈ 0,00025 [m]2

Ahora bien, este error absoluto del área posee después de la coma 3 ceros, mientras que el dato del área en si es 0,15 [m]2, para poder considerar el error absoluto calculado se debería conocer los dígitos de centésimas, diez milésimas del dato. En síntesis el cálculo realizado, no puede ser usado

como un error absoluto porque falta información al respecto. Lo mismo ocurre con la constante Ks, este se obtiene por procedimientos prácticos que incorporan un cierto error, pero al no tener información al respecto de los procedimientos que se realizaron para su obtención no se puede considerarlo.

Llegando entonces a la expresión del error relativo porcentual de la función H, en la forma:

H e ≈0,050,90

+ 4.25650 .100≈ 20,94 %

El error relativo porcentual cometido con estas medidas provocaran un error de alrededor del veintiuno por ciento en el cálculo de la velocidad de cambio de energía H, esto se puede disminuir al usar valores que tengan un menor valor absoluto de incertidumbre. Para ello será necesario usar instrumentos de medición más precisos, lo que aumenta el costo. Es decir que dependiendo de la necesidad de un valor más preciso, el costo para efectuarlo se eleva. Así que se deberá optar por realizar el cálculo con cierta incertidumbre, o elevar en costos de instrumentos. En resumen, una buena elección de los instrumentos de medida darán los resultados buscados a un costo acorde a las necesidades requeridas.

PROBLEMA N° 3

Se mide la intensidad de corriente a través de un resistor y la diferencia de potencial entre sus bornes. Las indicaciones de los instrumentos son 3,15 A y 25,5 V. Si los errores relativos que se cometen al medir la corriente y la tensión son 1,5 % y 1% respectivamente, ¿Cuál es el error relativo porcentual que se comete al calcular la resistencia del resistor?

DESARROLLO

Recordando que el error relativo porcentual de una función R (I, U), es la relación entre su error relativo y la magnitud nominal es decir:

eR=∆ RR .100 EC 3.1

Dado que R=UI

[Ω] EC 3.2

Calculando su forma diferencial se obtiene:dR= ∂ R∂ U

.dU + ∂ R∂ I

. dI EC 3.3

En los cuales:

∂ R∂ U

=1I

EC3.4

∂ R∂ I

=−U

I2 EC3.5

Tomando valores absolutos de las derivadas y reemplazando las ecuaciones 3.4 y 3.5 en la 3.3, se obtiene:

dR=1I

. dU + U

I 2. dI EC 3.6

Tomando incrementos muy pequeños, se obtiene:

∆ R=1I

. ∆ U + U

I 2. ∆ I EC 3.7

Reemplazando las ecuaciones 3.2 y 3.7 en la 3.1, se obtiene:

e R= 1I

. ∆ U+U

I 2 .∆ I

UI

.100

Desarrollando:

eR= 1I⋅∆ U

UI

+

U

I 2 . ∆ I

UI

⋅100

eR=∆ UU

+ ∆ II .100

Recordando la EC 3.1, se puede observar que:

eR= erU +erI .100 EC 3.8

Reemplazando los valores dados de los errores, en la EC 3.8 se obtiene que:

eR= 0,01+0,015 .100 = 2,5%

El error relativo porcentual que se comete al calcular la resistencia por ese método es de 2,5%.

EJERCICIO N° 4

Se aplica una diferencia de potencial entre los bornes de una resistencia cuyo valor se desea determinar. Se dispone de un voltímetro y un amperímetro. Es sabido que existen dos configuraciones posibles de conexión para la estimación del valor de la resistencia: la conexión corta y la conexión larga. Explique qué errores se comenten en cada caso y como se calculan.

DESARROLLO

A continuación se presentan los esquemas de las dos posibles conexiones:

Donde UeI son los verdaderos valores de tensión y corriente a los cuales está sometida la resistencia incógnita R .

