tesina predoctoral (exoesqueleto)
DESCRIPTION
Mi tesina predoctoralTRANSCRIPT
CENTRO DE INVESTIGACION Y DE
ESTUDIOS AVANZADOS DEL INSTITUTO
POLITECNICO NACIONAL
UNIDAD ZACATENCO
DEPARTAMENTO DE CONTROL AUTOMATICO
DESIGN, MODELING AND CONTROL OF AN
EXOSKELETON
TESINA PREDOCTORAL
En la especialidad de
CONTROL AUTOMATICO
presenta
Suresh Kumar Gadi
Director de Tesis
Ruben Alejandro Garrido Moctezuma
Rogelio Lozano-Leal
Co-Director de Tesis
Ciudad de Mexico, D. F. Julio 2012
Contenido
Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Lista de Tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
1. Introduccion 1
1.1. Clasificacion de los exoesqueletos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Historia de los exoesqueletos antropomorficos y pseudo-antropomorficos activos 2
1.3. Desafıos en el diseno de exoesqueletos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5. Organizacion de los capıtulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Estudio de los esquemas de control para la interaccion humano-maquina 7
2.1. Esquema general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. El algoritmo de Kazerooni del ano 1988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. El algoritmo de BLEEX del ano 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4. El algoritmo de K. Kong y M. Tomizuka del ano 2009 . . . . . . . . . . . . 12
3. Modelo del movimiento humano 15
3.1. Definiciones Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2. Los musculos y la movilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3. Descripcion del Movimiento Humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4. Hipotesis de control biologico del movimiento humano . . . . . . . . . . . . 21
3.5. El esquema del movimiento humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6. Simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4. Esquema de control aplicado a un Dispositivo de Aumento de Fuerza (DAF) 27
4.1. Modelado del DAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2. Interaccion entre el brazo humano y el DAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3. Esquema del controlador aplicado al DAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4. Analisis de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.5. Analisis del desempeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.6. Seleccion de los parametros del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.7. Resultados de la simulacion y experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
iii
iv Contenido
5. Conclusiones y trabajo futuro 415.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2. Trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Referencias 45
A. Modelo del motor electrico y del amplificador 53
B. Simplificaciones de las ecuaciones 55
C. Prueba de estabilidad 59
D. El modelo experimental 65
Lista de Figuras
2.1. Esquema general propuesto de la interaccion entre piloto y maquina. . . . . 8
2.2. El esquema de control del exoesqueleto de H.Kazerooni se muestra en [Kazerooni88]. 9
2.3. Algoritmo de control de H.Kazerooni aplicado al esquema basico propuesto. 9
2.4. El esquema de control del BLEEX se muestra en [Kazerooni05]. . . . . . . . 11
2.5. Algoritmo de control del BLEEX aplicando al esquema basico propuesto. . 11
2.6. El esquema de control del exoesqueleto de K. Kong y M. Tomizuka se muestraen [Kong09]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7. Algoritmo de control de K. Kong y M. Tomizuka aplicando al esquema basicopropuesto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.8. Esquema simplificado de control del exoesqueleto K. Kong y M. Tomizuka. 14
3.1. Un ejemplo ensenando un par de musculos antagonistas, el musculo bıcepsy el musculo trıceps, actuando la articulacion del codo (Imagine tomada de[Saburchill12]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2. La anatomıa de un musculo (Imagine tomada de [Cram10]). . . . . . . . . . 19
3.3. Un ejemplo de las trayectorias rectas de velocidad y posicion del brazo enmovimiento del punto a punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4. Esquema que muestra el control del movimiento de un brazo humano. . . . 23
3.5. Resultados de simulacion del modelo empleando los valores dados en la Tabla3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1. Esquema y fotografıa del dispositivo de aumento de fuerza (DAF). . . . . . 28
4.2. Diagrama a bloques del DAF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3. Brazo interactuando con el DAF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4. Diagrama a bloques que muestra el algoritmo de control en lazo cerrado. . . 31
4.5. Simplificacion del diagrama a bloques que se muestra en la Figura 4.4. . . . 32
4.6. Resultados de la simulacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.7. Resultados de la simulacion cuando el piloto quita la mano despues de 15 s. 37
4.8. Diagrama de lugar de las raıces para el sistema en lazo cerrado. . . . . . . . 39
4.9. Resultados experimentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.10. Grafica de la posicion contra el tiempo para un retardo de d1 = d2 = 162msdonde se observa que el sistema se vuelve inestable. . . . . . . . . . . . . . . 40
v
vi Lista de Figuras
A.1. Diagrama a bloques del motor de corriente directa con un amplificador co-nectado con realimentacion en corriente, es decir en modo par. . . . . . . . 54
C.1. Separacion del modelo general de control en los subsistemas en lazo cerradoS1 y S2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
D.1. Figura 3D muestrando el bloque mecanico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66D.2. Dimensiones del bloque mecanico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67D.3. Dimensiones del tornillo del mecanismo de tuerca husillo. . . . . . . . . . . 68D.4. Resistencia vs fuerza del sensor de fuerza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68D.5. Cirquito electronico del sensor de fuerza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Lista de Tablas
1.1. Cantidad mınima requerida de GDL para un exoesqueleto [Jansen00] . . . . 5
3.1. Valores representativos de los parametros de un modelo humano [McIntyre93]. 24
4.1. Valores de los parametros para la simulacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
vii
Capıtulo 1
Introduccion
El exoesqueleto es un esqueleto externo al cuerpo de un animal, y puede ser natural
o artificial. En esta tesis el termino exoesqueleto representa una estructura artificial externa
para humanos. Al usuario de un exoesqueleto lo llamaremos piloto.
1.1. Clasificacion de los exoesqueletos
Los exoesqueletos se pueden clasificar en activos o pasivos, dependiendo del uso o
no de energıa externa respectivamente. Tambien, se pueden clasificar en antropomorficos,
no-antropomorficos o pseudo-antropomorficos por su cinematica [Zoss05]. La bicicleta es un
ejemplo de un exoesqueleto pasivo no-antropomorfico. Por otra parte, la literatura se refiere
a exoesqueletos activos cuando habla de exoesqueletos roboticos, exoesqueletos alimentados
y extendidos. Muchos no-antromorficos como la bicicleta y antropomorfico pasivo como la
armadura tienen una larga historia.
Las investigaciones mas recientes centran su interes en los exoesqueletos antro-
pomorficos y en los pseudo-antropomorficos activos.
1
2 Capıtulo 1: Introduccion
1.2. Historia de los exoesqueletos antropomorficos y pseudo-
antropomorficos activos
En 1961, el pentagono hizo una invitacion abierta a los inventores para contribuir
al desarrollo de un exoesqueleto llamado servo-soldado. Lo que pretendıan era hacer un
soldado resistente a la guerra bacteriologica, al gas venenoso, al calor y la radiacion de las
explosiones nucleares [Cormier61]. En el ano de 1966, la Universidad de Cornell desarrollo,
para la oficina de Investigaciones Navales de los Estados Unidos, un exoesqueleto con la ca-
pacidad de cargar 1000 libras en cada brazo. Esto con el objetivo de ayudar a sus marines en
el manejo de maquinaria y bombas pesadas [Cloud65]. Posteriormente, en 1969, un exoes-
queleto alimentado llamado Hardiman fue probado por la Companıa “General Electric”, el
cual era capaz de amplificar la fuerza humana por 25 veces y manejar una carga de hasta
1000 libras [Operation69]. Este se realizo con base en el concepto de maestro-esclavo. En
contraste, en 1988, H.Kazerooni desarrollo uno extendido con un grado de libertad (GDL)
en el cual las senales de informacion fueron tomadas directamente de la interaccion hombre-
maquina [Kazerooni88]. En el ano 2000, la agencia “Defense Advanced Research Projects
Agency” (DARPA) adjudico un contrato a la empresa “Millenium Jet Inc.”, de Sunnyvale,
Calif. para desarrollar y probar un exoesqueleto volador, bajo el programa “Exoskeleton
for Human Performance Augmentation Program” (EHPA) [ofDefense00]. En el ano 2001, la
DARPA patrocino a la empresa “Sarcos Research Corp.” de Salt Lake City Utah, el desa-
rrollo de un robot antropomorfico energeticamente autonomo, en Ingles: “Wearable Ener-
getically Autonomous Robot” (WEAR) [ofDefense01, Marks06, Pappalardo04]. El diseno
del exoesqueleto de la empresa Sarcos tenıa 24 horas de autonomıa energetica [Huang04].
Ademas, bajo el patrocinio de la DARPA, la Universidad de California en Berkeley desa-
rrollo el exoesqueleto BLEEX (“Berkeley Lower Extremity Exoskeleton”) [Zoss05], que en
el ano 2003 permitio a un piloto manipular grandes pesos, haciendole sentir solo una parte
de la carga real [IES04]. Otro proyecto, muy conocido, patrocinado por la DARPA es el
exoesqueleto cuasi-pasivo del “Massachusetts Institute of Technology” (MIT) [Guizzo07],
que usa elementos pasivos como resortes y amortiguadores. La electronica del exosqueleto
usa muy poca energıa alrededor de 2W para controlar los amortiguadores y ayudar en la
1.3. Desafıos en el diseno de exoesqueletos 3
liberacion controlada de la energıa almacenada en los resortes [Walsh06].
