tesisupv2519
TRANSCRIPT
-
8/7/2019 tesisUPV2519
1/306
Modelado Cinemtico y Control de
Robots Mviles con Ruedas
Tesis Doctoral
Departamento de Ingeniera de Sistemas y Automtica
Universidad Politcnica de Valencia
Autor: Luis Ignacio Gracia Calandn
Director: Dr. Josep Tornero i Montserrat
-
8/7/2019 tesisUPV2519
2/306
-
8/7/2019 tesisUPV2519
3/306
En primer lugar, agradezco al director de la tesis Dr. Josep Tornero su valiosa
ayuda, estmulo permanente y acertado asesoramiento a lo largo del trabajo.
En segundo lugar, vaya tambin mi agradecimiento a mis compaeros del
Grupo de Investigacin y del Departamento de Ingeniera de Sistemas y
Automtica que de un modo u otro han contribuido al desarrollo de la tesis.
A mi familia
-
8/7/2019 tesisUPV2519
4/306
-
8/7/2019 tesisUPV2519
5/306
Resumen 1
RESUMEN
La presente tesis doctoral aborda el modelado cinemtico y control de robots
mviles con ruedas. En concreto se profundiza en los siguientes temas:
- Se plantea el modelado de una rueda genrica que incluye todos los tipos
comunes: fija, orientable centrada, orientable descentrada (castor) y sueca
(tambin denominada universal, Mecanum Ilon).
- Se describe un procedimiento eficiente para generar modelos cinemticos,
basado en el concepto de espacio nulo, el cual se aplica posteriormente a un
gran nmero de tipos de robots mviles. Todos estos modelos son
caracterizados en cuanto a su precisin o transmisin de errores (isotropa).
- Se deduce un novedoso planteamiento geomtrico que establece la
singularidad de cualquier modelo cinemtico de cualquier robot con ruedas.
Este planteamiento se aplica a todos los tipos de robots anteriores.
- Se desarrolla el modelado dinmico del robot para, a travs de tres sucesivas
aproximaciones y de la caracterizacin de las fricciones en las ruedas, llegar a
un modelado cinemtico con deslizamiento.
- Se plantea un esquema de control del robot con tres bucles de control
anidados (dinmico, cinemtico y de planificacin) que es conceptualmente
similar a los empleados en robots manipuladores. En particular se profundiza
en el bucle cinemtico de nivel medio e indirectamente en el de planificacin,
al caracterizar las referencias que puede seguir cada tipo de robot sin error.
- Se presentan experiencias de comprobacin de los algoritmos de modelado
con deslizamiento y de control del robot, realizadas sobre una plataforma
elctrica industrial (carretilla industrial).
- Finalmente se desarrollan dos soluciones para las aplicaciones deaparcamiento en paralelo, con pre-planificacin y caracterizacin geomtrica,
y de seguimiento de lnea por visin.
-
8/7/2019 tesisUPV2519
6/306
-
8/7/2019 tesisUPV2519
7/306
Abstract 3
ABSTRACT
This PhD thesis deals with the kinematic modeling and control of wheeled
mobile robots. In particular it focuses on the following issues:
- It is modeled a generic wheel that includes all the common types: fixed,
centered orientable, off-centered orientable (castor) and swedish (also
referred to as universal, Mecanum or Ilon).
- It is developed an efficient procedure, based on the null space concept, to
obtain kinematic models. This procedure is applied to many mobile robots
and the accuracy of the obtained models is characterized through an isotropy
analysis.
- It is deduced a new geometric approach that establishes the singularity of any
kinematic model of any wheeled mobile robot. This geometric approach is
applied to all the mobile robots previously mentioned.
- It is proposed a kinematic modeling with slip obtained from successive
approximations of the robot dynamic model and the characterization of thefriction on the wheels.
- It is suggested a kinematic control scheme with three nested loops (dynamic,
kinematic and planning) that is similar to the approaches used for robotic
manipulators. It is studied in depth the kinematic loop and indirectly the
planning loop, through the characterization of the references that each mobile
robot can track with no error.
- An industrial forklift has been used to test the algorithms of kinematic
modeling with slip and robot control.
- Finally two solutions have been developed for the robotic applications ofparallel parking and line tracking with a vision system.
-
8/7/2019 tesisUPV2519
8/306
-
8/7/2019 tesisUPV2519
9/306
Resum 5
RESUM
La present tesi doctoral aborda el modelatge cinemtic i control de robots mbils
amb rodes. En concret s'aprofundix en els temes segents:
- Es planteja el modelatge d'una roda genrica que inclou tots els tipus comuns:fixa, orientable centrada, orientable descentrada (castor) i sueca (tamb
nomenada universal, Mecanum o Ilon).
- Es descriu un procediment eficient per a generar models cinemtics, basat en
el concepte d'espai nul, el qual s'aplica posteriorment a un gran nombre de
tipus de robots mbils. Tots estos models sn caracteritzats quant a la seua
precisi o transmissi d'errors (isotropia).
- Es dedux un nou plantejament geomtric que estableix la singularitat de
qualsevol model cinemtic de qualsevol robot amb rodes. Esta regla s'aplica a
tots els tipus de robots anteriors.
- Es desenvolupa el modelatge dinmic del robot per a, a travs de tres
successives aproximacions i de la caracteritzaci de les friccions en les rodes,
arribar a un modelatge cinemtic amb lliscament.
- Es planteja un esquema de control del robot amb tres bucles de control niats
(dinmic, cinemtic i de planificaci) que es conceptualment similar als
empleats per robots manipuladors. En particular saprofundeix en el bucle
cinemtic i indirectament en el de planificaci, al caracteritzar les referncies
que pot seguir cada tipus de robot sense error.
- Es presenten experincies de comprovaci dels algoritmes de modelatge amb
lliscament i de control del robot, realitzades sobre una plataforma elctrica
industrial (carret industrial).
- Finalment es desenvolupen dos solucions per a les aplicacions d'aparcamenten parallel, amb pre-planificaci i caracteritzaci geomtrica, i de seguiment
de lnia per visi.
-
8/7/2019 tesisUPV2519
10/306
-
8/7/2019 tesisUPV2519
11/306
ndice general 7
NDICE GENERAL
1. Introduccin .. 31
1.1 Introduccin ... 31
1.2 Objetivos de la tesis . 32
1.3 Estructura de la tesis .. 33
2. Estado del arte ... 35
3. Relaciones cinemticas en vehculos con ruedas 39
3.1 Introduccin .... 39
3.2 Supuestos considerados .. 42
3.3 Relaciones cinemticas ... 44
3.3.1 Sistemas de coordenadas . 443.3.2 Obtencin de la velocidad de deslizamiento de rueda . 46
3.3.3 Particularizacin de la ecuacin de rueda ........ 49
3.3.4 Matriz Jacobiana de rueda ... 50
3.4 Ecuacin compuesta .. 52
3.5 Ruedas especiales 54
3.5.1 Rueda doble y rueda castor doble . 54
3.5.2 Rueda tipo bola .. 58
3.5.3 Rueda ortogonal 593.6 Resultados ms relevantes y conclusiones del captulo 61
-
8/7/2019 tesisUPV2519
12/306
8 ndice general
3.A1 Coincidencia instantnea 62
4. Modelado cinemtico de vehculos con ruedas sin deslizamiento ..... 65
4.1 Introduccin .... 65
4.2 Modelado y caracterizacin con espacio nulo ... 67
4.3 Modelado y caracterizacin con rangos .. 69
4.4 Modelado y caracterizacin con matrices Jacobianas de rueda .. 70
4.4.1 Problema cinemtico directo .... 72
4.4.2 Problema cinemtico inverso ... 73
4.4.3 Solucin inversa accionada ... 75
4.4.4 rbol de accionamiento .... 77
4.4.5 Solucin directa sensorizada .... 79
4.4.6 rbol de sensorizacin ..... 80
4.4.7 Discusin del mtodo de matrices Jacobianas de rueda 82
4.4.8 Demostraciones para el mtodo de matrices Jacobianasde rueda . 84
4.5 Solucin cinemtica ampliada .... 95
4.6 Modelado y caracterizacin del vehculo triciclo ... 96
4.7 Resultados ms relevantes y conclusiones del captulo . 102
5. Modelos cinemticos de vehculos y transmisin de errores . 103
5.1 Introduccin ... 103
5.2 Restricciones al movimiento .. 105
5.3 Obtencin de las cinco clases de vehculos ... 107
5.3.1 Demostracin de las implicaciones de (5.9) 110
5.4 Transmisin de errores en los modelos cinemticos: Isotropa .... 113
5.5 Caracterizacin de las cinco clases de vehculos . 117
5.5.1 Tipo 1 (3,0): Vehculo omnidireccional . 117
-
8/7/2019 tesisUPV2519
13/306
ndice general 9
5.5.2 Tipo 2 (2,0): Vehculo diferencial .. 122
5.5.3 Tipo 3 (2,1): Vehculo con una rueda orientable 129
5.5.4 Tipo 4 (1,1): Vehculo triciclo y bicicleta.. 135
5.5.5 Tipo 5 (1,2): Vehculo con dos ruedas orientables .... 138
5.6 Resultados ms relevantes y conclusiones del captulo 141
6. Singularidad de los modelos cinemticos de vehculos .. 143
6.1 Introduccin ... 143
6.2 Reformulacin de ecuaciones 145
6.3 Problemtica de la singularidad 147
6.4 Caracterizacin de la singularidad 149
6.5 Singularidad de los cinco tipos de vehculos 154
6.5.1 Tipo 1: Vehculo omnidireccional . 154
6.5.2 Tipo 2: Vehculo diferencial .. 156
6.5.3 Tipo 3: Vehculo con una rueda orientable 156
6.5.4 Tipo 4: Vehculo triciclo y bicicleta.. 156
6.5.5 Tipo 5: Vehculo con dos ruedas orientables .... 160
6.6 Extensin de la caracterizacin de la singularidad 161
6.7 Resultados ms relevantes y conclusiones del captulo 162
7. Modelado cinemtico de vehculos con ruedas con deslizamiento 163
7.1 Introduccin ... 163
7.2 Modelado dinmico de vehculos con ruedas ... 168
7.3 Modelos de traccin (fuerzas de friccin en las ruedas) ... 173
7.4 Modelos con deslizamiento ... 179
7.4.1 Modelo del movimiento quasi-esttico ... 179
7.4.2 Modelo cinemtico con deslizamiento ... 181
7.4.3 Uso prctico del modelo cinemtico con deslizamiento 183
-
8/7/2019 tesisUPV2519
14/306
10 ndice general
7.4.4 Solucin de Mnimos Cuadrados ponderadadel modelo cinemtico .. 185
7.5 Simulacin y resultados experimentales . 187
7.5.1 Carretilla industrial (triciclo) .. 187
7.5.2 Estimacin del vector de velocidad del vehculocon el Filtro de Kalman .. 190
7.5.3 Resultados de simulacin .... 192
7.5.4 Resultados experimentales ... 198
7.6 Resultados ms relevantes y conclusiones del captulo 206
7.A1 Frmulas de Pacejka utilizadas en la simulacin ... 208
