tesis seis sigma hector hs

7/25/2019 TESIS Seis Sigma Hector HS

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UNIVERSIDAD IBEROAMERICANA

ESTUDIOS CON RECONOCIMIENTO DE VALIDEZ OFICIAL

POR DECRETO PRESIDENCIAL DEL 3 DE ABRIL DE 1981

MANUAL DE HERRAMIENTAS ESTADSTICAS PARA LA

IMPLEMENTACIN DE PROYECTOS SEIS SIGMA

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN

INGENIERA DE CALIDAD

Presenta

HCTOR HERNNDEZ SINENCIO

Mxico, D.F. 2003


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NDICE

IAntecedentes ................................................................................................ 2

II Justificacin ................................................................................................ 6

Ventajas de Seis Sigma vs. Calidad Total .................................................. 6

Ventajas de Calidad Total vs. Seis Sigma .................................................. 7

Desventajas de Aseguramiento de calidad vs. Seis Sigma ........................... 8

IIIObjetivos ................................................................................................ 8

IVAlcance y trascendencia ................................................................................. 9

V Planteamiento del problema.............................................................................9

Captulo 1Introduccin a la metodologa Seis Sigma .......................................... 11La mtrica Seis Sigma........................................................................... 11

Pasos de Motorola para la mejora de procesos ...................................... 14

Captulo 2Fase de Definicin ............................................................................ 17

Identificacin de clientes internos y externos ........................................ 17

Determinacin de los CTQs del proyecto ............................................. 17

Seleccin del problema ........................................................................ 19

Razn de la seleccin .......................................................................... 19

Impacto en el negocio ......................................................................... 19

Descripcin del problema..................................................................... 20

Objetivos del proyecto ......................................................................... 21

Alcance del proyecto ........................................................................... 21

Ahorros .............................................................................................. 23

Metas .............................................................................................. 23

Mapa del proceso ................................................................................ 24Seleccin del equipo del trabajo ........................................................... 24

Captulo 3 Fase de Medicin............................................................................... 26

Seleccin de los CTQs......................................................................... 27

Definicin de estndares de desempeo ................................................ 29

Plan de recoleccin de datos ................................................................ 30


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3.A Estadstica descriptiva ................................................................. 34

Medidas de Tendencia central ................................................. 34

Medidas de dispersin ............................................................ 36

Datos agrupados .................................................................... 38

Histograma ............................................................................ 41

Cuartiles ................................................................................ 45

Estadstica en Excel ................................................................ 46

3.B Probabilidad ............................................................................... 50

Definicin clsica de probabilidad ............................................ 50

Probabilidad compuesta .......................................................... 50

Teorema de Bayes.................................................................. 55

Anlisis Combinatorio............................................................... 573.C Distribucin Normal .................................................................... 61

Propiedades de la distribucin normal...................................... 61

Distribucin normal estndar................................................... 63

Distribucin normal en Excel ................................................... 65

3.1 Lluvia de ideas ........................................................................... 68

3.2 Tcnica de grupos nominales (NGT) ............................................ 69

3.3 Anlisis de Campo de Fuerzas...................................................... 71

3.4 Diagrama de Ishikawa ................................................................ 72

3.5 Diagrama de Pareto .................................................................... 76

3.6 Diagrama Matriz .......................................................................... 81

3.7 Matriz Causa y Efecto.................................................................. 83

3.8 Diagrama de Relaciones .............................................................. 92

3.9 Diagrama de Afinidad................................................................... 94

3.10 Hoja de Verificacin ..................................................................... 97

3.11 Carta de Tendencias ................................................................... 993.12 Diagrama de Dispersin ............................................................ 100

3.13 Mapa de procesos.................................................................... 106

3.14 QFD......................................................................................... 111

3.15 Benchmarking .......................................................................... 126

3.16 Capacidad de los sistemas de medicin (R&R) ............................ 131


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Captulo 4 Fase de Anlisis............................................................................... 146

Determinacin de la capacidad del proceso .......................................... 148

Objetivo de desempeo ...................................................................... 148

Fuentes de variacin ......................................................................... 149

4.1 Capacidad del Proceso ............................................................... 150

4.2 Mediciones para Seis Sigma........................................................ 166

4.3 AMEF ........................................................................................ 174

4.4 Intervalos de confianza y Pruebas de hiptesis ............................ 184

Igualdad de dos medias (varianzas conocidas) ........................ 191

Igualdad de dos medias (varianzas desconocidas) ................... 195

Igualdad de dos varianzas ..................................................... 202

Proporciones ......................................................................... 205Prueba T por pares................................................................ 207

4.5 Tablas de Contingencia .............................................................. 211

4.6 Anlisis Multi-vari....................................................................... 215

4.7 ANOVA...................................................................................... 221

4.8 Anlisis de Regresin ................................................................. 232

Regresin lineal simple .......................................................... 232

Residuales ............................................................................ 238

Inferencias sobre el modelo de regresin lineal ....................... 241

Anlisis de correlacin .......................................................... 243

Anlisis de regresin mltiple ................................................. 248

Captulo 5 Fase de Mejora ............................................................................... 260

Causas potenciales y caracterizacin de las xs.................................... 261

Relaciones entre variables................................................................... 261

5.1 Diseo de experimentos (DOE)...................................................... 263

Diseos Factoriales................................................................ 264

Diseo factoriales en Minitab.................................................. 266

Diseo factorial 2k................................................................. 280

Tcnica de confusin en los diseos 2k................................... 284

5.2 Diseo central compuesto 2k......................................................... 289


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5.3 DOE Taguchi .................................................................................. 299

Arreglos ortogonales y grficas lineales....................................... 299

ndices Seal a Ruido................................................................. 321

5.4 Superficie de respuesta (RSM)......................................................... 335

Captulo 6 Fase de Control ............................................................................... 348

6.1 Cartas de Control.......................................................................... 352

X-R........................................................................................... 354

Interpretacin del control del proceso ......................................... 358

X-S ........................................................................................... 359

Individuales I ............................................................................ 361

P ............................................................................................ 364np............................................................................................ 367

C ............................................................................................ 368

U ............................................................................................ 370

6.2 Pre- Control.................................................................................... 372

6.3 Poka Yoke .................................................................................. 375

Conceptos bsicos de capacidad cero.......................................... 379

Captulo 7 Caso prctico .................................................................................. 380

Conclusiones y recomendaciones ..................................................................... 390

Anexo 1 Tablas ............................................................................................ 394

Bibliografa ............................................................................................ 406


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I. ANTECEDENTES

Actualmente, uno de los mayores problemas que enfrentan las empresas es la fuerte

competencia dentro de cada mercado a nivel local y global. Esto es una gran amenaza

para las mismas si no encuentran los mecanismos adecuados para poder subsistir en elmedio.

Las organizaciones con una misin como la del diseo de productos, la manufactura o la

prestacin de servicios, tienen que ser cada vez ms eficientes y productivas. De tal

manera que todos sus miembros y recursos se conjunten en un solo esfuerzo para crear

una cadena de valor que logre satisfacer ampliamente las necesidades de los

consumidores. En otras palabras todas las partes que componen esta cadena tienen el

reto de proporcionar productos o servicios con mayor calidad, en menos tiempo, y al

menor costo posible.

La labor de los diseadores de producto, por ejemplo, es la de innovar en el menor

tiempo, aunque los productos sean demasiado complejos en algunas ocasiones. Asimismo,

el departamento de manufactura experimenta gran presin al tener que fabricar mayores

volmenes de produccin con menos recursos. Las reas de servicio, tienen que reducir

al mximo sus tiempos de entrega para lograr la satisfaccin de los clientes.

Las organizaciones llevan a cabo una gran variedad de procesos mediante los cuales

logran la transformacin. En estos procesos la "variacin" es un factor muy importante a

controlar. El concepto de variacin establece que no existen dos artculos que sean

perfectamente idnticos, es un fenmeno de la naturaleza y un hecho en el entorno de

cualquier tipo de organizacin, por ejemplo las dimensiones de la ventana de contacto de

un chip integrado producido en gran escala varan de un chip a otro; el contenido de

shampoo vara ligeramente de un envase a otro; el tiempo requerido para asignar un

asiento en el mostrador de registro de una lnea area vara de un pasajero a otro. Si seignora la existencia de esta variacin (o se racionaliza en forma falsa que es pequea) se

puede llegar a tomar decisiones incorrectas sobre problemas importantes, impactando en

la calidad de los productos.


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3

Qu mecanismos debemos adoptar para reducir la variacin en nuestros

procesos e incrementar el nivel de calidad?

A lo largo del tiempo las tcnicas para mejorar la calidad han ido evolucionando; en un

principio la calidad se controlaba mediante inspecciones finales de los productos

(siglo XIX), los que estaban dentro del rango de especificaciones se aceptaban, los que no

se rechazaban teniendo que ser reprocesados o desechados.

Con este sistema se corren dos riesgos: el primero es tener que estar reprocesando gran

cantidad de artculos defectuosos y el segundo es que a pesar de la inspeccin, por muy

rigurosa que sea, pueden llegar productos en mal estado a las manos del consumidor

final. En este caso la probabilidad de incurrir en costos de fallas internas y externas es

muy alto.

Debido a las prdidas econmicas que generaban estos desperdicios y en el afn por

mejorar la calidad surgen nuevas ideas y metodologas.

Durante la Segunda Guerra Mundial se desarroll el Control Estadstico de Procesos

(CEP),enfocado al control de los procesos y a la aparicin de mtodos estadsticos para

el mismo fin y para la reduccin de los niveles de inspeccin.En la dcada de los cincuenta surge elAseguramiento de la Calidad, en sta poca se

detecta la necesidad de involucrar a todos los departamentos de la organizacin en el

diseo, planeacin y ejecucin de polticas de calidad.