La resistencia calculada a partir de los valores obtenidos del amperímetro ( I m) y voltímetro (Um) para ambas conexiones es:

Rm=U m

I m

Este valor de resistencia está afectado por un error sistemático debido al consumo propio de los instrumentos (I v oU a).

Conexión Corta

En este tipo de conexión la corriente medida o indicada por el amperímetro es igual a la suma de la corriente que circula por la resistencia incógnita y el voltímetro. Es decir:

I m=I + I v

Mientras que la tensión medida o indicada por el voltímetro es realmente la caída que se produce en la resistencia incógnita.

Um=U

Entonces al calcular Rm como el cociente de tensión y corriente medidas estaremos calculando una Rm<R, cometiendo un error por defecto.

Rm= UI + I v

Si trabajamos con las resistencias del Esquema 1–Conexión Corta (CC), tenemos:

1Rm

= 1Rv

+ 1R

1R

= 1Rm

− 1Rv

R=Rv∗Rm

Rv−Rm

R=Rm∗( 1

1−Rm

Rv)

Quedando la resistencia incógnita en función de la resistencia medida y la resistencia de los instrumentos.

Conexión Larga

En este tipo de conexión la tensión medida o indicada por el voltímetro es igual a la suma de la caída de tensión en la resistencia incógnita y en el amperímetro. Es decir:

Um=U+U a

Mientras de la corriente medida o indicada por el amperímetro es realmente la corriente que circula por la resistencia incógnita.

I m=I

Entonces al calcular Rm como el cociente de tensión y corriente medidas estaremos calculando una R>Rm, cometiendo un error por exceso.

Rm=U +U a

I

Si trabajamos con las resistencias del Esquema 2–Conexión Larga (CL), tenemos:

Rm=Ra+R

R=Rm−Ra

R=Rm∗(1− Ra

Rm)

Quedando la resistencia incógnita en función de la resistencia medida y la resistencia del amperímetro.

Análisis de los Errores Relativos

Conexión Corta

De la definición de error relativo y utilizando la expresión de R para conexión corta, tenemos que:

ε C=Rm−R

R=

Rm

R−1=1−

Rm

Rv

−1

ε C=−Rm

Rv

El signo negativo en el error significa que es un error por defecto.

Conexión Larga

El error para esta conexión es:

ε L=Rm−R

R=

Ra

Rm−Ra

ε L=Ra

Rm−Ra

Relación entre los errores relativos

Entonces si comparamos los errores relativos cometidos en cada esquema, se observa que existe un valor particular de la resistencia medida R 'm para el cual:

ε c=ε L

−R'm

Rv

=Ra

R 'm−Ra

Trabajando algebraicamente esta última para obtener el valor de R 'm, nos quedará una expresión del tipo:

a x2+bx+c=0

Y tendremos que la solución es:

R 'm=−Ra±√ Ra

2+4 Ra Rv

2

Suponiendo que la resistencia del voltímetro es mucho mayor a la resistencia del amperímetro, es decir R v≫Ra. La solución es:

R 'm≅ √Ra Rv

Graficando los errores relativos en función de Rm, se observa que para un valor de resistencia

incógnita igual a R 'mse tiene el mismo error relativo en valor absoluto:

En conclusión, para medir resistencias menores a R 'm, el Esquema 1–Conexión Corta (CC) da mediciones con menor error relativo, y para valores mayores a R 'm, el Esquema 2-Conexión Larga (CL) resulta más conveniente.

Fuente consultada:

Informe de laboratorio de medidas eléctricas 1 (cod.2773) realizado en la Universidad Nacional del Sur - Departamento de Ingeniería Eléctrica y de Computadoras.

http://www.ingelec.uns.edu.ar/lmei2773/docs/LME1-NC11-Medidas-Medicion%20de%20Resistencias.PDF

EJERCICIO N° 5

Se encargó a un operario medir la intensidad de corriente eléctrica en un conductor; para lo cual se le entregó un amperímetro clase 1,5 con una escala de rango 0-100 A, siendo la menor división de la escala 0,5 A. Se le solicito que repita 10 veces la medición. Los valores que obtuvo fueron: 98,5 A; 99 A; 97,5 A; 100,5 A; 99,51 A; 98,5 A; 99,5 A; 98,5 A; 98 A; 99,51 A. Analice los valores medidos y exprese el resultado de la medición.