8. Control cinemtico de vehculos con ruedas .. 213
8.1 Introduccin ... 213
8.2 Esquema global del control del vehculo ..... 217
8.3 Control de posicin ... 219
8.4 Modelo cinemtico inverso de rueda .. 221
8.4.1 Rueda orientable sin ruedasfijas ... 221
8.4.2 Ruedafija y particularizacin de rueda orientable .. 222
8.4.3 Rueda castor .... 224
8.4.4 Rueda sueca .... 2248.5 Tipos de referencias posibles para cada tipo de vehculo . 226
8.5.1 Introduccin .... 226
8.5.2 Vehculo tipo 1: Omnidireccional ... 229
8.5.3 Vehculo tipo 2: Diferencial ..... 229
8.5.4 Vehculo tipo 4: Triciclo y bicicleta ... 230
8.5.5 Vehculo tipo 3 (una rueda orientable) y tipo 5 (dosruedas orientables)... 231
8.5.6 Resumen de tipos de referencias posibles .... 2328.6 Aplicacin del control al caso del triciclo . 234
-
8/7/2019 tesisUPV2519
15/306
ndice general 11
8.6.1 Particularizacin del control ........ 234
8.6.2 Resultados de simulacin ......... 235
8.6.3 Resultados con carretilla industrial ..... 239
8.6 Resultados ms relevantes y conclusiones del captulo 243
9. Aplicaciones para el control cinemtico de vehculos con ruedas 245
9.1 Introduccin ... 245
9.2 Seguimiento de lnea por vision ..... 247
9.2.1 Posicionamiento por visin .... 247
9.2.2 Control cinemtico para el seguimiento de lnea por visin . 262
9.2.3 Resultados del seguimiento de lnea por visin 2639.3 Planificador de aparcamiento ..... 268
9.3.1 Introduccin ........ 268
9.3.2 Planificador de aparcamiento en lnea .... 269
9.3.3 Resultados del planificador en simulacin . 278
9.4 Resultados ms relevantes y conclusiones del captulo 283
10. Conclusiones y trabajos futuros 285
10.1 Conclusiones ..... 28510.2 Trabajos futuros ........ 287
Bibliografa .... 289
-
8/7/2019 tesisUPV2519
16/306
-
8/7/2019 tesisUPV2519
17/306
ndice de tablas 13
NDICE DE TABLAS Y ALGORITMOS
Tabla 3.1- Asignacin de sistemas de coordenadas utilizada 45
Tabla 3.2- Nomenclatura de variables y parmetros . 46
Tabla 5.1- Relacin de vehculos no degenerados posibles ... 109
Tabla 7.1- Nuevas variables y parmetros en (7.11) . 169
Tabla 7.2- Nuevas variables y parmetros en (7.17) . 170
Tabla 7.3- Comparativa de cmputo WLS-FK2 y modelo diferencial-FK1 .. 208
Tabla 7.4- Variables y parmetros de la frmula mgica de Pacejka 205
Tabla 8.1- Referencias posibles segn el tipo de vehculo y marcoconsiderados .. 233
Tabla 9.1- Valores de parmetros para el ejemplo 1 de aparcamiento . 279
Tabla 9.2- Valores de parmetros para el ejemplo 2 de aparcamiento . 280
Algoritmo1- Deteccin de colisin frontal/trasera 275
Algoritmo2- Clculo de dx1 de modo que se pase por (xP2, yP2)= (0,0) 276
Algoritmo3- Clculo del punto de aproximacin .. 276
Algoritmo4- Clculo del punto previo al de aproximacin ... 278
Algoritmo5- Clculo de maniobras en la fase 3 278
-
8/7/2019 tesisUPV2519
18/306
-
8/7/2019 tesisUPV2519
19/306
ndice de figuras 15
NDICE DE FIGURAS
Figura 3.1- Rueda sueca con rodillos a 45 . 43
Figura 3.2- Sistemas de coordenadas utilizados en el vehculo .. 45
Figura 3.3- Sistemas y variables de la formulacin cinemtica recursiva .. 48
Figura 3.4- Vista de planta con variables y parmetros definidos en (3.8) . 48
Figura 3.5- Rueda doble y rueda castor doble . 54
Figura 3.6- Equivalencia entre la rueda doble y la orientablecentrada ... 55
Figura 3.7- Equivalencia entre la rueda castor doble y la castor. 56
Figura 3.8- Rueda tipo bola con tres rodillos formando unRectngulo horizontal. 58
Figura 3.9- Rueda ortogonal con ensamblaje longitudinal 60
Figura 3.10- Rueda ortogonal con ensamblaje lateral . 60
Figura 3.11- Ejemplo de bola en movimiento en un sistema unidimensional . 62
Figura 4.1- rbol de solucin de la ecuacin genrica A x = B y . 71
Figura 4.2- rbol para el vector de velocidad del vehculo .. 72
Figura 4.3- rbol para el vector compuesto de velocidades de rueda .. 73
Figura 4.4- rbol de caracterizacin del accionamiento del vehculo . 78
Figura 4.5- rbol de caracterizacin de la sensoriazacin del vehculo .. 81
Figura 4.6- Asignacin de sistemas de coordenadas en el vehculo triciclo . 96
Figura 5.1- Vehculo omnidireccional isotrpico con tres ruedas suecas 116
Figura 5.2- Vehculo omnidireccional quasi-isotrpico con tres ruedas castor119
-
8/7/2019 tesisUPV2519
20/306
16 ndice de figuras
Figura 5.3- Vehculo diferencial con rueda sueca ... 120
Figura 5.4- Condiciones de isotropa para el vehculo diferencial conuna rueda sueca . 122
Figura 5.5- Vehculo diferencial con rueda castor . 123
Figura 5.6- Condiciones de isotropa para el vehculo diferencial conuna rueda castor ... 125
Figura 5.7- Vehculo con una rueda orientable y dos ruedas suecas . 127
Figura 5.8- Configuraciones isotrpicas para el vehculo tipo 3 conruedas suecas .... 128
Figura 5.9- Vehculo con una rueda orientable y dos ruedas castor... 129
Figura 5.10- Configuraciones isotrpicas para el vehculo tipo 3 conruedas castor ...... 131
Figura 5.11- Vehculo triciclo (una rueda orientable y dosfijas dependientes). 133
Figura 5.12- Vehculo bicicleta con una rueda adicional sueca o castor.. 134
Figura 5.13- Vehculo con dos ruedas orientables 136
Figura 6.1- Lnea definida por el vector fila de tres elementos ( ) dx y= .150
Figura 6.2- Singularidad del vehculo omnidireccional con ruedas suecas . 155
Figura 6.3- Configuraciones singulares del vehculo omnidireccional conruedas castor ..... 155
Figura 6.4- Singularidad del vehculo tipo 2 con ruedasueca/castoradicional .. 157
Figura 6.5- Configuraciones singulares comunes para el vehculo tipo 3 .. 157
Figura 6.6- Configuraciones singulares para el vehculo tipo 3 conruedas suecas . 158
Figura 6.7- Configuraciones singulares para el vehculo tipo 3 conruedas castor. 158
Figura 6.8- Configuraciones singulares para el vehculo triciclo .... 159
Figura 6.9- Configuraciones singulares para el vehculo bicicleta con unarueda sueca/castoradicional. 159
Figura 6.10- Configuraciones singulares para el vehculo tipo 5 con unarueda sueca/castoradicional. 160
-
8/7/2019 tesisUPV2519
21/306
ndice de figuras 17
Figura 7.1- Fenmenos estticos en la friccin .. 173
Figura 7.2- Rueda con friccin distribuida o puntual .. 174
Figura 7.3- Coeficiente de adhesin para friccin de Coulomb yaproximada con (7.28) .. 175
Figura 7.4- Coeficientes admisibles para el caso bidimensional de Coulomb. 176
Figura 7.5- Curva propuesta en [Dugoff et al. 70] para el coeficiente defriccin en distintas condiciones de velocidad y adherencia 177
Figura 7.6- Curva esttica para el coeficiente de friccin lateral vs.ngulo de deslizamiento .... 178
Figura 7.7- Carretilla industrial Nichiyu FBT15 serie 65 187
Figura 7.8- Vista de planta de la carretilla industrial con la representacin
esquemtica tipo triciclo .... 188Figura 7.9- Diferencia entre los elementos del vector de velocidad del
vehculo al calcularlos con MCD y con WLS optimizado 193
Figura 7.10- Vector de velocidad calculado con MCD para los 1155 puntos 194
Figura 7.11- Error numrico medio cometido en (7.63) al calcular el vectorde velocidad calculado con MCD . 194
Figura 7.12- Caminos obtenidos con MD, MQE, MCD y WLS para paresnulos y condiciones iniciales no nulas .. 195
Figura 7.13- Caminos obtenidos con MD, MQE, MCD y WLS con pares
de rotacin no nulos y condiciones iniciales no nulas .. 196Figura 7.14- Evolucin de los elementos del vector de velocidad del vehculo
segn el MD para el segundo ejemplo de simulacin . 197
Figura 7.15- Camino obtenido con WLS optimizado y no optimizadoal recorrer aproximadamente un rectngulo . 199
Figura 7.16- Medidas de velocidades en las ruedasfijas y en la orientacinde la rueda orientable en experimento del rectngulo ...... 199
Figura 7.17- Camino obtenido con el FK1 optimizado y no optimizadopara los datos de la Figura 7.16 . 200
Figura 7.18- Camino obtenido con el FK2 optimizado y no optimizadopara los datos de la Figura 7.16 . 201
-
8/7/2019 tesisUPV2519
22/306
18 ndice de figuras
Figura 7.19- Caminos obtenidos con WLS, el FK1, el FK2 y el modelodiferencial para distintos experimentos tipo rectngulo .... 202
Figura 7.20- Caminos obtenidos con WLS, el FK1, el FK2 y el modelo
diferencial para el segundo tipo de camino en forma de tirabuzn 203Figura 7.21- Caminos obtenidos con WLS, el FK1, el FK2 y el modelo
diferencial para el tercer tipo de camino en forma de D ....... 203
Figura 7.22- Caminos obtenidos con WLS, el FK1, el FK2 y el modelodiferencial para el cuarto tipo de camino en forma de ocho . 204
Figura 7.23- Caminos obtenidos con WLS, el FK1, el FK2 y el modelodiferencial para el quinto tipo de camino en forma de triple bucle 204
Figura 7.24- Interfaz del terminal tctil incorporado en la carretilla industrial . 205
Figura 7.25- Coeficiente longitudinal en deslizamiento longitudinal
puro y velocidad longitudinal de rueda entre 1 y 18 m/s .. 209Figura 7.26- Coeficiente lateral en deslizamiento lateral puro y velocidad
longitudinal de rueda entre 1 y 9 m/s 210
Figura 7.27- Coeficiente de adhesin longitudinal en deslizamientocombinado . 211
Figura 7.28- Proyeccin de las curvas de nivel del coeficiente de adhesinlongitudinal en deslizamiento combinado respecto al ngulode deslizamiento .... 211
Figura 7.29- Coeficiente de adhesin lateral en deslizamiento combinado .. 212
Figura 7.30- Proyeccin de las curvas de nivel del coeficiente de adhesinlateral en deslizamiento combinado respecto al ratio dedeslizamiento .... 212
Figura 8.1- Esquema general de control del vehculo . 218
Figura 8.2- Ejemplos de funcin: f1 no es C0; f2 es C
0 pero no C1 .. 227
Figura 8.3- Variables del camino en un punto de tangente continua .. 228
Figura 8.4- Variables y parmetros de la carretilla industrial . 234
Figura 8.5- Ejemplo 1 de seguimiento de referencia: camino seguido porla referencia, origen de R y punto medio de las rueda fijas .. 236
Figura 8.6- Orientacin3, error enx y error eny para ejemplo 1 236
-
8/7/2019 tesisUPV2519
23/306
