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Título: Ingeniero de Materiales

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE DE INGENIEROS INDUSTRIALES

ASIGNATURA: DISEÑO Y CÁLCULO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS CÓDIGO: 4964

DEPARTAMENTO: INGENIERÍA MECÁNICA Y DE MATERIALES

ÁREAS DE CONOCIMIENTO: INGENIERÍA MECÁNICA

DESCRIPTORES DEL BOE: Criterios de fallo estáticos y dinámicos. Métodos numéricos en diseño mecánico. Elementos de máquinas: árboles y ejes, elementos de transmisión, de soporte, etc. Uniones soldadas y pegadas.

Curso: 2B Optativa intensificación 1 Créditos: 10.0

OBJETIVOS GENERALES

Presentar la aplicación del método de los elementos finitos al diseño de componentes de máquinas mecánicas, indicando como formularlo e implementarlo en un programa como el Mathematica, resolviendo el problema de la tensión plana; Y adquirir alguna experiencia en el manejo del abanico de programas comerciales de elementos finitos disponibles actualmente en el mercado, poniendo especial énfasis en los dos que se consideran fundamentales, el “ANSYS CLASSIC” y el “NASTRAN FOR WINDOWS”.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS. CAPACIDADES Y DESTREZAS

Obj. 1

w Facilitar el contacto del alumno con el mundo de los elementos finitos aplicados al diseño de componentes mecánicos, presentando los conceptos básicos, muchos ejemplos de aplicación representativos, y los nombres de los códigos comerciales disponibles para poder utilizar esta técnica de forma práctica.

Obj. 2

w Proporcionar breves y sencillas recomendaciones sobre el uso de los programas comerciales de elementos finitos. w Comentar la importancia que posee que los elementos que se utilicen en un determinado análisis, tengan todos ellos un aspecto regular.

w Indicar donde y porque conviene que la malla sea mas densa, y donde conviene lo contrario. Indicando la idea básica que las cargas que se consideren únicamente pueden aplicadas en los nodos que constituyen la malla.

w Presentar la importancia que el análisis tiene la elección de unas condiciones de contorno adecuadas para suprimir los denominados “modos de cuerpo rígido”, así como la importancia que tiene el hecho de aprovechas las simetrías que el modelo a analizar posea.

Obj. 3

w Con el fin de poder mostrar como se formula el método de los elementos finitos, se presenta el problema de la tensión plana, y se muestran las simplificaciones que se consideran para poder resolverlo con esta técnica. w Se proporciona una descripción de cada una de las fases de que consta la aplicación de la técnica, y se presenta de forma general las ecuaciones que van a permitir formular la pieza básica del método, el elemento finito adecuado para cada tipo de análisis.

Obj. 4 w Presentar todo lo relacionado con la formulación directa del elemento triangular de deformación constante, así como de que forma la aplicación informática “Mathematica” nos puede facilitar la comprobación experimental de este elemento.

Obj. 5

w Presentar los conceptos fundamentales en los que se basan la formulación de cualquier elemento hoy en día, a saber: la representación isoparamétrica y la cuadratura numérica. Mostrar como el programa “Mathematica” nos facilita la experimentación de ambos conceptos en la formulación de nuevos elementos.

Obj. 6

w Mostrar como formular los elementos cuadriláteros isoparamétricos, presentando todos los conceptos necesarios para llevar a cabo esa formulación, utilizando el entorno proporcionado por “Mathematica” para comprobar experimentalmente los módulos generados en base a aquellos conceptos.

Obj. 7

w Mostrar de una forma sistemática como construir las funciones de forma que se utilizan para llevar a cabo la interpolación necesaria en la formulación de cada elemento finito, aplicándola a nuevos elementos, utilizando el entorno de “Mathematica” para facilitar la comprobación experimental de los métodos presentados.



OBJETIVOS ESPECÍFICOS. CAPACIDADES Y DESTREZAS (CONTINUACION)

Obj. 8

w Indicar la importancia que tiene en el proceso de formulación de elementos, el asegurar se cumplan los requerimientos de convergencia que se ha demostrado son básicos para la correcta formulación del método. Mostrando los aspectos matemáticos que conllevan, utilizando el programa “Mathematica” para comprobar experimentalmente las condiciones que se han de cumplir. w Presentar el problema matemático que se tiene que resolver numéricamente para poder llevar a cabo cualquier análisis, y mostrar algunos de los métodos que utilizan los códigos comerciales disponibles.

Obj. 9

w Presentar de forma estructurada una posible forma de implementar computacionalmente el método de los elementos finitos para la resolución del problema de la tensión plana, utilizando el entorno que proporciona “Mathematica”. w Realizar los experimentos numéricos necesarios, para comprobar que la implementación llevada a cabo cumple las expectativas, indicando aquellos detalles importantes a tener en cuenta en el proceso.

Obj. 10

w Realizar los experimentos numéricos necesarios, para comprobar que la implementación computacional realizada con “Mat hematica”, da los mismos resultados que los que se obtienen con los códigos de elementos finitos utilizados, mostrando como intercambiar los datos entre los programas, y como comparar los resultados obtenidos con ellos.

Obj. 11

w Adquirir experiencia en el manejo de las aplicaciones informática “ANSYS CLASSIC” y “NASTRAN FOR WINDOWS”. Programa de análisis por elementos finitos de propósito general, pero poniendo atención exclusivamente en los aspectos relacionados con el comportamiento resistente de los sistemas mecánicos.

Obj. 12

w Adquirir cierta experiencia en al manejo de la aplicación informática “SOLIDWORKS” junto con la denominada “COSMOS WORKS”. Estos dos programas presentan juntos la ventaja de facilitar una primera toma de contacto con el análisis por elementos finitos de piezas que han sido creadas con el programa de CAD citado, sin salir de este último programa.

Obj. 13

w Adquirir cierta experiencia en al manejo de la aplicación informática “MSC Visual Nastran Desktop”. Programa que presenta la ventaja de combinar la simulación cinemática y dinámica de mecanismos espaciales, con la simulación resistente de los componentes que los constituyen.

w Adquirir cierta experiencia en al manejo de la aplicación informática “ANSYS WORKBECH”. Programa pionero en facilitar el contacto con la técnica de análisis por elementos finitos, al proporcionar una interfase con el usuario amigable, bien estructurada, y cuyas capacidades se van ampliando versión a versión, en el entorno del programa ANSYS.

Obj. 14

w Adquirir cierta experiencia en al manejo de las aplicaciones informáticas que permiten combinar la simulación cinemática y dinámica de mecanismos espaciales, con la simulación resistente de los componentes que los constituyen. Por una parte la denominada “MSC Visual Nastran Desktop”, y por otra la denominada “MOTION WORKS”, que es un módulo adicional del programa de CAD SOLIDWORKS, que esta basado en el clásico programa denominado “ADAMS” de simulación de mecanismos, y que permite transferir el modelo a este último programa, dotado de muchos mas recursos para la simulación real del dispositivo.

DESARROLLO DE LA ASIGNATURA

Semana Nº UNIDADES TEMATICAS

1ª PARTE SIMULACION CON ELEMENTOS FINITOS 1 LM 1ª Simulación con Elementos Finitos. Presentación y Conceptos Básicos. 1 PA 1ª Presentación programas SOLIDWORKS y COSMOS WORKS (1 de 3) 1 PL 2ª Introducción al Análisis en 2D y 3D con ANSYS. Uso de la “Mechanical Tool Bar”. 1 TB 1º Programas basados en el MEF y sus Aplicaciones. Uso de INTERNET. 2 LM 2ª Simulación con Elementos Finitos. Recomendaciones y Simplificaciones. 2 PA 2ª Presentación programas ANSYS y NASTRAN (2 de 3). 2 PL 2ª Introducción al Análisis en 2D y 3D con NASTRAN. Modelos CAD y Mallado. 2 TB 2º Resolución de Ejercicios Propuestos sobre Simulación con EF.

2ª PARTE FORMULACION DEL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS



3 LM 3ª Problema Tensión Plana. 3 PA 3ª Presentación programas ANSYS y NASTRAN (3 de 3). 3 PL 3ª Introducción al Análisis en 2D y 3D con ANSYS. Modelos CAD y Mallado. 3 TB 3º Resolución de Ejercicios Propuestos sobre Problema Tensión Plana. 4 LM 4ª Elemento Triangulo Lineal de Deformación Constante. 4 PA 4ª Utilización programa “Mathemática” en Formulación Elemento Triangular (1 de 2). 4 PL 4ª Introducción al Análisis en 2D y 3D con NASTRAN. Mallado “Mapeado”. 4 TB 4º Resolución de Ejercicios Propuestos sobre Elemento Triangulo Lineal. 5 LM 5ª Representación Isoparamétrica. 5 PA 5ª Utilización programa “Mathemática” en Formulación Elemento Triangular (2 de 2). 5 PL 5ª Introducción al Análisis en 2D y 3D con ANSYS. Mallado “Mapeado”. 5 TB 5º Resolución de Ejercicios Propuestos sobre Representación Isoparamétrica. 6 LM 6ª Cuadriláteros Isoparamétricos. 6 PA 6ª Utilización “Mathemática” en Formulación Cuadrilátero Isoparamétrico. 6 PL 6ª Análisi s en 2D con NASTRAN, incluyendo la creación del Modelo Geométrico. 6 TB 6º Resolución de Ejercicios Propuestos sobre Cuadriláteros Isoparamétricos. 7 LM 7ª Funciones de Forma. Su Magia. 7 PA 7ª Utilización programa “Mathemática” en Formulación Funciones de Forma. 7 PL 7ª Análisis en 2D con ANSYS, incluyendo la creación del Modelo Geométrico. 7 TB 7º Resolución de Ejercicios Propuestos sobre Funciones de Forma. 8 LM 8ª Requerimientos de Convergencia y Solución de Ecuaciones en el MEF. 8 PA 8ª Utilización “Mathemática” en Convergencia y Solución de Ecuaciones. 8 PL 8ª Análisis en 3D con ANSYS y NASTRAN, incluyendo la creación del Modelo. 8 TB 8º Resolución de Ejercicios Propuestos sobre Convergencia y Solución Ecuaciones.

3ª PARTE IMPLEMENTACION COMPUTACIONAL DEL METODO DE ELEMENTOS FINITOS 9 LM 9ª Implementación Computacional Cuadrilátero Isoparamétrico. 9 PA 9ª Utilización “Mathemática” para la Formulación del Cuadrilátero Isoparamétrico. 9 PL 9ª Montaje y Análisis con “Working Model 3D” Mecanismo del Atlas “Artobolevski”. 9 TB 9º Resolución de Ejercicios Propuestos sobre Implementación Cuadriláteros. 10 LM 10ª Implementación Computacional Triángulo Isoparamétrico. 10 PA 10ª Utilización “Mathemática” para la Formulación del Triángulo Isoparamétrico. 10 PL 10ª Análisis por EF con NASTRAN y ANSYS de Mecanismo 3D del Atlas “Artobolevski” 10 TB 10º Resolución de Ejercicios Propuestos sobre Implementación Triángulos. 11 LM 11ª Implementación Computacional Solución Problema Tensión Plana. 11 PA 11ª Utilización “Mathemática” para la Solución Problema Tensión Plana. 11 PL 11ª Análisis 2D por EF con ANSYS y con Programa Tensión Plana en “Mathematica”. 11 TB 11º Implementación del Triangulo de Seis Nodos con “Matemática”.