DESARROLLO

En el enunciado del ejercicio dice que el conjunto de datos fue obtenido con un amperímetro de clase 1,5 y con una escala de rango 1-100 A.Con estos datos del instrumento podemos calcular el error como se muestra a continuación:

ε=Clase100

∗Fondodeescala= 1,5100

∗100

ε=1,5 A

Es decir que para una única medición realizada I m con dicho instrumento, su resultado lo podemos escribir como:

I m± 1,5 A

Pero al tener un conjunto de datos medidos mediante el instrumento en cuestión podemos expresar la medición como:

I= I ± ∆ I

Donde I es la media aritmética del conjunto de datos; ∆ I es igual a σ+ S3

, donde σ es la desviación

estándar maestral y s la sensibilidad del instrumento.

Para calcular la media aritmética, redondeamos las mediciones teniendo en cuenta la sensibilidad y rango del instrumento. Dando como resultado las siguientes mediciones: 98,5 A; 99 A; 97,5 A; 100 A; 99,5 A; 98,5 A; 99,5 A; 98,5 A; 98 A; 99,5 A.

I=98,9 A

∆ I= s3+σ=0,5

3+ √555

30

∆ I=0,95 A

Entonces el resultado de la medición es:

I=98,9 A ± 1 A

EJERCICIO N°6

Se tiene como referencia una resistencia de 100Ω. Con el instrumento 1 se tomaron las siguientes lecturas: 98,5 Ω; 98,2 Ω; 98,5 Ω; 97,6 Ω; 98,5 Ω Con el instrumento 2 se tomaron las siguientes lecturas: 99 Ω; 98 Ω; 99 Ω; 98 Ω; 99 Ω

Compare los instrumentos desde el punto de vista de su precisión y exactitud.

DESARROLLO

Para comparar los instrumentos desde el punto de vista de la precisión, procedemos a calcular la desviación estándar muestral de cada conjunto de datos, utilizando la siguiente fórmula:

σ=√ 1n−1∑i=1

n

( x i− x )2

Donde x i son las diferentes lecturas y xes la media aritmética o valor medio dado por:

x=∑i=1

n

x i

n

Instrumento 1 Instrumento 2n=5

x=98,3n=5

x=98,6σ=0,39 σ=0,55

El instrumento 1 nos proporcionó lecturas más precisas.

Ahora, para comparar los instrumentos desde el punto de vista de la exactitud, calculamos el error absoluto. Este nos indicará que tan alejado está el valor medido del valor nominal.

Cuando tenemos n mediciones de una magnitud determinada y que en general son diferentes entre sí, el valor más razonable para tomar como resultado de la medición es el valor medio. Esto se debe a que si los errores siguen un comportamiento aleatorio, es tan probable que ellos ocurran por defecto como por exceso, es decir que tienden a compensarse, con lo que el valor medio probablemente será el mejor valor.

Así, se calculará el error absoluto del valor medio de las cinco lecturas de cada instrumento.

Instrumento 1 Instrumento 2Δx=−1,7 Δx=−1,4

El instrumento 2 es más exacto.

EJERCICIO N°7

Un cronómetro es capaz de determinar la centésima de segundo pero adelanta dos segundos cada cuatro semanas, mientras que un reloj analógico de pulsera común (cuya división mínima es 1 segundo) atrasa 1 segundo cada 30 días. ¿Cuál de los instrumentos es más preciso y cuál más exacto?