ndice de figuras 19
Figura 8.7- Ejemplo 2 de seguimiento de referencia: camino seguido porla referencia, origen de R y punto medio de las rueda fijas .. 237
Figura 8.8- Orientacin3, error enx y error eny para ejemplo 2 237
Figura 8.9- Experiencias de seguimiento de trayectoria rectilnea: caminoseguido por referencia, origen de R y punto medio ruedasfijas ... 240
Figura 8.10- Orientacin3, error enx y error eny en caso de recta 241
Figura 8.11- Experiencia de seguimiento de trayectoria circular: caminoseguido por referencia, origen de R y punto medio ruedasfijas ... 241
Figura 8.12- Orientacin3, error enx y error eny para el crculo 242
Figura 9.1- Modelo bsico de formacin de imagen . 250
Figura 9.2- Relacin entre el sistema de coordenadas del suelo y el de
la cmara .. 251Figura 9.3- Vista de planta del vehculo, cmara, lnea a seguir y sus
sistemas de coordenadas .. 252
Figura 9.4- Vista de perfil de la cmara, lnea a seguir y sus sistemas decoordenadas .. 253
Figura 9.5- Posibilidades de lneas de seguimiento . 254
Figura 9.6- Situacin de calibracin 256
Figura 9.7- Ejemplo de calibracin 258
Figura 9.8- Lneas detectadas en ejemplo de posicionamiento con sistemacalibrado 259
Figura 9.9- Posicionamientos obtenidos . 260
Figura 9.10- Posicionamiento en campo de chufas .. 260
Figura 9.11- Transformada deHough de la Figura 9.10 (b) .. 261
Figura 9.12- Posicionamiento obtenido con sistema de visin . 262
Figura 9.13- Trazados en seguimiento de lnea simulado: Referencia,P origen de R y punto medio de las ruedasfijas 264
Figura 9.14- Evolucin de las velocidades de control de las ruedasfijas delvehculo diferencial en el seguimiento de lnea simulado ... 265
-
8/7/2019 tesisUPV2519
24/306
20 ndice de figuras
Figura 9.15- Vehculo de pruebas tipo diferencial 266
Figura 9.16- Interfaz desarrollada para el seguimiento de lnea 267
Figura 9.17- Fases del aparcamiento . 269
Figura 9.18- Parmetros geomtricos del espacio de aparcamiento . 270
Figura 9.19- Parmetros geomtricos del vehculo tipo coche 271
Figura 9.20- Descripcin del CIR y distancias d1, d2, d3 y d4 .. 272
Figura 9.21- Relacin entre el ngulo y la posicin de Pi 273
Figura 9.22- Desplazamiento entre dos arcos simtricos de valor 273
Figura 9.23- Caractersticas de la colisin en la primera maniobra .. 275
Figura 9.24- Maniobra previa para alcanza el punto de posicionamiento . 277
Figura 9.25- Interfaz de los parmetros del vehculo .. 279
Figura 9.26- Interfaz de los parmetros del espacio de aparcamiento .. 279
Figura 9.27- Ejemplo 1 de aparcamiento con el planificador desarrollado .. 280
Figura 9.28- Ejemplo 2 de aparcamiento con el planificador desarrollado .. 280
Figura 9.29-Zoom del ejemplo 2 de aparcamiento .. 281
Figura 9.30- Relacin maniobras-ratio en el ejemplo 1 de aparcamiento 281
Figura 9.31- Vehculo elctrico de pruebas sobre el que implementar elPlanificador de aparcamiento desarrollado ... 282
-
8/7/2019 tesisUPV2519
25/306
Notacin 21
NOTACIN
A continuacin se indican los smbolos utilizados, agrupados segn el captulodonde aparecen por primera vez.
En el Captulo 3
p Postura del vehculo
p Vector de velocidad del vehculo
R Sistema de coordenadas del vehculo
R Sistema de coordenadas estacionario y coincidente con el RS
iSistema de coordenadas del brazo de direccin de la rueda i
Li
Sistema de coordenadas de la rueda i
Mi
Sistema de coordenadas del rodillo de la rueda i
Ei
Sistema de coordenadas entre rodillo de la rueda i y el suelo
Ei
Sistema de coordenadas estacionario y coincidente con el Ei
G Sistema de coordenadas global estacionarioR
Eiv Velocidad de deslizamiento entre el rodillo y el suelo respecto al sistema RE
E slipi
i iv v Velocidad de deslizamiento entre el rodillo y el suelo respecto al sistema Ei
RRx xv v Velocidad del vehculo respecto a la coordenadaXdel sistema R
RRy yv v Velocidad del vehculo respecto a la coordenada Ydel sistema R
RR Velocidad angular del vehculo
i Velocidad angular del brazo de direccin de rueda respecto a la plataforma
i Velocidad de rotacin de la rueda
i Velocidad de rotacin del rodillo
ri
Radio equivalente de la rueda
ri
Radio del rodillo
-
8/7/2019 tesisUPV2519
26/306
22 Notacin
( )Rot Matriz bidimensional de rotacin
li
Distancia del origen del sistema del vehculo al eje de articulacin
de la direccin de la rueda
d i Distancia del eje de articulacin de direccin al centro de la ruedai ngulo entre el vector definido por li y el sistema del vehculo R
i ngulo del brazo de direccin
i
ngulo entre el brazo de direccin y la rueda
i ngulo entre la rueda y el rodillo
cos( ) c Funcin coseno
sin( ) s Funcin seno
( )Z Rot Matriz de rotacin tridimensional en el ejeZG
R Orientacin del vehculoR
Rv Velocidad lineal del vehculo respecto al sistema R
wiq Vector de velocidad de ruedai
J Matriz Jacobiana de rueda
J Matriz Jacobiana compuesta
Matriz compuesta de matrices identidad de dimensin 3f Subndice de ruedafijao Subndice de rueda orientablec Subndice de rueda castors Subndice de rueda suecaN Nmero de ruedas del vehculo
wq Vector de todas las velocidades de ruedas
slipv Vector de todas las velocidades de deslizamiento de rueda
A Matriz compuesta del vehculoq Vector de todas las velocidades (de ruedas y del vehculo)
pA Parte de la matriz compuesta que multiplica al vector p
wA Parte de la matriz compuesta que multiplica al vector wq
En el Captulo 4
N() Espacio nuloB Base del espacio nulo de la matriz compuesta del vehculo Vector de movilidad del vehculo
m Grado de movilidad del vehculok Nmero de velocidades (de ruedas y del vehculo)
-
8/7/2019 tesisUPV2519
27/306
Notacin 23
g Rango de la matriz compuesta del vehculo
aq Vector de velocidades asignadas
naq Vector de velocidades no asignadas
aB Submatriz de B definida por las velocidades asignadasnaB Submatriz de B definida por las velocidades no asignadas
o Vector de todos los ngulos de las ruedas orientables
c Vector de todos los ngulos de las ruedas castor
12l Semidistancia entre las ruedasfijas para el vehculo tipo triciclo
3l Distancia entre la rueda orientable y el origen del sistema R para el
vehculo tipo triciclor Radio de las tres ruedas del vehculo tipo triciclo
( ) Funcin auxiliar para el clculo del error residual obtenido al aplicar elalgoritmo de Mnimos Cuadrados
H Nmero de velocidades de rueda independientes
G Nmero de velocidades del vehculo independientesw
iNmero de velocidades de la rueda i
pJ Reordenacin de matriz Jacobiana compuesta segn accionadas
pq Reordenacin del vector de velocidades de rueda segn accionadas
u Subndice de accionadasnu Subndice de no accionadass Subndice de sensorizadasns Subndice de no sensorizadas
En el Captulo 5
K Matriz de restricciones al movimiento del vehculo*K Matriz de restricciones al movimiento del vehculo debidas a las ruedas
fijas y orientables*fK Matriz de restricciones al movimiento del vehculo debidas a lasfijas
*oK Matriz de restricciones al movimiento del vehculo debidas a orientables
fN Nmero de ruedasfijas en el vehculo
oN Nmero de ruedas orientables en el vehculo
m Grado de movilidad del vehculod Grado de direccionabilidad del vehculo
H Matriz de relacin entre vector de salida y vector de entrada Nmero de condicin de una matriz
2 Norma Eucldea
-
8/7/2019 tesisUPV2519
28/306
24 Notacin
Pseudo inversa de una matriz
max Valor singular ms grande de la matriz
min Valor singular ms pequeo de la matriz
na_sq
Velocidades no asignadas utilizadas para isotropana_nsq Velocidades no asignadas no utilizadas para isotropa
na_sB Submatriz definida por las velocidades no asignadas utilizadas en isotropa
na_nsB Submatriz definida por las velocidades no asignadas no utilizadas en
isotropa
En el Captulo 6
iE Vector de la ecuacin de rueda que multiplica al vector de velocidad del
vehculo p
y cuyo resultado es igual a ceroi
F Vector de la ecuacin de rueda que multiplica a p y cuyo resultado seiguala a la velocidad de rotacin
iF Vector de la ecuacin de rueda que multiplica a p y cuyo resultado se
iguala a la velocidad de orientacin
iF Vector de la ecuacin de rueda que multiplica a p y cuyo resultado se
iguala a la velocidad de orientacin y a la de rotacinE Agrupacin de vectores
iE
F Agrupacin de vectoresi
F r Matriz con los radios de las ruedas y distancias del brazo de direccin de
las ruedas castor
a Subndice de asignadasna Subndice de no asignadassg Subndice de ruedas omnidireccionales singulares
nsg Subndice de omnidireccionales no singulares
G Matriz que se multiplica por p y cuyo resultado es igual a cero
( ) dx y= Vector fila que representa una recta en el espacio bidimensionalT( )
x yVector unitario bidimensional de una recta
d Distancia de una recta bidimensional al origen
-
8/7/2019 tesisUPV2519
29/306
Notacin 25
En el Captulo 7
fric_c iF Fuerza de friccin debida a la ley de Coulomb
c i Coeficiente de friccin o adhesin debido a la ley de CoulombdisP Potencia disipada por las fuerzas de friccin
bv Velocidad de un bloque libre en una dimensin
fric_bF Fuerza de friccin sobre bloque
dis_bP Potencia disipada por fuerza de friccin sobre bloque
T Energa cintica del vehculoQ Vector de fuerzas generalizadas sobre el vehculo
oN Nmero de ruedas orientables en el vehculo
cN Nmero de ruedas castoren el vehculo
sN Nmero de ruedas suecas en el vehculo
i
Par de rotacin de la rueda i
osi Par de direccionamiento de la rueda orientablei
csi Par de direccionamiento de la rueda castori
oi Velocidad de direccionamiento de la rueda orientablei
ci Velocidad de direccionamiento de la rueda castor i
fric iF Fuerza de friccin en la rueda i respecto al sistema EiG p Vector de velocidad del vehculo respecto al sistema global GR p Vector de velocidad del vehculo respecto al sistema coincidente
Vector de pares agrupados
fricF Agrupacin de las fuerzas de friccin en las ruedas
TM Masa del vehculo sin incluir las ruedas castorcM i Masa de la rueda castor i
TI Momento de inercia del vehculo sin incluir las ruedas castor