En la era de la Administracin Estratgica por Calidad Total (dcada de los

noventa), se hace hincapi en el mercado y en las necesidades del consumidor,

reconociendo el efecto estratgico de la calidad en el proceso de competitividad.

A principios de los noventa se desarrolla el sistema denominado SEIS SIGMA(SIX

SIGMA) el cual consta de una metodologa para la solucin de problemas, basndose

principalmente en la aplicacin de tcnicas estadsticas para reducir la variacin al

mximo.


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La metodologa SEIS SIGMA, engloba tcnicas de Control Estadstico de Procesos,

QFD,Taguchi, Benchmarking, entre muchas otras ms; siendo una slida alternativa para

mejorar los procesos y por lo tanto, lograr la satisfaccin de los clientes. Entre las

principales ventajas que presenta esta metodologa se encuentran las siguientes: contiene

una serie de pasos generales para llevar a cabo la implementacin en cualquier tipo de

empresa. Las herramientas que la conforman pueden ser utilizadas por usuarios de

diferentes disciplinas y niveles dentro de la organizacin; representa un desafo para las

empresas que lo llevan a cabo ya que la meta es alcanzar un nivel de variacin mnimo.

descrito a continuacin:

El trmino SIGMAes una letra del alfabeto griego ( )utilizado para describir variabilidad,

la medida que comnmente se utiliza es: defectos por unidad. Un nivel de calidad sigma

"Alto" significa que los defectos tienen menores posibilidades de ocurrir, mientras que uno

"Bajo", tendr mayores probabilidades de estar presente. El nivel Seis Sigmasignifica que

se encontrarn nicamente 3.4 defectos por cada milln de unidades producidas.

La metodologa Seis Sigma involucra una medida, para determinar el grado en que los

diferentes procesos alcanzan sus metas, adems de ofrecer una gran variedad de

estrategias para realizar las mejoras correspondientes.

La aplicacin de las tcnicas a todas las funciones de la empresa, conlleva a un alto nivel

de calidad a bajos costos y con una reduccin en los tiempos de ciclo; resultando en unagran rentabilidad y ventaja competitiva.

Es importante que la administracin se enfoque a los problemas que estn ocultos, Ej: las

horas extra para corregir errores, errores en documentacin, exceso de inventario y no

solamente a los que saltan a la vista, Ej.: reprocesos, rechazos, reclamaciones por parte

de los clientes. Tambin es importante tener una visin clara y un plan perfectamente bien

definido para alcanzar el xito al implementar proyectos de mejora.

Seis Sigma es una estrategia de negocios iniciada por la empresa estadounidense

Motorola, a principios de los aos 90's. Asimismo, General Electric, Sony, y Allied Signal,

realizaron la implementacin de la misma obteniendo grandes beneficios. Actualmente, el

uso de esta metodologa esta siendo ampliamente difundida.

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5

La estrategia Seis Sigma incluye el uso de herramientas estadsticas dentro de una

metodologa estructurada incrementando el conocimiento necesario para lograr de una

mejor manera, ms rpido y al ms bajo costo, productos y servicios que la competencia.

Se caracteriza por la continua y disciplinada aplicacin de una estrategia maestra

"proyecto por proyecto", donde los proyectos son seleccionados mediante estrategias

clave de negocios, lo cual conduce a recuperar la inversin realizada y obtener mayores

mrgenes de utilidad. La gente que coordina los proyectos de Seis Sigma son

comnmente llamados: BlackBelts1, Top guns, Change Agents o Trailblazers.

Aplicar la iniciativa Seis Sigmadentro de una compaa significa "Cambiar la cultura de

la organizacin", ya que se fomenta el trabajo en equipo para la solucin de

problemas, se mejoran la comunicacin y aumenta el grado de confianza y seguridad en

los individuos para realizar el trabajo; de esta manera se rompe la resistencia al cambio

para poder ser ms agresivos y alcanzar metas cada vez ms desafiantes.

Como ejemplos de los beneficios que han obtenido algunas empresas que han utilizado

la metodologa Seis Sigmatenemos los siguientes:

En la divisin de Sistemas Mdicos de GE -General Electric-, la implementacin produjo

que se incrementara diez veces la vida de un scanner de rayos-x, aumentando elgrado de confiabilidad y rentabilidad de el equipo, as como el nivel del cuidado a los

pacientes proporcionado por los hospitales y otros proveedores mdicos.

En el negocio de plsticos de GE despus de un riguroso esfuerzo del equipo de

trabajo, se ganaron trescientos millones de libras en capacidad (peso) equivalente a

una nueva planta, se ahorraron $400 millones de dlares tan slo en inversin.

Lockheed Martin gastaba un promedio de doscientas horas de trabajo tratando de

fabricar una parte para que el tren de aterrizaje de un jet ajustar correctamente. El

personal realiz grandes aportaciones de ideas durante mucho tiempo, sin embargo el

problema no se solucionaba.

1Black Belt es nombre registrado por Motorola Inc. en U.S.A


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6

La disciplina estadstica Seis Sigma descubri una parte que se desviaba por una

milsima de pulgada. Ahora que se corrigi el problema la compaa ahorra $14,000

dlares por cada jet fabricado.

II. JUSTIFICACIN

Ante la necesidad de utilizar en las empresas sistemas que incrementen la calidad de los

productos y servicios, dando mayor rentabilidad a las mismas como se explic

anteriormente, la aplicacin de Seis Sigma es una slida alternativa. Esta metodologa est

enfocada a todas las reas que componen una empresa y no solamente a un

departamento especfico de calidad. La bibliografa con la que se cuenta actualmente es

demasiado compleja y el lenguaje en algunos casos resulta difcil para el usuario, por los

trminos y conceptos de estadstica avanzada.

Por este motivo se pretende desarrollar un manual prctico y accesible para los

diferentes perfiles de aquellos que lleven a cabo la implementacin del sistema SEIS

SIGMA.

A continuacin se mencionan las ventajas que tiene la implementacin de un sistema Seis

Sigma en comparacin con otros Sistemas de Calidad:

Ventajas Seis Sigmavs. Calidad Total

Mayor uso de tcnicas estadsticas en la implementacin de proyectos de mejora.

Las tcnicas estadsticas son ms fciles de comprender y de seleccionar ya que

utiliza un lenguaje ms digerible para la mayora de los usuarios.

Utilizacin de reportes de Confiabilidad para la seleccin de proyectos de mejora.

La seleccin de los equipos de mejora y entrenamiento son ms robustos ya que

es conducida a travs de grupos de gente que poseen el conocimiento,

experiencia, disciplina tcnica, liderazgo y conocimientos en el rea especfica.

(Champions, Black Belts, Green Belts, etc.)

Anlisis de los sistemas de medicin (calibracin), como parte de la metodologa.

Anlisis de los proceso crticos mediante las tcnicas de Diseo de experimentos y

Superficie de respuesta.


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Para la implementacin y control de la condiciones ptimas del proceso se utiliza

en gran medida el Diseo de experimentos, CEP y Superficie de respuesta.

Realiza estudios de la capacidad del proceso, cuando los ndices

, se tiene un buen indicador de que se est logrando el nivel

Seis Sigma.

5.10.2 kcpycp

Garantiza el cumplimiento mediante muestreos aleatorios.

Los objetivos son medidos mediante el logro de la mtrica 6 , y las utilidades que

genera cada proyecto.

Seis Sigma tiene mayor integracin con las estrategias clave de negocio y

desempeo.

El liderazgo en Seis Sigma se da desde la direccin, mientras que en los sistemas

de Calidad se ha mostrado mayor escepticismo por parte de la direccin. Uno de los mayores beneficios que tiene Seis Sigma es que rompe las barreras

entre departamentos utilizando la administracin por procesos Cross Functional.

Ventajas Calidad Total vs. Seis Sigma

Realiza un diagnstico operativo y cultural en la empresa antes de llevar a cabo la

implementacin del sistema.

Propone el desarrollo de polticas de calidad las cuales deben de ser congruentes

con los planes estratgicos de la empresa.

Dicta procedimientos de entrenamiento, educacin y reconocimiento a los logros

de calidad (mayor administracin del recurso humano).

Propone el uso de un sistema de Aseguramiento de Calidad, el cual proporciona la

certeza de que el resultado del proceso productivo tendr los niveles de calidad

deseados.

Desarrollo de crculos de calidad mediante los cuales se forman grupos voluntarios

de trabajadores para discutir temas relacionados con la calidad; fortaleciendo la

actitud de los trabajadores hacia el trabajo.

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8

Desventajas de los sistemas de Aseguramiento de Calidad vs. Seis Sigma

El sistema de comunicacin es lento.

La calidad depende de las inspecciones que realiza el departamento de

Aseguramiento de calidad.

Cuando un auditor descubre oportunidades de mejora, pueden existir fricciones

entre los administradores de lnea y en ocasiones las recomendaciones no se llevan

a cabo.

Los auditores son los nicos que hacen llegar inconformidades a la alta gerencia.

El seguimiento de las recomendaciones corresponde exclusivamente al

departamento de auditora y en ocasiones no se involucra a la alta administracin.

Cuando las auditoras son anunciadas (que sucede en la mayora de los casos), los

departamentos auditados se dedican a maquillar y ocultar datos y evidencias. Al llevar a cabo una auditora es frecuente que las relaciones humanas sean

bastante tensas.

Cabe mencionar que el sistema Seis Sigmase considerar el sistema principal para quien

pretenda implementarlo, sin embargo no es posible prescindir del uso de otros sistemas

considerados como complementarios. Los principios que enuncian estos sistemas

complementarios son fundamentales para el buen funcionamiento de una empresa y por

tanto la satisfaccin de los clientes.