DESARROLLO

El cronometro adelanta dos segundos cada 28 días, y el reloj analógico retrasa 1 segundo cada 30 días. Evidentemente, al pasar el tiempo, el cronometro tendrá un error absoluto por exceso más grande que el error absoluto por defecto del reloj analógico. De esta manera, podemos afirmar que el reloj analógico será más exacto.

Desde el punto de vista de la precisión, el cronometro es más preciso ya que es capaz de determinar la centésima de segundo, mientras que el reloj analógico solamente puede determinar el segundo.

PROBLEMA N° 8:

Varias personas sin conocimientos sobre teoría de la medida emplean cronómetros iguales, cuya escala tiene 100div/s, para medir un mismo intervalo. Los valores registrados por dichas personas fueron: 800ms; 810ms; 850ms; 800ms; 835ms; 820ms; 830ms; 900ms; 825ms;

a) Analice el resultado de las mediciones y estime la duración del intervalo medido.b) Calcule la velocidad de una partícula que recorre 10±0,01mm en el intervalo correspondiente al

punto a) de este problema.

DESARROLLO:

De los datos obtenidos por las diferentes personas que cronometraron el tiempo, tenemos 2 de ellos que tienen mayor número de cifras significativas de lo que la sensibilidad nos permitiría percibir. A partir de ello tenemos 2 opciones, tomarlos como válidos redondeando la cifra no significativa o descartar esas mediciones ya que es humanamente imposible percibir un tiempo de esa magnitud y podría deberse a un error. Inclinándonos por la primera opción procedemos a redondear los valores 835ms a 830ms y 825ms a 820ms y luego calculamos

t=∑i=1

n

x i

n=∑i=1

9

t i

9=828,88 ms=829 ms

σ=√ 1n

.∑i=1

n

( x i−x )2=√ 19

.∑i=1

9

(t i−t )2=29,26 ms

∆ x¿t=∆ xinst +σ=Sensivilidad3

+σ=38,92 ms

Quedando la duración real del intervalo medido:

tm=829 ± 33 ms

Para el cálculo de la velocidad de la partícula debemos aplicar la propagación de errores. Partiendo de la ecuación con que calcularemos la velocidad:

v= xt

dv=∂ v∂ x

dx+ ∂ v∂ t

dt

Donde:

∂ v∂ x

=1t

∂ v∂ t

=−x

t2

Calculamos ahora sí la propagación utilizando los incrementos conocidos:

∆v=|1t

∆x|+|−x

t 2∆t|

∆v=| 10,829 ms

0.01mm|+| −10

(0,829 ms )20,033 ms|=0,50

mms

Quedando entonces la velocidad:

vm=xm

tm

± Δv=10

0,829mm

s± 0,50

mms

=12± 0,50mms

EJERCICIO N 9

La velocidad de caída de un paracaidista puede ser calculada con: V ( t )=gmc

(1−e−cm

t)exprese el valor

de la velocidad si el tiempo se midió con un cronómetro que se aprecia la centésima de segundo y arroja un valor de 5,189s. La gravedad se considera igual a 9,8 ± 0,1m/s2 y el peso total de 600N se conoce con una precisión de ± 5%, la constante c de proporcionalidad es igual a 10 kg/s.

DESARROLLO:En primer lugar nos toca corregir el valor de tiempo ya que contiene una cifra no significativa, el cual lo redondeamos a 5,19s.

Para expresar el valor de la velocidad correctamente utilizaremos la propagación de errores trabajando sobre la ecuación:

∂ V∂ t

=g ⋅ e−cm

t

∂ V∂ m

=−g2 ⋅e

−cm

t

c [ 1c+

tm ]

∂ V∂ g

=mc

(1−e−cm

t)Necesitaremos saber la variación del peso que solo está expresada en porcentaje:

W =600 N ± 0,05 ⋅600 N=600 ±30 N

Como no tenemos el incremento de la masa, lo calculamos por propagación de errores calculándolo

por m=Wg

; teniendo el incremento del peso y de la gravedad:

