torsiÓn sÍsmica en edificios por incertidumbre de la …
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BUAPBENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA
Facultad de Ingeniería
Secretaría de Investigación y Estudios de Posgrado
TORSIÓN SÍSMICA EN EDIFICIOS POR
INCERTIDUMBRE DE LA MASA.
Tesis que para obtener el grado de
MAESTRO EN INGENIERÍA ESTRUCTURAL
Presenta:
Rafael Ramírez Alvarez
Director de Tesis:
Dr. Ernesto Heredia Zavoni
Puebla, Pue. Septiembre 2014
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INDICE Agradecimientos Contenido Resumen Notación Indice de figuras Indice de tablas Capítulo 1 Introducción 13 1.1.- Antecedentes 1.2.- Objetivos Capítulo 2 Modelo estructural 15 2.1.- Hipótesis 2.2.- Ecuaciones de movimiento 2.3.- Solución de las ecuaciones de movimiento
2.4.- Respuesta máxima para excentricidades inciertas y nominales de diseño.
Capítulo 3 Modelo probabilístico de la masa estructural en edificios 21 3.1.- Variación espacio-temporal de la masa estructural en edificios 3.2.- Modelo probabilístico de la masa estructural 3.3.- Simulación espacial de la carga viva en piso de oficinas Capítulo 4 Aplicación y análisis paramétrico de los edificios simulados 33 4.1.- Parámetros y Simulación de Montecarlo 4.2.- Movimiento sísmico del terreno 4.3.- Valores estadísticos de la masa simulada 4.4.- Modelos de edificios en estudio 4.5.- Espectros de respuesta torsional 4.6.- Resultados de la respuesta sísmica Conclusiones y recomendaciones 50 Bibliografía 52 Anexos Anexo 1 53 Anexo 2 62 Anexo 3 70
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Agradecimientos:
En este espacio, aprovecho la oportunidad de agradecer sinceramente a las personas y a la institución que han hecho posible llegar hasta aquí.
Gracias a mi esposa e hijas
por su apoyo incondicional y su amor.
Gracias a mi Mama y hermanos, por su comprensión y su cariño.
Gracias al Dr. Ernesto Heredia Zavoni,
por apoyarme y lograr alcanzar esta meta, a quien le reconozco ser a gran ser humano.
Gracias por brindarme tu amistad.
Gracias al Ing. Jaime Villa Corte, por su valiosos comentarios
Gracias al Ing. Jorge Luis Ayala, por valiosa ayuda
Gracias a la Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
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Contenido El presente trabajo se desarrolla en 4 capítulos En el capítulo 1, se presentan los antecedentes y objetivos del trabajo de investigación. En el capítulo 2, se establecen las hipótesis del modelo estructural propuesto, para desarrollar las ecuaciones de movimiento y su solución. En el capítulo 3, se desarrolla el modelo probabilístico lineal de la masa viva, por medio de franjas con masa incierta con variación espacial correlacionada, por medio de una función de probabilidades lognormal. Finalmente, en el capítulo 4, se realiza la simulación de Montecarlo, para lo cual se elaboran 2 programas de cómputo: El primero para realizar las simulaciones de la carga viva y el segundo, para realizar el análisis dinámico paso a paso de los edificios simulados para oficinas. Resumen Se analiza el efecto de la torsión sísmica en sistemas estructurales de un nivel, asimétricos en una dirección causada por la variación espacio-temporal incierta de la masa viva por carga viva sostenida, aplicando el Método de Montecarlo.
La masa viva del sistema se modela como un campo vectorial aleatorio distribuido en franjas, mediante la simulación de vectores aleatorios multivariados con funciones de densidad de probabilidades conjuntas lognormales, considerando la información experimental en edificios.
Se estudia la respuesta sísmica dinámica de sistemas estructurales de losa rígida
asimétricos en una dirección, de rigidez lateral y torsional determinista, con destino de “oficinas”, apoyados en tres tipos de terreno; suelos firmes, de transición y blandos, correspondientes a la Ciudad de México. Para lo cual se utiliza el Método de Montecarlo, empleando edificios con diferentes relaciones de aspecto, relaciones de frecuencias desacopladas y con porcentajes de la masa muerta.
Por lo tanto, se utilizan los registros sísmicos de uno de los eventos relevantes de
referencia en la literatura, los tres de registros obtenidos en el Valle de México durante el sismo del 19 de septiembre de 1985. Éstos corresponden a las componentes este-oeste de las estaciones SCT, VIV y CU, ubicadas en suelo blando, de transición y firme, respectivamente.
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Las ecuaciones de movimiento utilizadas muestran que, aún cuando se ha utilizado un modelo simple, existe un número importante de parámetros que determinan la respuesta global del sistema. En lo que respecta a las propiedades del sistema, los parámetros relevantes son: el periodo traslacional; yT , la relación de aspecto de la planta rectangular del edificio; r , así como, la relación de frecuencias desacopladas; Ω . Estas propiedades determinadas por la distribución nominal de la rigidez del sistema, como lo indican las ecuaciones respectivas. Por otra parte, los parámetros de respuesta de interés son los desplazamientos en los dos grados de libertad del sistema, es decir, en los bordes flexible y rígido del movimiento acoplado del sistema. Así como, en especial la esperanza y desviación estándar del análisis de la respuesta espectral en tales parámetros. Comparando con lo establecido en los Reglamentos para la excentricidad accidental sísmica.
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Notación a Dimensión en planta del edificio rectangular en la dirección y b Dimensión en planta del edificio rectangular en la dirección x
r Relación de aspecto de la planta rectangular del edificio CM Centro de masa del edificio CK Centro de rigidez del edificio CG Centro de geométrico de la planta rectangular del edificio M Masa de la planta del edificio
mM Masa muerta de la planta del edificio
vM Masa viva sostenida de la planta del edificio
fiM Masa viva sostenida de la franja ésimai − de la planta del
edificio β Coeficiente de la masa viva instantánea J Momento Polar de Inercia del Piso con respecto a CM ρ Radio de giro del Piso con respecto a CM
yK Rigidez lateral del sistema estructural en la dirección y
θK Rigidez Torsional del sistema estructural con respecto al CM t Instante de tiempo
)(tyy = Grado de libertad lineal en términos del desplazamiento relativo del edificio para el instante t
)(tθθ = Grado de libertad angular en términos Desplazamiento angular ó giro de la losa, para el instante t
yy utu =)( Aceleración del terreno en la dirección y , para el instante t
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F Vector de fuerzas equivalentes t Instante de tiempo y Aceleración lineal para el instante de tiempo
θ Aceleración angular para el instante de tiempo
xe Distancia entre CK y CM en dirección en x , denominada excentricidad en x α Excentricidad normalizada en términos del radio de giro
yω , θω Frecuencia naturales desacopladas de traslación y rotación Ω Relación de las frecuencias desacopladas de traslación y de rotación
iγ Frecuencia normalizada del modo i con respecto a la frecuencia de traslación M Matriz de masa de la estructura K Matriz de rigidez de la estructura
iϕ~ Vector modal i 0~ Vector cero
iΓ Factor de participación modal i
y~ Vector de los desplazamientos de los grados de libertad Φ Matriz Modal z~ Vector de coordenadas generalizadas modales
iς Porcentaje del amortiguamiento del modo i
de Excentricidad accidental de diseño por reglamento, generalmente el 5% ó el 10% del ancho b del edificio
mµ Valor esperado de la masa viva sostenida del piso
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bδ Valor del desplazamiento lineal en los bordes más alejados del centro
dS Desplazamiento espectral correspondiente al sistema de un grado de libertad
1BSd − Desplazamiento espectral correspondiente al sistema de un grado de libertad
para el Borde 1
2BSd − Desplazamiento espectral correspondiente al sistema de un grado de libertad para el Borde 2 V Cortante sísmico en la respuesta dinámica modal ( )yxw , Carga viva instantánea por unidad de área, en las coordenadas ( )yx,
p Designación del piso
ed Designación del edificio N Número de franjas discretas
fiM Masa aleatoria correspondiente a la carga viva sostenida en un instante
cualquiera y una fracción la masa muerta de la franja ésimai −
Gr Radio de giro geométrico de la planta del edificio
mρ Radio de giro de la masa muerta con respecto a CM
vρ Radio de giro de la masa viva sostenida con respecto a CM m Media general de la intensidad de la carga viva sostenida por unidad de área
para una clase de edificio para un mismo destino
edλ Variable aleatoria de la carga viva sostenida en un edificio con respecto a la media m general de la población de edificios. El efecto aleatorio edm λ+ , representa la fluctuación de la carga viva sostenida de un edificio con respecto al promedio general