Ii
Momento de inercia de la ruedas i respecto a su eje de rotacin
rI i Momento de inercia del rodillo de la rueda sueca i
osI i Momento de inercia de la rueda orientable i respecto al ejeZ
csI i Momento de inercia de toda la rueda castor i respecto al ejeZG
CMv Velocidad del CM del vehculo (sin incluir castor) respecto a GG
Rv Velocidad del origen del sistema R del vehculo respecto al sistema GG
cm iv Velocidad de la rueda castor i respecto al sistema global G
jif Funciones para rueda castor i que dependen de Gcm Rl , d , , , y .i i i i
NF Fuerza de reaccin en el punto de contacto entre rueda y suelo
-
8/7/2019 tesisUPV2519
30/306
26 Notacin
fric aF Fuerza de friccin en la coordenada a
a Coeficiente de friccin o adhesin en la coordenada a
Coeficiente de friccin o adhesin vectorial*
Coeficiente de friccin vectorial que maximiza el ratio de disipacin
y Coeficiente de friccin longitudinal en la rueda
x Coeficiente de friccin lateral en la rueda
s Ratio de deslizamiento longitudinal
wheelyv Velocidad longitudinal del centro de la rueda
s ngulo de deslizamiento
Subndice que indica el valor estacionario de una variable o vectorR
Rv Velocidad del sistema R del vehculo respecto su coincidenteG q Vector de velocidades con vector de velocidad del vehculo respecto a GR q Vector de velocidades con vector de velocidad del vehculo respecto a R
aj Par de rotacin no libre de la ruedaj
csaj Par de direccin no libre de la rueda castorj
aj Velocidad de rotacin no libre de ruedaj
caj Velocidad de direccin no libre de rueda castorj
fric ( )i f Funcin genrica bidimensional para el clculo de fuerza de friccin
Matriz de ponderacin de la ecuacin cinemtica sin deslizamiento
i Matriz de ponderacin de las ecuaciones cinemticas de la rueda i
LSJ ndice minimizado por el algoritmo de mnimos cuadrados
CMl Distancia del CM de la carretilla al eje de rotacin de las ruedasfijas
aA Matriz de velocidades asignadas con ponderacin de ecuacionesnaA Matriz de velocidades no asignadas con ponderacin de ecuaciones
12 12( , )x y Coeficientes de friccin lateral y longitudinal de ruedasfijas de carretilla
3x Coeficiente de friccin lateral de la rueda orientable de la carretilla
11k Constante de relacin entre coeficientes de friccin 12x y 12y
12k Constante de relacin entre coeficientes de friccin 12x y 3x
T Periodo del sistema de adquisicin de medidas
1ky Vector de salida para el FK1 en el instante discreto k
1kC Matriz de salida para el FK1 en el instante discreto k
2ky Vector de salida para el FK2 en el instante discreto k
2kC Matriz de salida para el FK2 en el instante discreto kk
Q Matriz de covarianza de ruido en el proceso en el instante k
-
8/7/2019 tesisUPV2519
31/306
Notacin 27
kR Matriz de covarianza de ruido en la medida en el instante k
kP Matriz de covarianza del error en el instante k
kK Matriz de correccin o de ganancia en el instante k
13k Desviacin tpica del ruido en los elementos del vector p de la ecuacinde estado
14k Desviacin tpica del ruido en la velocidad de las ruedasfijas para el FK1
15k Desviacin tpica del error de la ecuacin correspondiente a la coordenada
perpendicular de la rueda orientable para el FK1
16k Desviacin tpica del error de la ecuacin correspondiente a la coordenada
perpendicular de las ruedasfijas para el FK2
17k Desviacin tpica del ruido en la velocidad de las ruedasfijas para el FK2
18k Desviacin tpica del error de la ecuacin correspondiente a la coordenada
perpendicular de la rueda orientable para el FK2
MQEJ ndice de error del modelo de movimiento quasi-esttico en simulacin
MCDJ ndice de error del modelo cinemtico con deslizamiento en simulacin
WLSJ ndice de error de la solucin de mnimos cuadrados ponderada en
simulacinJ ndice de error para los caminos obtenidos con WLS, FK1, FK2 y el
modelo diferencial en los experimentos reales
7k Factor de pico de la frmula mgica de Pacejka
8k Factor de forma de la frmula mgica de Pacejka
9k Factor de rigidez de la frmula mgica de Pacejka
10k Factor de curvatura de la frmula mgica de Pacejka
En el Captulo 8
efp Postura de referencia establecida por el planificador
controlp Vector de velocidad del vehculo a conseguir por control dinmico
refi Velocidad de rotacin a conseguir por el control dinmico
refi Velocidad de direccin a conseguir por control dinmico
refi Orientacin de rueda orientable a conseguir por control dinmico
iV Tensiones aplicadas a los actuadores
i
Pares aplicados por los actuadores
si Velocidad de rotacin sensorizada
-
8/7/2019 tesisUPV2519
32/306
28 Notacin
si Velocidad de direccin sensorizada
si Orientacin sensorizada de rueda
castori Orientacin de rueda castorcon alguna velocidad de rueda accionada
cA Matriz diagonal del control de posicincB Matriz diagonal del control de posicin
ca Polos asignados por el control de posicin
T Periodo del sistema de adquisicin de medidas y controlG
R Orientacin del vehculoR p Vector de velocidad del vehculo respecto al sistema coincidente RG p Vector de velocidad del vehculo respecto al sistema global GG
xv Velocidad del vehculo respecto a la coordenadaXdel sistema global G
Gv Velocidad del vehculo respecto a la coordenada Ydel sistema global G
( )i
f Funcin genrica que slo depende de la variable 0C Una funcin es 0C si es continuanC Una funcin es nC si su derivada ensima es continua
ngulo que forma el vector tangente al camino o curva con el ejeX
av Velocidad de avance de la trayectoria 2D
g Velocidad de giro de la trayectoria 2D
c Curvatura del camino
c Radio de curvatura del camino
cC Centro de curvatura del camino
e Distancia entre el punto que hace el seguimiento (origen de R) y el eje derotacin de las ruedasfijas de la carretilla
G R refx Posicin de referencia del vehculo respecto a la coordenadaXde GG
R refy Posicin de referencia del vehculo respecto a la coordenada Yde GG
controlxv Velocidad de control de la coordenadaXdel vector p G
controlyv Velocidad de control de la coordenada Ydel vector p
xa Polo asignado a la dinmica de la coordenadaXdel vector p
ya Polo asignado a la dinmica de la coordenada Ydel vector p
-
8/7/2019 tesisUPV2519
33/306
Notacin 29
En el Captulo 9
( , , )c c c
X Y Z Sistema de coordenadas de la cmara
( , , )c c cx y z Posicin de un punto respecto al sistema de coordenadas de la cmara( , )u uX Y Sistema de coordenadas del plano de la imagen
( , )u u
x y Posicin de un punto en el plano de la imagen
f Distancia focal efectiva de la cmara
( , )p p
x y Posicin de un punto en el plano de la imagen en coordenadas de pxel
( , )x y
C C Coordenadas en pxeles del centro del plano imagen
(d ,d )x y
Tamao de los elementos sensores de la cmara en los dos ejes
( , , )w w w
X Y Z Sistema de coordenadas del suelo
( , , )w w w
x y z Posicin de un punto respecto al sistema de coordenadas del suelo
( , , ) x y zt t t Vector de desplazamiento entre los sistemas de la cmara y el del suelo
ngulo de inclinacin de la cmara respecto a la vertical ngulo de giro entre el sistema de la cmara y el del suelo
v Altura del objetivo de la cmara respecto a la lnea a seguirP Punto solidario al vehculo perteneciente al eje del objetivo de la cmara
que se quiere que haga el seguimiento
Pz Distancia del punto P al objetivo de la cmara
h Distancia entre P y la lnea a seguird Distancia real de separacin entre lneas paralelas a seguirn Parmetro que indica la lnea a seguir de entre las que son paralelas
1 2( , ,A)x x Valores de plano imagen para poder aplicar sistema de calibracin
( , )w wx y Valores de plano real para poder aplicar sistema de calibracin
J Anchura del espacio de aparcamientoH Longitud del espacio de aparcamientoMS Margen de seguridad con los obstculosJ' Ancho efectivo del espacio de aparcamientoH' Longitud efectiva del espacio de aparcamiento
1a Distancia entre el eje trasero de ruedas y la parte delantera del vehculo
1b Distancia entre el eje trasero de ruedas y la parte de atrs del vehculo
1h Distancia entre el eje trasero de ruedas y el centro de la rueda orientable
1d Distancia entre los centros de las ruedasfijas
1c Ancho del vehculo
r Radio de las ruedas
d
Orientacin de la rueda de direccin equivalente
dmax Mxima orientacin posible de la rueda de direccin equivalente
fP Punto fijo entre las ruedasfijas que sigue la trayectoria
-
8/7/2019 tesisUPV2519
34/306
30 Notacin
CIR Centro instantneo de rotacin del vehculo Radio de giro, desde el CIR hasta el punto Pf
Pi Esquina del vehculo
id Distancia del CIR a la esquina del vehculo Pi ngulo de cada uno de los arcos simtricos de una maniobra
1dx Distancia del punto Pfal obstculo delantero al iniciar primera maniobra
2dx Separacin inicial entre el punto Pfy los obstculos delantero y trasero
3dy Distancia recorrida en pasada de reconocimiento a partir de la deteccin del
obstculo delantero
maxW Distancia actual disponible al obstculo lateral
ratio Medida porcentual del espaci longitudinal disponible para el aparcamiento
-
8/7/2019 tesisUPV2519
35/306
Captulo 1. Introduccin 31
CAPTULO 1
INTRODUCCIN
1.1 INTRODUCCIN
Una de las temticas clsicas del rea de conocimiento de Ingeniera de Sistemas
y Automtica es la robtica.
El mundo de la robtica est experimentando un crecimiento explosivo
impulsado por los avances en computacin, sensores, electrnica,
comunicaciones y software. Los robots estn en la antesala de revolucionar losprocedimientos que se emplean en la agricultura, minera, industria en general,
etc. atrayendo los distintos mercados.
Dentro de la robtica se encuentra el campo de los robots manipuladores,
que ha experimentado un alto desarrollo desde la dcada de los setenta, y la
denominada robtica mvil, que ha cobrado una importancia creciente durante
los aos ochenta y noventa.
Tanto en los robots manipuladores como en la robtica mvil existen puntos
de inters comn: el modelado cinemtico, el modelado dinmico, el control
(arquitecturas, algoritmos), la planificacin, el reconocimiento del entorno, etc.
