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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO DE TECNOLOGÍA DIGITAL

MAESTRÍA EN CIENCIAS CON

ESPECIALIDAD EN SISTEMAS DIGITALES

“Simulador de un sistema de comunicación óptico

empleando multicanalización por división de

longitudes de onda (WDM)”

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS

P R E S E N T A:

ING. OMAR IVAN GAXIOLA SÁNCHEZ

BAJO LA DIRECCIÓN DE: DR. MIGUEL A. ÁLVAREZ CABANILLAS

JUNIO 2005 TIJUANA, B.C., MÉXICO

AGRADECIMIENTOS A mis padres Leopoldo y Rosenda y a mis hermanos por el apoyo moral,

económico y por incitarme a seguir el camino que elegí.

A mi novia preciosa Julieta, por apoyarme y motivarme en los momentos difíciles,

por estar siempre aquí cuando la necesite.

A toda mi familia que siempre estuvo pendiente de mí, siempre demostrando su

apoyo.

Al Dr. Miguel A. Álvarez Cabanillas por la confianza depositada en mí, por sus

consejos y por contribuir en mi desarrollo académico.

A los doctores Juan García y Leonardo Acho, a los maestros Andrés Calvillo y Juan

Tapia por cuestionar mi trabajo, y sus muestras de apoyo durante mi estancia en CITEDI.

A Blanca Becerra y Fernando Cervantes por sus comentarios, correcciones y ayuda en la

revisión de mi trabajo.

A todo el personal de CITEDI-IPN por las atenciones recibidas durante mi estancia

en el centro.

A mis amigos Jesús, Marcial y Nic, por su apoyo cuando los necesite.

A todos mis compañeros de la maestría.

A Dios por todo lo que me ha dado.

Siempre CJOI.

.,.,.,.,.,

i

ÍNDICE Pag. Índice............................................................................................................................ i

Lista de figuras............................................................................................................ v

Lista de tablas.............................................................................................................. viii

Símbolos y acrónimos................................................................................................. ix

Resumen....................................................................................................................... xi

Abstract........................................................................................................................ xii

Objetivo........................................................................................................................ xiii

Introducción................................................................................................................ 1

CAPÍTULO 1. COMUNICACIONES ÓPTICAS................................................... 4

1.1. Sistema de comunicaciones óptico................................................................ 5

1.1.1. Transmisor......................................................................................... 5

1.1.2. Regenerador....................................................................................... 7

1.1.3. Receptor............................................................................................. 9

1.2. Espectro electromagnético............................................................................. 9

1.3. Aplicaciones de la óptica............................................................................... 10

1.3.1. LIDAR............................................................................................... 10

1.3.2. Pirómetro óptico................................................................................ 10

1.3.3. Oxímetro............................................................................................ 13

CAPÍTULO 2. GUÍAS DE ONDA............................................................................ 15

2.1. Guía de onda circular metálica...................................................................... 16

2.1.1. Análisis.............................................................................................. 16

2.1.2. Modo Transversal Eléctrico (TE)...................................................... 17

2.1.3. Modo Transversal Magnético (TM).................................................. 22

2.2. Guía de onda circular dieléctrica................................................................... 29

2.2.1. Análisis.............................................................................................. 29

2.2.2. Modos híbridos HEM........................................................................ 29

ii

Pag.

2.3. Fibra óptica.................................................................................................... 40

2.3.1. Tipos de fibras ópticas...................................................................... 42

2.3.2. Frecuencia de corte para la fibra monomodo................................... 44

CAPÍTULO 3. EFECTOS LINEALES.................................................................... 46

3.1. Índice de refracción....................................................................................... 47

3.2. Reflexión y refracción en la frontera de dos medios no conductores............ 48

3.2.1. Ley de Snell....................................................................................... 49

3.2.2. Coeficientes de transmisión y de reflexión de Fresnel...................... 51

3.2.3. Ángulo de Brewster........................................................................... 53

3.2.4. Ángulo Crítico y reflexión interna total............................................ 54

3.3. Apertura numérica......................................................................................... 55

3.4. Atenuación..................................................................................................... 56

3.5. Dispersión cromática..................................................................................... 57

3.6. Algoritmo para el cálculo de los efectos lineales.......................................... 59

CAPÍTULO 4. EFECTOS NO LINEALES............................................................. 63

4.1. Longitud y área efectiva................................................................................ 63

4.2. Dispersión estimulada de Raman (SRS)........................................................ 65

4.2.1. Conceptos básicos.............................................................................. 66

4.2.2. Coeficiente de ganancia de Raman (gR)............................................ 66

4.2.3. Potencia límite debida a SRS............................................................. 67

4.2.4. Dispersión estimulada de Raman en un sistema multicanal.............. 68

4.3. Dispersión estimulada de Brillouin (SBS)..................................................... 69

4.3.1. Proceso físico..................................................................................... 69

4.3.2. Potencia límite debida a SBS............................................................. 72

4.4. Algoritmo para el cálculo de los efectos no lineales..................................... 73

CAPÍTULO 5. DISPOSITIVOS USADOS EN WDM............................................ 78

5.1. Sistema de comunicaciones óptico para WDM............................................. 79

iii

Pag.

5.2. Moduladores.................................................................................................. 81

5.4.1. Modulador directo............................................................................. 82

5.4.2. Modulador indirecto.......................................................................... 83

5.3. Divisores de canal.......................................................................................... 85

5.3.1. Cavidad de Fabry Perot (FPCF)........................................................ 85

5.3.2. Filtro de película delgada (TFF)........................................................ 86

5.3.3. Interferómetro de Mach Zehnder (MZI)............................................ 88

5.3.4. Fibra con rejilla de Bragg (FBG)....................................................... 89

5.3.5. Arreglo de guías de onda (AWG)...................................................... 90

5.3.6. Filtro acusto-óptico sintonizable (AOTF).......................................... 91

5.4. Acopladores................................................................................................... 93

5.5. Regeneradores................................................................................................ 95

5.5.1. Regenerador 1R................................................................................. 95

5.5.2. Regenerador 2R................................................................................. 95

5.5.3. Regenerador 3R................................................................................. 96

5.6. Amplificadores............................................................................................... 96

5.6.1. Fibra amplificadora dopada de Erbio (EDFA)................................... 96

5.6.2. Amplificador de Raman..................................................................... 99

5.7. Receptor......................................................................................................... 102

CAPÍTULO 6. RED ÓPTICA................................................................................... 104

6.1. Multicanalización por división de longitud de onda (WDM)........................ 105

6.2. Codificación................................................................................................... 107

6.2.1. Red Óptica Síncrona (SONET)......................................................... 109

6.2.2. Jerarquía Digital Síncrona (SDH)...................................................... 113

6.2.3. Modo de Transferencia Asíncrono (ATM)........................................ 117

CAPÍTULO 7. MÉTODO DE PROPAGACIÓN DEL HAZ (BPM)..................... 121

7.1. Ecuación de onda........................................................................................... 122

7.2. Aproximación de Fresnel............................................................................... 123

iv

Pag.

7.3. Formulación de ángulo amplio...................................................................... 124

7.4. Método de la propagacion del haz basado en la transformada rápida de

Fourier (FFT-BPM)....................................................................................... 127

7.4.1. Solución basada en la transformada discreta de Fourier (TDF)........ 129

7.5. Analisis del Filtro con rejilla de Bragg.......................................................... 131

CONCLUSIONES...................................................................................................... 136

APÉNDICE A. Transmisión de apertura y cierre (OOK)........................................... 138

APÉNDICE B. Rejilla estándar de la ITU para la banda C........................................ 140

APÉNDICE C. Rejilla estándar de la ITU para la banda L........................................ 141

APÉNDICE D. Análisis de multicanalización en comunicaciones ópticas................ 142

BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS...................................................................... 148

v

LISTA DE FIGURAS Figura 1.1. Sistema de comunicaciones óptico............................................................................................ 5

Figura 1.2. Atenuación de las fibras ópticas SMF-28 y SMF-28e de Corning............................................ 8

Figura 1.3. Espectro electromagnético......................................................................................................... 10

Figura 1.4. Funcionamiento del pirómetro óptico para la medición de temperatura................................... 13

Figura 1.5. Funcionamiento del Oxímetro................................................................................................... 14

Figura 2.1 Estructuras de guías de onda..................................................................................................... 15

Figura 2.2. Estructura de la guía de onda cilíndrica.................................................................................... 16

Figura 2.3. Funciones de Bessel de primer tipo 0 1 2 3 4 5[ ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )]J x J x J x J x J x J x .............. 19

Figura 2.4. Funciones de Bessel de segundo tipo 0 1 2 3 4 5[ ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )]Y x Y x Y x Y x Y x Y x ................. 19

Figura 2.5. Representación grafica de los modos TE y TM para la guía de onda circula metálica............. 26

Figura 2.6. Configuraciones de campo para los primeros 15 modos TE y TM de la guía de onda circularmetálica..................................................................................................................................... 28

Figura 2.7. Geometría de la guía de onda cilíndrica dieléctrica.................................................................. 29

Figura 2.8. Comportamiento de z dβ β en la guía circular dieléctrica..................................................... 39

Figura 2.9. a) Distribución de campo eléctrico, b) Distribución de intensidad de Ex.................................. 40

Figura 2.10. Estructura de una fibra óptica.................................................................................................... 41

Figura 2.11. Tipos de fibras ópticas............................................................................................................... 43

Figura 3.1. El plano xz es el plano de incidencia. Los vectores 1B , '

1B y 2B están dirigidos haciafuera de la hoja (polarización P)................................................................................................ 48

Figura 3.2. El plano xz es el plano de incidencia. Los vectores 1E , '

1E y 2E están dirigidos haciafuera de la hoja (polarización S)................................................................................................ 49

Figura 3.3. Reflectancia para polarizaciones S y P en una interfase aire-vidrio. n1=1 y n2=1.5.

56Bθ = ° ..................................................................................................................................... 54

Figura 3.4. Reflectancia para polarizaciones S y P en una interfase vidrio-aire. n1=1.5 y n2=1. Ángulode Brewster 56Bθ = ° y ángulo crítico 42cθ = ° .......................................................................... 55

Figura 3.5. Ángulo máximo de apertura aθ ................................................................................................ 56

Figura 3.6. Efecto de la dispersión cromática.............................................................................................. 57

Figura 3.7. Parámetro de dispersión para la fibra óptica SMF-28e............................................................. 58

Figura 3.8. Efecto de la dispersión cromática en la tasa de transmisión..................................................... 59

Figura 3.9. Datos de entrada........................................................................................................................ 59

Figura 3.10. Procesamiento........................................................................................................................... 60

Figura 3.11. Resultados del algoritmo........................................................................................................... 60

Figura 3.12. Efecto de la dispersión cromática en un sistema multicanalizado............................................ 61

Figura 3.13. Tasa de transmisión máxima por canal para 10, 30 y 50 km.................................................... 61

Figura 4.1. Longitud efectiva....................................................................................................................... 64

Figura 4.2. Área efectiva.............................................................................................................................. 65

Figura 4.3. Efecto de la dispersión estimulada de Raman........................................................................... 66

Pag.

vi

Figura 4.4. Dispersión estimulada de Raman............................................................................................... 66

Figura 4.5. Coeficiente de ganancia de Raman............................................................................................ 67

Figura 4.6. a) Proceso de electrostricción. b) Proceso de SBS.................................................................... 70

Figura 4.7. Cambio de frecuencia y espectro de ganancia de SBS en una fibra óptica monomodo............ 71

Figura 4.8. Potencia máxima por canal contra el número de canales para SRS y SBS............................... 73

Figura 4.9. Datos de entrada del algoritmo.................................................................................................. 73

Figura 4.10. Procesamiento del algoritmo..................................................................................................... 74

Figura 4.11. Resultados del algoritmo........................................................................................................... 75

Figura 4.12. Efecto de SRS en un sistema WDM de 5 canales de 1mw de potencia de entrada con un espaciamiento de 20 nm entre canales....................................................................................... 75

Figura 4.13. Potencia límite de debido a SBS contra distancia de enlace.................................................... 76

Figura 5.1. Sistema de comunicaciones óptico para WDM......................................................................... 80

Figura 5.2. Modulador directo..................................................................................................................... 83

Figura 5.3. Formato de modulación NRZ y RZ de datos digitales.............................................................. 83

Figura 5.4. Modulador indirecto.................................................................................................................. 84

Figura 5.5. Principio de operación del filtro de Fabry Perot........................................................................ 85

Figura 5.6. Filtro de película delgada de tres cavidades.............................................................................. 86

Figura 5.7. Función de transferencia de un filtro de película delgada de una cavidad, dos cavidades y tres cavidades......................................................................................................... 87

Figura 5.8. Un Divisor de canales usando filtros de película delgada........................................................ 88

Figura 5.9. Un MZI construido con dos acopladores direccionales de 3 dB............................................... 88

Figura 5.10. a) Representación en diagrama bloques de MZI. b) Diagrama a bloques de un MZI de cuatro etapas.............................................................................................................................. 89

Figura 5.11. Función de transferencia de cada etapa de un MZI multietapas................................................ 89

Figura 5.12. Fibra con rejilla de Bragg.......................................................................................................... 90

Figura 5.13. Espectro de reflexión de una FBG de índice uniforme.............................................................. 90

Figura 5.14. Arreglo de guías de onda........................................................................................................... 91

Figura 5.15. Filtro acusto-óptico sintonizable................................................................................................ 92

Figura 5.16. Acoplador bicónico por fusión.................................................................................................. 93

Figura 5.17. Acoplador estándar monomodo................................................................................................ 94

Figura 5.18. Pérdidas del acoplador en función de la longitud de onda........................................................ 94

Figura 5.19. Regenerador 1R......................................................................................................................... 95



Figura 5.22. Bandas de energía de los iones de Erbio en la fibra de Silicio.................................................. 97

Figura 5.23. Emisión estimulada.................................................................................................................... 97

Figura 5.24. Configuración de un EDFA con bombeo a) copropagándose y b) contrapropagándose........... 98

Figura 5.25. Curvas de absorción y emisión de la fibra amplificadora dopada de erbio FS-ER-7A28......... 99

Figura 5.26. Cambio de Stokes y el espectro de ganancia de Raman para un láser de bombeo operando a 1445 nm................................................................................................................... 100

Pag.

vii

Figura 5.27. Espectro de ganancia de Raman para cuatro láseres de bombeo operando a diferentes longitudes de onda..................................................................................................................... 101

Figura 5.28. Sistema de amplificación Raman con contra bombeo............................................................... 101

Figura 5.29. Receptor para WDM.................................................................................................................. 102

Figura 6.1. Proceso de multicanalización en WDM.................................................................................... 105

Figura 6.2. Rejilla estándar de la ITU de 100 GHz basada en una frecuencia central de 193.1 THz.......... 106

Figura 6.3. Rejilla estándar de la ITU para un espaciamiento en frecuencia de 100 GHz.......................... 107

Figura 6.4. Señal analógica muestreada a 8 KHz......................................................................................... 108

Figura 6.5. Trama básica de SONET STS-1................................................................................................ 110

Figura 6.6. Encabezado de STS-1................................................................................................................ 110

Figura 6.7. Secuencia de transmisión de una trama STS-1.......................................................................... 112

Figura 6.8. Entrelazado de bytes en STS-3.................................................................................................. 113

Figura 6.9. Estructura de un VC-3............................................................................................................... 114

Figura 6.10. Estructura de un STM-1............................................................................................................. 115

Figura 6.11. Encabezado de STM-1............................................................................................................... 115

Figura 6.12. Trama básica de ATM............................................................................................................... 118

Figura 6.13. Interfaces UNI y NNI................................................................................................................ 118

Figura 6.14. Rutas y canales virtuales en un enlace físico............................................................................. 119

Figura 7.1. Algoritmo para resolver la ecuación de Helmholtz reemplazando la fibra por un sistema de lentes.......................................................................................................................................... 127

Figura 7.2. Malla computacional del dominio especial de interés de L x L con N puntos discretos........... 129

Figura 7.3. Efecto de los dientes en la onda incidente................................................................................. 131

Figura 7.4. Comportamiento del campo dentro del filtro variando el período de los dientes...................... 132

Figura 7.5. Comportamiento del campo dentro del filtro variando la profundidad de los dientes.............. 133

Figura 7.6 Comportamiento del campo dentro del filtro variando el ancho de los dientes........................ 134

Pag.

viii

LISTA DE TABLAS

Tabla 1.1. Datos de LIDAR Stalker................................................................................................ 11

Tabla 1.2. Clasificación de láser...................................................................................................... 12

Tabla 1.3. Datos Pirómetro Óptico Infrarrojo multipropósito OPTEX VF-3000............................ 13

Tabla 1.4. Datos del Oxímetro de pulso Dolphin 2100................................................................... 14

Tabla 2.1. Ceros ' mnχ de la derivada de la función de Bessel ( )' 'm mnJ χ .................................... 22

Tabla 2.2. Ceros mnχ de la función de Bessel ( )m mnJ χ ............................................................. 24

Tabla 2.3. Modos TE y TM para la guía de onda circular metálica................................................. 25

Tabla 2.4. Modos en la guía de onda cilíndrica dieléctrica.............................................................. 39

Tabla 5.1. Especificaciones de LED, láser sintonizable y láser de onda continua (CW)............... 82

Tabla 5.2. Especificaciones de un adulador de electro-absorción (EAM) y un modulador coninterferómetro de Mach Zehnder (MZI)......................................................................... 84

Tabla 5.3. Características de un fotodiodo PIN y un fotodiodo de avalancha................................. 102

Tabla 6.1. Datos para espaciamiento de frecuencia entre canales de 100 y 50 GHz....................... 107

Tabla 6.2. Bytes de encabezado de STS-1....................................................................................... 111

Tabla 6.3. Tasas de bits para SONET Y SDH................................................................................. 111

Tabla 6.4. Bytes de encabezado de un STM-1................................................................................. 116

Tabla 6.5. Campos de la cabecera de la trama básica de ATM....................................................... 119

Pag.

ix

SÍMBOLOS Y ACRÓNIMOS λ Wavelength Longitud de onda

0c speed of light in a vacuum Velocidad de la luz en el vacío

nm nanometer(10-9 metro) nanometro (10-9 metro)

ps picosecond (10-9 second) picosegundo (10-9 segundo)

AN Numerical Aperture Apertura numérica

ANSI American National Standards Institute Instituto Nacional Americano de Normas

AOTF Acousto Optic Tunable Filter Filtro sintonizable acusto-óptico

ASK Amplitude Shift Keying Modulación por cambio de amplitud

ATM Asynchronous Transfer Mode Modo de transferencia asíncrona

AWG Array Waveguide Grating Arreglo de guías de onda

BPM Beam Propagation Method Método de propagación del haz

CLP Cell Loss Priority Prioridad de Pérdida de Tramas

CW Continuous Wave Onda continua

DIAL Differential Absorption LIDAR LIDAR de absorción diferencial

EAM Electro Absorption Modulator Modulador de electro-absorción

EDFA Erbium Doped Fiber Amplifier Fibra Amplificadora Dopada con Erbio

DWDM Dense Wavelength Division Multiplexing Multicanalización por división de longi-tud de onda densa

FBG Fiber Bragg Grating Fibra con rejilla de Bragg

FPCF Fabry Perot Cavity Filter Filtro de cavidad de Fabry Perot

FWM Four Wave Mixing Mezclado de Cuatro Ondas

ITU International Telecommunication Union Unión internacional de telecomunica-ciones

LIDAR Light Detection And Ranging Medición y detección por luz

MFD Modal Field Diameter Diámetro del campo modal

MZI Mach Zehnder Interferometer Interferómetro de Mach Zehnder

NNI Network to Network Interface Interfase red a red

NRZ Non Return to Zero No retorno a cero

OOK On-Off Keying Transmisión de apertura y cierre

OVD Outside Vapor Deposition Deposición externa por vapor

PTI Payload Type Identifier Identificador de carga útil

RZ Return to Zero Retorno a cero

SBS Stimulated Brillouin Scattering Dispersión Estimulada de Brillouin

SDH Synchronous Digital Hierarchy Jerarquía digital síncrona

SONET Synchronous Optical Network Red óptica síncrona

SPM Self Phase Modulation Auto Modulación de Fase

STM Synchronous Transport Module Módulo de transporte síncrono

x

STS Synchronous Transport Signal Señal de transporte síncrona

TDM Time Division Multiplexing Multiplexación por división en el tiempo

TFF Thin Film Filter Filtro de película delgada

UNI User to Network Interface Interfase usuario a red

VCI Virtual Channel Identifier Identificador de canal virtual

VPI Virtual Path Identifier Identificador de ruta virtual

WDM Wavelength Division Multiplexing Multicanalización por División de longitud de onda

xi

RESUMEN En este trabajo se desarrollan algoritmos para calcular los efectos lineales y no

lineales de la propagación de la señal óptica en un sistema de comunicaciones por fibra

óptica. El sistema de comunicaciones emplea multicanalización por longitudes de onda

(WDM). Se desarrollaron programas de cómputo que permiten el cálculo y la simulación de

los efectos lineales y no lineales de las señales ópticas. Los efectos lineales analizados son

la atenuación y la dispersión cromática, éstos permiten calcular la tasa de transmisión

máxima del sistema en función de la distancia del enlace. Los efectos no lineales

considerados son la dispersión estimulada de Raman (SRS) y la dispersión estimulada de

Brillouin (SBS). El programa de los efectos lineales da como resultado la atenuación, la

dispersión cromática de los pulsos luminosos y la tasa de transmisión máxima del sistema.

El programa de los efectos no lineales da como resultado la potencia de ruido de cada canal

del sistema debido a la dispersión estimulada de Raman, y la potencia límite por canal

debido a la dispersión estimulada de Brillouin. Para el cálculo de la dispersión estimulada

de Raman se empleo una gráfica del coeficiente de ganancia de Raman experimental [20].

Los programas de cómputo se aplicaron a la fibra óptica monomodo SMF-28e de Corning

[13].

Partiendo de las ecuaciones de Maxwell en coordenadas cilíndricas se hace un

análisis de las guía de onda circular metálica y dieléctrica. Se muestra la distribución de los

campos de los primeros modos de propagación y se calcula su longitud de onda de corte de

la fibra óptica monomodo.

Adicionalmente, se desarrolló un algoritmo numérico del método de propagación

del haz basado en la transformada rápida de Fourier (FFT- BPM). El algoritmo se aplicó

en el análisis de un filtro con rejilla de Bragg para obtener el comportamiento del campo

electromagnético dentro del filtro.

xii

ABSTRACT

In this work algorithms to calculate the linear and nonlinear effects of the

propagation of the optical signal in a communications system through optical fiber are

developed. The communications system uses wavelength multiplexing division (WDM).

Based on these algorithms computer programs that allow to compute and simulate the

linear and nonlinear effects of the optical signals were developed. The analyzed linear

effects are attenuation and chromatic dispersion; these allow the calculation of the system

the maximum transmission rate based on the link length. The nonlinear effects analyzed are

stimulated Raman scattering (SRS) and stimulated Brillouin Scattering (SBS). The

parameter data provided by the linear effects computer programs are the attenuation, the

chromatic dispersion of the luminous pulses and the system maximum transmission rate.

The parameter data provided by the nonlinear effects computer programs are the noise

power of each channel of the system, and the limit power by channel due to the stimulated

dispersion of Brillouin. An experimental graph of the Raman gain coefficient [20] was used

to calculate the stimulated dispersion of Raman. The computer programs were applied to

the single mode optical fiber SMF-28e of Corning [13].

Using the Maxwell equations in cylindrical coordinates the circular metallic and

dielectric waveguides are analyzed. The field distributions for the first propagations modes

are shown and de cut off wavelength of single mode optical fiber is calculated.

Additionally, a numerical algorithm of Beam Propagation Method based in the fast

Fourier transformation (FFT-BPM) was developed. The algorithm was applied to the

analysis of a fiber Bragg gratins filter in order to obtain the electromagnetic field behavior

inside the filter.

xiii

OBJETIVO

Lograr un programa de cómputo que calcule y simule los

efectos lineales y no lineales sobre señales ópticas

multicanalizadas por longitudes de onda, involucrando las

diferentes interacciones electromagnéticas que intervienen en la

propagación de las señales luminosas por fibra óptica.

1

INTRODUCCIÓN

En la segunda mitad del siglo XX se advirtió que utilizar luz como medio de

transporte de información podía incrementar significativamente la capacidad de los

sistemas de comunicación. Sin embargo, hubo que esperar a la demostración del primer

láser en 1960 para contar con una fuente de luz coherente e intensa [2]. En 1966 se sugirió

que las fibras ópticas podían representar la mejor alternativa para la transmisión de

información en forma de luz. Las fibras ópticas de la época presentaban una atenuación del

orden de 1 dB/m (esto representa una atenuación de aproximadamente un 20% por cada

metro recorrido) haciéndolas imprácticas para una aplicación. En 1970 se fabricaron las

primeras fibras ópticas de baja atenuación, las cuales presentaban una atenuación de 20

dB/km. Al mismo tiempo, el desarrollo de láseres de semiconductores capaces de operar a

temperatura ambiente permitió contar con fuentes ópticas compactas, lo que hizo posible

que en 1980 se introdujera el primer sistema óptico comercial operando a una tasa de

transmisión de 45 Mbps [45]. Para la primera mitad de la década de 1980 ya se tenían

sistemas con una capacidad de 100 Mbps y en 1987 fue posible tener sistemas comerciales

con capacidades de 1.7 Gbps y regeneradores separados 50 km. Finalmente, la introducción

comercial de los amplificadores ópticos y de la multicanalización por división de

longitudes de onda (WDM) a comienzos de la década de 1990, produjo un enorme

incremento de la capacidad de transmisión de los sistemas de transporte óptico [45].

Actualmente se tienen sistemas operando a tasas de transmisión de información en el orden

de 10 Gbps [19].

La multicanalización por división de longitud de onda (WDM) es una técnica de

transmisión que permite incrementar el número de canales de comunicaciones por una sola

fibra óptica. Se le asocia a cada canal una longitud de onda luminosa, logrando una

optimización del ancho de banda de la fibra y teniendo como resultado una mayor tasa de

transmisión. Como ejemplo de su aplicación se puede mencionar la red académica Abilene

de Internet2 [19]. Esta red trabaja a una velocidad de 10 Gbps (OC-192) entre sus nodos

principales.

2

En el capítulo 1, se muestra un sistema de comunicaciones por fibra óptica. Para su

análisis, el sistema es dividido en cinco partes: transmisor, modulador, medio de

transmisión (fibra óptica), regenerador y receptor, describiendo los componentes y el

funcionamiento de cada uno de ellos. Conjuntamente, se presenta el espectro

electromagnético y se describen las bandas del infrarrojo en las cuales opera el sistema de

comunicaciones óptico. Adicionalmente, se describen algunas aplicaciones de la óptica en

dispositivos sensores de velocidad, oxígeno y temperatura.

En el capítulo 2, se realiza un análisis de las guías de onda circular metálica y

circular dieléctrica. Se emplean las ecuaciones de Maxwell en coordenadas cilíndricas para

encontrar las soluciones de campo eléctrico (E) y campo magnético (M) de dichas

estructuras. Así mismo, se muestran las distribuciones de campo para los primeros modos

de propagación. También se hace un análisis de la fibra óptica y los tipos de fibras que se

tienen, enfocándose a la fibra óptica monomodo, la cual es la fibra de interés en este

trabajo, ya que es ampliamente utilizada para sistemas de multicanalización por WDM [1].

Una señal óptica al propagarse a través de una fibra óptica es perturbada por

efectos lineales y no lineales. En el capítulo 3, se analizan lo efectos lineales de la

atenuación y la dispersión cromática y se muestran los efectos que éstos causan en un

sistema multicanalizado por WDM. Adicionalmente, con el propósito de determinar las

condiciones necesarias para que se cumpla la condición de reflexión interna total dentro del

núcleo de la fibra óptica, se analizan la ley de Senll, ángulo de Brewster y el ángulo critico

de propagación. Conjuntamente, se presenta un algoritmo para el cálculo de estos efectos a

un sistema multicanalizado por longitudes de onda (WDM). Se muestran los resultados de

un programa de cómputo basado en el algoritmo presentado.

Los efectos no lineales que perturban la señal óptica al propagarse a través de la

fibra óptica son analizados en el capítulo 4. La dispersión estimulada de Raman (SRS) y la

dispersión estimulada de Brillouin (SBS) son los efectos no lineales que se analizan. Se

muestra el efecto de la dispersión estimulada de Raman y la dispersión estimulada de

Brillouin en un sistema multicanalizado por división de longitudes de onda. También se

3

definen los conceptos de longitud y área efectiva, los cuales son necesarios para el cálculo

de los efectos no lineales. Adicionalmente, se presenta un algoritmo para el cálculo de los

efectos no lineales en un sistema multicanalizado por longitudes de onda (WDM). Se

implementó un programa de cómputo basado en el algoritmo presentado. Se muestran los

resultados del programa para un sistema de 5 canales multicanalizado por WDM. El

análisis de los efectos lineales y no lineales se realiza para la fibra óptica monomodo

SMF 28-e de Corning [13].

Para llevar a cabo la operación de transmisión y recepción de información, en un

sistema de comunicaciones por fibra óptica que emplea multicanalización WDM, se hace

uso de: moduladores, decodificadores, divisores de canal, regeneradores y fotodetectores.

En el capítulo 5, se revisará el funcionamiento de estos componentes y se proporcionan

datos técnicos de dispositivos comerciales con la finalidad de mostrar la capacidad de éstos

en la actualidad.

En el capítulo 6, se describe el proceso de multicanalización por división de

longitudes de onda y se muestra la manera en que los canales están espaciados de acuerdo a

la Unión Internacional de Telecomunicaciones (ITU). En esta parte de la tesis se presentan

los estándares de codificación de Red Óptica Síncrona (SONET), Jerarquía Digital

Síncrona (SDH) y Modo de Transferencia Asíncrono (ATM), se describe la estructura de la

trama básica de cada uno de ellos y la manera en que la información está distribuida dentro

de la trama.

En el capítulo 7, se presenta el método de propagación del haz basado en la transformada

de Fourier (FFT-BPM). Se resuelve la ecuación de onda de Helmholtz y se presentan las

soluciones para la aproximación de Fresnel y la formulación de ángulo amplio. La solución

obtenida de la formulación de ángulo amplio es implementada con la transformada de

Fourier para desarrollar un algoritmo numérico. Finalmente, se muestra una aplicación del

algoritmo numérico al análisis de un filtro con rejilla de Bragg, con el propósito de obtener

el comportamiento del campo electromagnético dentro del filtro.

4

CAPÍTULO 1

COMUNICACIONES ÓPTICAS

Las comunicaciones ópticas han demostrado ser el sistema de comunicaciones más

eficiente para la transmisión de grandes cantidades de información, a pesar de que no han

sido empleadas en toda su potencialidad. En la actualidad, se están haciendo esfuerzos

importantes para incrementar su capacidad a través de nuevos materiales, dispositivos y

técnicas de transmisión [38].

La multicanalización por división de longitud de onda (WDM), es una técnica de

transmisión que permite incrementar el número de canales de comunicaciones por una sola



transmisión [38].

El avance en la capacidad de los sistemas de comunicaciones por fibra óptica se

debe al desarrollo que se ha logrado en la capacidad de los dispositivos para WDM, lo cual

ha permitido incrementar el número de canales de comunicaciones por una sola fibra

óptica. Como ejemplo de su aplicación se puede mencionar la red académica Abilene de

Internet2 [19]. Esta red trabaja a una velocidad de 10 Gbps (OC-192) entre sus nodos

principales.

En la sección 1.1, se describen las partes que componen un sistema de

comunicaciones óptico. En la sección 1.2, se muestra el espectro electromagnético y las

bandas infrarrojas, la cual es la región del espectro electromagnético donde opera WDM.

Por último, en la sección 1.3, se muestran algunas aplicaciones de la óptica en dispositivos

sensores de velocidad, de saturación de oxígeno en la sangre y de temperatura.

5

1.1. Sistema de comunicaciones óptico.

Las comunicaciones por fibra óptica son una alternativa para transmitir información

a tasas altas de transmisión, en el orden de Gbps. En un sistema de comunicaciones ópticas

se codifican, modulan y multicanalizan los datos para ser transmitidos de una manera más

efectiva y segura [8].

Las componentes de un sistema de comunicaciones ópticas a grandes rasgos son: el

transmisor, el modulador, el medio de transmisión (fibra óptica), el regenerador y el

receptor. En el transmisor se codifica la información, se modula la portadora luminosa de

una determinada longitud de onda y se transmite a la fibra. La figura 1.1 muestra un sistema

de comunicaciones óptico.