pλ Variable aleatoria de la carga viva sostenida en un piso con respecto a otro piso del edificio
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( )yx,ε Campo aleatorio homogéneo e isotrópico que representa la desviación de la intensidad de la carga viva sostenida con respecto a pedm λλ ++ entre dos puntos ),( ii yx y ),( jj yx del mismo piso, generando la variación espacial de dicha carga; con ( ) ( )[ ] 0,,,cov ≠jjii yxyx εε
2edσ Varianza de edificios
2pσ Varianza de piso
2espσ Varianza espacial de un punto a otro
[ ]E Esperanza matemática
[ ]VAR Varianza
[ ],COV Covarianza
cρ Coeficiente de correlación de la variación espacial de la carga viva sostenida
entre dos pisos diferentes uno sobre otro d Constante para la distribución a ser estimada en forma experimental
cR Radio de correlación espacial de la carga entre dos puntos
fr Distancia entre los puntos ),( 11 yx y ),( 22 yx g Aceleración de la gravedad Y Vector aleatorio lognormal de las masas de cada franja para una realización X Vector aleatorio normal para una realización Z Vector aleatorio normal para una realización U Vector aleatorio normal estándar para una realización R Vector de números aleatorios entre ( )1,0
I Matriz Identidad
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yµ Vector aleatorio de las medias estimadas de la masa de cada franja para una realización ∑yy
Matriz de covarianzas de las masas de las franjas para una realización
∑xx
Matriz de covarianzas de las variables aleatorias normales para una realización
xL Matriz de triangular baja
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Indice de figuras Fig. 2.1 Planta del modelo estructura Fig. 2.2 Torsión sísmica y el concepto de excentricidad accidental Fig. 3.1 Historia de tiempo de la masa estructural y los eventos sísmicos Fig. 3.2 Modelo de la masa estructural en N franjas ubicadas a ix Fig. 3.3 Planta del piso p del sistema estructural Fig. 3.4 Masa elemental por unidad de área para dos puntos cualesquiera Fig. 3.5 Simulación espacial de la carga viva sostenida en edificios Fig. 4.1 Espectros de Respuesta Promedio Fig. 4.2 Movimientos sísmicos utilizados Fig. 4.3 Espectros de respuesta de desplazamientos. Fig. 4.4.- Espectros de Respuesta de desplazamientos para 1500 Simulaciones por caso, sometidos a SCT Fig. 4.5.- Espectros de Respuesta de desplazamientos para 1500 Simulaciones por caso, sometidos a VIV Fig. 4.6.- Espectros de Respuesta de desplazamientos para 1500 Simulaciones por caso, sometidos a CU Fig. 4.7 Comparación de espectros de respuesta con excentricidades de 0.10b, 0.05b y Nula para el registro sísmico SCT-85 con distintos valores de omega y las relaciones de aspecto de 0.25, 0.50, 0.75 y 1.00 Fig. 4.8 Respuesta torsional sísmica para 1500 simulaciones para SCT; edificio 10x20; omega 0.40; beta 1.00 Fig. 4.9 Respuesta sísmica incierta para una relación de frecuencias de 0.75 y de 1.00 con periodo de 1.0s, con registro SCT Fig. 4.10 Respuesta sísmica incierta para una relación de aspecto de 0.50; periodo de 3.6 s y registro VIV Fig.4.11 Respuesta sísmica incierta para una relación de aspecto de 0.50; periodo de 3s y registro VIV
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Indice de tablas Tabla 4.1 Valores utilizados para la carga viva sostenida para edificios de oficina Tabla 4.2 Edificios simulados Tabla 4.3 Simulación Montecarlo Tabla 4.4 Caso 1: Columnas en 5 ejes en dirección y Tabla 4.5 Caso 2: Columnas en 3 ejes en dirección y Tabla 4.6 Caso 3: Columnas en 2 ejes en dirección y, cercanas al centro Tabla 4.7 Caso 4: Muros de rigidez de concreto Tabla 4.8 Agrupación de 52 espectros de respuesta por tipo de registro sísmico Tabla 4.9 Valores del factor por excentricidad accidental en Códigos internacionales Tabla 4.10 Relación de la respuesta torsional con excentricidad del 0.10b y 0.05b, respecto al obtenido con excentricidad Nula, para el registro SCT Tabla 4.11 Respuesta sísmica torsional para 1500 sim. SCT, edificio 10X20, omega 0.40 y beta 1.00
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Capítulo 1 Introducción 1.1.- Antecedentes En México, el Reglamento de las Construcciones para el Distrito Federal (RCDF) de 2004, que sirve como referente a los Reglamentos de Construcciones de la República, establece los criterios generales de diseño sismo-resistente de las construcciones, por otro lado, sus Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo (NTCDS) establecen el modo en que deben ser cubiertos, para fines de diseño, los efectos de la excentricidad accidental producto de las diversas fuentes de incertidumbre. Las NTCDS permiten estimar dichos efectos a partir, solamente, de un análisis estático adicional al convencional considerando las excentricidades de diseño bes 1.05.1 + y bes 1.00.1 − en cada entrepiso del edificio, en donde se es la distancia del centro del rigidez al centro de masa, denominada excentricidad torsional y b es la longitud en planta de la estructura medida perpendicularmente a la acción sísmica. El primer término representa la excentricidad amplificada nominal del sistema, donde el factor de 1.5 proviene de la amplificación dinámica que experimenta la excentricidad calculada estáticamente, y el segundo, considera la excentricidad accidental, que incluye todas las fuentes inciertas de torsión no consideradas explícitamente en el análisis, tales como las distribuciones aleatorias de la rigidez y de la masa al ocurrir el sismo, y por otro, a que los movimientos sísmicos del terreno tienen componentes de rotación, incluso con respecto al eje vertical. El incremento en las acciones mecánicas internas por efecto de la excentricidad accidental es proporcional al incremento en los desplazamientos al desarrollar el análisis estático lineal como lo exigen las NTCDS, dicho incremento es independiente del periodo de la estructura, la relación de aspecto, la relación de frecuencias desacopladas y del tipo de terreno en que ésta se encuentra desplantada. Además, cualquiera que sea el análisis convencional desarrollado, estático o dinámico, el incremento será del mismo orden en ambos casos. Por otro lado, en sistemas simétricos, el desplazamiento del grado de libertad traslacional no sufre ningún incremento y el incremento en el desplazamiento de ambos bordes del sistema es idéntico; puesto que el efecto de las disposiciones reglamentarias es únicamente introducir un momento torsor en ambos sentidos alrededor del centro de masas, las dos excentricidades de diseño son idénticas para el caso. En 2008, el Manual de Diseño de Obras Civiles por sismo de la C.F.E. modifico el valor del Momento torsionante de entrepiso, al proponer que la excentricidad de diseño por medio de las siguientes expresiones bedn 05.0+ y bes 05.05.0 − , siendo dne la excentricidad torsional incrementada para considerar los efectos dinámicos. Se hace énfasis, que el valor de b05.0 adoptado por el MDOC para considerar la excentricidad accidental, concuerda con los valores de los Reglamentos de Construcción internacionales de referencia, los cuales sugieren que el b10.0 es demasiado conservador.
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Existen un número considerable de investigaciones de la torsión sísmica, considerando incertidumbre en la rigidez y en los movimientos del terreno y la literatura es escasa para estudiar la incertidumbre en la masa, un trabajo reciente y cercano a este tema, es el desarrollado por De la Colina1
, en el cual simula la excentricidad accidental de la carga viva como una función de probabilidades normal, para aplicar el método de Montecarlo.
2.1.- Objetivos Este trabajo tiene los siguientes objetivos
1.- Realizar una simulación completa de la variación espacio temporal de la masa ocasionada por la carga viva sostenida, a partir de datos experimentales a presentarse un evento sísmico. 2.- Medir el efecto de la torsión en edificios de un nivel por la incertidumbre de la masa estructural al modelarla como un campo vectorial aleatorio multivariado. 3.- Establecer en primera instancia un modelo con acoplamiento entre los grados de libertad traslacional y torsional, bajo una componente sísmica en varios tipos de terreno. 4.- Analizar los parámetros relevantes del sistema: el periodo traslacional: yT , la relación de aspecto de la planta rectangular del edificio: r , la excentricidad normalizada: be , la relación de frecuencias desacopladas: Ω , y su relación con respecto a la respuesta dinámica. 5.- Determinar la respuesta sísmica torsional estimada por el valor de la esperanza matemática y desviación estándar del desplazamiento en los bordes del sistema estructural considerando un comportamiento elástico-lineal e incorporando los dos grados de libertad, bajo la acción de registros sísmicos correspondientes a terreno blando, de transición y firme de la Cd. De México.