En el caso de robots manipuladores existe ya una abundante bibliografa que
aborda los aspectos anteriores, mientras que para robots mviles todava se estn
realizando un considerable nmero de investigaciones y desarrollos al respecto.
As pues, la presente tesis surge ante la necesidad de dar respuesta a las
cuestiones cinemticas (modelado, control, ) de los robots mviles con ruedas.
-
8/7/2019 tesisUPV2519
36/306
32 Captulo 1. Introduccin
1.2 OBJETIVOS DE LA TESIS
En el ao 2000 se estableci como meta de la presente tesis doctoral el estudio de
aquellas cuestiones relacionadas con la cinemtica de robots mviles con ruedas.
Durante el desarrollo de la tesis se han ido planteando y resolviendo
objetivos concretos. A continuacin se describen los objetivos principales de la
tesis:
Desarrollar una metodologa completa de modelado cinemtico de vehculossin deslizamiento, mejorando (y unificando en algunos casos) lo
desarrollado por otros autores. (Captulos 3 y 4)
Proporcionar una completa gua sobre los modelos cinemticos devehculos, su transmisin de errores (Isotropa) y condiciones desingularidad. (Captulos 5 y 6)
Establecer un modelado cinemtico con deslizamiento a partir, a diferenciade otros autores, de principios fsicos. (Captulo 7)
Obtener un mtodo de control cinemtico que anule el error en elseguimiento de referencias para cualquier tipo de vehculo. (Captulo 8)
Plantear soluciones a dos aplicaciones concretas, el seguimiento de lnea porvisin y el aparcamiento en paralelo, sobre las que poder aplicar el controlcinemtico anterior. (Captulo 9)
-
8/7/2019 tesisUPV2519
37/306
Captulo 1. Introduccin 33
1.3 ESTRUCTURA DE LA TESIS
La presente tesis doctoral est organizada en diez captulos, incluyendo ste.
El Captulo 2, estado del arte, es preliminar y representa una mirada deconjunto a las distintas temticas de la tesis.
La revisin anterior se completa de forma pormenorizada en el resto de
captulos, fundamentalmente en su introduccin particular, lo que permite
encauzar el desarrollo de los mismos.
El ltimo punto de cada captulo presenta las aportaciones y conclusiones
correspondientes al mismo.
En el Captulo 3 se deducen las relaciones cinemticas entre variables de
rueda y vehculo para una rueda genrica, que incluye los tipos habituales (fija,orientable, castor, sueca), empleando una eficiente formulacin cinemticarecursiva.
En el Captulo 4 se presentan tres mtodos para generar modelos
cinemticos de vehculos con ruedas sin deslizamiento, los cuales son aplicados
al vehculo tipo triciclo y comparados.
En el Captulo 5 se deduce una clasificacin genrica de vehculos para los
que se obtiene su caracterizacin, modelado cinemtico y transmisin de errores
a travs del concepto de isotropa.
En el Captulo 6 se obtiene un planteamiento geomtrico general quecaracteriza la singularidad de cualquier modelo cinemtico de cualquier vehculo
con ruedas, este planteamiento se aplica a los cinco tipos de vehculos deducidos
en el captulo anterior.
En el Captulo 7 se deducen tres tipos de modelos con deslizamiento a partir
de sucesivas aproximaciones del modelo dinmico del vehculo. Estos modelos
se comparan, para el vehculo triciclo, con el modelo dinmico en simulacin y
con el filtro de Kalman en una situacin real.
En el Captulo 8 se presenta un control cinemtico de vehculos basado en
tres bucles anidados y se caracterizan las referencias que puede seguir sin error
cada tipo de vehculo. El control cinemtico anterior se particulariza para el casodel vehculo triciclo, probndose tanto en simulacin como en una situacin real.
-
8/7/2019 tesisUPV2519
38/306
34 Captulo 1. Introduccin
En el Captulo 9 se ha dado solucin a dos aplicaciones robticas concretas:
el seguimiento de lnea por visin y el aparcamiento en lnea.
Finalmente en el Captulo 10 se destacan las conclusiones ms relevantes y
se propone una serie de trabajos futuros para distintas lneas de la tesis.
-
8/7/2019 tesisUPV2519
39/306
Captulo 2. Estado del arte 35
CAPTULO 2
ESTADO DEL ARTE
Con objeto de no descontextualizar la revisin bibliogrfica, dada la disparidadde captulos, aqu se plantea una visin de conjunto sobre las distintas temticas
de la tesis. Posteriormente, en la introduccin particular de cada captulo se
realiza un estudio ms detallado de las distintas referencias o fuentes que permite
encauzar los desarrollos del captulo en cuestin.
El modelado y el control son puntos de inters tanto en robots
manipuladores como en robots mviles.
En el caso de los robots manipuladores existe una abundante bibliografa,
ver por ejemplo [Fu et al. 88] y [Ollero 01], que aborda su modelado cinemtico,
dinmico y/o control.
La mayor parte de los robots manipuladores son brazos articulados ytradicionalmente se modelan, desde el punto de vista cinemtico, con matrices de
transformacin homognea entre sistemas de coordenadas. Para el modelado
dinmico se manejan distintas formulaciones y mtodos: Lagrange-Euler,Newton-Euler, ecuaciones generalizadas de dAlambert, etc.
Para mejorar sus prestaciones se investiga en tcnicas para identificar los
modelos dinmicos eficientemente y en mtodos de control de articulaciones que
compensan no-linealidades y acoplamientos [An et al. 88], as como en
optimizacin dinmica y control adaptativo para distintas condiciones de trabajo[Craig 88] [Ortega et al. 89].
-
8/7/2019 tesisUPV2519
40/306
36 Captulo 2. Estado del arte
Por otro lado, para la robtica mvil existe una reciente bibliografa, ver por
ejemplo [Inoue et al. 97] [Lyshevski et al. 00] [OConnor et al. 96] [Canudas et
al. 97] [Samson 95], que aborda su modelado cinemtico, dinmico y/o control.
Desde el punto de vista del modelado cinemtico de vehculos con ruedas,
las publicaciones que han causado un mayor impacto hasta ahora son [Muir et al.
87] [Campion et al. 96] [Alexander et al. 89], referidas en un gran nmero de
publicaciones y libros.
Prcticamente slo en [Muir et al. 87] se plantea un mtodo sistemtico
basado en matrices de transformacin homognea, de forma anloga al caso de
robots manipuladores, para obtener las relaciones cinemticas entre las variables
de rueda y del vehculo, lo cual permite un posterior modelado del vehculo en su
conjunto. En el Captulo 3 de la tesis se plantea una forma ms genrica y
eficiente de obtener las relaciones anteriores, utilizando una formulacincinemtica recursiva. Posteriormente en [Muir et al. 87] se realiza un estudio del
modelo del vehculo aplicando un tratamiento de ecuacin algebraica matricial
genrica y grafos en forma de rbol.
En [Campion et al. 96] fundamentalmente se realiza una clasificacin de
todos los vehculos en cinco tipos bsicos y se obtienen modelos cinemticos
directos con variables de entrada sin sentido fsico. Esta clasificacin genrica se
utiliza en varios captulos de la tesis (5, 6 y 8).
En [Alexander et al. 89] se plantean modelos cinemticos directos e inversos
parciales para relacionar variables de rueda y del vehculo, no permitiendo una
perspectiva global del vehculo.
Por otra parte la transmisin de errores en los modelos cinemticos directos
o inversos, cuando se considera un error de entrada, ha sido estudiada por
distintos autores a travs de la caracterizacin de matrices isotrpicas [Saha et al.
95] [Low et al. 05] [Kim2 et al. 04] [Kim et al. 05].
Otros autores la han estudiado desde un punto de vista emprico para la
correccin de errores sistemticos [Borenstein et al. 94] o estimacin de distintos
parmetros del error [Martinelli 02] [Kleeman 95].
-
8/7/2019 tesisUPV2519
41/306
Captulo 2. Estado del arte 37
Un aspecto importante es que los modelos cinemticos dependen de los
ngulos de las ruedas con articulacin de direccin, por lo que hay valores
especiales de estos ngulos para los que se produce la singularidad del modelo,
que implica deslizamiento o prdida de movilidad en el vehculo.
La singularidad de robots manipuladores ha sido ampliamente estudiada
[Tourassis et al. 92] [Dinesh et al. 92] [Liu et al. 03] [Lipkin et al. 91] mientras
que en vehculos slo existe alguna pequea aproximacin [Yi et al. 02].
Por otro lado, la necesidad de considerar modelos cinemticos con
deslizamiento puede venir dada por una redundancia en la informacin de
sensores, de forma similar al filtro de Kalman, o por una sobre-actuacin en elvehculo.
En [Muir et al. 87] se considera una solucin cinemtica con informacinredundante que viola el modelo de slido rgido del vehculo, mientras que la
propuesta en [Kim et al. 04] minimiza una norma Eucldea sin un sentido fsico
definido. En [Tham et al. 98] se consideran varias relaciones cinemticas con
variables de deslizamiento sin una justificacin rigurosa. Finalmente en
[Alexander et al. 89] se propone minimizar una funcin de disipacin que en
general no produce una solucin correcta y que no tiene en cuenta fuerzas
externas.
Otros autores han abordado el modelado dinmico de vehculos con
deslizamiento [Balakrishna et al. 95] [Williams et al. 02] [Lindgren et al. 02].
Para el control del vehculo o robot mvil algunos autores han planteado
mtodos geomtricos [Ollero et al. 94] [Shin 90] y otros la utilizacin de
herramientas de la teora de control clsica: aproximacin lineal [OConnor et al.
96]; linealizacin exacta [d'Andra-Novel et al. 95] [De Luca et al. 93] [Park et
al. 99] [Tzafestas et al. 01]; controlabilidad [Samson 95] [Monaco et al. 91]
[Murray et al. 93]; estabilidad porLyapunov [Lyshevski et al. 00] [Canudas et al.97] [Dixon et al. 00]; control adaptativo [Inoue et al. 97] [Dixon et al. 01] [Fukao
et al. 00]; control predictivo [Ollero et al. 91]; etc.
Por otro lado, el seguimiento de lnea es una aplicacin habitual en robticamvil, utilizndose normalmente cables o sensores pticos. Con los ltimos
avances tecnolgicos se ha ido incrementando el uso de sistemas de visin para
-
8/7/2019 tesisUPV2519
42/306
38 Captulo 2. Estado del arte
esta aplicacin. La visin tiene algunas ventajas respecto a los otros mtodos
aunque con el inconveniente del coste computacional asociado al tratamiento de
imagen: umbralizado, segmentacin, deteccin de contornos, etc. Para mejorar
dicho tratamiento se utilizan herramientas como la transformada de Hough[Hough 59]. En [Marchant 95] se establece el posicionamiento a partir de un
sistema de visin respecto a una lnea, para lo cual se realiza una aproximacin
(innecesaria como demuestra el Captulo 9) que da lugar a relaciones inexactas.