La señal al viajar por la fibra óptica sufre pérdidas por atenuación, dispersión y

efectos no lineales causados por la dispersión estimulada de Raman y de Brillouin, por lo

que es necesario restablecer o redireccionar la señal empleando un regenerador [2].

La señal al llegar a su destino es procesada por el receptor, el cual hace pasar la

señal luminosa a través de un divisor de longitud de onda o de canal. Posteriormente, la

señal es demodulada, convirtiendo la señal luminosa en corriente eléctrica y finalmente ésta

se decodifica para obtener la información transmitida.

1.1.1 Transmisor.

La información a transmitirse es codificada por un protocolo de comunicaciones

(SONET, ATM, etc.), para organizarla en la forma que será enviada. Luego, estos datos son

Fibra óptica

DecodificadorMensaje de

salida Divisorde canal

Codificador Mensaje de entrada

RECEPTOR

TRANSMISOR REGENERADORÓPTICO

Demoduladoróptico

Modulador ópticoindirecto

Multicanalización WDM

Modulador ópticodirecto

Figura 1.1. Sistema de comunicaciones óptico.

6

modulados en OOK1 (transmisión por encendido y apagado) y multicanalizados empleando

diferentes longitudes de onda para ser enviados a través de la fibra [3].

Las fuentes luminosas que se emplean para generar la portadora son láser o LED. El

LED es usado para tasas de bits menores de 2.5 Gbps, debido a que su tiempo de respuesta

está alrededor de 7 ns [13]. El láser puede ser usado a tasas altas de transmisión, ya que su

tiempo de respuesta está alrededor de 0.1 ns [13]. Además, el láser produce un haz de luz

más coherente que el LED debido a su cavidad resonante.

Con relación a la generación de la portadora podemos clasificar los láser en dos

tipos: láser sintonizable y láser no sintonizable. Con el láser sintonizable se pueden generar

diferentes longitudes de onda, mientras que con un láser no sintonizable existe la restricción

a generar solo una longitud de onda.

Para la modulación del haz luminoso se pueden considerar dos tipos de

moduladores: modulador directo y modulador indirecto. El modulador directo controla

directamente la alimentación del LED o láser. El modulador indirecto controla el índice de

refracción de un cristal y éste, a su vez, modula la luz alimentada por un láser de onda

continua. El esquema de modulación usado en comunicaciones ópticas es el OOK, y se

emplea el formato de señal NRZ (no retorno a cero) o RZ (retorno a cero) [3].

La modulación directa a tasas altas de transmisión produce efectos no lineales en la

señal, como automodulación de fase. El modulador indirecto es más estable y más

empleado en sistemas WDM [1]. En el caso de los moduladores ópticos indirectos, se

emplean los moduladores de electro-absorción (EAM) y los moduladores con

interferómetros de Mach-Zehnder (MZI), entre otros.

Un modulador comercial de electro-absorción (EAM) de Cyoptics [13] tiene una

velocidad de modulación de 40 Gbps con pérdidas por dispersión de 10dB. Para el caso del

1 Ver apéndice A.

7

modulador MZI comercial de Fujitsu [13], hecho de Niobato de Litio (LiNbO3), puede

alcanzar una velocidad de modulación de 12.5 Gbps.

Después de la modulación, la señal es multicanalizada y enviada a través de la fibra

óptica. La fibra óptica es clasificada en base a su apertura numérica en: multimodo y

monomodo. En la fibra óptica multimodo, el haz luminoso se propaga por múltiples

reflexiones con pérdidas de alrededor de 0.7 dB/Km [8]. En la fibra óptica monomodo sólo

se tiene un modo de propagación, con pérdidas de alrededor de 0.4 dB/Km [2]. La fibra

óptica monomodo es la que ofrece mayor capacidad de transporte.

Las fibras ópticas son hechas de vidrio contaminado con cierta clase de impurezas

para controlar su índice de refracción. Se emplea Germanio (Ge), Titanio (Ti) o Fósforo (P)

como contaminadores para incrementar el índice de refracción y Boro (B) o Flúor (F) para

disminuirlo [5].

La figura 1.2 muestra la curva de atenuación de dos fibras ópticas monomodo de

Corning [13]. La fibra SMF 28 tiene un pico de atenuación en 1380 nm, con una atenuación

de 0.55 dB/Km. Este pico de atenuación es debido a las moléculas de hidroxilo (OH), que

quedan en la fibra en el proceso de fabricación. Para disminuir este pico de atenuación,

Corning empleó un proceso de deposición externa por vapor (OVD- Outside Vapor

Deposition). Con esta técnica Corning fabrica la fibra óptica SMF-28e, la cual produce una

fibra ultra pura totalmente sintética con 0.35 dB/Km como máxima atenuación [13].

1.1.2. Regenerador.

Se pueden considerar tres tipos de regeneradores: El que solo amplifica la señal

(1R), el que reconstruye la envolvente y amplifica (2R), y el que reconstruye el código y

amplifica (3R) [3].

El regenerador 1R puede ser opto-electrónico o completamente óptico. El

regenerador 1R opto-electrónico convierte la señal óptica en señal eléctrica, la cual es

empleada para modular el haz luminoso de la fuente luminosa. De esta forma la potencia

8

luminosa de la señal es restablecida para ser enviada de nuevo por la fibra óptica. En el

regenerador 1R completamente óptico, la amplificación de la señal luminosa se hace sin

llevar a cabo la conversión óptico-eléctrica empleando la fibra amplificadora dopada de

Erbio (EDFA). El regenerador 1R amplifica también los ruidos que adquiere la señal en el

canal.

El regenerador 2R amplifica la señal y reconstruye la envolvente. Es básicamente un

regenerador 1R, más una etapa de comparación para la reconstrucción de la envolvente.

Una limitante de este regenerador, es que puede agregar fluctuaciones de frecuencia a la

señal. Este tipo de regenerador es opto-electrónico. Regeneradores 2R completamente

ópticos están en fase experimental.

El regenerador 3R amplifica y recupera completamente la señal (envolvente y

sincronía), eliminando los ruidos que adquiere la señal en el canal. El regenerador 3R,

básicamente es un regenerador 2R con etapas adicionales. En estas etapas se realiza

procesamiento de la señal para recuperar la señal de reloj y la sincronía de la señal.

Longitud de onda (nm)

Ate

nuac

iónn

dB

/Km

Figura 1.2. Atenuación de las fibras ópticas SMF 28 y SMF 28e de Corning.

Atenuación de la fibra óptica SMF-28

Atenuación de la fibra óptica SMF-28e

9

1.1.3. Receptor.

El receptor recupera la información de la señal luminosa, emplea divisores de canal

para separar los canales de información de la señal multicanalizada. El receptor detecta los

pulsos ópticos y los convierte en pulsos eléctricos, empleando un fotodiodo PIN o un

fotodiodo de avalancha. Los fotodiodos PIN son más rápidos que los fotodiodos de

avalancha, pero éstos últimos tienen una mayor sensibilidad. Un fotodiodo PIN de Fujitsu

de 12.5 Gbps tiene una sensibilidad de -19dBm, mientras un fotodiodo de avalancha de

Cyoptics de 10 Gbps tiene una sensibilidad de -27dBm [13].

1.2. Espectro electromagnético.

Para tener una idea clara sobre la ubicación de las bandas del espectro

electromagnético y sus valores correspondientes, es necesario ilustrar en forma gráfica y

cuantitativa lo anterior. Sin embargo, cabe mencionar que el objetivo principal es resaltar la

ubicación de las bandas infrarrojas y su correspondiente valor en términos de longitud de

onda.

La figura 1.3 muestra en forma gráfica el espectro electromagnético, estando éste

dividido en tres regiones principales: Ondas de Radio Frecuencia (RF), ópticas y ondas de

energía alta. En este trabajo solo se revisara sobre la segunda región. Las ondas RF se

encuentran desde frecuencias muy bajas (VLF) hasta extremadamente altas (EHF), donde

se encuentran las microondas.

La porción óptica del espectro electromagnético es la de mayor interés para este

trabajo debido a que contiene las bandas infrarrojas. Se debe tener presente la porción en la

que se encuentra el infrarrojo, al igual que la correspondiente longitud de onda λ, en lugar

de la frecuencia que es poco utilizada.

Existen 5 bandas infrarrojas: La primera, la banda S, la banda C, la banda L y la

quinta banda, estas se muestran en la figura 1.3. Debido a la atenuación que éstas presentan,

algunas están designadas para comunicaciones de corto y largo alcance [1,3].

10

Las bandas infrarrojas de interés en este trabajo son la banda C y la banda L, debido

a que en éstas se encuentra la región de operación de WDM.

1.3. Aplicaciones de la óptica.

En esta sección se verán las siguientes aplicaciones de la óptica: LIDAR, pirómetro

óptico y oxímetro. Estas aplicaciones consisten en dispositivos sensores de velocidad,

temperatura y cantidad de oxígeno en la sangre, respectivamente.

1.3.1. LIDAR.

El LIDAR (Medición y Detección por Luz) transmite luz hacia un blanco, esta luz

cambia al interactuar con el blanco. Una parte de la luz es reflejada/dispersada de regreso al

LIDAR en donde es analizada. Los cambios en las propiedades de la luz permiten

determinar algunas características del blanco. El tiempo que la luz tarda en viajar desde el

LIDAR al objeto y desde el objeto al LIDAR, es usada para determinar la distancia del

objeto.

IR Lejano IR Medio IR Cercano

1625 nm 1565 nm 1530 nm 1350 nm 1280 nm 900 nm 820 nm

1.85x1012 Hz 1.92x1012 Hz 1.96x1012 Hz 2.22x1012 Hz 2.34x1012 Hz 3.33x1012 Hz 3.66x1012 Hz

Microondas Rayos UV Rayos X Rayos Gamma

0.30x1012 Hz 0.53x1012 Hz 3.33x1012 Hz 4.30x1012 Hz 7.50x1012 Hz

10000 nm 5600 nm 900 nm 700 nm 400 nm

ra ra ta ta da

Figura 1.3. Espectro electromagnético.

Luz Visible

11

Existen tres tipos básicos de LIDAR:

− Medidores de distancia.

− DIAL (LIDAR de absorción diferencial).

− LIDAR Doppler.

El LIDAR medidor de distancia es el más sencillo, es usado para medir la distancia

de un blanco al LIDAR.

El LIDAR de absorción diferencial es usado para medir concentraciones químicas

en la atmósfera, tales como el ozono, vapor de agua y contaminación. Éste usa dos láseres

de longitudes de onda diferentes, una es seleccionada de tal manera que la longitud de onda

sea absorbida por la molécula de interés, mientras que la otra longitud de onda no sea

absorbida. La diferencia de intensidades se usa para deducir la concentración de moléculas

que están siendo investigadas.

El LIDAR Doppler es usado para medir la velocidad de un blanco. Cuando la luz

transmitida del LIDAR choca con el blanco en movimiento, ya sea hacia el LIDAR o

alejándose de él, la longitud de onda de la luz reflejada/dispersada por el blanco será

levemente cambiada. Si el blanco se está alejando del LIDAR, la luz reflejada tendrá una

longitud de onda mayor, si se está moviendo hacia el LIDAR, la luz reflejada tendrá una

longitud de onda menor. En la tabla 1.1 se muestran los datos de un LIDAR Stalker [13], el

cual mide velocidad.

Para prevenir lesiones al sistema de visión humana (HVS), en el caso del diodo

láser, se utiliza una clasificación relacionada con la potencia disipada [6]. De acuerdo con

la tabla 1.2, el láser de clase 1 emite potencia baja, haciéndolo seguro para períodos cortos

Longitud de onda de trabajo 905 ± 10 nm pico Ancho de banda del espectro 5 ± 3 nm Tipo de láser Diodo láser de impulsos (InGaAs)

Seguridad ocular Dispositivo láser CLASE 1

Tabla 1.1. Datos de LIDAR Stalker [13].

12

de exposición. Sin embargo, los de clase 2, se utilizan únicamente como fuentes de luz

visible, aunque su potencia sigue siendo baja. En su manejo, resulta necesario un poco de

protección visual. En el caso de los diodos láser de clase 3a, se requiere de protección

estricta, puesto que su exposición directa resulta peligrosa al HVS.

Fuente óptica

Luz visible Infrarroja Clasificación

650 nm 880 nm 1310 nm 1550 nm

Clase 1 < 0.2 mW < 0.5 mW < 8.8 mW < 10 mW

Clase 2 0.2 - 1 mW N/A N/A N/A

Clase 3a 1 - 5 mW 0.5 – 2.5 mW 8.8 - 45 mW 10 – 50 mW

Clase 3b 5 - 500 mW 2.5 - 200 mW 45 - 500 mW 50 - 500 mW

1.3.2. Pirómetro óptico

Un pirómetro óptico es usado para medir la temperatura de un cuerpo. Funciona

comparando el brillo de la luz emitida por la fuente de color con la de una fuente estándar.

Consta de dos partes: un telescopio y una caja de control. El telescopio contiene un filtro

para color rojo y una lámpara con un filamento calibrado, sobre el cual la lente del objetivo

enfoca una imagen del cuerpo cuya temperatura será medida. Este tipo de pirómetro mide

temperaturas que alcanzan los 2400 °F (1482.2 °C).

La medición de la temperatura se realiza por comparación del brillo de un cuerpo

incandescente con el de otro cuya temperatura se conoce, en la figura 1.4 se muestra el

aspecto del filamento cuando:

(A) La temperatura de la lámpara es menor que la temperatura de la fuente.

(B) Cuando son iguales.

(C) Cuando la temperatura de la lámpara es superior a la de la fuente.

Tabla 1.2. Clasificación de láser [6].

13

Para medir la temperatura de metales incandescentes, se observa el metal a través

del pirómetro, y se gira una perilla para ajustar la temperatura del filamento incandescente

en el campo de visión. Cuando el color del filamento es igual al color del metal, la

temperatura se puede leer de una escala en la perilla de ajuste de color del filamento.

En la tabla 1.3 se muestran los datos del Pirómetro Óptico Infrarrojo Multipropósito

OPTEX VF-3000 [13].

Elemento Si / InGaAs

Respuesta espectral 0.9 / 1.55 µm

Rango de temperatura 400 – 3000 ºC (750 – 5400 ºF)

Precisión

Menos de 1000 ºC: ± 6 ºC

1000 a 1500 ºC: ± 0.6% de valor medido

Más de 1500 ºC: ± 1.2% de valor medido

1.3.3. Oxímetro.

El oxímetro es un sensor de la cantidad de oxígeno en la sangre. Al medir la

saturación de oxígeno se está midiendo la cantidad de oxígeno que se encuentra combinada

con la hemoglobina, es por eso que ésta es una medida relativa y no absoluta, ya que indica

la relación que hay entre la cantidad de hemoglobina presente y la cantidad de hemoglobina

combinada con el oxígeno (oxihemoglobina), y no la cantidad de oxígeno en la sangre que

llega a los tejidos [7].

Este parámetro se puede sensar ópticamente dado que la cantidad de

oxihemoglobina está relacionada con la coloración roja de la sangre, siendo ésta mas

Tabla 1.3. Datos Pirómetro Óptico Infrarrojo multipropósito OPTEX VF-3000 [13].

1. Lámpara incandescente 2. Objetivo 3. Ocular 4. Radiación térmica (visible).

Figura 1.4. Funcionamiento del pirómetro óptico para la medición de temperatura

14

obscura cuando más oxihemoglobina contiene la sangre, y más tenue cuando menos

oxihemoglobina hay presente.

El principio de funcionamiento se muestra en la figura 1.5. Se utilizan dos

longitudes de onda, una que varía con la saturación de oxígeno en la sangre

λ1 (de 630-660 nm), y una longitud de onda λ2 (de 800-940 nm) que varía solo con la

variación del pulso. Con la diferencia entre estas dos señales se deduce la cantidad de

oxígeno en la sangre, la oxihemoglobina [7]. En la tabla 1.4 se muestran los datos de un

oxímetro de pulso Dolphin 2100 [13].

Saturación de oxígeno: 0 a 100%

Rango de medición de pulso: 30 a 240 Pulsos por minuto

Precisión de oxígeno 70-100%

Precisión de ritmo cardiaco ± 5 pulsos por minuto

En este capítulo se revisaron las partes principales de un sistema de

comunicaciones óptico. Se presentó el espectro electromagnético con el fin de ubicar la

posición de las bandas infrarrojas C y L, las cuales son las de interés para este trabajo de

tesis. También se mostraron algunas aplicaciones de la óptica.

Figura 1.5. Funcionamiento del Oxímetro [7].

Tabla 1.4. Datos del Oxímetro de pulso Dolphin 2100 [13].

15

CAPÍTULO 2

GUÍAS DE ONDA

Las guías de onda son utilizadas para transferir energía electromagnética de forma

eficiente de un punto a otro. Algunas estructuras comunes son: cable coaxial, par de cables,

microcinta, guía de onda rectangular hueca y guía de onda circular dieléctrica [9], las cuales

son mostradas en la figura 2.1.

En este capítulo se analizarán las guías de onda circular metálica y circular

dieléctrica, se mostrarán las condiciones de frontera para cada una de las estructuras y las

distribuciones de campo para los primeros modos de propagación.

El análisis de las guías de onda se realizará en coordenadas cilíndricas, debido a

que su estructura presenta este tipo de simetria. Este sistema de coordenadas se utilizará

para resolver las ecuaciones de Maxwell, las cuales deben satisfacer los campos eléctricos

(E) y magnéticos (H). Las soluciones de los campos E y H para guías de onda con este tipo

de simetría están dadas por las funciones de Bessel.

Las soluciones de la guía de onda dieléctrica son aplicadas a la fibra óptica

monomodo para determinar su longitud de onda de corte. También se revisará la fibra

óptica y los tipos que se tienen.

Cable coaxial

Par de cables

Microcinta Guía de onda rectangular

Guía de onda dieléctrica

Figura 2.1 Estructuras de guías de onda.

16

2.1. Guía de onda circular metálica.

Las líneas de transmisión y cavidades cilíndricas, son configuraciones geométricas

muy populares, ya que mantienen la sección transversal uniforme a lo largo de su longitud.

La configuración de guía de onda utilizada es mostrada en la figura 2.2. Este tipo de

guía de onda es muy atractiva debido a su fácil manufactura y baja atenuación de los modos

0TE n [14].

Debido a que la geometría del sistema es de una configuración cilíndrica, se utilizan

coordenadas cilíndricas para resolver el problema de valores en la frontera para los campos

eléctricos (E) y magnéticos (H). Este sistema de coordenadas se utiliza para resolver las

ecuaciones de Maxwell, las cuales deben de satisfacer los campos E y H [10].

2.1.1. Análisis.

Al suponerse una onda monocromática con campo Eléctrico ( )0

zj t zE E e ω β−= y

campo Magnético ( )0

zj t zH H e ω β−= , sin distribución de carga ni de corriente ( )0J ρ= = ,

las ecuaciones de Maxwell se muestran como [14]:

z

r

x

φ

y

r a=

Figura 2.2. Estructura de la guía de onda cilíndrica.

17

2

0 0

kH j E

BE j Ht

DB

µω

ωµ

⎛ ⎞∇× = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∂

∇× = − = −∂

∇ ⋅ =∇ ⋅ =

(2.1)

Una vez desarrolladas las Ecs. (2.1) se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones:

1 1

1 1( ) ( )

z zr r

r z r z

r rz z

r r

E HE Hr j H r j Er z r zE E H Hj H j Ez r z r

E HrE j H rH j Er r r r

E Er r

φ φ

φ φ

φ φ

ωµ εωφ φ

ωµ εω

ωµ εωφ φ

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂− = − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂ ∂ ∂− = − − =

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂

− = − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂

+ +∂

1 10 0z r r zE HE H H H

r z r r r zφ φ

φ φ∂ ∂∂ ∂ ∂

+ = + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(2.2)

2.1.2. Modo Transversal Eléctrico (TE)

Para el modo TE o H, 0zE = y todos los componentes del campo restantes pueden

ser determinados por el campo magnético axial zH .

El conjunto de Ecs. (2.2) es simplificado al aplicar la condición para el modo

TE, 0zE = , quedando de la forma:

1

1 1( ) ( ) 0

1 0

zz r z r

zz r z r

r rz

r r

Hj E j H j H j Er

Hj E j H j H j Er

E HrE j H rHr r r r

EE Er r r

φ φ

φ φ

φ φ

φ

β ωµ β εωφ

β ωµ β εω

ωµφ φ

φ

∂= − + =

∂∂

− = − − − =∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂− = − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂∂+ + =

∂ ∂1 0r r

z z

HH H j Hr r r

φ βφ

∂∂+ + − =

∂ ∂

(2.3)

18

Resolviendo el sistema de Ecs. (2.3) se obtiene la siguiente ecuación

2 2 2

22 2 2 2

1 1z z z zz

H H H H Hr r r r z

βφ

∂ ∂ ∂ ∂+ + + = −

∂ ∂ ∂ ∂ (2.4)

Usando el método de separación de variables, la solución de Hz está dada de la forma: ( ) ( ) ( )zH R r Z zφ= Φ (2.5) Empleando esta solución en la Ec. (2.4) se obtienen las ecuaciones para ( )R r , ( )φΦ y

( )Z z

( )2

22 22 0rR Rr r r m R

r rβ∂ ∂ ⎡ ⎤+ + − =⎣ ⎦∂ ∂

, (2.6)

2

22

d mdφ

Φ= − Φ , (2.7)

2

22 z

d Z Zdz

β= − , (2.8)

con 2 2 2

r zβ β β+ = . (2.9) Las soluciones a las Ecs. (2.6), (2.7) y (2.8), toman, respectivamente, la siguiente forma 1 1( ) ( ) ( )m r m rR r A J r B Y rβ β= + , (2.10) 2 2( ) cos( ) ( )A m B sen mφ φ φΦ = + , (2.11) y ( ) z zj z j zZ z e eβ β−= + . (2.12)

En la Ec. (2.10), ( )m rJ rβ y ( )m rY rβ representan las funciones de Bessel de primero

y segundo tipo respectivamente. En la figura 2.3 se muestran las funciones de Bessel de

primer tipo de orden 1, 2, 3, 4 y 5, y en la figura 2.4 las funciones de Bessel de segundo

tipo de orden 1, 2, 3, 4 y 5 [11].

19

Figura 2.3. Funciones de Bessel de primer tipo 0 1 2 3 4 5[ ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )]J x J x J x J x J x J x

Figura 2.4. Funciones de Bessel de segundo tipo 0 1 2 3 4 5[ ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )]Y x Y x Y x Y x Y x Y x

20

Con las Ecs.(2.10), (2.11) y (2.12) podemos escribir la Ec. (2.5) como: [ ][ ]1 1 2 2( ) ( ) cos( ) ( ) z zj z j z

z m r m rH A J r B Y r C m D sen m e eβ ββ β φ φ −⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦ (2.13)

Las constantes 1A , 1B , 2C , 2D , m , rβ , y zβ pueden encontrarse utilizando las condiciones de frontera siguientes [10]: -Los campos tangenciales a la cara de la guía deben ser cero. ( ), , 0E r a zφ φ= = (2.14) - Los campos deben ser finitos dentro de la guía - Los campos deben repetirse cada 2 radianes en π φ

De la segunda condición de frontera tenemos que los campos deben ser finitos

dentro de la guía de onda. De la figura 2.3, puede observarse que cuando 0rrβ = , la

función de Bessel de segundo tipo tiende a infinito, ( )m rY rβ = ∞, para que la condición de

frontera se cumpla es necesario que 1 0B =

( )m rY rβ = ∞ en r = 0 → 1 0B =

La tercera condición de frontera implica que m = 0, 1, 2, 3…

Aplicando estas condiciones de frontera y considerando que la onda se propaga

solo en la dirección z+ . Entonces la Ec. (2.13) se reduce a:

[ ]2 2( ) cos( ) ( ) zj zz mn m rH A J r C m D sen m e ββ φ φ −= + (2.15)

Con la ayuda de la Ec. (2.3) y a partir de zH , se calcula el resto de las componentes de los

campos:

[ ]2 22 ( ) ( ) cos( ) zj zr mn m r

r

mE j A J r C sen m D m er

βωµ β φ φβ

−= − − + (2.16)

[ ]2 22

( ) cos( ) ( ) zj zm rmn

r

dJ rE j A C m D sen m edr

βφ

βωµ φ φβ

−= + (2.17)

21

0zE = (2.18)

[ ]2 22

( ) cos( ) ( ) zj zm rzr mn

r

dJ rH j A C m D sen m edr

βββ φ φβ

−= − + (2.19)

[ ]2 22 ( ) ( ) cos( ) zj zzmn m r

r

mH j A J r C sen m D m er

βφ

β β φ φβ

−= − − + (2.20)

Aplicando la condición de frontera (2.14) en la Ec. (2.17), se obtiene:

[ ]2 22

( ) cos( ) ( ) 0zj zm rmn

r

dJ aE j A C m D sen m edr

βφ

βωµ φ φβ

−= + = (2.21)

La cual solo se satisface si:

( ) '0 ' m r mnr mn r

dJ a adr a

β χβ χ β= ⇒ = ⇒ = (2.22)

donde:

'mnχ : Ceros de 'mJ

m : orden de la función

n : número de cero

La condición de corte [10] está definida cuando ( ) 0z mnβ =

´2 mnc c c rf

aχβ ω µε π µε β= = = = (2.23)

ó

( ) ´2

mnc mn

faχ

π µε= (2.24)

En la tabla 2.1 Se muestra una lista abreviada de los valores de los ceros de 'mnχ de

la derivada de la función de Bessel 'mJ [10].

22

0m = 1m = 2m = 3m = 4m = 5m = 6m = 7m = 8m = 9m =

1n = 3.8318 1.8412 3.0542 4.2012 5.3175 6.4155 7.5013 8.5777 9.6474 10.7114

2n = 7.0156 5.3315 6.7062 8.0153 9.2824 10.5199 11.7349 12.9324 14.1155 15.2867

3n = 10.1735 8.5363 9.9695 11.3459 12.6819 13.9872 15.2682 16.5294 17.7740 19.0046

4n = 13.3237 11.7060 13.1704 14.5859 15.9641 17.3129 18.6375 19.9419 21.2291 22.5014

5n = 16.4706 14.8636 16.3475 17.7888 19.1960 20.5755 21.9317 23.2681 24.5872 25.8913

La longitud de onda de corte cλ está definida por:

'

2c

mn

aπλχ

= (2.25)

La longitud de onda de corte gλ de la guía está definida por:

=gλ (2.26)

2.1.3. Modo Transversal Magnético (TM)

Para el modo TM o E, 0zH = y todos los componentes del campo restantes pueden

ser determinados del campo eléctrico axial zE .

El conjunto de Ecs. (2.2) es simplificado al aplicar la condición para el modo TM, 0zH = ,

quedando de la forma:

22

11 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

c

c

ff

λλ

λλ cff >

∞ cff =

Tabla 2.1. Ceros ' mnχ de la derivada de la función de Bessel ( )' 'm mnJ χ .

23

1

1 1( ) 0 ( )

1 0

zz r z r

zz r z r

r rz

r rz z

E j E j H j H j Er

Ej E j H j H j Er

E HrE rH j Er r r r

EE E j Er r r

φ φ

φ φ

φ φ

φ

β ωµ β εωφ

β ωµ β εω

εωφ φ

βφ

⎛ ⎞∂+ = − =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∂

− − = − − =∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂∂+ + − =

∂ ∂1 0r r

HH Hr r r

φ

φ∂∂

+ + =∂ ∂

(2.27)

Resolviendo el sistema de Ecs. (2.27) se obtiene la siguiente ecuación

2 2 2

22 2 2 2

1 1 0z z z zz

E E E E Er r r r z

βφ

∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =

∂ ∂ ∂ ∂, (2.28)

donde se asume que

( ) ( ) ( )zE R r Z zφ= Φ . (2.29)

La solución para la Ec. (2.28) puede encontrarse de la misma manera que para la Ec. (2.4),

como se muestra en la Ec. (2.13), y puede ser escrita como:

[ ][ ]1 1 2 2( ) ( ) cos( ) sen( ) z zj z j zz m r m rE A J r B Y r C m D m e eβ ββ β φ φ −⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦ (2.30)

Las constantes 1A , 1B , 2C , 2D , m , rβ , y zβ pueden encontrarse utilizando las siguientes

condiciones de frontera [10]:

-Los campos tangenciales a la cara de la guía deben ser cero.

( ) ( ), , 0 o , , 0 zE r a z E r a zφ φ φ= = = = (2.31)

- Campos finitos dentro de la guía

( )n rY rβ = ∞ en r = 0 → B1 = 0 (2.32)

- Los campos deben repetirse cada 2 radianesπ

m = 0,1,2,3….

24

La primera condición de frontera sólo se satisface si:

r( ) 0 mnm r r mnJ a a

aχβ β χ β= ⇒ = ⇒ = (2.33)

Considerando ondas que sólo se propagan en la dirección +z, la Ec. (2.30) se reduce a [ ]2 2( ) cos( ) sen( ) zj z

z mn m rE B J r C m D m e ββ φ φ −= + (2.34)

En la Ec. (2.33) mnχ representa el enésimo cero (n=1,2,3,…) de la función de Bessel

mJ del primer tipo de orden m (m=0,1,2,3,…). Una lista breve de ceros es encontrada en la tabla 2.2 [10]. m = 0 m = 1 m = 2 m = 3 m = 4 m = 5

n = 1 2.4049 3.8318 5.1357 6.3802 7.5884 8.7715

n = 2 5.5201 7.0156 8.4173 9.7610 11.0647 12.3386

n = 3 8.6537 10.1735 11.6199 13.0152 14.3726 15.7002

n = 4 11.7915 13.3237 14.7960 16.2235 17.6061 18.9801

n = 5 14.9309 16.4706 17.9598 16.4094 20.8269 22.2178

Siguiendo el mismo procedimiento que para los modos TE, se pueden escribir las

expresiones para las frecuencias de corte cf y longitud de onda de la guía gλ , como:

( )2

mnc mn

faχ

π µε= (2.35)

2 2 : frecuencia de operación

1 1: frecuencia de corte

c

cg

cc

c

f fff

ff

f f

λ λ

λλλ

⎧ = >⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ −= −⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪

⎪ ∞ =⎩

(2.36)

De acuerdo a la Ec. (2.35) y a los valores de mnχ de la tabla 2.2, el orden en el que

los modos TM ocurren (de la frecuencia de corte más baja a la frecuencia de corte más alta)

es 01TM , 11TM , 21TM , etc.

Tabla 2.2. Ceros mnχ de la función de Bessel ( )m mnJ χ .

25

Con la ayuda de la Ec. (2.27) y a partir de la Ec. (2.34), se pueden calcular las

componentes de los campos Eléctrico y Magnético:

[ ]2 22

( ) cos( ) sen( ) zj zm rzr mn

r

dJ rE j B C m D m edr

βββ φ φβ

−= − + (2.37)

[ ]2 22 ( ) cos( ) sen( ) zj zzmn m r

r

mE j B J r C m D m er

βφ

β β φ φβ

−= − + (2.38)

[ ]2 2( ) cos( ) sen( ) zj zz mn m rE B J r C m D m e ββ φ φ −= + (2.39)

[ ]2 22 ( ) sen( ) cos( ) zj zr mn m r

r

mH j B J r C m D m er

βεω β φ φβ

−= − + (2.40)

[ ]2 22

( ) cos( ) sen( ) zj zm rmn

r

dJ rH j B C m D m edr

βφ

βεω φ φβ

−= − + (2.41)

0zH = (2.42)

En la tabla 2.3 se muestra el orden en que aparecen los modos en la guía de onda

circular metálica y en la figura 2.5 éstos son representados gráficamente en función de los

ceros de las funciones de Bessel [14]. En la figura 2.6 se muestran las configuraciones de

campo para los primeros 15 modos TE y TM [12].

Modo χ’mn χmn λc TE11 (dominante) 1.84 3.41a TM01 2.405 2.61a TE21 3.054 2.06a TE01 3.832 1.64a TM11 3.832 1.64a TE31 4.201 1.49a TM21 5.135 1.22a TE12 5.330 1.18a TE41 5.318 1.18a TM02 5.520 1.14a TM31 6.379 0.98a TE22 6.706 0.94a TE02 7.016 0.89a TM12 7.016 0.89a

Tabla 2.3. Modos TE y TM para la guía de onda circular metálica [14].

