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UNIVERSIDAD JUREZ AUTNOMA DE TABASCO
DIVISIN ACADMICA DE INGENIERA Y
ARQUITECTURA
ANLISIS DE TRANSFERENCIA DE ESFUERZO EN
MODELO DE FIBRA SIMPLE UTILIZANDO
FOTOMECNICA
TRABAJO RECEPCIONAL BAJO MODALIDAD DE:TESIS
PRESENTA:
ENRIQUE ALEJANDRO OVANDO
COMO REQUISITO PARA OBTENER EL TTULO DE:INGENIERO QUMICO
ASESOR:
DR. JOS MANUEL VZQUEZ RODRGUEZ
COASESOR:M.E. GERARDO CHVEZ ARCINIEGA
CUNDUACN, TABASCO AGOSTO DE 2011
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CARTA DE AUTORIZACIN
El que suscribe, autoriza por medio del presente escrito a la Universidad Jurez
Autnoma de Tabasco para que utilice tanto fsica como digitalmente la tesis de
grado denominada " ANLISIS DE TRANSFERENCIA DE ESFUERZO EN
MODELO DE FIBRA SIMPLE USANDO FOTOMECNICA", de la cual soy autor y
titular de los Derechos de Autor.
La finalidad del uso por parte de la Universidad Jurez Autnoma de Tabasco de
la tesis antes mencionada, ser nica y exclusivamente para difusin, educacin ysin fines de lucro; autorizacin que se hace de manera enunciativa ms no
limitativa para subirla a la Red Abierta de Bibliotecas Digitales (RABID) y a
cualquier otra red acadmica con las que la Universidad tenga relacin
institucional.
Por lo antes manifestado, libero a la Universidad Jurez Autnoma de Tabasco de
cualquier reclamacin legal que pudiera ejercer respecto al uso y manipulacin de
la tesis mencionada y para los fines estipulados en ste documento.
Se firma la presente autorizacin en la ciudad de Villahermosa, Tabasco a los 08
das del mes de julio del ao 2011.
AUTORIZ
ENRIQUE ALEJANDRO OVANDO
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Anlisis de transferencia de esfuerzo en un modelo de fibra simple utilizando fotomecnica
Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT i
Dedicatorias
A mis padres que afrontaron a mi lado este reto llamado ingeniera qumica, y
gracias por su inmenso apoyo y por todo su amor.
A mis hermanos Guadalupe, Fernando, Francisca y Litzy quienes me alentaron e
impulsaron durante esta travesa.
A mi querida hermana Adriana quien durante mucho tiempo ha sido mi confidente
y amiga, te quiero hermanita.
A mi hermosa novia Ana Laura, gracias por soportarme, por quererme y amarme
tanto, gracias por compartir mis sueos, mis ilusiones y fantasas, es en verdad
un privilegio tenerte como mi pareja, agradezco infinitamente a Dios por darme la
dicha de compartir tantos momentos inolvidables a tu lado, te quiero.
A mi ta Brunilda quien ha sido una segunda madre para m, y quien con todo su
cario y amor me ha impulsado durante toda mi carrera.
A mi to Gutember(qepd), que aunque ya no ests con nosotros se que desde el
cielo me apoyas y me alientas a seguir adelante, aun extrao las borracheras a tu
lado, extrao esas plticas tan elocuentes que tenamos en frente a la barda
(cuando me decas homosexual), que para m esos momentos sern inolvidables.
A toda mi familia que se embarc en esta hermosa aventura y encar
estoicamente este desafo a mi lado.
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Anlisis de transferencia de esfuerzo en un modelo de fibra simple utilizando fotomecnica
Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT ii
Agradecimientos
Agradezco infinitamente a la Universidad Jurez Autnoma de Tabasco y a la
Divisin Acadmica de Ingeniera y Arquitectura, por brindarme las herramientas
necesarias para afrontar los retos que impone la ingeniera qumica.
A todos mis maestros por haberme brindado los conocimientos que me permitirn
desarrollarme como profesionista.
Agradezco a mi asesor Jos Manuel Vzquez Rodrguez por permitirme trabajar a
su lado y haberme hecho parte de este maravilloso proyecto.
A mi coasesor Gerardo Chvez Arciniega por su ayuda en la elaboracin de los
moldes y piezas necesarios para la investigacin.
A mis revisores quienes con sus observaciones me permitieron mejorar la calidad
de mi trabajo.
Mencin especial merecen mis amigos, quienes hicieron de esta etapa, la ms
bella experiencia de mi vida.
Gracias mis hermosas amigas y compaeras de proyecto Laura Ramrez Lpez y
Vianey Gmez Lpez.
Agradezco infinitamente a Luis ngel Palma Domnguez (Pinochn, el divino, el
caliente) por ser mi amigo, por acompaarme y ayudarme en la elaboracin de mi
tesis.
Agradezco de igual manera a la Tuzita (Rubn Domnguez de los Santos).
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Anlisis de transferencia de esfuerzo en un modelo de fibra simple utilizando fotomecnica
Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT iii
A Gayvid (Deyvid de la Fuente Castillo), por ser mi confidente y amigo
incondicional.
A Pollo Colunga (Elder de Jess Garca Castro), por los ratos divertidos, y los
chistes mal contados que me hacen rer, gracias por ser un excelente amigo
Al organizador oficial de las fiestas del PUP, Eduardo Lara Hernndez (Tripie,
Larita).
A Jessica Mrquez Len (Gera) por regaarme y decirme mis verdades cuando
me las mereca.
A Lzaro Domnguez Gallegos (Lacho).
A Juan Carlos Lpez Lpez (Radito) por aconsejarme de vez en cuando.
A Susana Mareli Alberto Romero (mare) por tu alegra, por tu cario y que me
hacen sonrer aun en momentos adversos.
A Arianna Paola Javier Trinidad por ser mi amor platnico, te quiero un chingo mi
Ari preciosa.
A mi Simo preciosa (Adriana Caridad Vzquez Ballinas) y a Nayeli Chabl
Almeida pues con su simpata y belleza me alegraban las maanas en mi
laboratorio, gracias por su amistad.
A Susana Vasconcelos Vargas y Ana Mara Ramos Hernndez aunque se sienten
unas muecas.
A Rubn Alejandro Ruiz Eng (Rubenn).
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Anlisis de transferencia de esfuerzo en un modelo de fibra simple utilizando fotomecnica
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A Moiss Antonio Luna Hernndez y Jos Manuel Burelo.
A Esperanza Coronel (perita) y Rosa Mara lvarez Rodrguez (Rosita).
A Lorena Daz Gonzlez (Lorelina jolie) aunque en verdad no te conoc mucho
tiempo, los pocos momentos que te trate me caste muy bien, y te considero una
buena amiga.
Gracias Benjamn Snchez de la Cruz (Gordo), ms que mi mejor amigo y fiel
confidente, te considero casi mi hermano, t me conoces mejor que nadie,
conoces mis secretos, las cosas que me aquejan y creo que en parte comprendes
lo que siento y lo que pienso, gracias por apoyarme en todo momento y porescucharme siempre.
A Elda Irene Beaurregard Martnez por tu cario, por tu apoyo, por tu
comprensin, por tu compaa y por ayudarme en la concepcin de mi tesis,
durante este ltimo ao te convertiste en una persona imprescindible, gracias por
tantos momentos agradables que compartiste conmigo, por escucharme y por
impulsarme a seguir adelante, gracias por todo Irene.
A Yaneth Daz Garca, si bien no colaboraste en la elaboracin de mi trabajo en
verdad fuiste importante para m, me alegraste todas las maanas estos ltimos 5
meses, me hiciste sonrer, sonrojar y suspirar, en verdad me divert mucho
hacindote travesuras, te agradezco el haberme soportado todos estos meses, no
encuentro las palabras adecuadas para describir a la gran persona que veo en ti,
realmente eres una mujer extraordinaria.
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Anlisis de transferencia de esfuerzo en un modelo de fibra simple utilizando fotomecnica
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Resumen
La tcnica experimental llamada fotoelasticidad fue usada para el anlisis de
campos de esfuerzo y deformacin. La luz emitida al propagarse por ciertos
materiales transparentes revela por medio de efectos pticos dichos campos.
Un polariscopio es un arreglo ptico usado para observar patrones fotomecnicos.
Para esta tcnica se emple luz blanca (una longitud de onda de 380 750 nm)
en el polariscopio en campo oscuro.
Las imgenes de los patrones de esfuerzo se usaron para analizar la transferenciade esfuerzos desde la matriz hacia la fibra. El mtodo ms adecuado para obtener
estos patrones es emplear un modelo de fibra simple conformado por una fibra de
polister (nombre comercial TENEX) embebida en una matriz polimrica (resina
epxica ROYAPOX 511 y agente de entrecruzamiento ENDURECEDOR 511).
La fibra fue estirada y tratada con calor en una estufa de vaco a una temperatura
de 90C durante un periodo de 24 h, despus fue embebida en resina epxica. Se
dej curar por espacio de 48 h a temperatura ambiente.
Se elaboraron los especmenes de anlisis al trmino del proceso de curado y
finalmente se llevaron a cabo las pruebas fotomecnicas en un banco fotoelstico
compuesto por un polariscopio lineal de campo oscuro y una mquina de pruebas
universales INSTRON 3384. La probeta fue sometida a carga de tensin y un
cierto tiempo despus el patrn fotoelstico fue fotografiado.