Por otra parte, para el aparcamiento en lnea se pueden utilizar
planificadores de propsito general [Latombe 91] [Laumond et al. 94], con alto
coste computacional, o planificadores ms especficos [Tilbury et al. 93] [Zhao et
al. 05] [Paromtchik et al. 96] [Jiang et al. 99] [Holve et al. 96] [Miyata et al. 96]
[Baturone et al. 04] [Cuesta et al. 04].
En concreto en [Paromtchik et al. 96] [Jiang et al. 99] se realiza elaparcamiento con una preplanificacin de tres fases y acciones de control
preestablecidas o caracterizacin geomtrica. La caracterizacin geomtrica de
[Jiang et al. 99] es incompleta, adems de no optimizarse determinados
parmetros del aparcamiento.
-
8/7/2019 tesisUPV2519
43/306
Captulo 3. Relaciones cinemticas 39
CAPTULO 3
RELACIONES CINEMTICAS ENVEHCULOS CON RUEDAS
3.1 INTRODUCCIN
El primer paso para obtener modelos cinemticos para distintos tipos de
vehculos, bien sean con o sin deslizamiento, es conseguir las relaciones
cinemticas entre los distintos tipos de variables que intervienen en el vehculo.
Dichas variables son ([Campion et al. 96] [Muir et al. 89]):
Asumiendo movimiento horizontal, la posicin de la estructura del vehculo
queda completamente definida con tres variables escalares, dos lineales y
otra angular (ej. x, y, ), cuya forma vectorial (ej. p) se denomina posturadel vehculo.
Su derivada de primer orden respecto al tiempo ( p ) se denomina vector de
velocidad del vehculo, y separadamente (vx, vx, ) velocidades delvehculo.
De igual modo, las articulaciones de direccin y rotacin de la rueda dan
lugar al vector de velocidad de rueda y a las velocidades de rueda.
Varias publicaciones han abordado el modelado de una rueda como paso
previo al modelado de todo el vehculo.
-
8/7/2019 tesisUPV2519
44/306
40 Captulo 3. Relaciones cinemticas
Quizs, [Muir et al. 89] sea la metodologa de modelado ms destacada,
donde se emplean matrices de transformacin homognea para relacionar
sistemas de coordenadas, de forma anloga al caso tradicional de robots
manipuladores. El resultado es una relacin (matriz Jacobiana de rueda) entre el
vector de velocidad del vehculo y las velocidades de rueda. Sin embargo, lo
planteado en [Muir et al. 89] tiene los siguientes inconvenientes:
Se consideran tres ecuaciones por rueda, cuando realmente slo hay dos
restricciones (bajo el supuesto de no deslizamiento) por rueda. Esto se
debe a introducir una variable de velocidad de rueda sin sentido prctico,
ya que no puede ser sensorizada ni actuada. Esto produce un coste
computacional innecesario, adems de una inconsistencia cinemtica al
calcular la evolucin del vehculo con informacin redundante, como se
muestra en el captulo de modelado con deslizamiento. Por todo ello, se
debera haber sustituido la tercera ecuacin en las otras dos.
La rotacin de rueda se incluye considerando un ficticio par planar entrela rueda y la superficie. Este innecesario y ad-hoc procedimiento
contrasta con la sistemtica empleada de matrices de transformacin. En
su lugar se deberan utilizar dos sistemas de coordenadas adicionales,
como se propone en [Shin et al. 01].
Se asume no deslizamiento innecesariamente pronto, por lo que se
complica la identificacin del mismo en etapas posteriores.
[Rajagopalan 97] continua el mtodo de matrices de transformacin de
[Muir et al. 89] y lo extiende a un nuevo tipo de rueda, con la columna de
direccin inclinada y desplazada.
Otros estudios cinemticos relevantes son [Alexander et al. 89] y [Campion
et al. 96]. En concreto, [Alexander et al. 89] utiliza un planteamiento vectorial
para modelar la rueda, slo valido para ruedas fijas y orientables (centradas).Mientras que [Campion et al. 96] no justifica las relaciones cinemticas de rueda
utilizadas, que son la clave para la clasificacin y caracterizacin posterior.
Otro interesante estudio es [Kim et al. 04], donde la cinemtica de rueda se
obtiene por procedimientos vectoriales. La ecuacin de rueda explicita las
velocidades de deslizamiento en las dos direcciones, que son ocasionalmente
utilizadas para conseguir una matriz Jacobiana cuadrada (aadiendo ecuaciones
escalares triviales). Esta modificacin facilita pasar de modelos directos a
inversos y viceversa. No obstante, estas ecuaciones triviales deberan ser
eliminadas en una etapa posterior para evitar innecesario coste computacional.
-
8/7/2019 tesisUPV2519
45/306
Captulo 3. Relaciones cinemticas 41
Adems, se realiza un estudio previo de movilidad basado en la frmula de
Grbler, clsica en sistemas mecnicos.
Finalmente, [Ollero 01] [Leow et al. 02] [Low et al. 05] son ejemplos de
estudios donde se deducen de forma no sistemtica frmulas y relaciones
cinemticas, vlidas slo para casos particulares.
As pues, el objetivo de este captulo es obtener de forma sistemtica y
completa dichas relaciones cinemticas. Para ello se empiezan estableciendo los
supuestos considerados. Posteriormente, se obtienen las relaciones cinemticas
de rueda una formulacin cinemtica recursiva, descrita en [Fu et al. 88]. Dichas
relaciones se particularizan para los distintos tipos de rueda. A continuacin se
plantea la ecuacin cinemtica completa del vehculo. Y por ltimo se destacan
los resultados ms relevantes del captulo.
-
8/7/2019 tesisUPV2519
46/306
42 Captulo 3. Relaciones cinemticas
3.2 SUPUESTOS CONSIDERADOS
Se van a considerar los siguientes supuestos prcticos para el estudio:
Supuestos de diseo:
1) Los vehculos no poseen en su estructura partes flexibles, es decir: toda la
estructura es rgida.
2) Por cada rueda puede haber una o ninguna articulacin de direccin.
3) Todos los ejes de direccin existentes son perpendiculares a la superficie
por la que se desplaza el vehculo.
4) Las ruedas pueden estar directamente en contacto con el suelo o a travs
de unos rodillos.
Supuesto operacional: La superficie de desplazamiento (suelo) es plana.
El primer supuesto de diseo permite aplicar la formulacin de slido rgido,mientras que los otros tres limitan los tipos de rueda a los que va dirigido esta
metodologa. En particular, los tipos de rueda que se consideran son:
Rueda fija: No posee articulacin de direccin, por lo que su posicinrespecto a la estructura es fija.
Rueda orientable centrada (orientable): Tiene articulacin de direccin, esdecir es orientables respecto a la estructura del vehculo, pasando su eje de
direccin por el centro de rotacin de la rueda.
Rueda orientable descentrada (castor): Posee articulacin de direccin, esdecir es orientable respecto a la estructura del vehculo, no pasando su eje de
direccin por el centro de rotacin de la rueda.
Ruedafija con rodillos (sueca, universal,Mecanum Ilon): Es fija respecto ala estructura del vehculo y posee rodillos entre la rueda y el suelo con una
determinada orientacin fija respecto a la rueda.
En la Figura 3.1 se muestra este tipo de rueda con rodillos con la clsica
orientacin de 45. Otra orientacin tpica es 90.
En ocasiones se utilizan dos hileras de rodillos para garantizar una mejor
continuidad del punto de contacto con el suelo. No obstante, esto ltimo
aade una complicacin para el control y la odometra, ya que el punto de
contacto con el suelo se mueve de la hilera interior a la exterior. No obstante,
si la distancia entre los rodillos es pequea en comparacin con lasdimensiones de la rueda y del vehculo dicho problema resulta menor.
-
8/7/2019 tesisUPV2519
47/306
Captulo 3. Relaciones cinemticas 43
Los tipos de rueda fija, orientable y castor se engloban dentro del tipoconvencional, y tambin el tipo castory sueca dentro del omnidireccional. Comose indica en el captulo posterior, las ruedas omnidireccionales no restringen elmovimiento del vehculo mientras que las otras s.
Foto de rueda real Representacin 3D
Figura 3.1- Rueda sueca (tambin llamadaMecanum Ilon) con rodillos a 45
Existen otro tipo de ruedas menos habituales (especiales) que se analizan en
el punto 3.5 del captulo. En concreto se presentan las ruedas doble y castordoble, que pueden modelarse como dos ruedas castor con mismo eje de rotaciny ngulo de direccin, y las ruedas tipo bola y ortogonal, que pertenecen al grupode omnidireccionales y que funcionalmente son equivalentes a las ruedas suecas.
Tambin se han planteado variantes en los mecanismos de direccin: en
[Rajagopalan 97] se considera una columna de direccin con cierta inclinacin y
descentrada respecto a la rueda (no contempla el supuesto de diseo tercero).
Por otra parte, el supuesto operacional restringe el campo de aplicaciones
prcticas. Cabe destacar que [Muir et al. 89] asume adems el de no-
deslizamiento, no considerado aqu por ser innecesario en una primera instancia.
De hecho el mtodo de modelado planteado permite modelar ruedas con
deslizamiento.
A pesar de que pueda parecer que los supuestos establecidos limitan en
exceso la validez de los resultados, se cumplen en la mayora de aplicaciones
prcticas con vehculos autoguiados y por tanto sern validos.
-
8/7/2019 tesisUPV2519
48/306
44 Captulo 3. Relaciones cinemticas
3.3 RELACIONES CINEMTICAS
En este apartado se van a obtener mediante un mtodo sistemtico las relaciones
cinemticas a que da lugar una rueda como parte de un vehculo.
El nico mtodo sistemtico que hay en la bibliografa al respecto es [Muir
et al. 89] que emplea, como se ha comentado en la introduccin, las matrices de
transformacin homognea. No obstante, para emplear este mtodo con la Figura
3.2 habra que definir un total de 11 sistemas de coordenadas (por el mtodo de
asignacin de Sheth Uicker[Sheth et al. 71]), dando lugar a idntico nmero dematrices de transformacin entre sistemas adyacentes. De forma que, la
aparatosidad de las matrices y sus productos, hasta llegar a la relacin cinemtica
final de rueda genrica, es enorme. De hecho, es bien conocido en aplicaciones
de tiempo real de robtica, el elevado coste computacional de utilizar matrices
de transformacin. Resultando este mtodo poco adecuado (poco manejable) para
indicar todo el proceso.
As pues, se va a utilizar como alternativa una recursividad cinemtica,
desarrollada originalmente como parte de la formulacin dinmica de Newton-Euler, para obtener las relaciones cinemticas de una forma mucho ms sencilla.
3.3.1 Sistemas de coordenadas
La asignacin de los sistemas de coordenadas del vehculo es clave para la
posterior formulacin. Por tanto, merece la pena hacer una asignacin de
sistemas conveniente para que la formulacin sea lo ms sencilla posible.
Para los robots manipuladores (cadenas cinemticas abiertas) se utiliza elmtodo de asignacin de coordenadas de Denavit Hartenberg [Denavit et al.55]. Pero en el caso de vehculos autoguiados, al existir mltiples cadenas
cinemticas cerradas, se produce una ambigedad a la hora de elegir el orden de
las articulaciones. Para evitar este problema en [Muir et al. 89] se utiliza, como
se ha comentado, el mtodo de asignacin Sheth Uicker[Sheth et al. 71].