EJERCICIOS AUTOEVALUACION TEORIA 12 Conocimientos Teóricos Contenidos Asignatura (Prueba Tipo Test)

EJERCICIOS AUTOEVALUACION PRACTICAS 12 Comparación Análisis por EF 2D con ANSYS y Programa en “Mathematica". 13 Análisis EF Modelos 2D y 3D con ANSYS y NASTRAN. Comparación Resultados. 13 Obtención de Mallas “Mapeadas” con ANSYS y NASTRAN en Modelos CAD.



CONTENIDOS DE LAS LECCIONES MAGISTRALES, PRACTICAS DE AULA Y DE LABORATORIO ---------------------------- 1ª PARTE – SIMULACION CON ELEMENTOS FINITOS ----------------------------

--- 1ª SEMANA --- Nº Título y descripción. D. A. OBJ.

LM 1ª

Simulación con Elementos Finitos. Presentación y Conceptos Básicos. Se presentan los objetivos de la asignatura, a saber: (1) Entender la teoría en la que se basa el Método de los Elementos Finitos; (2) Aprender a simular sistemas mecánicos mediante esta técnica; y (3) Adquirir experiencia en el uso de códigos de elementos finitos comerciales. Se acota el campo de aplicación de la asignatura a los sistemas elásticos, estáticos y lineales. Se proporciona un definición de “elemento finito”. Realizándose una breve revisión histórica citando a los personajes mas importantes en el desarrollo y la aplicación del método, así como cuando fue aplicada por primera vez en los distintos campos de la ingeniería. Se plantea en palabras sencillas en que consiste la técnica y porque es necesario utilizarla para simular los sistemas mecánicos. Se comentan a continuación algunas aplicaciones reales, mediante el uso de imágenes de los sistemas reales, y del modelo de elementos finitos utilizado para su simulación. Todas ellas tomadas de revistas de divulgación sobre estos temas, citando algunas de las mas habituales, presentando una primera página de las mismas para familiarizar al estudiante con este tipo de publicaciones, que contribuyen grandemente a la popularización de la técnica. Después se procede a realizar una revisión de los nombres comerciales de los códigos de elementos finitos que están o han estado disponibles en el mercado. Poniendo especial énfasis en los programas que se van a utilizar a lo largo de la asignatura: NASTRAN y ANSYS como programas específicos, y MATHEMATICA como programa para el desarrollo y la implementación del método. A continuación se procede a entrar en materia revisando: (1) La terminología asociada el Método de los Elementos Finitos (MEF); (2) Sus campos de aplicación; (3) Las propiedades de los elementos finitos; (4) Lo que define a dichos elementos, que se denominan “nodos”; (5) Una clasificación de los elementos finitos “mecánicos”; (6) Los denominados elementos finitos “primitivos”; (7) Los denominados “elementos finitos continuos”; y (8) se termina con las que se denominan “condiciones de contorno”.

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PA 1ª

Presentación programas SOLIDWORKS y COSMOS WORKS (1 de 3). Con el fin de presentar los programas comerciales disponibles para ser utilizados en la asignatura, en esta práctica de aula, se procede a simular el comportamiento mecánico de UNA pieza mecánica, concretamente una de los dos partes de una bisagra. Paraellos se presenta el modelo geométrico en “SOLIDWORKS”, se simula sin salir de este programa, utilizando el programa incorporado, denominado “COSMOS WORKS”. Se comenta las condiciones de la simulación, a saber: (1) Se trata de una sola pieza mecánica; (2) Inmovilizada adecuadamente, de tal manera que tiene una de sus caras absolutamente restringida; (3) Sobre ella actúa, en otra de sus caras, simulando el efecto de la otra parte de la bisagra en uso, una presión conocida; (4) Se conocen perfectamente las características del material de que esta hecha la pieza, que coinciden con las condiciones impuestas al plantear la asignatura: material elástica lineal. A continuación se procede a discretizar la pieza, es decir subdividirla en elementos finitos, utilizando los comando adecuados del programa COSMOS. Comentando como cambiar el tamaño de los elementos finitos que se van a generar. Seguidamente se proceder a resolver el problema matemático, y ha obtener los desplazamientos que ocurren en los nodos, en las condiciones de carga especificadas. Por último, se procede a visualizar la distribución de la tensión equivalente de Von Mises, y aquellas zonas en las que el material no aguantaría, una vez especificadas las condiciones límites de resistencia del material.

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PL 1ª

Introducción al Análisis en 2D y 3D con ANSYS. Uso de la “Mechanical Tool Bar”. Con el fin de familiarizar al alumno con uno de los programas mas importantes en la asignatura, el programa “ANSYS CLASSIC”, y dado que debido a la cantidad de opciones que posee resulta ligeramente incomprensible en un contacto inicial, en esta práctica de laboratorio, siguiendo un guión, se procede a comenzar a adquirir práctica con el uso de programa. Para ello se utiliza la denominada “Mechanical Tool Bar” (MTB) del programa, que es un procedimiento que permite utilizar este programa por primera

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vez sin “perderse” por los distintos menús que lo componen. Se pretende cubrir la funcionalidad básica de dicha herramienta, realizando una análisis real. Antes de cada una de los pasos que constituyen el guión citado, se comentan los comandos que se van a utilizar así como el porque se están utilizando. El ejercicio elegido se considera como un problema sencillo, que se analizara por completo dentro del entorno de la MTB, y requerirá un mínimo de entrada de datos durante el progreso por los distintos pasos del proceso hasta llegar a la solución. Se procederá a importarlo desde como modelo CAD, a mallarlo utilizando la opción de “mallado inteligente”, que presupone que el propio programa selecciona los tamaños de elemento en las distintas zonas de la pieza. Las condiciones de contorno a utilizar también serán de las más sencillas, aplicadas en áreas, así como las condiciones de carga. El análisis se realiza sobre un modelo geométrico 3D del soporte del eje de una de las ruedas delanteras de un automóvil, y previamente ya ha sido convenientemente preparado para eliminar aquellos detalles constructivos que tienen poca importancia en el análisis, con el fin de facilitar la construcción del modelo de elementos finitos. Se utilizará la MTB para determinar la localización de los desplazamientos y de las tensiones máximas, así como para comprobar si el citado eje puede soportar las cargas consideradas sin adquirir deformaciones excesivas.

TB 1º

Programas basados en el MEF y sus Aplicaciones. Uso de INTERNET. Con el fin de familiarizar al alumno con los recursos que sobre el método se disponen en la “red”, se les propone como primer trabajo individual el que localicen en “Internet” programas basados en el MEF, recopilando una breve reseña sobre cada uno de ellos; así como que encuentren algunas aplicaciones del método a problemas mecánicos, y que las resumen y las presenten adecuadamente.

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CONTENIDOS DE LECCIONES MAGISTRALES, PRACTICAS AULA Y DE LABORATORIO (CONT.) --- 2ª SEMANA ---

Nº Título y descripción. D. A. OBJ.

LM 2ª

Simulación con Elementos Finitos. Recomendaciones y Simplificaciones. La presente lección comienza proporcionando algunas breves y sencillas recomendaciones sobre el uso de los programas comerciales de elementos finitos. Seguidamente se indica de forma genérica, dependiendo de la forma geométrica del modelo que se pretende analizar, en que lugares los elementos deberían ser más pequeños. Se comenta que los elementos que se utilicen tienen que tener una relación de aspecto adecuada, debiéndose evitar el uso de elementos distorsionados. Se indica que si no se controla con cuidado la generación de la malla con estos programas, es muy habitual que aparezcan elementos distorsionados. Para orientar sobre el uso de los distintos tipos de elementos, se indica según la forma geométrica del elemento, cuales son más recomendables, si es posible utilizarlos. Con el fin de insistir sobre el tema de la aplicación de las cargas, se comentan dos procedimientos inmediatos de conversión de cargas distribuidas a cargas nodales equivalentes: el método NODO a NODO; y el ELEMENTO a ELEMENTO. Seguidamente se procede a tratar el tema de las condiciones de contorno. Se distingue entre condiciones de contorno ESENCIALES y NATURALES. Se insiste especialmente en lo que se denomina “supresión de modos de cuerpo rígido”, tanto en problemas bidimensionales como en problemas tridimensionales, proporcionando ejemplos. Con el fin de simplificar los modelos de elementos finitos que se utilicen se comenta la posibilidad de aprovechar las simetrías y antisimétrias que existan, indicando como definir las condiciones de contorno y las cargas en cada caso. Se comentan las que se denominan: simetría refl exiva, simetría rotacional, simetría dihedrica, y simetría translacional, así como la axisimetría.

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PA 2ª

Presentación programas ANSYS y NASTRAN (2 de 3). Siguiendo con la presentación de los programas comerciales disponibles, en esta práctica de aula, se procede a simular el comportamiento mecánico de la misma pieza mecánica que se analizó en la práctica anterior, pero utilizando, en primer lugar el programa denominado “ANSYS WORKBECH”, y en segundo lugar el denominado “VISUAL NASTRAN DESKTOP”. El primero desarrollado por la compañía Ansys, y el segundo por la compañía MSC. Se realiza el mismo proceso que siguió en la práctica anterior, adecuado a las peculiaridades de cada uno de los programas, insistiendo especialmente en la definición del problema en las mismas unidades, y en la definición

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exacta de las características del material, dado que cada uno de estos programas tiene una librería de materiales, en las que existen discrepancias evidentes. Al final del análisis con cada uno de estos programas se procede a comparar los resultados, y hacer las modificaciones en la malla que sean necesarias para que los modelos sean comparables. Se comenta la posibilidad de utilizar una misma malla en todos los análisis. Por último, y para resaltar las posibilidades de simplificación que suponen la existencia de simetrías y/o de modelos geométricos tridimensionales que se pueden considerar planos definiendo el espesor, se compara la solución de una placa de dimensiones dadas, resuelta como modelo 3D, como modelo 3D aprovechando las simetrías, como modelo 2D con espesor, y como modelo 2D aprovechando las simetrías.

PL 2ª

Introducción al Análisis en 2D y 3D con NASTRAN. Modelos CAD y Mallado. Continuando con la utilización de programas de elementos finitos comerciales, en esta práctica de laboratorio se utiliza el programa “NASTRAN FOR WINDOWS” por primera vez por los alumnos. Para ello se dispone de un guión para la definición y el análisis de dos piezas. En ambas ocasiones de dispone de un modelo de la pieza a analizar, creado con un programa de CAD, y guardado en un formato de intercambio, tipo ACIS, PARASOLID, o STEP. En primer se procede a importar el modelo. A continuación se procede a definir las condiciones de contorno y las cargas, utilizando los comandos adecuados del programa, comenzando por parte del alumno la familiarización con el entorno de menús del programa. Finalmente se procede a mostrar los resultados de la forma más gráfica posible, mediante animaciones.