∂m∂ W

=1g

∂ m∂ g

=−W

g2

∆ V =|1g

.∆ W|+|−W

g2.∆ g|=3,6859kg=3,69kg

Entonces con todos los incrementos calculamos la incertidumbre total de velocidad:

∆ V =|g e−cm

t.∆ t|+|−g2 ⋅e

−cm

t

c ( 1c+ t

m ) .∆ m|+|mc

(1−e−cm

t) . ∆ g|=3,19ms=3,2

ms

Solo nos queda calcular el valor medio de velocidad y expresar el valor completo de velocidad

V t=5.19=gmc

(1−e−cm

t)=9.8

m

s2∗61.22 Kg

10Kgs

(1−e

−10Kgs

61.22 Kg∗5.19 s)=34.29

ms=34

ms

Quedando entonces:

V m=34 ± 3,2ms

EJERCICIO N°10

Un aspecto importante a tener en cuenta antes de proceder a realizar una medición es la elección de los instrumentos más apropiados para medir con la tolerancia o error requerido. Ignorar este paso puede acarrear importantes pérdidas de tiempo y dinero. Si se excede la tolerancia requerida, seguramente se dilapidó esfuerzo y recursos innecesariamente, por el contrario, si se realizó la medición con más error del requerido esta podría ser inútil para los fines perseguidos. Supongamos que nuestro problema es determinar el volumen V de un alambre con un error del 1% cuyo diámetro es D ≈ 2,5 mm y su longitud L ≈ 70 cm. ¿Qué instrumentos debemos usar para lograr nuestro objetivo con el menor costo? Considerar que el error relativo porcentual de π es 0,1%. Una vez elegidos los instrumentos verifique ∆V y εV.

DESARROLLO

Sabemos que el volúmenes:

V=A . L

Donde:

A=π∗D2

4

Entonces:

V= π∗D 2

4∗L

El diferencial de volumen es:

dV =∂V∂ π

∗dπ+ ∂ V∂ D

∗dD+ ∂ V∂ L

∗dL

∆ V =∂V∂ π

∗∆ π+ ∂ V∂ D

∗∆ D+ ∂V∂ L

∗∆ L

De la fórmula del volumen hallamos las derivadas del volumen respecto de cada variable, sabemos que π tiene un determinado error igual al 0.1%.

∂ V∂ π

=D2∗L4

∂ V∂∅

=2∗D∗L∗π4

=D∗L∗π2

∂ V∂ L

=π∗D2

4

El error relativo del volumen es:

∆ VV

=

D2∗L4

∗∆ π

π∗D2∗L4

+

D∗L∗π2

∗∆ D

π∗D 2∗L4

+

π∗D2

4∗∆ L

π∗D2∗L4

Esta expresión se reduce a:

∆ VV

=|∆ ππ |+|2∗∆ D

D |+|∆ LL |

El error en el volumen debe ser del 1% entonces:

∆ VV

=|∆ ππ |+|2∗∆ D

D |+|∆ LL |=1

De aquí sabemos que el error de π es del 0.1%

∆ VV

=0.1+|2∗∆ DD |+|∆ L

L |=1

Nos queda entonces:

2∗∆ DD

+ ∆ LL

=0.9

Para medir el largo utilizamos una regla cuya sensibilidad es de 1 mm y cuyo error absoluto

promedio es ∆ L=13

mm

Podemos determinar el error absoluto del diámetro como:

Sabiendo que:L=700mmy∅=2.5 mm

∆ D=(0.009−∆ L

L )∗D

2

∆ D=(0.009−

13

700 )∗2.5

2

∆ D=0.010

D=2.5 mm± 0.010 mm

El error relativo porcentual del diámetro será de:

ε r D=∆ DD

=0.0102.5

=0.4

ε r D=0.004

Que es el error permitido para el diámetro al utilizar la regla para medir el largo.

Para medir el diámetro utilizaremos un calibre cuya sensibilidad sea del orden de la centésima de un centímetro.