En nuestro caso, la eleccin de sistemas de coordenadas se indica en la
Tabla 3.1 para un vehculo genrico de N ruedas. Dicha eleccin consiste en
asignar un sistema de coordenadas por eslabn mvil (R, Si, Li, Mi), uno
estacionario coincidente con el de la estructura robot ( R ) y otros en el punto de
contacto entre los rodillos y el suelo (Ei), con sus instantneamente coincidentes
asociados ( Ei ). El sistema instantneamente coincidente R permite evitar ladependencia con un sistema de coordenadas estacionario global (el concepto de
coincidencia instantnea se explica en el punto 3.A1).
-
8/7/2019 tesisUPV2519
49/306
Captulo 3. Relaciones cinemticas 45
Tabla 3.1- Asignacin de sistemas de coordenadas utilizada
Nombre Descripcin
R (Robot)Sistema de coordenadas solidario al vehculo, con el eje Z
ortogonal a la superficie de desplazamiento
Si(Sistema direccin)para i = 1..N
Sistema de coordenadas que se mueve con la articulacin de
direccin i, con el ejeZcoincidente con el eje de articulacin dela direccin i y el eje Yen la direccin del brazo de direccin
Li (Rueda)
para i = 1..NSistema que se mueve con la rueda i, con origen en el centro dela rueda y el ejeXen la direccin del eje de rotacin de la rueda
Mi (Rodillo)para i = 1..N
Sistema de coordenadas que se mueve con el rodillo (encontacto con el suelo) de la rueda i, con origen en el centro delrodillo y el ejeXen la direccin del eje de rotacin del rodillo
Ei (Punto de contacto
del rodillo con suelo)
para i = 1..N
Sistema de coordenadas que se mueve con el rodillo (en
contacto con el suelo) de la rueda i, con origen en dicho puntode contacto, el ejeXcon la misma direccin y sentido que el deMi y el ejeZperpendicular a la superficie de desplazamiento
R (Coincidenciainstantnea del Robot)
Sistema de coordenadas coincidente con el sistema decoordenadas Ry estacionario respecto la superficie
E i (Coincidencia
instantnea Ei)
Sistema de coordenadas coincidente con el sistema Ei y
estacionario respecto a la superficie
G (Global) Sistemas de coordenadas global estacionario
En la Figura 3.1 se indica la representacin grfica de estos sistemas de
coordenadas para un vehculo con rueda genrica i. Los eslabones mviles son: laestructura del robot, el brazo de direccin, la rueda y los rodillos. Las
articulaciones entre los eslabones mviles son pares de revolucin (tres).
Rz, Rz
Rx, Rx
Ry, Ry
Szi
Sxi Syi
Lzi
LxiLyi
Mzi
Mxi,Exi Lxi
Myi,Eyi
Figura 3.2- Sistemas de coordenadas utilizados en el vehculo
-
8/7/2019 tesisUPV2519
50/306
46 Captulo 3. Relaciones cinemticas
3.3.2 Obtencin de la velocidad de deslizamiento de rueda
Las ecuaciones recursivas (cinemticas de velocidad) descritas en [Fu et al. 88]:
( )* *
* *1 1 1
ii i i i i i iddt
= + + = +pv p v (3.1)
donde el significado de cada trmino es (ver Figura 3.3):
dt
d*Derivada respecto al sistema de coordenadas i-1
*
i Velocidad angular del sistema de coordenadas i respecto al i-1 encoordenadas del sistema 0
i Velocidad angular del sistema de coordenadas i respecto al 0*ip Vector del origen del sistema i-1 al de i en coordenadas del sistema 0
iv Velocidad del origen del sistema de coordenadas i respecto al del 0 encoordenadas del sistema 0
0Z
0Y
0X
-1iZ
-1iY-1iX
iZ
iY
iX1i
p
ip
*
ip
*
1i i i =p p p
i
i
d
dt=
pv
Figura 3.3- Sistemas y variables de la formulacin cinemtica recursiva
Los sistemas de coordenadas de la Tabla 3.1 numerados son: {0 R , 1R ,2Si , 3 Li , 4 Mi , 5Ei }. Al trabajar con sistemas de coordenadas entre slidos
rgidos, el vector *ip es siempre constante. Por tanto:
0
**
=dt
d ip (3.2)
Aplicando recursivamente (3.1) y utilizando la notacin de la Tabla 3.2:
RR
1 R1 R
R R RR R
2 R R S2 R S
R R R R R,SR R R,S
3 R R L S L3 R S L
R R R R R,S R,S R,LR R R,S R,L
4 R R M S M L M4 R S L M
R R R R R,S R,S R,L
5 R R E S E L
i i
i ii i i i i
i i i i ii i i i i i i i
i ii i i i
= =
= + = +
= + + = + +
= + + + = + + +
= + + +
v v
v v d
v v d d
v v d d d
v v d d
R,L R,M
E M E
R R R,S R,L R,M
5 R S L M E
i i ii i i
i i ii i i i
+
= + + + +
d d
(3.3)
-
8/7/2019 tesisUPV2519
51/306
Captulo 3. Relaciones cinemticas 47
siendo 5v la velocidad de deslizamientoR
Eiv entre el rodillo y la superficie
respecto al sistema de coordenadas R .
Tabla 3.2- Nomenclatura de variables y parmetros
Nombre Descripcin
H,A
Bd Vector que va del origen del sistema A al origen del sistema B en
coordenadas del sistema H
A
B
Desplazamiento de rotacin entre el eje X del sistema B y el eje X delsistema A respecto al ejeZde A (segn la regla de Maxwell)
H,A
Bv Velocidad lineal del origen del sistema B respecto al de A en coordenadas
del sistema HH,A
B Velocidad angular del sistema B respecto alA encoordenadas del sistema H
Si H no se explicita, A toma su lugar.
Teniendo en cuenta los sistemas de coordenadas y articulaciones de laFigura 3.2, dicha velocidad resulta:
( )( )
( )( )
R RR
L r EiE
R R R,S R R
E E E L r Ei
cos cos0 0 0 0
0 0 sin 0 sin 0
r r0 00 0
i i iix xi
iy y i i i i i
i ii
v vv v
= + + + +
d d
(3.4)
con el siguiente significado de las nuevas variables y constantes:
- T R R R TR R R( ) ( )x y x yv v v v = p vector de velocidad del vehculo respecto al
sistema instantneamente coincidente R ;
- i velocidad angular del brazo de direccin respecto a la plataforma;
- ( , )i i velocidad de rotacin de la rueda y del rodillo respecto a Lxi y Mxi;-
r(r , r )i i radio equivalente de la rueda y del rodillo.
De modo que, de (3.4) cada rueda introduce dos ecuaciones escalares:
( ) ( )
( ) ( )
R R,S R R
E E L r EiR
E R R,S R R
E E L r Ei
r
1 0 r sin r sin
0 1 r cos r cos
iiy iy i i i i
i iix ix i i i i
i
d d
d d
=
p
v
(3.5)
donde la componente Z de velocidad se ha obviado y el subndice x/y en los
vectores de distancia indica la componente correspondiente.
-
8/7/2019 tesisUPV2519
52/306
48 Captulo 3. Relaciones cinemticas
La velocidad de deslizamiento R Eiv de (3.5) se puede expresar tambin respecto
a la direccin de los rodillos E E slipi
i iv v aplicando una rotacin deR
Ei :
( )
( )( )( )
E R R
E E E
E E L
R S ER
slip E E E L
R S E r
r
d r sin 0
d r cos r
ii i i
i i iy iy i i i
i i i i iix ix i i i
i
d
d
=
=
v Rot vp
v Rot
(3.6)
donde Rot(x) es una matriz de rotacin en dos dimensiones:
( )( ) ( )
( ) ( )
cos sin
sin cos
x xx
x x
=
Rot (3.7)
con las propiedades ( ) ( ) ( )1 T .x x x = = Rot Rot Rot
Se utilizar la siguiente notacin (representada en la Figura 3.4):
( ) ( )R R SS S ER S L
Si Li Ei
d l cos d l sin d d
.
iix i i iy i i iy i
i ii i i
= = =
= = =(3.8)
i
li d
i i
i
i
Figura 3.4- Vista de planta con variables y parmetros definidos en (3.8)
Esta notacin se ha tomado de [Campion et al. 96], aunque la sustitucin
exacta para (3.8) sera: { R Si i i+ para ruedasfijas, orientables y suecas y
i i+ + para ruedas castor}; {L
Eii 2i }; {
S
Lii 0}.
-
8/7/2019 tesisUPV2519
53/306
Captulo 3. Relaciones cinemticas 49
Tambin, en lo que sigue se utilizar la forma compacta:
cos( ) c , sin( ) sx x x x (3.9)
Las componentes de distancia de (3.6) con la notacin de (3.8) resultan:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
E
R
E
R
E E
S S
l sin d cos
l cos d sin
d d cos d d sin
iy i i i i i i i i
ix i i i i i i i i
i iiy i i i ix i i i
d
d
= + + +
= + + +
= + = +
(3.10)
3.3.3 Particularizacin de la ecuacin de rueda
A continuacin se particularizar (3.6) para cada tipo de rueda:
a) Rueda fija y orientable: Son nulos los parmetros {rri, di, , i i } (ruedaalineada con el eje Siy), y i es constante y variable respectivamente::
( )
( )slip
c s l s 0
s c l c r
i i i i ii
ii i i i i i
=
pv
(3.11)
En la expresin anterior, para el caso de rueda orientable, la velocidad dedireccionamiento afecta a la cinemtica de rueda a travs del ngulo pero node forma instantnea.
b) Rueda castor: Son nulos los parmetros {rri, i } , resultando:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )slip
c s l s d c d c 0
s c l c d s d s r
i i i i i i i i i i i ii i
i i i i i i i i i i i i ii
+ + +
= + + + +
p
v
(3.12)
Notar que la expresin anterior describe una rueda castor completamentegenrica debido al ngulo i , considerado nulo en otros estudios.
c) Rueda sueca: Son nulos los parmetros {di, }i (rueda alineada con el eje
Siy) y el ngulo de direccin i es constante, resultando:
-
8/7/2019 tesisUPV2519
54/306
50 Captulo 3. Relaciones cinemticas
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )slip
r
c s l s r s 0
s c l c r c r
i i i i i i i i i ii i
i i i i i i i i i i ii
+ + +
= + + +
p
v
(3.13)
En la expresin anterior, bajo el supuesto de que la fuerza de friccin essiempre suficiente para suministrar la aceleracin requerida, la (libre)
rotacin del rodillo garantiza no deslizamiento en la direccin de Eiy. Sinembargo, dado que en la prctica dicha variable no es accesible (ni para
sensorizar ni para actuar), slo la primera componente EE
iixv tiene utilidad
prctica:
( ) ( ) ( )( )slip c s l s r s ix i i i i i i i i i ii
v
= + + +
p
(3.14)
Para referir el vector de velocidad del vehculo respecto a un sistema de
coordenadas global fijo G se premultiplica por una matriz de rotacin:
( )( )
GG R GR
R
0
0 ,
0 0 1Z
= =
Rotp p Rot p (3.15)
donde Rotz(x) es una rotacin 3D en el ejeZde valorx y Rot(x) ya se ha definidoen(3.7).