Los exoesqueletos como el Sarcos y el BLEEX usan actuadores hidraulicos [Yang04,
Megraw07]. En contraste el “Institute of Systems and Engineering Mechanics” de la Uni-
versidad de Tsukuba,en Japon, desarrollo en el ano de 2002 un exoesqueleto con actuadores
electricos llamado “Hybrid Assistive Limb” (HAL) [Lee02].La ultima version de este exoes-
queleto es el llamado HAL-5, el cual esta disponible comercialmente para usos domesticos
como caminar, subir escaleras y cargar objetos en interiores y exteriores, con autonomıa
energetica de aproximadamente 2 horas y media de uso continuo, utilizando baterıas recar-
gables [Guizzo05, Inc.11a].
El Departamento de Ingenierıa de Sistemas para la Asistencia Social del Instituto
Tecnologico de Kanagwa,en Japon, ha desarrollado un exoesqueleto alimentado con actua-
dores pneumaticos, para ayudar a las enfermeras en su trabajo. Este exoesqueleto no tiene
ninguna parte mecanica en el frente del cuerpo del piloto, de tal manera que permite a las
enfermeras manejar a los pacientes sin riesgo de dano [Yamamoto02].
1.3. Desafıos en el diseno de exoesqueletos
Si consideramos de manera estricta el diseno de un exoesqueleto pseudo-antropomorfi-
co, la cantidad mınima de grados de libertad (GDL) que se requieren esta dado en la Tabla
1.1; la cual muestra un total de 29 GDL para un exoesqueleto de cuerpo completo, lo que
significa un reto bastante complicado para el diseno de la estructura mecanica y el proce-
samiento de la informacion para el control.
Dado que una sola fuente de alimentacion autonoma no puede suministrar la
energıa y la potencia requeridas para los exoesqueletos, nos encontramos con otro desafıo; el
que obliga a tener sistemas hıbridos de alimentacion. Por ejemplo: motores de combustion
interna con super capacitores, celdas de combustible con super capacitores o motores de
combustion interna con baterıas [Jansen00].
En cuanto a los actuadores, se ha encontrado en los estudios comparativos realiza-
dos, entre los de tipo electromecanico, hidraulico y neumatico, que los mas aceptables para
los exoesqueletos son los hidraulicos [Jansen00]. En este caso el reto es suprimir el ruido
4 Capıtulo 1: Introduccion
inherente a este tipo de actuadores y manejar adecuadamente su comportamiento no lineal.
Por otra parte, en los exoesqueletos nos encontramos con el desafıo de medir la
intencion o proposito del piloto. Al respecto, los sensores usados son: el sensor de fuerza,
el sensor de electromiografıa (EMG) y el sensor de dureza del musculo. El sensor de fuerza
presenta el problema de elegır el mejor lugar para ubicarlo, de tal manera que en ese lugar
exista el sensado requerido, que represente de manera mas fiel la fuerza que esta desarrollan-
do el piloto. En cuando al sensor de electromiografıa de superficie (EMGS), este tiene una
baja relacion senal/ruido (RSR), tambien requiere mucho tiempo para calibrarlo [Guizzo05],
ademas de que su calibracion debe ser personalizada [Murray95]. Mas aun, para una misma
persona la senal entregada cambia despues de que el musculo ha trabajado para desarrollar
la misma tarea varias veces [Bonato02]. Respecto al sensor de dureza del musculo, el pro-
blema principal es su ubicacion en el musculo, de tal manera que entregue buenos niveles
de senal [Yamamoto02]. Tambien es un problema su falta de disponibilidad en el mercado,
de tal manera que necesitarıamos fabricarlo de acuerdo a [Moromugi06, Yamamoto04].
En cuanto a la deteccion de fallas, en caso de mal funcionamiento de los sensores
o actuadores, el controlador debe detectarlas en fracciones de segundo para garantizar la
seguridad del piloto. Para abordar la solucion de este problema se puede usar un filtro
predictor para todo el sistema [Jansen00].
1.4. Objetivo
Los objetivos de este proyecto son el diseno, modelado y control de un exoesqueleto
pseudo-antropomorfico activo de cuerpo completo. En particular esta tesis se centra en el
estudio de la filosofıa de control de los exoesqueletos y en el entendimiento de la intencion
del piloto humano y la maquina. Para este proposito se ha construido un Dispositivo de
Aumento de Fuerza (DAF) que es un exoesqueleto no-antropomorfico activo [Kazerooni08]
muy simple en el que se estudiaran y compararan deferentes esquemas de control que ya
han sido utilizados y el que se propone en este trabajo.
Como se menciono en el parrafo anterior, hemos seleccionado un DAF debido a
que su modelo dinamico es lineal, solamente tiene un grado de libertad (GDL), por lo que
1.5. Organizacion de los capıtulos 5
Tabla 1.1: Cantidad mınima requerida de GDL para un exoesqueleto [Jansen00]
Junta GDL Descripcion
Pie 1 Extension para junta metacarpofalangica
Tobillo 1 Flexion-extension
Rodilla 1 Flexion
Cadera 3Flexion-extension, abduccion-adduccion y rotacion
medial-lateral
Pelvis 3 Rotaciones planas coronal, sagital y transversal
Columna vertebral 3 Flexion-extension, flexion lateral y rotacion
Hombro 3 Flexion-extension, abduccion y rotacion medial-lateral
Codo 2 Flexion y pronacion-supinacion del antebrazo
Muneca 2 Flexion-extension y abduccion-adduccion
es sencillo de controlar. Otra razon muy importante para su utilizacion es la gran seguridad
que presenta para el piloto humano, ya que todas las partes del piloto estan fuera de la
maquina.
Actualmente este trabajo se encuentra en la etapa del estudio de la filosofıa de
control a utilizar. En particular, en este momento se estan estudiando algunas de las filosofıas
de control de exoesqueletos mas conocidas que son comparables con la que se propone en
este trabajo. Tambien se esta investigando el modelado matematico de los movimientos del
brazo del piloto humano. Al respecto se han realizado simulaciones de la interaccion del
piloto con el DAF, ası como experimentos, en tiempo real, con el DAF.
1.5. Organizacion de los capıtulos
El Capıtulo 2 contiene el estudio de algunos esquemas de control para la interac-
cion humano-maquina, probados anteriormente. El siguiente capıtulo se refiere al modelado
matematico del movimiento del brazo humano. Posteriormente, en el Capıtulo 4 se presenta
la construccion del DAF y su modelado matematico que se esta utilizando en la parte expe-
rimental, tambien la simulacion y el control con sus resultados experimentales. Finalmente
6 Capıtulo 1: Introduccion
en el Capıtulo 5 se presentan las conclusiones de este trabajo y las perspectivas del trabajo
futuro.
Capıtulo 2
Estudio de los esquemas de control
para la interaccion
humano-maquina
Inicialmente en este capıtulo se presenta un esquema general para el estudio de
la interaccion entre piloto y maquina. Posteriormente se estudia la filosofıa de tres de los
esquemas de control mas conocidos para los exoesqueletos.
2.1. Esquema general
En la Figura 2.1 se tiene un esquema general de la interaccion entre piloto y
maquina. El sistema nervioso central (SNC) del piloto genera una senal para el movimiento
deseado de uno de sus brazos. Esta senal es transmitida a los musculos esqueleticos corres-
pondientes. Los musculos esqueleticos generan un par τM en la articulacion especıfica del
esqueleto. El esquema tambien muestra el brazo de un exoesqueleto accionado y controlado,
el cual suministra un par τA al exoesqueleto.
Se aplican diferentes algoritmos en la estrategia de control del exoesqueleto, los
cuales se presentan en las siguientes secciones. La interaccion entre piloto y exoesqueleto
esta dada por el intercambio de fuerzas entre ellos. Cuando se tiene una diferencia entre
7
8 Capıtulo 2: Estudio de los esquemas de control para la interaccion humano-maquina
Encéfalo
Médula espinal
Músculo Endoesqueleto+
ExoesqueletoActuador +
+
Controlador
-E
C1
C2
θh
θe
τe
τh
τA
τM
Sistema músculo-esquelético
Fh
Fe
-1
Sistema nervioso central (SNC)
Figura 2.1: Esquema general propuesto de la interaccion entre piloto y maquina.
la posicion del brazo del piloto (θh) y la posicion del brazo del exoesqueleto (θe), el brazo
del piloto puede tocar el brazo del exoesqueleto en uno o mas lugares y allı se genera
una fuerza de reaccion. Fe representa la fuerza de reaccion del brazo del piloto sobre el
brazo del exoesqueleto, de manera similar Fh es la fuerza que siente el brazo del piloto
por la interaccion con el brazo del exoesqueleto. E es una funcion no lineal dinamica que
mapea la diferencia de posicion de los brazos del piloto y del exoesqueleto a la fuerza Fe.
Matematicamente se puede escribir
Fe(t) = E (θh(t)− θe(t), t) (2.1)
donde t es el tiempo en s.
C1 y C2 son constantes positivas que ayudan a convertir las fuerzas Fe y Fh en los
pares τe y τh respectivos. El SNC tambien toma informacion de la posicion del brazo (θh)
desde los huesos musculares respectivos. Este proceso se explicara mas detalladamente en
el Capıtulo 3.
2.2. El algoritmo de Kazerooni del ano 1988
En la Figura 2.2 se presenta el algoritmo de control como se presenta en [Kazerooni88].
Agregando dicho algoritmo al esquema basico propuesto, se observa un resultado como el
2.2. El algoritmo de Kazerooni del ano 1988 9
E++
Kk1 +Gk2-
Hk
-1Sk
-
Gk1
∫ KA
θd θh Fe
nr
Fh
θe
θe.
Figura 2.2: El esquema de control del exoesqueleto de H.Kazerooni se muestra en[Kazerooni88].
Encéfalo
Médula espinal
Músculo Endoesqueleto+
ExoesqueletoActuador +
+
Kk1
-E
C1
C2
θh
θe
τe
τh
τA
τM
Sistema músculo-esquelético
θe
.
Fh
Fe
-1
Sistema nervioso central (SNC)
+KAHk-
Figura 2.3: Algoritmo de control de H.Kazerooni aplicado al esquema basico propuesto.
de la Figura 2.3. Este algoritmo propone que la posicion del brazo del piloto (θh) sea de-
pendiente de la trayectoria deseada (θd) y de la fuerza que actue sobre el brazo (Fh). Gk1
y Sk son las funciones que mapean la trayectoria deseada (θd) y la fuerza Fh a la posicion
del brazo del piloto (θh). Para propositos de simplificacion se toman las funciones como
dinamicas y lineales. Matematicamente se puede escribir
θh(s) = Gk1(s)θd(s) + Sk(s)Fh(s) (2.2)
donde s es la variable compleja de la transformada de Laplace.
El bloque Gk2 representa la planta del exoesqueleto, con entrada de alimentacion
10 Capıtulo 2: Estudio de los esquemas de control para la interaccion humano-maquina
a su actuador y salida de velocidad angular del brazo del exoesqueleto. En este caso el
algoritmo controlador Kk1 es uno del tipo proporcional, integral, derivativo (PID), el cual
permite seguir la velocidad angular como trayectoria de referencia (nr).
En este algoritmo, para simplificar el bloque E, el autor tomo una funcion lineal
dinamica. Tambien se utiliza un sensor de fuerza para medir Fe. La ganancia de amplificacion
(KA) aumenta la fuerza medida. Se usa un filtro de primer orden (Hk) para reducir los
ruidos de alta frecuencia. La funcion de transferencia entre la trayectoria deseada (θd) y la
trayectoria de posicion del exoesqueleto (θe) es
θe(s)
θd(s)=
E(s)Hk(s)KAKk1(s)Gk2(s)
s(1 + E(s)Sk(s))(1 +Kk1(s)Gk2(s)) + E(s)Hk(s)KAKk1(s)Gk2(s)(2.3)
Utilizando el teorema de las pequenas ganancias, la estabilidad del sistema com-
pleto en lazo cerrado esta dada por la siguiente condicion suficiente sobre KA.
|KA| <
∣∣∣∣s(1 +Kk1(s)Gk2(s))(1 + Sk(s)E(s))
Hk(s)Kk1(s)Gk2(s)E(s)
∣∣∣∣ (2.4)
A partir de (2.3), se puede observar que la trayectoria del brazo del exoesqueleto
(θe) sigue estrechamente la trayectoria deseada (θd), cuando la ganancia KA es alta. Sin
embargo para satisfacer la condicion (2.4) se limita la ganancia de KA. Se puede notar que
(2.4) es una condicion suficiente para la estabilidad. Entonces, dependiendo del sistema, se
puede permitir un valor de KA mayor al valor indicado en la condicion (2.4).
Pros:
• El sensor usado en este algoritmo es un sensor de fuerza muy sencillo de instalar.
Contras:
• La velocidad angular de referencia (nr) es proporcional a la fuerza Fe, eso permite que
el exoesqueleto cambie su posicion cada vez que el piloto ejerce alguna fuerza sobre el.
En otras palabras, el piloto no siente ninguna fuerza cuando el brazo del exoesqueleto
esta fijo en una posicion.
• Por la misma razon, la fuerza experimentada por el piloto (Fh) no es dependiente del
peso que carga el brazo del exoesqueleto.
2.3. El algoritmo de BLEEX del ano 2005 11
GbCb ∫+
Sb
τe
θeθe.
Figura 2.4: El esquema de control del BLEEX se muestra en [Kazerooni05].
Encéfalo
Médula espinal
Músculo Endoesqueleto+
ExoesqueletoActuador +
+
Controlador
-E
C1
C2
θh
θe
τe
τh
τA
τM
Sistema músculo-esquelético
θe
.
Fh
Fe
-1
Sistema nervioso central (SNC)
Figura 2.5: Algoritmo de control del BLEEX aplicando al esquema basico propuesto.
2.3. El algoritmo de BLEEX del ano 2005
El esquema de control del “Berkeley Lower Extremity Exoskeleton” (BLEEX) para
un GDL esta dado en la Figura 2.4. La Figura 2.5 muestra el algoritmo del BLEEX en el
esquema basico propuesto. La velocidad del brazo del exoesqueleto (θe) es dependiente del
par que produce el actuador y de la interaccion entre piloto y exoesqueleto (τe). El bloque Sb
representa la funcion que mapea el par τe a la velocidad θe. Las dinamicas del actuador y del
brazo del exoesqueleto estan dadas en el bloque Gb. El controlador (Cb) toma la velocidad
12 Capıtulo 2: Estudio de los esquemas de control para la interaccion humano-maquina
θe como realimentacion positiva. La sensibilidad de τe a θe es
θe(s)
τe(s)=
Sb(s)
1−Gb(s)Cb(s)(2.5)
El autor propuso el siguiente controlador.
Cb(s) =
(1− 1
KA
)G−1
b (s) (2.6)
donde KA es el factor de amplificacion. Usando el control (2.6), se puede reescribir (2.5)
como
θe(s)
τe(s)= KASb(s) (2.7)
Pros:
• Usando este algoritmo no se necesita usar ningun sensor para medir la intencion del
piloto.
Contras:
• El controlador usa una realimentacion positiva que da alta sensibilidad a perturba-
ciones externas.
• El controlador necesita conocer el modelo del exoesqueleto (Gb) con alta precision.
• Se necesita implementar el calculo de la inversa de la dinamica Gb, lo cual no es
siempre facil dado que Gb tiene no linealidades.
2.4. El algoritmo de K. Kong y M. Tomizuka del ano 2009
El esquema de control del exoesqueleto de K. Kong y M. Tomizuka se presenta en
la Figura 2.6. La Figura 2.7 muestra este algoritmo aplicado al esquema basico propuesto. El
bloque Ht representa las dinamicas del brazo del exoesqueleto. Usando menos masa para el
brazo del exoesqueleto, los autores han ignorando las dinamicas del brazo del exoesqueleto en
Ht. Tambien los autores asumen que el sistema es estable sin actuador (At). Las dinamicas
del actuador y el controlador estan dadas por los bloques At, Ct. Considerando que el
2.4. El algoritmo de K. Kong y M. Tomizuka del ano 2009 13
Ht+
At Ct
MúsculoCerebro+θd
τA
τMθh
-
Figura 2.6: El esquema de control del exoesqueleto de K. Kong y M. Tomizuka se muestraen [Kong09].
Encéfalo
Médula espinal
Músculo Endoesqueleto+
ExoesqueletoActuador +
+
Controlador
-E
C1
C2
θh
θe
τe
τh
τA
τM
Fh
Fe
-1
Sistema nervioso central (SNC)
+
Figura 2.7: Algoritmo de control de K. Kong y M. Tomizuka aplicando al esquema basicopropuesto.
controlador puede realizar la inversa de la dinamica At, los autores ignoraron la dinamica
del actuador, es decir At(s) = 1.
Los autores han propuesto el siguiente controlador.
Ct(s) =
(1− 1
KA
)H−1
t (s) (2.8)
donde KA es un factor de amplificacion. Agregando este control al esquema mostrado en la
Figura 2.6, se puede simplificar como el esquema presentado en la Figura 2.8. Tambien se
observa que el par que producen los musculos (TM ) se aumenta en un factor KA.
Debido al esquema de la Figura 2.6, se tiene
τM (s) + τA(s) = H−1t (s)θh(s) (2.9)
14 Capıtulo 2: Estudio de los esquemas de control para la interaccion humano-maquina
HtMúsculoCerebro+θdτM
θh
-
KA
Figura 2.8: Esquema simplificado de control del exoesqueleto K. Kong y M. Tomizuka.
Para implementar este controlador se necesita el conocimiento de la inversa de la dinamica
del brazo del piloto. Cuando no se tiene el modelo o es difıcil realizar su inversa, se puede usar
un sensor de EMG o de dureza del musculo para medir el par que produce el musculo (τM ).
Los autores proponen que el sistema es estable, porque el cerebro es inteligente y controla
al sistema adaptativa y robustamente, sin embargo los autores no recomiendan generar
inestabilidad en el lazo interno del esquema de la Figura 2.6. Entonces se requiere una
medicion de τM de alta precision. Los autores proponen que, para garantizar la estabilidad
del lazo interno, en un sistema lineal con un error (∆) en la estimacion de Ht, se necesita
satisfacer
|KA(jΩ)− 1| < |∆(jΩ)|−1 (2.10)
Con cero error en la medicion, se puede usar cualquier ganancia de amplificacion
(KA).
Pros:
• Realizar este algoritmo es facil usando un sensor para medir τM .
Contras:
• En cuanto al sensor de dureza del musculo, este se encuentra todavıa en la fase de
desarrollo. El sensor de EMG tiene baja relacion senal/ruido (RSR), lo que no permite
estimar τM con alta precision.
• Los autores asumen que el cerebro estabiliza el sistema, sin demostracion.
Capıtulo 3
Modelo del movimiento humano
Un exoesqueleto activo necesita un controlador que le permita ser estable. Para
esto, se requiere del conocimiento del modelo del movimiento humano. En este capıtulo se
estudia el movimiento que realiza el cuerpo humano de forma natural. Ademas, se estudia
como un brazo humano sigue una trayectoria deseada, y por ultimo se estudia el modelo
matematico que representa la dinamica de un brazo.
3.1. Definiciones Importantes
Cerebelo: Es una region del cerebro humano ubicado en la parte trasera del craneo. Esta
parte del cerebro es responsable de la coordinacion del movimiento [Association06].
Corteza cerebral: Es la sustancia gris que se encuentra en la parte mas exterior del
cerebro humano. Esta parte del cerebro es responsable de las funciones motoras mas
complejas [Medterms12].
Husos musculares: Los husos musculares o receptores de estiramiento son las fibras mus-
culares dentro de un musculo que detectan cambios en la longitud de este, propor-
cionan al SNC informacion para que se desarolle la propiocepcion que le permite al
individuo obtener informacion acerca de la posicion del cuerpo o el movimiento de
este en el espacio.
Interneurona: Son las neuronas que conectan dos neuronas. Este tipo de neuronas estan
15
16 Capıtulo 3: Modelo del movimiento humano
disponibles en un numero grande en comparacion con las neuronas motoras o las
neuronas sensoriales [Bear07].
Motoneurona: son las neuronas que comadan los musculos [Bear07].
Motoneurona alfa (MN-α): Es una categoria de las neuronas motoras inferiores de la
medula espinal, las cuales son directamente responsables de la generacion de fuerzas
en los musculos. MN-α se alimentan de las siguientes tres fuentes [Bear07]:
1. Las senales procedentes del huso muscular, que llevan la informacion de la lon-
gitud del musculo.
2. Las senales procedentes de las neuronas motoras superiores, las cuales juegan un
papel crıtico en la iniciacion de un movimiento.
3. La fuente mas grande de todo viene de las interneuronas de la medula espinal.
Motoneuronas Gamma (MN-γ): Son las neuronas motoras inferiores que inervan los
husos musculares [Bear07].
Neurona sensorial: Son las neuronas que llevan la informacion sensorial desde los organos
sensoriales al SNC [Bear07].
Neuronas motoras inferiores: Son las neuronas procedentes de la medula espinal que
inervan el musculo esqueletico [Bear07].
Neuronas motoras superiores: Son las neuronas que suministran la informacion motora
desde el cerebro a la medula espinal [Bear07].
Propiocepcion: Es la capacidad para detectar la posicion, ubicacion, orientacion y el
movimiento del cuerpo y sus partes. Tambien se le conoce como sensacion corporal
[Bear07, Princeton12].
Realimentacion sensorial: El flujo de informacion sensorial de un organo particular al
cerebro [Babbush08].
Reflejo: Son las acciones automaticas en respuesta a estımulos particulares. Tambien se le
denomina realimentacion refleja sobre el estımulo.
3.2. Los musculos y la movilidad 17
Reflejo de estiramiento: El reflejo de estiramiento o reflejo miostatico es una contraccion
muscular en respuesta a un estiramiento dentro del musculo [Babbush08].
Sistema nervioso central (SNC): Esta constituido por el encefalo y la medula espinal.
[Nieuwenhuys07].
Sistema musculo-esqueletico: La combinacion de los huesos y los musculos vinculados
a estos se conoce como sistema musculo-esqueletico [Association06].
3.2. Los musculos y la movilidad
El musculo es la parte de cuerpo donde se transforma la energıa quımica en energıa
mecanica. Los musculos se pueden clasificar como: musculos voluntarios y musculos invo-
luntarios. Los musculos esqueleticos que usamos en la vida diaria para caminar, manipular
objetos, etc., se agrupan dentro de los musculos voluntarios. Cada conjunto de estos muscu-
los se anclan a los huesos a traves de los tendones. Los musculos suelen trabajar en pares
[Cram10]. Debido a la caracterıstica de elasticidad del musculo, cuando un musculo se con-
trae, el musculo asociado se estira por reaccion a la contracion y esto genera un par motor en
la articulacion. Se dice que los musculos son antogonistas. La figura 3.1 muestra un ejemplo
del papel desempenado por la contraccion muscular y por la relajacion en el movimiento
del brazo.
Cada musculo esta compuesto de fascıculos musculares. Los fascıculos musculares
se componen a su vez de fibras musculares y estas estan formadas por pequenas hebras
llamadas miofibrillas. Una miofibrilla contiene a su vez muchos sarcomeros. Cada sarcomero
contiene una sola unidad de superposicion de filamentos gruesos y finos y los denominados
puentes atravesados (“cross bridges”) entre ellas separadas por lıneas Z, como se muestra en
la figura 3.2. El filamento grueso del sarcomero y los puentes cruzados contienen la miosina,
el filamento fino del sarcomero contiene actina [Cram10].
MN-α inervan el sarcomero para contraer, por lo tanto, el musculo se contrae. Este
es un proceso quımico-electrico donde se convierte la energıa quımica en energıa mecanica.
La explicacion detallada de este proceso se puede ver en la seccion: fibras musculares y
18 Capıtulo 3: Modelo del movimiento humano
(a) Un brazo con bıceps contraıdo
y trıceps relajado.
(b) un brazo con bıceps rela-
jado y trıceps contraıdo.
Figura 3.1: Un ejemplo ensenando un par de musculos antagonistas, el musculo bıceps y elmusculo trıceps, actuando la articulacion del codo (Imagine tomada de [Saburchill12]).
su funcionamiento en el capıtulo 2 de [Cram10]. La energıa asociada con el movimiento
muscular no esta en funcion de la amplitud del pulso enviado por MN-α, sino de su duracion
y del numero de las fibras musculares que se utilizan [Cram10].
Los husos musculares son las capsulas fibrosas que estan en los musculos. Las fibras
musculares que estan en la capsula fibrosa son fibras intrafusales. Las que estan fuera son
fibras extrafusales que son la mayorıa de las fibras musculares. Las MNs-α inervan las fibras
extrafusales y las MNs-γ inervan las fibras intrafusales. Cuando las MNs-γ inervan los husos
musculares, estos estimulan las MNs-α hasta que las fibras extrafusales tienen una longitud
igual a la de los husos musculares. Ası los husos musculares ofrecen Propiocepcion y los
cambios en actividades de las MNs-γ actuan como cambio en el punto de referencia del
movimiento de los musculos [Bear07].
3.3. Descripcion del Movimiento Humano
En [McIntyre93] McIntyre y Bizzi mencionan que Merton [Merton53] sugiere que
los movimientos en el cuerpo del humano son unicamente cambios en la postura. Las trayec-
torias de los movimientos punto a punto de un brazo humano son usualmente trayectorias
3.3. Descripcion del Movimiento Humano 19
Figura 3.2: La anatomıa de un musculo (Imagine tomada de [Cram10]).
20 Capıtulo 3: Modelo del movimiento humano
0 0.5 10
5
10
Vel
ocid
ad (
rad/
s)
Tiempo (s)
0
0.5
1
Pos
ició
n (r
ad)
VelocidadPosición
Figura 3.3: Un ejemplo de las trayectorias rectas de velocidad y posicion del brazo enmovimiento del punto a punto.
rectas con un perfil de velocidad en forma de campana [Randall Flanagan90]. Esta observa-
cion permite emplear una funcion sigmoide como trayectoria deseada. La Figura 3.3 muestra
un ejemplo de esta trayectoria. Para que el cuerpo humano realice un movimiento, se tienen
que ejecutar las siguientes acciones [Schweighofer98a]:
Transformacion de coordenadas: El sistema de coordenadas intrınseco es un sistema
de coordenadas interno del cuerpo humano y de la misma manera el sistema de coor-
denadas externo al cuerpo es un sistema de coordenadas extrınseco. Las coordenadas
espaciales son un ejemplo del sistema de coordenadas extrınseco. Una articulacion es
un punto de conexion entre dos huesos. Los musculos esqueleticos se unen con los
huesos por mediacion de los tendones. Un sistema de coordenadas intrınsecas puede
constar del sistema de coordenadas angulares de la articulacion, que tiene como base la
posicion angular de esta, y del sistema de coordenadas de los musculos que tiene como
base la longitud de estos [Oshima00]. Caminiti [Caminiti90b, Caminiti90a, Caminiti91]
sugiere que el cerebro emplea el sistema de coordenadas intrınsecas para realizar el
movimiento del cuerpo. Esto quiere decir que se realiza una transformacion de coor-
denadas del sistema extrınseco al sistema de coordenadas intrınseco con el objecto de
realizar el movimiento [Shaikh04].
Planificacion de trayectoria: Korbinian Brodmann dividio el cerebro en 52 areas basan-
3.4. Hipotesis de control biologico del movimiento humano 21
do en su citoarquitectura [Brodmann06]. Citoarquitectura es el patron caracterıstico
de disposicion de las celulas dentro de un tejido u organo particular. El area 5 de
Brodmann es la que genera la trayectoria deseada y la que tambien calcula las nece-
sidades cinematicas incluyendo la aceleracion para realizar el movimiento del cuerpo
[Schweighofer98a].
Generacion del comando del motor: Despues de determinar una trayectoria deseada
para la generacion de un comando a una articulacion, se necesitan compensar las
fuerzas de las articulaciones adyacentes que afectan al movimiento. Los estudios pre-
sentados en [Bastian96] surgieren que es el cerebelo el que compensa esta accion de
las articulaciones adyacentes sobre la articulacion bajo estudio.
3.4. Hipotesis de control biologico del movimiento humano
El control biologico del movimiento humano se puede realizar por realimentacion,
por prealimentacion o por ambos. El control por prealimentacion es mas rapido que el
control realimentado [Schweighofer98a]. Muchos de los modelos antiguos de control usaron
realimentacion [McIntyre93] y las teorıas posteriores apoyan el concepto de prealimentacion
en sus modelos [Schweighofer98a, Schweighofer98b]. Uno de los modelos posteriores es el
modelo dinamico inverso, que explica el control del movimiento humano. Inicialmente este
modelo usa realimentacion para entrenar una red neuronal en el cerebro que describe al siste-
ma musculo-esqueletico, que por efecto de experiencia tiende un modelo inverso del sistema
que se esta controlando. Basado en este modelo el cerebro genera una senal de prealimen-
tacion (feed-forward) y despues de efectuar el movimiento en cuestion, usa realimentacion
para actualizar el modelo neuronal. Esto es, el control consta de dos componentes: un con-
trol inicial prealimentado mas un control realimentado. Conforme se repite el movimiento,
la parte de realimentacion disminuye en importancia y la parte dominante del control la
efectua la red neuronal realizando un control prealimentado o en lazo abierto, haciendo
la accion del movimiento del brazo mas rapida [Schweighofer98a]. El estudio del modelo
humano en la fase de realimentacion para el control de un exoesqueleto es suficiente para
nuestro proposito, porque el cerebro desarrolla el modelo inverso requerido que estabiliza al
22 Capıtulo 3: Modelo del movimiento humano
sistema.
3.5. El esquema del movimiento humano
El bloque correspondiente al sistema musculo-esqueletico de la Figura 3.4 muestra
comportamiento del brazo humano y la articulacion del codo. Este es un sistema de un
GDL. Matematicamente el par que actua sobre el brazo puede expresarse de la siguiente
manera.
τh(t) = Jθh(t) +Bθh(t) +K(θh(t)− θv(t)) (3.1)
donde θh es la posicion angular del brazo humano, τh es el torque externo que actua sobre el
brazo, J es la inercia del brazo humano, B es la viscosidad total de la articulacion, K es la
rigidez muscular total y θv es la trayectoria virtual. La trayectoria virtual es la trayectoria
alcanzada por la articulacion en ausencia de los pares externos, del par del momento de
inercia de la masa y del par de friccion viscoso [Latash91, Hogan84, McIntyre93]. El SNC
genera una trayectoria virtual deseada (θvd) [McIntyre93]. Aunque la trayectoria del brazo
siga o no a la trayectoria virtual, la trayectoria deseada siempre se alcanza.
La realimentacion sensorial a la medula espinal no es instantanea. Existen retardos
en la realimentacion de la posicion y de la velocidad que se denotaran por d1 y d2 respecti-
vamente. La medula espinal genera un realimentacion refleja para estimular las MNs-α. De
acuerdo con los siguientes hallazgos, el bloque de realimentacion refleja de la Figura 3.4 fue
disenado por [McIntyre93].
• Referencia [Bizzi78] muestra que los monos pueden alcanzar un objetivo en la ausencia
de la realimentacion refleja.
• Las MNs-α y las MNs-γ se activan simultaneamente, cuando se inicia un movimiento
[Vallbo70, McIntyre93].
• Los sujetos con ausencia de realimentacion sensorial pueden realizar movimientos com-
plejos, pero la precision de estos por alcanzar el objetivo depende de la realimentacion
sensorial [Vallbo70, McIntyre93].
3.5. El esquema del movimiento humano 23
Posición deseada virtual+
K
+-
-
Posición del
brazo
B
Retardo (d2)Sistema músculo-esquelético
Retardo (d1)+ -
Gp
+
Gv
Realimentación refleja
+-Velocidad deseada virtual
ev
ep
θv
θvd
θhθvd
. 1__s
1__Js
τh
Torque externo actuando
sobre el brazo humano
MN-γ
MN-α
Realimentación sensorial
Realimentación sensorial
τM
Figura 3.4: Esquema que muestra el control del movimiento de un brazo humano.
El bloque de realimentacion refleja de la Figura 3.4 se puede representar matematicamente
como
θv(t) = θvd(t) +Gp(ep(t), t) +Gv(ev(t), t) (3.2)
ep(t) = θvd(t)− θh(t− d1) (3.3)
ev(t) = θvd(t)− θh(t− d2) (3.4)
donde Gp y Gv son ganancias positivas variables en el tiempo. El humano tiene la capacidad
de cambiar las ganancias Gp y Gv para adaptarse a cambios del sistema musculo-esqueletico
[Feldman86, Houk81]. Para simplificar el modelo se pueden aproximar como invariantes en
el tiempo [McIntyre93]. Sustituyendo (3.2)-(3.4) en (3.1), escribiendo en el dominio de la
frecuencia, se obtiene
τh(s) = θh(s)[Js2 + (B +KGve
−d2s)s+K(1 +Gpe−d1s)
]− θvd(s)
[KGvs
+K(1 +Gp)]
(3.5)
El bloque de realimentacion refleja se puede considerar como un controlador pro-
porcional derivativo (PD) con Gp, Gv, ep y ev como la ganancia proporcional, ganancia
derivada, error y derivada del error respectivamente.
24 Capıtulo 3: Modelo del movimiento humano
Tabla 3.1: Valores representativos de los parametros de un modelo humano [McIntyre93].
GrupoJ K B Gp d1 Gv d2
(Nm rad−1 s−2) (Nm rad−1) (Nm rad−1 s−1) (s) (s) (s)
I 0.10 4.00 0.89 2.50 0.065 0.60 0.025
II 0.10 4.00 0.50 1.40 0.065 0.50 0.025
III 0.10 4.00 0.89 2.00 0.040 0.30 0.040
IV 0.10 4.00 0.50 1.50 0.040 0.35 0.040
3.6. Simulacion
En 1978 Dufresne, Soechting, y Terzuolo estimaron el valor de los retardos en el lazo
reflejo en 47ms. Posteriormente ellos mismos en 1979 estimaron los retardos en 25ms y 65ms
en los lazos de retorno de la velocidad y de la posicion respectivamente [McIntyre93]. Los
autores de [McIntyre93] estimaron la inercia de un sujeto en 0.1Nmrad−1 s−2. Experimentos
de [Bennett92, Lanman80, McIntyre93] estiman que la frecuencia natural para un codo en
movimiento rapido esta entre 1Hz y 3Hz . Los autores de [McIntyre93] elaboraron una tabla
de valores posibles que se muestra en la Tabla 3.1, en donde los valores de J , K, d1, y d2
son resultados experimentales y B, Gp, Gv son valores seleccionados adecuadamente para
obtener un sistema estable con buen amortiguamiento. La Figura 3.5 muestra los resultados
de simulacion del modelo humano de la Figura 3.4 con los valores de parametros de la Tabla
3.1 en Simulink de MATLAB.
3.6. Simulacion 25
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Pos
ició
n (r
ad)
Posición del brazo ( θh )
Posición deseada virtual ( θvd
)
(a) Resultados de la simulacion usando
los valores del Grupo I de la Tabla 3.1.
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
Tiempo (s)P
osic
ión
(rad
)
Posición del brazo ( θh )
Posición deseada virtual ( θvd
)
(b) Resultados de la simulacion usando
los valores del Grupo II de la Tabla 3.1.
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Pos
ició
n (r
ad)
Posición del brazo ( θh )
Posición deseada virtual ( θvd
)
(c) Resultados de la simulacion usando
los valores del Grupo III de la Tabla 3.1.
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
Tiempo (s)
Pos
ició
n (r
ad)
Posición del brazo ( θh )
Posición deseada virtual ( θvd
)
(d) Resultados de la simulacion usando
los valores del Grupo IV de la Tabla 3.1.
Figura 3.5: Resultados de simulacion del modelo empleando los valores dados en la Tabla3.1.
Capıtulo 4
Esquema de control aplicado a un
Dispositivo de Aumento de Fuerza
(DAF)
En este capıtulo se presenta la configuracion mecanica de un DAF, la interaccion
entre el DAF y el humano, el controlador propuesto, los resultados de simulacion y los
resultados del experimento en tiempo real.
4.1. Modelado del DAF
La Figura 4.1(a) muestra un bosquejo del Dispositivo de Aumento de Fuerza (DAF)
y la Figura 4.1(b) es su fotografıa. Se compone de un bloque mecanico, de la masa (M)
conectada a un motor electrico a traves de un mecanismo de tuerca husillo. El mecanismo
de tuerca husillo convierte la fuerza de rotacion (par, τA) generada por el motor a una fuerza
rectilınea (FA) que mueve el bloque mecanico.
La posicion del bloque mecanico se considera que es cero cuando el bloque se
encuentra en contacto con el lımite inferior de la carrera mecanica del mecanismo de la
tuerca husillo y positivo cuando el bloque esta arriba de ese nivel. Un codificador de posicion
angular optico conectado al motor permite la medicion indirecta de la posicion del bloque
27
28Capıtulo 4: Esquema de control aplicado a un Dispositivo de Aumento de Fuerza (DAF)
x
y
Sensor de
posiciónTuerca
husillo
El motor
eléctrico
fijado al
estructura
fija
Apoyo del
motor
electrico y
de la
tuerca
husillo
Bloque
mecánico
Sensor de
fuerza
(a) Esquema del DAF mostrando el actua-
dor, el bloque mecanico conectado a una
tuerca husillo y los sensores.
Motor de la CD
Tuerca husillo
Bloque
mecánico
Sensor de
fuerza
Sensor de
posición
Brazo humano
(b) Fotografıa de un piloto operando el
DAF.
Figura 4.1: Esquema y fotografıa del dispositivo de aumento de fuerza (DAF).
mecanico (ye).
Considerando la Figura 4.1(a), la fuerza impulsora (FA) de un mecanismo de tuerca
husillo es proporcional a la salida del par del motor electrico (τM ) [Inc.11b, Inc.12], la cual
se puede escribir
FA(t) =2π
Pm= KmτA(t) (4.1)
donde Km = 2πP−1m , Pm es el paso del tornillo del mecanismo de tuerca husillo.
Puesto que el amplificador de potencia del motor funciona en modo par, su dinami-
ca es rapida (vease el Apendice A). Haciendo caso omiso de esta dinamica se puede escribir
τA(t) = KTVA(t) (4.2)
4.2. Interaccion entre el brazo humano y el DAF 29
1__s
1____Ms
+
Kf
-
W
+- F
FA yeye.
Fe
Dinámica del bloque mecánico
Figura 4.2: Diagrama a bloques del DAF.
donde KT es una constante positiva y VA es el voltaje de entrada al servomecanismo.
Sustituyendo (4.2) en (4.1), se produce
FA(t) = KmKTVA(t) (4.3)
Sea M la masa del bloque mecanico y Kf el coeficiente de friccion viscosa. Por lo
tanto, el modelo del bloque mecanico se puede escribir como:
Mye(t) = −Kf ye(t) + F (t) (4.4)
F (t) = FA(t) + Fe(t)−W (4.5)
donde W = Mg es el peso del bloque mecanico, F es la fuerza total ejercida sobre el bloque
mecanico y Fe es la fuerza ejercida por el piloto. En la Figura 4.2 se representa la dinamica
del DAF. La siguiente ecuacion la representa en el dominio de la frecuencia, con condiciones
iniciales nulas.
ye(s)
F (s)=
1
Ms2 +Kfs(4.6)
4.2. Interaccion entre el brazo humano y el DAF
La Figura 4.3 muestra la interaccion entre el brazo y el bloque mecanico. Sea d el
ancho del dedo, que se deforma una distancia ε cuando ejerce una fuerza sobre el bloque
mecanico, ası que ε = yh − ye. Debido a la diferencia entre la posicion del brazo (yh) y
30Capıtulo 4: Esquema de control aplicado a un Dispositivo de Aumento de Fuerza (DAF)
dSensor de fuerza
Bloqueo mecánicoBrazo humano
θh
(a) Brazo en contacto con el bloque
mecanico.
d-ε
(b) Brazo empujando el bloque
mecanico.
Figura 4.3: Brazo interactuando con el DAF.
la posicion del DAF (ye), se produce una fuerza de reaccion entre ellos. La fuerza ejercida
sobre el DAF por el brazo humano (Fe) y es igual y opuesta a la fuerza ejercida por el DAF
sobre el brazo del piloto (Fh), lo que se puede escribir como [Pataky05]
Fe(t) = −Fh(t) = εE = (yh(t)− ye(t))E (4.7)
por lo que entonces
τh(t) = Fh(t)la = εEla = (ye(t)− yh(t))Ela (4.8)
donde la es la longitud del brazo, y E representa la compliancia fısica de la carne y los
sensores de fuerza existentes entre el humano y el DAF. La rigidez del sensor de fuerza es
muy alta comparada con la de la carne humana, por lo tanto E puede considerarse como
la compliancia de la carne [Kazerooni88]. El valor estimado de E es una constante para
valores pequenos de ε [Pataky05].
4.3. Esquema del controlador aplicado al DAF
El siguiente algoritmo de control se puede aplicar como se muestra en la Figura
4.4.
FA(t) = (KA − 1)Fe(t)−Kdye(t)−Kpye(t) (4.9)
donde KA es la ganancia del amplificador de fuerza, Kp es la ganancia proporcional y −Kdye
representa una realimentacion de velocidad que introduce amortiguamiento en el sistema.
4.4. Analisis de estabilidad 31
Dinámica del
bloque mecánicoF
ye
+ -
Modelo del
brazo
+-
Kd
+
KA-1
(KmKT)-1 ActuadorFAVA
Computador
E
yh
Modelo humano
θvd
leτh
Fh
Kp
-
Fe
θvd
.
le
θh
ye.
W-
le-1 le-1
yvd yvd.
-1
Figura 4.4: Diagrama a bloques que muestra el algoritmo de control en lazo cerrado.
Sustituyendo (4.5), (4.7) y el algoritmo de control (4.9) en (4.4), se obtiene
Mye(t) = −W − (Kd +Kf )ye(t)−Kpye(t) +KAFe(t) (4.10)
o
Mye(t) = −W − (Kd +Kf )ye(t)−Kpye(t) +KA(yh(t)− ye(t))E (4.11)
4.4. Analisis de estabilidad
La Figura 4.5 es una simplificacion de la Figura 4.4. Empleando (4.11), se obtiene
la funcion de transferencia entre ye y yh, la cual se puede escribir como
ye(s)
yh(s)=
KAE
Ms2 + (Kd +Kf )s+Kp + EKA(4.12)
La trayectoria del brazo humano yh sigue la trayectoria deseada yd. En el SNC se
genera yd, tambien se calcula la trayectoria virtual deseada yvd, y se hace una transformacion
32Capıtulo 4: Esquema de control aplicado a un Dispositivo de Aumento de Fuerza (DAF)
Dinámica del
bloque mecánico
F
ye
-
Modelo del
brazo
Fe
KA
+
Kd-
E +ye
yh
yvd
-1
Fh τh
Kp
+
-
W
-
ye.
la
yvd.
Figura 4.5: Simplificacion del diagrama a bloques que se muestra en la Figura 4.4.
de coordenadas de la trayectoria virtual deseada a angulos θvd como se muestra en el bloque
del modelo humano de la Figura 4.4. La dinamica del brazo esta dada por (3.5) y se puede
reescribir como
laτh(s) = yh(s)[Js2 + (B +KGve
−d2s)s+K(1 +Gpe−d1s)
]− yvd(s)
[KGvs
+K(1 +Gp)]
(4.13)
Ignorando los retardos d1 y d2 (i.e. d1 = d2 = 0) y substituyendo (4.8) en (4.13),
se obtiene
El2aye(s) = yh(s)[Js2 + (B +KGv)s+K(1 +Gp) + El2a
]− yvd(s)
[KGvs
+K(1 +Gp)]
(4.14)
4.4. Analisis de estabilidad 33
Sustituyendo (4.12) en la ecuacion anterior, se obtiene
yh(s)
yvd(s)=
[(GvKM)s3 + (GvK(Kd +Kf ) + (Gp + 1)KM)s2 + ((Gp + 1)K(Kd
+Kf ) +GvKKp + EGvKKA)s+ (Gp + 1)KKp + E(Gp
+1)KKA
]/[(JM)s4 + (BM + J(Kd +Kf ) +GvKM)s3
+(EMl2a +B(Kd +Kf ) + JKp + EJKA +GvK(Kd +Kf )
+(Gp + 1)KM)s2 + (E(Kd +Kf )l2a +BKp +BEKA
+(Gp + 1)K(Kd +Kf ) +GvKKp + EGvKKA)s+ EKpl2a
+(Gp + 1)KKp + E(Gp + 1)KKA
](4.15)
ye(s)
yvd(s)=
[(EGvKKA)s+ E(Gp + 1)KKA
]/[(JM)s4 + (BM
+J(Kd +Kf ) +GvKM)s3 + (EMl2a +B(Kd +Kf ) + JKp
+EJKA +GvK(Kd +Kf ) + (Gp + 1)KM)s2 + (E(Kd +Kf )l2a
+BKp +BEKA + (Gp + 1)K(Kd +Kf ) +GvKKp + EGvKKA)s
+EKpl2a + (Gp + 1)KKp + E(Gp + 1)KKA
](4.16)
El denominador de yh(s)/yvd(s) y de ye(s)/yvd(s) es el mismo, y se denota por
D(s), que es un polinomio de cuarto grado en s.
D(s) := a4s4 + a3s
3 + a2s2 + a1s
1 + a0 (4.17)
a4 = JM
a3 = BM + J(Kd +Kf ) +GvKM
a2 = EMl2a +B(Kd +Kf ) + JKp + EJKA +GvK(Kd +Kf )
+(Gp + 1)KM
a1 = E(Kd +Kf )l2a +BKp +BEKA + (Gp + 1)K(Kd +Kf )
+GvKKp + EGvKKA
a0 = EKpl2a + (Gp + 1)KKp +E(Gp + 1)KKA
Por el teorema de Routh-Hurwitz el sistema en lazo cerrado es estable cuando se
34Capıtulo 4: Esquema de control aplicado a un Dispositivo de Aumento de Fuerza (DAF)
cumplen las siguientes condiciones.
a0 > 0; a1 > 0; a2 > 0; a3 > 0; a4 > 0; a5 > 0 (4.18)
b1 :=a3a2 − a4a1
a3> 0 (4.19)
c1 :=b1a1 − a3a0
b1> 0 (4.20)
Las condiciones (4.19) y (4.20), se pueden simplificar como (vease el Apendice B)
b1 =[(BJ +GvJK)(Kd +Kf )
2 + (B2M + J2Kp + EJ2KA +G2vK
2M
+2BGvKM)(Kd +Kf ) + (Gp + 1)GvK2M2 + EGvKM2l2a
+B(Gp + 1)KM2 +BEM2l2a
]/[(B +GvK)M + J(Kd +Kf )
]> 0 (4.21)
4.5. Analisis del desempeno 35
c1s =[B3EKA(Kd +Kf )M +B3(Kd +Kf )KpM +B2E2KAM
2l2a
+3B2EGvKKA(Kd +Kf )M +B2EJKA(Kd +Kf )2
+B2E(Kd +Kf )2Ml2a +B2(Gp + 1)K(Kd +Kf )
2M + 3B2GvK(Kd +Kf )KpM
+B2J(Kd +Kf )2Kp + 2BE2GvKKAM
2l2a + 3BEG2vK
2KA(Kd
+Kf )M + 2BEGvJKKA(Kd +Kf )2 + 2BEGvK(Kd +Kf )
2Ml2a
+BEJ(Kd +Kf )3l2a + 2B(Gp + 1)GvK
2(Kd +Kf )2M +B(Gp + 1)JK(Kd
+Kf )3 + 3BG2
vK2(Kd +Kf )KpM + 2BGvJK(Kd +Kf )
2Kp
+E2G2vK
2KAM2l2a +E2J2KA(Kd +Kf )
2l2a
+EG3vK
3KA(Kd +Kf )M + EG2vJK
2KA(Kd +Kf )2
+EG2vK
2(Kd +Kf )2Ml2a + EGvJK(Kd +Kf )
3l2a + (Gp
+1)G2vK
3(Kd +Kf )2M + (Gp + 1)GvJK
2(Kd +Kf )3
+G3vK
3(Kd +Kf )KpM +G2vJK
2(Kd +Kf )2Kp +GvK(Kd
+Kf )(− EMl2a + JKp + EJKA − (Gp + 1)KM
)2+2E2GvJKKA(Kd +Kf )Ml2a +B(Kd +Kf )
(− EMl2a
+JKp + EJKA − (Gp + 1)KM)2
+ 2BE2JKA(Kd
+Kf )Ml2a
]/[BM + J(Kd +Kf ) +GvKM
]> 0 (4.22)
De las ecuaciones (4.17), (4.21) y (4.22), se puede notar que todos los terminos
de a0, a1, a2, a3, a4, b1, y c1 son positivos, lo que satisface las condiciones de estabilidad
(4.18)-(4.20). Una prueba de estabilidad detallada en Apendice C.
4.5. Analisis del desempeno
El punto de equilibrio, (4.10) se puede reescribir como
Fe(t) =W +Kpye(t)
KA(4.23)
lo que pone de manifiesto que el piloto siempre percibe una parte relativamente pequena
del peso cuando KA > 1.
36Capıtulo 4: Esquema de control aplicado a un Dispositivo de Aumento de Fuerza (DAF)
Cuando el operador quita la mano del sensor de fuerza, la dinamica del sistema es
Mye(t) = −W − (Kd +Kf )ye(t)−Kpye(t) (4.24)
que es estable porque Kp y Kd+Kf son positivos. La posicion del bloque mecanico (ye) en
el punto de equilibrio es:
ye(t) = −W
Kp(4.25)
La posicion ye anterior es negativa, sin embargo, el tope mecanico evitara que el
bloque se mueva por debajo del lımite inferior de la carrera mecanica de la tuerca husillo
(ye = 0).
4.6. Seleccion de los parametros del controlador
Seleccion de Kp: La ecuacion (4.23) muestra que la fuerza ejercida por el brazo humano
depende del peso del bloque mecanico y de la posicion de este. En condiciones ideales la
fuerza ejercida por el brazo humano (Fei) debe ser proporcional al peso, es decir
Fei(t) =W
KA(4.26)
Seando el error
e :=Fe(t)− Fei(t)
Fei× 100% (4.27)
si se desea que no sea superior al 10%, se debe tener que
Kp ≤ mın
(0.1W
ye(t)
)(4.28)
Kp ≤ 0.1W
Yem(4.29)
donde Yem = max (ye(t)).
Seleccion de Kd: Cuando el piloto quita la mano del bloque mecanico, no se desean osci-
laciones en el bloque. En otras palabras, el factor de amortiguamiento del sistema mostrado
en (4.24) no puede ser menor que 1, matematicamente
Kd +Kf
2√KpM
≥ 1 (4.30)
Kd ≥ 2√
KpM −Kf (4.31)
4.7. Resultados de la simulacion y experimentales 37
0 5 10 15 20 250
0.1
0.2
0.3
0.4
Tiempo (s)
Pos
ició
n (m
)
Posición deseada virtual ( yvd
)
Posición de bloque mecánico ( ye )
(a) Posicion vs tiempo.
0 10 20 300
1
2
3
4
Tiempo (s)
Fue
rza
(N)
Fuerza ejercida por el piloto ( Fe )
(b) Fuerza vs tiempo.
Figura 4.6: Resultados de la simulacion.
0 5 10 15 20 250
0.1
0.2
0.3
0.4
Tiempo (s)
Pos
ició
n (m
)
Posición de bloque mecánico ( ye )
(a) Posicion vs tiempo.
0 10 20 300
1
2
3
4
Tiempo (s)
Fue
rza
(N)
Fuerza ejercida por el piloto ( Fe )
(b) Fuerza vs tiempo.
Figura 4.7: Resultados de la simulacion cuando el piloto quita la mano despues de 15 s.
Seleccion de KA: De (4.23) se observa que la fuerza ejercida por el piloto se amplifica
cuando KA > 1 y se atenua cuando 0 < KA < 1. El piloto puede seleccionar KA segun se
requiera.
4.7. Resultados de la simulacion y experimentales
En esta seccion se presentan los resultados de las simulaciones y los experimen-
tales. Los valores empleados para las simulaciones, se obtuvieron haciendo un analisis de
la geometrıa del dispositivo real y con la ayuda de los manuales de las partes de este. Los
38Capıtulo 4: Esquema de control aplicado a un Dispositivo de Aumento de Fuerza (DAF)
Tabla 4.1: Valores de los parametros para la simulacion.
Parameter Value Unit
B 0.89 Nmrad−1 s−1
d1 0.04 s
d2 0.04 s
E 920 Nm−1
Gp 2
Gv 0.3 s
J 0.1 Nmrad−1 s−2
K 4 Nmrad−1
KA 125
Kd 65 kg s−1
Kf 0 Nm−1 s
Km 1.047× 103 m−1
Kp 45 kg s−2
KT 1.2753 NmV−1
la 0.35 m
M 23.393 kg
Pm 6× 10−3 m
W 229.409 N
yem 0.5 m
4.7. Resultados de la simulacion y experimentales 39
Eje imaginario
Eje
rea
l
−11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−30
−20
−10
0
10
20
30
Figura 4.8: Diagrama de lugar de las raıces para el sistema en lazo cerrado.
0 10 200
0.1
0.2
0.3
0.4
Tiempo (s)
Pos
ició
n (m
)
Posición de bloque mecánico ( ye )
(a) Posicion vs tiempo.
0 5 10 15 20 250
10
20
30
40
Tiempo (s)
Fue
rza
(N)
Fuerza ejercida por el piloto ( Fe )
(b) Fuerza vs tiempo.
Figura 4.9: Resultados experimentales.
40Capıtulo 4: Esquema de control aplicado a un Dispositivo de Aumento de Fuerza (DAF)
0 5 10 15 20 250
0.1
0.2
0.3
0.4
Tiempo (s)
Pos
ició
n (m
)
Posición delbloque mecánico( y
e )
Posición deseadavirtual( y
vd )
Figura 4.10: Grafica de la posicion contra el tiempo para un retardo de d1 = d2 = 162msdonde se observa que el sistema se vuelve inestable.
valores de Kp, y Kd se han selecionado de la Tabla 4.1 de tal manera que satisfagan los
condiciones (4.29) y (4.31). El resto de los valores para los parametros de la simulacion
se encuentran tambien en esta tabla. Los valores de los parametros del modelo humano se
tomaron del Grupo III de la Tabla 3.1. Las trayectorias de la posicion del brazo humano
(ye) y de la fuerza ejercida por el piloto Fe se muestran en la Figura 4.6. La Figura 4.7(a)
muestra la situacion cuando el piloto quita la mano despues de 15 s.
En la Figura 4.8 se muestra el lugar de las raıces para el sistema en lazo cerrado. Se
puede observar que para todos los valores de KA las raıces siempre estan del lado izquerdo
del plano complejo lo que implica la estabilidad del sistema.