1 De-la-Colina, J., Benítez, B., and Ruiz, S. (2011). ”Accidental Eccentricity of Story Shear for Low-Rise Office Buildings.” J. Struct. Eng., 137(4), 513–520.
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Capítulo 2 Modelo Estructural
Se presenta el modelo estructural y las ecuaciones de movimiento para el análisis del efecto de la distribución incierta de la masa en la respuesta estructural. 2.1.- Hipótesis
a) Modelo estructural de un nivel con sistema de piso rectangular siendo la
relación de aspecto bar = , donde a y b son las dimensiones de la planta en las
direcciones Y y X respectivamente. b) La losa del sistema de piso se considera como un diafragma rígido en su plano,
que aporta toda la masa lineal y rotacional con respecto al centro de masa CM de la estructura. La masa estructural para un instante se divide en muerta mM y viva vM . La primera se supone uniformemente distribuida e igual a un porcentaje β de la carga viva sostenida total. La segunda, debida a la fracción sostenida de la carga viva, es incierta respecto del eje X .
c) La incertidumbre de la masa por la variación espacio-temporal de la carga viva
sostenida, se modela mediante N franjas discretas paralelas al eje Y . La masa total del sistema es vMM )1( β+= , donde vm MM β= , y el momento polar de inercia alrededor de CM es 2ρMJ = , donde J y el radio de giro respectivo ρ , son variables inciertas. El modelo de la masa estructural y su solución se presenta en el capítulo 3.
d) Los elementos de entrepiso – columnas y muros – se consideran axialmente
rígidos, de masa despreciable, los cuales aportan la rigidez lateral yK en dirección del eje Y y la torsional θK referida al CM . La distribución de la rigidez es uniforme, determinista y por consecuencia el centro de rigidez CK coincide con el centro geométrico CG de la planta rectangular.
e) El comportamiento estructural del sistema en todo instante es elástico-lineal y
está definido por 2 grados de libertad (gdl): el desplazamiento relativo de entrepiso )(tyy = y el giro del piso )(tθθ = .
f) El sistema estructural está sometido a una historia de aceleraciones del terreno
en dirección del eje Y. Si yy utu =)( es la aceleración del terreno en cada instante ""t y M la masa del sistema, entonces el vector de fuerzas
equivalentes en los dos grados de libertad considerados es
−=0
yuMF
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La figura 2.1 muestra la planta del modelo estructural correspondiente a las hipótesis planteadas. Las distribuciones espaciales de la masa y rigidez son tales que el CM y CK difieren entre si, siendo su distancia xe la excentricidad accidental por efecto de la variación espacio-temporal de la masa de la estructura con referencia al sistema de ejes coordenados que pasa por el centro de rigidez.
XK ó XM
YK
M , J
a
b
CG CK CM
YM
yu
ex
θKK y ,
Fig. 2.1 Planta del modelo estructural
2.2.- Ecuaciones de movimiento En un instante de tiempo t cualquiera, el sistema estructural estará sometido a la excitación en la base yu . Las ecuaciones de movimiento para esta condición con fundamento en el principio de D´Alembert en cada uno de los grados de libertad y y θ , respectivamente, son:
yxyy uMeKyKyM −=++ θ (2.1)
0=++ θθ θKeyKJ xx (2.2)
Obsérvese el acoplamiento de movimiento por la existencia del término xy eK . Reagrupando y ordenando términos, matricialmente se tiene:
−=
+
00
0 y
xy
xyy uMy
KeK
eKKy
J
M
θθ θ
(2.3)
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2.3 Solución de las ecuaciones de movimiento: 2.3.1 Problema de vibración libre:
Las ecuaciones de movimiento en vibración libre están dadas por:
=
+
0
0
0
0
θθ θ
y
KeK
eKKy
J
M
xy
xyy
(2.4)
Sean α la excentricidad normalizada en términos del radio de giro y Ω la relación
de las frecuencias desacopladas de traslación yω y de rotación θω , como sigue:
ρα xe= ;
2ρωω θθ
yy KK
==Ω (2.5)
La ecuación ( 2.4) se puede reescribir como:
=
Ω+
0
01
10
012
2
ρθα
αω
θρ
yyy
(2.6)
Nótese que los grados de libertad así expresados son ahora los desplazamientos
lineales y y θρ .
Si y
ii ω
ωγ = , donde iω es la frecuencia del ésimoi − modo y yω es la frecuencia
natural desacoplada en traslación. Resolviendo la ecuación característica 02 =− MK iω , se
obtienen las frecuencias modales:
2)(4)1()1( 22222
22,1
αγ
−Ω−Ω+Ω+=
(2.7)
Obsérvese que las frecuencias modales son función de los parámetros Ω y α , por
lo que se considera los casos límites y de singularidad de dichos valores en el análisis de la respuesta dinámica.
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Las formas modales normalizadas se obtienen resolviendo el problema de vectores
característicos [ ] 0MK ~~2 =− ii ϕω , para 1=i ,2 como sigue,
−−
−+
=
=αγ
αγϕ
ϕϕ
2
222
1 11
11
1ˆ
ˆ~i
ii
ii (2.8)
Como el vector de fuerzas equivalentes carece de componente angular, los factores
de participación modal iΓ , para las características desarrolladas en la solución del problema, son:
221
1
1
++
=Γ
αγ i
i (2.9)
2.3.2 Problema de vibración forzada con excitaciones sísmicas en la base:
Las ecuaciones de movimiento acoplado en vibración forzada sin amortiguamiento, considerando la historia de aceleraciones del terreno yu y atendiendo a (2.6), quedan como:
−=
Ω+
0
1
10
012
2 yy
uyy
ρθα
αω
θρ (2.10)
El vector de desplazamientos de los grados de libertad y~ se puede expresar en términos de la matriz de formas modales Φ y del vector de coordenadas generalizadas modales z~ :
=
2
1
2221
1211
ˆˆ
ˆˆ
z
zy
ϕϕ
ϕϕ
ρθ , o bien zΦy ~~ = (2.11)
Sustituyendo (2.11) en (2.10), premultiplicando por TΦ e introduciendo las
propiedades de ortogonalidad de la matriz modal, así como la fuerza de amortiguamiento
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modal clásico en términos de un porcentaje de amortiguamiento crítico modal iς , se obtienen las ecuaciones de movimiento para cada coordenada generalizada:
2,1,2 2 ==++ iuzz giiiiii ωως donde, yigi uu Γ= (2.12) Con base en el modelo propuesto para la simulación de la masa por carga viva, el
objetivo principal será evaluar las máximas respuestas en los bordes más alejados del centro de masas para la planta rectangular del sistema de piso.
2.4 Respuesta máxima para excentricidades inciertas y nominales de diseño.
Para fines comparativos de este trabajo con la práctica establecida en los Reglamentos de Construcción para del diseño sísmico de edificios, se evalúan los efectos de torsión aplicando el cortante sísmico obtenido del análisis dinámico modal a la distancia definida como excentricidad accidental de , la cual se expresa como un porcentaje de la dimensión en planta del edificio perpendicular a la dirección la excitación sísmica.
La figura 2.2 ilustra para una planta de un edificio nominalmente simétrico, los
efectos de torsión sísmica a partir del concepto de excentricidad accidental establecido en los códigos de diseño sísmico. Por ejemplo las NTC del RDF [ ]1 y el IBC [ ]2 establecen el 10% y 5% de la dimensión b , por lo tanto, la fuerza cortante sísmica se aplica a la distancia de
XM
M , J
a
b
CM
YM
yu
ed θKK y , Vs
CG
2b
bδ
Fig. 2.2 Torsión sísmica y el concepto de excentricidad accidental
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Para una distribución uniforme de la masa en el sistema estructural, la masa total, el momento polar de inercia con respecto al CM y la relación de rigideces, son:
( ) baM mµβ+= 1 (2.12)
( )22
112
raMJ += (2.13)
2Ω=
JM
KK y
θ
(2.14)
donde mµ es el valor esperado de la masa viva sostenida del piso en estudio, para una simulación dada.
El valor del desplazamiento lineal bδ en los bordes más alejados del centro de
masa del piso en estudio considerando la excentricidad accidental es:
2b
KeV
KV d
yb
θ
δ ±= ( 2.12)
Considerando que el cortante sísmico en la respuesta dinámica modal es:
dy SKV = (2.13)
donde dS es el desplazamiento espectral correspondiente al sistema de un grado de libertad sometido al registro de aceleraciones sísmicas para un periodo y amortiguamiento estructural dado. Por lo tanto, para la excentricidad accidental reglamentaria se tiene:
±= d
ydb eb
KK
S2
1θ
δ (2.14)
Finalmente, se tiene que la respuesta máxima para la excentricidad accidental es:
Ω±= ddb e
JbMS 22
1δ (2.15)
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Capítulo 3 Modelo Probabilístico de la Masa Estructural Se presenta el modelo probabilístico de la masa estructural del edificio de un nivel
con planta rectangular, considerando básicamente la incertidumbre por efecto de la distribución espacial de la carga viva sostenida, la cual es modelada como un campo vectorial aleatorio. 3.1 Variación espacio-temporal de la masa estructural en edificios. Clasificación de la masa
Para fines de este trabajo, la masa estructural en los edificios, se divide en:
• Masa muerta: Es la masa que obra en forma continua sobre la estructura, cuya intensidad y posición varía muy poco con respecto al tiempo; incluye las debidas al peso propio y a elementos constructivos fijos, denominadas como cargas muertas.