III. OBJETIVOS

Objetivo general

El objetivo general de esta tesis es la elaboracin de un manual de herramientas para la

metodologa SEIS SIGMA de fcil acceso para los usuarios; es una gua que facilita la

comprensin de las herramientas estadsticas para la mejora de la calidad.

Objetivos especficos

Evitar, en lo posible, las deducciones de frmulas matemticas y explicaciones

complejas que puedan confundir y hacer perder tiempo a los que hagan uso de el.


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Se pretende que el manual sea una herramienta valiosa, tanto para la capacitacin

como para la consulta, de todos aquellos que lleven a cabo la implementacin de la

metodologa Seis Sigma.

Implementar en las empresas sistemas de calidad basados en la metodologa Seis

Sigma.

IV. ALCANCE Y TRASCENDENCIA

Este manual est dirigido como ya se mencion a aquellas personas que tienen la labor de

implementar sistemas de calidad y realizar proyectos de mejora, basndose en la

metodologa Seis Sigma.

Asimismo dado el carcter didctico que se pretende, ser posible que aquellas personas

de otras disciplinas o con poca instruccin puedan familiarizarse con el uso de las

herramientas estadsticas para mejorar la calidad.

La correcta aplicacin de las tcnicas descritas en este manual podr ser aplicado en

cualquier empresa, aumentando los niveles de calidad y las utilidades por lo cual la

trascendencia es de alto beneficio para la sociedad.

V. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

El uso de la Estadstica para el mejoramiento de la calidad en la mayora de los casos no

ha sido difundido a todas las reas de las empresas, principalmente por que no se

conocen los beneficios que se pueden obtener, en el manejo y anlisis de informacin.

La literatura con la cual se cuenta es de difcil acceso ya que existe una cantidad de

deducciones y frmulas matemticas, que solo conocen aquellas personas que han

profundizado en el rea.

La mayora de los ingenieros se han enfocado en aspectos meramente tcnicos, dejando a

un lado las tcnicas de medicin y anlisis de informacin proporcionados por la

Estadstica, siendo que en la mayora de las veces los problemas pueden ser resueltos

mediante la ayuda de dichas tcnicas.

Dentro de una organizacin existen personas con diferentes perfiles y diferentes niveles de

conocimiento, lo que dificulta la transferencia de las herramientas. Para lograr la

adecuada implementacin de Seis Sigmase propone este manual que describe paso por

paso el mtodo que se debe de seguir para la utilizacin de cada una de las tcnicas. Cada


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10

uno de los pasos es claro, bien estructurado y menciona ejemplos de aplicacin para

facilitar el entendimiento. Es importante que la implementacin de Seis Sigma sea

realizada por personas que posean liderazgo y buena capacitacin en el tema y adems

sepan conducir equipos de trabajo.


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CAPTULO 1 INTRODUCCIN A LA METODOLOGA SEIS SIGMA.

La mtrica de Seis Sigma

El nivel sigma, es utilizado comnmente como medida dentro del Programa Seis Sigma,

incluyendo los cambios o movimientos tpicos de 5.1 de la media (concepto que

ser explicado ms adelante). Las relaciones de los diferentes niveles de calidad sigma no

son lineales, ya que para pasar de un nivel de calidad a otro, el porcentaje de mejora del

nivel de calidad que se tiene que realizar no es el mismo. Cuando avanzamos a un nivel

mayor el porcentaje de mejora ser ms grande. La tabla muestra el porcentaje de

mejora requerido para cambiar de un nivel sigma a otro mayor.

Nivel actual Cambio Porcentaje de mejora

requerido

3 4 10x

4 5 30x

5 6 40x

Realizando un comparativo del nivel de calidad sigma de varias empresas se determin

que el promedio de estas se encuentra en el nivel 4 . Las empresas con nivel 6 sondenominadas de Clase Mundial (World Class). El objetivo de la implementacin Seis

Sigmaes precisamente convertirse en una empresa de Clase Mundial.

En la figura 1.1 se muestra el concepto bsico de la mtrica de Seis Sigma, en donde las

partes deben ser manufacturadas consistentemente y estar dentro del rango de

especificaciones.

La distribucin normal muestra los parmetros de los niveles tres sigma y seis sigma.

Con la distribucin normal centrada dentro de los lmites Seis Sigma, se tendra

nicamente una porcin de .002 ppm.2

Para compensar las inevitables consecuencias de los errores de centrado de procesos , la

media de la distribucin se desfasa 5.1 (Segn Motorola y Juran, no necesariamente

aplica para cualquier empresa).

2Forrest W. Breyfogle III, Implementing Six Sigma, John Wiley & Sons Inc. pp. 9

11


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Figura 1-1. La figura muestra el nmero de partes por milln (ppm) que estaran fuera de los

lmites de especificacin tomando como lmite el valor de cada desviacin estndar.

Este ajuste proporciona una idea ms realista de la capacidad del proceso a travs de

varios ciclos de manufactura. El desfasamiento puede ser en direccin positiva o negativa,pero nunca en ambas direcciones3

Lmite de especificacin Porcentaje Defectos ppm

68.27 317,300

95.45 45,500

99.73 2,700

99.9937 63

99.999943 0.57

99.9999998 0.002

123456

Tabla 1.1 PPM distribucin normal centrada

3 Anlisis y planeacin de la calidad, J.M. Jurn Mc. Graw Hill, 1995 pp. 397

12


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123456 654321 ++++++

LSL USL

Figura 1-3 Distribucin normal descentrada 1.5

Una medida que describe el grado en el cual el proceso cumple con los requerimientos es

lacapacidad del proceso. Los ndices utilizados son Cp y Cpk, Un nivelSeis Sigma tiene la

habilidad de lograr ndices de 2.0 y 15 respectivamente. Para lograr esta capacidad la

meta a alcanzar de un programa Seis Sigmaes producir al menos 99.99966% de calidad,

no ms de 3.4 defectos en un milln de piezas producidas.

Lmite de es pecificacin Porcentaje Defectos ppm

99.9767 233

99.99966 3.4

93.32 66,810

99.379 6,210

30.23 697,700

69.13 308,700

1

2

3

4

5

6

Tabla 1.1 Porcentajes y cantidad de defectos a los que corresponden los diferentes

niveles Sigma

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10 PASOS DE MOTOROLA PARA LA MEJORA DE PROCESOS

1. Priorizar oportunidades de mejora: conocer y especificar los problemas haciendo las

siguientes preguntas: cmo, cundo, dnde, por qu y quin. Indicar cual es el

impacto al cliente, confiabilidad, calidad del producto, costos de calidad.2. Seleccionar el equipo de trabajo adecuado: seleccionar un pequeo grupo de gente

que conozca el producto/ proceso, con la experiencia, disciplina tcnica y conocimiento

en el rea relativa. Establecer el rol del equipo y de cada miembro, Seleccionar un

Champion que ser el encargado de conducir y asesorar al grupo.

3. Describir el proceso en su totalidad: Mediante el uso de diagramas de flujo ilustrar las

posibles variaciones y alternativas de el proceso. Incluyendo todo el equipo, gente,

mtodos, herramientas instrumentos y equipos de medicin.

4. Anlisis del desempeo de los sistemas de medicin: determinar la precisin,

exactitud, repetitibilidad y reproducibilidad de cada instrumento o indicador utilizado,

para asegurar la capacidad de los mismos. Asegurar que la exactitud en la precisin

sea al menos 10 veces mayor que la magnitud que se va a comparar.

5. Identificar y describir los procesos y productos potencialmente crticos: enumerar

todos los procesos crticos potenciales, mediante el uso de tormentas de ideas, datos

histricos, reportes de rendimiento, anlisis de falla, etc.

6. Aislar y verificar los procesos crticos: reducir la lista enfocndonos a los pocos vitales,

identificar las relaciones de entrada y salida que provocan problemas especficos.

Verificar las causas potenciales de variacin en los procesos, mediante el uso de

diseo de experimentos, diagramas de dispersin y diagramas multivariados.

7. Estudio del desempeo del proceso y medicin de la capacidad: identificar y definir las

limitaciones de los procesos. Asegurar que los procesos sean capaces de alcanzar su

mximo potencial. Determinar las especificaciones reales. Se considera que un

proceso es capaz cuando C , si el proceso es capaz se continua con el

paso 8. , de lo contrario se requiere tomar acciones rediseando el proceso o el

producto.

0.1 pkp C

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procesoes capaz

1.

2.

Accin requerida en el proceso

Rediseo de Equipo/proceso Rediseo de producto Accin de la Gerencia

Priorizar oportunidades de m ejora

Seleccionar el equipo de trabajo adecuado

Describir el proceso en su totalidad

Anlis is de l desempeo de los s is temas de

medicin

Identificar y describir los procesos y productos

potencialmente crticos

Aislar y verificar los procesos crticos

Estudio de el desempeo del proceso ymedicin de la capacidad

Implementacin de condiciones de operacin y

control ptimas

objetivos/tolerancias controles de proceso Procedimientos para accin preventiiva Procedimientos para accin correctiva

Monitoreo de procesos atravs de la mejoracontinua

Reducir causas comunes de variacinalcanzando Six Sigma

procesono capaz

si

MEJORACONTINUA

no

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.5.10.2 pkp CC

Figura 1-4 diagrama de flujo: 10 pasos de Motorola para la mejora de procesos

15


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16

8. Implementacin de condiciones de operacin y control ptimas: Llevar a cabo un plan

permanente de acciones correctivas para prevenir causas especiales de variacin. Es

necesario tener un proceso estable y predecible, por lo cual se deber tener

continuamente controles de proceso.

9. Monitoreo de procesos a travs de la mejora continua: Los sistemas, mtodos,

procedimientos debern de ser modificados cuando sea necesario para evitar las

causas especiales de variacin. Tambin ser necesario identificar las acciones futuras

requeridas para mejorar el proceso.