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TB 2º

Resolución de Ejercicios Propuestos sobre Simulación con EF Se proponen como ejercicios: (1) dada un modelo geométrico bidimensional, en el que están indicadas las condiciones de carga y los apoyos o condiciones de contorno, se trata de indicar en que lugares será necesario utilizar una malla de elementos finitos mas densa y porque razón; (2) dada una malla de elementos definida en un modelo bidimensional, en el que existe una zona de transición sin mallar, se trata de proponer posibles mallas para esa zona, de tal forma que sea coherente; (3) dada una distribución lineal de carga, en un modelo de elementos finitos de un problema bidimensional, definido en base a cuadriláteros de cuatro nodos, se trata de calcular las cargas nodales equivalentes mediante los dos procedimientos comentados; (4) dados varios problemas bidimensionales, en los que se proporciona la forma geométrica del mismo, y las cargas aplicadas, se trata de identificar las líneas de simetría y antisimetría que existen, si es posible o no aprovechar su existencia para reducir el tamaño del problema a mallar, y de proponer una posible malla para cada caso, indicando las condiciones de contorno y las cargas que se deberían considerar para resolver cada problema adecuadamente.

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CONTENIDOS DE LECCIONES MAGISTRALES, PRACTICAS AULA Y DE LABORATORIO (CONT.) --------------------- 2ª PARTE – FORMULACION DEL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS ---------------


LM 3ª

Problema Tensión Plana. Con el fin de plantear y resolver con elementos finitos un problema mecánico, en esta lección se comienza con el problema más sencillo bidimensional. En primer lugar se indica el aspecto que tiene el problema, las suposiciones físicas que se consideran en su definición, un posible modelo matemático, y que tensiones y que fuerzas se van a considerar. Llegados a este punto, se esta en condiciones se indicar con detalle el planteamiento del problema que se quiere resolver, los datos de los que se parte, las condiciones de contorno que se consideran, las relaciones matemáticas a aplicar para relacionar desplazamientos, tensiones, deformaciones y las fuerzas internas. Así como las ecuaciones, que al relacionar todas estas magnitudes, permiten resolver el problema, al menos desde un punto de vista teórico. Por que la realidad es que tal y como se plantea el problema, es matemáticamente imposible de resolver a no ser que se consideren ciertas simplificaciones. Es precisamente por esta razón, por la que se introduce la simplificación de suponer que las condiciones de contorno, en lugar de tener que cumplir “punto a punto”, tengan que cumplirse únicamente en “promedio”. Y que para ello un de los principios que se puede utilizar es el de la energía potencial total mínima en el equilibrio. Se procede a presentar este principio, y a indicar como altera su uso el planteamiento del problema, y porque es posible llegar a resolverlo realizando una

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subdivisión del dominio original en subdominios cuya forma geométrica sea simple, lo que se llaman elementos finitos. Seguidamente se indica: (1) en que consiste la “discretización” del problema; (2)que relación existe entre los denominados “nodos” y la geometría; (3) cual van a ser a partir de ahora las incógnitas del problema (desplazamientos en los nodos); (4) como vamos a poder averiguar los desplazamientos en cualquier punto del interior del elemento a partir de ellos mediante lo que se denomina interpolación; (5) que condiciones han de cumplir las denominadas “funciones de forma”, o funciones de interpolación; (6) y como se obtendrán las deformaciones y las tensiones. Seguidamente se indican las ecuaciones que van a permitir plantear las ecuaciones de un elemento finito, y como a partir de ellas, utilizando el principio citado, es posible plantear las ecuaciones que definen la denominada “matriz de rigidez del elemento”, y el “vector de fuerzas nodales consistentes”.

PA 3ª

Presentación programas ANSYS y NASTRAN (3 de 3). Siguiendo con la presentación de los programas comerciales disponibles, en esta práctica de aula, se procede a simular el comportamiento mecánico de la misma pieza mecánica que se analizó en las prácticas anteriores, pero utilizando, en primer lugar el programa denominado “VISUAL NASTRAN FOR WINDOWS”, y en segundo lugar el denominado “ANSYS CLASSIC”. El primero desarrollado por la compañía MSC, y el segundo por la compañía ANSYS. Se realiza el mismo proceso que siguió en la práctica anterior, adecuado a las peculiaridades de cada uno de los programas, insistiendo especialmente en la definición del problema en las mismas unidades, y en la definición exacta de las características del material, dado que cada uno de estos programas tiene una librería de materiales, en las que existen discrepancias evidentes. Al final del análisis con cada uno de estos programas se procede a comparar los resultados, y hacer las modificaciones en la malla que sean necesarias para que los modelos sean comparables. Se comprueba como los programas presentados con lo que mas opciones tienen de todos los mostrados hasta ahora, indicando que estos serán principalmente los que se utilicen en la asignatura, para resolver los problemas que se traten, y que al final del cuatrimestre, una de pruebas de evaluación consistirá en demostrar personalmente el dominio de estos programas al nivel adecuado.

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PL 3ª

Introducción al Análisis en 2D y 3D con ANSYS. Modelos CAD y Mallado. Continuando con la utilización de programas de elementos finitos comerciales, en esta práctica de laboratorio se utiliza el programa “ANSYS CLASSIC” por segunda vez por los alumnos, pero en esta ocasión sin la sencillez que suponía la utilización de la “Mechanical Tool Bar”, utilizando directamente todos los menús disponibles. Para ello se dispone de un guión para la definición y el análisis de varias piezas. En todas las ocasiones de dispone de un modelo de la pieza a analizar, creado con un programa de CAD, y guardado en un formato de intercambio, tipo ACIS, PARASOLID, o STEP. En primer se procede a importar el modelo. A continuación se procede a definir las condiciones de contorno y las cargas, utilizando los comandos adecuados del programa, comenzando por parte del alumno la familiarización con el entorno completo de menús del programa. Finalmente se procede a mostrar los resultados de la forma más gráfica posible, mediante animaciones.

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TB 3º

Resolución de Ejercicios Propuestos sobre Problema Tensión Plana. Se proponen como ejercicios: (1) uno que pretende comparar los problemas denominados de “tensión plana” y de “deformación plana”, y como se puede transformar uno en otro, con lo que sólo será necesario programar uno de ellos para poder resolver ambos tipos; (2) otro en el que se pretende relacionar en la formulación de elementos finitos para materiales isotrópicos las denominadas “constantes de Lamé” con el denominado “Modulo de Elasticidad” y el “Coeficiente de Poisson”. Y como de esta manera el posible definir la “Matriz de Rigidez” del elemento en suma de dos, cada uno dependiente sólo de una de las dos constantes de Lamé; (3) otro en el que se revisanlas formas alternativas de plantear en elasticidad para el problema considerado, la energía de deformación por unidad de volumen, en función sólo de las tensiones, sólo de las deformaciones, o en función de ambas.

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LM 4ª

Elemento Triangulo Lineal de Deformación Constante. Con esta lección comienza la primera de las lecciones dedicadas a la definición de tipos de elementos finitos con los que se puede plantear y resolver el problema mecánico planteado en la lección anterior. En primer se comentar las razones por las que este elemento es tal popular, que fundamentalmente son debidas a la facilidad de generar mallas de triángulos de forma automática. Se comentan seguidamente, aquellos aspectos que distinguirán a este elemento del resto de los que describiremos y utilizaremos. A continuación se procede a su definición, indicando la importancia que el sentido de la numeración de sus nodos tiene en el signo del área calculada con la formula que se proporciona. Se presenta el sistema de coordenadas paramétrico que se utilizó en la primera definición histórica que se hizo de él, denominándose a sus coordenadas, coordenadas triangulares (CT). Se comentan los distintos nombres que se han utilizado para referirse a ellas a lo largo del tiempo, y como se definen, especificando la ecuación que relaciona estas coordenadas en cualquier punto del triángulo. Se indica como utilizarlas para formular una interpolación lineal de una función dentro del triangulo, a partir de los valores de esa función en los nodos. Se presentan: (1) las ecuaciones que permiten transformar las coordenadas triangulares en cartesianas; (2) como obtener las derivadas parciales en dicha transformación; (3) como obtener las derivadas parciales cartesianas de una función definida en coordenadas triangulares. Con todo lo citado anteriormente, esta todo listo para formular matemática el ELEMENTO TRIANGULAR LINEAL. Seguidamente se indica: (1) que la formulación de este elemento las funciones de forma son directamente las coordenadas triangulares; (2) como se realiza la interpolación de los desplazamientos; (3) como obtener las deformaciones a partir de los desplazamientos en los nodos; (4) como obtener las tensiones a partir de los citados desplazamientos; (5) como calcular la matriz de rigidez del elemento, el aspecto de dicha matriz de rigidez cuando el espesor es constante, y que elemento formuló Turner, en su famoso artículo, primero en el que se formuló un elemento finito; y (6) como calcular el vector de fuerzas nodales consistentes, citando la formula que permite agilizar el calculo de integrales en función de las CT.

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PA 4ª

Utilización programa “Mathemática” en Formulación Elemento Triangular (1 de 2). Se trata de la primer práctica de aula en la que se utiliza el programa Mathematica como ayuda para la realización de los cálculos necesarios para poder utilizar el método de los elementos finitos, manualmente, en lugar de a través de un programa comercial. En primer se presenta el programa, y sus características que lo hacen tan adecuado para estos menesteres. Se procede a formular: (1) la matriz de rigidez del elemento triangular lineal; (2) esta misma matriz modificada incorporando las condiciones de contorno; (3) el vector de fuerzas nodales consistentes; (4) este vector modificado con las condiciones de contorno; (5) el modulo que permitirá calcular las tensiones a partir de los desplazamientos nodales; (6) el módulo que permite resolver el problema; (7) el módulo que permite visualizar la malla; y (7) el módulo que permite representar una función definida en el elemento. Por último se consideran algunos ejemplos para comprobar el fu nncionamiento de los módulos comentados, generando automáticamente la malla de triángulos.

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PL 4ª

Introducción al Análisis en 2D y 3D con NASTRAN. Mallado “Mapeado”. Por tener una gran importancia para el éxito en el análisis de una pieza mecánica, la malla de elementos finitos que se utilice para su definición, en esta práctica se procede a realizar de una forma guiada el mallado de dos piezas tridimensionales con hexaedros. Técnica que se denomina “mallado regular” o “mapeado”, para distinguirla del denominado “mallado libre”, en el que usualmente se utilizan tetraedros. Se parte de las piezas definidas geométricamente, y preparadas para ser importadas en el programa. El desarrollo consiste en la subdivisión adecuada de dominio geométrico, para poder utilizar los comandos del programa que permiten generar estos tipos de elementos. Esta técnica tiene como principal ventaja el control que permite al usuario en la definición de elementos finitos con relaciones de aspecto adecuadas, y que el posible predecir “a

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priori” el número total de elementos que se generaran. Algo que la técnica de “mallado libre”, sea esta con tetraedros o con hexaedros, no permite.