3.3.4 Matriz Jacobiana de rueda
En este apartado se obtiene la relacin entre el vector de velocidad del vehculo
p , respecto al sistema de coordenadas instantneamente coincidente R , y elvector de velocidad de rueda para deslizamiento nulo. A dicha relacin se ledenomina matriz Jacobiana de rueda.
Despejando la velocidad lineal del vehculo en (3.6), aplicando una rotacin
en 2D de REi y anulando la velocidad de deslizamiento, se obtiene:
( )
( )
R
R r E
R R
r E r
d c r s r s l s d c
d s r c r c l c d s
i
x i i i i i i i i i i i i
y i i i i i i i i i i i i
v
v
+ + = = + +
v
(3.16)
-
8/7/2019 tesisUPV2519
55/306
Captulo 3. Relaciones cinemticas 51
La expresin anterior relaciona la velocidad lineal del vehculo R Rv con las
velocidades de rueda , , }i i i { y la velocidad de rotacin del vehculo .
Alternativamente, se puede mantener en (3.16) un tercer elemento identidadpara tener en el miembro de la izquierda el vector de velocidad del vehculo:
( )
( )
R
r E
R
r E
r
d c r s r s l s d c
d s r c r c l c d s
0 0 0 1
ii i i i i i i i i i i
ii i i i i i i i i i i
i
+ +
= + +
p
(3.17)
Esto ltimo permite mantener una homogeneidad que da lugar a un posterioranlisis a travs de matrices o pseudo matrices Jacobianas de ruedas:
wi i= p J q (3.18)
dondewiq es el vector de velocidad de rueda, que en este caso incluye adems la
velocidad angular del vehculo, y J la matriz Jacobiana de rueda.
En concreto, segn el tipo de rueda considerada en (3.17) se tienen las
siguientes pseudo matrices Jacobianas y vectores de velocidades de rueda:
f/o wf/o
r
s r ws r
c
r s l s
r c l c =
0 1
r s r s( ) l s
r c r c( ) l c =
0 0 1
d c r s( ) l s d
i i i ii
i i i i i i
i i i i i i i i
i i i i i i i i i i
i i i i i i i i
i
=
+
= +
+ +
=
J q
J q
J
wc
c
d s r c( ) l c d s =
0 0 1
i i
i i i i i i i i i i i
+ +
q
(3.19)
donde el subndice {f, o, c, s} es para rueda {fija, orientable, castor, sueca}.
Todas las matrices Jacobianas anteriores siempre (pseudo) invertibles.
-
8/7/2019 tesisUPV2519
56/306
52 Captulo 3. Relaciones cinemticas
3.4 ECUACIN COMPUESTA
Una vez calculadas las relaciones cinemticas entre el vector de velocidad delvehculo y el de cada rueda en sus distintas formas {(3.5), (3.6), (3.19), ...}, cabecombinar todas ellas en una sola ecuacin compuesta. Esto tiene gran relevanciapara el tipo de anlisis que posteriormente se podr aplicar a dicha ecuacin.
A continuacin se detallan las dos formas de ecuacin compuesta que sonconsideradas en este estudio de mayor utilidad.
La primera ecuacin compuesta que se plantea es la obtenida juntando lasmatrices Jacobianas de rueda de (3.19):
1 w1
w2
w
N wN
0 0
0
0
0 0
= =
2
J q
J qp p J q
J q
(3.20)
siendo la matriz identidad de dimensin 3 y wq el vector de todas lasvelocidades de ruedas.
La ecuacin compuesta anterior constituye un sistema de 3N ecuaciones.
El segundo tipo de ecuacin compuesta consiste en agrupar las velocidadesde deslizamiento de (3.6):
( )
( )
( )
( )
E E L
R S ER
slip E E E L
R S E r
r
slip p w
w w
d r sin 0
d r cos r
i i iy iy i i i
i i i i iix ix i i i
i
i i i ii i
d
d
=
= =
p
v Rot
p pv A A A
q q
(3.21)
( )
slip 1
p1 w1
w1
slip 2slip
pN wN
wN
slip N
slip p w
w w
0
0
= =
= = =
vp
A Aq
vv
A Aq
v
p pv A A A A qq q
(3.22)
-
8/7/2019 tesisUPV2519
57/306
Captulo 3. Relaciones cinemticas 53
donde vslip es el vector de todas las velocidades de deslizamiento, A es la matrizcompuesta del vehculo y q el vector de todas las velocidades.
En caso de deslizamiento nulo se obtiene: =A q 0 (3.23)
La expresin anterior permite un anlisis a travs del concepto de espacionulo, tal y como se aborda en el siguiente captulo.
Tambin puede plantearse con (3.23) qu variables pueden funcionar comoincgnitas y cules pasar al otro miembro para que exista solucin nica, lo queimplica un anlisis de rangos de matrices y submatrices. Esto se aborda tambinen el captulo siguiente.
-
8/7/2019 tesisUPV2519
58/306
54 Captulo 3. Relaciones cinemticas
3.5 RUEDAS ESPECIALES
3.5.1 Ruedadoble y ruedacastor doble
La rueda doble [Leow et al. 00] est formada por dos ruedas descentradassimtricas, con el plano definido por ambas perpendicular al brazo de direccin,ver Figura 3.5 (a). Mientras que la rueda castor doble [Wada et al. 00] tiene ladisposicin equivalente de un vehculo remolque, ver Figura 3.5 (b). En cualquier
caso, ambos tipos de rueda se pueden incluir en el proceso de modelado yanlisis de los captulos siguientes considerndolas como dos ruedas castorconeje de rotacin Lxi y ngulo de direccin i comn.
A pesar de la equivalencia cinemtica entre ruedas dobles y simples, mostrada enlos siguientes subapartados, las ruedas dobles tienen las siguientes ventajas:
Las ruedas orientables y castorrequieren, al reorientar, superar (cuandola rotacin de rueda est bloqueada) un par de friccin seca. Mientras
que las ruedas doblesnicamente deben superar la friccin por rodadura.
La capacidad de carga de las ruedas dobles es el doble que la de unaorientable/castor, bajo el supuesto de ruedas y actuadores idnticos.
Los dos actuadores de las ruedas dobles pueden ser idnticos (menoscoste), mientras que las ruedas orientables y castor requierennormalmente dos actuadores de caractersticas distintas, ya que con unose hace un control de posicin (orientacin de la direccin) y con el otro
de velocidad (rotacin de la rueda).
El principal inconveniente que presentan las ruedas dobles es que tienen mselementos y son ms grandes, para un mismo tamao de rueda.
(a)Doble (b) Castor dobleFigura 3.5- Rueda doble y rueda castor doble
-
8/7/2019 tesisUPV2519
59/306
Captulo 3. Relaciones cinemticas 55
Six
Siy
3.5.1.A) Equivalencia entre la rueda doble y la orientable (centrada)
En la figura siguiente se aprecia la disposicin de ambas opciones.
a) Rueda doble b) Rueda orientableFigura 3.6- Equivalencia entre la rueda doble y la orientable (centrada)
Utilizando la Figura 3.6, existen las siguientes relaciones:
1 2 1 2 1 2
1 2
90
d 0 d d d
i i i i i i i i i
i i i
= = = = = = =
= = = (3.24)
A continuacin se particulariza (3.12), con deslizamiento nulo, para cadauna de las ruedas:
( )
( )
s c l c 0
c s l s r
i i i i i
ii i i i i i
=
p0
(3.25)
( )
( ) 11
s c l c 0 0
c s l s d d r
i i i i i
ii i i i i i
i
= +
p
0
(3.26)
( )
( ) 22
s c l c 0 0
c s l s d d r
i i i i ii
i i i i i ii
=
p
0
(3.27)
Notar que la primera ecuacin de las tres expresiones anteriores coincide.
La semisuma de la segunda ecuacin de (3.26) y (3.27) es igual a la segundaecuacin de (3.25) a travs de la relacin entre variables:
( )1 1 2 2r r r 2i i i i i i = + (3.28)
Ry
Rx
li
Lix
i
1i
Ry
Rx
liSix
Siy
L1ix
2i
L2ix
d
-
8/7/2019 tesisUPV2519
60/306
56 Captulo 3. Relaciones cinemticas
La semiresta de las segundas ecuaciones de (3.26) y (3.27) da lugar a:
( ) ( )2 2 1 1r r 2 di i i i i = (3.29)
La expresin anterior relaciona velocidades angulares, integrndola seobtiene la relacin entre ngulos:
( ) ( )2 2 1 1r r 2 d ConstanteR
i i i i i R = + (3.30)
Apuntar que, la orientacin del brazo de direccin en trminos absolutosslo depende de la rotacin de las ruedas. Sin embargo, en trminos relativos (ya
que se mide respecto a la plataforma del vehculo) depende tambin de laevolucin de la orientacin del vehculo, como evidencia la anterior expresin.
Recapitulando, la rueda doble da lugar a 3 ecuaciones independientes: dos
de ellas equivalentes (una de ellas exacta) a las aportadas por la rueda orientablecentrada; mientras que la tercera establece la relacin entre la orientacin delbrazo de direccin, la orientacin del vehculo y la rotacin de las dos ruedas.
En otras palabras, la rueda doble funciona como una orientable que seorienta por la diferencia en la rotacin de las dos ruedas que la componen.
3.5.1.B) Equivalencia entre rueda castor doble remolque y la castor
En la figura siguiente se aprecia la disposicin de una rueda castor doble.
a) Rueda castor doble b) Rueda castorFigura 3.7- Equivalencia entre la rueda castor doble y la castor
En primer lugar, notar en la Figura 3.7 a) que la disposicin de la rueda
castor doble es exactamente igual que la que tiene un vehculo remolque, por loque son el mismo tipo de elemento cinemtico a considerar.
Ry
Rx
a
S2iy
L2ix
L1ix
2i
1i S1iy
b
Ry
Rx
liSix
SiyLix
i
a
-
8/7/2019 tesisUPV2519
61/306
Captulo 3. Relaciones cinemticas 57
Utilizando la Figura 3.7, existen las siguientes relaciones:
( )
1 2 1 1 2 2 1 2
2 2
1 2 1 2
+ 0
d a d d a b = arctan b a
i i i i i i i i i i i i
i i i i i
= = = + = = = =
= = = + =
(3.31)
A continuacin se particulariza (3.12), con deslizamiento nulo, para cadauna de las ruedas:
( )
( )
c s l s a a 0
s c l c 0 r
i i i i ii
i i i i i ii
=
p
0
(3.32)
( )
( ) 11
c s l s a a 0
s c l c b b r
i i i i ii
i i i i i ii
= +
p
0
(3.33)
( )( ) 2
2
c s l s a a 0
s c l c b b r
i i i i ii
i i i i i ii
=
p
0
(3.34)
Notar que la primera ecuacin de las tres expresiones anteriores coincide.
La semisuma de la segunda ecuacin de (3.33) y (3.34) es igual a la segundaecuacin de (3.32) a travs de la relacin entre variables: