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Modalidad virtual

Matemtica

Unidad 5

DERIVADAS

Temas de la unidad

Derivadas. Cociente incremental. Definicin de derivada. Interpretacin geomtrica y cintica.Reglas de derivacin. Problemas de aplicacin. Estudio de funciones.

Bibliografa obligatoria

AA.VV., Matemtica Terica. Ciclo Bsico Comn, Buenos Aires, Centro de Copiado La Copia

S.R.L., 1995; Captulo VIII. DERIVADAS.

Prctico 5: Derivadas.

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UBA XXI Modalidad virtual

Matemtica

PRACTICO 5.DERIVADAS

1. Al tirar una piedra verticalmente hacia arriba. Su altura d(t)expresada (en metros) despus de t segundos est dada por lafrmula:

d(t) = 40 t 5 t2

a. Constru una tabla que d la altura de la piedra aintervalos de un segundo. Qu pasa despus de 8segundos? Dibuj la grfica.

b. Cul es la altura mxima? Cunto tarda en alcanzarla?

Cunto tarda la piedra en volver al suelo?

c. Calcul la velocidad promedio total, la velocidad promedio durante la subida y lavelocidad media durante la bajada. Cmo son estas velocidades?

d. Calcul la velocidad promedio entre t = 1 y t = 3 segundos y entre t = 5 y t = 7segundos.

e. Escrib la expresin de la velocidad promedio (vm) entre los instantes t1y t2.

f. Da la expresin de la velocidad instantnea y aplicala para t = 3 y t = 6 segundos

2. Calcul, usando la definicin de derivada, la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x)

en el punto dado en cada caso.

1)-(2;Pen3x-1

5)x(f.d1)-(-2;Pen

1-x

3)x(fc.

4)-(-1;Pen4-3xx3)x(fb.)7;3(Pen4x)x(f.a 2

====

=+==+=

3. Dibuj una funcin que tenga derivada nula en x = 0 y en x = 2, derivada positiva en elintervalo (0; 2) y negativa para cualquier otro valor de x.

4. Dadas las siguientes funciones de en definidas por:

x)x(f =

0 si |x| > 5; f(x) < 0 si 0 3.

25. Calcul el costo marginal de las siguientes funciones de costo. (Se llama costo marginal ala derivada de la funcin de costo total)

a. 2x40x5300)x(C += b. 32 x01,0x05,0x1001000)x(C ++=

c. 100x

e1000)x(C += d.2x

400x02,0400)x(C ++=

26. Calcul el ingreso marginal de las siguientes funciones de ingreso. (Se llama ingresomarginal a la derivada de la funcin de ingreso total)

a. 2x02,0x2)x(I = b. 54

x001,020)x(I = c. 32 x01,0x2,0x20)x(I =

27. La concentracin de una droga en la sangre, t horas despus de haber sido inyectada esaproximada por:

44tt

t0,14)t(C

2 ++=

Determin los extremos relativos para t> 0 y determinar cuando la droga est en su mximaconcentracin.

28. Dada la funcin de demanda p de una empresa 0p480x =+ y su funcin de costo

promedio:x

5,77100x21xC 2 += , determin el nivel de produccin (en miles de

unidades) que:

a. Maximiza el ingreso total.

b. Minimiza el costo marginal.

c. Maximiza el beneficio.

29. Una empresa de televisin por cable tiene actualmente 100.000 suscriptores que pagan unacuota mensual de $40. Una encuesta revel que se tendran 1000 suscritores ms por cada

$0,25 de disminucin por cuota.Para qu cuota se obtendr el ingreso mximo y cuntos suscriptores se tendranentonces?

Practica 5. Derivadas 6

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30. Un fabricante encontr que para cierto producto el costo promedio (en dlares por unidad)

est dado por la expresin:x

200-21036x-2xf(x) 2 += , donde 2x10.

a. A qu nivel debe fijarse la produccin para minimizar el costo total? En ese caso,

cul es el costo total mnimo?b. Si la produccin tuviera que encontrarse en [5; 10] qu valor de x minimizara el costo

total?