TB 4º

Resolución de Ejercicios Propuestos sobre Elemento Triangulo Lineal. Se proponen como ejercicios: (1) obtener la matriz de rigidez de un elemento triangular, en el que su espesor esta definido utilizando como funciones de interpolación las coordenadas triangulares, a partir de los valores del espesor conocido en los nodos; (2) un ejercicio que pretende familiarizar al alumno con el uso de la función que permite calcular de forma exacta las integrales planteadas en CT, en triángulos de lados rectos; (3) calculo del vector de fuerzas nodales consistentes en un triángulo cuyo espesor esta definido en función de las CT, equivalente a una fuerza por unidad de volumen; (4) calculo del vector de fuerzas nodales consistentes en un triángulo de lados rectos, en uno de cuyo lados actúa una fuerza, tanto en x como en y, definida como interpolación mediante las CT; (5) obtención de los elementos de la matriz de rigidez de un elemento triangular dado, definido mediante sus coordenadas cartesianas de sus nodos, su matriz de material, y su espesor, constante. Se propone que una vez resuelto se programe con MATHEMATICA; (6) comprobación de la suma de una seria de filas y columnas de la matriz calculada en el ejercicio anterior, danto una explicación del porque; (7) Se propone para ser comprobada con Mathematica, una solución exacta de la integral sobre un triangulo de lado rectos, de una función polinómica, definida en CT; y (7) Se propone que se estudie y se utilice al módulo que define un elemento triangular lineal en Mathematica, que se haga un diagrama jerárquico, explicando el propósito de cada celda.

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LM 5ª

Representación Isoparamétrica. Comienza la lección indicando las dificultades que existen para extender la técnica presentada para formular el elemento triangular lineal en la lección anterior, a otros elementos. Se presentan los conceptos fundamentales que permiten superar estas dificultades: la representación isoparamétrica y la cuadratura numérica. Se presenta en que consiste el primero de esos conceptos: la representación isoparamétrica de los elementos finitos. Se revisan las ecuaciones que definen el elemento triangular lineal y como realizar una representación “superparamétrica” del mismo. Se indica como realizar una representación “isoparamétrica” del dicho elemento, extendiéndose esta idea para la representación de cualquier elemento. Una vez conocida la idea que subyace en este tipo de representación, se procede a extenderla a cualquier elemento bidimensional con n nodos, para el planteamiento del problema de la tensión plana. Se indica que es posible interpolar con esta técnica magnitudes adicionales, distintas de las ya conocidas: desplazamientos, deformaciones y tensiones. Se resume la representación isoparamétrica del elemento triangular lineal, y se presenta la del elemento triangular cuadrático. Se definen las coordenadas paramétricas que resultan mas útiles para su utilización en cuadriláteros, presentándose la representación paramétrica del cuadrilátero bilineal de 4 nodos, del cuadrilátero bicuadrático de 9 nodos, y la del cuadrilátero “serendípito” de 8 nodos.

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PA 5ª

Utilización programa “Mathematica” en Formulación Elemento Triangular (2 de 2). Para completar la práctica de aula comenzada en la sesión anterior, en esta sesión se sigue comprobando la utilidad de los módulos definidos en Mathematica para la formulación del elemento triangular lineal, con nuevos ejemplos de aplicación, en este caso leyendo la malla generada por los programas “ANSYS CLASSIC” y “NASTRAN FOR WINDOWS”, para los problemas considerados.

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PL 5ª

Introducción al Análisis en 2D y 3D con ANSYS. Mallado “Mapeado”. Se complementa la práctica de laboratorio anterior, en este caso usando el programa ANSYS para realizar de una forma guiada el mallado de dos piezas tridimensionales con hexaedros. Técnica que ya sabemos que se denomina “mallado regular” o “mapeado”, para distinguirla del denominado “mallado libre”, en el que usualmente se utilizan tetraedros. En este caso de procede a definir en primer lugar la pieza plana con los comandos que proporciona este programa, y a mallarla mediante la generación automática de cuadriláteros (mallado no estructurado) y a obtener su solución. En

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segundo lugar se importa el mismo modelo pero definido en el espacio mediante un programa de CAD. Se trata de una parte de una llanta. Y se procede a mallarlo libremente con tetraedros, y a obtener su solución. El tercer ejercicio consiste en la subdivisión adecuada del modelo plano, para poder definir elementos cuadriláteros de forma regular o “mapeada”, en obtener la solución, y compararla con la obtenida en el primer ejercicio. El cuarto y último ejercicio consiste en realizar la subdivisión adecuada en dominios con 6 caras del modelo tridimensional, para poder definir en él una malla de hexaedros de forma regular. Finaliza el ejercicio con la solución del problema, su comparación con los resultados del segundo ejercicio, y la extensión de los resultados para comprobarlos en la llanta completa, de forma gráfica.

TB 5º

Resolución de Ejercicios Propuestos sobre Representación Isoparamétrica. Se proponen como ejercicios: (1) Dar una explicación del sentido físico que se le puede dar al hecho que las funciones de forma por definición deben sumar uno en cualquier punto del elemento; (2) Comprobar que las funciones de forma definidas para el triángulo cuadrático de seis nodos, suman la unidad en cualquier punto del mismo; (3) A la vista de la lista incompleta presentada en la lección para las funciones de forma del cuadrilátero bicuadrático de nueve nodos, definir el resto de las funciones de forma, y comprobar que se verifica que la suma de todas ellas es la unidad en cualquier punto del elemento.

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LM 6ª

Cuadriláteros Isoparamétricos. Siguiendo con el planteamiento presentado en la lección previa, en esta lección en primer lugar se indican los pasos a seguir para poder formular elementos cuadriláteros. Se indica como calcular las derivadas parciales de las funciones de forma mediante el cálculo de las matrices jacobiana y su inversa. Se indica a continuación como calcular la matriz deformaciones desplazamientos, que permite calcular las tensiones en cualquier punto del elemento a partir del vector de los desplazamientos nodales. Debido a que para calcular la matriz de rigidez de este tipo de elementos, es necesario realizar la integral que la define de forma numérica, a continuación se presenta las reglas de integración numérica de Gauss. En primer las reglas para problemas unidimensionales, proporcionando un representación gráfica de las mismas. Se comentan aspectos sobre su utilización que deben tenerse en cuenta para que todo salga bien. Se proporciona una implementación de las mismas en términos de “Mathematica”. Seguidamente se presentan las reglas de Gauss para problemas bidimensionales, denominadas reglas del producto, por estar basadas en el producto de las reglas unidimensionales para los dosejes de coordenadas, proporcionado una representación geométrica de las mismas. Se proporciona una implementación de las mismas en términos de “Mathematica”. Con lo anterior se esta en condiciones de comentar como realizar el cálculo de la matriz de rigidez para este tipo de elementos. Se presenta como realizar este cálculo y se ofrece una interpretación geométrica del Determinante de la Matriz Jacobiana.

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PA 6ª

Utilización “Mathemática” en Formulación Cuadrilátero Isoparamétrico. Se proporciona un módulo para el calculo de matriz de rigidez, otro para el cálculo de las funciones de forma y sus derivadas, otro para las reglas de cuadratura de Gauss en dos dimensiones, y otro para las reglas de cuadratura de Gauss unidimensionales. Todos ellos programados en Mathematica. Se procede a realizar una explicación de cada uno de ellos haciendo referencia a las fórmulas que aparecieron a lo largo de la lección. Así como se explica el significado de los argumentos de cada módulo. Para terminar, se presenta el elemento sobre el que se van a plantear los ejercicios de la lección.

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PL 6ª

Análisis en 2D con NASTRAN, incluyendo la creación del Modelo Geométrico. Con el fin de seguir ganando experiencia en la utilización de los dos programas comerciales de elementos citados, en esta práctica de laboratorio se procede a definir de forma guiada un problema bidimensional mediante el programa “NASTRAN FOR WINDOWS”. El problema a analizar consiste en una placa plana con un agujero central, uniformemente tensionada. En el primer ejercicio, se comienza definiendo manualmente el material y las propiedades del elemento finito a utilizar. Curiosamente el programa “NASTRAN FOR WINDOWS”, dentro de su librería de elementos no dispone de

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elementos bidimensionales, con lo cual para este problema se hace necesario utilizar un elemento “placa”. A continuación se define manualmente la geometría de una cuarta parte de la placa, por existir simetrías tanto geométricas como de condiciones de contorno y de cargas. Y se genera la malla. Seguidamente se procede a aplicar las condiciones de contorno de simetría correspondientes, así como a restringir por completo un de los nodos para eliminar el modo de cuerpo rígido en dirección Z, permitido por el tipo de elemento (tridimensional) utilizado. Se procede a continuación, a aplicar cargas de presión y a convertirlas en cargas nodales equivalentes. El ejercicio termina resolviendo el problema, y comparando los resultados con los teóricos obtenidos de un libro de elasticidad. En el segundo ejercicio, se procede a analizar con mas detalle todos los resultados obtenidos con el programa, y a utilizar opciones avanzadas, como el calculo de las tensiones en los nodos esquinas del elemento, y a comparar las tensiones obtenidas en los elementos, con las tensiones promediadas que son las que se utilizan normalmente para presentar los resultados de forma continua gráficamente.

TB 6º

Resolución de Ejercicios Propuestos sobre Cuadriláteros Isoparamétricos Se proponen los siguientes ejercicios, para ser resueltos sobre el elemento cuadrilátero presentado en la práctica de aula, mediante los módulos de Mathematica allí comentados. Son los siguientes: (1) Se trata de calcular la matriz de rigidez, pero utilizando distintos puntos de Gauss para realizar la integración numérica, comprobando los modos de cuerpos rígido mediante el cálculo de los autovalores de la matriz. Y de explicar porque la utilización de una regla de grado 1 resulta inadecuada; (2) Se trata de comprobar los elementos de matriz de rigidez cuando por los datos que se consideran estos tienen unos valores simbólicos dados en la práctica de aula anterior.

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LM 7ª

Funciones de Forma. Su Magia. Comienza la lección comentando lo que suponen las funciones de forma en la historia del método, lo que le costo a las personas que las inventaron a lo largo de los años, y lo “mágicas” que parecen a los no iniciados. A continuación se presentan las condiciones que deben satisfacer la funciones de forma isoparamétricas, y se indica como llevar a cabo la construcción directa de las mismas. Con el fin de poner en práctica el método comentado, se procede a aplicarlo al elemento triangular lineal, al elemento triangular cuadrático, distinguiendo entre la construcción de las funciones de forma en los nodos esquina y los nodos intermedios, proporcionando una representación gráfica de las funciones obtenidas. Se aplica seguidamente el método directo al cuadrilátero de cuatro nodos, representado gráficamente las funciones obtenidas, y al cuadrilátero bicuadrático de nueve nodos, distinguiendo, de nuevo, entre los nodos esquina y los nodos en mitad de los lados, proporcionando una representación gráficas de las mismas. A continuación se aplica el método al elemento cuadrilátero “serendípito” de ocho nodos, distinguiendo entre los dos tipos de nodos existentes. Para concluir la lección se presentan ejemplos en los que el método directo de construcción de funciones de forma falla, indicando que a pesar de todo sigue siendo un buen punto de partida, y se muestra como proceder en estos casos con algunos de los ejemplos presentados.

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PA 7ª

Utilización programa “Mathemática” en Formulación Funciones de Forma. Se muestra como utilizar adecuadamente el programa Mathematica para llevar a cabo la formulación de las funciones de forma, en diferentes tipos de elementos, tanto regulares como de transición.