10. Reducir causas comunes de variacin para alcanzar Seis Sigma: Se deben reconocer

las limitaciones del proceso. Solamente a travs de la reduccin y eliminacin de las

causas comunes de variacin y el diseo para la manufactura es posible alcanzar el

nivel Seis Sigma. Una vez que las causas especiales se han eliminado solamente

pueden permanecer causas comunes las cuales se irn eliminando a travs de la

mejora continua de los procesos.


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CAPTULO 2 FASE DE DEFINICIN

MedirMedir AnalizarAnalizar MejorarMejorar ControlarControlarDefinirDefinir

Objetivo

Identificar el problema a resolver, estratificando tanto como sea posible, por ejemplo:

reclamacin de un cliente por falla, identificar la familia de productos por importancia

mediante el uso del diagrama de Pareto (ver diagrama Pareto fase de medicin), despus

identificar el producto, la lnea donde se produce, el equipo especfico, etc. En este

momento podemos definir el problema y la oportunidad de mejora. En esta fase ,la primera

de la metodologa de Seis Sigma, estamos interesados en detectar cul es el problema,

definir los CTQS (Crtico para la calidad) basndonos en la voz del cliente (VOC), el

impacto que tiene para el negocio la realizacin del el proyecto, las metas que

pretendemos lograr, el alcance y los ahorros financieros.

Etapas

1. Identificacin de clientes internos y externos:

El primer paso en la definicin de un proyecto es identificar cules son los clientes a los

cuales el proceso impacta. Definimos como cliente interno a la persona o las personas

siguientes en el proceso, esto es dentro de la compaa. Por ejemplo el cliente de almacn

es produccin ya que ellos se encargan de proveer las materias primas e insumos para que

produccin pueda realizar el proceso de transformacin.

Los clientes externos son todos aquellos a los que la empresa provee un producto o

servicio.

2. Determinar los CTQS del proyecto:

CTQ Crtico para la calidad (Critical to quality), es un atributo o caracterstica de calidad de

un producto o servicio que es importante para el cliente.

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22/411

Nota: Tambin existen otros conceptos como CTT (Critical to time) y CTC (Critical to

Cost). En este tipo de proyectos estamos interesados en el caso de CTT en reducir el

tiempo de respuesta y para los CTC en reducir los costos.

Tanto en los CTQ, CTT y CTC el objetivo para la empresa es reducir los costos, aumentar

la satisfaccin del cliente y aumentar las utilidades.

Para determinar los CTQ, tenemos que conocer la voz del cliente interno o externo (VOC),

o sea qu es lo que espera nuestro cliente acerca del servicio o producto que le

proporcionamos. Mediante la voz del cliente podemos saber cul es el grado de

satisfaccin que este tiene.

Ejemplo de CTQ:

Entregas a tiempo

Mantenimiento

Durabilidad

Confiabilidad

Seguridad

Para determinar los CTQS podemos basarnos en lo siguientes puntos:

Metas del negocio

Entrevistas Encuestas

Quejas

Datos de Benchmarking

Discusiones ejecutivas

Discusiones de trabajo especfico

Matriz de Causa Efecto

QFD

Tendencias del mercado futuras

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3. Seleccin del problema:

El problema se puede dar debido a: devoluciones, nivel de servicio, entregas tardas,

desperdicios, producto defectuoso y documentos inadecuados.

Seleccionamos el problema con base en las polticas de la organizacin, al jefe inmediato y

a los resultados de sus actividades diarias.

Criterios para seleccionar el problema:

Seguridad

Calidad

Entrega

Costo

Nivel de servicio

4. Razn de la Seleccin:

Expresa los antecedentes, la importancia y la prioridad de los problemas.

En este punto explicamos por qu se seleccion el problema:

Efecto econmico, reclamo de mercado, rechazos, % de ventas perdidas entre otros.

Impacto para los procesos posteriores, monto de prdida, incremento de tiempo de

operacin, paro de lnea, etc.

Entre todos los integrantes del equipo pueden evaluar las razones arriba descritas

mediante la matriz de evaluacin (Figura 2-1) y enfocarse en un solo tema.

5. Impacto en el negocio:

En este punto enunciamos como impacta la mejora del proceso al negocio. Se mencionan

cules seran las consecuencias en caso de no realizar el proyecto. Debemos conocer cul

ha sido la situacin en el negocio debido al proceso actual . Qu nos ha ocasionado:

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prdida de clientes?, Incumplimiento en los niveles de servicio?, As cmo cuantificar (en

porcentajes y en prdidas de dinero).

Es importante describir cmo se alinea el proyecto con las iniciativas y metas del negocio.

Estas ltimas son definidas por la direccin.

6. Descripcin del problema:

Se debe estratificar o preguntar: por qu? por qu? por qu?, hasta definir el problema

que tiene el proceso, el producto o el servicio de forma especfica, indicando

cualitativamente de ser posible en cifras o porcentajes que demuestren la necesidad de

modificar su estado actual. Es necesario expresar concretamente el grado del problema

(el tema no deber ser demasiado amplio). Es mejor no usar la solucin para nombrar un

problema, sin antes realizar la bsqueda de la causa verdadera, se crear duda de si esa

solucin es la definitiva.

3 puntos 2 puntos 1 punto

12 puntos

10 puntos

Docs. Inadec. 10 puntos

9 puntosNivel servicio

Criterio de evaluacin

Problema

Devoluciones

Entregas tardas

Orden

Evaluacin

Periodo de ejec.Importancia Prioridad Poltica Depto Factibilidad

Figura 2-1 Matriz de evaluacin.

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7. Definicin de los objetivos del proyecto:

Para determinar los objetivos del proyecto nos cuestionamos qu es lo que vamos a

obtener con la realizacin del proyecto? Generalmente es mejorar e implementar el

proceso para una fecha especfica. Ej: Implementar el 100% de las mejoras de un proceso

en la fecha propuesta, incrementar el nivel de servicio en un 98%.

En la tabla 2-1 encontramos puntos a considerar para definir los objetivos de manera

precisa.

8. Alcance del proyecto:

Sirve para delimitar el proceso (alcance del proyecto de Calidad).

Punto de inicio: identificar la actividad en donde empieza el proceso.

Punto final: identificar la actividad donde termina el proceso.

Dentro del alcance: actividades que se encuentran dentro del proceso.

Fuera del alcance: actividades que no estn dentro del proceso.

Los proyectos de los Green Belts son relacionados a sus actividades diarias a nivel

transaccional y operativo, para que estn bien enfocados y con un alcance corto. Cuando el

proyecto sea demasiado grande conviene dividirlo o particionarlo, entre diferentes Green

Belts. Por ejemplo en una empresa de desarrollo de software se piensa optimizar el

proceso de seleccin de personal, este proceso comienza desde que surge unrequerimiento por parte del cliente. El lder de proyecto hace la peticin del personal con

base en las habilidades requeridas a recursos humanos, este a su vez hace todo el

proceso de reclutamiento y proporciona el recurso al lder, en este punto termina el

proceso. Realizar un proyecto con todas estas etapas es demasiado complejo por lo cual se

decide particionarlo en tres etapas:

a) Requerimiento del personal por parte del cliente al gerente de cuenta.

b) Requerimiento del personal a recursos humanos.

c) Proceso de reclutamiento y asignacin del personal.

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Establecer un objetivo que tenga relacin con la seleccin del tema y razn de la seleccin

PUNTO CRTICO ACTIVIDADES

Aclarar la meta del valor objetivo.

No plasmar simplemente los deseos y

expectativas en el objetivo, sinoestablecer un objetivo factible de

manera escalonada.

Establecer un objetivo con fundamento,

no se debe tomar una decisin de

impulso (sin analizar).

Punto clave para establecer el valor

objetivo:

Definirlo tomando en cuenta las polticasde la empresa.

En caso de no tener un concepto claro

de las polticas, analizar la importancia

de los problemas y/o mejoras, cuando

nos ocasionen un defecto al proceso

posterior, factibilidad de cumplimiento,

programa, distribucin de cargo, etc. y

definirlo.

Indicar el objetivo con valores en forma

numrica en lo posible.

El objetivo debe tener relacin con elefecto esperado.

El objetivo debe de ser concreto. Ej:

qu?reducir el porcentaje defectuoso en

los productos A.

hasta cundo? de Mayo de 2002 a

Octubre de 2002.

hasta cunto? bajar hasta 1% o menos

del 1% del promedio defectuoso. Existe un mtodo para establecer el

objetivo final de una vez; otro

establecindolo en forma gradual entre

objetivo primario y secundario,

establecer perodos de tiempo cortos.

Establecer objetivos graduales en los

casos siguientes:

1. Que el tema sea demasiado grande y se

requiera dividirlo.

2. Que el tema sea complicado y que se

relacione con otras reas.

3. Que se requiera la seleccin de las

actividades conforme a la habilidad real

del grupo de trabajo.

Tabla 2-1 Definicin de los objetivos del proyecto.

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Ejemplo:

(%)V

EN

T

A

S

6

OBJ. PRIMARIO

543210

OBJ. SECUNDARIO

OBJETIVO FINAL

PERODO DE TIEMPO

0%

65

CONDICIN ACTUAL

4321

Figura 2-2 Ejemplo objetivos del proyecto.

9. Ahorros: Identificar de dnde se van a obtener los ahorros financieros para el

proyecto de Calidad. Cules son las fuentes o actividades de donde se van a estimar

los ahorros.

Ej. Reduccin de costos al automatizar un proceso, reduccin del tiempo horas-hombre al

mejorar el proceso (siempre y cuando sean facturables y asignados a un proyecto),

reubicar el Headcount, incrementar las ventas en un 20% al disear una estrategia de

canales de distribucin, etc.