• Masa viva: Es la masa que actúa sobre la estructura en forma discontinua, cuya
intensidad y posición varía significativamente en periodos largos con respecto al tiempo.
Se incluye en esta categoría la masa debida a las cargas de funcionamiento y destino de la construcción, denominada como carga viva. Así mismo, la masa viva en edificios se subdivide en: sostenida y transitoria. La primera permanece relativamente invariante en lapsos mayores de tiempo hasta que ocurre un gran cambio y es debida a las cargas que caracterizan el destino del piso en condiciones normales de uso. Por ejemplo, en oficinas, consiste en el peso de escritorios, libreros, archiveros, gabinetes, entre otros muebles y su correspondiente contenido; Se incluye también el peso de personal de labor normal. La segunda, al contrario, tiene una gran variación en periodos muy cortos de tiempo, y es debida a las cargas originadas por eventos especiales. Por ejemplo, la masa debida a la carga adicional que se presenta en inauguraciones, remodelaciones, cambio de mobiliario o por reuniones en ocasiones especiales.
Variación temporal
Estrictamente, la masa muerta, viva sostenida y viva transitoria varían con el tiempo, ilustrándose esquemáticamente en las figuras 3.1.a, 3.1.b y 3.1.c, respectivamente. La masa de la carga muerta tiene ligeras fluctuaciones en grandes lapsos de tiempo debido a los cambios de humedad y desgaste, o bien por cambios en los recubrimientos y acabados al existir remodelaciones durante la vida útil de la construcción. La variación temporal de la masa por carga viva se tiene en sus dos componentes. Por ejemplo, la masa por carga sostenida está constituida por una fracción semipermanente correspondiente al mobiliario y equipo, el cual varía significativamente sólo cuando hay cambios en el uso del piso, y por una fracción correspondiente al peso de personas y equipo móvil, la cual fluctúa en lapsos de horas.
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Es de interés práctico establecer que la carga sostenida define la llamada carga viva instantánea, la cual es utilizada para evaluar el efecto combinado ante la presencia de sismos. Finalmente, la masa transitoria es una masa extraordinaria que tiene una existencia muy corta con periodos relativamente largos para su aplicación.
En la Fig. 3.1.d. se muestra la variación temporal de las cargas símicas, clasificados
como cargas accidentales, cuya intensidad alcanza valores significativos sólo durante lapsos muy breves de tiempo.
Con referencia a la Fig. 3.1 y para fines de diseño estructural, cualitativamente se
observa que cuando ocurre un sismo, la masa estructural en un instante cualquiera será igual a toda la masa muerta más la fracción de la masa viva sostenida, reconociendo que es poco probable que al presentarse una acción accidental toda la masa viva este presente en la estructura.
Fig. 3.1 Historia de tiempo de la masa estructural y los eventos sísmicos [ ]3 Variación espacial
La variación espacial de la masa muerta se presenta en relación a las fluctuaciones en los espesores y pesos volumétricos finales tanto de la estructura como de los recubrimientos y acabados. Para fines de esta investigación, la masa muerta total del sistema se considera uniformemente distribuida, con una magnitud igual a un coeficiente β de la masa viva sostenida.
Masa muerta
Masa viva sostenida
Masa viva transitoria
Segundo
Hora
Hora
Sismos fuertes
Tiempo t ( años)
Tiempo t ( años)
Tiempo t ( años)
Tiempo t ( años)
Meses
Años
EVENTO SIMULTANEO
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Por otra parte, la masa viva en sus dos componentes no sólo tiene variación temporal, sino también espacial. La variación espacial de la masa viva sostenida es el factor de interés con relación a la respuesta sísmica torsional de los edificios, ya que incide básicamente en la incertidumbre de la excentricidad accidental del piso y el valor del momento polar de inercia.
Durante una solicitación sísmica, la masa muerta más la sostenida del piso, definen,
en un instante cualquiera, la masa total, el momento polar de inercia y la posición del centro de masa del modelo estructural propuesto. La incertidumbre por las fluctuaciones espaciales de la carga viva en un piso, se representa adecuadamente por un campo vectorial aleatorio.
3.2 Modelo probabilístico de la masa estructural
De acuerdo con el objetivo de este trabajo, se ha desarrollado un modelo que
considera a la masa estructural como un campo aleatorio, basado en el modelo estocástico para la carga viva sostenida ( )yxw , propuesto por Peir y Cornell (1973) [ ]3 y que fue adoptado por el Código de Modelos Probabilísticos (2002) [ ]4 del JCSS de la Unión Europea.
El modelo a utilizar considera la variación espacio-temporal de la masa estructural
de una planta rectangular de un piso p de un edificio ed con sólo un nivel y con destino determinado.
Con referencia a la Fig. 3.2, se define un modelo de N franjas discretas, donde cada franja tiene una masa aleatoria f
iM correspondiente a la carga viva sostenida en un instante cualquiera y una fracción la masa muerta. La distribución espacial de la masa del piso bajo la consideración de las franjas es estadísticamente simétrica con respecto al eje centroidal cX
a
b
fjM f
iM Y
X
ix rf
Xc
Yc
Fig. 3.2 Modelo de la masa estructural en N franjas ubicadas a ix
Sea M la masa estructural del sistema de piso en un instante cualquiera, resultado
de la masa muerta, mM , más la masa viva sostenida, vM , por lo que: vm MMM += (3.1)
24
La masa muerta se supone uniformemente distribuida y con un valor de:
vm MM β= (3.2)
Las N masas fivM se suponen que tienen una distribución conjunta log-normal. Si
fivM es la masa viva aleatoria de la franja ésimai − , entonces, la masa viva incierta total
es:
∑=
=N
i
fivv MM
1
(3.3)
La masa para la franja ésimai − en sus dos componentes es:
fiv
vfi M
NM
M += β (3.4)
Sustituyendo (3.4) en (3.3) se observa que:
( ) v
N
i
fi MMM 1
1+==∑
=
β (3.5)
El momento polar de inercia con respecto al centro de masa para cualquier
distribución de la masa es MJ 2ρ= ; expresado en términos de la inercia muerta y viva es:
vm JJJ += (3.6)
o bien
( ) MMJ vvm
222 ρρρβ =+= (3.7) Como el momento polar de inercia de la masa muerta con respecto al centro de masa de un piso rectangular es:
vxm MebaJ β
+
+= 2
22
12 (3.8)
siendo el radio de giro geométrico 12
222 barG
+= , se tiene que el radio de giro de la masa
muerta con respecto al centro de masa del sistema es:
22xGm er +=ρ (3.9)
25
Sustituyendo (3.9) en (3.7) y despejando el radio de giro de la masa total con
respecto al centro de masa del sistema, se tiene finalmente:
( )( )1
2222
+++
=β
ρββρ vxG er
(3.10)
Dado que la masa muerta está uniformemente distribuida en el piso en cuestión, la
excentricidad de la masa xe , a partir del centro de rigidez depende fundamentalmente de la distribución de la masa viva en el piso y del valor de β , por lo que la incertidumbre de la excentricidad dependerá de la variación espacio temporal de la carga viva sostenida.
Considerando la intensidad ( )yxw , de la carga viva sostenida por unidad de área
en kg/m2, para un instante cualquiera, en un punto (x, y) de la planta y edificio en estudio, ver Fig. 3.3.
Fig. 3.3 Planta del piso p del sistema estructural
La carga viva sostenida ( )yxw , se define como la combinación lineal de variables aleatorias,(Peir y Cornell, 1973):
( ) ( )yxmyxw ped ,, ελλ +++= (3.11)
donde: m ∼ Es la media general de la intensidad de la carga viva
sostenida por unidad de área para una clase de edificio para un mismo destino.
26
edλ ∼ [ ]2,0.. edav σ , representa la desviación de la carga viva sostenida en un edificio con respecto a la media m general de la población de edificios. El efecto aleatorio edm λ+ , representa la fluctuación de la carga viva sostenida de un edificio con respecto al promedio general. pλ ∼ [ ]2,0.. pav σ , representa la desviación de la intensidad de la carga viva sostenida en un piso con respecto a edm λ+ para el edificio. ( )yx,ε ∼ [ ]2,0.. espac σ , es un campo aleatorio homogéneo e isotrópico que representa la desviación de la intensidad de la carga sostenida con respecto a pedm λλ ++ entre dos puntos ),( ii yx y ),( jj yx del mismo piso, generando la variación espacial de dicha carga; con
( ) ( )[ ] 0,,,cov ≠jjii yxyx εε Las variables aleatorias edλ y pλ se suponen mutuamente independientes, e independientes de campo aleatorio ( )yx,ε . La intensidad de la carga viva sostenida ( )yxw , tiene media y varianza igual a: ( )[ ] myxwE =, (3.12)
( )[ ] 222,var esppedyxw σσσ ++= (3.13)
Considerando la masa viva para dos puntos cualesquiera tal como se muestra en la Fig.3.4
Fig. 3.4 Masa elemental por unidad de área para dos puntos cualesquiera
La covarianza entre las intensidades de la carga ),( 11 yxw y ),( 22 yxw para dichos puntos en un mismo nivel, se derivan de la definición, por lo que se tiene:
27
( ) ( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ]myxwmyxwEyxwyxw −−= 22112211 ,,,,,cov (3.14) Desarrollando y realizando las sustituciones correspondientes, se tiene: ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]2211
222211 ,,,cov,,,cov yxyxyxwyxw ped εεσσ ++= (3.15)
La función de covarianza entre ( )11, yxε y ( )22 , yxε para un campo homogéneo fue examinada por Hauser (1970) [ ]5 . Para un campo isotrópico se adopta la expresión de la referencia [ ]3 ;
( ) ( )[ ] dr
espc
f
eyxyx2
22211 ,,,cov
−= σρεε (3.16)
Donde, fr es la distancia entre los puntos ),( 11 yx y ),( 22 yx y cρ representa el coeficiente de correlación para la variación espacial de la carga viva sostenida entre dos pisos con niveles diferentes uno sobre otro, en este trabajo se asume igual a la unidad. Esta covarianza corresponde a campos aleatorios isotrópicos, y cRd = es una constante a ser estimada según la variación espacial; cR es el radio de correlación o escala de fluctuación según Vanmarcke [ ]6 Sustituyendo (3.16) en (3.15) se tiene:
( ) ( )[ ] dr
espped
f
eyxwyxw2
2222211 ,,,cov
−++= σσσ (3.17)
Para el caso de las franjas discretas con ancho Nb del modelo propuesto en este
trabajo, las masas vivas correspondientes a las franjas ésimai − y ésimaj − , están dadas por:
( ))( ipedf
i xmgNbaM ελλ +++= (3.18)
y por:
( ))( jpedfj xm
gNbaM ελλ +++= (3.19)
donde los términos pedm λλ ,, y ( )ixε tienen el significado definido líneas arriba.
28
La media de la masa de cualquier franja es:
[ ] ( )( ) mNgabxm
NgabEME iped
fi =
+++= ελλ (3.20)
La varianza de la masa de cualquier franja está dada por:
[ ] ( )( )
+++= iped
fi xm
NgabM ελλvarvar (3.21)
o bien:
[ ] ( )2222
var esppedf
i gNbaM σσσ ++
= (3.22)
La covarianza entre las masas de dos franjas i y j es, por definición:
[ ] [ ]( ) [ ]( )[ ]f
jfj
fi
fi
fj
fi MEMMEMEMM −−=,cov (3.23)
Sustituyendo la esperanza de las masas se tiene:
[ ]
−
−= m
NgabMm
NgabMEMM f
jf
ifj
fi ,cov (3.24)
Desarrollando y factorizando:
[ ] [ ] 22
,cov mNgabMMEMM f
jf
ifj
fi
−= (3.25)
La esperanza del producto de las masas de dos franjas cualesquiera es igual a :
[ ] ( )( ) ( )( )
+++
+++= jpedipedfj
fi xm
gNbaxm
gNbaEMME ελλελλ
(3.26)
29
Desarrollando y calculando las esperanzas que correspondan se obtiene:
[ ] ( ) ( )[ ]( )jipedfj
fi xxEm
NgabMME εεσσ +++
= 222
2
(3.27)
Sustituyendo (d) en (b) , la covarianza de las masas es:
[ ] [ ]( ))(,)(,cov 222
jipedfj
fi xxE
NgabMM εεσσ ++
= (3.28)
Para las condiciones del problema, se tiene que:
[ ] dr
espcji
f
exxE2
2)(),(−
= σρεε (3.29)
Por lo tanto, la función de covarianza entre las masas de dos franjas cualesquiera de una planta rectangular con una relación de aspecto r , queda definida como:
[ ]
++
=
−dr
esppedfj
fi
f
eNgbr
MM2
222
22
,cov σσσ (3.30)
Las expresiones (3.21), (3.22) y (3.30) definen los parámetros probabilísticos necesarios para simular la variación espacial de la masa por carga viva sostenida en un modelo de franjas. 3.3 Simulación espacial de la carga viva en piso de oficinas
La carga viva sostenida se simula mediante la realización de vectores aleatorios de variables multivariadas con funciones de densidad de probabilidades conjuntas (fdpc) lognormales para simular campos espaciales aleatorios, considerando la información experimental en edificios.
La variación espacial de la carga viva sostenida de una franja a otra, queda bien definida por un modelo de simulación que considere, que la magnitud de la masa de una franja es una variable aleatoria que está correlacionada con otra separadas una distancia cualquiera, generando un vector que contiene todas las masas de las franjas para una realización.
30
La distribución estocástica de la carga viva sostenida en edificios tiene sesgo a la derecha y con valores positivos. Las observaciones actuales indican que una distribución Gamma tiene un mejor ajuste. Sin embargo, la investigación para modelos probabilistas de la carga viva realizada por Corotis y Doshi [ ]7 , establece que los modelos basados en fdp de tipo Lognormal tienen ajustes razonables y en algunos casos mejor que las del tipo Gamma.
Por otra parte, la generación de variables tipo gamma está restringida para algunos
casos, además de que la fdpc tipo Gamma no está definida en la literatura correspondiente y por lo tanto, no se cuenta con algoritmos para su simulación. Por estas razones, y dado que la fdpc Lognormal tiene algunas características, como tener un ajuste versátil, de valores positivos y con una sencillez en su manejo analítico, se adopta para este trabajo.
De acuerdo con lo anterior, sea Y ∼ vector aleatorio (va) de las masas de cada franja para una realización, definido por la expresión (3.16).
Y ∼ [ ]yyyμ ∑,LN (3.16) Donde, los vectores de las masas y de sus medias son :
1
3
2
1
nxf
n
fi
f
f
f
M
M
MMM
=
Y ............. (3.17)
[ ][ ][ ]
[ ]
[ ]1
3
2
1
1
3
2
1
nxf
n
fi
f
f
f
nxn
i
ME
ME
MEMEME
=
=
µ
µ
µµµ
yμ .............. (3.18)
Siendo su matriz de covarianzas de las masas de todas las franjas es:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]nxnnninnnn
niiiiii
ni
ni
ni
ii
MMMMMMMMMM
MMMMMMMMMM
MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
=∑
,cov,cov,cov,cov,cov
,cov,cov,cov,cov,cov
,cov,cov,cov,cov,cov,cov,cov,cov,cov,cov,cov,cov,cov,cov,cov
321
321
33332313
22322212
11312111
(3.19)
Entonces se puede definir los siguientes vectores:
31
X ∼ [ ]xxxμ ∑,N (3.17) Z ∼ [ ]zz0 ∑,N (3.18) U ∼ [ ]Ι0 ,NE (3.19) R ∼ vector de números aleatorios entre ( )1,0
Es importante hacer notar que, la función de densidad de probabilidades conjunta gausiana , tiene una matriz de covarianza simétrica y definida positiva, por lo que es aplicable el método de descomposición de Cholesky, que establece ; T
xxxx LL=∑ , donde L es la matriz triangular baja, la cual se determina por el algoritmo correspondiente .
Procedimiento general:
1. Generar números aleatorios ( )1,0R
Se establece una fuente confiable de números aleatorios para obtener una suficiente cantidad para realizar la simulación deseada, los cuales representan una variable aleatoria distribuida uniformemente en (0,1) Se utilizo la función RANDOMIZE del Visual Basic para el algorítmico que genera artificialmente números aleatorios (pseudo aleatorios), partiendo de una semilla inicial asociada al tiempo generar una sucesión de números. El número de aleatorios en cada realización es igual al número de franjas discretas elegidas.
2. Generar U ∼ ( )Ι0 ,NE
El cual es un vector contiene variables aleatorias independientes e idénticamente
distribuidas con fdpc tipo gausianas estándar, teniendo un vector cero de medias y una matriz de covarianza igual a la identidad.
Se utilizan dos métodos [ ]9 para generar estás variables, el primero propuesto por
Box y Muller (1958), mediante las conocidas transformaciones de Box-Muller. El segundo, propuesto por Marsaglia y Bray (1964) conocido como el método polar, el cual incorpora el método de rechazo para evitar las operaciones trigonométricas.
3. Generar Z ∼ ( )∑zz
N ,0 Es un vector aleatorio multivariable gausiano con un vector de media cero, el cual
se determina por medio de la matriz triangular baja de la descomposición de Choleski; ULZ XX=
4. Generar X ∼ ( )∑xx
N ,xμ
32
A partir de: xμZX += se obtiene finalmente el vector Y
5. Generar Y ∼ ( )∑yyLN ,yμ
Siendo, el vector Y se determina por las siguientes transformaciones:
==
nx
x
x
x
e
e
e
e
e
3
2
1
XY
==
nYLn
YLn
YLn
YLn
Ln
3
2
1
YX
Con base al modelo probabilístico propuesto y el procedimiento general descrito, se desarrollo un programa de computadora en Visual Basic denominado SIMULACION DE CARGA VIVA (SIMCAVI-2004). La Fig. 3.5 ilustra cualitativamente la distribución espacial para una simulación.
Fig. 3.5 Simulación espacial de la carga viva sostenida en edificios.
33
Capítulo 4 Aplicación y análisis paramétricos de los edificios simulados. 4.1.- Simulación de Monte Carlo
Con el advenimiento de la computadora, una de las herramientas más importantes para el análisis y diseño en la ingeniería de sistemas o procesos complejos es la simulación.
El enfoque moderno de la simulación arranca con los trabajos de Von Neuman y
Ulam en 1940 durante el desarrollo y estudio de las reacciones nucleares para el proyecto secreto denominado Monte Carlo, resolviendo problemas cuya solución experimental era muy cara y la solución matemática excesivamente compleja.
En nuestros días, la simulación es una técnica numérica para generar y conducir
experimentos en un modelo matemático que en una computadora digital. Estos experimentos involucran ciertos tipos de modelos matemáticos y lógicos que describen el comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a través de largos periodos de tiempo. Por lo tanto, la simulación implica generación de muestras aleatorias basadas en la generación de números aleatorios para una distribución probabilística particular. Cuando la simulación varía en el tiempo, se denomina simulación estocástica o simulación de Monte Carlo.
2.6 Procedimiento de análisis
Con referencia al problema a resolver en este trabajo, se recurre entonces a las simulaciones de Monte Carlo del modelo estocástico de la masa estructural para una población suficientemente grande para su manejo estadístico correspondiente, para lo cual se propone 2000 simulaciones para cada caso paramétrico estudiado. Con este objetivo, se desarrollaron dos programas de cómputo en Visual Basic denominados: SIMULACION DE CARGA VIVA (SIMCAVI-2004) y Respuesta Sísmica Torsional de Edificios de 1 nivel (RESTE-2004). El procedimiento de análisis es la secuencia de pasos descrita a continuación:
1.- Se simulan 2000 edificios mediante SIMCAVI-2004, definiendo las
características geométricas, los datos estadísticos de la variación espacial de la masa viva para el tipo de edificio, el porcentaje β de la masa viva sostenida para definir la masa muerta, el número de franjas del piso, el factor de d y el método de transformación para las distribuciones Normales Estándar.
2.- Para un valor dado fijo de la relación de frecuencias Ω y de factor carga β , variando los periodos para un rango de 0.1 a 5 seg/ciclo, someter a cada realización de la simulación de 2000 Edificios a un registro sísmico elegido, para obtener la respuesta pico torsional media en ambos bordes en la historia del tiempo, por medio del programa RESTE-2004.
34
Con la población disponible se estiman la media y la desviación estándar de las respuestas máximas, globalmente en los grados de libertad y en ambos bordes de la losa del edificio para diferentes valores β y Ω . Este procedimiento se repite para sistemas cuyo periodo varía en un rango de 0.1 a 5.0 s, con lo cual es posible construir los espectros de los parámetros estadísticos de la respuesta torsional. 3.- La respuesta sísmica expresada por los desplazamientos en los bordes B1 y B2, se obtienen considerando la torsión que induce la excentricidad de la masa y se comparan con el espectro de respuesta con excentricidad nula y las obtenidas al considerar la excentricidad del 10% y 5% del ancho del edificio. La fig. 4.1, muestra el espectro de respuesta.
Fig. 4.1 Espectros de Respuesta Promedio
4.2 Movimiento Sísmico del Terreno Con el fin de realizar un análisis comparativo de la respuesta sísmica torsional
considerando la incertidumbre de la carga viva, se eligieron tres registros de aceleraciones para el sismo del 19 de septiembre de 1985 en la Ciudad de México, de las estaciones SCT, VIV y CU, que corresponden a la componente este-oeste en terrenos de características geotécnicas y dinámicas representativas de sitios específicos de las zonas III, II y I respectivamente.
Por ejemplo, El registro de SCT/85 es aplicable a una franja bien limitada de la Ciudad
de México con periodos dominantes del sitio cercanos a los 2 seg. por lo que no puede usarse en otros sitios de la zona III. Está consideración se ha planteado en la nueva propuesta la Normas Técnica Complementaria para el Diseño por Sismo del Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal.
Se considera todos los movimientos sísmicos del terreno, durante su fase intensa,
como un segmento de un proceso aleatorio estacionario gausiano con media cero, lo suficientemente largo para que la respuesta del sistema estructural alcance su fase
35
estacionaria; además, el movimiento se considera uniforme en todos los puntos de apoyo del edificio.
Los efectos de la incertidumbre en el movimiento sísmico del terreno quedan fuera del
alcance del trabajo, por lo que en el desarrollo del mismo se considera únicamente cada registro empleado como una realización del proceso aleatorio correspondiente.
La figuras 4.2 muestran la historia de aceleraciones de los tres registros y la Fig. 4.3
los espectros de respuesta para desplazamientos de sistemas de un grado de libertad con varios porcentajes de amortiguamiento crítico, respectivamente.
a) Componente este-oeste SCT-1985
b) Componente Este-Oeste Viveros –1985
c) Componente Este-Oeste Ciudad Universitaria –1985
Fig. 4.2 Movimientos sísmicos utilizados
36
a) Espectro de Respuesta de desplazamientos para SCT-85
b) Espectro de Respuesta de desplazamientos para CU-85
c) Espectro de Respuesta de desplazamientos para VIV-85
Figura 4.3 Espectros de respuesta de desplazamientos.
37
4.3 Valores estadísticos de la masa simulada [ ]3 Edificio
cvm d 2bσ 2
fσ 2espσ
2mkg
2m 2
2
mkg
2
2
mkg
2
2
mkg
Oficinas 57.59 0.84 71.47 410.94 6193.9 Tabla 4.1 Valores utilizados para la carga viva sostenida para edificios de oficina 4.4 Modelos de edificios de estudio
Edificio a b r β m m
A 1500 20 20 1.00 1.0, 1.50, 2.0 B 1500 15 20 0.75 1.0, 1.50, 2.0 C 1500 10 20 0.50 1.0, 1.50, 2.0 D 1500 5 20 0.25 1.0, 1.50, 2.0
Tabla 4.2 Edificios simulados
Ω SCT -85 VIV-85 CU-85
0.40 A,B,C,D A,B,C,D A,B,C,D 0.50 A,B,C,D A,B,C,D A,B,C,D 0.60 A,B,C,D A,B,C,D A,B,C,D 0.70 A,B,C,D A,B,C,D A,B,C,D 0.80 A,B,C,D A,B,C,D A,B,C,D 0.90 A,B,C,D A,B,C,D A,B,C,D 1.00 A,B,C,D A,B,C,D A,B,C,D 1.10 A,B,C,D A,B,C,D A,B,C,D 1.20 A,B,C,D A,B,C,D A,B,C,D 1.30 A,B,C,D A,B,C,D A,B,C,D 1.40 A,B,C,D A,B,C,D A,B,C,D 1.50 A,B,C,D A,B,C,D A,B,C,D 1.60 A,B,C,D A,B,C,D A,B,C,D
Tabla 4.3 Simulación Montecarlo
La relación de frecuencias desacopladas; Ω , es una medida de la rigidez torsional respecto de la rigidez lateral del sistema. Típicamente este parámetro toma valores alrededor de uno, es común que los sistemas con 00.1<Ω sean llamados torsionalmente flexibles y los sistemas con 00.1>Ω torsionalmente rígidos. Para efectos de esta investigación, de estableció el rango de Ω , de 0.40 a 1.60 con intervalo de 0.10, los valores son realistas y se sustentan en base a la información de las tablas 4.4, 4.5, 4.6 y 4.7 , que corresponde a edificios de concreto reforzado de un nivel, con carga muerta y viva de 900 kg/m2, considerando la losa como un diafragma rígido, trabes de 30x70 cm , muros de 25 cm de espesor, con columnas de diferentes secciones, claros de 5 m entre ejes y altura de entrepiso de 3 m.
38
Tabla 4.4 Caso 1: Columnas en 5 ejes en dirección y
Tabla 4.5 Caso 2: Columnas en 3 ejes en dirección y
Tabla 4.6 Caso 3: Columnas en 2 ejes en dirección y, cercanas al centro
39
Tabla 4.7 Caso 4: Muros de rigidez de concreto
4.5 Espectros de Respuesta torsional Se llevan a cabo las simulaciones de Montecarlo para los edificios simulados de acuerdo con las tablas 4.1, 4.2 y 4.3, los resultados se presentan en forma de espectros, evaluando la respuesta a través de la estimación de la esperanza del valor máximo de los desplazamientos en ambos bordes del sistema considerando los dos grados de libertad, comparando con la respuesta sin excentricidad (caso excentricidad nula) y las excentricidades vigentes en la normativa mexicana. Los resultados se agrupan en según la relación de aspecto y la relación de frecuencias desacopladas. Conceptualmente, la tabla 4.8, muestra el número de graficas obtenidas, para cada tipo de registro sísmico.
Tabla 4.8 Agrupación de 52 espectros de respuesta por tipo de registro sísmico
40
4.5.1 Análisis dinámico para SCT-85
Los 52 espectros se muestran en el anexo 1. Como ejemplo representativo se muestran los espectros de desplazamiento No 1, 14, 27, 40 para el registro SCT-85. Ver fig 4.4
a b c d Fig 4.4.- Espectros de Respuesta de desplazamientos para 1500 Simulaciones por caso, sometidos a SCT
Espectro No 1
Espectro No 14
Espectro No 27
Espectro No 40
41
4.5.2 Análisis dinámico para VIV-85
Los 52 espectros se muestran en el anexo 2. Como ejemplo representativo se muestran los espectros de respuesta No 1, 14, 27, 40 para el registro VIV-85. Ver la fig. 4.5
a b
c d Fig 4.5.- Espectros de Respuesta de desplazamientos para 1500 Simulaciones por caso, sometidos a VIV
Espectro No 1
Espectro No 14
Espectro No 27
Espectro No 40
42
4.5.3 Análisis dinámico para CU-85
Los 52 espectros se muestran en el anexo 3. Como ejemplo representativo se muestran los espectros 1, 14, 27, 40 para el registro CU-85. Ver la fig. 4.6
a b
c d Fig 4.6.- Espectros de Respuesta de desplazamientos para 1500 Simulaciones por caso, sometidos a CU
Espectro No 1
Espectro No 14
Espectro No 27
Espectro No 40
43
4.6 Análisis de los resultados
4.6.1 Análisis de resultados para SCT-85 Excentricidades de Normativa vigente
La tabla 4.9 muestra los valores de los factores empleados en la excentricidad de diseño en algunos Reglamentos.
Tabla 4.9 Valores del factor por excentricidad accidental en Códigos
internacionales
Para el caso de la comparación de los espectros de respuesta para las siguientes excentricidades:
a) Excentricidad Nula b) Excentricidad del 0.10b c) Excentricidad del 0.05b
De comparar los espectros de respuesta de dichas excentricidades para las relaciones de aspecto de 0.25, 0.50, 0.75 y 1.00 con una omega dada desde 0.40, 0.50, ….. hasta 1.60, se tiene la variación con respecto al valor obtenido con la excentricidad nula, y es mostrada en la tabla 4.10, de acuerdo con lo que se observa en las gráficas de la figura 4.7
Tabla 4.10 Relación de la respuesta torsional con excentricidad del 0.10b y 0.05b,
respecto al obtenido con excentricidad Nula, para el registro SCT
44
Fig. 4.7 Comparación de espectros de respuesta con excentricidades de 0.10b, 0.05b y Nula para el registro sísmico SCT-85 con distintos valores de omega y las relaciones de aspecto de 0.25, 0.50, 0.75 y 1.00
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
45
CONCLUSIONES
Se presentan las siguientes conclusiones:
a) Cuando la relación de aspecto r crece, la respuesta torsional disminuye y tiende a acercarse a la respuesta con excentricidad nula. Independientemente del periodo traslacional del sistema.
b) Así por ejemplo, para una relación de frecuencias 6.1=Ω , con 0.10 b, el orden de la respuesta torsional con respecto a la respuesta sin torsión pasa de 20% a 11% para la relación de aspecto de 0.25 a 1.00 respectivamente.
c) Así por ejemplo, para una relación de frecuencias 6.1=Ω , con 0.10 b, el orden de la respuesta torsional con respecto a la respuesta sin torsión pasa de 20% a 11% para la relación de aspecto de 0.25 a 1.00 respectivamente.
d) Para una relación de frecuencias 6.1=Ω , con 0.05b, el orden de la respuesta torsional con respecto a la respuesta sin torsión pasa de 11% a 6% para la relación de aspecto de 0.25 a 1.00 respectivamente. Independientemente del periodo traslacional del sistema.
e) Cuando la relación de frecuencias es mayor que 1 y esta tiende crecer, la respuesta torsional disminuye y tiende a ser similar a la respuesta con excentricidad nula.
f) Por ejemplo, para una relación de aspecto de 0.50 y con 0.10b se tiene la respuesta torsional para 40.0=Ω , es 3.74 veces la respuesta sin torsión y para 60.1=Ω es de 1.17 veces. Excentricidades simuladas
Para el caso de la comparación de los espectros de respuesta para las siguientes excentricidades:
a) Excentricidad nula b) Excentricidad simulada
La respuesta sísmica torsional por incertidumbre de la masa, se estima por la esperanza del valor máximo del desplazamiento en los bordes B-1 y B-2, así como, se obtiene la desviación estándar correspondiente. En la figura 4.8, muestran la esperanza y desviación estándar correspondiente para compáralos con la respuesta espectral nula, en base con los datos numéricos de la tabla 4.11 para 1500 simulaciones de edificio 10x20 sometidos al sismo SCT-85 para valores de:
40.0=Ω 25.0=r 00.1=β
46
Tabla 4.11 Respuesta sísmica torsional para 1500 sim. SCT, edificio 10X20, omega 0.40
y beta 1.00
(a) (b)
(c) ( c ) Fig. 4.8 Respuesta torsional sísmica para 1500 simulaciones para SCT; edificio 10x20; omega 0.40; beta 1.00
47
De la observación de las respuestas sísmicas inciertas sometidas al registro SCT, se tiene:
a) Relación de aspecto r Dada una relación de aspecto definida, la respuesta torsional decrece tendiendo a ser similar a la respuesta con excentricidad nula, si la relación de frecuencias aumenta por arriba de 1. Además, se tiene que para relaciones de frecuencia bajas (0.40, 0.50, 0.60 y 0.70), la respuesta torsional simulada para sistemas con periodos menores a 1.50 s, rebasa inclusive la respuesta torsional con excentricidades del 0.10 b . Para periodos mayores de 1.50 s , la respuesta torsional simulada es similar a la respuesta con excentricidad nula. Ver fig 4.9 para un periodo de 1.0s y relación de aspecto de 0.50. (a) (b) Fig.4.9 Respuesta sísmica incierta para una relación de frecuencias de 0.75 y 1.00 y periodo de 1.0s, con registro SCT
48
Para relaciones de frecuencia intermedias (0.80, 0.90, 1.00, 1.10 y 1.20), la respuesta torsional simulada para sistemas con periodos entre 1.50s y 3.5s rebasa la respuesta con excentricidad nula, pero es menor que la respuesta con excentricidad de 0.05b. Teniendo para el resto de los periodos, la respuesta torsional simulada es similar a la respuesta con excentricidad nula. Para relaciones de frecuencia altas (1.20, 1.30, 1.40, 1.50 y 1.60), la respuesta torsional simulada para sistemas con periodos mayores a 3.5s rebasa la respuesta con excentricidad nula, y son ligeramente mayores que la respuesta torsional con excentricidad de 0.05b. Teniendo para el resto de los periodos, la respuesta torsional simulada es similar a la respuesta con excentricidad nula. Es de observase en general, que para 70.0<Ω , las respuestas torsionales con excentricidades de 0.05b y periodos mayores a 1.5s, son conservadoras con respecto a la respuesta torsional simulada, sin embargo, para periodos menores a 1.5s , la respuesta torsional con excentricidad de 0.10 es insuficiente para considerar la respuesta torsional por masa incierta.
b) Relación de frecuencia Ω Dada una relación de frecuencias definida, la respuesta torsional decrece si la relación de aspecto aumenta y es igual a 1.00 , con el comportamiento definido líneas arriba.
c) Factor de carga β En general cuando el factor de carga viva aumenta, la respuesta torsional simulada disminuye.
4.6.2 Análisis de resultados para VIV-85 Excentricidades de Normativa vigente
Se observa un comportamiento idéntico con respecto al caso con SCT, al comparar las respuestas torsionales con excentricidades de 0.10b y 0.05b, respecto a la respuesta con excentricidad nula, por lo que aplican las mismas conclusiones.
Excentricidades simuladas
Para el caso de la comparación de los espectros de respuesta para las siguientes excentricidades:
a) Excentricidad nula b) Excentricidad simulada
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De la observación de las respuestas torsionales inciertas para el registro VIV, tienen en general un comportamiento similar al obtenido con SCT, con las siguientes excepciones Para periodos largos entre 3.5s a 4.5s, con relaciones de aspecto de 0.25 y 0.50 , relaciones de frecuencias entre 1.1 a 1.4, las respuestas torsionales inciertas son mayores inclusive de la respuesta torsional con excentricidad de 0.10b. Ver fig. 4.10
Fig.4.10 Respuesta sísmica incierta para una relación de aspecto de 0.50; periodo de 3.6 s y registro VIV
Para todos los demás casos, la respuesta torsional incierta es ligeramente mayor a la respuesta con excentricidad nula, pero menor que la respuesta torsional con excentricidad de 0.05 b 4.6.3 Análisis resultados para CU-85
Excentricidades de Normativa vigente
Se observa un comportamiento idéntico con respecto al caso con SCT, al comparar las respuestas torsionales con excentricidades de 0.10b y 0.05b, respecto a la respuesta con excentricidad nula, por lo que aplican las mismas conclusiones.
Excentricidades simuladas
Para el caso de la comparación de los espectros de respuesta para las siguientes excentricidades:
c) Excentricidad nula d) Excentricidad simulada
De la observación de las respuestas inciertas para el registro CU, tienen en general un comportamiento similar al obtenido con SCT, con las siguientes comentarios,
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Las respuestas torsionales inciertas son ligeramente mayores que la respuesta con excentricidad nula, pero en general no rebasan la respuesta torsional con excentricidad del 0.05b. con excepción cuando la estructura tiene periodos entre 2.5s y 4.0, si la relación de frecuencias esta dentro del rango de 1.10 a 1.3 y la relación de aspecto es de 0.25 y 0.50. En dichos casos los valores de la respuesta incierta rebasan ligeramente al obtenido con una excentricidad de 0.10b. Ver fig. 4.11 , para periodo de 3 s
Fig.4.11 Respuesta sísmica incierta para una relación de aspecto de 0.50; periodo de 3s y registro VIV
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
• En general se observa que la relación de frecuencias Ω , sobre todo menores que 1.00, debe de ser considerada para definir en términos prácticos, la excentricidad accidental a utilizar, sobre todo, cuando las relaciones de aspecto del edificio están en el rango de 0.25 a 0.50.
• Establecer una excentricidad accidental única independientemente del valor de
Ω , lleva a obtener resultados en unos casos subestimados y en otros sobrestimados con respecto a la respuesta torsional incierta. Aún para valores de 0.10b y de 0.05b
• Lo anterior se acentúa, cuando las estructuras están desplantadas en terreno
blando.
• Otra variable de interés es el destino del piso, ya que la variación espacial de la carga viva, es muy diferente, si el edificio es de oficinas o si es de aulas, o de bibliotecas, entre otros.
• Además, la proporción de la carga viva, con respecto a la carga muerta, también
influye en la torsión. Entonces habrá de fijar la excentricidad accidental en función del destino del piso.
51
• Es importante establecer que la variación de la carga viva, fue simétrica, sin embargo la relación de aspecto de la planta del edificio, influyo en la respuesta torsional incierta. Para fijar más la influencia de este factor, se recomienda realizar una variación espacial en las dos direcciones.
• Para determinar analíticamente, recomendaciones sustentadas y realistas, será necesario realizar simulaciones variando el tamaño del edificio.
• Así como, realizar la simulación de variables aleatorias utilizando otro
algoritmo para generar números aleatorios.
• Inclusive, realizar la simulación de la masa estructural totalmente en las dos direcciones de planta del edificio.
52
BIBLIOGRAFIA
1. Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo”, Gaceta Oficial, Ciudad
de México, México, 2004
2. IBC, “International Building Code”, International Code Council Inc., Birmingham, AL, USA, 2008.
3. Peir, JC. and Cornell, C.A. “Spatial and Temporal Variability of Live Load” Journal of Structural Division, ASCE, Vol.95 No ST5, May 1973, pp 903 -922
4. JCSS “Joint Committee on Structural Safety” Probabilistic Model Code , Ghent University, Belgium, 2002
5. Hasofer, A.M. “Statistical Model for Live Floor Load” Journal of Structural Division, ASCE, Vol.94 No ST10, Oct. 1968, pp 2183-2196
6. Vanmarcke E. (1983) Random Fields : Analysis and Synthesis, The MIT Press, Cambridge.
7. Corotis R. B. and Doshi V. A. “Probability Models for Live Load Survey Results” Journal of Structural Division, ASCE, Vol.103 No ST6, June 1977, pp 1257 -1273
8. Gentle, J. E. Random Number Generation and Monte Carlo Methods , Springer, 2000
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ANEXOS ANEXO 1. 52 espectros para el registro SCT
Espectro 1
Espectro 14
Espectro 2
Espectro 15
Espectro 3
Espectro 16
Espectro 4
Espectro 17
54
Espectro 5
Espectro 18
Espectro 6
Espectro 19
Espectro 7 Espectro 20
Espectro 8
Espectro 21
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Espectro 9
Espectro 22
Espectro 10
Espectro 23
Espectro 11
Espectro 24
Espectro 12
Espectro 25
56
Espectro 13
Espectro 26
57
Espectro 27
Espectro 40
Espectro 28
Espectro 41
Espectro 29
Espectro 42
Espectro 30
Espectro 43
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Espectro 31
Espectro 44
Espectro 32
Espectro 45
Espectro 33
Espectro 46
Espectro 34
Espectro 47
59
Espectro 35
Espectro 48
Espectro 36
Espectro 49
Espectro 37
Espectro 50
Espectro 38
Espectro 51
60
Espectro 39
Espectro 52
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ANEXO 2. 52 espectros para el registro VIV
Espectro 1
Espectro 14
Espectro 2
Espectro 15
Espectro 3
Espectro 16
Espectro 4
Espectro 17
62
Espectro 5
Espectro 18
Espectro 6
Espectro 19
Espectro 7
Espectro 20
Espectro 8
Espectro 21
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Espectro 9
Espectro 22
Espectro 10
Espectro 23
Espectro 11
Espectro 24
Espectro 12
Espectro 25
64
Espectro 13
Espectro 26
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Espectro 27
Espectro 40
Espectro 28
Espectro 41
Espectro 29
Espectro 42
Espectro 30
Espectro 43
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Espectro 31
Espectro 44
Espectro 32
Espectro 45
Espectro 33
Espectro 46
Espectro 34
Espectro 47
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Espectro 35
Espectro 48
Espectro 36
Espectro 49
Espectro 37
Espectro 50
Espectro 38
Espectro 51
68
Espectro 39
Espectro 52
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ANEXO 3. 52 espectros para el registro CU
Espectro 1
Espectro 14
Espectro 2
Espectro 15
Espectro 3
Espectro 16
Espectro 4
Espectro 17
70
Espectro 5
Espectro 18
Espectro 6
Espectro 19
Espectro 7
Espectro 20
Espectro 8
Espectro 21
71
Espectro 9
Espectro 22
Espectro 10
Espectro 23
Espectro 11
Espectro 24
Espectro 12
Espectro 25
72
Espectro 13
Espectro 26
73
Espectro 27
Espectro 40
Espectro 28
Espectro 41
Espectro 29
Espectro 42
Espectro 30
Espectro 43
74
Espectro 31
Espectro 44
Espectro 32
Espectro 45
Espectro 33
Espectro 46
Espectro 34
Espectro 47
75
Espectro 35
Espectro 48
Espectro 36
Espectro 49
Espectro 37
Espectro 50
Espectro 38
Espectro 51
76
Espectro 39
Espectro 52