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PL 7ª

Análisis en 2D con ANSYS, incluyendo la creación del Modelo Geométrico. Con el fin de seguir ganando experiencia en la utilización de los dos programas comerciales de elementos finitos citados, en esta práctica de laboratorio se procede a definir de forma guiada un problema bidimensional y tridimensional mediante el programa “ANSYS CLASSIC”. El problema a analizar consiste en una biela, que en primer lugar se define y se analiza como modelo bidimensional, y seguidamente se procede por extrusión a convertirla en un modelo tridimensional, presentando las herramientas de que dispone el programa Ansys para estos menesteres. Continúa la práctica, importando un modelo de CAD de la biela comentada, en el que mediante la realización de operaciones booleanas, se pretende prepararla para el análisis en las

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condiciones de carga y de contorno que se indican, comenzando a ver las posibilidades que en cuanto a mallado automático de piezas tridimensionales, dispone el programa Ansys.

TB 7º

Resolución de Ejercicios Propuestos sobre Funciones de Forma. Se proponen los siguiente ejercicios (1) Se trata de obtener las funciones de forma correspondientes al elemento triangular cúbico de 10 nodos, siguiendo la técnica presentada en la lección; (2) Haciendo referencia al elemento cuadrilátero de 9 nodos, se propone que se utilice una técnica alternativa para calcular la función de forma de uno de los nodos esquina, y que se demuestre que falla por no cumplir la condición de compatibilidad; (3) Haciendo referencia al elemento utilizado en el ejercicio anterior, se propone que se complete la definición de las funciones de forma correspondientes a todos sus nodos, y que se compruebe que su suma en cualquier punto es la unidad; (4) Se solicita se completen las funciones de forma del elemento cuadrilátero de 8 nodos, que se verifique que cumplen todas las condiciones que deben cumplir, y demostrar que su suma en cualquier punto es la unidad; (5) Usando un módulo programado en MATHEMATICA para visualizar las funciones de forma,.se solicita que se utilice para visualizar las funciones de forma del elemento utilizado en el ejercicio anterior; (6) Se solicita se obtengan las funciones de forma para un elemento cuadrilátero de cinco nodos, que verifiquen que cumplen todas las condiciones, y que su suma en cualquier punto del elemento es la unidad; (7) Con el fin de mostrar que la técnica comentada en la lección es la misma que se utiliza en elementos tridimensionales, en este ejercicio se propone que se construyan las funciones de forma para un elemento cúbico de 8 nodos; (7) Respecto al elemento de transición rectangular de 4 nodos, se solicita se complete la definición de sus funciones de forma, se verifique que cumplen las condiciones, y que su suma es la unidad en cualquier punto; y (8) Se solicita se realice el mismo ejercicio anterior pero para el elemento de transición cuadrilátero de 6 nodos.

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LM 8ª

Requerimientos de Convergencia y Solución de Ecuaciones en el MEF. La lección comienza con una explicación sobre los términos “convergencia”, “consistencia”, “estabilidad” y “índice variacional”. Este último resulta fundamental para verificar la convergencia. Se define a continuación lo que se denomina “patch" de elementos. Seguidamente se explica desde un punto de vista práctico el 1º y 2º requerimientos fundamentales a cumplir por las funciones de forma, expresados en función del “índice variacional”. Para pasar a continuación a comentar: (1) el 1º requerimiento a cumplir por la matriz de rigidez del elemento para asegurar la “estabilidad”, lo que se denomina “suficiencia de rango”; y (2) el 2º requerimiento a cumplir por la geometría del elemento para asegurar la “estabilidad”, lo que se denomina “Jacobiano positivo”. Seguidamente se explica a que equivale este último requerimiento en el triangulo de 3 nodos, en el cuadrilátero de 4 nodos, en el cuadrilátero de 9 nodos, y en el triángulo de 6 nodos, indicándose las formas geométricas de estos elementos que deban evitarse para asegurar aquella condición. A continuación y con el fin de terminar la parte de la asignatura que tiene que ver con la formulación del MEF, se resume el problema matemático que es necesario resolver para obtener los resultados del análisis, es decir los desplazamientos nodales. Se muestra un diagrama en el que se puede visualizar el proceso general de análisis por EF. Se proporcionan datos que permiten hacerse una idea de los recursos computacionales necesarios para obtener la solución, datos en función del número total de grados de libertad, manejando la matriz de rigidez completa. Se comenta que las propiedades que posee esta matriz hacen que en lugar de manejar todos sus elementos, es posible utilizar únicamente aquellos elementos no nulos, situados a un lado de la diagonal principal, lo que se denomina “matriz en banda”. Y se proporcionan datos de cómo disminuyen los recursos computacionales necesarios en este caso, es decir, cuando sólo de maneja los términos no nulos situados a un lado de la diagonal principal. A continuación se comenta, haciendo referencia a Mathematica, como se lleva a cabo el almacenamiento de esos términos no nulos de la matriz situados a un lado de la diagonal principal. Así como la forma de incluir las condiciones de contorno. Finalizando la lección comentando el proceso de obtención de los

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desplazamientos aprovechando las propiedades de la matriz de rigidez.

PA 8ª Utilización “Mathemática” en Convergencia y Solución de Ecuaciones. En esta práctica se utiliza Mathematica para poner de manifiesto todos los aspectos que sobre convergencia y solución de ecuaciones se han comentado en la lección previa.

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PL 8ª

Análisis en 3D con ANSYS y NASTRAN, incluyendo la creación del Modelo. Con el fin de seguir ganando experiencia en la utilización de los dos programas comerciales de elementos finitos citados, en esta práctica de laboratorio se procede a definir de forma guiada un problema tridimensional con cada uno de los dos programas. El primer ejercicio se realiza con “NASTRAN FOR WINDOWS”, y se trata de una “Guía ranurada”. El ejercicio termino realizando el cálculo de la misma bajo las condiciones de carga y de contorno impuestas. El segundo ejercicio se realiza con el programa “ANSYS CLASSIC”, y se trata de un “Soporte de rodamiento”. En el procedimiento de construcción se utilizan ampliamente las operaciones “booleanas” de que dispone el programa, así se presentan las distintas opciones que se dispone en el momento de mallar, dadas las características geométricas del problema a resolver. De nuevo al final se resuelve el problema y se presentan gráficamente los resultados.

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TB 8º

Resolución de Ejercicios Propuestos sobre Convergencia y Solución Ecuaciones. Se proponen los siguiente ejercicios: (1) sobre las condiciones de compatibilidad en la línea común de dos dominios planos mallados, en la cual los nodos de ambas no coinciden en posición; (2) Con el fin de mostrar lo sencillo que es extender los planteamientos vistos en el plano a tres dimensiones, en este ejercicio se propone estudiar sobre un elemento cúbico de n nodos, el mínimo número de puntos de Gauss en cada una de las tres direcciones coordenadas, que sería necesario considerar para asegurar la “suficiencia de rango” en la matriz de rigidez de este elemento.

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CONTENIDOS DE LECCIONES MAGISTRALES, PRACTICAS AULA Y DE LABORATORIO (CONT.) ------- 3ª PARTE – IMPLEMENTACION COMPUTACIONAL DEL METODO DE ELEMENTOS FINITOS -------


LM 9ª

Implementación Computacional Cuadrilátero Isoparamétrico. Con esta lección comienza la parte de la asignatura que tiene relación con la implementación computacional de elementos finitos para el problema bidimensional de tensión plana, utilizando el programa Mathematica. En primer se presenta el elemento cuadrilátero bilineal de 4 nodos isoparamétrico, indicando que para su implementación se distinguen tres módulos diferenciados: el que calcula la matriz de rigidez, y los que definen las funciones de forma y la información relacionada con la cuadratura de Gauss. El primero es específico para cada tipo de elemento, siendo los dos restantes utilizables para la implementación de varios elementos. Se comentan a continuación, el módulo de información sobre cuadratura de Gauss, y el módulo de funciones de forma. Seguidamente se comenta el módulo que permite calcular la matriz de rigidez para este tipo de elemento. Con el fin de comprobar desde un punto de vista práctico la utilidad de los módulos comentados, se presentan dos ejemplos de elementos finitos cuadriláteros. El primero regular con forma de rectángulo, y el segundo con forma de trapecio. A continuación se proporcionan los datos que definen el primer elemento finito, y se comentan los resultados que se obtienen ejecutando adecuadamente la secuencia de módulos comentada mediante Mathematica. Se saca como conclusión que una vez se utiliza un número mínimo de puntos de Gauss para realizar la integración numérica de la matriz de rigidez, el uso de más puntos de Gauss no hace que varíen los resultados que se obtienen. Seguidamente se presentan los datos que definen el segundo de los elementos finitos analizados, y se sigue la secuencia comentada para la obtención de los resultados. En este caso se observa de nuevo que han un mínimo número de puntos de Gauss para obtener resultados correctos, comprobados calculando los valores propios de la matriz y viendo que el número de ceros es de tres. Y que el uso de más puntos de Gauss proporciona resultados ligeramente diferentes. Para finalizar la lección se presentan los módulos que permiten calcular el vector de fuerzas nodales consistentes para cargas definidas en el cuerpo, y el módulo que permite calcular las tensiones en los nodos esquina.

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PA 9ª Utilización “Mathemática” para la Formulación del Cuadrilátero Isoparamétrico. En esta práctica se utiliza Mathematica para comprobar utilizando el ordenador los

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resultados que se presentan en la lección, pudiendo comprobar desde un punto de vista práctico el funcionamiento de los módulos comentados en la lección relacionados con el elemento cuadrilátero isoparamétrico.

PL 9ª

Montaje y Análisis con “Working Model 3D” Mecanismo del Atlas “Artobolevski”. No cabe duda que en ingeniería mecánica la mayoría de los cálculos que se tienen que realizar para comprobar los diseños de piezas mecánicas o simular su comportamiento, están relacionados con las piezas que componen una máquina en movimiento. Por ello en esta práctica se presentan dos de los programas que permiten simular el comportamiento cinemático y dinámico de los mecanismos, teniendo además la posibilidad de poder calcular en cada instante del movimiento el comportamiento resistente de una pieza del mecanismo mediante elementos finitos. El primer programa se denomina actualmente “VISUAL NASTRAN DESKTOP”, está comercializado por la misma empresa que comercializa “NASTRAN FOR WINDOWS”, y el módulo interno de elementos finitos que posee esta basado en NASTRAN. El segundo programa se denomina “MOTION WORKS”, es un módulo adicional del programa de CAD SOLIDWORKS, esta comercializado por la citada empresa MSC, y basado en el programa clásico denominado “ADAMS”, que inicialmente lo comercializaba una empresa independiente, que fue absorbida por la citada MSC. Para la realización de la práctica se parte de una serie de mecanismos planos obtenidos del atlas de “Artobolevski”, previamente modelizados por el profesor responsable de la asignatura con el programa SOLIDWORKS para poder disponer de un modelo tridimensional real de los mismos. La práctica consiste en a partir de las piezas que los componen, realizar un montaje con los citados programas, comprobar el funcionamiento y comparar los resultados. Alumnos y profesor, en primer lugar realizan de forma guiada el montaje deuno de estos mecanismos que se toma como modelo, y luego cada alumno realiza el montaje de otro mecanismo elegido del conjunto de mecanismos disponibles.

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TB 9º

Resolución de Ejercicios Propuestos sobre Implementación Cuadriláteros. Se proponen dos ejercicios con el fin de utilizar junto con Mathematica los módulos comentados en la lección. En el primero se proporcionan los módulos necesarios para implementar un elemento cuadrilátero de 5 nodos y se solicita que se comprueba su funcionamiento resolviendo el primero de los elementos (rectangular) que se utilizaron en la lección, indicando con que reglas de Gauss se alcanza “suficiencia de rango” en la matriz de rigidez. En el segundo ejercicio se propone se implementen los módulos necesarios para definir el elemento cuadrilátero de 9 nodos, y se verifique el funcionamiento resolviendo el elemento rectangular citado.

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LM 10ª

Implementación Computacional Triángulo Isoparamétrico. Comienza la lección presentando las peculiaridades propias que aparecen en los triángulos, lo que provoca que tengan que tratarse de forma especial, y cronológicamente después de los cuadriláteros. Por ser las reglas de cuadratura de Gauss una de estas peculiaridades, a continuación se comenta cuales deben ser las condiciones que esas tienen que cumplir para asegurar la estabilidad numérica. Seguidamente se presentan las reglar de cuadratura en los triángulos “superparamétricos”, y a continuación en los triángulos “isoparamétricos”, indicando especialmente la presencia del “jacobiano” en la integración numérica a realizar. A continuación se presenta el módulo de Mathematica que contiene la información de la cuadratura de Gauss para los triángulos. Por ser el cálculo de las derivadas parciales de las funciones de forma el aspecto mas problemático de la implementación de los triángulos, seguidamente y tomando con modelo el elemento triangular cuadrático de 6 nodos, se presenta con detalle todo el proceso, indicando debe servir de modelo para la formulación de otros elementos triangulares, que se propondrán en los ejercicios. A continuación se presenta el módulo que Mathematica que permite el calculo de las funciones de forma y sus derivadas en el triangulo comentado. Para finalizar la implementación, se presenta el módulo que permite calcular la matriz de rigidez para este tipo de elementos, comentando con detalle todos sus argumentos. Para comprobar el funcionamiento de los módulos comentados, se presenta dos modelos de

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triángulos, uno de lados rectos, y otro de lados curvos. Se proporcionan los datos, convenientemente “preparados”, y se realizan los cálculos, obteniéndose unos resultados fácilmente comparables. En el primer caso los resultados son los mismos a partir de un número de puntos de Gauss tal que se alcance la suficiencia de rango de matriz, comprobada calculando sus autovalores; y en el segundo caso, en las mismas condiciones de suficiencia de rango, los resultados que se obtienen son distintos dada la distorsión geométrica del elemento, autilizada adrede para amplificar estas diferencias.

PA 10ª

Utilización “Mathemática” para la Formulación del Triángulo Isoparamétrico. En esta práctica se utiliza Mathematica para comprobar utilizando el ordenador los resultados que se presentan en la lección, pudiendo comprobar desde un punto de vista práctico el funcionamiento de los módulos comentados en la lección relacionados con el elemento triangular isoparamétrico.

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PL 10ª

Análisis por EF con NASTRAN y ANSYS de Mecanismo 3D Atlas “Artobolevski”. Esta práctica complementa la anterior, en el sentido que los resultados del movimiento del mecanismo simulados allí, aquí se utilizan para de forma adecuada en cada programa, poder someter a algunas o todas las piezas que componen el mecanismo, a un análisis resistente por elementos finitos, tomando como datos de carga: (1) las de inercia a las que se encontraba sometido cada pieza del citado mecanismo durante el movimiento, en los instantes que se consideren mas convenientes; y (2) las fuerzas de reacción que aparecen en los “pares cinemáticos”, distribuidas convenientemente en las zonas de contacto entre las dos piezas consideradas. No cabe duda que a la vista de las posibilidades que presentan los programas comerciales que se utilizarán, esta asunto de la consideración de las cargas en los “pares cinemáticos”, no esta completamente solucionado, por lo que en esta práctica podrá hacerse uso de la imaginación e inventiva del alumno, para a partir de los datos generados en el análisis del movimiento, proponer modelos de carga convenientes. Los datos se tomarán del análisis realizado en la práctica anterior con los programas “VISUAL NASTRAN DESKTOP” y “MOTION WORKS”. En primer lugar se utilizará la parte del programa “VISUAL NASTRAN DESKTOP” que directamente permite realizar el análisis por elementos finitos de una o varias piezas del mecanismo, teniendo cuidado de preservar el modelo de elementos finitos para poderlo importar luego con el programa “NATRAN FOR WINDOWS”. En segundo lugar se leerán los datos generados en el análisis realizado con el programa “MOTION WORKS” para importarlos con el programa “ANSYS WORKBECH”, y realizar en este entorno el mismo análisis por elementos finitos, sobre la misma pieza, que el realizado con el programa anterior, teniendo, de nuevo, cuidado de preservar el modelo de elementos finitos para poderlos importar con el programa “ANSYS CLASSIC”. Los resultados deberían ser comparables. A continuación, y con el fin de averiguar en que se basa el modelo de cargas en los “pares cinematicos” de ambos programas, se procederá a la importación de los modelos en los citados programas “ANSYS CLASSIC” y “NASTRAN FOR WINDOWS”, realizándose de nuevo el análisis y comparando los resultados en unos entornos “mas conocidos” debido al tiempo de uso dedicado a ambos programas. Alumnos y profesor, en primer lugar realizan de forma guiada todos los pasos de proceso comentado sobre unos uno de los mecanismos que se toma como modelo, y luego cada alumno realiza el proceso sobre otro mecanismo elegido del conjunto de mecanismos disponibles.

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TB 10º

Resolución de Ejercicios Propuestos sobre Implementación Triángulos. Se propone como ejercicio implementar computacionalmente los módulos en Mathematica que definen a un triangulo isoparamétrico de 4 nodos de transición, y comprobar su funcionamiento en el segundo de elementos que se comentaron en la lección pero considerando un solo lado con nodo intermedio.

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LM 11ª

Implementación Computacional Solución Problema Tensión Plana. En primer lugar se plantean los pasos a seguir para realizar un análisis por elementos finitos, tal y como hay que proceder tanto en programas comerciales, como en los programas implementados en Mathematica comentados a lo largo de las lecciones. Se

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comenta la estructura de datos implementada para la definición del problema, indicando que se utilizan, convenientemente agrupados, todos los módulos definidos en Mathematica. Para mostrar como hay que preparar los datos para poder utilizar con éxito el conjunto de módulos implementados, se presentan dos problemas a resolver: (1) placa rectangular bajo las condiciones de tensión plana sometida a una carga uníaxial uniforme, definida mediante un solo elemento, que simula una cuarta parte de la misma, debido a la existencia de simetría de cargas y de geometría, considerándose en primer lugar un elemento cuadrilátero de 4 nodos, y en segundo lugar un elemento cuadrilátero de 9 nodos; y (2) la misma placa en las mismas condiciones y sometida al mismo tipo de cargas, pero que posee un agujero central, analizada por la misma razón anterior, en una cuarta parte únicamente, definida mediante un conjunto de elementos generados a mano, de los dos tipos utilizados en el problema anterior. El proceso de PREPARACION DE DATOS consta de las siguientes fases: (1) definición de coordenadas nodales; (2) selección del tipo de elemento, eligiendo uno del conjunto de los disponibles: (a) triangulo lineal de 3 nodos; (b) triangulo cuadrático de 6 nodos; (c) triángulo cúbico de 10 nodos; (d) cuadrilátero bilineal de 4 nodos; y (e) cuadrilátero bicuadrático de 9 nodos; (3) definición de la conectividad de elementos, es decir, las secuencias de nodos que definen los elementos; (4) definición de las propiedades del material de cada elemento; (5) definición de las propiedades geométricas de cada elemento, es decir, de la función espesor; (6) definición de los indicadores de libertad en cada nodo, es decir, en cada nodo se indica si va a estar restringido en desplazamiento, o va a tener una fuerza aplicada, según cada dirección coordenada; (7) definición de los valores de libertad en cada nodo, es decir, del desplazamiento o la fuerza a la que esta sometido, en cada dirección coordenada; (8) indicación de procesado, es decir, si se pretende utilizar números en coma flotante, o números enteros; y (9) relación de aspecto para la visualización de la malla, pues se dispone de módulos en Mathematica que permiten visualizar la malla. El PROCESO DE SOLUCION del problema consta de los siguientes fases: (1) Ensamblado de la Matriz de Rigidez Global, utilizándose un ejemplo de dos triángulos para mostrar el proceso que tiene lugar ; (2) Aplicación de las condiciones de contorno y cargas, utilizándose el mismo ejemplo para mostrar el proceso; y (3) Obtención de los desplazamientos nodales y de las fuerzas de reacción en los nodos restringidos. Para mostrar con detalle el proceso de solución comentado se utiliza el primero de los ejemplos. El POSPROCESADO DEL MODELO consiste en las siguientes fases: (1) Obtención de las tensiones nodales, comentándose el funcionamiento del módulo de Mathematica correspondiente; (2) Visualización de los desplazamientos nodales; y (3) Visualización de las tensiones. Estas dos últimas fases utilizan módulos creados adrede. Para terminar la lección se plantean y contestan las siguientes preguntas relacionadas con el CALCULO DE LAS TENSIONES: (1) ¿Por que calcular las tensiones?; (2) ¿Qué nombre reciben las técnicas que se utilizan?; (3) ¿Cómo calcular las tensiones a partir de los desplazamientos ?; (4) ¿En que puntos se deben calcular las tensiones y que sucede con ellas?; (5) ¿Cómo calcular las tensiones en los nodos?; y (6) ¿Cuál de las dos técnicas disponibles es mas conveniente y en que tipos de elementos?. Seguidamente se comenta la técnica de extrapolación desde los puntos de Gauss sobre el elemento cuadrilátero de 4 nodos y sobre elementos de orden superior. Por último se indica en que consiste el promediado entre elementos.

PA 11ª

Utilización “Mathemática” para la Solución Problema Tensión Plana. En esta práctica se utiliza Mathematica para comprobar utilizando el ordenador los resultados que se presentan en la lección, pudiendo comprobar desde un punto de vista práctico el funcionamiento de los módulos comentados en dicha lección, relacionados con todos los elementos que están implementados para resolver el problema de Tensión Plana.

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PL 11ª

Análisis 2D por EF con ANSYS y con Programa Tensión Plana en “Mathematica”.Se trata de simular utilizando el programa “ANSYS CLASSIC” un dominio bidimensional bajo condiciones de tensión plana, y luego resolver ese mismo dominio utilizando los módulos implementados en Mathematica. Para ello se sigue el siguiente proceso: (1) Se procede a simular el dominio considerado, definiendo incluso la geometría con el programa “ANSYS CLASSIC”, utilizando varios tipos de elementos, concretamente: el triangulo lineal, el triangulo cuadrático, y el cuadrilátero de 4 nodos.