El anlisis del esfuerzo cortante por medio del mtodo fotomecnico no pudo ser
efectuado debido a la ausencia de los rdenes fotoelsticos N en los patrones
experimentales. Las cargas empleadas durante el ensayo fueron desde los 0 N
hasta 163.7 N
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ndice Pgina
Dedicatorias iAgradecimientos ii
Resumen v
ndice vi
Lista de de Figuras viii
Lista de Tablas xi
Introduccin xii
Antecedentes xiii
Justificacin xv
Objetivos xvi
Objetivo General xvi
Objetivos Especficos xvi
Captulo I. Fundamentacin terica del mtodo fotoelstico 1
1.1 Ley del esfuerzo ptico 1
1.2 Patrones de esfuerzo a flexin pura 5
1.3 Naturaleza y comportamiento de la luz 9
1.4 Luz natural y luz polarizada 10
1.4.1 Luz con polarizacin lineal 10
1.4.2 Luz con polarizacin circular 10
1.5 Polariscopio y elementos pticos de polarizacin 11
1.5.1 ptica del polariscopio lineal 12
1.5.2 ptica del polariscopio circular 14
Captulo II. Materiales compuestos 19
2.1 Interfase fibra/matriz 19
2.2 Pruebas micromecnicas 20
2.3 Modelo de transferencia de esfuerzo cortante (Modelo Shear-lag) 22
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Anlisis de transferencia de esfuerzo en un modelo de fibra simple utilizando fotomecnica
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2.3.1 Distribuciones del esfuerzo y de la deformacin 24
2.3.2 Transferencia de esfuerzo entre fibra-matriz 30
Captulo III. Metodologa 33
3.1 Material, equipo y reactivos 33
3.2 Resina epoxica y agente de entrecruzamiento 34
3.3 Anlisis mecnico de la resina 34
3.3.1 Calibracin fotoelstica de la resina 36
3.4 Caracterizacin mecnica de la fibra de polister 38
3.5 Arreglo del polariscopio 38
3.5.1 Calibracin del polariscopio 40
3.6 Elaboracin del modelo de fibra simple 413.7 Esfuerzo cortante usando fotoelasticidad para el modelo de fibra
simple. 42
Captulo IV. Resultados y discusin 44
4.1 Caracterizacin de la fibra de polister 44
4.2 Propiedades mecnicas de la resina epxica 45
4.3 Calibracin fotoelstica de la resina 46
4.4 Esfuerzo cortante por medio de fotoelasticidad para un modelo de
fibra simple 57
Conclusiones 62
Referencias bibliogrficas 63
Anexo A 66
Anexo B 68
Anexo C 70
Anexo D 71
Anexo E 72
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Lista de de Figuras
No. Descripcin Pgina
1. Esquema de flexin. Diagrama de cuerpo libre (a), diagrama de
momentos de flexin (b) y distribucin de esfuerzos (c)[15]. 7
2. Movimiento del vector elctrico en un haz de luz linealmente
polarizado [16]. 11
3. Movimiento del vector elctrico en un haz de luz polarizada
circularmente [16]. 11
4. Modelo fotoelstico sometido a esfuerzos colocado en banco depolarizacin lineal. 13
5. Modelo fotoelstico sometido a esfuerzos colocado en un
polariscopio circular de campo oscuro. 16
6. Ensayos micromecnicos en los que la carga es aplicada
directamente sobre la fibra: Pull-out (a), microgota (b) y push-out
(c) [15]. 21
7. Pruebas micromecnicas en las que la carga es aplicada sobre la
matriz: fragmentacin (a) y prueba de Broutman (b) [15]. 22
8. Esquema del modelo de Shear-lag, (a) modelo libre de fuerzas,
(b) desplazamiento axial uR inducido al aplicar un esfuerzo de
tensin paralelo a la fibra y (c) la variacin radial del esfuerzo
cortante y la deformacin en la matriz [15]. 24
9. Distribucin de esfuerzo cortante interfacial y del esfuerzo a lo
largo de una fibra embebida en una matriz considerando una
transferencia de esfuerzo totalmente elstica [15]. 3110. Distribucin del esfuerzo a tensin en la fibra (a) y del esfuerzo
cortante interfacial (b) para dos relaciones de aspecto L/r = s de
una fibra embebida en una matriz [15]. 32
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Anlisis de transferencia de esfuerzo en un modelo de fibra simple utilizando fotomecnica
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11. Dimensiones del molde para la elaboracin de la placa de resina
epoxica. 35
12. Marco de carga para flexin empleado para calibracin
fotoelastica de la resina epxica [15]. 37
13. Esquema de pruebas a tensin para las fibras en la mquina de
pruebas universales INSTRON 3384[15]. 39
14. Disposicin del banco de polarizacin lineal de campo oscuro con
marco de carga. 39
15. Fibras de polister embebidas en una placa de resina epxica
para la elaboracin de probetas del modelo de fibra simple y
dimensiones del molde. 41
17. Probetas del modelo de fibra simple sometidas a cargas detensin en la mquina de pruebas universales INSTRON 3384. 43
18. Curva de esfuerzodeformacin para una fibra tpica de polister
de acuerdo a la norma ASTM D 2343-67. 44
19. Patrones fotoelsticos de esfuerzo para una probeta sometida a
flexin, a) probeta sometida a carga de 34.4 N, b) probeta
sometida a carga de 65.2 N, c) probeta sometida a carga de 105.5
N, d) probeta sometida a carga de152.1 N, e) probeta sometida a
carga de 208 N. 47
20. Distancia desde el eje de simetra hasta cada uno de los rdenes
para el patrn fotoelstico de una probeta sometida a flexin. 48
21. Grfica de la constante fotoelstica de la probeta 1 en forma de
viga de resina epxica empleando luz blanca. 49
22. Grfica de la constante fotoelstica de la probeta 2 en forma de
viga de resina epxica empleando luz blanca. 51
23. Grfica de la constante fotoelstica de la probeta 3 en forma de
viga de resina epxica empleando luz blanca. 52
24. Grfica de la constante fotoelstica de la probeta 4 en forma de
viga de resina epxica empleando luz blanca. 53
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Anlisis de transferencia de esfuerzo en un modelo de fibra simple utilizando fotomecnica
Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT x
25. Grfica de la constante fotoelstica de la probeta 5 en forma de
viga de resina epxica empleando luz blanca. 55
26. Grfica de la constante fotoelstica de la probeta 6 en forma de
viga de resina epxica empleando luz blanca. 56
27. Modelo de fibra simple libre de esfuerzos. 57
28A. Patrones de esfuerzo fotoelstico de modelo de fibra simple
sometido a cargas de tensin. 58
28B. Patrones de esfuerzo fotoelstico de modelo de fibra simple
sometido a cargas de tensin. 59
29. Comportamiento terico de un modelo de fibra simple sometido a
tensin. 60
30. Elaboracin del molde para la fabricacin de una placa de resinaepxica 70
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Anlisis de transferencia de esfuerzo en un modelo de fibra simple utilizando fotomecnica
Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT xi
Lista de Tablas
No. Descripcin Pgina
1. Materiales y reactivos empleados en el proyecto. 33
2. Materiales y equipos que sern utilizados para la preparacin de
la resina epxica. 33
3. Propiedades mecnicas de la fibra de polister 45
4. Propiedades mecnicas de la resina epxica. 45
5. Valores obtenidos de f para los rdenes fotoelsticos obtenidos
para la probeta 1 usando la Ec. (1.21). 496. Valores obtenidos de f para los rdenes fotoelsticos obtenidos
para la probeta 2 usando la Ec. (1.21). 50
7. Valores obtenidos de f para los rdenes fotoelsticos obtenidos
para la probeta 3 usando la Ec. (1.21). 51
8. Valores obtenidos de f para los rdenes fotoelsticos obtenidos
para la probeta 4 usando la Ec. (1.21). 53
9. Valores obtenidos de f para los rdenes fotoelsticos obtenidos
para la probeta 5 usando la Ec. (1.21) 54
10. Valores obtenidos de f para los rdenes fotoelsticos obtenidos
para la probeta 6 usando la ecuacin 1.21. 56
11. Propiedades mecnicas de fibra de polister 71
12. Propiedades mecnicas de resina epxica 71
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Anlisis de transferencia de esfuerzo en un modelo de fibra simple utilizando fotomecnica
Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT xii
Introduccin
En el diseo de materiales compuestos, la adherencia lograda entre las fases
constituyentes es uno de los parmetros ms importantes. La adherencia se
puede determinar mediante un mtodo micromecnico.
La distribucin de esfuerzos puede ser analizada tambin por medio de sistemas
pticos que generan patrones de franjas de interferencia. Una tcnica de anlisis y
diseo mecnico es la fotoelasticidad, en la que dos haces luminosos con
polarizacin lineal interfieren entre s al propagarse a travs de un material
sometido a una carga. La interferencia de estos haces produce imgenes con
patrones de franjas que muestran la distribucin y el nivel de los esfuerzosgenerados en el material.
La ley de esfuerzo ptico relaciona la propagacin de la luz a travs de diferentes
ndices de refraccin en un material o modelo fotoelstico con la distribucin de
esfuerzos en l al estar sometido a una carga.