Cabe mencionar que no siempre hay ahorros, si el CTQ se deriva de una mejora de lacompetencia, se har una inversin.

10. Metas cualitativas:

Si es el caso identificar las metas cualitativas Ej.: Incrementar los niveles de seguridad en

las instalaciones. Mejorar la imagen del negocio, cumplimiento con lineamientos

corporativos.

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11. Mapa del proceso: realizaremos un mapeo del proceso de alto nivel, identificando

cules son los proveedores, entradas, proceso, salidas y clientes.

PROVEEDOR ENTRADAS PROCESO SALIDAS CLIENTE

Figura 2-2 Mapa de proceso. high level

12. Seleccin del equipo de trabajo:

- Seleccionar a las personas clave que intervienen o que estn involucradas directamente

y que reciben beneficios del proceso.

- Incluir nombre, posicin roles y responsabilidades a desempear en el desarrollo del

proyecto.

- Es necesario incluir adems de los miembros del equipo, al Champion del proceso as

como un Black belt

Recomendaciones:- Todos los miembros del equipo deben reconocer que la meta que persiguen como tal

es importante para ellos y para la empresa.

- Los miembros deben ser asignados a un grupo de acuerdo con sus habilidades y

potencial.

- Desarrollar un cdigo de conducta, as como reglas para que ste se cumpla.

- Se debe proporcionar retroalimentacin y reconocimiento en forma oportuna.

- La estructura de comunicacin debe asegurar el flujo de informacin requerido para la

toma de decisiones.- Asignacin de recursos y financiamiento para la realizacin de planes de mejora.

- Orientacin y supervisin de los equipos para que tengan un mejor desempeo.

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Es importanteidentificar en que casos se debe seguir la metodologa Seis Sigmay

en que casos es mejor utilizar alguna otra de resultados ms rpidos o para

solucin de problemas crnicos como la de crculos de calidad. En realidad aunque

se quisieran proponer soluciones a un problema despus de estratificarlo, sera

imposible llevarlo a cabo.

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CAPTULO 3 FASE DE MEDICIN

MedirMedir AnalizarAnalizar MejorarMejorar ControlarControlarDefinirDefinir

En la fase de definicin identificamos los CTQS del cliente, y desarrollamos un mapa de alto

nivel high level para determinar los CTQS del proceso.

Como ya mencionamos anteriormente, en todos los procesos existe variacin, en esta fase

estamos interesados en medir dicha variacin para saber s existen datos que se encuentren

fuera de especificaciones, que estn causando problemas en nuestros procesos. Para realizar

esta actividad es de suma importancia conocer: Qu es lo que necesitamos medir? yCmo lo vamos a medir?A lo largo de este captulo tenemos diferentes herramientas que

nos ayudarn a responder estas preguntas.

Dependiendo de las condiciones y necesidades que tengamos seleccionaremos una ms

herramientas, cabe mencionar que no necesariamente se utilizan todas las herramientas, lo

importante es seleccionar cuidadosamente aquellas que nos proporcionen la informacin ms

objetiva y precisa.

Objetivos:

Conocer el uso de las herramientas de la fase de medicin.

Determinar qu mediciones son importantes para el proyecto.

Recolectar datos relevantes.

Convertir los datos en nmeros para conocer su comportamientos.

Detectar cul es la frecuencia con la que ocurren los defectos.

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Esta fase consta de las siguientes etapas:

1) Seleccionar los CTQS del proceso (Crtico para la calidad):

Observemos la siguiente tabla:

Y = F(X)

Y

Variable

dependiente

Salida (respuesta)

Efecto

Sntoma

Monitoreable

X1, X2,..Xn

Variable

independiente

Entrada-Proceso

Causa

Problema

Controlable.

Zs

Variables de ruido

Incontrolables

Tabla 3.1Variables dependiente, independiente y de ruido.

Para la seleccin de Ys podemos utilizar un diagrama de Pareto para priorizar y centrar nuestra

atencin en el(los) efecto(s) ms importante(s). La variable dependiente Y fue previamente

determinada en la fase de definicin.

La Y es la variable de respuesta y las Xs son las variables de entrada, las Zs son las variables

de ruido.

Los CTQs del cliente (interno o externo) corresponden a la Y, y los CTQs del proceso

corresponden a las Xs.En esta etapa estamos interesados en determinar las Xs, ya que son las variables que podemos

medir y controlar.

Para determinar los CTQs del proceso seleccionaremos alguna o algunas de las herramientas

apropiadas a las necesidades del proyecto.

A continuacin se enuncian y describe brevemente cada una de las herramientas.

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No. Herramienta Para qu es utilizada?

3-A Estadstica Descriptiva Definiciones bsicas con ejemplos de Estadstica.

3-B Probabilidad Definiciones bsicas con ejemplos de Probabilidad.

3-C Distribucin Normal Propiedades de la distribucin Normal.

3-1 Lluvia de ideas Cada miembro del equipo propone posibles soluciones a un problema,

mediante consenso se determinan las mejores soluciones.

3-2 Tcnica de grupos

nominales

Permite al equipo rpidamente realizar un consenso de la importancia

relativa de asuntos, problemas o soluciones posibles. Las causas ms

importantes son atacadas y se priorizan para encontrar la mejor

solucin.

3-3 Anlisis de Campo de

Fuerzas.

Analizar cuales son las fuerzas dentro de una organizacin o proceso

que estn dando empuje a las soluciones y cuales estn frenando elprogreso.

3-4 Diagrama Causa-

Efecto (Ishikawa o

Fishbone)

Representa de forma ordenada y completa todas las causas que

pueden originar un problema (efecto) es una herramienta muy

efectiva para encontrar las causas ms importantes de un problema y

con base en el anlisis de las causas encontrar la mejor solucin.

3-5 Diagrama de Pareto Se centra en los problemas que tienen el potencial ms grande de

mejora. Muestra la frecuencia relativa en una grfica de barras

descendiente.3-6 Diagramas Matriz Mtodo utilizado para mostrar las relaciones que existen entre

mtodos, causas, etc. Determinando la fuerza que existe entre estas.

Permite identificar las medidas ms convenientes para la solucin.

3-7 Matriz Causa y efecto Relaciona las entradas claves a los CTQs y el diagrama de flujo del

proceso como su fuente. Sirve para las entradas clave a usar en

AMEFS, planes de control y estudios de capacidad.

3-8 Diagrama de

Relaciones

Permite al equipo identificar, analizar y clasificar las relaciones causa

y efecto que existen entre todos los elementos crticos, para lograr una

solucin efectiva.

3-9 Diagrama de Afinidad Agrupar en categoras afines las posibles causas que ocasionan un

problema, permitiendo obtener la causa que lo origina.

3-10 Hoja de Verificacin Recolectar datos basados en el comportamiento de un proceso con el

fin de detectar tendencias, por medio de la captura, y control

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relativo del proceso.

3-11 Carta de tendencias Conocer el comportamiento de un proceso para poder tomar las

acciones correctivas a tiempo cuando es necesario.

3-12 Diagrama de

dispersin

Es una tcnica utilizada para estudiar la relacin entre dos variables,

facilitando la comprensin del problema planteado.

3-13 Mapa de procesos Proveen una secuencia grfica de cada uno de los pasos o actividadesque componen una operacin desde el inicio hasta el final.

Permitiendo una mejor visualizacin y comprensin del proceso. Sirve

para identificar pasos innecesarios, compara el proceso actual contra

el ideal.

3-14 QFD Mtodo grfico (matriz de relaciones) en el que se identifican los

deseos del cliente (CTQS) y las caractersticas de diseo del

producto, procesos o servicios. Permite traducir de un lenguaje

ambiguo a los requerimientos especficos del diseo del producto,proceso o servicio. En otras palabras relacionas los qu? del cliente

con los cmo? del proceso.

3-15 Benchmarking Estudio que ayuda a realizar un comparativo de productos, procesos o

servicios contra el mejor en la clase puede ser dentro de la empresa

o, para identificar oportunidades de mejora.

3-16 Capacidad de los

sistemas de medicin

( Anlisis R&R)

Sirve para determinar qu tan grandes son las variaciones en base a

ciertos parmetros de los sistemas de medicin, incluyendo equipo y

gente.

2) Definicin de estndares de desempeo:

a) Definicin Operacional.- Es una descripcin precisa acerca del proceso que aclara

cualquier ambigedad del mismo. Es un paso clave para el CTQ que est siendo medido.

b) Meta de desempeo.- Estamos interesados en alcanzar la meta de desempeo de la

caracterstica de un producto o proceso. La meta es reducir la variacin al mximo.

c) Lmite de especificacin.- La cantidad de variacin que el cliente est dispuesto a aceptaren un producto o proceso. La especificacin puede ser determinada internamente por

ingeniera, siempre y cuando no afecte al consumidor, sino al contrario, lo beneficie.

d) Defecto.- Cualquier caracterstica del producto que sale de los lmites de especificacin o

de los estndares de apariencia, color, duracin, etc.

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3) Establecer y validar el plan de recoleccin de datos:

Para realizar el plan de recoleccin de datos podemos ayudarnos del diagrama 5W/1H el cual

consiste en contestar las siguientes preguntas:

What? Qu?

Why? Por qu?

Who? Quin? RECOLECCIN DE DATOS

Where? Dnde?

When? Cundo?

How? Cmo?

El objetivo es recolectar datos confiables, que reflejen la realidad de lo que est sucediendo.

Las ventajas que nos proporciona son:

Provee una estrategia clara y documentada al recolectar datos confiables.

Da a los miembros del equipo una referencia comn.

Ayuda a asegurar que los recursos sean usados efectivamente para recolectar nicamente

datos crticos.