26

o ´mn mnχ χ Ejemplo. Una guía de onda circular de radio a = 3 cm, la cual está llena con poliestireno

( 2.56rε = ) es usada a una frecuencia de 2 GHz. Para el modo dominante TEmn , determinar

lo siguiente:

a. Frecuencia de corte.

b. Longitud de onda de la guía (en cm) comparada con la longitud de onda λ del

medio infinito.

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

0

m

0 1 2 3 4Frecuencia relativa a fc del modo dominante (TE11)

TE11

TM01 TE01

TM11

TE21

TE31

TE41

TE51

TM21

TM31

TM41

TE12

TE22

TM02

TM12

TE02

Figura 2.5. Representación grafica de los modos TE y TM para la guía de onda circular metálica [14]

27

Solución.

a. El modo dominante es el 11TE cuya frecuencia de corte, de acuerdo con (2.24) es,

( )9

TE

11

1.8412 1.8412(30 10 cm/s) 1.8315 GHz2 2 (3cm) 2.56cf aπ µε π

×= = =

b. Debido a que la frecuencia de operación es 2GHz, la cual es mayor que la

frecuencia de corte 1.8315 GHz, entonces la longitud de onda de la guía de (2.26)

para el modo 11TE es:

2

1g

cff

λλ =⎛ ⎞

− ⎜ ⎟⎝ ⎠

Donde:

9

09

30 10 9.375 cm2 10 2.56r

λλε

×= = =

×

2 21.83151 1 0.4017

2cff

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

por lo tanto:

9.375 23.34 cm 0.4017

donde: =9.375 cm

gλ

λ

= =

La longitud de onda de la señal electromagnética al propagarse dentro de la guía de

onda es diferente a la de la señal que es introducida, debido al efecto del índice de

refracción dentro de la guía, como se mostró en este ejemplo.

28

Figura 2.6. Configuraciones de campo para los primeros 15 modos TE y TM de la guía de onda circular metálica [12].

29

2.2. Guía de onda circular dieléctrica.

La propagación electromagnética guiada a través de medios dieléctricos ha sido

estudiada desde la década de 1920 por Rayleigh, Sommerfeld, y Debye. Se han utilizado

distintas estructuras de materiales dieléctricos como guías de onda, resonadores y antenas.

Desde la década de 1960, la fibra óptica ha recibido mucha atención y ha jugado un papel

clave en el área de las comunicaciones [10].

2.2.1. Análisis.

Se examinará una guía de onda cilíndrica dieléctrica con sección transversal

circular, como la mostrada en la figura 2.7. Usualmente consiste de un núcleo central

dieléctrico de radio a rodeado por un recubrimiento menos dieléctrico (el cual es

usualmente aire). Para simplificar el problema, generalmente se asume que ambos son

dieléctricos perfectos con permeabilidades iguales a las del espacio libre. Dicha estructura

puede soportar un número infinito de modos. Sin embargo, para un conjunto dado de

permitividades y radios a , sólo un número finito de modos guiados no-atenuados existen

con sus campos localizados en el núcleo central dieléctrico.

2.2.2. Modos híbridos HEM.

Generalmente los modos dentro de una guía de onda dieléctrica de forma plana

serán TE y/o TM. Sin embargo, para la varilla cilíndrica dieléctrica de la figura 2.7, los

modos puros TE(H) y TM(E) existen sólo cuando las configuraciones del campo son

,d dε µ

z

r

x

φ

y

,o oε µ r a=

Figura 2.7. Geometría de la guía de onda cilíndrica dieléctrica.

30

simétricas e independientes de φ . Sin embargo, los modos que presentan variaciones

angulares φ no pueden ser modos puros TE o TM [10].

Por otro lado, las configuraciones de campo que son combinaciones de los modos

TE y TM pueden ser no simétricas y presentar variaciones angulares φ . Tales modos son

referidos usualmente como modos híbridos, y son designados por los estándares de la IEEE

como HEMmn . HE cuando los modos TE(H) predominan, o EH cuando los modos TM(E)

predominan.

La frecuencia de corte está determinada por el mínimo radio eléctrico de la varilla

dieléctrica ( / )a λ ; para pequeños valores de ( / )a λ los modos no se pueden propagar sin

ser atenuados dentro de la guía. Sin embargo, existe un modo híbrido que no tiene

frecuencia de corte, llamado 11HEM ( 11HE ). Debido a su frecuencia de corte cero, se le

llama modo dominante y es utilizado más ampliamente en guías de onda dieléctricas de

varilla y en antenas tipo end-fire. Este modo 11HE es también referido como el modo

dipolo [10].

Las componentes eléctricas y magnéticas de los modos mnTE y mnTM , en una guía

de onda cilíndrica, están dadas respectivamente por las siguientes ecuaciones [10].

Para el modo mnTE ,

( ) ( ) ( )sen cos zj zr m r

mE A J r C m D m er

ββ φ φε

−= − − +⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.43)

( ) ( ) ( )' cos sen zj zrm rE A J r C m D m e β

φβ β φ φε

−= +⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.44)

0zE = (2.45)

( ) ( ) ( )' cos sen zj zr zr m rH A J r C m D m e ββ β β φ φ

ωµε−= − +⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.46)

( ) ( ) ( )1 sen cos zj zzm r

mH A J r C m D m er

βφ

β β φ φωµε

−= − − +⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.47)

31

( ) ( ) ( )2 2

cos sen zj zd zz m rH jA J r C m D m e ββ β β φ φ

ωµε−−

= − +⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.48)

Mientras que para el modo mnTM tenemos [10],

( ) ( ) ( )' cos sen zj zr zr m rE A J r C m D m e ββ β β φ φ

ωµε−= − +⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.49)

( ) ( ) ( )1 sen cos zj zzm r

mE A J r C m D m er

βφ

β β φ φωµε

−= − − +⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.50)

( ) ( ) ( )2 2

cos sen zj zd zz m rE jA J r C m D m e ββ β β φ φ

ωµε−−

= − +⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.51)

( ) ( ) ( )sen cos zj zr m r

mH A J r C m D m er

ββ φ φµ

−= − +⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.52)

( ) ( ) ( )' cos sen zj zrm rH A J r C m D m e β

φβ β φ φµ

−= − +⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.53)

0zH = (2.54)

Utilizando las Ecs. (2.43) a la (2.48) y (2.49) a la (2.54) y seleccionando sólo los

términos que poseen simultáneamente variaciones de ( )cos mφ en la componente zE y

variaciones de ( )sen mφ en la componente zH , permite escribir HEM dentro de la guía

( )ar ≤ de la siguiente manera:

( ) ( ) ( )'1 12

1 1 cos zj zdr d m r z r m r

r

E j A m J r B J r m er

βωµ β β β β φβ

−⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦ (2.55)

( ) ( ) ( )'1 12

1 1 sen zj zdd r m r z m r

r

E j A J r B m J r m er

βφ ωµ β β β β φ

β−⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.56)

( ) ( )1 cos zj zdz m rE B J r m e ββ φ −= (2.57)

( ) ( ) ( )'1 12

1 1 sen zj zdr z r m r d m r

r

H j A J r B m J r m er

ββ β β ωε β φβ

−⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦ (2.58)

32

( ) ( ) ( )'1 12

1 1 cos zj zdz m r d r m r

r

H j A m J r B J r m er

βφ β β ωε β β φ

β−⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.59)

( ) ( )1 sen zj zdz m rH A J r m e ββ φ −= (2.60)

donde

2 2 2 2 20 0r z d d d r rβ β β ω µ ε ω µ ε µ ε+ = = = , (2.61)

2

1r

d d

A j Aβωµ ε

= − , (2.62)

2

1r

d d

B j Bβωµ ε

= − , (2.63)

y ( )

'dr rβ

∂=

∂. (2.64)

Los coeficientes 1A y 1B no son independientes entre sí y su relación puede

encontrarse al aplicar las condiciones de frontera apropiadas.

Para que la varilla dieléctrica actúe como guía de onda, es necesario que los campos

fuera de la varilla ( )r a≥ sean del tipo evanescente, los cuales presentan decaimiento en la

dirección radial. La tasa de la atenuación es una función del diámetro de la varilla.

A medida que el diámetro de la varilla decrece, ocurren los siguientes cambios [10],

1. La atenuación disminuye.

2. La distancia a la que los campos se pueden extender fuera de la varilla es mayor.

3. La constante de propagación zβ es ligeramente mayor que 0β .

A medida que el diámetro de la varilla se incrementa, ocurren los siguientes cambios [10],

1. La tasa de atenuación también se incrementa.

2. Los campos son confinados más cerca a la varilla.

3. La constante de propagación zβ se aproxima a dβ .

33

Las funciones que son usadas para representar las variaciones radiales de los

campos fuera de la varilla tienen que ser funciones cilíndricas que decaen. Estas funciones

pueden ser las funciones de Bessel modificadas mK de segundo tipo de orden m , las cuales

están relacionadas con las funciones de Hankel de primer y segundo orden por,

1 (1)

1 (2)

( )2( )

( )2

mm

mm

m

j H jK

j H j

π αα

π α

+

+

⎧⎪⎪= ⎨⎪− −⎪⎩

(2.65)

Utilizando las Ecs. (2.55) a la (2.64) y la Ec.(2.65) como base, es posible

representar las componentes correspondientes de los campos magnético y eléctrico para los

modos HEM fuera de la varilla dieléctrica ( )r a≥ por

( )

0 0 0 ' 01 0 120

1 ( ) ( ) cos( ) zj zr m r z r m r

r

mE j C K r D K r m er

αωµ α β α α φα

−⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦, (2.66)

( )

0 0 ' 0 01 0 120

1 ( ) ( ) sen( ) zj zr m r z m r

r

mE j C K r D K r m er

αφ ωµ α α β α φ

α−⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

, (2.67)

0 01 ( ) cos( ) zj z

z m rE D K r m e αα φ −= , (2.68)

( )

0 0 ' 0 01 1 020

1 ( ) ( ) sen( ) zj zr z r m r m r

r

mH j C K r D K r m er

αβ α α ε ω α φα

−⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦, (2.69)

( )

0 0 0 ' 01 1 020

1 ( ) ( ) cos( ) zj zz m r r m r

r

mH j C K r D K r m er

αφ β α ε ωα α φ

α−⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

, (2.70)

y 0

1 ( )sen( ) zj zz m rH C K r m e αα φ −= (2.71)

donde

( ) ( )2 20 2 0 2 2 20 0 0r z r zjα α α α β ω µ ε+ = − + = = (2.72)

0'( )r rα

∂=

∂ (2.73)

34

Los coeficientes 1C y 1D no son independientes entre sí o de 1A y 1B , y sus relaciones

pueden encontrarse al aplicar las condiciones de frontera apropiadas.

Las relaciones entre las constantes 1A , 1B , 1C y 1D y la ecuación referida como la

ecuación de los eigenvalores (o valores propios), la cual puede ser usada para determinar

los modos que pueden ser soportados por la guía de onda dieléctrica de varilla, se obtiene

aplicando las condiciones de frontera siguientes [10]:

( ) ( )0,0 2 , ,0 2 ,dE r a z E r a zφ φφ π φ π= ≤ ≤ = = ≤ ≤ (2.74)

( ) ( )0,0 2 , ,0 2 ,dz zE r a z E r a zφ π φ π= ≤ ≤ = = ≤ ≤ (2.75)

( ) ( )0,0 2 , ,0 2 ,dH r a z H r a zφ φφ π φ π= ≤ ≤ = = ≤ ≤ (2.76)

( ) ( )0,0 2 , ,0 2 ,dz zH r a z H r a zφ π φ π= ≤ ≤ = = ≤ ≤ (2.77)

Haciendo esto lleva a:

( ) ( )

( )

'1 12

0 ' 0 01 0 120

1 1

1 ( ) ( )

d r m r z m rr

r m r z m r

r

A J a B m J aa

mC K a D K aa

ωµ β β β ββ

ωµ α α β αα

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.78)

( ) 01 1 ( )m r m rB J a D K aβ α= (2.79)

( ) ( )

( )

'1 12

0 0 ' 01 1 020

1 1

1 ( ) ( )

z m r d r m rr

z m r r m r

r

A m J a B J aa

mC K a D K aa

β β ωε β ββ

β α ε ωα αα

⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.80)

( ) 01 1 ( )m r m rA J a C K aβ α= (2.81)

35

Donde, de acuerdo a las Ecs. (2.61) y (2.72):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 22 2 d d dr z d r z d z d ra a a a a aβ β β β β β β β β+ = ⇒ + = ⇒ = − (2.82)

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 20 2 2 00 0r z r za a aα α β α β β− + = ⇒ − + = (2.83)

Sustrayendo la Ec. (2.83) de la Ec.(2.82), se obtiene que:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 200

2 20 1

r d r

r r r

a a a a

a a

α β β β

β ε µ β

= − −

= − − (2.84)

Rescribiendo la Ec. (2.78) a Ec. (2.81) en forma matricial

0Fg = , (2.85)

donde la matriz F esta dada por

( )( )

( )

' ' 0 00

22 0 0

0

2

( ) ( ) ( )

0 ( ) ( )

d m r z m r m r z m r

r r r r

m r m r

z m r

r

J a m J a K a m K aa a

J a K aF

m J aa

ωµ β β β ωµ α β αβ β α α

β α

β ββ

−=

( )( )

' 0 ' 00

2 00

0

( ) ( )

( ) 0 ( ) 0

d m r z m r m r

r rr

m r m r

J a m K a K a

a

J a K a

ωε β β α ε ω αβ αα

β α

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

(2.86)

y el vector g esta dado por

1

1

1

1

AB

gCD

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. (2.87)

36

La Ec. (2.85) tiene una solución no trivial en el caso de que el determinante de F de la

Ec. (2.86) sea igual a cero [ ]det( ) 0F = .

Podemos reescribir (2.82) y (2.84) como

( ) ( )220

dz r r ra a aβ β ε µ β= − (2.88)

( ) ( ) ( )2200 1 d

r r r ra a aα β ε µ β= − − , (2.89)

donde

0

Permitividad del medioPermitividad relativa

Permitividad del vacíor

εεε

= = =

0

Permeabilidad del medioPermeabilidad relativa

Permeabilidad del vacíor

µµµ

= = =

Con 0dµ µ= se puede mostrar que la Ec. (2.86) lleva a:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( )

' 0 ' 0 0 '0 00

0 0 02 2 20

2 2 22 2 0 ' 00 0

4 20 0

d d ddm r m r m r m r m r m rd d

r r r

d d dz z zm r m r m r m r m r m rd d

r r r

zdm r m r m r

r r

a a aJ a K a J a K a K a J aa a a

m a m a m aJ a K a J a K a J a K aa a a

m a aJ a K a K aa a

J

ωε ωµ ωµβ α β α α ββ α β

β β ββ α β α β αβ α β

β ω µ εβ α αα α

⎡ ⎤+⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥+ − +⎢ ⎥⎣ ⎦

+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )0

22200 ' ' 0 0

20 2 0 20zd d d

m r m r m r m r m r m rd dr r r r

a m aa K a J a K a J a K a

a a

ω µ ε ββ α β α β α

β α β α

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ − =⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.90)

Dividiendo todos los términos de la Ec. (2.90) por ( ) ( )2 0 2 2

0/m rK a aα ω µ ε y reagrupando,

puede demostrarse que la Ec. (2.90) puede ser puesta en la forma:

( ) ( ) ( )2

1 1 3 0d d dr r rG a G a G aβ β β− = (2.91)

37

donde:

( ) ( ) ( ) ( )( )

' ' 0

1 0 0

d dm r m r m rd

r dr r r m r

J a K a J aG a

a aK a

β α ββ

β ε α α= + (2.92)

( ) ( ) ( ) ( )( )

' ' 0

2 0 0

d dm r m r m rd

r dr r m r

J a K a J aG a

a aK a

β α ββ

β α α= + (2.93)

( ) ( )( ) ( )3 2 20

0

1 1d dzr m r d

r r r

m aG a J aa a a

ββ ββ ε β α

⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.94)

La Ec. (2.91) es referida como la ecuación de los eigenvalores para la guía de onda

dieléctrica de varilla. Los valores de dr aβ que son soluciones de la Ec. (2.91) son referidos

como los eigenvalores para la guía de onda dieléctrica de varilla.

Para que 0

r aα permanezca real y represente campos decayendo fuera de la guía de

onda dieléctrica de varilla, los valores de dr aβ no deben de exceder un cierto valor

máximo. De la Ec. (2.89) este valor máximo ( )max

dr aβ es igual a:

( ) ( )0 0 0max

1 1dr r ra a aβ β ε ω µ ε ε= − = − (2.95)

Para valores de d

r aβ mayores que la Ec. (2.95), los valores de 0r aα se convierten en

imaginarios, y de acuerdo a la Ec. (2.65), la función de Bessel modificada de segundo tipo

es reducida a una función de Hankel de segundo tipo, que representa ondas viajeras

exteriores no-atenuadas. En este caso la varilla dieléctrica actúa como una antena cilíndrica

debido a pérdidas de energía de su lado. Por lo tanto, para un valor dado de m , existe un

número finito n de ( ) 'dr mn

a sβ (eigenvalores) para los cuales la varilla dieléctrica actúa

como una guía de onda [10].

Cada combinación de valores permisibles de y m n que determinan un eigenvalor

( )dr mn

aβ , dado representa el modo híbrido HEMmn . Los modos HEM con valores impares

38

en el segundo subíndice corresponden a modos HE, mientras que los modos HEM con

valores pares en el segundo subíndice corresponden a modos EH.

Un parámetro importante relacionado con la condición de corte es la frecuencia

normalizada V (también conocido como número-V o parámetro-V ) definido por [5]:

( ) ( )2

2 22 0 2 21 2

0

2 ( )dr r

aV a a n nπβ αλ

⎛ ⎞= + = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.96)

el cual es un número adimensional que determina cuántos modos puede soportar una fibra

óptica. Los parámetros 1 2 y n n , corresponden a los índices de refracción de los medios uno

y dos. Para la fibra óptica, 1n es el índice de refracción del núcleo y 2n el índice de

refracción del recubrimiento (ver figura 2.10).

Para todos los modos la suma de ( ) ( )2 20d

r ra aβ α+ debe ser una constante, la cual

será una función del radio de la varilla dieléctrica y su constante dieléctrica. Por lo tanto

debido a la Ec. (2.89):

( ) ( ) ( ) ( )2 2 20

0 1 constantedr r ra a aβ α β ε+ = − = (2.97)

Para todos los modos, excluyendo el modo dominante 11HE , esta constante debe

siempre ser igual o mayor que ( )22.4049 5.7835= ; esto es, excluyendo el modo 11HE . El

valor de 2.4049 es usado debido a que uno de los modos siguientes de orden más alto es el

modo 01TM el cual, de acuerdo a la Tabla 2.2, es ( ) ( )01

2.4049d dr rmn

a aβ β= = .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 0

0 1 2.4049dr r rV a a aβ α β ε= + = − ≥ (2.98)

o

0

2 1 2.40491r

aλ π ε

≥−

(2.99)

39

Para valores de 02 /a λ más pequeños que el de la Ec. (2.99) sólo se propaga el

modo dipolo 11HE , el cual es el caso de interés en una fibra óptica monomodo.

La tabla 2.4 muestra los primeros 12 modos (20 modos, si tomamos en cuenta la

doble degeneración para HEmn o EHmn ), en orden ascendente de frecuencia de corte, al

lado de la función de Bessel evanescente y su argumento en el corte.

En la figura 2.8 se muestra el comportamiento de los vectores de onda dentro de la

guía de onda, se presenta gráficamente z dβ β con respecto a 2 oa λ , donde a es el radio de

la guía de onda, y oλ la longitud de onda de operación en el vacío. Se puede ver que

zβ tiende al valor de dβ conforme se incrementa el radio de la guía de onda. Los cálculos

fueron hechos para una guía de onda con 2.56rε = , y para los ceros mostrados en la

tabla 2.4.

Modos ( )( ) 0=mnrm aj β ( )mnr aβ Número de modos propagándose

HE11 ( )( ) 0101 =aj rβ ( ) 010 =arβ 2

TE01, TM01, HE21 ( )( ) 0010 =aj rβ ( ) 4049.201 =arβ 6

HE12, EH11, HE31 ( )( ) 0111 =aj rβ ( ) 8318.311 =arβ 12

EH21 , HE41 ( )( ) 0212 =aj rβ ( ) 1357.521 =arβ 16

TE02, TM02, HE22 ( )( ) 0020 =aj rβ ( ) 5201.502 =arβ 20

Tabla 2.4. Modos en la guía de onda cilíndrica dieléctrica [10].

Figura 2.8. Comportamiento de z dβ β en la guía circular dieléctrica.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

2a/λo

βz/ β

d

40

La figura 2.9-a muestra las distribuciones de campo eléctrico y en la figura 2.9-b se

muestra la distribución de intensidad de Ex. La distribución del campo HE11 es la que se

tiene para la fibra óptica monomodo [15].

2.3. Fibra óptica.

Una fibra óptica es una guía de onda dieléctrica que opera a frecuencias ópticas,

bandas L (1570nm-1610nm), C (1530nm-1562), y S (1485nm-1520nm). Esta guía de onda

es normalmente de forma cilíndrica. Esta fibra confina energía electromagnética en forma

de luz dentro de su superficie y la guía en una dirección paralela a su eje. Las propiedades

de transmisión de una guía de onda óptica son dictadas por sus características estructurales,

las cuales tienen un efecto mayor en determinar cómo una señal óptica es afectada mientras

se propaga a lo largo de la fibra. La estructura básicamente establece la capacidad de

transporte de información de la fibra y también influencia en la respuesta de la guía de onda

a perturbaciones ambientales [16].

Figura 2.9. a) Distribución de campo eléctrico, b) Distribución de intensidad de Ex [15]

HE11

TE01

TM01

HE21

EH11

HE31

a) b)

41

La propagación de luz a lo largo de una guía, puede ser descrita en términos de un

conjunto de ondas electromagnéticas guiadas llamadas modos de la guía de onda. Estos

modos guiados son referidos como modos atados o atrapados de la guía de onda. Cada

modo guiado es un patrón de líneas de campo eléctrico y magnético, el cual es repetido a lo

largo de la guía, en intervalos iguales a la longitud de onda. Sólo un cierto número discreto

de modos son capaces de propagarse a lo largo de la guía [16]. Estos modos son esas ondas

electromagnéticas, las cuales satisfacen la ecuación de onda homogénea en la fibra y la

condición de frontera en las superficies de la guía de onda analizadas en la sección 2.2.2.

Una fibra óptica es una varilla dieléctrica, flexible y transparente, capaz de llevar

hasta 10 Gbps [19]. Consiste de un núcleo y un recubrimiento, ambos son de silicio con

diferentes dopantes, lo que los hace de diferente índice de refracción. El índice del núcleo

debe ser mayor que el del recubrimiento para lograr la condición de reflexión interna total.

La figura 2.10 muestra la estructura de una fibra óptica sencilla [16].

El recubrimiento reduce pérdidas por dispersión debidas a discontinuidades

dieléctricas en la superficie del núcleo, agrega fuerza mecánica a la fibra y protege el

núcleo de absorber contaminantes de la superficie con los cuales podría estar en contacto

[16].

En fibras con pérdidas bajas y medianas, el material del núcleo es generalmente

vidrio y está rodeado ya sea vidrio o un recubrimiento de plástico. Las fibras con pérdidas

más altas con núcleos de plástico también son ampliamente utilizadas. Adicionalmente, la

mayoría de las fibras son encapsuladas en un material plástico elástico, resistente a los

raspones. Este material agrega aún más fuerza a la fibra y mecánicamente aísla o protege

las fibras de pequeñas irregularidades geométricas, distorsiones y asperidades de

Aislamiento Núcleo Recubrimiento

Figura 2.10. Estructura de una fibra óptica.

42

superficies adyacentes. Estas perturbaciones pueden causar pérdidas por dispersión debidas

a curvas microscópicas, que pueden presentarse cuando las fibras son incorporadas dentro

de cables o soportadas por otras estructuras.

2.3.1. Tipos de fibras ópticas.

Variaciones en la composición del material del núcleo originan los dos tipos de fibra

comúnmente utilizados, estos son mostrados en la figura 2.11.

En el primer caso, el índice de refracción del núcleo es uniforme y experimenta un

cambio abrupto (o escalón) en la frontera con el recubrimiento. Ésta es llamada una fibra

de índice-escalonado. En el segundo caso, el índice de refracción del núcleo varia en

función de la distancia radial desde el centro de la fibra. Este tipo es conocido como fibra

de índice-graduado. Ambos tipos de fibra, de índice escalonado y graduado, pueden ser a

su vez divididos en monomodo y multimodo.

Como el nombre lo dice, una fibra monomodo soporta sólo un modo de

propagación, mientras que las fibras multimodo contienen cientos de modos.

Las fibras multimodo ofrecen varias ventajas comparadas con las fibras monomodo.

Por ejemplo, el radio mayor del núcleo de las fibras multimodo hace más fácil enviar

potencia óptica dentro de la fibra y facilita la conexión conjunta de fibras similares. Otra

ventaja es que la luz puede ser enviada dentro de una fibra multimodo utilizando un diodo-

emisor de luz (LED) como fuente, mientras que las fibras monomodo, generalmente, tienen

que ser excitadas con láser. Aunque los LEDs tienen menos potencia óptica de salida que

los láser, son más fáciles de construir, menos costosos, requieren circuitería menos

compleja y tienen tiempos de vida útil más largos que los diodos láser, lo que los hace más

deseables en muchas aplicaciones [2].

43

Una desventaja de las fibras multimodo es que sufren de dispersión intermodal [2].

La dispersión intermodal puede ser descrita como sigue: Cuando se envía un pulso óptico

hacia una fibra, la potencia óptica en el pulso es distribuida sobre todos, o la mayoría, de

los modos en la fibra. Cada uno de los modos que se puede propagar en una fibra

multimodo viaja a una velocidad ligeramente diferente. Esto significa que los modos en un

pulso óptico dado llegan al final de la fibra en tiempos ligeramente diferentes, causando

que el pulso se extienda en el tiempo mientras viaja a lo largo de la fibra. Este efecto,

conocido como dispersión modal, puede ser reducido al utilizar un perfil de índice-

graduado en el núcleo de la fibra. Esto permite a las fibras de índice-graduado tener anchos

de banda mayores (capacidades de tasa de transmisión de información) que las fibras de

índice-escalonado.

Índicesn2 n1 2a

Sección Transversal de la Fibra y Trayectorias de Rayo

Dimensiones Típicas

(recubrimiento) 125 mµ

(núcleo)8-12 mµ

Fibra Monomodo de índice escalonado

n2 n1

2a(recubrimiento) 125-400 mµ

(núcleo)50-200 mµ

Fibra Multimodo de índice escalonadon2 n1

(recubrimiento) 125-140 mµ

(núcleo)50-100 mµ

Fibra Multimodo de índice graduado

r a=r 0r =

Figura 2.11. Tipos de fibras ópticas.

44

2.3.2. Frecuencia de corte para la fibra monomodo.

Un parámetro importante para las fibras monomodo es la frecuencia de corte, la cual

es designada por corteλ y especifica el valor más pequeño de longitud de onda para el cual

existe sólo el modo fundamental, esto es, la fibra transmite luz en un solo modo únicamente

para las longitudes de onda mayores que corteλ . La fibra soporta más de un modo si la

longitud de onda de la luz es menor que corteλ . Una fibra es monomodo a 1310 nm , y a

1550 nm , pero no necesariamente a 850 nm [16].

Cuando una fibra es fabricada para uso monomodo la corteλ usualmente se elige

mucho menor que la longitud de onda de operación deseada. Por ejemplo, una fibra

monomodo fabricada para una λ de operación de 1310 nm puede tener una λ de corte de

1275 nm .

Para que una fibra soporte un solo modo a corteλ deberá satisfacer la Ec. (2.96) con

V = 2.4049. Esta ecuación es derivada de las ecuaciones de Maxwell para una guía de onda

circular dieléctrica:

( )1/ 22 2corte 1 2

22.4049

a n nπλ = − (2.100)

Donde: a es el radio de la fibra, 1n es el índice de refracción del núcleo y 2n es el índice

refracción del recubrimiento.

La ecuación (2.100) también puede ser escrita en función de la apertura numérica,

resultando:

corte2

2.4049a ANπλ = (2.101)

45

Ejemplo:

Suponga una fibra con 4.2 ma µ= , 1 1.480n = y ( )2 1 1 0.0034 1.475n n= − = , su longitud

de onda de corte corteλ es:

( ) ( ) ( )( )1/ 22 2corte

2 4.2 m1.480 1.475

2.4049π µ

λ = −

1334 nmcorteλ =

Se emplearon las ecuaciones de Maxwell en coordenadas cilíndricas para encontrar

las soluciones de los campos, para la guía de onda circular metálica y la guía de onda

circular dieléctrica. Las soluciones de los campos están dadas por las funciones de Bessel.

Dentro de la guía de onda sólo se tiene la solución de las funciones de Bessel de primer

tipo, mientras que afuera se tienen las funciones de Bessel de segundo tipo.

Se mostró que la longitud de onda de la señal electromagnética que se introduce a

una guía de onda, es diferente a la longitud de onda de la señal, al propagarse a través de la

misma. Este efecto es debido al índice de refracción dentro de la guía de onda.

Se utilizaron las ecuaciones de la guía de onda dieléctrica para encontrar la longitud

de onda de corte para la fibra óptica monomodo. En concreto, en este capítulo se analizaron

dos estructuras de guías de onda: circular metálica y circular dieléctrica, se encontraron las

soluciones de sus campos, se mostraron las distribuciones de campo para los primeros

modos y se presentaron ejemplos de ellas.

46

CAPÍTULO 3

EFECTOS LINEALES

Una fibra óptica es una varilla dieléctrica, delgada, flexible y transparente capaz de

transportar hasta 10 Gbps de información en la actualidad [19]. Ésta consiste de un núcleo y

un recubrimiento (ver figura 2.10), ambos son de silicio con diferentes dopantes, lo que los

hace de diferente índice de refracción. El índice de refracción del núcleo debe ser mayor

que el índice del recubrimiento, para lograr la condición de reflexión interna total, en otras

palabras, lograr que la señal óptica permanezca dentro del núcleo de la fibra.

El problema de mantener la señal luminosa dentro del núcleo de la fibra óptica,

cuando se propaga a través de ella, es determinar las condiciones necesarias para que se

cumpla la condición de reflexión interna total [2].

Los parámetros que caracterizan a la fibra óptica son: la apertura numérica,

atenuación y el índice de refracción, estos datos son proporcionados por el fabricante en las

hojas de especificaciones.

En este capítulo se analizan los parámetros del índice de refracción, la atenuación y

la apertura numérica de la fibra óptica. También se hace un análisis de la ley de Snell,

ángulo de Brewster y el ángulo crítico de propagación, los cuales dictan las condiciones

que deben cumplirse para tener la reflexión interna total dentro de la fibra óptica.

Los efectos lineales de la fibra óptica son parámetros que no dependen de la

potencia de la señal transmitida, sino de las características del material del núcleo de la

fibra óptica, tales como el índice de refracción y la atenuación. Como se verá en las

secciones 3.1 y 3.4, el índice de refracción y la atenuación están en función de la longitud

47

de onda, para cada valor de longitud de onda los valores del índice de refracción y la

atenuación de la fibra óptica son diferentes.

Para la multicanalización por WDM, en la cual cada canal de información es una

longitud de onda diferente, la variación de los valores del índice de refracción y de la

atenuación para cada longitud de onda, causa que la fibra óptica presente un

comportamiento diferente para cada canal, trayendo como consecuencia la dispersión de los

pulsos transmitidos [16]. Esta dispersión de los pulsos es conocida como dispersión

cromática.

En la sección 3.5 se analiza el efecto de la dispersión cromática. Por último, en la

sección 3.6, se presenta el algoritmo para el cálculo de los efectos lineales de la atenuación

y la dispersión cromática para un sistema multicanalizado por WDM. Se desarrolló un

programa de cómputo basado en este algoritmo, y se muestran los resultados obtenidos.

3.1. Índice de refracción.

El índice de refracción n, es un parámetro electromagnético del material, que es

calculado por la ecuación siguiente [2]:

0cnc

= (3.1)

donde c es la velocidad de la luz en la fibra óptica y 0c es la velocidad de la luz en el vacío

( 83 10× m/s).

El índice de refracción depende de la longitud de onda, ( )n n λ= , es diferente para

cada longitud de onda. Por ejemplo, para la fibra óptica SMF-28e de Corning [13]

n = 1.4677 a una longitud de onda 1310 nmλ = y n = 1.4682 para una longitud de onda

1550 nmλ = . Esta dependencia de la longitud de onda, hace que para un sistema

multicanalizado por WDM, la fibra óptica presente diferentes características de

propagación para cada longitud de onda (canal de información).