El anlisis por medio de un sistema ptico de un modelo de material compuesto
genera imgenes con patrones de franjas que estn relacionadas con la
distribucin de los esfuerzos en todo el modelo. De esta manera se correlacionar
la distribucin de esfuerzos obtenida aplicando la tcnica de fotoelasticidad y la
distribucin equivalente obtenida a partir de las teoras de transferencia de
esfuerzo cortante.
Este trabajo est integrado por cuatro captulos. En el primero se establece la
teora del mtodo fotoelstico. El segundo captulo implica los fundamentos demateriales compuestos, en el tercer captulo se describe el desarrollo
metodolgico de la investigacin, el captulo cuarto expone los resultados y la
discusin de los mismos.
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Anlisis de transferencia de esfuerzo en un modelo de fibra simple utilizando fotomecnica
Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT xiii
Antecedentes
Las tecnologas modernas requieren de materiales innovadores, con una
combinacin inusual de propiedades imposible de conseguir con materiales
convencionales, estas necesidades hacen que las tendencias en el uso de los
diversos tipos de materiales se orienten progresivamente hacia el uso de
materiales compuestos [22-23].
Los materiales compuestos se forman cuando dos o ms materiales se combinan
para formar un material totalmente nuevo con una combinacin inusual de
propiedades imposible de conseguir con materiales tradicionales. Las propiedades
mecnicas de los materiales compuestos estn ntimamente ligadas a parmetrosde interaccin matriz/refuerzo.
Las interacciones entre las fibras y la matriz son extremadamente complejas y no
completamente entendidas. El modelo de transferencia de esfuerzo cortante es
descrito por Cox [18-19] e intenta explicar el proceso de refuerzo de las fibras. Su
investigacin fue desarrollada posteriormente por otros investigadores como
Outwater, Rosen y Dow [20]; que se centran en la transferencia del esfuerzo de
tensin de la matriz a la fibra por medio de fuerzas a cortante [17-19].
Zhao et al [23], plantean en el articulo Photoelastic analysis of matrix stresses
around a high modulus sapphire fibre by means of phase-stepping automated
polariscope que la adhesin interfacial en un modelo de fibra simple compuesto
por una fibra de zafiro y la resina epoxi es relativamente dbil, debido a la rpida
fragmentacin de la interface lograda entre ambos componentes.
Uno de los estudios recientes sobre el anlisis de interfaces en materiales fibro-
reforzados, es descrito por Vzquez Rodrguez [15], en su tesis doctoral Anlisis
de interfaces en materiales compuestos de fibra termoplstica y matriz termofija
por medio de la tcnica de fotoelasticidad, el cual se toma como base para la
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Anlisis de transferencia de esfuerzo en un modelo de fibra simple utilizando fotomecnica
Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT xiv
presente investigacin de describir el diseo del material reforzado con una sola
fibra y los posibles patrones de fotoelasticidad.
Deuschle et al [24] en su trabajo Simulation of photoelasticity in a glass fiber
polymer matrix composite describen el comportamiento de un modelo de fibra
simple mediante simulacin numrica en 3D, tomando como base de apoyo los
patrones de esfuerzo obtenidos mediante la tcnica experimental fotoelasticidad,
sometiendo las probetas de fibra simple a esfuerzo de 10N/mm2, 20N/mm2 y
30N/mm2
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Anlisis de transferencia de esfuerzo en un modelo de fibra simple utilizando fotomecnica
Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT xv
Justificacin
Actualmente muchos de los productos manufacturados que comnmente se
utilizan en nuestra vida diaria son elaborados con base a materiales compuestos.
Cuando los materiales comunes son incapaces de satisfacer las especificaciones
distintas de diseo para una determinada aplicacin, una de las soluciones ms
factibles puede ser emplear un material compuesto, la idea principal del desarrollo
de un material compuesto radica en la combinacin de dos o ms materiales
diferentes para obtener otro con propiedades superiores a la de sus componentes
individuales.
Son ampliamente conocidas las cualidades que posee un material compuesto ylas ventajas de su uso cotidiano, sin embargo se desconoce comportamiento fsico
de la fase de refuerzo y de la distribucin de los esfuerzos a travs de un material
compuesto.
Los estudios de Zhao et al [23] sealan que en un material compuesto de fibra de
zafiro y resina epxica, la zona que posee la mayor cantidad de esfuerzo se
encuentra en la regin ms cercana a los extremos de la fibra. Este hecho ha
propiciado que las investigaciones en el rea de materiales avanzados se centren
en el anlisis de campos de esfuerzos.
La trascendencia de esta investigacin radica en la obtencin de patrones
fotoelsticos de esfuerzo que permitan analizar la distribucin de las cargas en un
material compuesto de fibra simple sometido a cargas de tensin, teniendo como
fundamento principal la necesidad de explicar el comportamiento de las fibras en
un material compuesto fibro-reforzado y el anlisis del nivel de adherencia logradaentre la matriz polimrica (resina epxica) y el material de refuerzo (fibra polister).
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Anlisis de transferencia de esfuerzo en un modelo de fibra simple utilizando fotomecnica
Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT xvi
Objetivos
Objetivo General
Obtener patrones fotoelsticos que permitan analizar la distribucin del
esfuerzo y la adherencia interfacial en materiales compuestos de fibra
simple de resina epxica y fibra de polister usando el mtodo
fotomecnico. Siendo la finalidad principal del estudio la evaluacin de la
adherencia de los materiales para su empleo como recubrimientos y
aislantes trmicos.
Objetivos Especficos
Realizar la caracterizacin mecnica de la resina epxica.
Obtener las propiedades mecnicas de la fase de refuerzo (fibra de
polister) empleada en modelo de fibra simple.
Analizar la adherencia lograda entre los materiales constituyentes del
modelo de fibra simple.
Analizar la factibilidad en el uso del material compuesto como revestimiento
anticorrosivo y aislante trmico con base a los resultados de adherencia
interfacial obtenidos durante el estudio.
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Anlisis de transferencia de esfuerzo en un modelo de fibra simple utilizando fotomecnica
Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT 1
Captulo I. Fundamentacin terica del mtodo fotoelstico
Fotoelasticidad es un mtodo experimental que se emplea en mecnica de
materiales para el anlisis de campos de esfuerzo y deformacin [1, 2].
1.1Ley del esfuerzo ptico
Casi todos los materiales poseen la propiedad de doble refraccin temporal bajo
carga. Dependiendo del material, el fenmeno puede deberse a esfuerzos,
deformaciones, o ambas. La doble refraccin temporal, tambin es denominada
birrefringencia inducida. Al igual que los cristales, los materiales polimricos tienenla capacidad de separar un haz de luz en dos componentes ortogonales con
polarizacin lineal, los cuales se propagan a diferente velocidad. El efecto de
doble refraccin temporal fue observada por primera vez en 1816 por Brewster [1],
siendo sta la caracterstica fsica base de la fotoelasticidad.
En general, un sistema de esfuerzo tridimensional posee tres esfuerzos principales
y tres direcciones en cualquier punto del material. En un cuerpo con doblerefraccin temporal, las direcciones de los esfuerzos principales coinciden con los
ndices de refraccin en las direcciones de los ejes cristalogrficos del material.
Maxwell formul las ecuaciones que relacionan a los esfuerzos aplicados con los
ndices de refraccin para materiales con birrefringencia inducida [3]:
322111
CCnn (1.1)
132212
CCnn (1.2)
212313
CCnn (1.3)
donde n es elndice de refraccin del material en su estado pticamente
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Anlisis de transferencia de esfuerzo en un modelo de fibra simple utilizando fotomecnica
Licenciatura en ingeniera qumica DAIA - UJAT 2
isotrpico, n1, n2, n3 son losndices de refraccin para las ondas propagndose en
direccin paralela a los esfuerzos principales (no isotrpicos), 1, 2, 3, son los
esfuerzos principales y C1, C2 son los coeficientes de esfuerzo ptico para un
material especfico.
Las ecuaciones anteriores fueron deducidas para materiales cristalinos, sin
embargo, pueden ser aplicadas a polmeros que permiten la refraccin de la luz.
Arreglando las Ecs. (1.1), (1.2) y (1.3) como diferencias de ndices de refraccin
no isotrpicos y eliminando nse obtiene:
212121
CCnn
21 C ,
donde 21
CCC es el coeficiente relativo de esfuerzo ptico.
De la misma manera:
3131
Cnn (1.5)
3232 Cnn (1.6)
Las Ecs. (1.5) y (1.6) relacionan los ndices de refraccin en las direcciones de los
esfuerzos principales que actan en el sistema. De manera que si el esfuerzo
normal al material es constante, y el sistema de esfuerzos a travs del mismo no
vara, la diferencia entre los ndices de refraccin inducidos por el esfuerzo ser
constante y el material actuar como una placa de retardo temporal. Entonces una
luz polarizada propagndose a travs del material, se separar en dos hacesortogonales con polarizacin lineal, que acumularn un retardo relativo entre ellos
a causa del esfuerzo aplicado; as, definiendo al retraso lineal relativo como:
21LCh , (1.7)
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Donde hL es el espesor de la probeta o la distancia recorrida por el haz de luz en
la probeta.