31. En qu punto del primer cuadrante, la recta tangente a la grfica de la funcin f(x) = 4 x2determina junto con los ejes coordenados un tringulo de rea mnima?

32. La produccin de cierta hortaliza en un invernadero (Q(x) en kg) depende de la temperatura

(x en C) segn la expresin: Q(x) = (x+ 1)2(32 - x)

a. Calcul cul es la temperatura ptima a mantener en el invernadero.

b. Qu produccin de hortaliza se obtendra?

33. Con listones de madera de 3 metros de largo se quiere fabricar marcos para cuadros.Para qu valor de la base la superficie es mxima?

34. Cul de los puntos de la recta y = -2x + 5 est ms cerca del origen?

35. Se introduce una poblacin de 500 bacterias en un cultivo, creciendo en nmero de acuerdo

con la ecuacin

++=

t50

4t1500P(t) donde t se mide en horas.

Hall a qu ritmo est creciendo la poblacin cuando han pasado 120 minutos.

36. Durante una epidemia de gripe de cuatro semanas de duracin, el nmero de personas P(t)infectadas tdas despus del comienzo de la epidemia, es aproximado por:

P(t) = t3-60t2+ 900 t + 20 para 0< t < 28.

Cundo comenzar a declinar el nmero de personas infectadas?

37. Un profesor comprueba que el grado de atencin que le prestan sus alumnos (puntuado de0 a 100) durante los 40 minutos de duracin de su clase sigue la funcin:

f(t) = t(-t); 0 t 40.

Sabiendo que a los 20 minutos de comenzar la clase le prestan la mxima atencin, esdecir el grado de atencin es 100; se pide:

a. Determin y .

b. Represent la funcin obtenida.


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EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS SOLO HAY UNA RESPUESTA CORRECTA

38. Consider la funcin fen el intervalo [0; ] definida por f(x) = cos(2x).La funcin f es creciente enel intervalo:

a. [0; ] b. [0; /2] c. [/4; 3/4] d. [/2; ] e. [/4; /2]

39. La ecuacin de la recta tangente al grfico de la funcin f(x) = 3x2

+ x 1 en el punto (1; f(1))es igual a:

a. y = 7x 4 b. y = 6x 4 c. y = 6x - 3 d. y = 7x 3 e. 7x + 4

40. Ten en cuenta la funcin f(x) = -x3 + 9x

2 27x + 26. Decid cul de las siguientes

afirmaciones es verdadera (slo una lo es):

a. Tiene un mximo en x = 3b. Tiene un mnimo en x = 3c. Es siempre decreciente

d. Es siempre crecientee. No tiene mximo ni mnimo

41. Dada f(x) = ln(x2 5x + 6), el dominio de la funcin derivada de f es:

a. (2; 3) b. (0; +) c. d. (-; 2) (3; +) e. (-; 0)

42. La funcin f(x) = ex 5x es creciente en el intervalo:

a. (-; 0) b. (ln(5); +) c. (-; ln(5)) d. (0; +) e.

43. La derivada de f(x) = e2x+1es:

a. x2e)1x2()x('f b. 1x2e)x('f

c. 1x2e2)x('f d. )1x2)(xln(2)x('f

44. La funcin dada por:

2x4

1mx)x(f

2

=

tiene un punto crtico en x = 4 si mes igual a:

a. 4 b. -12 c. -1/4 d. -1/12 e. 1/2

45. La derivada de la funcin f(x) = sen34x es:

a. 12(sen24x)(cos4x) b. (sen24x)(cos4x) c. 3cos4x d. (sen24x)(cos4x)

46. La cantidad de agua recogida (en millones de litros), en cierto pantano, como funcin del instantede tiempo t (en meses), viene dada a travs de la expresin

12t0;1)6t(

10)t(f

2

=

La cantidad de agua aumenta en el intervalo de tiempo:

a. [0; 12] b. [0; 6] c. [6; 12] d. [6; 10] e. [10; 12]


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