48

3.2. Reflexión y refracción en la frontera de dos medios no conductores.

La consideración del caso de la reflexión de ondas planas incidentes oblicuas a una

interfase dieléctrica plana, lleva a tres leyes ópticas bien conocidas: La ley de Snell, la ley

de reflexión, y la ley de Brewster, la cual gobierna la polarización por reflexión [17].

Para analizar reflexiones y transmisiones en incidencias oblicuas de onda, se

necesita introducir el concepto de plano de incidencia, el cual está definido como el plano

formado por un vector unidad normal a la interfase de reflexión y el vector en la dirección

de incidencia. Para una onda cuyo vector de onda está en el plano xz, y es incidente sobre la

frontera de los medios (la cual es paralela al plano xy), como se muestra en la figura 3.1, el

plano de incidencia es el plano xz [10].

Para examinar las reflexiones y transmisiones a ángulos de incidencia oblicuos para

una polarización general, es más conveniente descomponer el campo eléctrico en sus

componentes perpendicular y paralela (relativas al campo de incidencia) y analizar cada

uno de manera individual. El campo total reflejado y transmitido será la suma vectorial de

cada una de estas polarizaciones [17].

Figura 3.1. El plano xz es el plano de incidencia. Los vectores 1B , '1B y 2B están dirigidos hacia

fuera de la hoja (polarización P).

2θ n

'1E

'1B

z

x 1n 2n

1θ

1B

1E

2B

2E

'1k

1k

2k

y

'1θ

49

Cuando el campo eléctrico es paralelo al plano de incidencia, la polarización de la

onda es referida como polarización paralela, o polarización-P. Debido a que una

componente del campo eléctrico es perpendicular a la frontera de los dos medios, la

polarización P también es llamada polarización vertical, o H. En la figura 3.1 se muestra

el plano de incidencia para la polarización P.

Cuando el campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia, la polarización

de la onda es referida como polarización perpendicular o polarización-S (S por “senkrecht”,

perpendicular en alemán). La polarización S también es llamada polarización horizontal o

E, debido a que el campo eléctrico es paralelo a la frontera de los dos medios. En la figura

3.2 se muestra el plano de incidencia para la polarización S.

3.2.1. Ley de Snell.

Los campos eléctricos de la onda incidente, la onda reflejada y la transmitida, para

el plano de incidencia de la figura 3.1, están dados por:

2

( - t)

( ´ - t)'1

( ´ - t)22

'

ip

ip

ip

e

e

e

κ ω

κ ω

κ ω

⋅

⋅

⋅

=

=

=

1

1

r11

r1

r

E E

E E

E E (3.2)

Figura 3.2. El plano xz es el plano de incidencia. Los vectores 1E , '1E y 2E están dirigidos hacia

fuera de la hoja (polarización S).

2θ '

1θ

'1B

'1E

z

x 1n 2n

1θ

1E

1B

2E

2B

'1k

1k

2k

y n

50

donde 1 2 21 1 1 2, ´ ´ , p p p pp pE E E= = =1 1E p E p E p . Los vectores de propagación son

1 κ κ=1 1u , y así sucesivamente, y la unidad normal a la frontera es =n k .

Con incidencia oblicua en las Ecs. (3.2), no solo la frecuencia de las ondas

transmitida y reflejada debe ser igual, sino también la fase debe ser igual en la frontera:

'1 0 0 2 0κ κ κ⋅ = ⋅ = ⋅1r r r (3.3)

para cualquier vector 0r en la frontera. Esta condición no depende de las condiciones

exactas de la frontera, y tiene tres consecuencias interesantes.

La primera, es que los cuatro vectores '1 2, κ , y κ κ1 n son todos coplanares, por lo tanto

'1 2 = κ = κ κ× × ×1n n n (3.4)

y también

'1 2( ) = κ ( ) = ( ) = ( ) = 0κ κ κ κ κ κ⋅ × ⋅ × ⋅ × ⋅ ×1 1 1 1 1n n n n n (3.5)

La segunda consecuencia de la Ec. (3.3) es que el ángulo de incidencia es igual al

ángulo de reflexión, ésta es conocida como Ley de Snell de Reflexión [17]. El ángulo de

incidencia 1θ está dado por:

1 1 = κ cosκ θ⋅1 n

También:

' ' '1 1 1

2 2 2

κ = - κ cos = κ cos

θκ θ

⋅⋅nn

(3.6)

Por lo tanto:

1 1 1' ' '

1 1 1

2 2 2

sen

sen sen

k k

k kk k

θ

θθ

× =

× =× =

n

nn

y la Ec. (3.4) requiere que:

' '1 1 1 1 2 2 sen sen sen k k kθ θ θ= =

51

La magnitud 1κ' de la onda reflejada es igual a 1κ de la onda incidente, debido a que

se están propagando con la misma frecuencia en el mismo medio, por lo tanto:

'1 1sen = sen θ θ

'1 1= θ θ (3.7)

La tercera consecuencia es la ley de Snell de Refracción. También se basa en los

argumentos anteriores y utiliza la relación de dispersión:

1 1 2 2 y n nc cω ωκ κ= = (3.8)

siendo 1 2 y n n los índices de refracción de los dos medios. El resultado es la Ley de Snell de

Refracción:

1 1 2 2sen = sen n nθ θ (3.9)

3.2.2. Coeficientes de transmisión y de reflexión de Fresnel.

Aplicando las condiciones de frontera y utilizando las ecuaciones de Maxwell para

la polarización S, obtenemos las siguientes relaciones entre los ángulos de incidencia y

transmisión, y los índices de refracción [17]:

1s 2s1 1 1s 2 2cos ( ' ) cosn nθ θ− =E E E (3.10)

1s 2s1s'+ =E E E (3.11)

donde 1s 2s1s, ' , E E E son las componentes del campo eléctrico de la onda incidente, la onda

reflejada y la transmitida, en polarización S.

Resolviendo simultáneamente las Ecs.(3.10) y (3.11), se obtiene:

1s 2s 1s1s 12 12' , s sr t= =E E E E (3.12) Donde:

1 1 2 212

1 1 2 2

cos coscos coss

n nrn n

θ θθ θ

−=

+ (3.13)

1 112

1 1 2 2

2 coscos coss

ntn n

θθ θ

=+

(3.14)

52

De manera similar que en la polarización-S, se obtiene las siguientes ecuaciones

para la polarización P.

1 21 1 21 2

1 1cos ( ' ) coss ssn nθ θ− =B B B (3.15)

1 21's ss+ =B B B (3.16)

Se puede escribir la solución de las Ecs. (3.15) y (3.16) como

21 2 11 12 12

1

' = , = s s ss p pnr tn

B B B B , (3.17)

donde

2 1 1 212

2 1 1 2

cos coscos cosp

n nrn n

θ θθ θ

−=

+ (3.18)

y

1 112

2 1 1 2

2 coscos cosp

ntn n

θθ θ

=+

. (3.19)

12 12 12 12, ,s p s pr r y t t son los coeficientes de Fresnel de reflexión y transmisión, para

polarización S y P, respectivamente.

En términos de los coeficientes de Fresnel [17] tenemos,

2 22 212 12

1 1

cos, cosp p p p

nR r T tn

θθ

= = (3.20)

2 22 212 12

1 1

cos, coss s s s

nR r T tn

θθ

= = (3.21)

Las identidades

+ 1, + 1s s p pR T R T= = (3.22)

Se cumplen para incidencia oblicua en un material no conductor, donde R es la Reflectancia

y T es la Transmitancia.

53

Para ciertos propósitos, es más conveniente tener los coeficientes de Fresnel en la

siguiente forma [17]:

2 112

2 1

sen( )sen( )sr θ θ

θ θ−

=+

(3.23)

1 212

2 1

2cos sensen( )st θ θ

θ θ=

+ (3.24)

1 212

1 2

tan( )tan( )pr θ θ

θ θ−

=+

(3.25)

1 212

2 1 1 2

2cos sensen( )cos( )pt θ θ

θ θ θ θ=

+ − (3.26)

3.2.3. Ángulo de Brewster.

El ángulo de Brewster es el ángulo de incidencia para el cual no existe reflexión, en

otras palabras, toda la energía de la onda incidente es transmitida [17]. Las Ecs. (3.23) y

(3.25) muestran que si 1 2θ θ= , entonces 1 2 2 1tan( ) 0 sin( )θ θ θ θ− = = − y no hay onda

reflejada. Desafortunadamente, si 1 2θ θ= , la Ley de Snell para Reflexión requiere que

1 2n n= , lo que significa que los dos medios son ópticamente idénticos.

Si por otro lado, 1 2 / 2θ θ π+ = , entonces 1 2tan( )θ θ+ es infinito y la amplitud de la

onda reflejada con polarización P es cero. En este caso los medios son ópticamente

distinguibles.

Sin embargo, en la Ec. (3.23), para 1 2 / 2θ θ π+ = 12 0sr ≠ , lo que indica que para

polarización S no existe un ángulo que logre que la reflexión sea cero, esta es la razón por

la que no existe un ángulo de Brewster para polarización S.

54

Figura 3.3. Reflectancia para polarizaciones S y P en una interfase aire-vidrio. n1=1 y n2=1.5. 56Bθ = ° .

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Angulo de Incidencia

Coe

ficie

nte

de R

lefe

xion

(R)

n1=1.0, n2=1.5

RpRs

Se puede determinar el ángulo de Brewster 1θ , a partir de la Ley de Snell para

Refracción:

1 1 2 2sen = sen n nθ θ

Utilizando 2 1/ 2θ π θ= − :

2

1

tan Bnn

θ = (3.27)

El ángulo Bθ es conocido como el ángulo de Brewster, la relación entre éste y los

índices de refracción está dada por la Ec. (3.27), esta ecuación es conocida como la Ley de

Brewster.

En la figura 3.3, los valores de y s pR R son graficados para todos los valores de 1θ ,

con 1 21, 1.5n n= = , para una interfase aire-vidrio. Para este caso el ángulo de Brewster es

56Bθ = .

3.2.4. Ángulo Crítico y Reflexión interna total.

Existe otro caso en donde los coeficientes de reflexión de Fresnel son igual a

uno, = 1s pR R = , lo que significa que toda la energía de la onda incidente se refleja [17].

De las Ecs. (3.13) y (3.18) se puede observar que la reflexión perfecta ocurre para

55

2 / 2θ π= , al igual que para 1 / 2θ π= . Cuando 2 / 2θ π= , el ángulo de incidencia 1θ , es

llamado el ángulo crítico 1 cθ θ= . De la Ley de Snell para Refracción Ec.(3.9):

2

1

sen cnn

θ = (3.28)

para todo 1 cθ θ≥ , esta reflexión perfecta es llamada reflexión interna total.

En la figura 3.4, está graficada la reflectancia para polarización S y P en una

interfase vidrio-aire con 1 21.5, 1n n= = , en ella se puede ver que una vez alcanzado el

ángulo crítico 42cθ = ° toda la señal es reflejada, esta condición es la que interesa para la

interfase núcleo-recubrimiento de la fibra óptica.

3.3. Apertura numérica (AN).

La apertura numérica es un indicador del ángulo máximo para que los haces

incidentes a la fibra óptica cumplan la condición de reflexión interna total. Si se satisface

esta condición, los haces se mantendrán dentro de la guía durante su propagación. El ángulo

máximo para que un haz satisfaga esta condición se llama AN. En la figura 3.5 se ilustra el

ángulo máximo aθ .

Figura 3.4. Reflectancia para polarizaciones S y P en una interfase vidrio-aire. n1=1.5 y n2=1. Ángulo de Brewster 56Bθ = ° y ángulo crítico 42cθ = ° .

56

La apertura numérica es un parámetro proporcionado por el fabricante de la fibra

óptica. Por ejemplo, para la fibra SMF-28e de Corning [13] la AN = 0.14. Este parámetro

también puede ser calculado [16] por:

2 21 2aAN sen n nθ= = − (3.29)

donde θa es el ángulo de aceptancia, n1 y n2 los índices de refracción del núcleo y el

recubrimiento, respectivamente.

3.4 Atenuación.

La atenuación es otro parámetro importante, éste caracteriza la pérdida de potencia

que experimenta una señal al propagarse por una fibra óptica. Si PE es la potencia de

entrada a la fibra óptica y PT la potencia transmitida, la atenuación por unidad de longitud

está dada [2] por:

( ) ( ) ( )10 log T EdB Km L P Pα = − (3.30) Después de recorrer una distancia L, la potencia transmitida PT [2] es:

e LT EP P α−= (3.31)

Donde el coeficiente de atenuación α (1/Km), proporciona una medida de las pérdidas de la

fibra óptica. Es común expresar el coeficiente de atenuación α en unidades de (dB/Km). La

conversión entre unidades lineales y decibeles está dada por la relación [2]:

( ) ( ) ( ) ( )10 * e 4.343 1LE EdB Km L log P P Kmαα α−= − = (3.32)

Ésta se obtiene substituyendo la Ec. (3.31) en la Ec.(3.30).

FUENTE

LED O

LD

θa

θa

θc

n2

n2 recubrimiento

n1 núcleo θc

θ

θ > θa na aire

Figura 3.5. Ángulo máximo de apertura aθ .

57

La atenuación es una característica importante de la fibra óptica, es proporcionada

por el fabricante y depende de la longitud de onda. Por ejemplo, la fibra óptica SMF-28e

[13] de Corning presenta una atenuación 0.35 dB Kmα = para una longitud de

onda 1310 nmλ = , y para 1550 nmλ = la atenuación es 0.2 dB Kmα = .

3.5. Dispersión cromática.

La dispersión cromática está asociada con los diferentes haces de luz que forman

un pulso. Cada haz se considera con diferente longitud de onda y viajan a diferentes

velocidades a lo largo de la fibra óptica. Esta diferencia de velocidades de cada haz se debe

a la dependencia del índice de refracción a la longitud de onda. Esto provoca que los pulsos

aumenten su duración temporal al propagarse a través de ella.

El punto clave en la dispersión cromática, es que el índice de refracción depende de

la longitud de onda, como se vió en la sección 3.1. De la Ec. (3.1) tenemos que la

velocidad de la luz en un material es 0c c n= . Por lo tanto, los haces de luz de diferentes

longitudes de onda recorren la misma distancia, pero al viajar a diferentes velocidades a lo

largo de la fibra, éstos llegarán en diferentes tiempos al receptor. Resultando con esto un

incremento en la duración temporal del pulso de salida (figura 3.6).

El esparcimiento del pulso causado por la dispersión cromática se puede calcular [2] por

( )t D Lλ λ∆ = ∆ , (3.33)

Periodo de bit

Pulsos de entrada

Pulsos de salida

Fibra

Pulsos de salida

Pulsos de entrada

Figura 3.6. Efecto de la dispersión cromática.

58

donde ( )D λ es el parámetro de dispersión cromática medido en ( )/ps nm Km⋅ , L es la

longitud de la fibra en Km y λ∆ es el ancho espectral de la fuente de luz en nm.

Para la fibra óptica monomodo el parámetro de dispersión cromática es dado [2] por:

( ) ( )4

0 034

SD ps nm Kmλλ λλ

⎡ ⎤= − ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦ (3.34)

donde λ es la longitud de onda de operación, λ0 es la longitud de onda cuando D(λ) = 0 y

S0 es la pendiente de dispersión cromática para λ0, (estos datos son proporcionados por el

fabricante de la fibra). Por ejemplo, para la fibra SMF-28e de Corning [13] S0 = 0.086

( )2/ps nm Km⋅ y λ0 = 1313 nm. En la figura 3.7, se muestra el comportamiento del

parámetro de dispersión cromática con respecto a la longitud de onda de la fibra SMF-28e.

A mayor longitud de onda, mayor es el parámetro de dispersión cromática.

En comunicaciones ópticas la dispersión cromática limita la tasa de transmisión

máxima del sistema, y puede ser calculada [2] por:

14

BRt

<∆

(3.35)

Se empleó la Ec. (3.35) para calcular el efecto de la dispersión cromática en la tasa

de transmisión máxima en Gbps⋅km para la banda C (1530-1565 nm) y la banda L (1565-

1625 nm), en la figura 3.8 se muestran los resultados de este cálculo. Puede observarse que

la tasa de transmisión máxima disminuye al aumentar la longitud de onda de operación.

Parámetro de dispersión cromática D(λ)

Figura 3.7. Parámetro de dispersión para la fibra óptica SMF-28e.

59

Para sistemas más complejos como DWDM, en los cuales el espaciamiento entre

canales es de 0.4 nm o menor, se requiere de fuentes con mucha coherencia como los

módulos láser PRO8000 de Thorlabs [13] , los cuales tienen un ancho espectral de 8x10-5

nm (10 MHz). Una buena introducción a DWDM puede encontrarse en [1].

`

3.6. Algoritmo para el cálculo de los efectos lineales.

En las secciones anteriores se analizaron los efectos lineales y las ecuaciones que

describen su comportamiento. En esta sección se emplean estas ecuaciones para realizar un

algoritmo que calcule estos efectos a un sistema multicanalizado por WDM.

El algoritmo se divide en tres partes, la primera consta de los datos de entrada

(figura 3.9). La segunda parte (figura 3.10), del procesamiento de los datos con las

ecuaciones de los efectos lineales y la tercera parte (figura 3.11) consta de los resultados del

algoritmo.

1530 1540 1550 1560 1570 1580 1590 1600 1610 162060

65

70

75

80

85Tasa de transmision


Tasa

Max

de

trans

mis

ion(

(Gbi

t/s)K

m)

Figura 3.8 Efecto de la dispersión cromática en la tasa de transmisión.

α Atenuación de la fibra óptica

oS Pendiente de dispersión cero de la fibra óptica

oλ Longitud de onda de dispersión cero de la fibra óptica

nλ 1,2,n N= Longitud de onda

nP 1,2,n N= Potencia de entrada

nλ∆ 1,2,n N= Ancho espectral de la fuente

L Longitud del enlace

Para cada canal n del sistema multicanalizado por WDM de N canales.

Figura 3.9. Datos de entrada.

60

Las características del canal de comunicación (atenuación, pendiente de dispersión

cero y longitud de onda de dispersión cero de la fibra óptica), la longitud del enlace, y las

longitudes de onda, ancho espectral y potencias de cada canal de información, son los datos

de entrada del algoritmo. El bloque de los datos de entrada se muestra en la figura 3.9.

La figura 3.10 muestra el bloque de procesamiento, en éste se implementan las

ecuaciones de atenuación, parámetro de dispersión cromática, esparcimiento temporal del

pulso y la tasa máxima de transmisión.

Los resultados que proporciona el algoritmo se muestran en la figura 3.11, éstos

son: efecto de la atenuación y dispersión para cada canal transmitido, y la tasa máxima de

transmisión para cada canal debida a la dispersión cromática.

• Efecto de la atenuación y la dispersión para cada canal transmitido.

• Tasa máxima de transmisión para cada canal debida a la

dispersión cromática.

Figura 3.11. Resultados del algoritmo.

Potencia de salida para cada canal:

10( ) 10L

o nP n Pα

−=

Parámetro de dispersión cromática para cada canal:

( )4

0 034n n

SD λλ λλ

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦

Esparcimiento temporal del canal n debido a la dispersión cromática:

( ) ( )cro n nt n D Lλ λ∆ = ∆ Tasa máxima de transmisión para cada canal:

( )1

4ncro

BRt n

=∆

Figura 3.10. Procesamiento.

61

Se desarrolló un programa de cómputo basado en el algoritmo de las figuras 3.9,

3.10 y 3.11, y se aplicó a un sistema de 3 canales, multicanalizado por WDM para la fibra

óptica SMF-28e. Las longitudes de onda de cada canal son: λ1= 1530 nm, λ2= 1530.8 nm y

λ3= 1531.6 nm, para un ancho espectral de las fuentes de 0.2 nm (25 GHz), un

espaciamiento entre canales de 0.8 nm y una potencia de entrada de 1mW para cada canal.

En la figura 3.12 se muestran los resultados del programa para este sistema: El efecto de la

dispersión cromática y la atenuación para distancias de 10, 30 y 50 Km. Se puede ver cómo

los pulsos a 30 y 50 km están traslapados debido al esparcimiento del pulso por la

dispersión cromática, lo que provoca que el receptor no pueda distinguir entre ellos.

En la figura 3.13 se muestran los resultados del programa para la tasa de

transmisión máxima por cada canal para distancias de 10, 30 y 50 km. La máxima tasa de

transmisión de cada canal fue de 5.54, 5.52 y 5.50 Gbps para el canal 1, 2 y 3,

respectivamente, para una distancia de 10 km.

1530 1530.8 1531.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Londitud de onda λ (nm)

Pot

enci

a (m

W)

50 km

10 km

30 km

0 km

Figura 3.12. Efecto de la dispersión cromática en un sistema multicanalizado.

Figura 3.13. Tasa de transmisión máxima por canal para 10, 30 y 50 km.

0

1

2

3

4

5

6

Canal 1 Canal 2 Canal 3

Gbp

s 10 km

30 km

50 km

62

En este capítulo se analizaron la ley de Snell, ángulo de Brewster y el ángulo

crítico, con el fin de determinar las condiciones que se deben cumplir para lograr la

reflexión interna total dentro del núcleo de la fibra óptica.

La atenuación es un efecto lineal que caracteriza la pérdida de potencia de la señal

óptica al propagarse a través de la fibra. Este efecto proporciona una medida de la potencia

perdida por la atenuación causada por la fibra.

Se presentó un algoritmo que calcula los efectos lineales de la atenuación y la

dispersión cromática en un sistema multicanalizado por WDM. Se desarrolló un programa

de cómputo basado en este algoritmo. El programa proporciona como resultados: la pérdida

de potencia que sufre cada canal de información al propagarse por la fibra óptica debida a

la atenuación que ésta presenta a la señal óptica, el esparcimiento temporal de los canales

debido a la dispersión cromática y la tasa máxima de transmisión.

En la gráfica 3.12, se puede observar el efecto de la dispersión cromática en un

sistema multicanalizado, éste hace que los pulsos aumenten su duración temporal al viajar

por la fibra óptica, trayendo como consecuencia que el receptor tenga problemas para

distinguir entre ellos. A mayor distancia de propagación, mayor es el efecto de la dispersión

cromática. Una manera de disminuir la magnitud de este efecto, es empleando fuentes con

mayor coherencia, lo que a su vez implica un costo más elevado del sistema.

63

CAPÍTULO 4 EFECTOS NO LINEALES

Para el desarrollo de sistemas WDM con tasas de transmisión altas (10 Gbps por

canal), se deben considerar los efectos no lineales que sufre la señal de información al

propagarse por la fibra óptica y su impacto en el sistema de comunicaciones. Esto debido a

que los efectos no lineales son un factor significante para determinar la eficiencia de un

sistema de tasa alta de transmisión por fibra óptica.

Un efecto óptico es no lineal si sus parámetros dependen de la intensidad de la señal

óptica [2]. Los efectos no lineales que se analizan son: la dispersión estimulada de Raman

y la dispersión estimulada de Brillouin. Antes, se definirán los conceptos de longitud y

área efectiva, que son necesarios para el cálculo de los efectos de la dispersión estimulada

de Raman y la dispersión estimulada de Brillouin.

4.1. Longitud y área efectiva.

La interacción no lineal del campo electromagnético con la fibra óptica depende de

la longitud del enlace y del área transversal de la fibra. A mayor longitud de la fibra óptica,

mayor es la interacción y mayor es el efecto de la no linealidad del medio. La potencia de la

señal disminuye al propagarse por la fibra óptica debido a la atenuación que presenta. Por

esto, la mayoría de los efectos no lineales ocurren en la primera parte del enlace y

disminuyen conforme la señal se propaga [3].

Para facilitar el modelado de este efecto se introduce la longitud efectiva Le [2] y

una área efectiva Ae. La Le multiplicada por una potencia de entrada inP es igual al total de

potencia disipada a través de toda la longitud L del enlace como se muestra en la figura

4.1., es decir

( )0

L

in ez

P L P z dz=

= ∫ , (4.1)

64

donde ( ) zinP z P e α−= denota la potencia a la distancia z a lo largo del enlace, y α es la

atenuación de la fibra. Resolviendo la integral, se tiene

1 L

eeL

α

α

−−= . (4.2)

Para fibras ópticas comerciales se requiere que la atenuación sea lo suficientemente

pequeña para lograr enlaces de largas distancias, es decir, se debe cumplir que 1L α>> .

Teniendo en consideración esta condición en la Ec. (4.2), se obtiene la aproximación

1eL α≈ . Por ejemplo, la fibra SMF-28e de Corning [13] presenta una atenuación α = 0.2

dB/km a λ = 1550 nm. Empleando la Ec. (3.33) para convertir la atenuación a unidades

lineales (1/km), tenemos que α = 0.046 1/km. Para estos parámetros resulta una longitud

efectiva Le≈ 21.7 km.

La línea punteada en la figura 4.1 corresponde a la distribución de la potencia a lo

largo del radio de la distancia L del enlace. El rectángulo muestra una distribución uniforme

de potencia hipotética a lo largo del enlace hasta la longitud Le, que es equivalente a la

distribución real de potencia para muchos propósitos. La longitud efectiva Le, es

seleccionada de tal manera, que el área bajo la curva es igual al área del rectángulo.

Debido a que la potencia no está distribuida uniformemente, es conveniente definir

el área de sección transversal efectiva Ae [18] (ver figura 4.2), relacionada con el área actual

A y la distribución seccional del modo fundamental ( ),F r θ dada por

Potencia

Longitud del enlace

Pin

L

Distribución real de potencia

Le

P(z)

Figura 4.1. Longitud efectiva.

65

( )

( )

22

4

,

,r

e

r

F r rdrdA

F r rdrdθ

θ

θ θ

θ θ

⎡ ⎤⎣ ⎦=∫ ∫∫ ∫

, (4.3)

donde r y θ denotan las coordenadas polares. Para una estimación [2] de la Ec. (4.3) se

utiliza

2e oA wπ= , (4.4)

donde 0w es el radio del diámetro del campo modal (MFD), el cual se puede aproximar por

el radio del núcleo de la fibra. Para la fibra óptica SMF-28e de Corning [13] el radio del

núcleo es r = 4.1 µm, aplicando la Ec. (4.4), se tiene que el área efectiva para esta fibra es 253 meA µ≈ .

La línea punteada en la figura 4.2 corresponde a la distribución de la potencia a lo

largo del radio de la fibra óptica. El rectángulo muestra una distribución uniforme de

potencia hipotética, que es equivalente a la distribución real de potencia para muchos

propósitos. El Ae muestra una distribución de potencia, que solamente es diferente de cero

alrededor de un área Ae del centro de la fibra.

4.2. Dispersión estimulada de Raman.

La dispersión estimulada de Raman [3] es un efecto no lineal que causa

transferencia de energía de señales de menor longitud de onda a señales de mayor longitud

de onda. En un sistema multicanalizado por WDM la dispersión estimulada de Raman

causa transferencia de energía de los canales de menor longitud de onda a los canales de

mayor longitud de onda como se muestra en la figura 4.3.

Potencia

Radio2

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

πeA

Distribución real de potencia

Pin

Figura 4.2. Área efectiva.

66

4.2.1. Conceptos básicos.

La dispersión estimulada de Raman es generada por la dispersión de la luz por los

modos vibracionales de las moléculas del medio, como se ve en la figura 4.4.

El resultado de este efecto es que se genera una onda dispersada a frecuencias más

bajas (longitud de onda mayor) que la onda incidente. La onda dispersada es llamada onda

de Stokes.

4.2.2. Coeficiente de ganancia de Raman (gR).

El coeficiente de ganancia de Raman es el parámetro más importante para describir

la dispersión estimulada de Raman. Este ha sido medido experimentalmente [20], depende

de la composición del núcleo de la fibra y puede variar significativamente con el uso de

dopantes [1]. En la figura 4.5 se muestra su comportamiento.

La característica más importante del coeficiente de ganancia de Raman, en fibras

ópticas de silicio, es que se extiende en un rango de frecuencias de poco más de 35 THz,

con un valor máximo localizado cerca de los 13 THz [18].

Molécula

Onda incidente λi

Onda dispersada (onda de Stokes) λs

λs >λi fs < fi

Si

O

Ii=hfi Is=hfs

O

Figura 4.4. Dispersión estimulada de Raman.

1λ 2λ 3λ 4λ 1λ 2λ 3λ 4λ Fibra

1 2 3 4λ λ λ λ< < <

Figura 4.3. Efecto de la dispersión estimulada de Raman.

67

Bajo condiciones de estado estable, aplicables para ondas incidentes continuas

(CW), SRS es gobernado por dos ecuaciones acopladas [18]:

i iR i S i i

S

dI g I I Idz

ω αω

= − − (4.5)

SR i S S S

dI g I I Idz

α= − (4.6)

Donde gR es el coeficiente de ganancia de Raman, ωi, αi y αS, ωS son las frecuencias y

atenuaciones de la onda incidente y la onda de Stokes respectivamente.

4.2.3. Potencia límite debida a SRS.

El límite de potencia Plímite(SRS), debido a SRS, es el nivel de potencia crítico en el

cual la potencia incidente y la potencia dispersada son iguales. La potencia límite es

obtenida de las Ecs. (4.5) y (4.6) y es dada por [21]:

( )16 e

Limite SRSR e

APg L

≈ (4.7)

Esta ecuación asume que la polarización la onda incidente y la onda de Stokes no

cambian a lo largo de la fibra.

0 5 10 15 20 25 30 350

1

2

3

4

5

6

7x 10

-14 Coeficiente de ganancia de Raman

Cambio de frecuencia (THz)

Coe

ficie

nte

de g

anan

cia

(m/W

)

Figura 4.5. Coeficiente de ganancia de Raman.

68

Para un sistema de comunicaciones óptico con un área efectiva Ae = 53 µm2, una

longitud de onda de operación λ = 1.55 µm (1550 nm), coeficiente de ganancia de Raman

gR = 6.29x10-14 m/W y una longitud efectiva de enlace Le ≈ 21.7 km, un valor típico de la

potencia límite de SRS es Plímite(SRS) ≈ 621 mW.

4.2.4. Dispersión estimulada de Raman en un sistema multicanal.

Si dos o mas señales con diferentes longitudes de onda son introducidas dentro de

una fibra óptica, la dispersión estimulada de Raman causa transferencia de potencia de los

canales de menor longitud de onda a los de mayor longitud de onda.

Para calcular el efecto de la dispersión estimulada de Raman en un sistema

multicanal, se requiere calcular el coeficiente de ganancia de Raman como función de la

diferencia de las longitudes de onda entre los canales, ( )R sg λ∆ . En la figura 4.5 se

muestra el coeficiente de ganancia de Raman en función del cambio de frecuencia f∆ . f∆

[3] se obtiene de

20

scf λ

λ∆ = ∆ , (4.8)

donde 0c es la velocidad de la luz en el vacío (3x108m/s), λ∆ el espaciamiento entre

canales y 0 1550 nmλ = .

Considerando un sistema con N canales igualmente espaciados (n = 0, 1, 2,. . .N-1) con un

espaciamiento sλ∆ . El canal más afectado por la potencia de ruido es el de mayor longitud

de onda (canal N-1). La potencia de ruido [3] del canal n a un canal i en un sistema de N

canales es:

( ) ( )( )2

2n e

n R se

P LP i g i nA

λ= ∆ − i n> (4.9)

Esta ecuación es derivada de las ecuaciones de intensidad Ecs. (4.5) y (4.6).

69

4.3. Dispersión estimulada de Brillouin (SBS).

La dispersión estimulada de Brillouin es un proceso que puede ocurrir a niveles de

potencia de entrada mucho menores que los necesitados para la dispersión estimulada de

Raman. Esta se manifiesta a través de la generación de una onda llamada onda de Stokes, la

cual se propaga en dirección opuesta a la de propagación de la onda incidente.

El fenómeno no lineal de la dispersión estimulada de Brillouin fue observado por

primera vez en 1964, desde entonces ha sido estudiado extensamente [4,21, 22, 23, 24].

La dispersión estimulada de Brillouin es similar a la dispersión estimulada de

Raman, ya que ésta se manifiesta por la generación de una onda de Stokes cuya frecuencia

es menor a la de la luz incidente. En la SBS, la onda de Stokes se propaga en dirección

opuesta a la dirección de propagación. El cambio en frecuencia de la onda de Stokes

(∼ 11 GHz) es más pequeño por tres órdenes de magnitud para SBS en comparación con

SRS (∼ 13 THz) [18].