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Y (2) se importan las respectivas mallas generadas con ese programa en Mathematica, y se procede a definir las correspondientes condiciones de contorno y cargas, para finalmente comparar los resultados obtenidos con ambos programas.

TB 11º

Implementación del Cuadrilátero de Ocho Nodos con “Matemática”. Todos los ejercicios que se proponen consisten en la utilización de los módulos comentados de “Mathematica”. Son los siguientes: (1) Se propone explicar cual es el problema que se plantea y resuelve en un ejemplo dado en formato Mathematica, explicando los resultados. Modelarlo con “ANSYS CLASSIC”, y comparar los resultados. Se trata de un puente con una carga que va cambiando de posición. (2) Se trata de realizar lo mismo que en el ejercicio anterior, pero en este caso de trata de un problema plano con geométrica un poco mas compleja; (3) Se trata de utilizar un módulo creado adrede para importar varias mallas del ejercicio de la biela bidimensional realizado en las prácticas con “ANSYS CLASSIC”, utilizando todos los elementos que sea posible, dentro de los disponibles; y (4) Se propone definir los módulos de “Mathematica” que sean necesarios para incluir la posibilidad de poder utilizar el elemento cuadrilátero de ocho nodos, en la solución del problema de tensión plana.

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EJERCICIOS AUTOEVALUACION TEORIA --- 11ª SEMANA ---


AT 1º

Conocimientos Teóricos Contenidos Asignatura (Prueba Tipo Test). Con el fin de evaluar los conceptos fundamentales explicados a lo largo de la asignatura, y la capacidad de relacionar todos los elementos que han formado parte de los contenidos desarrollados, se somete a los alumnos, de una forma individualizada, a una prueba tipo test, formada por alrededor de 50 preguntas, tanto de índole teórico, como también incluyendo temas prácticos, y referentes a los programas comerciales de elementos finitos, y del programa “Mathematica”.

2 EVAL.

EJERCICIOS AUTOEVALUACION PRÁCTICAS --- 12ª SEMANA ---


AP 1º

Comparación Análisis por EF 2D con ANSYS y Programa en “Mathematica". . Se trata de simular utilizando el programa “ANSYS CLASSIC” un dominio bidimensional bajo condiciones de tensión plana, distinto para cada alumno, y luego resolver ese mismo dominio utilizando los módulos implementados en Mathematica. Este ejercicio reproduce el trabajo propuesto en la última parte de la asignatura, pero se trata que se realice de forma individual. Se sigue el mismo proceso que en aquel trabajo: (1) Se procede a simular el dominio considerado, definiendo la geometría con el programa “ANSYS CLASSIC”, utilizando varios tipos de elementos, concretamente: el triangulo lineal, el triangulo cuadrático, y el cuadrilátero de 4 nodos. Y (2) se importan las respectivas mallas generadas con ese programa en Mathematica, y se procede a definir las correspondientes condiciones de contorno y cargas, para finalmente comparar los resultados obtenidos con ambos programas.

12 EVAL.

--- 13ª SEMANA ---

AP 2º

Análisis EF Modelos 2D y 3D con ANSYS y NASTRAN. Comparación Resultados. La evolución del la capacidad de manejo de los programas “ANSYS CLASSIC” y “NASTRAN FOR WINDOWS”, es lo que pretende evaluar esta prueba, realizada también de forma individual por cada alumno, y que consiste en simular con ambos programas, de forma independiente, dos ejemplos, uno bidimensional y el otro tridimensional. Realizando al final una comparación comentada de los principales resultados.

5 EVAL.

AP 3º

Obtención de Mallas “Mapeadas” con ANSYS y NASTRAN en Modelos CAD. Desde el punto de vista del profesor responsable de la asignatura, la capacidad de mallar de forma regular o “mapeada” un dominio geométrico bidimensional y tridimensional, con los comandos adecuados de cada uno de los dos programas “ANSYS CLASSIC” y “NASTRAN FOR WINDOWS”, es una destreza muy bien considerada, pues demuestra el conocimiento de la importancia que una buena discretización tiene en el éxito de un análisis, tanto desde el punto de vista de la regularidad de la malla, como desde el punto de vista del control del número total de

6 EVAL.



grados de libertad a considerar, teniendo en cuenta el tiempo que se puede utilizar en el análisis y los recursos computacionales disponibles. Por ello en esta prueba se proporcionan modelos geométricos bidimensionales y tridimensionales, creados con programas de CAD, para que sean mallados con esos programas.



BIBLIOGRAFÍA COMENTADA LIBROS DE REFERENCIA

Nº Título y descripción. UPV TIPO

1º

Bathe, K. J. Finite Element Procedures. Prentice Hall, 1995. Esta obra, escrita por una autoridad en la materia (Profesor del Departamento de Ingeniería Mecánica del MIT), estudia con rigor y minuciosamente los fundamentos del Método de los Elementos Finitos. Es un libro denso, dirigido especialmente a aquellas personas que tengan un conocimiento de sus principios y deseen profundizar en los planteamientos teóricos, pues esta pensado para los investigadores o programadores del método, y no tanto para los usuarios del mismo. Incluye elaborados capítulos sobre técnicas de resolución de sistemas de ecuaciones en problemas estáticos, dinámicos y de valores propios, y una implementación del método y numerosos problemas resueltos que ejemplifican las técnicas explicadas.

OK R

2º

Burnett, D. S. Finite Element Analysis: From Concepts to Applications. Addison-Wesley, 1987. Es, sin duda, una de la mejores obras para comprender todos los fundamentos y detalles del método. Su planteamiento es muy didáctico, estando indicado a aquellas personas que no posean grandes conocimientos previos sobre la materia, ya que su desarrollos parten de unos prerrequisitos mínimos. Al mismo tiempo, por su extensión, es un libro muy completo, ya que su claridad no es óbice para desarrollar todos los temas que pueden ser de interés para un ingeniero mecánico. Además de los capítulos introductorios, está estructurado en dos grandes bloques: problemas unidimensionales y problemas bidimensionales. En cada uno de ellos, tras revisar los fundamentos teóricos, incluye detalles sobre programación y diferentes aplicaciones a problemas físicos.

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3º

Cook, R. D. Finite Element Modeling for Stress Analysis. John Wiley & Sons, 1994. Este libro está dedicado al planteamiento y aplicación del MEF, fundamentalmente a problemas elásticos estructurales. Incluye tanto la modelización del problema .elástico general, como la particularización a problemas de análisis de tensiones en barras, cáscaras, placas, etc. También incluye capítulos dedicados a los temas de análisis térmico, vibraciones y problemas dinámicos, así como no linealidades. Es un buen libro desde el punto de vista docente y puede ser utilizado por los alumnos como referencia adicional en la asignatura. Destaca la existencia de múltiples comentarios a lo largo del texto relativos a temas prácticos como modelización, aplicación de cargas y condiciones de contorno, comprobación de resultados, etc.

OK R

4º

Cook, R. D.; Malkus, D. S.; Plesha, M. A. Concepts and Applications of Finite Element Analysis. John Wiley & Sons, 1994. Este libro está dedicado al planteamiento y aplicación del MEF, fundamentalmente a problemas elásticos estructurales. Incluye tanto la modelización del problema .elástico general, como la particularización a problemas de análisis de tensiones en barras, cáscaras, placas, etc. También incluye capítulos dedicados a los temas de análisis térmico, vibraciones y problemas dinámicos, así como no linealidades. Es un buen libro desde el punto de vista docente y puede ser utilizado por los alumnos como referencia adicional en la asignatura. Destaca la existencia de múltiples comentarios a lo largo del texto relativos a temas prácticos como modelización, aplicación de cargas y condiciones de contorno, comprobación de resultados, etc.

OK R

5º

Huebner, K. H., Thornton, E.A., Byrom, T.G. The Finite Element Method fo Engineers. John Wiley & Sons, 1995. Destaca en esta obra el planteamiento global del método en ingeniería mecánica, estudiando los fundamentos de su aplicación a la resolución numérica de problemas físicos gobernados por ecuaciones diferenciales a partir de diversos enfoques: directo, variacional o de residuos ponderados. La segunda mitad del libro incluye secciones en las que se aplica el método al análisis elástico estructural, transmisión del calor, mecánica de fluidos, problemas de difusión y problemas no lineales. Son de gran interés las analogías que establece entre los distintos problemas y los apéndices dedicados a los fundamentos. Además de explicar con detalle, el texto es muy asequible y en conjunto resulta muy recomendable.

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6º Rao, S.S. The Finite Element Method in Engineering. Pergamon Press, 1989. NO R



Este libro incluye numerosos ejemplos resueltos con gran detalle que ayudan a entender los principios del método. Es por ello una buena referencia para aquellos alumnos que deseen profundizar en este tema como aplicación a distintos problemas en Ingeniería Mecánica (análisis estático y dinámico, transmisión del calor y mecánica de fluidos). La estructura del texto es muy ordenada: cada capítulo contiene una revisión de los conceptos teóricos, aplicación a problemas mecánicos y listados con rutinas en Fortra en que ayudan a entender la implementación del método. En suma, es un libro muy útil para alumnos e ingenieros que deseen profundizar en el tema.

7º

Zahavi, E. The Finite Element Method in Machine Design. Prentice Hall, 1992. Libro básico que presenta en la primera parte los fundamentos del Método de los Elementos Finitos de una manera muy resumida, incluyendo sólo los conceptos esenciales. El objetivo del autor es que el lector sepa utilizar bien el método, más que comprenderlo con todo detalle y por ello huye de complicados desarrollos matemáticos. La segunda parte del libro resulta muy ilustrativa y está dedicada a la aplicación del método al diseño de elementos mecánicos. Tras exponer la metodología de una buena modelización, considera la aplicación a uniones roscadas, con simulación de contacto entre filetes, análisis de tensiones de contacto entre dientes de engranajes, en resortes tipo ballesta, etc. Por todo ello, se trata de un libro muy recomendable desde el punto de vista docente.

NO R

7º

Zienkiewicz, O. C.; Taylor, R. L. El Método de los Elementos Finitos. Volumen 1. Formulación Básica y Problemas Lineales. McGraw-Hill, 1994. Este libro corresponde a la 4ª edición de la obra clásica de O. C. Zienkiewicz. Aunque en él se recogen los fundamentos del método de una forma ordenada y precisa en relación a su aplicación a problemas lineales, resulta un libro un tanto anticuado en sus planteamientos y en la nomenclatura utilizada. La materia desarrollada hasta el capítulo 5 puede ser utilizada en gran medida por los alumnos, a pesar que su redacción es un tanto farragosa. Los capítulos posteriores, así como el siguiente volumen, presenta un nivel más avanzado y son apropiados para ampliación de los conocimientos en esta materia.