Es de suma importancia tener cuestionarios y/ o registros validados y confiables, debiendo ser lo

suficientemente claros para la persona que los llena. Es muy recomendable realizar un

instructivo y adems deben de ser diseados para que nos proporcionen la informacin

necesaria para el anlisis.

Debemos contar con equipos de medicin con error mnimo, de lo contrario nuestras mediciones

sern errneas. Para validar el sistema de medicin conducimos un estudio R&R.

Ejemplo:

En una tienda de refacciones para automviles disminuyeron en gran medidas las ventas. El

gerente general convoc a una junta con las personas involucradas, para determinar cules eran

las causas por las cuales estaba sucediendo esta situacin.

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1) Seleccionar los CTQS:

El equipo de trabajo realiz una tormenta de ideas, el cuestionamiento que se hizo es por qu

las ventas estn disminuyendo? (efecto) Una vez terminada est actividad, el grupo seleccion

mediante consenso las causas que consider ms importantes, despus utilizaron la tcnica

Why?-Why?-Why?, para encontrar la causa raz del problema. Mediante eliminacin de las otras

causas se encontr que la causa principal es: el tiempo de respuesta que se le estaba dando al

cliente.

Esto se confirm ya que un miembro del equipo expuso que los clientes en ocasiones tardaban

mucho tiempo en ser atendidos. Existan muchas quejas y los clientes en ocasiones nunca ms

regresaban.

2) Definicin de estndares de desempeo: Definicin operacional.-

En el mostrador se tiene la idea de que el tiempo de respuesta al cliente es desde el

momento en que se atiende al cliente hasta que se le entrega la refaccin.

Sin embargo para el cliente el tiempo de respuesta es desde el momento que se presenta en

la tienda, hasta que sale de la tienda con la refaccin.

Relacionando los requerimientos internos con la voz del cliente (VOC) y para eliminar

ambigedades entre las dos definiciones anteriores realizamos la siguiente definicin

operacional: El tiempo de respuesta al cliente es: Desde el momento en que el clienteentra a la tienda, espera a ser atendido, pide las refacciones en el mostrador, le

entregan las refacciones paga en la caja y recibe la factura.

Meta de desempeo.- Haciendo un Benchmarking con la mejor refaccionara de la ciudad se

determin que el 99.5% de los clientes estaban satisfechos con el tiempo de entrega.

Lmite de especificacin.- En esta caso no tenemos lmite de especificacin.

Defecto: se define como defecto cuando un cliente no est satisfecho con el tiempo de

respuesta.

Para evaluar la satisfaccin del cliente en cuanto al tiempo de respuesta realizamos un

cuestionario que aplicamos aleatoriamente a diferentes clientes.

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Diseo del cuestionario1:

Para poder disear un cuestionario adecuado debe haberse definido de antemano cules son los

objetivos de la investigacin y con qu recursos econmicos, fsicos, humanos y de tiempo se

cuenta para realizarlo. Debe darse especial atencin a los tipos, orden y grupos de preguntas, la

formulacin de las mismas y la organizacin del material. Todo cuestionario debe disearse

tomando en cuenta los siguientes datos:

1. Presentacin de los objetivos del estudio.

2. Datos de identificacin: nombre de la institucin, nombre del entrevistador, nmero del

cuestionario de la muestra, hora de inicio de la entrevista y todo tipo de datos que sirvan

para el control de la investigacin.

3. Conviene que la complejidad de las preguntas vaya de menos a ms; por ejemplo, sexo,

edad, escolaridad, ocupacin, etc. Enseguida debern estar las preguntas acerca del tema dela investigacin y finalmente, si se desea obtener informacin al respecto, las de opinin o de

actitudes.

4. La secuencia de las preguntas debe disearse de tal manera que evite la llamada

contaminacin, que consiste en la influencia o sesgo que el orden de las preguntas puede

ejercer en las respuestas del informante.

5. La seccin final deber contener el cierre de la entrevista, la hora de terminacin y espacio

para que el entrevistador anote sus observaciones, o para algn otro dato que el

entrevistador determine de antemano que es conveniente observar y anotar.

La pregunta es el elemento principal de la entrevista, por lo que su diseo se debe hacer con

todo cuidado para obtener buena informacin.

Para verificar que el cuestionario sea claro se pide a tres encuestadores que lo llenen, y de esta

manera verificamos si existe algn punto ambiguo, en caso de existirlo se modifica la parte o las

partes que no sean claras. Con esto validamos la reproducibilidad del cuestionario.

1Ignacio Mndez Ramirez. El protocolo de investigacin .Ed. Trillas

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3) Plan de recoleccin de datos:

Se realiza un muestreo preliminar durante una semana en horas pico realizando el cuestionario a

5 personas diariamente.

Se obtiene que la proporcin de personas conformes es 40% y no conformes 60%

Para calcular el tamao de la muestra utilizamos la siguiente frmula2:

npq

p =

proporcinladeestndarerrorp =

p= porcentaje de clientes conformes

q= porcentaje de clientes inconformesn = tamao de muestra.

Utilizando un nivel de confianza del 95% y error estndar de la proporcin = 5, obtenemos que

el tamao de muestra es:

10025

50*50==n

Por lo tanto se entrevistaran a 100 personas cada semana en hora pico. Se escoge la hora pico

ya que es cuando hay mayor flujo de gente y por estratificacin se determina que es a la hora

en la cual el nivel de servicio es muy bajo. Si tomramos muestras durante todo el da la

informacin recabada sera sesgada.

La seleccin de las personas a las que se le aplicar el cuestionario ser mediante tabla de

nmeros aleatorios.

2Introduccin al estudio del trabajo. Oficina internacional del trabajo Ed. Limusa

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3-A ESTADSTICA DESCRIPTIVA

La Estadstica es la rama de las matemticas que comprende la recopilacin, tabulacin,

anlisis e interpretacin de datos cuantitativos y cualitativos, para tomar las decisiones

que se requieran a fin de que el comportamiento de los datos se mantenga dentro de los

parmetros de control establecidos.

Proporciona un criterio para lograr mejoras, debido a que sus tcnicas se pueden usar

para describir y comprender la variabilidad. Por ejemplo, consideremos en un proceso

industrial la fabricacin de moldes metlicos, tomamos como una medida crtica el largo

del molde, si utilizamos un instrumento de medicin con la resolucin suficiente,

encontraremos que existe variabilidad, mediante el uso de tcnicas estadsticas podemos

realizar mejoras en el proceso para reducir la variacin en la medida del molde.Para poder obtener consecuencias y deducciones vlidas de los datos de una estadstica,

es muy til contar con informacin sobre los valores al centro y sobre los distanciados que

estn unos valores respecto de otros. Comenzaremos por definir estas medidas:

Medidas de tendencia central

Media: ( )Es el promedio aritmtico de todos los valores que componen el conjunto

de datos. Se calcula mediante la siguiente frmula:

=n

xix

Ejemplo 1: En un equipo de ftbol las estaturas de sus integrantes son las siguientes:

1.70,1.79,1.73,1.67,1.60,1.65,1.79,1.84,1.67,1.82, 1.74. Calcule la media.

73.111

19===

n

xix

Mediana: (x~ ) Los datos de "n" observaciones son ordenados del ms pequeo al

ms grande, Si el tamao de la muestra es "non" la mediana es el valor ordenado en

la posicin (n+1)/2,

Cuando el tamao de la muestra es "par" la mediana es el promedio de los dos valores

que se encuentran al centro del conjunto de valores. Se puede calcular mediante :

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( ) [ ]( )2

122 ++ nn

Ejemplo 2: Para el ejemplo anterior cual es la mediana? ordenando los datos de

mayor a menor se obtiene: 1.60,1.65,1.67,1.67,1.70,1.73,1.74,1.79,1.79,1.82,1.84;

como tenemos 11 datos el nmero es non por lo que (n+1)/2 = 12/2 = 6, buscando el

nmero que ocupa la sexta posicin en los datos ordenados encontramos el valor de la

mediana 73.1~ =x

Media acotada: Determinado porcentaje de los valores ms altos y bajos de un

conjunto dado de datos son eliminados (tomando nmeros enteros), para los valores

restantes se calcula la media.

Ejemplo 3: Para la siguiente serie de datos calcule la media acotada al 20%:

68.7,34.3,97.9,73.4,8.4,42.5,87.9,31.1,33.2,97.7,72.3,54.2,80.6,71.6,82.2,

Como tenemos 11 datos, el 20% de 11 es 2.2, por lo cual eliminamos 2 datos el ms

bajo y el ms alto, ordenado los datos obtenemos:

8.4,31.1,33.2,34.3,42.5,54.2,68.7,71.6,72.3,73.4,80.6,82.2,87.9,97.7,97.9, los valores

a eliminar son: 8.4 y 97.9; calculando la media de los datos restantes obtenemos

( ) 82.6320,. =x

Moda

La moda es el valor que se presenta con mayor frecuencia en la muestra, pueden existir

muestras que presenten una o ms modas.

Se presenta la siguiente serie de datos:

1,2,2,3,4,5,5,5,5,6,6,7,7,8,8

En este caso la moda es 5ya que es el nmero que tiene mayor frecuencia f = 4. a

diferencia de los otros datos que tienen frecuencia menor.

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Medidas de dispersin

Desviacin estndar: (s) es una medida que nos ayuda a comprender la

variabilidad de los datos, que tan distanciados estn de la media. Para calcularla

utilizamos la siguiente frmula:

=

1

)( 2

n

xxis

Ejemplo 4: La resistencia al rompimiento de dos muestras de botellas es la siguiente:

Muestra 1: 230 250 245 258 265 240

Muestra 2: 190 228 305 240 265 260

Calcule la desviacin estndar para ambas muestras.

Muestra 1: Muestra 2

248=xr

248=xr

( ) 7902 =xxi ( ) 75102 =xxi

n - 1 = 5 n-1 = 5

s =5

790= 12.56 s =

5

7510= 38.75

Aunque la media en ambas muestras es la misma la desviacin estndar (s), es menor en

la muestra 1, por lo cual deducimos que es la que presenta menor variabilidad.

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Ejemplo 5:

Se desea hacer un estudio estadstico de la variacin del calibre de una pelcula de

polietileno, para esto es necesario tomar una muestra y calcular la media, mediana, media

acotada al 5% y la desviacin estndar.

Se realizan 14 observaciones arrojando los siguientes datos (en milsimas de pulgada)

2.11, 3.8, 4.0,4.0,3.1, 2.9, 2.5,3.6,2.0, 2.4, 2.8, 2.6,2.9, 3.0

1) Clculo de la media:

xi = 41.71n = 14

n

xi= 41.71/4= 2.98

2) Mediana:

Ordenando los datos de mayor a menor se obtiene

2.0,2.1,2.4,2.5,2.6,2.8,2.9,2.9,3.0,3.1,3.6,3.8,4.0,4.0

Como el nmero de observaciones es NON la mediana es el promedio aritmtico de los

dos nmeros que estn al centro, o sea en las posiciones 7 y 8 respectivamente.

Esto es: (2.9+2.9)/2 = 2.9

3) Media acotada: El 5% de los valores corresponde a 0.7% redondeando al siguiente

entero que es la unidad se elimina el valor ms bajo = 2.0 y el ms alto 4.0. La media

para la serie de datos resultantes es = 2.98

4) Desviacin estndar:

(xi - )2= 5.63

n - 1 = 13

37


42/411

s =13

63.5= .65

Medidas de tendencia central y dispersin para datos agrupados

Media:

Para encontrar la media en tablas de frecuencia agrupada, usamos marcas de clase para

representar las medidas para cada clase. Entendemos por marca de clase, el punto central

de un intervalo.

Ejemplo:

Calcular la media para el grupo de datos agrupados en intervalos en la siguiente tabla de

frecuencia :

Computadoras

vendidas

Nmero de das

15-25 4

26-36 7

37-57 3

48-58 6

59-69 5

Primero encontramos las marcas de clase, que son el punto medio de cada intervalo, para

encontrar la primera marca de clase sera: (15+25)/2 = 20.

Cada marca de clase se multiplica entonces por su frecuencia correspondiente como lo

muestra la siguiente tabla:

Clase Frecuencia (f) Marca de clase (X) fX

15-25 4 20 8026-36 7 31 217

37-47 3 42 126

48-58 6 53 318

59-69 5 64 320

TOTALES 25 1061

38


43/411

Utiizando la frmula Xa = SUM(fX)/SUMf la media aproximada es: 1061/25 = 42.44

La media es aproximada ya que los datos originales se desconocen y cada observacin

est representada por una marca de clase.

Mediana

Considere el siguiente ejemplo para el clculo de la mediana.

Velocidad Nmero de coches f acumulada

1-5 3 3

6-10 2 5

11-15 5 10

16-20 10 20

21-25 7 27

26-30 10 37

Determinamos las marcas de clase para cada intervalo, en el primero la marca de clase es

(1+5)/2 = 3. Calculando las siguientes marcas de clase tenemos

Velocidad Nmero de coches Marca de clase X f acumulada

1-5 3 3 3

6-10 2 8 5

11-15 5 13 10

16-20 10 18 20

21-25 7 23 2726-30 10 28 37

Dado que la cantidad de coches es 37 (non) utilizamos la frmula para el clculo de la

mediana: Xa= (n+1)/2 =19.

39


44/411

19 esta contenido en la clase 16-20, en este intervalo la marca de clase es 18. por lo cual

la mediana aproximada es 18.

Moda

La moda o clase modal corresponde a la marca de clase para una clase que contenga la

frecuencia mayor.

Usando los datos de la tabla anterior la moda son las clases (16-20) y (26-30) ya que la

frecuencia en ambos casos es mayor f =10.

Desviacin estndar

Explicaremos el clculo de la desviacin estndar para datos agrupados mediante un

ejemplo.La tabla siguiente contiene los costos de reparacin de un automvil para los reclamos de

categora menor presentados ante una compaa de seguros:

costo de reparacin frecuencia

0-99 12

100-199 35

200-299 75

300-399 84

Mediante la frmula

( )

1

22

=

n

nfixi

fixis calculamos la desviacin estndar.

Costo de reparacin Frecuencia Xi FiXi^2 FiXi

0-99 12.00 49.50 29,403.00 594.00

100-199 35.00 149.50 782,258.75 5,232.50

200-299 75.00 249.50 4,668,768.75 18,712.50

300-399 84.00 349.50 10,260,621.00 29,358.00

400-499 125.00 449.50 25,256,281.25 56,187.50

331.00 40,997,332.75 110,084.50

s^2= 13,288.66

s= 115.28

40


45/411

Histograma.-

Cuando tenemos una cantidad grande de datos es difcil poder analizarlos, a menos que

hagamos uso de herramientas que nos permitan hacerlo con mayor facilidad y claridad. El

histograma es una de ellas, consiste en un diagrama de barras donde las bases

corresponden a los intervalos y las alturas a las frecuencias. Para construir un histograma

es necesario tener un mnimo de 50 a 100 datos.

Ejemplo 6

Construir un histograma con la siguiente serie de datos:

2.41 17.87 33.51 38.65 45.70 49.36 55.08 62.53 70.37 81.21

3.34 18.03 33.76 39.02 45.91 49.95 55.23 62.78 71.05 82.37

4.04 18.69 34.58 39.64 46.50 50.02 55.56 62.98 71.14 82.79

4.46 19.94 35.58 40.41 47.09 50.10 55.87 63.03 72.46 83.31

8.46 20.20 35.93 40.58 47.21 50.10 56.04 64.12 72.77 85.83

9.15 20.31 36.08 40.64 47.56 50.72 56.29 64.29 74.03 88.67

11.59 24.19 36.14 43.61 47.93 51.40 58.18 65.44 74.10 89.28

12.73 28.75 36.80 44.06 48.02 51.41 59.03 66.18 76.26 89.58

13.18 30.36 36.92 44.52 48.31 51.77 59.37 66.56 76.69 94.07

15.47 30.63 37.23 45.01 48.55 52.43 59.61 67.45 77.91 94.47

16.20 31.21 37.31 45.08 48.62 53.22 59.81 67.87 78.24 94.60

16.49 32.44 37.64 45.10 48.98 54.28 60.27 69.09 79.35 94.74

17.11 32.89 38.29 45.37 49.33 54.71 61.30 69.86 80.32 96.78

Paso 1:Contar el nmero de datos n = 130

Paso 2:Calcular el rango R = Valor mayor Valor menor, R = 96.78-2.41 = 94.37.

Generalmente los datos no estn ordenados por lo cual resulta conveniente ordenarlos de

menor a mayor para tener una mejor visualizacin. En el ejemplo los datos ya han sido

previamente ordenados.

Paso 3:Seleccionar el nmero de columnas, mediante n = 114.11130 = . Por lo

cual el histograma se compone de 11 columnas.

41


46/411

Paso 4: Calcular el tamao del intervalo, dividiendo el rango entre el nmero de

columnas: 958.811

37.94= , resultando el tamao del intervalo 9.

Otra manera de calcular el tamao del intervalo es el siguiente:

Dividir el valor del rango entre un cierto nmero de clases (K). La tabla de abajo es una

gua que nos muestra para diferentes cantidades de datos el nmero recomendado de

clases a utilizar.

Nmero de datos (N) Nmero de clases (K)

Menos de 50 5 7

50 a 100 6 10

100 a 250 7 12Ms de 250 10 20

Paso 5:Calcular los lmites de cada intervalo: [0-9),[ 9-18), [18-27) etc.

NOTA: El corchete [ ] indican que se incluye el nmero, el parntesis ( ) indica que

el nmero no est incluido en el intervalo. Por ejemplo en el intervalo [9-18) se incluyen

los valores que van desde el 9 hasta el 17.99.

Paso 6:Contar el nmero de valores que caen en cada intervalo utilizando el registro , de

esta manera se obtiene la frecuencia para cada intervalo.

Tabla 1.

Columna Intervalo Registro de frecuencias

1 [ 0 -9) IIIII 5

2 [ 9-18) IIIII IIII 9

3 [18-27) IIIII I 6

4 [27-36) IIIII IIIII I 11

5 [36-45) IIIII IIIII II 176 [45-54) IIIII IIIII IIIII IIIII IIIII III 28

7 [54-63) IIIII IIIII IIIII III 18

8 [63-72) IIIII IIIII III 13

9 [72-81) IIIII IIIII 10

10 [81-90) IIIII III 8

11 [90-99) IIIII 5

42


47/411

Paso 7: Basndose en los datos anteriores construya el histograma

Construccin del histograma en Excel:

Seleccionar herramientas > anlisis de datos > histograma

Seleccione el rango de entrada, estos corresponden a los datos numricos de la

tabla.

Seleccione el rango de clases, previamente escribir en una columna los

intervalos de clase.

En opciones de salida seleccione una celda de la hoja de calculo que este en

blanco ( a partir de est celda ser insertado el histograma).

Clic en aceptar.

43


48/411

Una vez insertado el histograma podr hacer modificaciones de la escala, color,

ttulos etc. Haciendo clic en el elemento deseado.

44


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Cuartiles

Son los valores que dividen al conjunto de datos en cuatro subconjuntos de igual

cardinalidad. Son: Q1, Q2, Q3. que se leen: cuartil 1, cuartil 2, cuartil 3.