4.3.1. Proceso físico.

El proceso de SBS puede ser descrito como la interacción no lineal entre los campos

de la onda incidente y una onda acústica, figura 4.6-b. El campo de la onda incidente

genera una onda acústica a través de un proceso de electrostricción2 [18], ver figura 4.6-a.

Esta onda acústica modula el índice de refracción del medio generando zonas de mayor y

menor índice de refracción, creando una rejilla de índices de refracción (similar a la rejilla

de Bragg). Estas variaciones en el índice de refracción dispersan la luz de la onda incidente

por difracción de Bragg. La luz dispersada tiene una frecuencia menor a la de la onda

incidente. Este cambio en frecuencia de la onda incidente, está asociado a la velocidad del

movimiento de las rejillas en el material, siendo ésta la velocidad del sonido en el material

VA= 5.96 km/s. La velocidad en las rejillas produce un efecto Doppler sobre la onda

incidente, resultando en una onda de Stokes reflejada de menor frecuencia.

2 Este proceso ocurre en un material dieléctrico cuando un campo eléctrico viaja a través de él, generando zonas de mayor densidad de material.

70

.

El cambio de frecuencia debido a la dispersión estimulada de Brillouin, ∆fSBS, es igual a la

frecuencia de la onda acústica fA [27], dado por:

2

ASBS Af f ω

π∆ = = (4.10)

Las frecuencias y los vectores de onda de la onda incidente, acústica y de Stokes, deben

cumplir el principio de conservación de energía y de momento, con lo que resulta:

A i Sω ω ω= − (4.11)

A i Sk k k= − (4.12)

donde Aω , iω y Sω son las frecuencias angulares, y Ak , ik y Sk son los vectores de onda

de la onda acústica, incidente y de Stokes, respectivamente.

La frecuencia angular de la onda acústica es:

AvA Akω = (4.13)

donde vA es la velocidad del sonido en el material.

El vector de onda acústica se obtiene del cuadrado de la Ec. (4.12), considerando

que θ es el ángulo entre los vectores de onda Ak y ik y usando i Sk k≈ , lo que resulta en:

( )2 2 2 22 cos 2 1 cosA i S i S ik k k k k kθ θ= + − ⋅ ≈ − (4.14)

El vector de onda incidente está defino por 2i ik nπ λ= , donde n es el índice de

refracción de la fibra y λi es la longitud de onda de la onda incidente en el vacío. Usando la

Ec. (4.14) en la Ec. (4.13), se obtiene que la frecuencia angular es:

a)

Onda incidente

Onda de Stokes

Onda acústica

b)

Figura 4.6. a) Proceso de electrostricción. b) Proceso de SBS

71

( )1

2A AA

2 2 v 4 vv 1 cos2A A

i i

n nk senπ π θω θλ λ

⎛ ⎞= ≈ − = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.15)

El cambio en frecuencia debido a SBS está dado por:

A2 v2 2

ASBS A

i

nf f senω π θπ λ

⎛ ⎞∆ = = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.16)

La Ec. (4.16) muestra que el cambio de frecuencia debido a la dispersión estimulada

de Brillouin es máximo en la dirección opuesta a la dirección de propagación (θ =π) y es

nulo en el sentido de la dirección de propagación (θ = 0). En una fibra óptica monomodo

sólo estas direcciones son relevantes. Por esta razón, SBS solamente ocurre en la dirección

opuesta a la dirección de propagación [18].

Si usamos los valores típicos para una fibra de silicio, vA= 5.96 km/s y n = 1.45, a

una longitud de onda incidente λi= 1.55 µm, obtenemos que el cambio en la frecuencia

debido a SBS es 11.1SBSf GHz∆ = . Esto significa que la onda dispersada es cambiada en

frecuencia 11.1 GHz (0.09 nm) de la señal original. Esto muestra que el efecto de SBS

permanece dentro de un solo canal en un sistema WDM, y ocurren al mismo nivel de

potencia en cada canal [28].

En la figura 4.7 se muestra una señal a una longitud de onda λ=1550 nm y la onda

dispersada que genera debido a SBS. El espectro de ganancia [27] de la onda dispersada

tiene un ancho de 20 MHz.

Figura 4.7. Cambio de frecuencia y espectro de ganancia de SBS en una fibra óptica monomodo [27].

fi

λi =1.55 µm

fs

20 MHz

λ ∆fSBS = 11 GHz

(Cambio de frecuencia)

λs >λi

fs < fi

λS

72

Bajo condiciones de estado estable, aplicables para ondas incidentes continuas

(CW), SBS es gobernado por dos ecuaciones acopladas [18]:

iB i S i

dI g I I Idz

α= − − (4.17)

SB i S s

dI g I I Idz

α= − + (4.18)

donde gB = 5x10-11 m/W es el coeficiente de ganancia de Brillouin [13], independiente-

mente de la longitud de onda [26], Ii e IS son las intensidades de la onda incidente y de

Stokes, respectivamente.

4.3.2. Potencia límite debida a SBS.

Se define la potencia límite de SBS, Plímite(SBS), como el nivel de potencia crítico en

el cual la potencia incidente y la potencia dispersada son iguales.

El valor de potencia límite [21] puede ser calculado por:

21( ) elimite

B e

AP SBSg L

≈ (4.19)

El coeficiente de ganancia de Brillouin, gB = 5x10-11 m/W, es tres órdenes de

magnitud mayor que el coeficiente de Raman máximo (gR = 6.29x10-14 m/W). Si usamos

los valores típicos para fibras usadas a λ= 1.55 µm en sistemas de comunicación ópticos,

un área efectiva Ae = 53 µm2 y una longitud efectiva Le = 21.7 km, encontramos que

( ) 1 mWlimiteP SBS ≈ por canal.

El valor de potencia límite Plímite(SBS) restringe la potencia incidente por canal en un

sistema WDM y es independiente del número de canales que se esté empleando, ver figura

4.8 [29].

73

4.4. Algoritmo para el cálculo de los efectos no lineales.

En las secciones anteriores se analizaron las ecuaciones que describen el

comportamiento de los efectos no lineales de la dispersión estimulada de Raman y la

dispersión estimulada de Brillouin. En esta sección se emplean estas ecuaciones para

desarrollar un algoritmo que calcule estos efectos en un sistema multicanalizado por WDM.

Las figuras 4.9, 4.10 y 4.11 muestran el diagrama a bloques del algoritmo.

El algoritmo se presenta dividido en tres bloques: el primer bloque (figura 4.9)

corresponde a los datos de entrada, el segundo bloque (figura 4.10), corresponde al de

procesamiento de los parámetros de entrada con las ecuaciones de los efectos no lineales, y

el tercero (figura 4.11), corresponde a los resultados del algoritmo.

Figura 4.8. Potencia máxima por canal contra el número de canales para SRS y SBS [29].

r Radio de la fibra óptica α Atenuación de la fibra óptica L Longitud del enlace

nλ 1,2,n N= Longitud de onda

nP 1,2,n N= Potencia de entrada

sλ∆ Espaciamiento entre canales

Para cada canal n del sistema multicanalizado por WDM de N canales.

Figura 4.9. Datos de entrada del algoritmo.

74

En el bloque correspondiente a los datos de entrada del algoritmo se tienen los datos

necesarios para hacer los cálculos de los efectos no lineales, siendo éstos: las características

del canal de comunicaciones (atenuación, radio del núcleo y longitud de la fibra óptica), y

la información del sistema multicanalizado por WDM (separación entre canales, longitudes

de onda y potencias de cada canal de información).

La figura 4.10 muestra el bloque de procesamiento, en este se implantan las

ecuaciones para el cálculo del área y longitud efectiva, potencia de ruido para cada canal

debido a la dispersión estimulada de Raman (SRS) y la potencia límite para cada canal

debido a la dispersión estimulada de Brillouin (SBS).

Los resultados que proporciona el algoritmo son: potencia de ruido para cada canal

debido a la dispersión estimulada de Raman y la potencia límite para cada canal debido a la

dispersión estimulada de Brillouin. En la figura 4.11 se muestra el bloque de resultados del

algoritmo.

Longitud efectiva: 1 L

eeL

α

α

−−=

Área efectiva:

2e oA wπ=

Potencia de ruido para cada canal debido a SRS:

( ) ( )( )2

2n e

n R se

P LP i g i nA

λ= ∆ −

Potencia límite de entrada para cada canal debido a SBS:

21( ) elimite

B e

AP SBSg L

≈

Figura 4.10. Procesamiento del algoritmo.

75

Se desarrolló un programa de cómputo basado en el algoritmo de las figuras 4.9,

4.10 y 4.11. El programa calcula las potencias de ruido por canal del sistema

multicanalizado debido a la dispersión estimulada de Raman y la potencia límite por canal

debido a la dispersión estimulada de Brillouin.

En la figura 4.12 se muestran los resultados del programa para un sistema de 5

canales con longitudes de onda, λ0= 1535, λ1= 1555, λ2= 1575, λ3= 1595 y λ4= 1535, con

un espaciamiento entre canales de 20 nm y una potencia de entrada por canal de 1 mW. La

gráfica muestra las potencias de ruido de cada canal, debido a la dispersión estimulada de

Raman.

• Potencia de ruido para cada canal del sistema debido a la dispersión estimulada de Raman (SRS).

• Límite de potencia de entrada para cada canal debido a la

dispersión estimulada de Brillouin (SBS).

Figura 4.11. Resultados del algoritmo.

Figura 4.12. Efecto de SRS en un sistema WDM de 5 canales de 1mw de potencia de entrada con un espaciamiento de 20 nm entre canales.

1535 1555 1575 1595 16150

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Londitud de onda de cada canal λ (nm)

Pot

enci

a de

ruid

o (m

W)

Canal 1Canal 0

Canal 2

Canal 3

Canal 4

Longitud de onda de cada canal

76

0 10 20 30 40 500

5

10

15

20Potencia limite de Brillouin

Distancia (Km)

Pot

enci

a lim

ite (m

W)

Potencia limite (SBS) usando LPotencia limite (SBS) usando Le

Figura 4.13. Potencia límite debida a SBS contra distancia de enlace.

De la figura 4.12 se puede ver que el canal 0 no es afectado por el ruido del efecto

de la dispersión estimulada de Raman, debido a que es el canal de menor longitud de onda.

El canal más afectado por el ruido es el canal 4, con una potencia de ruido de 0.0597 mW.

En la figura 4.13 se presentan los resultados del programa de cómputo para la

variación de la potencia límite de entrada por canal, debido a la dispersión estimulada de

Brillouin en función de la distancia. La línea continua presenta los cálculos realizados con

la Ec. (4.2), y la línea punteada, la potencia límite de entrada calculada con la longitud

efectiva del enlace, Le= 21.7 km.

En este capítulo se analizaron los efectos no lineales de la dispersión estimulada de

Raman y la dispersión estimulada de Brillouin, la manera en que éstos se generan y el

efecto que provocan a un sistema multicanalizado por WDM, siendo éste el tipo de sistema

de interés en este trabajo.

Los efectos no lineales de la dispersión estimulada de Raman y la dispersión

estimulada de Brillouin deben ser considerados en el diseño de sistemas de comunicación

por fibra óptica que emplean WDM debido a los problemas que éstos traen consigo. La

dispersión estimulada de Raman genera potencia de ruido entre los canales, donde a mayor

número de canales mayor es el ruido por canal que se tiene.

77

Por otro lado, la dispersión estimulada de Brillouin no presenta problema entre los

canales del sistema, ya que permanece dentro del mismo canal que la genera, aunque limita

la potencia de entrada por canal.

Se presentó un algoritmo para el cálculo de los efectos no lineales de la dispersión

estimulada de Raman y la dispersión estimulada de Brillouin. Se desarrolló un programa

de cómputo basado en este algoritmo, el cual arroja como resultados las potencias de ruido

de cada canal debido a la dispersión estimulada de Raman y la potencia límite de entrada

por canal debido a la dispersión estimulada de Brillouin.

De los resultados del algoritmo (figura 4.12), se puede ver que el canal más afectado

por la potencia de ruido del efecto de la dispersión estimulada de Raman, es el canal de

mayor longitud de onda, mientras que el canal de menor longitud de onda no es alterado

por este efecto.

78

CAPÍTULO 5

DISPOSITIVOS USADOS EN WDM

Las comunicaciones ópticas han demostrado ser el sistema de comunicaciones más

eficiente para la transmisión de grandes cantidades de información. La introducción

comercial de los amplificadores ópticos y de la multicanalización por división de

longitudes de onda (WDM) a comienzos de la década de 1990, produjo un enorme

incremento de la capacidad de transmisión de los sistemas de transporte óptico [45], lo que

a permitido actualmente sistemas operando a tasas de transmisión de información en el

orden 10 Gbps [19].

Los sistemas de comunicaciones por fibra óptica, han lograron un gran avance en la

capacidad de transmisión de información gracias a WDM, como ejemplo de su aplicación

se puede mencionar la red académica Abilene de Internet2 [19]. Esta red trabaja a una

velocidad de transmisión de información de 10 Gbps (OC-192) entre sus nodos principales.

Para llevar a cabo la operación de transmisión de información, desde que se

transmite la señal, viaja por la fibra óptica y es recibida en el receptor, el sistema de

comunicaciones óptico, hace uso de: moduladores, decodificadores, divisores de canal,

regeneradores y fotodetectores. En este capítulo se revisarán estos componentes, la manera

en que funcionan, así mismo, se proporcionan datos técnicos de dispositivos comerciales.

En la primera sección, se muestra el sistema completo de comunicaciones óptico

para WDM. En la segunda sección, se revisan los tipos de moduladores, LED y láser. Los

divisores de canal son analizados en la sección 5.3, los tipos de regeneradores y

amplificadores en la sección 5.4 y 5.5, respectivamente, y por último, en la sección 5.6 el

receptor.

79

5.1. Sistema de comunicaciones óptico para WDM.

Las comunicaciones por fibra óptica son una alternativa para transmitir información

a tasas altas de transmisión, en el orden de Gbps. En un sistema de comunicaciones ópticas

se codifican, modulan y multicanalizan los datos para transmitirlos de una manera más

efectiva y segura.

El uso de la multicanalización por división de longitud de onda (WDM) en un

sistema de comunicaciones por fibra óptica, permite incrementar el número de canales de

información, logrando una optimización del ancho de banda de la fibra óptica y teniendo

como resultado una mayor tasa de transmisión

Los componentes de un sistema de comunicaciones óptico para WDM son:

moduladores, codificador, divisores de canal, regeneradores, amplificadores, decodificador

y receptor. En el transmisor se codifica la información, se modula la portadora luminosa de

una determinada longitud de onda y se transmite a la fibra óptica. La señal al viajar por la

fibra óptica sufre pérdidas por atenuación, dispersión y efectos no lineales, por lo que es

necesario restablecer o redireccionar la señal empleando un regenerador. En la figura 5.1 se

muestra el sistema de comunicaciones óptico para WDM.

La señal al llegar a su destino es procesada por el receptor, el cual hace pasar la

señal luminosa a través de un divisor de canal. Posteriormente, la señal es demodulada,

convirtiendo la señal luminosa en corriente eléctrica y ésta se decodifica para obtener la

información transmitida.

Los sistemas de transmisión por fibra óptica involucran el uso de un codificador,

donde la señal digital que viene de la fuente de información es codificada

convenientemente para la transmisión óptica, y de un decodificador óptico que, en

recepción, se encarga de decodificar la información digital original. Esta mayor

complejidad relativa del sistema es compensada, en la práctica, por su gran desempeño en

términos de capacidad de transmisión de información [1].

80

Figura 5.1. Sistema de comunicaciones óptico para WDM.

81

5.2 Moduladores.

En los sistemas de transmisión por fibra óptica, la información es transmitida

modulando una portadora luminosa con señales eléctricas digitales. La modulación de

señales digitales, es el proceso de convertir datos digitales en forma electrónica a una señal

luminosa que pueda ser transmitida sobre la fibra óptica.

El esquema de modulación más común en comunicaciones ópticas es transmisión de

apertura y cierre (OOK3). En este tipo de modulación, un bit 1 es codificado por la

presencia de un pulso de luz durante un intervalo bit encendiendo una fuente de luz. Un bit

0 es codificado (idealmente) por la ausencia de pulso de luz en el intervalo de bit apagando

la fuente de luz. El intervalo de bit, es el intervalo de tiempo disponible para la transmisión

de un solo bit (de un 1 ó un 0). Por ejemplo, para una tasa de transmisión de 1 Gbps, el

intervalo de bit es 1 ns.

Láseres o LEDs son usados como fuentes luminosas para generar la portadora. El

LED es usado para tasas de bits menores de 2.5 Gbps, debido a que su tiempo de respuesta

está alrededor de 7 ns [13]. El láser puede ser usado a tasas altas de transmisión, ya que su

tiempo de respuesta está alrededor de 0.1 ns [13]. Además, el láser produce un haz de luz

más coherente que el LED debido a su cavidad resonante.

Hay dos tipos de láser: láser sintonizable y láser de onda continua (CW). Con el

láser sintonizable se pueden generar diferentes longitudes de onda, mientras que con un

láser no sintonizable existe la restricción de generar sólo una longitud de onda. En la tabla

5.1 se muestran las características de un LED, un láser sintonizable y un láser de onda

continua.

Para la modulación del haz luminoso se pueden considerar dos tipos de

moduladores: modulador directo y modulador indirecto. El modulador directo controla

directamente la alimentación del LED o láser. El modulador indirecto controla el índice de

3 Ver apéndice A.

82

refracción de un cristal y éste, a su vez, modula la luz alimentada por un láser de onda

continua.

LED[13] Láser Sintonizable[13]

Láser de onda continua (CW)[13]

Tasa de bits 230 Mbps 2.5 Gb/s CW Voltaje 1.8 v 2 V 2 V Corriente 100 mA 150 mA 300 mA Potencia de salida 175 µw 20 mw 30 mw Tiempo de subida 7 ns 0.1 ns ----- Tiempo de bajada 7 ns 0.1 ns ----- Estabilidad de longitud de onda ± 20 nm ± 0.1 nm ± 25 pm Amplitud del espectro 50 nm 0.5 nm 10 MHz

5.2.1. Modulador directo.

Este tipo de modulador es el más sencillo, controla directamente la alimentación del

LED o láser. Para llevar a cabo la modulación, realiza una conversión eléctrica-óptica, el

convertidor paralelo a serial pasa los datos paralelos a una cadena de datos serial. Esta

cadena de datos en serie es directamente acoplada con el controlador de corriente de la

fuente, para generar una serie de pulsos luminosos, y después enviarlos por la fibra óptica.

El circuito de retroalimentación controla el voltaje y la corriente de polarización del láser,

para mantener la amplitud del pulso constante. En la figura 5.2 se muestra el diagrama de

un modulador directo.

Tabla 5.1. Especificaciones de LED, láser sintonizable y láser de onda continua (CW).

Figura 5.2. Modulador directo.

Convertidor paralelo a serial

Señales eléctricas

Retroalimentación

Controlador eléctrico de

alta velocidad

Láser SintonizableLED

Señal luminosa

83

Esta técnica de modulación utiliza el formato de modulación de no retorno a cero

(NRZ), el láser cambia entre encendido y apagado para un 1 ó 0 lógico, respectivamente.

En la figura 5.3 se muestra una señal modulada con formato NRZ y con retorno a cero (RZ)

[3].

La modulación directa tiene varias desventajas: no puede ser utilizada a tasas de

transmisión mayores de 2.5 Gbps, crea no linealidad, como auto-modulación de fase

(SPM) y también incrementa el chirp4 del láser [1].

5.2.2. Modulador indirecto.

En un sistema de modulación indirecta, el modulador óptico es alimentado por un

láser de onda continua (CW), la salida de potencia del láser es modulada en la cadena de

pulsos ópticos deseados en el modulador óptico. Este tipo de modulador es más estable y es

usado en sistemas WDM. La modulación indirecta tiene la ventaja de que evita la no

linealidad y el chirp excesivo. En la figura 5.4 se muestra un modulador indirecto.

La ventaja mayor de tener modulación externa es la de reducir el chirp, lo que

significa que la señal ocupa menos ancho de banda. Los moduladores MZI tienen el doble

de tasa de transmisión que su ancho de banda. Esto significa que el espaciamiento entre

canales adyacentes en sistemas WDM puede ser reducido. 4 Fenómeno en el láser donde la longitud de onda de la luz emitida cambia durante la modulación.

Formato NRZ

Formato RZ

Datos binarios

1 0 1 1 0 1

Figura 5.3. Modulación OOK de datos digitales.

84

El formato RZ es usado en los sistemas WDM, este formato es preferido para

enlaces muy largos. En la figura 5.3 se puede ver el formato de modulación RZ.

Se tienen dos tipos de moduladores indirectos: modulador de electro-absorción

(EAM) y modulador con interferómetro de Mach Zehnder (MZI). Los moduladores MZI de

niobato de litio (LiNbO3) son los más comunes. Los moduladores de electro-absorción

tienen la ventaja de que son más pequeños que los moduladores MZI. La mayoría de los

sistemas comerciales tienen el modulador y el láser en una sola unidad. En la tabla 5.2 se

muestran las características de un modulador de electro-absorción y un modulador con

interferómetro de Mach Zehnder.

MZI[13] EAM[13]

Velocidad de modulación 12.5 Gbps 40 Gbps

Longitud de onda λ 1530 to 1610 nm 1530 to 1563 nm

Potencia de entrada óptica 30 mW 20 mw

Potencia de salida óptica. 24.5 mW Inserción de pérdida óptica. 5.5 mW 10 dB Ancho de banda óptico. Más de 10 GHz Más de 32 GHz Materiales Niobato de Litio (LiNbO3

) Fosfuro de Indio (InP)

Tabla 5.2. Especificaciones de un modulador de electro-absorción (EAM) y un modulador con interferómetro de Mach Zehnder (MZI).

Figura 5.4. Modulador indirecto

Convertidor paralelo a serial

Señales eléctricas

Retroalimentación

Controlador eléctrico de

alta velocidad

Láser de onda continua (CW)

Modulador óptico

Señal luminosa

85

5.3. Divisores de canal.

La multicanalización por división de longitudes de onda (WDM) emplea varios

canales de información (varias longitudes de onda) en una sola fibra óptica. Para separar las

longitudes de onda que van multicanalizadas por la fibra óptica, se emplean los divisores de

canal. Con ellos se puede separar uno o varios canales de la señal multicanalizada.

Como divisores de canal se pueden emplear: El filtro de cavidad de Fabry Perot, el

filtro de película delgada, el interferómetro de Mach-Zehnder, la fibra con rejilla de Bragg,

un arreglo de guías de onda o el filtro acústico-óptico

5.3.1. Filtro de cavidad de Fabry Perot (FPCF).

El Filtro de cavidad de Fabry-Perot, también llamado interferómetro de Fabry-

Perot o etalón, está formado de dos superficies paralelas separadas por media longitud de

onda. Una de las superficies es más opaca, dejando pasar sólo las señales que alcancen una

determinada intensidad. La única que logra alcanzar esta intensidad, es aquélla que tiene

interferencia constructiva [3]. El principio de operación es mostrado en la figura 5.5.

La compañía Micron Optics Inc. fabrica una serie de filtros Truetalon con la

cavidad de Fabry-Perot. Estos filtros se pueden sintonizar en las bandas S, C y L, con una

pérdida menor a 2.5 dB [13].

Figura 5.5. Principio de operación del filtro de Fabry Perot.

Espejos

Cavidad de Fabry Perot

Reflexiones

Señal de entrada

Ondas transmitidas

sumadas en fase.

2λ

86

5.3.2. Filtro de película delgada (TFF). El filtro de película delgada emplea múltiples cavidades de Fabry Perot separadas

por capas delgadas de material dieléctrico reflector, con esto se logra que el haz incidente

perciba cambios de índice de refracción. Estos cambios de índice de refracción harán que se

reflejen longitudes de onda y a la salida del filtro, sólo se tenga la longitud de onda que se

desea [3].

El filtro de película delgada es estable a variaciones de temperatura con poca

pérdida y es insensible a la polarización de la señal [1]. Algunas compañías han demostrado

filtros de película delgada para anchos de canales de 25 GHz (0.2 nm) y capaces de

trasmitir 8 canales espaciados a 100 GHz, reflejando todos los canales adyacentes [30].

Este filtro actúa como filtro pasa banda, deja pasar una longitud de onda particular y

refleja todas las demás longitudes de onda. La longitud de onda que pase por el filtro es

determinada por la longitud de la cavidad.

Figura 5.6. Filtro de película delgada de tres cavidades.

Cavidad 1

Cavidad 2

Cavidad 3

Sustrato de cristal

Reflector dieléctrico

Haces reflejados

Haz transmitido

Haz incidente

87

Figura 5.7. Función de transferencia de un filtro de película delgada de una cavidad, dos cavidades y tres cavidades.

- 30

- 20

- 10

0

0.996 0.998 1 1.002 1.004λo / λ

Tra

nsm

isió

n de

l filt

ro (d

B)

3 cavidades

2 cavidades

1cavidad

En la figura 5.6 se muestra un filtro de película delgada de tres cavidades, se puede

ver el efecto que causan los cambios de índices de refracción en el haz incidente, los haces

reflejados y el haz transmitido.

El filtro puede estar formado por dos o más cavidades. El efecto en la respuesta del

filtro, de tener múltiples cavidades es tener un filtro más selectivo y por lo tanto un mejor

filtrado [3]. En la figura 5.7 se muestra la función de transferencia del filtro de película

delgada para 1, 2 y 3 cavidades.

Para obtener un divisor de canales, se usan varios de estos filtros en cascada. Cada

filtro pasa una longitud de onda diferente y refleja todas las demás. El primer filtro en la

cascada pasa una longitud de onda y refleja todas las demás al segundo filtro, el segundo

filtro deja pasar una longitud de onda y pasa todas las demás al tercer filtro, y así

sucesivamente, como se ve en la figura 5.8.

Ocean Optics es una empresa que ha sido pionera en la metodología de producción

de capas ópticas, combina técnicas modernas de deposición de capas ópticas delgadas [1].

88

5.3.3. Interferómetro de Mach Zehnder (MZI).

El interferómetro de Mach-Zehnder consiste de dos acopladores pasivos conectados

en tandem, como se puede ver en la figura 5.9. Los acopladores están igualmente

balanceados y la entrada de potencia es dividida entre los dos brazos. Un brazo tiene una

longitud mayor, lo que causa que al propagarse las señales a través de ellos, llegan

desplazadas en fase al segundo acoplador. Este desplazamiento en fase de las señales, causa

interferencia destructiva o constructiva bloqueando una longitud de onda [31].

Un MZI es útil en realizar filtrados de banda amplia o divisor de canales, hay

mejores tecnologías para hacer filtrado de banda angosta, como filtros de película delgada.

El filtro MZI puede ser usado para separar las longitudes de onda entre 1300 y 1500 nm [3].

En la figura 5.10 se muestra la representación en diagrama a bloques de un MZI y

un diagrama a bloques de cuatro estados, y en la figura 5.11 se muestra la función de

transferencia de cada etapa de un MZI multietapas.

Figura 5.9. Un MZI construido con dos acopladores direccionales de 3 dB.

Entrada 1

Salida 1

Diferencia de longitud, L

Entrada 2 Acoplador 1 Acoplador 2 Salida 2

Diferencia de longitud

Figura 5.8. Un Divisor de canales usando filtros de película delgada.

Lente

Lente

Lente

Lente

λ2

λ4

λ6

λ8

λ1, λ2,..., λ8 Lente

Lente

Lente

Lente

λ1

λ3

λ5

λ7

Fibra

Fibra

Sustrato de vidrio

Filtro de banda angosta

Lente

89

5.3.4. Fibra con rejilla de Bragg (FBG).

Una fibra con rejilla de Bragg está hecha de una pequeña sección de fibra óptica

que ha sido modificada, exponiéndola a radiación ultravioleta para crear cambios

periódicos en su índice de refracción. El resultado es que la luz de una determinada

longitud de onda es reflejada. En la figura 5.12 se puede ver una fibra con rejilla de Bragg y

el efecto que ésta causa a un haz de luz incidente [1]. Tiene aplicación en la mayoría de los

sistemas WDM como filtro para sacar canales de la fibra y para compensación de la

dispersión [32]. Stockeryale [13] fabrica un filtro óptico con rejilla de Bragg CMS-1550-R2

con una frecuencia de corte de 1200 nm ± 50 nm con una pérdida de 30 dB/Km a 1550 nm.

Figura 5.10. a) Representación en diagrama bloques de MZI. b) Diagrama a bloques de un MZI de cuatro etapas.

MZI (∆L)

Salida 1

Salida 2 Entrada 2

Entrada 1

a)

MZI (∆L)

Salida 1

Salida 2 Entrada 2

Entrada 1 MZI (2∆L)

MZI (4∆L)

MZI (8∆L)

b) Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa 4

Etapa 1

Etapa 2

Todas las etapas λ0/λ

Figura 5.11. Función de transferencia de cada etapa de un MZI multietapas.

Etapa 3

Etapa 4

90

- 30

- 20

- 10

λo/λ

Esp

ectro

de

pote

ncia

refle

jada

(dB

)

-4 -2 1 2 4

0

- 40

Figura 5.13. Espectro de reflexión de una FBG de índice uniforme.

La longitud de onda reflejada es conocida como longitud de onda resonante de

Bragg, esta longitud de onda depende de los cambios de índice de refracción que se hayan

aplicado a la FBG y también de la distancia de espaciamiento de los cambios de índice.

La rejilla puede ser grabada en la fibra de varias maneras, el método más popular es

usando la fotosensitividad del germanio en una fibra dopada, exponiendo la fibra

fotosensitiva a intensidades variables de luz ultravioleta [1]. En la figura 5.13 se muestra el

espectro de reflexión de una FBG de índice uniforme.

5.3.5. Arreglo de guías de onda (AWG).

El arreglo de guías de onda es una generalización del interferómetro de Mach-

Zehnder. El interferómetro de Mach Zehnder puede ser visto como un dispositivo donde

dos copias de la misma señal, pero desplazadas en fase por diferentes cantidades, son

sumadas. El arreglo de guías de onda es un dispositivo donde varias copias de la misma

Índice de refracción = n1 Recubrimiento

Índice de refracción = n2 Índice de refracción = n3

λ1 λ2 λ4 λ3

λ2

Núcleo

Fibra óptica λ1 λ4 λ3

Figura 5.12. Fibra con rejilla de Bragg.

91

señal, pero desplazadas en fase por diferentes cantidades, son sumadas [1]. Consiste de

múltiples guías de onda de diferentes longitudes, todas convergiendo al mismo punto. Las

señales pasan a través de cada una de las guías de onda, en el acoplador de salida se

interfieren constructiva o destructivamente con las demás longitudes de onda de las otras

guías de onda. En la figura 5.14 se ilustra este dispositivo.

Un arreglo de guías de onda tiene pocas pérdidas y es fácil de implementar en un

sustrato. El material del sustrato usualmente es Silicio (Si) [1].

Los arreglos de guías de onda remplazan a las rejillas de Bragg, cada rejilla de

Bragg soporta solo una longitud de onda y ocupa el mismo espacio físico que un arreglo de

guías de onda de 8λ. Las rejillas de Bragg son más costosas que los arreglos de guías de

onda.

5.3.6. Filtro acusto-óptico sintonizable (AOTF).

El filtro acusto-óptico está basado en el principio de Bragg, sólo las ondas que

cumplan con la condición de Bragg pasarán a través del filtro. La condición de Bragg es [3]

2B

b

dn

λ = , (5.1)

λ1 λ2 λ3 λ4 λn

Guía de onda de entrada

Acoplador de entrada de guía de onda

Acoplador de salida de guía de onda

Guías de onda de salida

Arreglo de guías de onda de diferentes

longitudes

Señal compuesta Señales de canales individuales

λ1

λ2 λ3 λ4

λn

.

. ...

Figura 5.14. Arreglo de guías de onda.

92

donde, λB es longitud de onda de Bragg, d es el espaciamiento de Bragg y bn denota el

orden de Bragg.

El espaciamiento de Bragg es el período en que se repiten los cambios de índice de

refracción. Cuando bn =1(primer orden), el espaciamiento es d = λ/2, y cuando bn = 2

(segundo orden) se tiene un espaciamiento d = λ.

Se crea una serie de ondas ultrasónicas en la guía de onda de cristal de dióxido de

Telurio (TeO2). Las ondas ultrasónicas son ondas longitudinales que forman zonas de

compresión y refracción. Estas zonas de compresiones y refracciones son equivalentes a

regiones de alto y bajo índice de refracción. Los cambios de índice de refracción hacen que

diferentes longitudes de onda de la luz incidente se difracten, estas longitudes de onda

difractadas son los canales de información [1]. En la figura 5.15 se muestra un filtro acusto-

óptico sintonizable.