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PUBLICACIONES ESPECÍFICAS BASICAS Nº Título y descripción. UPV TIPO

1º

Análisis Comparativo por Elementos Finitos de una Pieza de una Maquina, Utilizando las Aplicaciones Informáticas Disponibles Comercialmente. En esta publicación, se pretende mostrar como llevar a cabo al análisis resistente de una pieza de una máquina mecánica, de la que se conoce su material, las cargas que soporta y la forma como está conectada al resto de las piezas, utilizando el mayor número de programas comercialmente disponibles, comparando los resultados que se obtienen. Para ello la pieza a analizar, que fue creada con el programa de CAD “SOLIDWORKS”, se analiza dentro del mismo programa con la aplicación integrada denominada “COSMOS WORKS”. Seguidamente se exporta aL programa denominado “ANSYS WORKBECH”, realizándose su análisis, comparando los resultados obtenidos. Este mismo procedimiento se sigue pero con el programa denominado “MSC VISUAL NASTRAN DESKTOP”. Seguidamente se importa el modelo de CAD, guardado en un formato de intercambio, tipo ACIS, PARASOLID o STEP, en los programas “ANSYS CLASSIC” y “MSC VISUAL NASTRAN FOR WINDOWS”, que tienen muchas mas posibilidades que los anteriores. Se finaliza comparando los resultados obtenidos con todos ellos.

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2º

Un análisis con “ANSYS CLASSIC” utilizando la “Mechanical Tool Bar”. Dada la complejidad que posee el uso del programa comercial “ANSYS CLASSIC”, debido a las múltiples posibilidades que se ofrecen en su completa estructura de comandos, un primer contacto con el mismo se puede suavizar bastante, si se utiliza la denominada “Mechanical Tool Bar”. En esta publicación, en base a un ejemplo, se lleva a cabo un análisis completo de una pieza tridimensional, creada con un programa de CAD externo, e importada posteriormente, con el fin de mostrar el proceso a seguir para la correcta utilización de la aplicación “ANSYS CLASSIC”.

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3º Un análisis con “NASTRAN FOR WINDOWS” importando el Modelo Geométrico. Una primera toma de contacto con cualquier programa requiere se simplifiquen lo mas posible la cantidad de comandos que se tengan que utilizar para llevar a cabo el análisis.

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En esta publicación, y en base a la aplicación comercial “NASTRAN FOR WINDOWS”, se procede a realizar un análisis sobre un pieza real, importada desde un programa de CAD, poniendo especial atención en las distintas fases que hay que completar, con el fin de que sea sencillo localizar la ubicación de los comandos que se tienen que utilizar.

4º

Un análisis con “ANSYS CLASSIC” importando el Modelo Geométrico. Siguiendo la idea presentada en la publicación anterior, y con el fin de introducir al alumno en el uso de la aplicación “ANSYS CLASSIC”, en esta publicación se muestra paso a paso, el proceso de análisis completo de una pieza mecánica, importando su modelo geométrico de un programa de CAD. De nuevo el interés fundamental se centra en facilitar la localización de los comandos necesarios para llevar a cabo el análisis. En este caso la tarea es mas complicada, pues esta aplicación informática dispone de muchas mas opciones que la utilizada en la publicación anterior.

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5º

Un análisis con “NASTRAN FOR WINDOWS” con generación de Mallas Regulares. A pesar que todas las aplicaciones informáticas de elemento finitos disponen de comandos para la generación automática de las mallas correspondientes, en general estos procedimientos, denominados “mallados free”, en la mayor parte de las ocasiones, no proporcionan mallas que se puedan considerar, por parte de analistas con experiencia, bien configuradas. Pueden servir para las primeras fases de un análisis, pero no para obtener una buena solución final. Es por ello que esta publicación tiene como objetivo presentar de una forma práctica, como generar mallas regulares en el entorno de la aplicación “NASTRAN FOR WINDOWS”. Para ello se indica el proceso a seguir, y la ubicación de los comandos que es necesario utilizar. Se presentan varios ejemplos.

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6º

Un análisis con “ANSYS CLASSIC” con generación de Mallas Regulares. Lo mismo que se pretendía en la publicación anterior, se pretende en esta publicación, es decir mostrar la forma de obtener mallas regulares partiendo de un modelo geométrico de la pieza a analizar obtenido con un programa de CAD externo, pero en este caso utilizando el entorno de la aplicación “ANSYS CLASSIC”. En base a ejemplos, se indica el proceso a seguir, y la ubicación de los comando que es necesario utilizar.

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7º

Un análisis con “NASTRAN FOR WINDOWS” con creación Modelo Geométrico 2D. Precisamente por el hecho que a veces el análisis que se pretende utilizar tiene por objetivo tener una primera idea del comportamiento de la pieza considerada, es por lo que en esta publicación se muestra el proceso completo de análisis de una pieza plana, utilizando los comandos disponibles en la aplicación “NASTRAN FOR WINDOWS”. De nuevo es importante aprender a localizar la ubicación de los comandos en el entorno proporcionado por la interfase gráfica de la aplicación. Se analizan únicamente ejemplos planos.

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8º

Un análisis con “ANSYS CLASSIC” con creación Modelo Geométrico 2D. Siguiendo con la estructura presentada en las publicaciones previas, en esta se muestra en base a ejemplos, el proceso completo de análisis de una pieza plana, definida íntegramente mediante los comandos disponibles en la aplicación “ANSYS CLASSIC”. Se insiste, como viene siendo habitual, en la localización de los comandos que son necesario utilizar.

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9º

Un análisis con “ANSYS CLASSIC” y “NASTRAN FOR WINDOWS” con creación Modelo Geométrico 3D. En esta publicación, partiendo de un cierto nivel de experiencia en el uso de ambas aplicaciones informáticas, se presenta paso a paso, primero con una de estas aplicaciones, y luego con la otra, la creación geométrica, y el análisis por elementos finitos de una pieza mecánica tridimensional. El objetivo es favorecer la comparación del proceso completo en ambas aplicaciones informáticas, así como la comparación de los resultados obtenidos, y ello en una misma sesión.

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10º

Montaje y Análisis con “VISUAL NASTRAN DESKTOP” de un Mecanismo del atlas de “Artobolevski”. Partiendo de un modelo de mecanismo plano, tal y como está definido en el mencionado “atlas”, y de las piezas que lo componen previamente definidas geométricamente mediante la aplicación “SOLIDWORKS” en tres dimensiones, cumpliendo la condición que permitan el movimiento original del mecanismos, en esta publicación se presenta paso a paso como montar el mecanismo utilizando la aplicación informática “VISUAL NASTRAN DESKTOP”, como dotarlo de movimiento y comprobar que el punto trazador

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genera la trayectoria correspondiente, y finalmente como considerar la elasticidad de una o varias de las piezas que lo componen, con el fin de comprobar la resistencia de la misma durante el movimiento con ayuda de la simulación por elementos finitos que esta aplicación informática puede realizar.

11º

Análisis con “ANSYS CLASSIC” y “NASTRAN FOR WINDOWS” de un Mecanismo del atlas de “Artobolevski”. Conseguir averiguar las cargas que habría que considerar aplicadas en una cierta pieza de un mecanismo real en movimiento, con la finalidad de comprobar su resistencia, es lo que pretende esta publicación. Para ello se parte del mecanismo tridimensional creado en “SOLIDWORKS”. Se lleva a cabo el análisis de su movimiento con la aplicación “MOTION WORKS”, dentro del entorno del programa de CAD mencionado. Se pasa de forma adecuada, la información generada en este análisis por una parte a “ANSYS WORKECH”, de la cual se la puede pasar a “ANSYS CLASSIC”; y por otra parte a “VISUAL NASTRAN DESKTOP”, de la cual se puede pasar a la aplicación “NASTRAN FOR WINDOWS”. Dado que este tipo de análisis no ha sido resuelto de forma unificada en las aplicaciones comerciales disponibles, es posible sugerir o comprobar nuevas formas de llevar a cabo los análisis, siempre con el objetivo de acercarse lo mas posible a lo que sucede en la realidad.

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12º

Análisis Comparativo de un Dominio 2D con “ANSYS CLASSIC” y un Programa en “Mathematica”. Ser capaces de establecer comparaciones entre los resultados obtenidos en un análisis de una pieza bidimensional mediante las aplicaciones informáticas comerciales disponibles, y los módulos creados y comentados a lo largo de las clases, con ayuda de la aplicación “Mathematica”, para solucionar el problema de la tensión plana, es el objetivo de esta publicación, Para ello partiendo de un modelo determinado, se procede a definirlo en “ANSYS CLASSIC”, analizándolo con diferentes elementos, de entre los disponibles, y con diferentes mallas, unas obtenidas de forma “libre” y otras de forma “regular”; y a continuación se procede a transferir este modelo a “Mathematica”, analizándolo con los mismos tipos de elementos elegidos, y comparando los resultados. Dada el modelo utilizado, resulta evidente que los resultados han de ser muy parecidos, siendo posible ajustarlos al máximo, controlando adecuadamente al análisis dentro de “ANSYS CLASSIC”.

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NO EXISTE UN LIBRO DE TEXTO ADECUADO POR COMPLETO AL DESARROLLO QUE SE REALIZA EN ESTA ASIGNATURA.

PROFESOR RESPONSABLE

OLIVER HERRERO, JOSÉ LUÍS



Dimensiones CréditosMetodología de enseñanza aprendizaje asociado a la

dimensión (*)

Método de evaluación

asociado a la dimensión (**)

Nota final (%)

Teoría de aula 5 Clase MagistralPrueba escrita

(test)35

Seminario -

Prácticas de aula 2.8Practicas Informática

(MATHEMATICA)Practicas

(ejercicios)15

Prácticas de laboratorio

2.2Practicas Informática (ANSYS y NASTRAN)

Prácticas (problemas)

15

Actividades -Tutorias, Actividades en

grupo, Trabajos, Prácticas de Laboratorio

Trabajos Prácticos

35

240horas de trabajo alumno

8 ECTS

56

30

89

SITUACIÓN ACTUAL DE LA ASIGNATURA

Total 10 _ _ 100%

Carga lectiva para alumno (h)

65

Dimensiones CréditosMetodología de enseñanza aprendizaje asociado a la

dimensión (*)

Método de evaluación

asociado a la dimensión (**)

Nota final (%)

Teoría de aula 5.1 Clase Magistral Prueba escrita (test)

30

Seminario -

Prácticas de aula 1.3 Prácticas Informática (MATHEMATICA)

Prácticas (ejercicios)

20

Prácticas de laboratorio 3.6 Prácticas Informática

(ANSYS y NASTRAN)Prácticas

(problemas) 15

Actividades -Tutorias, Actividades en

grupo, Trabajos, Prácticas de Laboratorio

Trabajos prácticos 35

240horas de trabajo alumno

8 ECTS

50

96

SITUACIÓN DE LA ASIGNATURA REVISADA PARA EL PAEEES

Total 10 _ _ 100%

Carga lectiva para alumno (h)

68

26

(*) Seleccionar respecto de los siguientes ítems: Clase magistral, Resolución de problemas y casos, Prácticas de laboratorio, Prácticas de campo, Prácticas externas, Tutorías, Exposición oral del estudiante, Actividades en grupo, Trabajos escritos y proyectos, Preparación y realización de exámenes. (**) Seleccionar respecto de los siguientes ítems: Prueba escrita (preguntas abiertas / test), Prueba oral, Exposición, Prácticas (ejercicios, casos o problemas), Trabajos, Otros.

Ingeniero de Materiales / Fecha de la última actualización: 2005-06-08

Observaciones / Condicionantes requeridos: No se explicitan.

título: ingeniero de materiales escuela tÉcnica superior … · w adquirir cierta experiencia en...

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