Para calcularlos se ordenan los datos de n observaciones de mayor a menor, la

observacin en la posicin4

n corresponde al primer cuartil (Q1),la observacin en la

posicin2

n

(x

corresponde al segundo cuartil (Q2) siendo este el valor de la mediana de la

mediana )~ , la observacin en la posicin4

)(3 ncorresponde al tercer cuartil (Q3).

Ejemplo 7: Calcule Q1, Q2, Q3 para la siguiente serie de datos del ejemplo 6:

Q1= 5.324=

n, el cuartil es el valor en esta posicin, debido a que el nmero obtenido no

es entero realizamos interpolacin lineal de la siguiente manera:3

La frecuencia acumulada hasta el intervalo [27-36) nos da 31 casos, quedando 1.5 casos

del siguiente intervalo [36-45), Por tanto Q1 cae en ( ) 79.36917

5.136 =+ , Q1= 36.79

De la misma manera obtenemos el siguiente cuartil:

Q2 = 652

130

2==

n, la frecuencia acumulada hasta el intervalo [36-45) nos da 48 casos,

quedando 17 casos del siguiente intervalo [45-54), por tanto Q2 cae en

( ) 46.5092817 =+45

Q2= 50.46.

3Acheson J. Duncan,Control de Calidad y estadstica industrial, Alfaomega,1996

45


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Q3 =( )

5.974

1303= , realizando el clculo

( )42.65

13

95.363 =+ , Q3= 65.42.

Estadstica descriptiva en Excel:

En el men de Anlisis de datos podemos obtener estadsticas de un conjunto

determinado de datos.

Seleccione:

Herramientas > Anlisis de datos > Estadstica descriptiva

Aparecer una ventana en la cual seleccionar los siguientes datos: rango de

entrada, agrupado por columna ya que los datos se encuentran ordenados en

una columna, rango de salida, resumen de estadsticas.

Dar clic en aceptar.

46


51/411

La hoja mostrar las siguientes medidas estadsticas de los datos presentados:

Nota: El error tpico, curtosis, coeficiente de asimetra, no son objeto de estudio de esta

seccin por lo cual hacemos caso omiso de los mismos.

Grficas de Caja: Una grfica de caja es un diagrama que proporciona informacin sobre

el centro, la dispersin y la asimetra o sesgo; utiliza cuartiles, y as, es resistente a las

observaciones aberrantes.

Los pasos para realizar una grfica de caja son los siguientes 2:

1. Construya una recta numrica y marque en ella los tres cuartiles.

2. Dibuje una caja rectangular sobre la recta con los extremos localizados en el

primer y tercer cuartiles; la altura de la caja no es importante.47


52/411

3. Trace un segmento de recta vertical por el punto correspondiente a la mediana

dentro de la caja.

4. Dibuje dos rectas horizontales, llamadas extensiones , una desde la mediana y

la medida de la extrema izquierda y otra de la mediana a la medida del

extremo derecho.4

Ejemplo:

Usemos los datos siguientes, para construir una grfica de caja:

5 7 8 9 9 11 12 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22

La mediana es Q2 = 13. el cuartil inferior es Q1 = 9 y el cuartil superior es Q3= 17

5 9 13 17 22

Como la mediana est un poco a la izquierda de la mitad de la caja y la extensin ms

larga est a la derecha, la distribucin est sesgada a la derecha.

Diagramas de caja en Minitab:

1. Capture los datos en la hoja de trabajo.

2. Seleccione la opcin: Graph> Charactergraph>Boxplot

3. Seleccione la variable C1 como se muestra en la pantalla y presione clic en ok

48

4Richard C. Weimer, Estadstica, CECSA, segunda edicin


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4. A continuacin se muestra el diagrama de caja:

49


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3-B PROBABILIDAD

Definicin Clsica de Probabilidad.

La probabilidad de un evento (E), puede ser calculada mediante la relacin del nmero de

respuestas en favor de E, y el numero total de resultados posibles en un experimento.

( )resultadosTotal

EFavorableEP

#

#=

Ejemplo 1: La probabilidad de que salga 2 al lanzar un dado es: 16.6

1=

Ejemplo 2: La probabilidad de lanzar una moneda y que caiga cara es: 5.2

1=

Ejemplo 3: La probabilidad de sacar 1,2,3,4,5, o 6 al lanzar un dado es:

16

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1=+++++

La probabilidad de un evento est comprendida siempre entre 0 y 1 . La suma de las

probabilidades de todos los eventos posibles (E) en un espacio muestral S= 1.

Un espacio muestral (S): Es el conjunto Universal; conjunto de todos los n elementos

relacionados = # Total de resultados posibles.

Probabilidad Compuesta

Es la probabilidad compuesta por dos eventos simples relacionados entre s.

En la composicin existen dos posibilidades: Unin o InterseccinI .U

50


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Unin de A y B

Si A y B son eventos en un espacio muestral (S), la unin de A y B ( contiene

todos los elementos de el evento A o B o ambos.

)BA U

Interseccin de A y B

Si A y B son eventos en un espacio muestral S, la interseccin de A y B ( est

compuesta por todos los elementos que se encuentran en A y B.

)BA I

Relaciones entre eventos

Existen tres tipos de relaciones para encontrar la probabilidad de un evento:complementarios, condicionales y mutuamente excluyentes.

1. Eventos complementarios: El complemento de un evento A son todos los elementos en

un espacio muestral (S) que no se encuentran en A. El complemento de A es:

( )APA = 1

Ejemplo 4: En el evento A (da nublado), P(A) = .3, la probabilidad de tener un da

despejado ser 1-P(A) = .7

( )7.=AP

P(A)=.3

Figura 3-B.1 Eventos complementarios

51


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2. Probabilidad condicional: Para que se lleve a cabo un evento A se debe haber

realizado el evento B. La probabilidad condicional de un evento A dado que ha ocurrido

el evento B es:

( ) ( )( )BP

BAPBAP

I= , si 0B

Ejemplo 5: Si el evento A (lluvia) = .2 y el evento B (nublado) = .3 , cul es la

probabilidad de que llueva en un da nublado? Nota: no puede llover si no hay nubes.

( ) ( )

( )BPBAP

BAP I= = 67.

3.

2.=

P(A/B)=.67

A

B

Figura3-B.2 Probabilidad condicional

Se dice que dos eventos A y B son independientes si: P(A/B) = P(A) o P(B/A) =

P(B).

La probabilidad de la ocurrencia de uno no est afectada por la ocurrencia del otro. De

otra manera los eventos son dependientes.

Un ejemplo de evento independiente es: Cul es la probabilidad de que llueva en lunes?

El ejemplo de evento dependiente es el ejemplo 5.

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3. Eventos mutuamente excluyentes.

Cuando un evento A no contiene elementos en comn con un evento B, se dice que estos

son mutuamente excluyentes.

A B

Figura 3-B.3Eventos mutuamente excluyentes.

Ejemplo 6.Al lanzar un dado: a) cul es la probabilidad de que salga 2 o 3? B) Calcule

?( )BAP I

a) ( )=BAP U 33.3

1

6

1

6

1==+

b) = 0, ya que al ser conjuntos mutuamente excluyentes la interseccin no

existe, es imposible que salga 2 y 3 al mismo tiempo.

( BAP I )

Ley aditiva:

Cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes:

( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP IU +=

53


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Cuando los eventos son mutuamente excluyentes:

( ) ( ) ( )BPAPBAP +=U

Ejemplo 7.

Ley multiplicativa:

Si los eventos A y B son dependientes:

( ) ( ) ( )ABPAPBAP =I

Si los eventos A y B son independientes:

( ) ( ) ( )BPAPBAP =I

Ejemplo 8: Se selecciona una muestra aleatoria n = 2 de un lote de 100 unidades, se

sabe que 98 de los 100 artculos estn en buen estado. La muestra se selecciona de

manera tal que el primer artculo se observa y se regresa antes de seleccionar el segundo

artculo (con reemplazo), a) calcule la probabilidad de que ambos artculos estn en buen

estado, b) si la muestra se toma sin reemplazo, calcule la probabilidad de que ambos

artculos estn en buen estado.

A: El primer artculo est en buen estado.

B: El segundo artculo est en buen estado.

a) Al ser eventos independientes el primero del segundo:

( ) ( ) ( )BPAPBAP =I = 9604.100

98

100

98=

Figura 3-B.4 Eventos independientes

P(B) =.98P(A) =.98

A B

54


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b) Si la muestra se toma sin reemplazo de modo que el primer artculo no se regresa

antes de seleccionar el segundo entonces:

( ) ( ) ( )ABPAPBAP =I = 9602.99

97

100

98=

Se observa que los eventos son dependientes ya que para obtener el evento B, se tiene

que haber cumplido antes el evento A.

P(B/A)=.97B

A

P(A) =.98

Figura 3-B.5 Eventos dependientes

TEOREMA DE BAYES

Mediante el teorema de Bayes podemos calcular la probabilidad de que ocurra un

determinado evento, cuando no tenemos datos inmediatos del mismo mediante la

informacin que tenemos de otros eventos.

Cuando existen dos eventos posibles A y B, la probabilidad de que ocurra Z se describe

mediante elteorema de probabilidad totalel cual es:

( ) ( )] [ ( ) ( )[ ]BZPBPAZPAPZP +=)(

Mediante el teorema anterior se deduce el teorema de Bayes:

55


60/411

( ) ( ) ( )

( ) ( )] [ ( ) ( )[ ]BZPBPAZPAPAZPAP

ZAP+

=

Ejemplo 9: En cierta universidad 20% de los hombres y 1% de las mujeres miden ms

de 1.80m de altura. Asimismo 40% de los estudiantes son mujeres. Si se se

tesis seis sigma hector hs

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