La compañía Moltech fabrica un filtro acusto-óptico sintonizable (MT-1214) con un

rango espectral de 1400-1700 nm [13]. Este filtro es fabricado con TeO2.

RF

Fuente variable

Transductor ultrasónico

Luz incidente

Guía de onda de cristal TeO2

λ1 Difractada

λ2 Difractada

λn Difractada

Absorbedor ultrasónico

Ondas viajeras ultrasónicas

Figura 5.15. Filtro acusto-óptico sintonizable.

93

5.4. Acopladores.

Un acoplador es un dispositivo que es usado para separar y combinar señales en una

red óptica. La configuración más sencilla de este dispositivo es la de 2X2 como se muestra

en la figura 5.16.

Hay acopladores direccionales y bidireccionales. Un acoplador direccional permite

el paso de la señal en una sola dirección, y uno bidireccional en las dos direcciones.

Un acoplador es fabricado poniendo dos o más fibras adyacentes una a otra,

fundiéndolas y estirándolas, así se crea la región de acoplamiento. El área calentada es

estirada hasta que se alcanzan las propiedades de acoplamiento deseadas. Este dispositivo

es llamado acoplador bicónico por fusión.

El proceso de acoplamiento ocurre gradualmente de un núcleo a otro, porque

ambos están muy cerca uno del otro. La porción de luz entrante que será acoplada depende

de la distancia entre los dos núcleos, de los diámetros del núcleo dentro de la región de

acoplamiento y de la longitud de onda de operación [2].

Utilizando cuidadosamente la longitud de acoplamiento se puede controlar la

relación de la salida de potencia, llamada razón de acoplamiento [2]. Una razón de

acoplamiento es la de 50:50, los acopladores con esta razón de acoplamiento son llamadas

acopladores de 3 dB, son usados para separar o combinar señales de una red óptica.

También hay acopladores con una razón de acoplamiento de 1:99, éstos son usados para

monitorear las señales de entrada y salida en una fibra amplificadora dopada de Erbio

(EDFA) [2].

Longitud de acoplamiento

Entrada 1

Entrada 2

Salida1

Salida 2

Fibras


Entrada 1

Entrada 2

Salida1

Salida 2

Fibras


Entrada 1

Entrada 2

Salida1

Salida 2

Fibras


Entrada 1

Entrada 2

Salida1

Salida 2

Fibras

Figura 5.16. Acoplador bicónico por fusión.

94

Los acopladores son los componentes principales usados para construir

moduladores con interferómetro de Mach Zehnder (MZI), los cuales son usados como

filtros ópticos, divisores de canal o como componentes de moduladores, interruptor o

convertidores de longitud de onda [3].

En la figura 5.17 se muestra un acoplador estándar de la compañía FOCI ( Fiber

Optic Communication Incorporation) de fibra monomodo [13], y en la figura 5.18 se

muestra una grafica de la relación de pérdida con respecto a la longitud de onda de

operación.

1270

1290

1310

1330

1350

1370

1390

1410

1430

1450

1470

1490

1510

1530

1550

1570

1590

0.0 1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0 7.0

8.0

9.0

10.0

Inse

rció

n de

pér

dida

en

(dB

)


Figura 5.18. Pérdidas del acoplador en función de la longitud de onda [13].

Figura 5.17. Acoplador estándar monomodo [13].

95

5.5. Regeneradores.

La señal al viajar por la fibra óptica sufre pérdidas por atenuación, dispersión y

efectos no lineales, por lo que es necesario restablecer o redireccionar la señal empleando

un regenerador.

Hay tres tipos de regeneradores: 1R, 2R y 3R. 1R solo amplifica la señal, 2R

amplifica la señal y recupera la envolvente, y 3R regenera por completo la señal. De

acuerdo a las necesidades del sistema se usará alguno de ellos, o la combinación de ellos.

5.5.1. Regenerador 1R.

El regenerador 1R puede ser opto-electrónico o completamente óptico. El

regenerador 1R opto-electrónico convierte la señal óptica en señal eléctrica, la cual es

empleada para modular el haz luminoso de la fuente luminosa. De esta forma la potencia

luminosa de la señal es restablecida para ser enviada de nuevo por la fibra óptica.

En el regenerador 1R completamente óptico, la amplificación de la señal luminosa

se hace sin llevar a cabo la conversión óptico-eléctrica empleando la fibra amplificadora

dopada de Erbio (EDFA). El regenerador 1R amplifica también los ruidos que adquiere la

señal en el canal. En la figura 5.19 se muestra un regenerador 1R.


Es otra alternativa de regenerador. Éste tipo de regenerador amplifica la señal y

recupera la envolvente. Es básicamente un regenerador 1R más la etapa de recuperación de

la envolvente, en la figura 5.20 se tiene el diagrama a bloques de un regenerador 2R. La

Fotodetector Amplificador Controlador del láser

Láser

Señal con ruido Señal amplificada

con ruido

Figura 5.19. Regenerador 1R.

96

recuperación de la envolvente se hace por medio de un comparador. Regeneradores 2R

completamente ópticos están en fase experimental.


Este tipo de regenerador amplifica la señal y recupera completamente la señal

(envolvente y sincronía), también elimina los errores en la señal, dispersión, ruido de

amplificación y efectos no lineales. Es un regenerador 2R con unas etapas más para

recuperación de reloj y sincronía, y otra para procesamiento de señal, en la figura 5.21 se

tiene el diagrama a bloques de un regenerador 3R. Este tipo de regenerador sólo se ha

implementado en forma opto-electrónica.

5.6. Amplificadores.

5.6.1. Fibra amplificadora dopada de Erbio (EDFA).

La fibra amplificadora de erbio tiene mucha aplicación en los sistemas de

comunicaciones ópticos multicanalizados por WDM. La amplificación ocurre por el

mecanismo de emisión estimulada. La energía de la señal bombeada excita a los iones de

erbio y los pasa a un nivel de energía más alto, la señal de información estimula la


Láser

Señal con ruido Envolvente recuperada

Comparador

Señal amplificada con ruido

(Variación en la fase)



Señal con ruido Envolvente y sincronía recuperadas

Comparador

Señal amplificada con ruido

Recuperación de reloj

Reloj

Procesamiento de la señal

Láser


97

transición de los iones excitados al nivel de energía mas bajo, como se muestra en la figura

5.22. Esta transición resulta en la radiación de fotones con la misma energía (misma

longitud de onda) que tiene la señal de entrada, figura 5.23 [2].

Dos características importantes de la fibra amplificadora de erbio son: La fibra está

altamente dopada con iones de Erbio (Er), este es el medio activo, y requiere de energía

óptica externa [2].

El bombeo es hecho con un diodo láser radiando luz con alta potencia a una

longitud de onda diferente a la longitud de onda de la señal de información. La señal de

información es transmitida en la vecindad de los 1550 nm, el bombeo se hace a 980 nm,

1480 nm, o ambas. La señal de información y el haz bombeado por el láser son puestos en

la misma fibra por un acoplador. Estos dos haces se propagan juntos a lo largo de la fibra

dopada, donde la señal de información es amplificada mientras que la señal que se bombea

pierde su potencia.

Ener gi a

Nivel 1

Nivel 3

Nivel 2 1460 nm 1540 nm

Bombeo a 980 nm Decaimiento

rápido

Emisión estimulada (1500 – 1600 nm)

Tsp= 1µs

Tsp= 10 ms

Bombeo a 1480 nm

Figura 5.22. Bandas de energía de los iones de erbio en la fibra de silicio.

Figura 5.23. Emisión estimulada.

Fotón de bombeo 1480 nm

Transición

Estado fundamental

Estado excitado

Emisión estimulada de fotones a 1550 nm

Fotón de la señal a 1550 nm

98

La señal de bombeo puede propagarse en la misma dirección de la señal de

información (copropagarse) o en la dirección opuesta (contrapopagarse), como se muestra

en la figura 5.24.

La característica de un bombeo copropagándose es que proporciona bajo nivel de

ruido y baja potencia de salida, mientras que un bombeo contrapropagándose proporciona

un alto nivel de potencia de salida, pero produce mucho ruido. Los amplificadores

comerciales frecuentemente utilizan bombeo bidireccional, con bombeo copropagándose y

contrapropagándose simultáneamente [2].

El segundo acoplador remueve la luz bombeada residual de la fibra de transmisión.

El aislador previene que la luz se refleje a la fibra amplificadora, de otra manera esta luz

también podría ser amplificada y el filtro separa algún restante de luz de la señal de

información.

Acoplador WDM

Aislador y filtro

Láser de bombeo

AcopladorWDM

Empalme

Luz bombeada

Fibra dopada de Erbio

Fibra de transmisión


Luz bombeada

Señal óptica de entrada Señal óptica

amplificada

Empalme

Acoplador WDM

Aislador y filtro

Láser de bombeo

AcopladorWDM

Empalme

Luz bombeada

Fibra dopada de Erbio



Luz bombeada Señal óptica

de entrada Señal ópticaamplificada

Empalme

Figura 5.24. Configuración de un EDFA con bombeo a) copropagándose y b) contrapropagándose.

99

En la figura 5.25 se muestran las curvas de absorción y de emisión de la fibra

dopada con Erbio FS-ER-7A28 de Thorlabs [13]. Esta fibra es para WDM con longitudes

de onda de operación en la banda C, 1528 – 1561 nm, con un diámetro de 125 ± 2 µm.

5.6.2. Amplificador de Raman.

En la sección 4.2, se revisó la Dispersión Estimulada de Raman (SRS), la cual es

un efecto no lineal que afecta a las señales al propagarse por la fibra óptica. Esta no

linealidad también puede ser explotada para proveer amplificación [18]. Esta característica

será estudiada en esta sección.

Un amplificador de Erbio (EDFA) requiere de una fibra óptica construida

especialmente para esta operación. Un amplificador de Raman hace uso de la fibra óptica

de transmisión y hace de ella el medio de amplificación [28].

Un amplificador de Raman es basado en el efecto de la dispersión estimulada de

Raman (SRS). Este efecto es debido a la interacción entre un campo de energía óptico y los

modos de vibración de la estructura en el material. La amplificación de Raman en fibras

ópticas fue demostrada por Stolen y Ippen en 1971 [25].

El proceso básico es, que un átomo primero absorbe un fotón a una energía y libera

otro fotón a una energía menor, con una longitud de onda mayor que el fotón absorbido. La

diferencia de energía entre el fotón absorbido y liberado es transformada a un fonón, el cual

es el modo de vibración del material. La transferencia de potencia ocurre en una longitud de


Figura 5.25. Curvas de absorción y emisión de la fibra amplificadora dopada de erbio FS-ER-7A28.

Absorción

Emisión

100

onda entre 80 a 100 nm mayor a la longitud de onda que la genera. El cambio en longitud

de onda es llamado cambio de Stokes. La figura 5.26 ilustra el cambio de Stokes y el

espectro de ganancia de Raman resultante para una longitud de onda de bombeo de 1445

nm. Una señal a 1535 nm es amplificada, la cual está a 90 nm de la longitud de onda de

bombeo.

En un amplificador de Raman se transfiere energía óptica de un láser con un haz

intenso, a una señal de transmisión débil, debido a la dispersión estimulada de Raman. La

señal de transmisión tiene una longitud de onda de 80 a 100 nm mayor que la longitud de

onda del láser. Por ejemplo, un láser a 1450 genera una ganancia de señal aproximadamente

de 1530 a1550 nm.

En la práctica se usan varios láseres para generar un espectro de ganancia más

amplio. La figura 5.27 muestra el espectro de ganancia para cuatro láseres a diferentes

longitudes de onda. Usando una combinación apropiada de longitudes de onda de bombeo,

es posible tener una ganancia sobre un rango espectral deseado [28]. En los amplificadores

comerciales comúnmente se emplean láser de bombeo en la dirección opuesta a la dirección

de propagación de la señal. El bombeo también puede ser hecho en la misma dirección de

la señal óptica.

Cambio de Stokes (90 nm)

Señal de salida

Pico de ganancia

Señal de entrada

Bombeo de Raman

Señal

1445 nm 1535 nm

Am

plitu

d re

lativ

a

Figura 5.26. Cambio de Stokes y el espectro de ganancia de Raman para un láser de bombeo operando a 1445 nm.

101

Usando bombeo en la dirección opuesta (contra bombeo), la amplificación es

distribuída dentro de al menos 20 a 40 Km de la fibra de transmisión. Debido a ésto, la

amplificación de Raman frecuentemente es referida como amplificación distribuida [28].

Para la amplificación Raman de señales en las bandas C y L, se requieren láseres de

bombeo con una salida de potencia alta del orden de 1 W en la región de 1400-1500 nm [2].

En la figura 5.28 se muestra la configuración para un sistema de amplificación

Raman [28]. Un combinador multiplexa las salidas de 4 láseres de bombeo operando a

diferentes longitudes de onda dentro de una sola fibra. Estos acopladores de potencia de

bombeo comúnmente son referidos como combinadores 14xx-nm. Esta señal de potencia

combinada es introducida a la fibra de transmisión en dirección opuesta a la señal óptica, a

través de un acoplador de WDM de banda amplia. La diferencia en potencia entre las

medidas de los dos fotodiodos de monitoreo es la ganancia de amplificación. El filtro de

ganancia (GFF) es usado para ecualizar las ganancias a diferentes longitudes de onda.

Pulso de entrada

Fotodiodo de monitoreo

Pulso de salida


Potencia de bombeo

λ1 λ2 λ3

λ4

Combinador

Láseres de bombeo

Acoplador WDM

GFFFotodiodo

de monitoreo

Figura 5.28. Sistema de amplificación Raman con contra bombeo.

1425 1465 1505 1545 1585 1625 1665

Am

plitu

d re

lativ

a


Banda C Banda L

Figura 5.27. Espectro de ganancia de Raman para cuatro láseres de bombeo operando a diferentes longitudes de onda.

Bombeo de Raman

102

El uso más popular de los amplificadores de Raman es para complementar las fibras

amplificadoras de erbio (EDFA), para proveer ganancia adicional de manera distribuida en

sistemas de longitudes grandes [2].

5.7. Receptor.

El receptor recupera la información de la señal luminosa y emplea divisores de

canal para separar los canales de información de la señal multicanalizada (figura 5.29). El

receptor detecta los pulsos ópticos y los convierte en pulsos eléctricos, empleando un

fotodiodo PIN o un fotodiodo de avalancha.

Los fotodiodos PIN son más rápidos que los fotodiodos de avalancha, pero éstos

últimos tienen una mayor sensibilidad. Por ejemplo, un fotodiodo PIN de Fujitsu [13] de

12.5 Gbps tiene una sensibilidad de -19dBm, mientras que un fotodiodo de avalancha de

Cyoptics de 10 Gbps tiene una sensibilidad de -27dBm. En la tabla 5.3 se muestran las

características más importantes de un fotodiodo PIN y uno de avalancha.

Fotodiodo PIN [13] Fotodiodo de avalancha [13] Tasa de transmisión 12.5 Gbps 10 Gbps Longitud de onda de operación 1530 a 1620 nm 1280 a 1600 nm

Voltaje de alimentación - 6v 3.3 v

Corriente de alimentación 4 mA 76.3 mA

Sensitividad -19 dBm - 27 dBm

Ancho de banda 11 GHz 8 GHz

Material Arseniuro Galio Indio (InGaAs) Arseniuro Galio Indio (InGaAs)

.

Tabla 5.3. Características de un fotodiodo PIN y un fotodiodo de avalancha.

Figura 5.29. Receptor para WDM.

Amplificador Recuperación de datos

Recuperación de reloj

Circuito de decisión

PIN Avalancha

Divisor de canal

Señal óptica multicanalizada

Señal eléctrica

103

El avance que se ha logrado en el diseño de dispositivos ópticos, se debe a nuevos

materiales y técnicas de fabricación que se están empleando actualmente, lo que ha

permitido que se tengan dispositivos ópticos comerciales de gran capacidad, ejemplo de

ello es el modulador de electro-absorción (EAM) de la compañía Cyoptics capaz de

manejar 40 Gbps de información [13].

En concreto, en este capítulo se revisaron los dispositivos que conforman un sistema

de comunicaciones óptico para WDM, los tipos que se tienen, así mismo, se proporcionaron

datos técnicos de dispositivos comerciales, con la finalidad de mostrar la capacidad de los

dispositivos comerciales en la actualidad.

104

CAPÍTULO 6

RED ÓPTICA

Las primeras redes de telefonía utilizaban ventanas de tiempo de 125 µs.

Posteriormente, cuando fueron diseñados los estándares para las redes ópticas fue necesario

que estos tuvieran ventanas de tiempo de 125 µs. Debido a que las redes que se tenían

anteriormente utilizaban este tipo de ventana, hubiera sido muy costoso tener que cambiar

la red establecida para realizar cambios en la duración de la ventana de tiempo [34].

En un principio, sólo se tenía una tasa de transferencia de 64 Kbps, actualmente una

red óptica tiene tasas de transmisión en el orden de varios Gbps, esto, gracias a las técnicas

de multicanalización como WDM, las cuales permiten enviar muchos canales de

información por una sola fibra óptica, y al uso de estándares de codificación como SONET

y SDH.

El avance en la capacidad de los sistemas de comunicaciones por fibra óptica, se

debe en parte al desarrollo que se ha alcanzado en la capacidad de manejo de información

de los dispositivos para WDM, los cuales han permitido incrementar el número de canales

de comunicaciones por una sola fibra óptica. Como ejemplo de su aplicación se puede

mencionar la red académica Abilene de Internet2 [19]. Esta red trabaja a una velocidad de

10 Gbps (OC-192) entre sus nodos principales.

En la siguiente sección se revisará la multicanalización por división de longitudes

de onda y las bandas de frecuencias de operación. En la segunda sección se analizarán

algunos estándares de codificación en los sistemas de comunicaciones ópticos, tales como

SONET, SDH y ATM.

105

6.1. Multicanalización por división de longitud de onda(WDM).


transmisión que permite incrementar el número de canales de comunicación en una sola



transmisión. En la figura 6.1 se muestra el proceso de multicanalizacion que se lleva a cabo

en WDM.

Para referirnos a las señales WDM podemos utilizar frecuencia o longitudes de

onda. La longitud de onda es medida en nanómetros (nm), 1 nm = 10x10-9 m, o

micrómetros (µm), 1 µm = 10x10-6 m. Las longitudes de onda de interés en comunicaciones

por fibra óptica, están centradas alrededor de 800, 1300 y 1550 nm. Estas longitudes de

onda caen en las bandas infrarrojas, las cuales no son visibles para el ojo humano.

La frecuencia es medida en unidades de Hertz ( o ciclos por segundo), típicamente

en Megahertz (1 MHz = 1x106 Hz), Gigahertz (1 GHz = 1x109 Hz) o Terahertz

(1 THz = 1x1012 Hz). A una longitud de onda de 1550 nm le corresponde una frecuencia de

aproximadamente 193 THz [3].

La longitud de onda λ y la frecuencia f están relacionadas por la ecuación

0

0

cfλ

= , (6.1)

donde 80 3x10 m/sc = denota la velocidad de la luz y 0λ la longitud de onda en el espacio

libre.

Fibra óptica

λ1 λ2

λ3

λ4 λn

λ1 λ2

λ3

λ4 λn

Figura 6.1. Proceso de multicanalizacion en WDM.

106

En la figura 6.2 se muestra la manera en que las longitudes de onda están espaciadas

en un sitema WDM. El sistema está compuesto por n longitudes de onda, cada una de ellas

opera a diferente frecuencia central, el espaciamiento en frecuencia de canales es igual a la

separacion entre las frecuencias centrales de las longitudes de onda [3].

El espaciamiento entre canales es un parámetro de interés, el cual, es el espacio

entre dos longitudes de onda o frecuencias consecutivas [33]. El espaciamiento puede ser

medido en longitudes de onda o frecuencia. La relación entre el espaciamiento en

frecuencia ∆f y el espaciamiento en longitudes de onda ∆λ, puede ser obtenida partiendo

de la ecuación (6.1). Diferenciando esta ecuación con respecto a la longitud de onda central

λ0, se obtiene

020

cf λλ

∆ = ∆ . (6.2)

Esta relación es una medida que permite conocer la dimensión del espaciamiento

entre canales, comparado con la longitud de onda actual del canal. A una longitud de onda

λ0 = 1550 nm y un espaciamiento de longitudes de onda de ∆λ = 0.8 nm, le corresponde un

espaciamiento en frecuencia entre canales ∆f de 100 GHz, siendo éste el espaciamiento

típico en sistemas WDW [3].

En sitemas WDM los espaciamientos en frecuencia estandarizados por la Unión

Internacional de Telecomunicaciones (ITU), son de 100 y 50 GHz. En la figura 6.3. se

muestra la rejilla estándar de la ITU para WDM, y en la tabla 6.1 se muestran los datos para

separaciones de frecuencia entre canales de 100 GHz y 50 GHz. Con estas separaciones

Espaciamiento en frecuencia de canales

λ1 λ2 λ3 λn

Ancho de banda de la señal

λ3

Figura 6.2. Rejilla estándar de la ITU de 100 GHz basada en una frecuencia central de 193.1 THz.

107

entre canales y ancho de banda de 25 GHz, teóricamente no existe interferencia entre los

canales. Por el contrario, la obtencion de estos resultados en la práctica requiere de láseres

de coherencia alta.

En los apéndices B y C se muestran las frecuencias de la rejilla estandarizada de la

ITU para una frecuencia central de 193 THz, espaciamiento entre canales de 100 y 50 GHz,

para las bandas C y L.

Espaciamiento de

frecuencia entre

canales

Espaciamiento de

longitud de onda

entre canales

Ancho de

banda Número de canales

100 GHz 0.8 nm 25 GHz 110 = 40 (Banda C) y 70 (Banda L)

50 GHz 0.4 nm 25 GHz 220 = 80 (Banda C) y 140 (Banda L)

6.2. Codificación.

Transmitir luz a varias frecuencias (varias longitudes de onda) sin algún tipo de

sincronía o pulsos de reloj, no es de utilidad en un sistema digital de comunicaciones, para

ello se emplean estándares de codificación como SONET, SDH o ATM. Estos estándares

permiten enviar información en forma de cuadros de tiempo sobre longitudes de onda. Una

λ

f

1530 nm 1565 nm 1625 nm

196.07 THz 191.7 THz 184.61 THz

Banda L Banda C

Figura 6.3. Rejilla estándar de la ITU para un espaciamiento en frecuencia de 100 GHz.

Tabla 6.1. Datos para espaciamiento de frecuencia entre canales de 100 y 50 GHz.

108

sola longitud de onda capaz de llevar un OC-192/STM-645 a 10 Gbps. Si se envían 80

longitudes de onda (canales de información) a través de una sola fibra, el ancho de banda

se incrementa por un factor de 80, y la fibra puede llevar 800 Gbps. En modo full-duplex6

el resultado es un ancho de banda de 1.6 Tbps [1].

Las redes ópticas utilizan ventanas de tiempo de 125 µs, el cual fue establecido en

los inicios de las redes telefónicas. En sus comienzos las redes telefónicas eran analógicas,

proporcionando sólo las funciones básicas para la realización de una llamada. Luego, la

señal analógica fue convertida en una señal digital, empleando modulación por codificación

de pulsos (PCM). La señal digital estaba formada de 8 bits por muestra, con 8 bits se

tienen 256 (28) valores posibles para representar el valor analógico de la muestra de manera

digital. Como la señal que se iba a convertir a digital era la voz, la cual tiene una banda de

frecuencias de 300-3400 Hz, se requería una tasa de muestreo de 8 KHz como mínimo de

acuerdo con el teorema de Nyquist7. Esto requiere un tiempo muestreo de:

=8000

1 125 µs.

por lo que se requerían ventanas de tiempo de 125 µs [35]. En la figura 6.4 se muestra un

diagrama a bloques con el proceso de muestreo y codificación de la señal.

5 Ver tabla 6.2 de tasas de transmisión para SONET y SDH. 6 Full-duplex se refiere a transmisión en ambas direcciones. 7 La señal analógica debe ser muestreada al menos el doble de su frecuencia máxima.

Figura 6.4. Señal analógica muestreada a 8 KHz.

Señal analógica

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

fmuestreo = 2fx

125 µs 125 µs

125 µs

109

Cuando se diseñaron los estándares para las redes ópticas, se tuvieron que diseñar

para esta ventana de tiempo. En un principio sólo se tenía una tasa de transferencia de

64 Kbps, actualmente, una red óptica tiene tasas de transmisión en el orden de varios Gbps,

esto gracias a las técnicas de multicanalización como WDM, que permiten mandar muchos

canales de información por una sola fibra óptica.

6.2.1. Red óptica síncrona (SONET).

La Red Óptica Síncrona originalmente propuesta por Bellcore, estandarizada por el

Instituto Nacional Americano de Normas (ANSI), define un estándar para señales ópticas,

una estructura de trama para el multiplexado de tráfico digital y un tráfico de operaciones.

SONET es una tecnología correspondiente a la capa física, diseñada para

proporcionar una transmisión universal, con capacidad de transmisión de Gbps. Esta

tecnología es regularizada por las normas nacionales americanas (ANSI). Una tecnología

parecida es el SDH, desarrollada y regularizada por la Unión Internacional de

Telecomunicaciones (ITU).

La red óptica síncrona, usa un esquema de transmisión síncrono, el cual transmite

una trama (frame) básica cada 125 µs. Cada trama es organizada lógicamente como una

serie de bytes de dos dimensiones. La trama básica de SONET es STS-1 (Señal de

Transporte Síncrona). En la figura 6.5 se muestra la trama básica de SONET. Esta trama

puede ser vista como una cuadrícula en la que se tienen 810 bytes, organizados en 9 filas a

través de 90 columnas. La trama total ocupa 125 µs, esto da una tasa de transmisión total de

51.840 Mbps.

9 renglones x 90 columnas = 810 Bytes = 6480 bits → 6480 bits / 125 µs = 51.84 Mbps.

Las primeras tres columnas son para información de encabezado (overhead), para

control de flujo, control de errores, administración de la red y apuntadores, los cuales llevan

la información de la organización de los bytes contenidos en la celda. La columna 4

contiene información de la ruta de la trama. Las columnas 30 y 59 no contienen

110

información útil. Estas 6 columnas no contienen información útil para el usuario, por lo que

la tasa de transmisión de información útil es de:

9 renglones x 84 columnas = 756 Bytes = 6048 bits → 6048 bits / 125 µs = 48.38 Mbps

El encabezado de la trama básica de SONET STS -1 se muestra en la figura 6.6. La

tabla 6.2 se presenta la función que cada uno de estos bytes desempeña [34].

F i j

o

Enc

abez

ado

de r

uta

F i j

o

Enca

beza

do

de t

rans

porte

1 2 3 4 5 30 59 90

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Carga útil 125 9sµ

Figura 6.5. Trama básica de SONET STS-1.

Enc

abez

ado

de tr

ansp

orte

A1 A1 C1

B1 E1 F1

D1 D2 D3

1 2 3

1

2

3

1

3

9

1 2 3

Enc

abez

ado

de tr

ansp

orte

H1 H2 H3

B2 K1 K2

D4 D5 D6

1 2 3

4

5

6

1

3

9

1 2 3

D7 D8 D9

D10

D11

D12

Z1 Z2 Z3

7

8

9

Figura 6.6. Encabezado de STS-1.

111

Byte Función

A1 y A2 Patrón fijo, valor hexadecimal OxF628.

C1 Es el identificador de STS-1.

B1 Monitoreo de errores. Usa paridad par.

E1 Canal de voz de 64 Kbps. Solo para STS-1.

F1 Usado por la sección.

D1 , D2 y D3 Monitoreo, alarmas, control. 192 Kbps.

H1 y H2 Apuntadores.

H3 1 byte para justificación de frecuencia.

B2 Monitoreo de errores. Usa paridad par.

K1 y K2 Protección de interrupciones. Solo en STS-1.

D4 – D12 Monitoreo, alarmas, control. 576 Kbps.

E2 Canal de comunicación entre equipos terminales. 64 Kbps.

Z1 Y Z2 Definido solo en STS-3.

Algunas de las características de SONET son [36]:

- Es un sistema síncrono con multiplexación por división en el tiempo (TDM).

8 OC- Portadora óptica.

Nivel óptico8

Equivalente en SONET

Tasa de transmisión total (Mbps)

Tasa de transmisión útil (Mbps)

Tasa de transmisión de encabezados

(Mbps)

Equivalente en SDH

OC-1 STS-1 51.840 50.112 1.728 NA OC-3 STS-3 155.520 150.336 5.184 STM-1 OC-9 STS-9 466.560 451.008 15.552 STM-3

OC-12 STS-12 622.080 601.344 20.736 STM-4 OC-18 STS-18 933.120 902.016 31.104 STM-6 OC-24 STS-24 1244.160 1202.688 41.472 STM-8 OC-36 STS-36 1866.240 1804.032 62.208 STM-13 OC-48 STS-48 2488.320 2405.376 82.944 STM-16 OC-96 STS-96 4976.640 4810.752 165.888 STM-32 OC-192 STS-192 9953.280 9621.504 331.776 STM-64 OC-768 STS-768 39183.120 38486.016 1327.104 STM-256

Tabla 6.2. Bytes de encabezado de STS-1.

Tabla 6.3. Tasas de bits para SONET Y SDH.

112

- Se transmite una trama cada 125 µs. Esto aunque no haya datos útiles que

transmitir (8000 tramas por segundo).

- Existen distintos tipos de canales estandarizados para distintas velocidades,

cada una con un tamaño de trama diferente. Así, en STS-1 (51.84 Mbps) la

trama es de 810 bytes. En la tabla 6.3 se muestran las tasas de bit para SONET y

SDH [1].

La trama básica de SONET es transmitida por renglones, primero el renglón uno,

luego el renglón 2, y así sucesivamente, hasta el renglón 9. En la figura 6.7 se muestra

gráficamente la secuencia de transmisión de una trama STS-1 [34].

Multiplexación de celdas básicas.

El aumento de la tasa de transmisión en SONET se lleva a cabo mediante la

multiplexación de tramas básicas [37]. El tamaño de la trama multiplexada (número de

columnas) depende del nivel de multiplexación que se tiene, y se calcula por:

Número de columnas = 90 x N

Y la tasa de transmisión está dada por:

Tasa de transmisión = N x 51.84 Mbps

1 2 3 90 1 2 3 90 1 2 3 90

Renglón 1 Renglón 2 Renglón 3

1 2 3 90 1 2 3 90 1 2 3 90


1 2 3 90 1 2 3 90 1 2 3 90


Figura 6.7. Secuencia de transmisión de una trama STS-1.

113

Donde N es el nivel de multiplexación. El número de renglones (nueve), es el

mismo para cualquier nivel de multiplexación. Por ejemplo, para un STS-3, se tienen 270

columnas (90 x 3) y su tasa de transmisión es de 155.52 Mbps (51.84 x 3).

La multiplexación se lleva a cabo mediante un proceso llamado entrelazado de

bytes [2]. Este proceso toma byte por byte cada trama a multiplexarse y los va uniendo.

Primero, toma el renglón 1, y va tomando byte por byte. Por ejemplo, para una celda

multiplexada STS-3 (formada por 3 STS-1), las columnas 1, 4, 7, 10, ...,268 corresponden

a la primera celda STS-1, las columnas 2, 5, 8, 11,..., 269 a la segunda celda STS-1 y las

columnas 3, 6, 9, 12,...,270 a la tercera celda STS-1. En la figura 6.8 se muestra cómo se

lleva a cabo el proceso de entrelazado de bytes.

6.2.2. Jerarquía Digital Síncrona (SDH).

La Jerarquía Digital Síncrona es un estándar de transporte de telecomunicaciones

de la ITU. Uno de los objetivos de esta jerarquía fue el proceso de adaptación del sistema

PDH (Jerarquía Digital Plesiócrona), debido a que SDH debía ser compatible con PDH. La

trama básica de SDH es STM-1 (Módulo de transporte síncrono), con una tasa de 155

Mbps [37].

SDH no especifica una trama similar a STS-1 de SONET. Ésta especifica un

contenedor de carga de 9 renglones por 87 columnas denominado contenedor virtual 3

Figura 6.8. Entrelazado de bytes en STS-3.

C A B A1234

C B C BA C B

56

A

1112810 22810810 809809809

24292430 2428 2427 2426 2425

. . .

2430 bytes 1 byte

Byte interleaving multiplexing

A A A1234. . . 809 810 808 807

1 byte

AA A A A A A

B B B1234. . . 809 810 808 807

BB B B B B B

1 byte

C C

1234. . . 809 810 808 807

CC C C C C C C

STS-3

STS-1

STS-1

STS-1 Entrelazado

de bytes

114

(VC-3), en la figura 6.9 se muestra un VC-3. El resultado de la multiplexación de 3 VC-3,

es una trama básica STM-1. La figura 6.10 muestra la estructura de un STM-1.

Los niveles superiores se forman a partir de multiplexar a nivel de byte varias

estructuras STM-1, empleando el método de entrelazado de bytes, al igual que en SONET.

Las tramas contienen información de cada uno de los componentes de la red,

trayecto, línea y sección, además de la información de usuario.

La transmisión se realiza bit a bit en el sentido de izquierda a derecha y de arriba

abajo, de manera similar que para un STS-1 (figura 6.7). La trama se transmite a razón de

8000 veces por segundo (cada trama se transmite en 125 µs). Por lo tanto, la tasa de

transmisión para los primeros tres niéveles de múltiplexación son:

STM-1 = 8000 x (270 octetos x 8bits x 9filas) = 155 Mbps

STM-4 = 4 x 8000 x (270 octetos x 8bits x 9filas) = 622Mbps

STM-16 = 16 x 8000 x (270 octetos x 8bits x 9filas) = 2.5Gbps

Figura 6.9. Estructura de un VC-3.

F i j

o

Enc

abez

ado

de r

uta

F i j

o

1 2 30 59 87

1

H3 H2

9


H1

115

De las 270 columnas que forman la trama STM-1, las 9 primeras forman el

encabezado de transporte, el cual es independiente del encabezado de ruta de los

contenedores virtuales antes mencionados, mientras que las 261 restantes constituyen la

carga útil.

En el encabezado de transporte están contenidos bytes para alineamiento de

trama, control de errores, canales de operación y mantenimiento de la red y los

apuntadores, que indican el comienzo del primer octeto de cada contenedor virtual. En

la figura 6.11 se muestra el contenido del encabezado de transporte de STM-1, y en la

tabla 6.4 se describe la función de cada byte [34].

Figura 6.10. Estructura de un STM-1.


Sección de multiplexación

Sección de regeneración

F i j

o

F i j

o

F i j

o

F i j

o

F i j

o

Enc

abez

ado

de r

uta

F i j

o

10 11 88 89 177

1

H3 H2

9

H1 H3 H2 H1 H3 H2 H1

175 1 2 3 9 90 270176

A1 A1 A1 A2 A2 A2 J0 X X

B1 0 0 E1 0 - F1 X X

A1 0 0 D2 0 - D3 - -

B2 B2 B2 K1 - - K- - -

APUNTADORES

D4 - - D5 - - D6 - -

D7 - - D8 - - D9 - -

D10 - - D11 - - D12 - -

S1 - - - - M1 D9 - -

Figura 6.11. Encabezado de STM-1.

116

Byte Función

A1, A2 Bytes de trama

J0 Byte de trazo de la sección de regeneración

B1, B2 Byte de código de entrelazado de bit

E1,E2 Byte de orden de cableado

D1,D2,D3 Bytes de canal de comunicación

D4…D12 Bytes de canal de comunicación

K2 Byte de protección automática de interrupciones

S1 Es el indicador de la calidad del reloj

M1 Usado para reconocimiento de errores de transmisión

F1 Byte de mantenimiento

- Bytes reservados

0 Dependiente del medio de uso (por ejemplo, satélite, radio)

X Reservado para uso nacional

SDH presenta una serie de ventajas respecto a la Jerarquía Digital Plesiócrona

(PDH). Algunas de éstas son [34]:

- El proceso de multiplexación es mucho más directo. La utilización de apuntadores

permite una localización sencilla y rápida de las señales tributarias de la

información.

- El procesamiento de la señal se lleva a cabo a nivel de STM-1. Las señales de

velocidades superiores son síncronas entre sí y están en fase por ser generadas

localmente por cada nodo de la red.

- Las tramas tributarias de las señales de línea pueden ser subdivididas para acomodar

cargas plesiócronas, tráfico ATM o unidades de menor orden.

- Compatibilidad eléctrica y óptica entre los equipos de los distintos proveedores

gracias a los estándares internacionales sobre interfases eléctricas y ópticas.

Tabla 6.4. Bytes de encabezado de un STM-1.

117

En cuanto a las desventajas:

- Necesidad de sincronía entre los nodos de la red SDH, se requiere que todos los

servicios trabajen bajo una misma referencia de temporización.

- El principio de compatibilidad ha estado por encima de la optimización de ancho de

banda. El número de bytes destinados a la cabecera de sección es muy grande, lo

que conduce a la pérdida de eficiencia.

6.2.3. Modo de Transferencia Asíncrona (ATM).

El Modo de Transferencia Asíncrona es una tecnología de conmutación de muy alta

velocidad, capaz de soportar aplicaciones multimedia de tráfico de datos, voz y video [34].

En las redes locales convencionales, por ejemplo Ethernet, se transmiten paquetes

de longitud variable y se usa un esquema de contención no determinístico para accesar al

medio. Cuando se transmiten datos de algún servicio en tiempo real, como voz, esto podría

causar retardos. Además, la longitud variable de los paquetes podría causar una variación

de fase inaceptable (jitter) [34].

En ATM se usan pequeñas unidades de longitud fija, llamadas tramas, para

transferir los datos. La trama básica de ATM está formada por 53 bytes, 5 bytes de cabecera

y 48 bytes de información. Los paquetes de datos son segmentados en tramas antes de ser

colocados en el medio de transmisión, y son reensamblados subsecuentemente en el

destino. Esto conduce a que las células de paquetes de tiempo crítico pequeño (por ejemplo,

las de tráfico de voz) sean intercaladas con aquéllas de paquetes muy grandes (por ejemplo

transferencia de archivos). En la figura 6.12 se muestra una trama básica de ATM [34].

En resumen, las tramas de longitud fija y pequeña producen un retardo mucho

menor y reducen el jitter en la transmisión de datos en tiempo real a través de la red.

118

En una red ATM, las comunicaciones se establecen a través de un conjunto de

dispositivos intermedios llamados conmutadores. Por lo tanto, ATM es una tecnología de

conmutación [35].

La información de los primeros cuatro bits de la cabecera de ATM depende del tipo

de interfase, interfase usuario-red (UNI) o interfase red-red (NNI). La cabecera de ATM es

UNI cuando la trama va del usuario hacia un dispositivo de red, y es NNI cuando la trama

va de un elemento de red a otro. En la figura 6.13 se muestra un segmento de red y las

interfases UNI y NNI [34].

TokenRing

UNI

NNI

NNIRed ATM

Figura 6.13. Interfaces UNI y NNI.

Figura 6.12. Trama básica de ATM.

119

La tabla 6.5 muestra los campos de la cabecera de la trama básica de ATM. Los

campos VPI y VCI identifican la ruta virtual y el canal virtual en la red. En una interfase

UNI se tienen 8 bits para direccionar 256 rutas virtuales y en una interfase NNI se

direccionan 4096 rutas virtuales con los 16 bits que se tienen. En la figura 6.14 se muestran

gráficamente los identificadores de ruta virtual (VPI) y los identificadores de canal virtual

(VCI).

UNI Interfase Usuario a Red

NNI Interfase Red a Red

VPI Identificador de Ruta Virtual. Hasta 256 (UNI) o 4096 (NNI).

VCI Identificador de Canal Virtual. Hasta 65536.

CLP Prioridad de Pérdida de Tramas

PTI Identificador de carga útil.

Checksum Chequeo de errores.

En este capítulo se analizó la multicanalización por division de longitudes de onda,

el espaciamiento entre canales, los espaciamientos establecidos por la ITU y los estándares

utilizados para este tipo de sistema de comunicación SONET, SDH y ATM. Estos

Tabla 6.5. Campos de la cabecera de la trama básica de ATM.

Enlace físico

Cada VP ContieneMúltiples VCs

Por un enlace físico pueden pasar múltiples VPs

El VC es el caminológico entre hosts

en la red ATM

Virtual Path (VP)

Virtual Path (VP)

Figura 6.14. Rutas y canales virtuales en un enlace físico.

Ruta virtual (VP)

Ruta virtual (VP)

120

estándares permiten incrementar la cantidad de informacion por cada longitud de onda en el

sistema de comunicaciones multicanalizado por WDM.


transmisión de información que permite incrementar el número de canales de

comunicaciones a través de una sola fibra óptica. Se le asocia a cada canal una longitud de

onda luminosa, logrando así una optimización del ancho de banda de la fibra, teniendo

como resultado una tasa de transmisión mayor.

Los estándares de SONET y SDH permiten enviar información en forma de cuadros

de tiempo sobre longitudes de onda. Una sola longitud de onda es capaz de llevar un OC-

192/STM-649 a 10 Gbps. Si se envían 80 longitudes de onda (canales de información) a

través de una sola fibra, el ancho de banda se incrementa por un factor de 80, y la fibra

podría llevar 800 Gbps. En modo full-duplex, el resultado es un ancho de banda de

1.6 Tbps [1].

ATM es una tecnología de conmutación de muy alta velocidad, capaz de soportar

aplicaciones multimedia de tráfico de datos, voz y video. Utiliza células de longitud fija y

pequeña que producen un retardo mucho menor, y reducen el jitter en la transmisión de

datos en tiempo real a través de la red.

9 Ver tabla 6.2 de tasas de transmisión para SONET y SDH.

121

CAPÍTULO 7

MÉTODO DE PROPAGACIÓN DEL HAZ (BPM)

El Método de Propagación del Haz es una técnica poderosa para investigar la

propagación lineal y no lineal de la luz en dispositivos ópticos como acopladores, divisores,

filtros y guías de onda [40]. Este método fue desarrollado en 1978 por M. Feit y J. Fleck Jr.

Desde entonces, ha sido usado ampliamente en el diseño de dispositivos ópticos [42].

Con el método se obtiene la propagación electromagnética en materiales dieléctricos,

donde las variaciones de campo electromagnético en la sección transversal es menor que en

la dirección de propagación.

En la primera sección, se analiza la ecuación de onda y se propone una solución. La

solución propuesta se basa en el producto de dos tipos de funciones. Una de variación lenta

en la sección transversal de propagación y una de variación rápida en la dirección de

propagación +z.

En la segunda sección, se presenta la solución a la ecuación de onda con la

aproximación de Fresnel. Esta aproximación ignora el término 2

2zφ∂

∂ [41], debido a que φ

presenta una variación lenta en la dirección de propagación. En la tercera sección, se

presenta la formulación de ángulo amplio como solución de la ecuación de onda, lo que

significa que se considera la ecuación completa. En la cuarta sección, se desarrolla el

algoritmo numérico para la solución a la ecuación de onda basado en la transformada rápida

de Fourier, el BPM-FFT. Y por último, en la quinta sección se analiza el filtro óptico de

rejilla de Bragg y se implementa el algoritmo para obtener el comportamiento del campo

electromagnético en el filtro.

122

7.1. Ecuación de onda.

La propagación en guías de onda con una geometría arbitraria es complicada y es

necesario hacer algunas aproximaciones. Se asume que la propagación de los campos

electromagnéticos tiene una dependencia armónica en forma de ondas monocromáticas con

frecuencia angular ω, de tal manera que la dependencia temporal es de la forma j te ω . La

ecuación que describe la propagación espacial de éstas ondas es la ecuación de Helmholtz

[39]:

2 2 2 ( , , ) 0oE k n x y z E∇ + = (7.1)

Donde ( ), ,E E x y z= denota las componentes en coordenadas cartesianas del campo eléctrico.

El vector de onda k es:

2 2

2 2 2 2o

m o

k n k nc cω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 2 2x y zk k k k= + + (7.2)

El índice de refracción en el dominio de interés es dado por ( ), ,n x y z y es

determinado por la geometría de la guía de onda (fibra óptica, acoplador, filtro,

interferómetro de Mach Zehnder, etc.).

Considerando la propagación del campo electromagnético en la dirección z+ y el

índice de refracción depende solamente de las coordenadas transversales x e y [42]. El

campo ( ), ,E x y z puede ser representado por una amplitud de campo de variación lenta

( ), ,x y xφ , multiplicado por una de oscilación rápida moviéndose en la dirección z+

(dirección de propagación):

( , , ) o ejk n zE x y z eφ −= (7.3)

donde o ek n representa las características de propagación del vector de onda. en es el índice

de refracción y es tomado el índice del recubrimiento de la guía de onda [39].

Substituyendo la Ec.(7.3) en la Ec. (7.1) se tiene que:

2

2 2 2 22 2 ( )o e o ejk n k n n

z zφ φ φ φ⊥

∂ ∂− + = ∇ + −

∂ ∂ (7.4)

123

donde 2⊥∇ representa el Laplaciano en las direcciones transversales x e y, y esta dado por:

2 2

22 2x y⊥

⎛ ⎞∂ ∂∇ = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

(7.5)

7.2. Aproximación de Fresnel.

Como se vió, ( ), ,x y xφ presenta una variación óptica lenta en la dirección de

propagación, con lo que tenemos que:

2

2 2 o ejk nz zφ φ∂ ∂

<<∂ ∂

(7.6)

Considerando esta aproximación se puede ignorar el primer término del lado

izquierdo de la Ec. (7.4), obteniendo:

2 2 2 22 ( )eo e ojk n k n n

zφ φ φ⊥

∂= ∇ + −

∂ (7.7)

Esta aproximación es conocida como aproximación de Fresnel [41]. Ésta

aproximación es válida para pequeñas divergencias del [42].

Se propone la solución a la Ec. (7.7) de la forma:

( ) ( ), , A B zx y z eφ +⎡ ⎤⎣ ⎦= (7.8)

Donde:

212 o e

A jk n ⊥= − ∇

2 2( )2

oe

e

kB j n nn

= − −

Aplicando un desplazamiento en la dirección de propagación z z z= + ∆ , se tiene:

( ) ( ) ( ), , , ,A B zx y z z e x y zφ φ+ ∆⎡ ⎤⎣ ⎦+∆ = (7.9)

Los operadores A y B son operadores no conmutativos debido a que 2⊥∇ es un operador

derivativo [41].

124

Empleando el teorema para operadores no conmutativos de Barker-Hausdorff [40]:

1 1ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , . . .ˆˆ( ) ( ) 2 1 2

a b a b a b a ba be e e

⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦= (7.10)

donde ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ,a b ab ba⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ .

Usando este teorema con a zA= ∆ y b zB= ∆ tenemos:

( ) 21 . . .

( ) ( ) 2A z B z A B B A z

A z B ze e e⎡ ⎤∆ + ∆ + − ∆ +⎢ ⎥∆ ∆ ⎣ ⎦= (7.11)

Asumiendo que z∆ es muy pequeño, se pueden ignorar los términos de orden mayor e igual

a ∆z2, lo que resulta en:

( ) .( ) ( ) A B zA z B ze e e + ∆⎡ ⎤∆ ∆ ⎣ ⎦≈ (7.12)

Sustituyendo la Ec. (7.12) en la Ec. (7.9) resulta:

( ) ( )( , , ) ( , , )A z B zx y z z e e x y zφ φ∆ ∆+∆ = (7.13)

Esta ecuación genera errores del orden de (∆z)2 [41].

Para reducir el error a órdenes de (∆z)3 la Ec. (7.12) se emplea dos veces el teorema

Barker-Hausdorff. Ignorando los términos de orden mayor e igual a (∆z)3 resulta:

( ) ( )2 2A Az z A B zB ze e e e

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ ∆⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ∆⎡ ⎤∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦≅ (7.14)

Esta es una de las razones por las que ∆z debe ser pequeño [41].

Sustituyendo la Ec. (7.14), A y B en la Ec. (7.9) se tiene:

2 2

2 2 2 2( )( , , ) ( , , )o e o eo

z zj jk n k njk n zx y z z e e e x y zφ φ

⊥ ⊥⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ ∇∆ ∆− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ∆ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ ∆ = (7.15)

que es la solución a la ecuación de Fresnel o parabólica con error del orden de (∆z)3, donde

en n n∆ = − .

125

7.3. Formulación de Ángulo amplio.

En la aproximación de Fresnel fue ignorada la segunda derivada de la función

( ), ,x y zφ con respecto a z de la Ec. (7.4). Ahora, resolviendo la Ec. (7.4) sin ignorar ningún

término. A esta solución se le llama formulación de ángulo amplio [41].

Reacomodando la Ec. (7.4) de la siguiente manera:

2

2 2 2 22 2 ( ) 0o e o ejk n k n n

z zφ φ φ φ⊥

∂ ∂− + ∇ + − =

∂ ∂ (7.16)

La ecuación característica de esta ecuación diferencial es:

2 2 2 2 22 ( ) 0o e o ejk n k n nψ ψ ⊥− +∇ + − = (7.17)

Resolviendo esta ecuación se tiene que las raíces que cumplen con la igualdad son:

( )2 2 2 2 2( )o e o e o ejk n j k n k n nψ ⊥= ± +∇ + − (7.18)

Como la dirección de propagación considerada es la dirección +z, se toma la raíz con signo

negativo.

( )( )2 2 2 2 2( )o e o e o ej k n k n k n nψ ⊥= − + ∇ + − (7.19)

La solución de la Ec. (7.16) es de la forma:

( )( , , ) ,zx y z e A x yψφ = (7.20)

Sustituyendo el valor de ψ en la Ec. (7.20), resulta en:

( )

( )2 2 2 2 2( )

( , , ) ,o e o e o ej k n k n k n n z

x y z e A x yφ⊥

⎛ ⎞− +∇ + −⎜ ⎟⎝ ⎠= (7.21)

Aplicando un desplazamiento en la dirección de propagación z z z= + ∆ :

( )2 2 2 2 2( )

( , , ) ( , , )o e o e o ej k n k n k n n z

x y z z e x y zφ φ⊥

⎛ ⎞− +∇ + − ∆⎜ ⎟⎝ ⎠+ ∆ = (7.22)

Reacomodando el exponente:

( )( ) ( )( ) ( )

12

1 12 2

2 2 22 22 2 2 2 2

2 2

( )( ) 1 o eo e o e o e

o e

k n nk n k n n k nk n⊥ ⊥

⊥

⎛ ⎞−+ ∇ + − = + ∇ +⎜ ⎟

⎜ ⎟+ ∇⎝ ⎠ (7.23)

Ahora, aproximando la raíz de la Ec. (7.23) por una serie de Taylor:

( ) ( ) ( )

122 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

( ) ( ) ( )1 11 12 4

o e o e o e

o e o e o e

k n n k n n k n nk n k n k n⊥ ⊥ ⊥

⎛ ⎞− − −+ = + + +⎜ ⎟

⎜ ⎟+ ∇ + ∇ + ∇⎝ ⎠

(7.24)

126

Lo que lleva a:

( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1

2 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 21( ) ( )2o e o e o e o e o ek n k n n k n k n n k n

−

⊥ ⊥ ⊥+ ∇ + − = + ∇ + − + ∇ (7.25)

Considerando que en n≈ , se tiene: 2 2( ) ( )( ) 2 ( )e e e e en n n n n n n n n− = + − ≈ − , y que

( )220 ek n⊥∇ [41], se puede reducir la Ec. (7.25) a:

( )( ) ( )( )1 12 22 22 2 2 2 2( ) ( )o e o e o e o ek n k n n k n k n n⊥ ⊥+∇ + − = +∇ + − (7.26)

Sustituyendo la Ec (7.26) en la Ec. (7.22), y reacomodando la expresión:

( )( )

12 22

( )( , , ) ( , , )o e o e

o e

j k n k n zjk n n zx y z z e e x y zφ φ

⊥⎛ ⎞

− ± +∇ − ∆⎜ ⎟⎜ ⎟ ± − ∆⎝ ⎠+ ∆ = (7.27)

Multiplicando y dividiendo el exponente que contiene la raíz por ( )( )1

2 22o e o ek n k n⊥

⎛ ⎞+∇ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )( )

( )( )12

2

2 2( , , ) exp exp ( , , )o e

o e o e

x y z z j z jk n n z x y zk n k n

φ φ⊥

⊥

⎛ ⎞∇⎜ ⎟+ ∆ = − ∆ − − ∆⎜ ⎟

⎜ ⎟+∇ +⎝ ⎠

(7.28)

Empleando la relación en n n= + ∆ y el teorema de Barker-Hausdorff para reducir el orden

del error a (∆z)3, la Ec. (7.28) se puede expresar como [42]:

( )( ) ( ) ( )( )

2 2

1 12 22 22 22 2

( , , ) ( , , )o e o e o e o eo

z zj jk n k n k n k njk n zx y z z e e e x y zφ φ

⊥ ⊥

⊥ ⊥

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟∇ ∇∆ ∆⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+∇ + +∇ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ∆ ∆⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ ∆ = (7.29)

Se observa que la Ec. (7.29) está formada por tres operadores, los cuales se pueden

interpretar de la siguiente forma: el primero describe la propagación en el recubrimiento de

la guía, el segundo describe la propagación en un lente y el tercero, describe la propagación

en el recubrimiento de la guía, como se muestra en la figura 7.1.

127

7.4. Método de la propagación del haz basado en la transformada rápida de Fourier

(BPM-FFT).

La solución a la ecuación de Helmholtz en un medio homogéneo caracterizado por

un índice de refracción n, es un conjunto de ondas planas y su solución general puede ser

representada por una superposición de estas ondas [39]:

( ) ( )1( , , ) , , , ,yx z zjk yjk x jk z jk zx y x y x yE x y z k k z e e e dk dk F k k z eφ φ

∞ ∞ −

−∞ −∞⎡ ⎤= = ⎣ ⎦∫ ∫ (7.30)

Donde:

2 2 2 2 2 20 x y zk k n k k k= = + + (7.31)

Esta ecuación es la transformada continua de Fourier inversa en dos dimensiones y

es representada por 1F − .

De la ecuación de Helhmholtz se tiene que:

2

2 22 0EE k E

z⊥

∂∇ + + =

∂ (7.32)

Donde

2 2

22 2E E

x y⊥

⎛ ⎞∂ ∂∇ = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

(7.33)

Sustituyendo la Ec. (7.30) en la Ec. (7.33), resulta que:

(7.34)

Figura 7.1. Algoritmo para resolver la ecuación de Helmholtz remplazando la fibra por un sistema de lentes.

( )2 , ,E x y z⊥∇ ( )( )2 2, , zjk zx y x yk k z k k eφ − −

Espacio x,y,z

Vectores de onda kx, ky

128

Lo que significa que la operación ( )2 , ,E x y z⊥∇ en el espacio de x,y y z, es

equivalente a multiplicar el campo en el espacio de los vectores de onda por ( )2 2x yk k− − ,

donde la transformada de Fourier realiza la transformación del espacio de x,y y z al espacio

de los vectores de onda.

La amplitud de ( ), ,x yE k k z puede ser obtenida de la distribución de campo

eléctrico ( ), ,E x y z tomando la transformada de Fourier de la Ec. (7.30):

( ) 1, , ( , , ) ( , , )2

yx z zjk yjk x jk z jk zx yE k k z x y z e e e dxdy F x y z eφ φ

π∞ ∞ −− − −

−∞ −∞⎡ ⎤= = ⎣ ⎦∫ ∫ (7.35)

donde F representa la operación de la transformada de Fourier.

Si tenemos ( , ,0)E x y como condición inicial en 0z = , el algoritmo para calcular el

campo en un plano arbitrario a lo largo del eje z puede ser obtenido por la combinación de

las Ecs. (7.30) y (7.35):

[ ]1( , , ) ( , ,0) zjk zE x y z F F x y eφ −− ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (7.36)

1F − representa la operación de la transformada inversa de Fourier. Este es el operador de

difracción que representa la propagación en un medio caracterizado por un índice de

refracción n [31].

El efecto de la variación del índice ( ),n x y en el campo cuando se propaga una

distancia z∆ , es una pequeña perturbación en la fase del frente de onda. Este efecto es

descrito multiplicando el campo por un operador corrector (lente) definido por ( )ojk n ze − ∆ ∆ ,

donde ez n n∆ = − .

El algoritmo para resolver la ecuación de Helmholtz remplaza la fibra por un

sistema de lentes como se muestra en la figura 7.1. Entre los lentes el campo satisface la

ecuación de Helmholtz para un medio homogéneo. La propagación del campo a lo largo de

una distancia arbitraria z es llevada acabo a través de varios pasos discretos de distancia

129

z∆ , por una combinación de operadores de lente y de difracción, y es expresado por la

ecuación:

[ ]1 12 2( , , ) ( , ,0)z zo o e

z zik ikjk n z jk n zE x y z F e F e F e F x y eφ∆ ∆

− −− ∆ ∆ − ∆− −⎧ ⎫⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪⎪∆ = ⎨ ⎨ ⎬⎬⎢ ⎥

⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭ (7.37)

donde el primer paso de propagación está dado por:

[ ]1 2, , ( , ,0)2

zo e

zik jk n zzE x y F e F x y eφ∆

− − ∆− ⎡ ⎤∆⎛ ⎞ = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎣ ⎦

(7.38)

7.4.1. Solución basada en la transformada discreta de Fourier (TDF).

El método de propagación del haz (BPM) puede ser implementado numéricamente

usando la transformada discreta de Fourier. La sección transversal del dominio espacial de

interés, de dimensiones L x L es dividido en una malla de 2N puntos discretos, que debe

incluir el la estructura de la guía de onda y las ondas evanescentes de los modos de

propagación [39]. Cada celda tiene dimensiones x y∆ ∆ , siendo /x y L N∆ = ∆ = , ver figura

7.2.

La solución del campo eléctrico dado por la Ec. (7.30) puede ser descrita por una

serie finita de Fourier en dos dimensiones en términos de las frecuencias espaciales [39]:

x

y

x∆ y∆

L

L

Figura 7.2. Malla computacional del dominio especial de interés de L x L con N puntos discretos.

130

( )22 2

1 12 2

( ) ( ) ( )z z

N N

j mu nvjk z jk zNmn uv uv

N Nu v

E z z e e TDFI z eπ

φ φ+ −

=− + =− +

⎡ ⎤= = ⎣ ⎦∑ ∑ (7.39)

donde las coordenadas espaciales x e y son expresadas como [39]:

Lx m x mN

= ∆ = Ly n y nN

= ∆ = (7.40)

Las frecuencias espaciales discretas xk y yk , son expresadas como:

2xk u

Lπ

= 2yk v

Lπ

= (7.41)

La Ec. (7.35) expresada en términos de la transformada discreta de Fourier es:

( ) ( ) ( )2

21 1

1(0 ) 0 0N N j m u n v

Nu v m n m n

m nE e T D F

N

π

φ φ− +

= =

= = ⎡ ⎤⎣ ⎦∑ ∑ (7.42)

La propagación a través de un paso z∆ inicia con una propagación en el medio

homogéneo para una distancia de 2z∆ , esta puede ser calculada usando la Ec. (7.38) en

forma discreta:

( )22 2

2

1 12 2

(0 )2

z

N N

j m u n vjk z Nm n u v

N Nu v

zE z e eπ

φ+∆

= − + = − +

∆⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ (7.43)

El siguiente paso es calcular el cambio de fase inducido por la inhomogeneidad del

medio debida a la distribución de índice de refracción ( ),n x y . El operador de lente

corrector actúa sobre el campo y la expansión en serie para este caso es:

( ) ( ) ( )2

21 1

12

oN N j mu nvjk n z N

uv mnm n

zE z z z e eN

π

φ− +− ∆ ∆

= =

∆⎛ ⎞+∆ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑∑ (7.44)

Finalmente, la propagación a través del paso discreto z∆ termina con la propagación

de 2z∆ en un medio homogéneo. Este paso de propagación es descrito por:

( ) ( )22 22

1 12 2

( ) z

N Nz j mu nvjk

Nmn uv

N Nu v

E z z z z e eπ

φ∆ +

=− + =− +

+ ∆ = + ∆∑ ∑ (7.45)

Con esta secuencia es posible calcular el campo eléctrico de un plano perpendicular

arbitrario al eje z, combinados pasos de longitud z∆ , hasta la distancia z deseada.

131

La implementación directa de las Ecs. (7.43)-(7.45) involucra un número de

cálculos proporcional a N3 [39], el uso de la transformada rápida de Fourier (FFT) permite

reducir el número de cálculos en una proporción de 22logN N [43].

7.5. Análisis del Filtro con rejilla de Bragg.

Una fibra con rejilla de Bragg esta construida de una pequeña sección de fibra que

ha sido modificada. El núcleo tiene un arreglo periódico de dientes con un ancho y una

profundidad determinada. El resultado es, que la luz de una determinada longitud de onda

propagándose a través de él, es reflejada. En la figura 7.3 se muestra una fibra con rejilla de

Bragg y el efecto que los dientes de éste causan a una onda de luz incidente. Tiene

aplicación en sistemas WDM como filtro para sacar canales de la fibra.

.

Sea 0 10

2 nπβλ

= la onda incidente propagándose de izquierda a derecha en la figura 7.3, la

energía de esta onda es acoplada con una onda dispersada de la misma longitud de onda

viajando en la dirección opuesta, lo que resulta en:

( )0 0 022 πβ β β− = =Λ

(7.46)

donde 0λ es la longitud de onda, 1n el índice de la fibra óptica y Λ el período de los dientes.

La onda reflejada tiene una longitud de onda Bλ , ésta es la longitud de onda de

Bragg dada por [3]:

12B nλ = Λ

Figura 7.3. Efecto de los dientes del filtro en la onda incidente.

Onda incidente

Onda reflejada

Λ

Fibra óptica

n1 n2

p

a

132

Los parámetros que hacen variar el comportamiento de la propagación del campo

electromagnético dentro del filtro son: el período Λ, el ancho a y la profundidad p de los

dientes. El período de una FBG para una longitud de onda de Bragg de 1.55 µm es

aproximadamente 0.535 µm [44].

Se implemento el algoritmo descrito en la sección 7.4.1 para obtener el

comportamiento del campo electromagnético dentro de un filtro con rejilla de Bragg, como

el mostrado en la figura 7.3. Se empleó la fibra óptica monomodo SMF-28e de Corning

[13], con un radio de núcleo de 2.5 µm, índice de refracción de núcleo 1.4681n = , índice

del recubrimiento 1.4615en = y una apertura numérica 0.14AN = . Para el campo de

entrada del filtro se consideró la distribución de campo de la solución del modo

fundamental obtenida en la sección 2.2.2., la cual esta dada la función de Bessel de primer

tipo de orden cero.

Figura 7.4. Comportamiento del campo dentro del filtro variando el período de los dientes

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.9977

0.9977

0.9977

0.9977

0.9977

0.9977

0.9977

0.9977variando el periodo de los dientes con profundidad 0.5 um y ancho de 0.2 um

Distancia (µm)

Inte

nsid

ad d

el c

ampo

Sin dientes0.25 um0.5 um1 um

133

En la figura 7.4 se muestra el comportamiento del campo dentro del filtro para períodos

de los dientes de 0.25 µm, 0.5 µm y 1 µm, para dientes con un ancho de 0.2 µm y una

profundidad de 0.5 µm. De la figura 7.4 se puede observar que el efecto de la variación del

período de los dientes, causa una variación proporcional de las zonas de interferencia

constructiva y destructiva del campo, a mayor período mayor es la longitud de las zonas de

interferencia. La línea continua es el comportamiento del campo al propagarse por la fibra

óptica sin dientes. El campo electromagnético se propago una distancia de 100 µm

En la figura 7.5 se muestra el comportamiento del campo dentro del filtro para

profundidades de los dientes de 0.3 µm, 0.5 µm y 0.7 µm, para dientes con un ancho de 0.5

µm y un período de 1 µm. De la figura 7.5 se puede observar que el efecto de la variación

de la profundidad de los dientes es la atenuación del campo, a mayor profundidad mayor es

la atenuación que el filtro presenta a la propagación del campo. El campo electromagnético

se propago una distancia de 100 µm.

Figura 7.5. Comportamiento del campo dentro del filtro variando la profundidad de los dientes

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.9977

0.9977

0.9977

0.9977

0.9977

0.9977

0.9977variando el la profundidad de los dientes con periodo 1 um y ancho de diente de 0.5 um

Distancia (µm)

Inte

nsid

ad d

el c

ampo

Sin dientes0.3 um0.5 um0.7 um

134

En la figura 7.6 se muestra el comportamiento del campo dentro del filtro para

anchos de los dientes de 0.1 µm, 0.2 µm y 0.4 µm, para dientes con una profundidad de

0.5 µm y un período de 0.5 µm. De la figura 7.6 se puede observar que el efecto de la

variación del ancho de los dientes en el campo, lo cual causa una variación inversamente

proporcional de la zonas de interferencia constructiva y destructiva del campo. A mayor

ancho de diente menor es la longitud de las zonas de interferencia. El campo

electromagnético se propago una distancia de 100 µm.

Se desarrolló un algoritmo numérico empleando el Método de Propagación del Haz

(BPM). Se aplicó a un filtro con rejilla de Bragg para obtener el comportamiento del campo

electromagnético dentro de éste. Se obtuvo el comportamiento del campo para diferentes

períodos de diente, anchos de diente y profundidad de diente. De lo que se observó que a

mayor profundidad de los dientes, mayor es la atenuación del campo. El efecto en el campo

electromagnético de variar el período y el ancho de los dientes del filtro, es la variación del

de la longitud de las zonas de interferencia constructiva y destructiva del campo. Se

Figura 7.6. Comportamiento del campo dentro del filtro variando el ancho de los dientes

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.9977

0.9977

0.9977

0.9977

0.9977

0.9977

0.9977

0.9977variando el ancho de los dientes con profundidad 0.5 um y periodo de 0.5 um

Distancia (µm)

Inte

nsid

ad d

el c

ampo

Sin dientes0.1 um0.2 um0.4 um

135

consideró como campo inicial la distribución de campo de la solución del modo

fundamental.

El algoritmo se implemento con la transformada discreta de Fourier (TDF) y con la

transformada rápida de Fourier (FFT), para una malla de 128 muestras con

0.1 mx y µ∆ = ∆ = y un paso de propagación de 0.1 mz µ∆ = . El tiempo de procesamiento

para un paso de propagación con la TDF fue de 37 minutos y de 9.6 segundos con la FFT.

Los algoritmos se ejecutaron en una computadora con un procesador de 1.5 GHz y 384 MB

de memoria RAM.

136

CONCLUSIONES

Los efectos lineales de la atenuación y la dispersión cromática, y los efectos no

lineales de la dispersión estimulada de Raman y la dispersión estimulada de Brillouin,

deben ser considerados en el diseño de sistemas de comunicaciones por fibra óptica que

emplean WDM, debido a los problemas que éstos traen consigo.

Los efectos lineales de la atenuación y la dispersión cromática limitan la tasa

máxima de transmisión del sistema. Mientras que la dispersión estimulada de Raman

genera potencia de ruido entre los canales, donde a mayor número de canales mayor es el

ruido por canal que se tiene. Por otro lado, la dispersión estimulada de Brillouin no presenta

problema entre los canales del sistema, ya que permanece dentro del mismo canal que la

genera, aunque limita la potencia de entrada por canal.

Se presentó un algoritmo que calcula los efectos lineales de la atenuación y la

dispersión cromática en un sistema multicanalizado por WDM. Se desarrolló un programa

de cómputo basado en este algoritmo. El programa proporciona como resultado la pérdida

de potencia que sufre cada canal de información al propagarse por la fibra óptica debida a

la atenuación que esta presenta a la señal óptica, el esparcimiento temporal de los canales

debido a la dispersión cromática, y la tasa de máxima de transmisión.

De los resultados del programa (figura 3.12) se observó el efecto de la dispersión

cromática en un sistema multicanalizado, éste hace que los pulsos aumenten su duración

temporal al viajar por la fibra óptica, trayendo como consecuencia que el receptor tenga

problemas para distinguir entre ellos. A mayor distancia de propagación, mayor es el efecto

de la dispersión cromática. Una manera de disminuir la magnitud de este efecto, es

empleando fuentes con mayor coherencia, lo que a su vez implica un costo más elevado del

sistema.

137

Se presentó un algoritmo para el cálculo de los efectos no lineales de la dispersión

estimulada de Raman y la dispersión estimulada de Brillouin. Se desarrolló un programa

de cómputo basado en este algoritmo, el cual arroja como resultado las potencias de ruido

de cada canal debido a la dispersión estimulada de Raman y la potencia límite de entrada

por canal debido a la dispersión estimulada de Brillouin. De los resultados del programa

(figura 4.12), se observó que el canal más afectado por la potencia de ruido del efecto de la

dispersión estimulada de Raman es el canal de mayor longitud de onda, mientras que el

canal de menor longitud de onda no es alterado por este efecto.

Se desarrolló un algoritmo numérico empleando el Método de Propagación del Haz

(BPM). Se aplicó en el análisis del comportamiento del campo electromagnético dentro de

un filtro con rejilla de Bragg, empleando la fibra óptica monomodo SMF-28e de Corning.

Se obtuvo el comportamiento del campo en el centro del filtro para diferentes períodos,

anchos y profundidades de diente. De los resultados obtenidos en la figura 7.5, se observó

que la atenuación que el filtro presenta al campo electromagnético, es mayor al incrementar

la profundidad de los dientes. La variación del período y ancho de los dientes causa una

variación de la longitud de las zonas de interferencia constructiva y destructiva del campo

electromagnético (figuras 7.4 y 7.6). Se consideró como campo inicial la distribución de

campo de la solución del modo fundamental.

El algoritmo se implemento con la transformada discreta de Fourier (TDF) y con la

transformada rápida de Fourier (FFT) para una malla con 128 muestras con

0.1 mx y µ∆ = ∆ = y un paso de propagación de 0.1 mz µ∆ = . El tiempo de procesamiento

para un paso de propagación con la TDF fue de 37 minutos y de 9.6 segundos con la FFT.

Los algoritmos se ejecutaron en una computadora con un procesador de 1.5 GHz de

velocidad y 384 MB de memoria RAM.

Como trabajo futuro queda el análisis de los efectos lineales y no lineales en señales

ópticas que emplean multicanalización por división de longitudes de onda densa (DWDM).

138

APÉNDICE A. Transmisión de apertura y cierre (OOK).

La modulación OOK también en conocida como ASK1, es una forma de modulación

de amplitud donde la portadora es modulada por un tren de impulsos. Consiste en cambiar

la amplitud de la sinusoide entre dos valores posibles

.

La aplicación más popular de OOK son las transmisiones por fibra óptica, ya que es

muy fácil "prender" y "apagar" el haz de luz; además la fibra soporta las desventajas de los

métodos de modulación de amplitud ya que posee poca atenuación. Otra aplicación es el

cable transoceánico.

A continuación se muestra un ejemplo de un mensaje en banda base y el resultado

de modular en OOK.

Las señales OOK están representadas por [46]: )tcos(A)t(S ccc1 θ+ω= BTt0 ≤≤ ( 1 binario) (A.1) 0)t(S2 = BTt0 ≤≤ ( 0 binario) (A.2) 1 ASK- Modulación por cambio de amplitud

Portadora

Tb Tb Tb

OOK

Off On Off

Data 0

1

139

La energía de la diferencia de señales a la entrada del receptor es

( )[ ]2TA

dt0cosAE b2c

T

0

2cccd

b

=−θ+ω= ∫ (A.3)

El BER2 es

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

o

b

o

b2c

e NE

QN4TA

QP (A.4)

2 BER- Tasa de error de bit

140

APÉNDICE B. Rejilla estándar de la ITU para la banda C.

Espaciamiento en frecuencia

de 50 GHz

Espaciamiento en frecuencia de 100 GHz



de 50 GHz



196.1 196.1 1528.77 194.05 – 1544.92

196.05 – 1529.16 194 194 1545.32 196 196 1529.55 193.95 – 1545.72

195.95 – 1529.94 193.9 193.9 1546.12 195.9 195.9 1530.33 193.85 – 1546.52

195.85 – 1530.72 193.8 193.8 1546.92 195.8 195.8 1531.12 193.75 – 1547.32

195.75 – 1531.51 193.7 193.7 1547.72 195.7 195.7 1531.9 193.65 – 1548.11

195.65 – 1532.29 193.6 193.6 1548.51 195.6 195.6 1532.68 193.55 – 1548.91

195.55 – 1533.07 193.5 193.5 1549.32 195.5 195.5 1533.47 193.45 – 1549.72

195.45 – 1533.86 193.4 193.4 1550.12 195.4 195.4 1534.25 193.35 – 1550.52

195.35 – 1534.64 193.3 193.3 1550.92 195.3 195.3 1535.04 193.25 – 1551.32

195.25 – 1535.43 193.2 193.2 1551.72 195.2 195.2 1535.82 193.15 – 1552.12

195.15 – 1536.22 193.1 193.1 1552.52 195.1 195.1 1536.61 193.05 – 1552.93

195.05 – 1537 193 193 1553.33 195 195 1537.4 192.95 – 1553.73

194.95 – 1537.79 192.9 192.9 1554.13 194.9 194.9 1538.19 192.85 – 1554.54

194.85 – 1538.58 192.8 192.8 1554.94 194.8 194.8 1538.98 192.75 – 1555.34

194.75 – 1539.37 192.7 192.7 1555.75 194.7 194.7 1539.77 192.65 – 1556.15

194.65 – 1540.16 192.6 192.6 1556.55 194.6 194.6 1540.56 192.55 – 1556.96

194.55 – 1540.95 192.5 192.5 1557.36 194.5 194.5 1541.35 192.45 – 1557.77

194.45 – 1541.75 192.4 192.4 1558.17 194.4 194.4 1542.14 192.35 – 1558.58

194.35 – 1542.54 192.3 192.3 1558.98 194.3 194.3 1542.94 192.25 – 1559.39

194.25 – 1543.33 192.2 192.2 1559.79 194.2 194.2 1543.73 192.15 – 1560.2

194.15 – 1544.13 192.1 192.1 1560.61 194.1 194.1 1544.53

141

APÉNDICE C. Rejilla estándar de la ITU para la banda L.

Espaciamiento

en frecuencia de 50 GHz




de 50 GHz



191.9 191.9 1562.24 189.9 189.90 1578.52 191.85 – 1562.64 189.85 – 1578.92 191.8 191.8 1563.05 189.8 189.80 1579.33 191.75 – 1563.46 189.75 – 1579.74 191.7 191.7 1563.86 189.7 189.70 1580.14 191.65 – 1564.27 189.65 – 1580.55 191.6 191.6 1564.68 189.6 189.60 1580.96 191.55 – 1565.09 189.55 – 1581.37 191.5 191.5 1565.49 189.5 189.50 1581.77 191.45 – 1565.90 189.45 – 1582.18 191.4 191.40 1566.31 189.4 189.40 1582.59 191.35 – 1566.71 189.35 – 1582.99 191.3 191.30 1567.12 189.3 189.30 1583.40 191.25 – 1567.53 189.25 – 1583.81 191.2 191.20 1567.93 189.2 189.20 1584.21 191.15 – 1568.34 189.15 – 1584.62 191.1 191.10 1568.75 189.1 189.10 1585.03 191.05 – 1569.16 189.05 – 1585.44

191 191.00 1569.56 189 189.00 1585.84 190.95 – 1569.97 188.95 – 1586.25 190.9 190.90 1570.38 188.9 188.90 1586.66 190.85 – 1570.78 188.85 – 1587.06 190.8 190.80 1571.19 188.8 188.80 1587.47 190.75 – 1571.60 188.75 – 1587.88 190.7 190.70 1572.00 188.7 188.70 1588.28 190.65 – 1572.41 188.65 – 1588.69 190.6 190.60 1572.82 188.6 188.6 1589.10 190.55 – 1573.23 188.55 – 1589.51 190.5 190.50 1573.63 188.5 188.5 1589.91 190.45 – 1574.04 188.45 – 1590.32 190.4 190.40 1574.45 188.4 188.4 1590.73 190.35 – 1574.85 188.35 – 1591.13 190.3 190.30 1575.26 188.3 188.3 1591.54 190.25 – 1575.67 188.25 – 1591.95 190.2 190.20 1576.07 188.2 188.2 1592.35 190.15 – 1576.48 188.15 – 1592.76 190.1 190.10 1576.89 188.1 188.10 1593.17 190.05 – 1577.30 188.05 – 1593.58

190 190.00 1577.70 188 188.00 1593.98 189.95 – 1578.11 187.95 – 1594.39

142

Análisis de multicanalización en comunicaciones ópticas.

Omar Ivan Gaxiola Sánchez Miguel A. Álvarez Cabanillas

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL. IPN Centro de investigación y desarrollo de tecnología digital. CITEDI

Av. del parque 1310. Mesa de Otay; Tijuana, Baja California, México, 22510. [email protected] [email protected]

Resumen

El objetivo de este trabajo es analizar la multicanalización por longitudes de onda (WDM) en un sistema de comunicaciones por fibra óptica. Se analiza la manera en que WDM hace un uso más eficiente del ancho de banda de la fibra óptica. Se muestra la manera en que los canales de WDM están distribuidos en el espectro, sus frecuencias centrales, y la estabilidad de canal. Se revisan los protocolos más empleados en comunicaciones ópticas: SONET y ATM. Se analizan varias clases de filtros ópticos que pueden ser empleados como divisores de canal; cavidad de Fabry-Perot, fibra con rejilla de Bragg, arreglos de guía de onda, filtro acústico-óptico y filtro de película delgada.

1. Introducción

Las comunicaciones ópticas han demostrado ser el sistema de comunicaciones más eficiente para la transmisión de grandes cantidades de información a pesar de que no han sido empleadas en toda su potencialidad. En la actualidad se están haciendo esfuerzos importantes para incrementar su capacidad a través de nuevos materiales, dispositivos y técnicas de transmisión.

La multicanalización por división de longitud de onda (WDM) es una técnica de transmisión que permite incrementar el número de canales de comunicaciones por una sola fibra óptica. Se le asocia a cada canal una longitud de onda luminosa, logrando una optimización del ancho de banda de la fibra y teniendo como resultado una mayor tasa de transmisión. Como ejemplo de su aplicación se puede mencionar la red académica Abilene de Internet2 [19]. Esta red trabaja a una velocidad de 10 Gbps (OC-192) entre sus nodos principales.

En la siguiente sección analizaremos un sistema de comunicaciones ópticas con sus

componentes y su funcionamiento. En la tercera sección se revisa la manera en que están acomodados los canales en la multicanalización por división de longitud de onda (WDM), sus frecuencias centrales, su ancho de banda y el espaciamiento entre cada uno de ellos.

En la cuarta sección se presentan diferentes tipos de filtros; como Mach-Zehnder, fibra con rejilla de Bragg, filtro de película delgada y filtro acústico óptico. En la última sección veremos los protocolos de comunicación ópticos más empleados: SONET y ATM. Los protocolos determinan la manera en que los paquetes de información son enviados.

2. Comunicaciones Ópticas.

Las comunicaciones por fibra óptica son una alternativa para transmitir información a tasas altas de transmisión, en el orden de Tbps. En un sistema de comunicaciones ópticas se codifican, modulan y multicanalizan los datos para transmitirlos de una manera más efectiva y segura.

Las componentes del sistema de comunicacio-nes ópticas a grandes rasgos son: el transmisor, el medio de transmisión, que en nuestro caso es fibra óptica, el regenerador y el receptor. En el transmisor se codifica la información, se modula la portadora luminosa de una determinada longitud de onda y se transmite a la fibra.

La señal al viajar por la fibra óptica sufre pérdidas por atenuación, dispersión y efectos no lineales, por lo que es necesario restablecer o redireccionar la señal empleando un regenerador.

La señal al llegar a su destino es procesada por el receptor, el cual hace pasar la señal luminosa a través de un divisor de longitud de onda o de canal. Posteriormente, la señal es demodulada; convirtiendo la señal luminosa en corriente eléctrica y esta se decodifica para obtener la información transmitida.

143

Transmisor La información a transmitirse es codificada

por un protocolo de comunicaciones (SONET, ATM, etc.) para organizarla en la forma que será enviada. Luego, estos datos son modulados por OOK (transmisión por encendido y apagado) y multicanalizados empleando diferentes longitudes de onda para ser enviados por la fibra óptica.

Las fuentes luminosas que se emplean para generar la portadora es el Láser y el LED. Los LED’s son usados para tasas de bits menores de 2.5 Gbps debido a que sus tiempos de respuesta están alrededor de 7 ns [13]. Los lasers pueden ser usados a tasas altas de transmisión, ya que su tiempo de respuesta esta alrededor de 0.1 ns [13]. Además de que el láser produce un haz de luz más coherente que el LED debido a su cavidad resonante.

Con relación a la generadora de la portadora podemos clasificar los lasers en dos tipos: láser sintonizable y láser no sintonizable. Con el láser sintonizable se pueden generar diferentes longitudes de onda, mientras que con un láser no sintonizable esta restringido a generar solo una longitud de onda.

Para la modulación del haz luminoso se pueden considerar dos tipos de moduladores: directo e indirecto. El modulador directo controla directamente la alimentación del LED o láser. El modulador indirecto controla el índice de refracción de un cristal y este a su vez modula la luz alimentada por un láser o LED de onda continua. El esquema de modulación usado en comunicaciones ópticas es el OOK, y se emplea el formato de señal NRZ (no retorno a cero) o RZ (retorno a cero) [7].

La modulación directa a tasas altas de transmisión produce efectos no lineales; como automodulación de fase. El modulador indirecto es más estable y más empleado en sistemas WDM [4]. En el caso de los moduladores ópticos indirectos, se emplean los moduladores de electro-absorción (EAM) y los moduladores con interferómetros de Mach-Zehnder (MZI), entre otros.

Un modulador comercial de electro-absorción (EAM) de Cyoptics [13] puede alcanzar hasta 125 Km sin necesidad de regeneradores [14]. Su tasa de transmisión es de 10 Gbps con pérdidas por dispersión menores a 2dB. Para el caso del modulador MZI comercial de Fujitsu [13], hecho de

Niobato de Litio (LiNbO3), puede alcanzar una velocidad de modulación de 12.5 Gbps.

Después de la modulación, la señal es multicanalizada y enviada a través de la fibra óptica. La fibra óptica es clasificada en base a su apertura numérica en: multimodo y monomodo. En la fibra óptica multimodo, el haz luminoso se propaga por múltiples reflexiones con pérdidas de alrededor de 0.7 dB/Km [8]. En la fibra óptica monomodo solo se tiene un modo de propagación, con pérdidas de alrededor de 0.4 dB/Km [8]. La fibra óptica monomodo es la que ofrece mayor capacidad de transporte.

Las fibras ópticas son hechas de vidrio contaminado con cierta clase de impurezas para controlar su índice de refracción. Se emplea Germanio (Ge), Titanio (Ti) o Fósforo (P) como contaminadores para incrementar el índice de refracción y Boro (B) o Flúor (F) para disminuir el índice de refracción [16].

En la figura 2.1 se tiene la curva de atenuación de dos fibras ópticas monomodo de Corning [13]. La fibra SMF 28 tiene un pico de atenuación en 1380 nm, con una atenuación de 0.55 dB/Km. Este pico de atenuación es debido a las moléculas de hidroxilo (OH) que quedan en la fibra en el proceso de fabricación. Para disminuir este pico de atenuación Corning empleó un proceso de deposición externa por vapor (OVD- Outside Vapor Deposition). Con esta técnica fabrica la fibra óptica SMF-28e, la cual produce una fibra ultra pura totalmente sintética con 0.35 dB/Km como máxima atenuación [13].

Regeneradores. Se pueden considerar tres tipos de

regeneradores: El que solo amplifica la señal (1R), El


Ate

nuac

iónn

dB

/Km

Figura 2.1. Atenuación de las fibras ópticas SMF 28 y SMF 28e de Corning.

144

que reconstruye la envolvente y amplifica (2R), y el que reconstruye el código y amplifica (3R).

El 1R regenerador puede ser opto-electrónico o completamente óptico. El regenerador 1R opto-electrónico convierte la señal óptica en señal eléctrica, la cual es empleada para modular el haz luminoso de la fuente luminosa. De esta forma la potencia luminosa de la señal es restablecida para ser enviada de nuevo por la fibra óptica. En el regenerador 1R completamente óptico, la amplificación de la señal luminosa se hace sin llevar a cabo la conversión óptico-eléctrica empleando la fibra amplificadora dopada de Erbio (EDFA). El regenerador 1R amplifica también los ruidos que adquiere la señal en el canal.

El regenerador 2R amplifica la señal y reconstruye la envolvente. Es básicamente un regenerador 1R, más una etapa de comparación para la reconstrucción de la envolvente. Una limitante de este tipo de regenerador, es que puede agregar fluctuaciones de frecuencia a la señal. Este tipo de regenerador es opto-electrónico, no han sido desarrollados regeneradores 2R completamente ópticos para manejar tasas elevadas de información.

El regenerador 3R amplifica y recupera completamente la señal (envolvente y sincronía), eliminando los ruidos que adquiere la señal en el canal. El regenerador 3R, básicamente es un regenerador 2R con unas etapas más. En estas etapas se hace procesamiento de la señal, para recuperar la señal de reloj y la sincronía de la señal. Este tipo de regenerador solo se ha implementado en forma opto-electrónica.

Receptor. El receptor recupera la información de la señal luminosa y emplea divisores de canal para separar los canales de información de la señal multicanalizada. El receptor detecta los pulsos

ópticos y los convierte en pulsos eléctricos, empleando un fotodiodo PIN o un fotodiodo de avalancha. Los fotodiodos PIN son más rápidos que los fotodiodos de avalancha, pero los fotodiodos de avalancha tienen una mayor sensitividad. Un fotodiodo PIN de Fujitsu [13] de 12.5 Gbps tiene una sensibilidad de -19dBm, mientras un fotodiodo de avalancha de Cyoptics de 10 Gbps tiene una sensibilidad de -27dBm.

3. Multicanalización por división de longitudes de onda (WDM).

La multicanalización por longitudes de onda (WDM) es el proceso de asociar a cada canal una longitud de onda. Todas las longitudes de onda son transmitidas por la misma fibra. Este proceso crea muchos canales en la fibra, cada uno capaz de llevar una señal diferente.

La Unión Internacional de Telecomunica-ciones (ITU) especifica las frecuencias centrales de cada canal de comunicación (longitudes de onda), la estabilidad de cada canal, la separación entre canales y el número de canales de información (longitudes de onda que se pueden multicanalizar).

La ITU tiene estandarizados espaciamiento entre canales de 100 y 50 GHz para sistemas WDM. En la figura 3.1 se muestra la rejilla estandar para la ITU y en la tabla 1 los datos para separaciones de frecuencia entre canales de 100GHz y 50 GHz [7]. Tabla .1. Datos para espaciamiento de frecuencia entre canales 100 y 50 GHz

Espaciamiento en frecuencia entre canales

Espaciamiento de longitud de

onda entre canales

Ancho de banda

Número de canales

100 GHz 0.8 nm 25 GHz 110

40 (Banda C) y 70 (Banda L)

50 GHz 0.4 nm 25 GHz 220

80 (Banda C) y 140 (Banda L)

Para alcanzar capacidades altas de

transmisión, se debe incrementar la eficiencia espectral. La eficiencia espectral es el promedio de la capacidad dividida por el espaciamiento entre canales, esto es, la densidad de señal WDM. La máxima densidad espectral en un sistema WDM práctico puede ser de 0.4 bit/s/Hz, en el cual señales

λ

f

1530 nm 1565 nm 1625 nm 196.07 THz 191.7 THz 184.61 THz

Banda L Banda C

Figura 3.1 Rejilla estandar de la ITU para una separación de 100 GHz.

145

Cavidad 1

Cavidad 2

Cavidad 3

Sustrato de cristal

Reflector dieléctrico

. Figura 4.2. Filtro de película delgada de tres cavidades .

H aces reflejados

Haz transmitido

Haz incidente

Figura 4.2. Filtro de pelicula delgada de tres cavidades.

ópticas a 40 Gb/s son multiplexadas con un espaciamiento entre canales de 100 GHz [18].

Para comunicaciones ópticas solo se utilizan las bandas del infrarrojo del espectro electromagnético que van desde 820 a 1620 nm. La primera banda que va de 820 nm a 900 nm, la banda S va 1280 nm a 1350, la banda C de 1528 nm a 1561 nm, la banda L 1561 nm a 1620 nm y la quinta banda 1350 nm a 1528 nm. En WDM se utilizan las bandas C y L porque las fibras ópticas comerciales presentan menos pérdida en estas bandas. En la curva de atenuación de la figura 2.1 se puede ver la pérdida por absorción que tiene la fibra óptica monomodo SMF-28e de Corning, alrededor de 0.2 dB/Km. 4. Divisores de canales. La multicanalización por división de longitudes de onda emplea varios canales de comunicación (varias longitudes de onda) en una sola fibra óptica. Para separar las longitudes de onda (canales de información) que van multicanalizados por la fibra óptica se emplean los divisores de canal. Con ellos podemos separar uno o varios canales de la señal multicanalizada.

Como divisores de canal se pueden emplear el filtro de cavidad de Fabry Perot, filtro de película delgada, interferómetro de Mach-Zehnder, fibra con rejilla de Bragg, un arreglo de guías de onda o un filtro acústico-óptico.

El Filtro de cavidad de Fabry-Perot, también llamado interferómetro de Fabry-Perot o etalon, esta formado de dos superficies paralelas separadas por media longitud de onda. Una de las superficies es más opaca, dejando pasar solo las señales que alcancen una determinada intensidad. La única que logra alcanzar esta intensidad es aquella que tiene interferencia constructiva. El principio de operación

es mostrado en la figura 4.1. La compañía Micron Optics Inc. [13] fabrica una serie de filtros Truetalon con la cavidad de Fabry-Perot. Estos filtros se pueden sintonizar en las bandas S, C y L, con una pérdida menor a 2.5 dB.

El filtro de película delgada emplea múltiples

cavidades de Fabry-Perot separadas por capas delgadas de material dieléctrico reflector. El filtro es estable a variaciones de temperatura con poca pérdida y es insensible a la polarización de la señal [4]. Algunas compañías han demostrado filtros de película delgada para anchos de canales de 25 GHz (0.2 nm) y capaces de trasmitir 8 canales espaciados a 100 GHZ, reflejando todos los canales adyacentes [17].

El interferómetro de Mach-Zehnder (MZI)

(figura 4.3) consiste de dos acopladores pasivos conectados en tandem. Los acopladores están igualmente balanceados y la entrada de potencia es dividida entre los dos brazos. Un brazo tiene una longitud mayor, lo que causa que al propagarse las señales a través de ellos llegan desplazadas en fase. Este desplazamiento en fase de las señales, causa interferencia destructiva o constructiva bloqueando una longitud de onda. Un MZI es útil en realizar filtrados de banda amplia o divisor de canales pero hay mejores tecnologías para hacer filtrado de banda angostas, como filtros de película delgada. El filtro MZI puede ser usado para separar las longitudes de

Reflexiones

Señal de entrada

Ondas transmitidas

sumadas en fase.

Espejos

Figura 4.1. Principio de operación del filtro de Fabry Perot.

2λ

Entrada 1

Salida 1

Diferencia de longitud , L

Entrada 2 Acoplador 1 Acoplador 2 Salida 2Figura 4.3 Un MZI construido con dos acopladores direccionales de 3 dB.

146

onda entre 1300 y 1500 nm [7]. Una fibra con rejilla de Bragg esta hecha de

una pequeña sección de fibra que ha sido modificada exponiéndola a radiación ultravioleta para crear cambios periódicos en el índice de refracción de la fibra. El resultado es que la luz de una determinada longitud de onda es reflejada. En la figura 4.4 se puede ver una fibra con rejilla de Bragg y el efecto que esta causa a un haz de luz incidente [4]. Tiene aplicación en la mayoría de los sistemas WDM como filtro para sacar canales de la fibra y para compensación de la dispersión [15]. Stockeryale [13] fabrica un filtro óptico con rejilla de Bragg CMS-1550-R2 con una frecuencia de corte de 1200 nm ± 50 nm con una pérdida de 30 dB/Km a 1550 nm.

El arreglo de guías de onda es una

generalización del interferómetro de Mach-Zehnder. Consiste de múltiples guías de onda de diferentes longitudes convergiendo al mismo punto. Las señales pasan a través de cada una de las guías de onda, en el acoplador de salida se interfieren constructiva o destructivamente con las demás longitudes de onda de las otras guías de onda. En la figura 4.5 se ilustra este dispositivo. Los arreglos de guías de onda tienen la ventaja de tamaño sobre las rejillas de Bragg. Cada rejilla de Bragg soporta solo una longitud de onda y ocupa el mismo espacio físico que un arreglo de guías de onda de 8λ [4].

El filtro acusto-óptico esta basado en el principio de Bragg, solo las ondas que cumplan con

la condición de Bragg pasaran a través del filtro. Se crean una serie de ondas ultrasónicas en la guía de onda de cristal de dióxido de Telurio (TeO2). Las ondas ultrasónicas son ondas longitudinales que forman zonas de compresión y refracción. Estas zonas de compresiones y refracciones son equivalentes a regiones de alto y bajo índice de refracción. Los cambios de índice de refracción hacen que diferentes longitudes de onda de la luz incidente se difracten, estas longitudes de onda difractadas son los canales de información [4]. La compañía Moltech fabrica un filtro acusto-óptico sintonizable (MT-1214) con un rango espectral de 1400-1700 nm [13]. Este filtro es fabricado con TeO2.

5. Protocolos de comunicación. Los protocolos de comunicación SONET y

ATM son técnicas que arreglan grandes cantidades de información para ser transmitidas en forma eficiente. Estos protocolos están formados por paquetes o tramas que llevan la información, datos de control de errores, direcciones, etc.

SONET se ideo para proporcionar una

especificación que aproveche las ventajas que proporciona la transmisión digital de alta velocidad a través de fibra óptica. Usa un esquema de transmisión

λ 1 λ 2

λ 3

λ 4

λ n

Guía de onda de entrada

Acoplador de entrada

Acoplador de salida

Guías de onda de salida

Arreglo de guías de onda de diferentes longitudes

Señal compuesta

λ1

λ3

λn

.

.

.

.

... Señales de canales individuales

Figura 4.5. Arreglo de guías de onda.

1 2 3 4 5 30 59 90

Rut

a

Carga útil

12 3

8 9

9 Renglones

90 columnas

125 µ s / 9

Enca

beza

do d

e tra

nspo

rte

Fijo

Fijo

Figura 5.1 Celda básica STS-1 de SONET.

RF

Fuente variable

Transductorultrasónico

Guía de onda de Cristal TeO2

λ 1 Difractada

λ 2 Difractada

λ n Difractada

Absorbedor ultrasónico

Ondas viajeras ultrasónicas

Luz incidente

Figura 4.6 Filtro acusto-óptico sintonisable.

Recubrimiento

Índice de refracción = n2

Núcleo

Fibra

λ1

Índice de refracción = n3

Índice de refracción = n1 λ3 λ4λ 1 λ 3 λ 4 λ 2

λ 2 Figura 4.4 Fibra con rejilla de Bragg

147

síncrono, que transmite una celda cada 125 µs con una tasa de transmisión total de 51.840 Mbps. STS-1 es la celda básica de SONET, es lógicamente organizada como una serie de bytes de dos dimensiones formada por 9 renglones y 90 columnas (figura 5.1). La celda básica STS-1 puede ser multiplexada para formar un STS-192 que puede llevar 10 Gbps por un solo canal de información (una sola longitud de onda).

Con WDM y SONET se pueden lograr tasas de transmisión de 10 Gbps (OC-192), como lo es el caso de la red Abilene de Internet 2.

El modo de Transferencia Asíncrono (ATM) es un protocolo de conmutación de muy alta velocidad, capaz de soportar aplicaciones multimedia de tráfico de datos, voz y video. Usa pequeñas unidades de longitud fija, llamadas células, para transferir los datos. La celda básica de ATM esta formada por 53 bytes, 5 bytes de cabecera y 48 bytes de información. Los paquetes de datos son segmentados en células antes de ser colocados en el medio de transmisión y son reensamblados subsecuentemente en el destino. La combinación de WDM y ATM mejora el ancho de banda y la calidad de servicio de una manera conveniente [20].

6. Conclusiones.

En este trabajo se analizó un sistema de comunicaciones ópticas incluyendo sus dispositivos, medio de transmisión, multicanalización y protocolos de transmisión óptica. El sistema emplea WDM como técnica de muticanalización. Este proceso crea muchos canales en la fibra óptica, cada uno capaz de llevar una señal diferente. Se presentaron algunos ejemplos moduladores fabricados con sus especificaciones, así como de dispositivos que se emplean para la multicanalización. Se revisaron los protocolos de comunicación más empleados con WDM los cuales son SONET o ATM.

. Referencias.

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[2] U. Black, Optical networks. Third generation transport systems. Prentice Hall 2002.

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[4] CISCO systems, Optical network design and implementation. A compressive guide to understanding and configuring multiservice DWDM, SONET, and SDH architectures. CISCO Press 2004. pp 91-120.

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