Las diferencias de los ndices de refraccin producen el retraso del haz que pasa
por el material. Planteando un sistema de esfuerzos en dos direcciones, el retraso
angular en radianes estara expresado de la siguiente forma:
21L C
h2R
(1.8)
2R , (1.9)
donde; R es el cambio de fase angular (retardo en radianes) entre los dos
componentes vectoriales de las ondas propagndose despus de pasar por el
material bajo carga y es la longitud de onda de la luz empleada.
La Ec. (1.8) representa la ley de esfuerzo ptico y es la base de la fotoelasticidad.
Esta ley establece que el cambio de fase angular R es linealmente proporcional a
la diferencia entre los esfuerzos principales 1 - 2 y al espesor hL del material einversamente proporcional a la longitud de onda de la luz empleada .
Reordenando la Ec. (1.8) y definiendo a Ncomo el retraso relativo en trminos de
ciclos completos (orden de franja), y a f como la deformacin necesaria para
provocar un cambio de un ciclo de una longitud de onda por unidad de espesor del
modelo (tambin es conocida como la constante de esfuerzo ptico con unidades
de N/m o lbf/plg) [2, 3]:
C
1
h
1
2
R
L
21
(1.10a)
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2
RN (1.10b)
Cf
(1.10c)
Agrupando trminos:
L
21h
1
CN
(1.11)
Finalmente, la ley de esfuerzo ptico se escribe como:
L
21h
1Nf
(1.12)
De las relaciones de esfuerzo-deformacin para un sistema bidimensional, se
sabe que la diferencia de los esfuerzos principales est relacionada con el
esfuerzo cortante mximo ( MAX ) de la siguiente forma:
MAX 221 (1.13)
Reordenando se tiene:
MAX
21
2
(1.13a)
Ahora relacionando las Ecs. (1.13a) y (1.12), el esfuerzo cortante mximo puede
ser expresado en trminos de la teora de fotoelasticidad como:
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L
MAXh
Nf
22
21
(1.14)
El orden fotoelstico N es de gran importancia en fotoelasticidad, pues en
cualquier punto el esfuerzo cortante mximo ( MAX ) es directamente proporcional
al orden fotoelstico N. Los ordenes fotoelsticos se clasifican segn el orden de
aparicin en el modelo de anlisis, siendo el orden N=0el primero en aparecer,
posteriormente emergen los ordenes N=1, N=2, N=3, N=4N=k. conforme se
aumenta la carga al espcimen
1.2Patrones de esfuerzo a flexin pura
Para convertir los patrones fotoelsticos obtenidos a valores de esfuerzo cortante
mximo o de diferencia de esfuerzos principales, debe determinarse
experimentalmente el coeficiente fotoelstico del material ( f ). El mtodo ms
adecuado para la obtener el valor de la constante es emplear una probeta en
forma de viga simplemente apoyada en flexin pura del mismo material en estudio
dentro de su intervalo de respuesta de deformacin elstica. Esta viga al ser
cargada en puntos intermedios situados generalmente a distancias de de la
longitud genera un esfuerzo flexionante constante en el tercio central. La carga es
aplicada y un cierto tiempo despus el patrn fotoelstico generado es
fotografiado. Posteriormente se determinan las posiciones de los rdenes enteros
y se estiman los esfuerzos por medio de la teora de flexin.
De la teora de elasticidad se sabe que en una probeta sometida a flexin pura, el
esfuerzo en un punto situado a una distancia ydel eje neutro de la probeta (Figura1) est dado por la Ec. (1.15):
I
yMx
, 0y , 0xy , (1.15)
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Donde Me Ison el momento flexionante y el momento de inercia de la seccin
transversal, respectivamente, yes la distancia desde el eje neutro al punto donde
se presenta un esfuerzo x, que es el esfuerzo principal (Figura 1).
La Figura 1a muestra una probeta sujeta a flexin pura. Cuando se flexiona la
probeta, la porcin superior de la probeta estar sujeta a un esfuerzo de
compresin y la parte inferior a un esfuerzo a tensin. En la parte media de la
probeta se encuentra una zona en la que la transicin entre el esfuerzo de
compresin y tensin se lleva a cabo. Esta zona en la que el esfuerzo es cero, se
llama eje neutro y est localizada en el centro de la probeta.
La Figura 1b muestra la magnitud del momento flexionante en la probeta. LaFigura 1c muestra la distribucin de los esfuerzos en la porcin central de la
probeta.
Entonces, si en un punto qa una distancia ydel eje neutro existe un esfuerzo x
que cause una diferencia de fase de una longitud de onda, entonces en todos los
puntos en la lnea horizontal (lnea AB) que pasa a travs del punto q, estarn
sometidos al mismo esfuerzo y tendrn la misma diferencia de fase formando unabanda oscura (Figura 1c). De manera similar todos los puntos en la lnea CDa una
distancia 2ydel eje longitudinal, tendrn una diferencia de fase igual a dos veces
la longitud de onda. Por lo anterior, el patrn de esfuerzos para un sistema a
flexin pura consiste de bandas horizontales paralelas oscuras y brillantes
equidistantes entre s.
En la Figura 1 se puede observar las bandas en las que las diferencias de
esfuerzo x -y permanecen constantes a una distancia y(lnea AB) y 2y(lnea
CD). La franjas fotoelsticas obtenidas por flexin son simtricas respecto al eje
neutro de la probeta. De tal forma que al generar la deformacin necesaria para la
aparicin de dos franjas, estas aparecern en la parte superior e inferior del eje
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neutro. De esta manera las lneas A-B y C-D estarn sometidas a un esfuerzo de
compresin igual al esfuerzo de tensin en las lneas A-B y C-D (Figura 1).
Figura 1. Esquema de flexin. Diagrama de cuerpo libre (a), diagrama demomentos de flexin (b) y distribucin de esfuerzos (c)[15].
De tal manera que de acuerdo a la Ec. (1.11) podemos decir que una franja
fotoelstica oscura (de extincin) coincide con la trayectoria en la que se localizan
los puntos sometidos a una diferencia de esfuerzos principales constante o con un
esfuerzo cortante mximo constante. De tal manera que la aparicin de las franjas
Diagrama de momentos de flexin
M= pa
a
p p
ppa
Eje neutro
a)
b)
Diagrama de distribucin de esfuerzos
A B
C D
y qc)
2y
Eje neutro
A B
C D
Diagrama de cuerpo libre
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fotoelsticas estn relacionadas directamente con el sistema de esfuerzos
generado en un material por una carga aplicada.
El momento mximo de flexin Mest definido de la siguiente forma:
paM (1.16)
donde, pes la carga empleada en Newtons (N) y aes la distancia entre apoyos
(Figura 1.1). As mismo, el momento de inercia Iest definido como:
12
hh
I
3L
(1.17)
donde h es la altura de la probeta en metros.
Sustituyendo en la Ec. (1.15), con y= h/2, se obtiene:
12
hh
2
ha
2
p
I
Nf3
L
x
(1.18)
Ahora despejandof de la Ec. (1.18) se obtiene:
2
Nh
pa3f
(1.19)
La Ec. (1.19) proporciona el valor de la constante de franja fotoelstica cuando el
orden fotoelstico mximo (N) se encuentra en los bordes de la probeta.
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El situar la franja con el mximo orden fotoelstico en el borde de la probeta es
uno de los mtodos para la calibracin fotoelstica usando una viga a flexin. Un
mtodo alterno es seleccionar una carga constante py medir la distancia yhasta
cada orden fotoelstico Na partir del eje longitudinal neutro de la probeta.
En este caso, la Ec.(1.18) queda expresada de la siguiente forma:
12
hh
ya2
p
I
Nf3
L
x
(1.20)
Despejando f
3Nh
pay6f
(1.21)
La Ec. (1.21) proporciona el valor de la constante de franja fotoelstica (f) cuando
la franja fotoelstica de un orden fotoelstico (N) a cualquier distancia ydesde el
eje neutro de la probeta.Para las Ecs. (1.19) y (1.21), p, es la carga en Newtons, a
es la longitud entre apoyos en metros, hes la altura de la probeta en metros, Nes
el orden fotoelstico yf es el valor de la constante fotoelstica.
1.3Naturaleza y comportamiento de la luz
La luz tiene una naturaleza dual y obedece leyes que pueden explicarse a partir de
una corriente de partculas o paquetes de energa llamados fotones, o a partir de
ondas transversales (movimiento ondulatorio). Hasta la fecha han sido planteadas
varias teoras sobre la naturaleza de la luz. Maxwell demostr con su teora que la
luz est compuesta de fluctuaciones peridicas de un campo electromagntico,
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representado por dos vectores, uno elctrico y otro magntico, perpendiculares
uno del otro y en direccin de la propagacin de la luz.
1.4Luz natural y luz polarizada
La mayora de las fuentes luminosas emiten una luz compuesta de ondas que se
propagan de forma aleatoria, cuyos vectores elctricos no tienen una orientacin
preferencial a este tipo de luz se le conoce como luz natural u ordinaria [2, 3, 5, 9].
En caso contrario, la luz polarizada se define como un conjunto de ondas en las
cuales el vector elctrico muestra una orientacin preferencial que define el eje
ptico del polarizador usado. Es decir cuando las ondas luminosas son forzadas a
vibrar de manera sistemtica en un plano normal a la direccin de propagacin, laforma de polarizacin est determinada por el vector elctrico.
1.4.1 Luz con polarizacin lineal
La luz es polarizada linealmente cuando un grupo de ondas muestran una
orientacin fija al propagarse en el espacio. La luz con polarizacin lineal es
obtenida al forzar al vector de luz a vibrar en una sola direccin llamado plano depolarizacin. Un haz luminoso con polarizacin plana puede ser separada en dos
componentes ortogonales. Estas componentes son conocidas como haz ordinario
y haz extraordinario (Figura 2) [1, 2, 3, 5].
1.4.2 Luz con polarizacin circular
Se dice que la luz es polarizada circularmente cuando el vector elctrico tiene una
magnitud constante y el extremo del vector describe una trayectoria circular
conforme la luz se desplaza a lo largo del eje vibracin (Figura 3) [1, 2, 3, 5, 9].
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Figura 2. Movimiento del vector elctrico en un haz de luz linealmentepolarizado[16].
Figura 3. Movimiento del vector elctrico en un haz de luz polarizadacircularmente [16].
1.5Polariscopio y elementos pticos de polarizacin
El mtodo fotoelstico requiere el uso de un arreglo ptico denominado
polariscopio que permite la manipulacin de un haz de luz polarizado, mostrando
patrones de esfuerzos cuando este se propaga a travs de un modelo sometido a
carga. [1, 2, 4, 6, 7].
Para la obtencin de los patrones de interferencia causados por los esfuerzos, un
polariscopio requiere del uso de dos elementos pticos, el primer elemento ptico
llamado polarizador posee transmitancia selectiva a una determinada direccin de
http://es.wikipedia.org/wiki/Transmitanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Transmitancia -
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oscilacin de una onda luminosa. Cuando un haz de luz ordinaria atraviesa dicho
material, la luz saliente (transmitida) queda polarizada. Es decir, el polarizador
absorbe las componentes del vector luminoso que no vibran en direccin de los
ejes del polarizador [1, 2, 4, 6, 8].
El segundo elemento ptico se denomina placas de onda y tienen la capacidad de
dividir un haz de luz incidente en dos componentes ortogonales y aun ms,
haciendo que dichas componentes se propaguen a diferentes velocidades, los
materiales que exhiben esta propiedad se llaman materiales birrefringentes. Las
placas de onda son laminas de material birrefringente, Si la placa de retardo
genera una diferencia de fase de de longitud de onda o /2 radianes, la placa
es llamada placa de retardo de de longitud de onda, cuando la placa de retardogenera un desfase de longitud de onda o radianes entre el haz ordinario y
extraordinario, la placa se denomina como placa de retardo de1/2 longitud onda [1,
2, 5].
1.5.1 ptica del polariscopio lineal
La luz polarizada emergente de un polarizador plano es representada de lasiguiente manera.
K1= a sen(t ) (1.22)
Suponiendo que un plano birrefringente es colocado entre el polarizador y
analizador (Figura 4), con uno de sus ejes formando un ngulo respecto al plano
de vibracin del polarizador, el haz luminoso K1 ingresa al plano de doble
refraccin causando que el haz luminoso K1 se descomponga de la siguiente
manera.
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Kf= a sen(2) [ (sen(t) cos())/2 +(sen() cos(t) sen(t))/2 ] (1.27b)
Kf= a sen(2) {(sen() cos(t))/2 [(sen(t))(1-cos())]/2} (1.27c)
Kf= a sen(2) sen( /2) [ cos(t) cos(/2) - sen(t) sen( /2)] (1.27d)
Kf= d cos(t +/2) (1.28)
Donde d = a sen(2) sen(/2) es la amplitud del haz de luz que emerge. Una
medida de la intensidad luminosa es dada en la literatura como dos veces el
cuadrado de la amplitud. En el presente caso la intensidad luminosa es:
I = 2 a2sen2(2) sen2(/2) (1.29)
La extincin de la luz se obtiene cuando la intensidad es cero, por lo tanto esta
ocurre cuando se cumple una o ambas de las siguientes condiciones.
= 0, /2, , 3/2,
/2 = 0, , . . . = 0, 2, . . . n(2) donde nes un entero.
1.5.2 ptica del polariscopio circular
Para obtener un haz de luz polarizado circularmente, es necesario que las placas
de retardo a ambos lados del modelo en el esquema del polariscopio sean de
de onda [2, 3, 6, 17-19]. Para esta condicin, el ngulo debe ser igual a /4
como se muestra en la Figura 5.
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Cuando los ejes pticos del polarizador y del analizador estn con los ejes
cruzados, se obtiene un polariscopio circular de campo oscuro. La expresin para
un haz emergiendo de un polarizador circular de campo oscuro es:
K1= a sen(t) (1.30)
Cuando el haz luminoso atraviesa la primera placa de retardo, este se divide en
dos componentes ortogonales K2 y K3 a lo largo de los ejes R y L (eje rpido y
lento), dichas componentes quedan expresadas de la siguiente manera.
K2= a sen(t) cos(/4 ) = (a/ sen(t) =d sen(t) (1.31)
K3= a sen(t) sen(/4 ) =(a/ sen(t) = d sen(t) (1.32)
Estos haces emergen de la placa de onda con un retardo angular de /2, por lo
tanto, las expresiones de los haces luminosos emergiendo de la placa de retardo
quedan de esta forma:
K4=d sen (t + /2) = d cos (t) (1.33)
K5= d sen(t) (1.34)
Donde d = (a/
Las ecuaciones anteriores, son ecuaciones paramtricas de un crculo, lo cual
muestra que la luz posee polarizacin circular. Suponiendo la existencia de un
modelo doble refractante colocado en la trayectoria de la luz, con uno de sus ejes
principales formando un ngulo en la direccin del eje R (eje rpido), la luz con
polarizacin circular es descompuesta en dos componentes K4 y K5 a lo largo de
los ejes principales del modelo birrefringente.
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Figura 5. Modelo fotoelstico sometido a esfuerzos colocado en un polariscopiocircular de campo oscuro.
K6= K4cos() K5sen() =d cos()cos(t) - d sen()sen(t) (1.35)
K7= K4sen() +K4cos() = d sen()cos(t) - d cos()sen(t) (1.36)
Estas ecuaciones matemticas pueden ser expresadas como:
K6= d cos (t+) (1.37)
K7= d sen (t+) (1.38)
El modelo doble refractante provoca un desfase angular generando dos haces
luminosos propagndose a travs del plano, los haces salientes del modelo son:
K8= d cos (t+-) (1.39)
K9= d sen (t+) (1.40)
Eje ptico
1er /4
Polarizador
K3
K6
K7
K1K2
K4 K5
K8K9
K10K11K12
K13
Kf
Plano de doble
refraccin
2do /4
Analizador
Eje ptico
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La segunda placa de cuarto de onda est orientada de forma que sus ejes son
perpendiculares a los ejes correspondientes de la primera placa de retardo.
Las componentes del haz luminoso a lo largo de los ejes principales de la placa de
onda son:
K10= d cos()cos (t+-) +d sen() sen (t+) (1.41)
K11 = -d sen()cos (t+-) +d cos () sen (t+) (1.42)
Las componentes del vector luminoso emergentes de la segunda placa de onda
con una diferencia de fase angular de /2 se expresan como:
K12= d coscos (t+-) +d sensen (t+) (1.43)
K13= d sensen (t+-) +d coscos (t+) (1.44)
Si el analizador es orientado con su plano de vibracin perpendicular al plano de
vibracin del polarizador, el vector de luz saliente del analizado queda expresado
por:
Kf= a sen( /2) sen(t +2-/2 ) (1.45)
Por consiguiente la intensidad luminosa es:
I = 2 a2sen2(/2) (1.46)
Para esta ecuacin solo se tiene una condicin para la extincin [20, 21].
2....,2,0,02
para0 nI
Donde n es un entero que puede tomar valores de 0 a y es conocido comoorden de franja isocromtica.
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De esta manera, los puntos bajo una deformacin relativa a la cual se induce un
retardo igual a un numero entero (n= 1, 2, 3,. . .), forman una franja de extincin
llamada banda isocromtica, que puede ser empleada para encontrar la magnitud
del esfuerzo cortante mximo en un modelo fotoelstico.
Cuando los ejes pticos del polarizador y del analizador estn paralelos, se
obtiene un polariscopio circular de campo claro.
La ecuacin de un haz de luz emergiendo de un polariscopio circular de campo
claro es:
Kf=a cos (/2) cos [(- 2t)/2] (1.47)
la ecuacin para la intensidad.
I = 2 a2cos2(/2) (1.48)
Las condiciones de extincin son ahora [20, 21].
2...,5,3,2
3,
22para0
21 nI
Ahora las franjas de extincin isocromticas coinciden con los rdenes
isocromticos medios y aparecen como franjas oscuras.
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Captulo II. Materiales compuestos
Los materiales compuestos incorporan dos o ms materiales distintos, y estn
diseados para aprovechar las caractersticas favorables de cada material, y al
mismo tiempo eliminar o minimizar las propiedades indeseables de los
componentes, Las tecnologas modernas requieren de materiales innovadores,
con una combinacin inusual de propiedades imposible de conseguir con
materiales convencionales, estas necesidades hacen que las tendencias en el uso
de los diversos tipos de materiales se orienten progresivamente hacia el uso de
materiales compuestos [22, 23].
La mayora de los materiales compuestos se han diseado para mejorar la
combinacin de propiedades mecnicas tales como rigidez, tenacidad y
resistencia a la traccin.
Un material compuesto tpico consiste en una fase de refuerzo (generalmente en
forma de partculas, hebras o fibras) y de una fase continua llamada matriz que
mantiene unidas las partes discretas de refuerzo y les proporciona un soportenatural. Como una regla, los materiales compuestos en los que la fase discontinua
est formada por fibras, el esfuerzo de fractura de las fibras excede
considerablemente al esfuerzo de fractura de la matriz y por consiguiente tales
materiales son conocidos como materiales compuestos fibro-reforzados [4, 16,17].
2.1Interfase fibra/matriz
Gran parte de las propiedades mecnicas de los materiales polimricos reforzados
son influenciadas por parmetros ligados a la interaccin entre la matriz y la fase
de refuerzo. La interfase es la regin localizada entre la superficie de la fibra y la
matriz, la cual posee composicin y estructura propia como consecuencia de la
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combinacin de propiedades fsicas mecnicas y qumicas de los materiales
constituyentes [21].
Las interfaces determinan en gran magnitud, la variedad de propiedades que un
material compuesto posee. El trmino de interfase es considerado en la literatura
en dos niveles. Primero a nivel molecular, se estudia la qumica y la fsica
molecular y en segundo lugar, la adherencia, incluyendo los aspectos tales como
la naturaleza y la densidad superficial de los enlaces de adhesin, la distribucin
de energa de estos enlaces, los rangos de accin, etc.
Desde el punto de vista de diseo, uno de los principales problemas es generar
una interface que permita la transferencia de carga por medio de un esfuerzocortante interfacial de una manera ms eficiente, que sin lugar a dudas es el
parmetro de diseo ms importante a nivel microscpico [17].
2.2Pruebas micromecnicas
Con la finalidad de obtener los parmetros de interaccin interfacial entre fibras y
matrices se han desarrollado una variedad extensa de ensayos micromecnicos.
Solo pueden considerarse como pruebas micromecnicas al grupo de ensayos en
los que los especmenes estudiados poseen una sola fibra en su estructura.
La pruebas micromecnicas suelen clasificarse en dos grupos. Al primer grupo
pertenecen la pruebas donde la carga externa directamente aplicada a la fibra
(Figura 6); dentro de este conjunto podemos destacar la prueba de extraccin de
una fibra a tensin (pull-out) [10] (Figura 6a) y sus variaciones, como la prueba de
microgota (Figura 6b) y la prueba de extraccin de una fibra a compresin (Push-
out) (Figura 6c).
-
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El segundo grupo de ensayos lo conforman pruebas donde la carga es aplicada a
la matriz del material compuesto (Figura 7). A este tipo pruebas pertenece la
prueba de fragmentacin [11] (Figura 7a) y la prueba de Broutman [12] (Figura 7b)
Figura 6. Ensayos micromecnicos en los que la carga es aplicada directamentesobre la fibra: Pull-out (a), microgota (b) y push-out (c) [15].
.
Han surgido extensas discusiones relacionadas a la aplicacin del mtodo
micromecnico apropiado que permita la obtencin de las caractersticas de la
interfase en un material compuesto.
Es conveniente decir, que el mtodo correcto para caracterizar una interface es
aquel que experimenta una distribucin de esfuerzos similar a la de material
compuesto real.
Por lo tanto, para los materiales compuestos con matrices dctiles y fibras frgiles,la prueba de fragmentacin sera el mtodo idneo de anlisis. En caso contrario,
para los compuestos formulados en base a matrices frgiles que fallan a travs de
mltiples fracturas (con fibras de refuerzo uniendo una fractura) la prueba de Pull-
outes la ms adecuada.
F
L
a) b)
c)
Matriz
Fibra So orte
FF
L L
-
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Figura 7. Pruebas micromecnicas en las que la carga es aplicada sobre lamatriz: fragmentacin (a) y prueba de Broutman (b) [15].
2.3Modelo de transferencia de esfuerzo cortante (Modelo Shear-lag)
Para la obtencin de materiales compuestos con buenas propiedades, es
indispensable hacer nfasis especial en uno de los factores ms influyentes en la
concepcin de materiales compuestos como lo es el proceso de refuerzo [18, 19,
20].
Las complejas interacciones entre la fase matriz y las fibras no son del todoentendidas, el modelo de transferencia del esfuerzo cortante interfacial shear-lag,
es el primer estudio que intenta explicar el proceso de refuerzo de las fibras y est
basado puramente en interacciones elsticas [13, 14, 18, 19].
La eficacia en la transferencia de fuerzas en un material compuesto, depende en
gran medida de la naturaleza y propiedades de fibras y matrices, como tambin de
la calidad de la interfase formada entre ambas [18,19, 21].
El proceso de refuerzo y las interacciones entre fibra/matriz, pueden ser
estudiadas suponiendo que la transferencia de carga se genera mediante fuerzas
a cortante y depende de las transferencia elstica de fuerzas y del nivel de
adherencia [18, 19].
(a) (b)
Matriz
Fibra
-
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En la Figura 8a presenta un modelo de material compuesto formado por un
segmento de una fibra embebida en una matriz. Inicialmente el modelo se
encuentra libre de esfuerzos, por lo tanto la deformacin es nula, como resultado
podemos visualizar que las lneas de permanecen rectas.
Cuando inducimos un esfuerzo 1 al modelo en direccin paralela a la fibra, la
matriz se dilata en la direccin del esfuerzo (Figura 8b). Y al mismo tiempo
transfiere una cantidad de esfuerzo f a la fibra a travs la interfase, generando
una elongacin en la fibra producto de la transferencia del esfuerzo. Ahora las
lneas de referencia mostradas en La Figura 8b sufren distorsiones mostrando los
perfiles de elongacin a los cuales tanto la fibra como a la matriz circundante
estn sometidas.
Finalmente, la Figura 8c, exhibe las distorsiones producidas por la transferencia
del esfuerzo en un elemento diferencial de la fibra.
En este esquema se puede observar como las elongaciones sufridas en la matriz
por efecto del esfuerzo 1 son transmitidas a travs de un esfuerzo cortante
que aminora su intensidad hasta la superficie de la fibra. El esfuerzo cortante i
en la superficie de la fibra ocasiona que el elemento diferencial de la fibra se dilate
al ser sometido a un esfuerzo f + fd .
-
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Figura 8. Esquema del modelo de Shear-lag, (a) modelo libre de fuerzas, (b)desplazamiento axial uR inducido al aplicar un esfuerzo de tensin paralelo a la
fibra y (c) la variacin radial del esfuerzo cortante y la deformacin en la matriz[15].
2.3.1 Distribuciones del esfuerzo y de la deformacin
De acuerdo a la Figura 8cel esfuerzo interfacial de corte en el interior de la
matriz a una distancia xa lo largo de la fibra es obtenido por medio de un balance
de fuerzas de corte que actan sobre las vecindades de un nulo con radios r1 y r2
en una longitud dx.
dxrdxr2211
22 (2.1)
1
2
2
1
r
r
(2.2)
a) b)
c)
-
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Por lo tanto, el esfuerzo de corte en la matriz a cualquier radio desde el
centro de la fibra (Figura 8c) est relacionado con el esfuerzo cortante interfacial
entre la fibra y la matriz i de la siguiente forma:
ri (2.3)
Donde es el esfuerzo cortante en la matriz, es un radio a partir del centro de
la fibra y i es el esfuerzo cortante interfacial.
Las deformaciones generadas alrededor de la fibra pueden ser definidas en
trminos de las elongaciones ude la matriz en la direccin xrespecto a la posicin
en la que se encontraban cuando estaban libres de esfuerzos (Figura 8). El
incremento de la elongacin ,du hacia el seno de la matriz desde el centro de la
fibra est determinado por la deformacin de corte , de tal manera que:
r
GGd
du
m
i
m (2.4)
Donde d es la variacin de la distancia radial desde el centro de la fibra, du es
la variacin de la elongacin de la matriz, r es el radio de la fibra, es la
deformacin de corte, es el esfuerzo cortante en la matriz y Gm es el mdulo a
cortante de la matriz definido por:
m
mE
mG
12(2.5)
-
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Donde Emes el mdulo de elstico de la matriz, y m es la relacin de Poisson de
la matriz.
La relacin entre la deformacin transversal y la longitudinal de define como
relacin de Poisson. Por lo tanto, para evaluar este parmetro es necesario medir
la variacin de longitud y la anchura de las probetas durante el ensayo.
Para cualquier valor de x, la diferencia entre el desplazamiento de la matriz a un
radio R y el desplazamiento que se ejerce en la interfase, puede ser definido
integrando la Ec. (2.4):
R
r
u
u
R
rm
id
G
rdu
, (2.6)
donde Ru es la elongacin a un radio R desde el centro de la fibra, ru es la
elongacin sobre la superficie de la fibra y res el radio de la fibra.
Realizando la integracin:
r
R
mG
ri
ru
Ru ln
(2.7)
Se asume que la deformacin en la matriz tiene un comportamiento lineal desde
las vecindades de la fibra hasta una posicin remota en la matriz. El radio Rest
localizado en una posicin remota donde el patrn de deformaciones es constante.
En un material compuesto con un cierto arreglo en las fibras, el valor apropiado de
(R/r) depende de la proximidad de las fibras vecinas y por consiguiente de la
fraccin volumtrica de fibra f. La relacin exacta entre (R/r) y f depende del
arreglo de las fibras, sin embargo, la relacin (R/r) en el resultado final tiene una
forma logartmica, lo que lo hace poco sensible al tipo de arreglo en las fibras.
-
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Para un arreglo hexagonal, la fraccin volumtrica fest definida de la siguiente
forma.
32r
2
RRf
(2.8)
Reordenando:
ffr
R 1
32
2
(2.8b)
La distribucin de los esfuerzos de tensin en la fibra f , pueden definirse en
funcin del esfuerzo cortante interfacial tomando como base el balance de fuerzas
que actan sobre un elemento diferencial dxde la fibra (Figura 8c):
fidrrdx 22 (2.9)
rdx
dif
2 , (2.9b)
donde f es el esfuerzo a tensin en la fibra, xes la direccin en la que la fibra se
est elongando, i es el esfuerzo cortante generado en la interfase fibra-matriz y r
es el radio de la fibra.
La variacin del esfuerzo cortante interfacial i a lo largo de la longitud de la fibra
xes desconocida pero usando la Ec. (2.7) es posible relacionar las elongaciones
en la matriz con las deformaciones en la fibra en direccin axial asumiendo que no
existen deformaciones de corte y que la adhesin interfacial es perfecta de tal
forma que las elongaciones en la superficie de la fibra sean iguales a las de la
matriz circundante (ur= uf).
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Sustituyendo las Ecs.2.5), (2.6) y (2.7) en la Ec. (2.9b) se tiene que:
f
r
uuE
dx
d
m
fRmf
1ln1
2
2
, (2.10)
donde uR y ur son las elongaciones en la matriz a dos radios diferentes desde el
centro de la fibra, Em es el mdulo de elstico de la matriz, f es el esfuerzo a
tensin en la fibra, m es la relacin de Poisson de la matriz y f es la fraccin
volumtrica de la fibra en el material compuesto.
La deformacin en la zona elstica de la fibra es:
f
f
f
f
Edx
du , (2.11)
donde uf es la elongacin en la fibra, f es la deformacin en la fibra, f es el
esfuerzo sobre la fibra y Efes el mdulo elstico de la fibra.
Para el anlisis de la matriz, si se considera que la elongacin diferencial uR se
produce en un campo lejano a la fibra, se puede asumir que la deformacin de la
matriz es casi igual a la deformacin total del material compuesto 1 . As se tiene
entonces que:
1
m
R
dx
du, (2.12)
donde uRes la elongacin en la matriz a una distancia Rdel centro de la fibra, m
es la deformacin en la matriz y 1 es la deformacin en el material compuesto.
-
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Finalmente, la distribucin de esfuerzos a lo largo de la fibra puede ser
determinada diferenciando la Ec. (2.10) y sustituyendo en esta las Ecs. (2.11) y
(2.12) (Figura 9).
12
2
2
2
ff
f
Er
n
dx
d , (2.13)
donde el parmetro n est definido de la siguiente manera:
21
1ln1
2
fE
En
mf
m
(2.14)
La Ec. (2.13) es una ecuacin diferencial lineal de segundo orden cuya solucin es
la siguiente:
rnxD
rnxBE
ffcoshsenh
1 (2.15)
Aplicando las siguientes condiciones de frontera: f = 0cuando x= L y x = - L
(Figura 9) donde L es la mitad de la longitud total embebida de la fibra y definiendo
la relacin de aspecto como L/r = s se tiene la siguiente solucin para la Ec.
(2.15).
ns
rnxEff sechcosh11 , (2.16)
donde Ef es el mdulo elstico de la fibra, 1 es la deformacin en el material
compuesto, n es el parmetro definido en la Ec. (2.14) y s es la relacin de
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aspecto. La distribucin del esfuerzo cortante interfacial a lo largo de la fibra se
obtiene diferenciando la Ec. (2.16) segn la Ec. (2.9b) y [19].
nsrnx
E
nfi sechsenh2
1
(2.17)
La Figura 9 muestra el comportamiento del esfuerzo cortante interfacial i y del
esfuerzo sobre la fibra embebida f empleando las Ecs.(2.16) y (2.17), en un
modelo de material compuesto formado por una fibra embebida en una matriz.
2.3.2 Transferencia de esfuerzo entre fibra-matriz
Las Ecs. (2.16) y (2.17) permiten hacer predicciones sobre la distribucin de los
esfuerzos a lo largo de una fibra cuya longitud embebida es 2L. Un ejemplo se
presenta en la Figura 10 en ella se muestran las variaciones del esfuerzo en la
fibra y el esfuerzo cortante interfacial a lo largo de la longitud embebida de la fibra
en un material compuesto.
Las curvas de la Figura 10 corresponden a dos relaciones de aspecto diferentes
para un material compuesto modelo sujeto a un esfuerzo de tensin paralelo a lafibra. El esfuerzo a tensin es cero en los extremos de la fibra y mximo en el
centro de la misma.
Por otro lado, el esfuerzo cortante interfacial es cero en el centro y alcanza su
valor mximo en los extremos.
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Figura 9. Distribucin de esfuerzo cortante interfacial y del esfuerzo a lo largo de
una fibra embebida en una matriz considerando una transferencia de esfuerzototalmente elstica [15].
Para el caso de una relacin de aspecto s = 50, la longitud de la fibra es lo
suficientemente larga para que la transmisin del esfuerzo cortante produzca una
deformacin igual a la que presenta el material compuesto.
Este comportamiento lleva al concepto de longitud crtica de transferencia de
esfuerzo cortante entre la fibra y la matriz. Este concepto sostiene que la longitudde la fibra debe ser lo suficientemente larga para permitir una transferencia de
esfuerzo de tal forma que la deformacin en la fibra sea igual a la del material
compuesto, siempre y cuando el sistema se mantenga en la regin elstica y no
se presente una falla interfacial.
La longitud crtica depende entonces del mdulo elstico de la fibra, del mdulo
elstico de la matriz y de la calidad de la interfase. Para la relacin de aspecto
baja (s= 5 Figura 10), la longitud de la fibra no es lo suficientemente larga como
para que el esfuerzo cortante interfacial transfiera el esfuerzo necesario para que
la deformacin en la fibra y en el material compuesto sean iguales.
L
-
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Figura 10. Distribucin del esfuerzo a tensin en la fibra (a) y del esfuerzocortante interfacial (b) para dos relaciones de aspecto L/r = s de una fibra
embebida en una matriz [15].
s=50s=5
Distancia desde el centro de la fibra, L/(rs)
i
0
0
-1 1
f
0
Distancia desde el centro de la fibra, L/(rs)
-1 1
s=50
s=5
-
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Captulo III. Metodologa
3.1Material, equipo y reactivos
En la Tabla 1 y 2 se indican los materiales que se utilizaron en esta investigacin.
Tabla 1.Materiales y reactivos empleados en el proyecto.
NombreContenido del grupo
epxico(mmol/kg)
Porcentaje
del grupo
epxico
Viscosidad
a 25 C(
mPa.s)
Densidad a
25 C (g/ml)
Resina epxica ROYAPOX 511distribuida por Royal Diamond
5100 a 5600 22.4 a 23.64000 +-
10001.15 +- 0.01
NombreContenido de
amina(mgKOH/g)Viscosidad a 25 C(cP)
Densidad a
25 C(g/ml)
Agente entrecruzante
ENDURECEDOR 511 distribuido por
Royal Diamond
620 250+- 100 0.95+-0.02
Nombre Dimetro de la fibra (mm)
Fibra de polister marca distribuida
por Tenex1.36 a 1.40
Tabla 2. Materiales y equipos utilizados para la preparacin de la resina epxica.
Material Equipo
Pelcula desmoldante Balanza electrnica Ohaus Scout Pro
Placa de vidrio(29 cm x 51 cm) Maquina de pruebas universales tipo INSTRON 3384
Pelcula de polister(35 cm x 25 cm)
Vasos de polietileno(16 Oz)
Agitadores de madera
-
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3.2Resina epoxica y agente de entrecruzamiento
El mtodo utilizado para el anlisis del esfuerzo cortante interfacial en un modelo
de fibra simple, es la tcnica experimental denominada fotoelasticidad
(fotoesfuerzo).
La matriz polimrica empleada para esta finalidad debe poseer una respuesta
fotoelstica adecuada, debido a lo anterior se opt por utilizar una resina epxica
de nombre comercial ROYAPOX 511 y un agente entrecruzante llamado
ENDURECEDOR 511, ambos productos distribuidos por Royal Diamond. El
proceso de curado de las probetas se efectu en condiciones ambientales con un
tiempo de curado de 48 hrs.
El proveedor del agente de entrecruzamiento y la resina epxica proporcion la
relacin ptima que corresponde a 100 g de resina epxica y 50 g de
entrecruzante, relacin que result ser no adecuada para los fines de la
investigacin, debido a lo cual se decidi aumentar la cantidad de entrecruzante
en la mezcla para generar un resina ms plastificada.
