TIPOS DE CONJUNTOS

UNIVERSAL:

Cuando se está trabajando con conjuntos, los elementos se encuentran en un conjunto “de orden superior”, es decir, si hablamos del conjunto de las letras de una palabra, se sobreentiende que dichas letras son las del abecedario, si hablamos de los divisores de un número, pensamos inmediatamente en números naturales o en números enteros. Por tanto siempre que tratamos con conjuntos, implícitamente hacemos referencia a un conjunto que contiene a todos los elementos con los que estamos trabajando. A ese conjunto lo llamaremos conjunto universal.

Para evitar ambigüedades, en cada ejercicio que realicemos, siempre que sea necesario, indicaremos cuál es el conjunto universal.

El conjunto universal se suele representar por la letra Ʊ o bien por Ω.

A veces es conveniente representar los conjuntos gráficamente, mediante un diagrama, para no perdernos entre símbolos.

La representación más usada es la conocida con el nombre de Diagrama de Venn: el conjunto universal se representa mediante una superficie rectangular y los conjuntos con los que estamos trabajando, mediante círculos o superficies cerradas.

Los elementos correspondientes al conjunto se colocan en la superficie que representa al conjunto y el resto se colocan fuera de ella.

Así, si U = 0,1,2,3,4,5,6 y A = 2,4,6, entonces el diagrama correspondiente sería:

UNIÓN (U):

Sean A y B conjuntos.

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto, denotado por A B, formado por los elementos que estén en al menos uno de los conjuntos A o B. Este conjunto, expresado por comprensión es:

A B = x U / x A ˅ x B

Así, podemos decir que los elementos de la unión del conjunto A con el conjunto B son aquéllos que estén o bien en A o en B o en ambos.

Ejemplo: En la figura de la derecha, está señalado en verde el conjunto A B.

INTERSECCION( ):

La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto, denotado por A B, formado por los elementos que estén simultáneamente en los conjuntos A y B. Este conjunto, expresado por comprensión es:

A B = x U / x A ˄ x B

Así, podemos decir que los elementos de la intersección de A con B son aquéllos que estén a la vez en A y en B.

Ejemplo:En la figura de la derecha, está señalado en verde el conjunto A B.

POTENCIA:

La familia de todos los subconjuntos de un conjunto N se llama Conjunto Potencia de N. Se le denota como .

a).- Si N = 1, 2 como podemos ver el conjunto tiene dos elementos y el conjunto potencia tendrá elementos y son:

b).- si ahorra el conjunto N consta de tres elementos el, N = 1,2,3, el conjunto potencia tendrá 8 elementos y son:

Teorema Si un conjunto N es finito con "n" elementos, entonces su conjunto potencia tendrá elementos.

VACIO:

A veces, dos conjuntos no tienen ningún elemento en común, esto es, la intersección de ambos es el conjunto vacío. En este caso diremos que los conjunto son disjuntos o incompatibles. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales impares y el conjunto de los números naturales pares son disjuntos porque no hay ningún número natural que sea simultáneamente par e impar, es decir, la intersección de ambos conjuntos es el conjunto vacío.

Los conjuntos disjuntos se representan, mediante un diagrama de Venn que viste antes para la interseccion

COMPLEMENTO:

Sea A un conjunto. El complementario del conjunto A es el conjunto, denotado por Al, formado por los elementos del universal U que no estén en A.

Este conjunto, expresado por comprensión es:

Al = x U / x A

Ejemplo

En la figura de la derecha, está señalado en verde el conjunto Al.

Como cabe esperar, si un conjunto es el complementario de otro conjunto, diremos que ambos conjuntos son complementarios.

SUBCONJUNTO

Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, o bien que A está

incluido en B si y sólo si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B.

A está incluido en B y se anota A ⊂ B.

Expresado de otra forma: A ⊂ B = x / x ∈ A ∧ x ∈ B

Ejemplo: si A = 1, 3, 5 y B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 entonces A ⊂ B.

Si A no es subconjunto de B se escribe A ⊄ B.

Se dice que A es SUBCONJUNTO PROPIO de B si y sólo si A es subconjunto de B pero B es

distinto de A, lo que a veces se denota por A ⊂ B, sin la barrita inferior que representa la

igualdad de conjuntos.

A ⊂ B y A ≠ B

En alguna bibliografía se acostumbra a designar un subconjunto propio como

A ⊂ B

Y un subconjunto como A ⊆ B

PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

Además se cumple: (A l) l = A, A - B = A B l, A - (B C) = (A - B) (A - C), A - (B C) = (A - B) (A - C)

Propiedad: Unión intersección

Asociativa(A B) C = A (B C)

(A B) C = A (B C)

Conmutativa A B = B A A B = B A

Idempotente A A = A A A =A

Absorción A (B A) = A A (A B) = A

DistributivaA (B C) = (A B) (B A)

A (B C) = (A B) (A C)

Neutralidad A Ø = A A U = A

A U = U A Ø = Ø

Complementación A A l = U A A l = Ø

Ley de De Morgan (A B) l = A l B l (A B) l = A l B l

А ∩ (B ∩ C) = (А ∩ B) ∩ C

2.- Popiedad Idempotente

А ∩ А = А

3.- Propiedad Conmutativa.

А ∩ B = B ∩ А

4.- Intersección con el Vacío

А ∩ Ø = Ø

PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS

1.- Propiedad Asociativa

А U (B U C) = (А U B) U C

5.- PROPIEDAD DE ABSORCIÓN

Si B С A U B entonces А U B = B

PROPIEDADES COMBINADA

1.- Propiedad Distributiba

a) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

b) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

2.- Propiedad Simplificativa

a) A U B (B ∩ A) = A

b) A ∩ (B U A) = A

Simbología de Conjuntos

Símbolo Descripción

conjunto

∈ Es un elemento del conjunto o pertenece al

conjunto.

∉ No es un elemento del conjunto o no

pertenece al conjunto.

⎜ Tal que.

n (C) Cardinalidad del conjunto C.

U Conjunto Universo.

Φ Conjunto Vacío.

⊆ Subconjunto de.

⊂ Subconjunto propio de.

⊄ No es subconjunto propio de.

> Mayor que.

< Menor que.

≥ Mayor o igual que.

≤ Menor o igual que.

∩ Intersección de conjuntos.

∪ Unión de Conjuntos.

A' Complemento del conjunto A.

= Simbolo de igualdad.

≠ No es igual a.

... El conjunto continúa.

==> Entonces.

⇔ Si y sólo si.

∼ No (es falso que).

∧ Y

∨ O