Para preparar la resina epxica iniciamos pesando 100 g de resina en un vaso de
polietileno, posteriormente se agregan 75 g de agente de entrecruzamiento y se
agita la mezcla durante al menos 5 min, finalmente se vierte la resina en el molde.
3.3Anlisis mecnico de la resina
Con el propsito de realizar la calibracin mecnica de la resina se dise un
proceso metodolgico para la obtencin de las probetas para el anlisis. Este
procedimiento inicia con la fabricacin de moldes (ver Anexo B) de nylon (nombre
comercial Nylamid), cuyas proporciones y geometra se muestran en la Figura 11.
-
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Previo a proceder al llenado del molde con la resina epxica, debe aplicarse una
capa de pelcula desmoldante al recipiente de Nylon para extraer la probeta al
trmino del perodo de curado.
Teniendo como finalidad la obtencin de una probeta con espesor constante, debenivelarse una placa de vidrio de 29 cm de ancho y 51 cm de largo, sobre la cual
fue adherida una pelcula de polister y sobre esta fue colocado el molde de Nylon
con desmoldante.
El espacio central del molde fue llenado con resina epxica preparada segn las
especificaciones mencionadas en la seccin 3.2 (100 g resina/75 g de agente
entrecruzante) hasta lograr un espesor de 1.2 cm.
Figura 11. Dimensiones del molde para la elaboracin de la placa de resinaepoxica.
Posteriormente, se deja curar a la mezcla a temperatura ambiente por un periodo
de 48 h. Al final de ste lapso, la placa de resina fue desmoldada y sometida a un
proceso de troquelado para generar las probetas.
19cm
30 cm
14cm
25 cm
2 cm
-
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Finalmente las probetas fueron sometidas a un proceso de pulido con una lija de
agua calibre 2000 para proporcionar el acabado final.
Las pruebas se efectuaron en una mquina de pruebas universales INSTRON
modelo 3384, a una velocidad de 5 mm/min empleando una celda de carga de 15
kN.
3.3.1 Calibracin fotoelstica de la resina
Para la calibracin fotoelstica de la resina fue obtenida una placa plana de 1.2 cm
de espesor con el mismo mtodo empleado en la seccin 3.2. Las probetas
fueron cortadas en una sierra de disco de diamante, obteniendo especmenes de1.0 cm de altura, 10 cm de largo y con un espesor de 10 mm. Posteriormente,
cada probeta fue rectificada con una pulidora empleando una lija calibre 2000. La
tolerancia de las probetas terminadas fue de 1mm, siendo de vital importancia
que cada una est perfectamente escuadrada.
El procedimiento para la calibracin fotoelstica de la resina fue el siguiente: Las
probetas fueron colocadas en un marco de carga de flexin (Figura12) acoplado a
la mquina de pruebas universales INSTRON 3384. Se aument la carga hasta la
aparicin de una banda oscura en el centro de la probeta. Esta banda oscura es el
orden fotoelstico cero (N = 0), lo que indica que se alcanz la deformacin
suficiente para la aparicin del primer orden fotoelstico. En este punto el orden
fotoelstico uno (N= 1) se situ en los bordes exteriores de la probeta [4].
El orden fotoelstico uno (N=1) es difcil de situar sobre las orillas de la probeta,
por lo que fue necesario ejercer una carga mayor, que hace que el orden N= 1 se
desplace desde las orillas de la probeta hacia el centro de esta pudiendo ahora
localizar la franja isocromtica de manera exacta sobre la cara de la probeta.
La imagen del patrn fotoelstico anterior fue tomada unos instantes despus de
haber cargado la probeta registrando la carga aplicada.
-
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Figura 12. Marco de carga para flexin empleado para calibracin fotoelastica dela resina epxica [15].
El segundo orden (N = 2), se obtiene ejerciendo cargas superiores a las
empleadas para el orden N= 1, que en consecuencia migra ms hacia el centro
de la probeta hasta que se observa la aparicin de una nueva franja isocromtica
en la orilla de la probeta (orden fotoelstico N= 2). La carga fue incrementadahasta que el nuevo orden fotoelstico N = 2se ubic en la misma posicin que
inicialmente ocupaba el orden N= 1, registrando la imagen y la carga del nuevo
patrn fotoelstico unos segundos despus de aplicada la carga. Las imgenes de
los patrones fotoelsticos de orden superior fueron obtenidas con el mismo
procedimiento procurando no sobrepasar el lmite elstico del material. Se calcula
el esfuerzo de flexin correspondiente a la carga empleando la Ec. (1.19) o la Ec.
(1.21), graficado contra el orden de franja en un punto especfico. Posteriormente,
se midi la pendiente a una lnea recta que se ajust a los puntos obtenidos. La
pendiente de la lnea recta es el valor de la constante fotoelstica del material fen
Newtons por metro.
aProbeta
Puente fijo
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3.4Caracterizacin mecnica de la fibra de polister
Para este ensayo se elaboraron dos grupos de 4 probetas, la Figura 13 muestra el
esquema de las pruebas a tensin efectuadas a las fibras de polister.
Para realizar el anlisis mecnico de la fibra polister, se ejecutaron un conjunto
pruebas a tensin segn la norma ASTM D 2343-67 en una mquina de pruebas
universales INSTRON modelo 3384, la velocidad empleada para este ensayo fue
15 mm/min usando una celda de carga de 15 kN, la longitud de los especmenes
fue de 150 mm, la distancia localizada entre las mordazas fue de 50 mm.
3.5Arreglo del polariscopio
Se utiliz un banco fotoelstico lineal de campo oscuro compuesto de dos
elementos pticos, un marco de carga y una fuente de luz blanca alineados como
se muestra en la Figura 13.
La ubicacin de los ejes pticos de los elementos polarizadores en el polariscopio
fue la siguiente. El eje de ptico del primer polarizador est desfasado 90
respecto al plano de vibracin del segundo elemento de polarizacin (analizador)
[1-3]. La distancia entre el frente de la lmpara al primer polarizador fue de 15 cm,
el espacio localizado entre el primer y el segundo elemento ptico fue de 80 cm.
Finalmente el lente de la cmara se ubic a 3 cm del analizador. La fuente de luz
debe encenderse de 15 a 20 minutos antes de las pruebas para que alcancen su
mxima intensidad.
-
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Figura 13. Esquema de pruebas a tensin para las fibras en la mquina depruebas universales INSTRON 3384[15].
Figura 14. Disposicin del banco de polarizacin lineal de campo oscuro conmarco de carga.
Cmara
1 er PolarizadorAnalizador
Carga
Difusor
Fuente
Luminosa
Base fija
Cabezal mvil
FibraMordazas
-
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3.5.1 Calibracin del polariscopio
El procedimiento para la calibracin del polariscopio fue el siguiente [1]: El primer
paso fue colocar el primer polarizador y el analizador en el banco de polarizacin
con la lmpara ya encendida, para as obtener la extincin del haz de luz
propagndose en el polariscopio. Esto se logra fijando el polarizador y rotando el
analizador, hasta que la luz sea extinguida y se observe un campo oscuro como
respuesta en el analizador. Con esto, se asegura que los ejes pticos del
polarizador y el analizador estn cruzados.
El segundo paso fue localizar las direcciones de los ejes pticos del polarizador y
del analizador. Esto se puede hacer examinando un disco de un materialfotoelstico sometido a una carga especfica. Se coloca el disco y se aplica una
carga de compresin a lo largo del dimetro, asegurndose de que la carga est
orientada verticalmente.
Posteriormente, tanto el polarizador como el analizador fueron rotados
manteniendo los ejes pticos de ambos cruzados, hasta lograr la aparicin de una
franja de extincin (isoclina) a lo largo del eje de simetra del modelo. En este
punto la direccin de los ejes pticos del polarizador y del analizador son
conocidos, ya que uno de ellos (polarizador) est alineado en direccin paralela
con la carga aplicada verticalmente, quedando el eje ptico del analizador en
direccin perpendicular. La configuracin del polariscopio hasta este punto
corresponde a una polarizacin lineal de campo oscuro.
Si se desea cambiar la configuracin del polariscopio de campo oscuro a campo
claro, solo se debe rotar ya sea el polarizador o el analizador un ngulo de 90.
Mediante esta rotacin los ejes pticos del polarizador y del analizador estn
paralelos. La configuracin de campo oscuro permite obtener valores enteros de
los rdenes de franja isocromtica y con la configuracin de campo claro se
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obtienen lneas de extincin correspondientes a los rdenes medios de las franjas
isocromticas.
3.6Elaboracin del modelo de fibra simple
Al marco rectangular esquematizado en la Figura 11, le fue aplicado una capa de
pelcula desmoldante, acto seguido el molde fue situado sobre una pelcula de
polister adherida a un vidrio nivelado, procedindose despus al llenado de la
cavidad central con la resina epxica preparada con la metodologa mencionada
en la seccin 3.2 hasta lograr un espesor de 0.6 cm, seguidamente se deja curar
la resina por espacio de 5 h, en este punto la resina epxica posee la densidad y
viscosidad suficiente para sostener sobre su superficie las fibras de polisterempleadas en el modelo, la longitud de cada fibra es 1.5 cm. posteriormente se
aplica una segunda capa de resina hasta lograr de