Resultados de la simulacion muestran que para retardos iguales a o superiores a
162ms, el sistema se vuelve inestable. El analisis que se ha presentado es valido para valores
del retardo menores a 162ms como muestran las simulaciones. La Figura 4.10 muestra una
simulacion con retardos d1 = d2 = 162ms.
La plataforma en la cual se llevaron a cabo los experimentos esta constituida, en
la parte de programacion por el sistema operativo Windows XP con MATLAB-SIMULINK
y WinCon, este ultimo es un nucleo que permite realizar el control en tiempo real. Los
datos del actuador, del sensor y del bloque mecanico se dan en el Apendice D. El periodo de
muestreo utilizado en el modelo fue de 1ms. La salida de voltaje del control fue limitada por
programa con un saturador de ±6V. La Figura 4.9 muestra los resultados del experimento
en tiempo real.
Capıtulo 5
Conclusiones y trabajo futuro
En esta propuesta de tesis se presenta un modelo del movimiento humano, un
exoesqueleto no-antromorfico, un controlador, el analisis de estabilidad del sistema hombre-
exoesqueleto, seleccion de los parametros de control, resultados de simulaciones del esquema
de control propuesto, y resultados experimentales obtenidos a partir de la aplicacion del
control propuesto al modelo de laboratorio construido.
5.1. Conclusiones
Los parametros usados en la simulacion se seleccionaron en base a estimaciones
de los parametros del dispositivo experimental. Se puede observar que los resultados de
las simulaciones y los resultados experimentales se asemejan. El valor estimado para el
coeficiente de friccion viscosa (KF ) se tomo como 0N sm−1, que puede ser incorrecto pero
resulta en un valor de Kd tal que sistema es estable. Por esta razon la trayectoria de bajada
ye de la simulacion, no coincide con la del experimento.
De la observacion de los resultados de la simulacion y experimentales, se puede
ver que el piloto siempre siente una fuerza cuando levanta el bloque mecanico o cuando lo
mantiene en una posicion fija. Un requisito del diseno es que el piloto siempre sienta una
parte de la carga que esta levantando.
Aunque el analisis de estabilidad se ha realizado despreciando los retardos en el
lazo de realimentacion del modelo humano, las resultados de las simulaciones y experimen-
41
42 Capıtulo 5: Conclusiones y trabajo futuro
tales muestran que el sistema con retardos cuando se aplica el algoritmo propuesto que no
considera los retardos, es estable.
5.2. Trabajo futuro
El analisis de estabilidad del esquema propuesto se realizo suponiendo que los
retardos en el modelo humano son iguales a cero y que la fuerza aplicada por el piloto no
esta limitada en magnitud. El resultado es que el sistema es estable para toda KA. Como
trabajo futuro debera considerarse el papel desempenado por los retardos y el hecho de que
la fuerza que ejerce el piloto es limitada en magnitud.
El esquema de un solo GDL que se presenta el problema de que si se considera
el desplazamiento de la parte externa de la mano que toca al dispositivo, este describe
una circunferencia con centro en la articulacion del codo. Para considerar que el punto del
contacto con el dispositivo recorre una trayectoria vertical, que es lo que requiere para mover
el bloque mecanico hacia arriba o hacia abajo, es necesario considerar un segundo GDL que
corresponde a la articulacion del hombro. Este trabajo es una aproximacion real por lo que
un trabajo futuro debera considerar un esquema con dos GDL.
Otra posible extension del trabajo, es decir trabajo futuro, puede ser el apoyo a las
personas con mal de Parkinson para que el DAF las ayude a minimizar el temblor. Tambien
se puede extender el trabajo a la ayuda a las personas sin brazos. En este caso se necesitaran
emplear senales EMG para generar los comandos al dispositivo y se tendrıa que realizar el
algoritmo de control correspondiente y su calibracion para el piloto en cuestion.
El dispositivo experimental actual tiene un solo sensor de fuerza que detecta la
intencion del piloto de mover el dispositivo verticalmente hacia arriba. Se puede incluir otro
sensor de fuerza y realizar en el esquema de control los cambios pertinentes para detectar
la intencion del piloto de mover el dispositivo hacia abajo. Ası que se puede extender el
trabajo para mover el bloque mecanico verticalmente hacia arriba y hacia abajo usando dos
sensores de fuerza.
Otra posible extension del trabajo puede ser la inclusion de un sistema de deteccion
de fallas en el exoesqueleto y la toma de decisiones adecuadas para evitar accidentes. Una
5.2. Trabajo futuro 43
falla electrica, un corto circuito, una falla en los sensores, etc., pueden causar accidentes.
Se puede implementar un lazo de control independiente que maneje estas situaciones de
emergencia y garantice la seguridad del piloto.
El proyecto actual considera solamente movimiento rectilıneo vertical del disposi-
tivo, se tiene en principio un exoesqueleto no-antropomorfico. Se puede extender el trabajo
a la construccion de un dispositivo pseudo-antropomorfico haciendo que este pueda realizar
movimientos rotacionales.
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Apendice A
Modelo del motor electrico y del
amplificador
Un motor electrico de corriente directa con escobillas puede modelarse como
τA(s)
VAm(s)=
KAt(JAs+BA)
LAJAs2 + (LABA +RAJA)s+ (KAeKAt +RABA)
τA = KAtI (A.1)
donde τA es el par del eje del motor en Nm, VAm es el voltaje de entrada al motor en V,
KAt es la sensibilidad del par del motor en NmA−1, JA es la inercia total del eje en Nms2,
BA es la friccion en Nms rad−1, LA es la inductancia del motor en Ω s, RA es la resistencia
en Ω, KAe es la constante de fuerza contra-electromotriz del motor en V s rad−1, y IA es la
corriente electrica del motor en A.
En la configuracion usada en el experimento, el motor esta conectado a un am-
plificador trabajando en modo par, con realimentacion de corriente, como se muestra en la
Figura A.1. El sistema en lazo cerrado es
τA(s)
VA(s)= KAtKAE
(KAp +
KAis
)KAa
IA(s)VAm(s)
1 +KAC
(KAp +
KAis
)KAa
IA(s)VAm(s)
(A.2)
donde VA es la entrada de voltaje al amplificador en V, que genera una referencia en co-
rriente, KAC es la ganancia de realimentacion de la corriente en Ω, KAa es la ganancia del
puente H del amplificador, KAE es la ganancia de entrada del amplificador, y KAp y KAi son
53
54 Apendice A: Modelo del motor electrico y del amplificador
s1
KAp
KAi
++ KAaKAE DC Motor
KAC
θAVAmVA
-
IA
Figura A.1: Diagrama a bloques del motor de corriente directa con un amplificador conec-tado con realimentacion en corriente, es decir en modo par.
las ganancias proporcional e integral, respectivamente, para el controlador PI interno del
amplificador. Seleccionando valores mucho mayores a 1 para KAi, (A.2) se puede simplificar
como
τA(s) = KAtKAE
[1
KAC
]VA(s) = KTVA(s) (A.3)
donde KT = KAtKAEK−1AC .
Apendice B
Simplificaciones de las ecuaciones
Simplificacion de (4.19) Sustituyendo a1, a2, a3, y a4 en (4.19), se obtiene
b1 =[(BM + J(Kd +Kf ) +GvKM)(EMl2a +B(Kd +Kf )
+JKp + EJKA +GvK(Kd +Kf ) + (Gp + 1)KM)− JM(E(Kd
+Kf )l2a +BKp +BEKA + (Gp + 1)K(Kd +Kf ) +GvKKp
+EGvKKA)]/[
BM + J(Kd +Kf ) +GvKM]
(B.1)
Expandiendo (B.1) y cancelando las terminos negativos con terminos positivos,
(B.1) se puede escribir como (4.21). Ya que todos los terminos son positivos en (4.21), b1 es
positivo.
Simplificacion de (4.20) Ya que b1 es positivo, (4.20) se puede simplificar como
c1s = b1a1 − a3a0 > 0 (B.2)
55
56 Apendice B: Simplificaciones de las ecuaciones
Sustituyendo a0, a1, a3, y b1 en la condicion anterior y expandiendo, se obtiene
c1s =[B3EKA(Kd +Kf )M +B3(Kd +Kf )KpM +B2E2KAM
2l2a
+3B2EGvKKA(Kd +Kf )M +B2EJKA(Kd +Kf )2 +B2E(Kd
+Kf )2Ml2a +B2(Gp + 1)K(Kd +Kf )
2M + 3B2GvK(Kd
+Kf )KpM +B2J(Kd +Kf )2Kp + 2BE2GvKKAM
2l2a
+BE2J2K2A(Kd +Kf ) +BE2(Kd +Kf )M
2l4a − 2BE(Gp
+1)JKKA(Kd +Kf )M + 2BE(Gp + 1)K(Kd +Kf )M2l2a
+3BEG2vK
2KA(Kd +Kf )M + 2BEGvJKKA(Kd +Kf )2
+2BEGvK(Kd +Kf )2Ml2a + 2BEJ2KA(Kd +Kf )Kp
+BEJ(Kd +Kf )3l2a − 2BEJ(Kd +Kf )KpMl2a +B(Gp
+1)2K2(Kd +Kf )M2 + 2B(Gp + 1)GvK
2(Kd +Kf )2M
+B(Gp + 1)JK(Kd +Kf )3 − 2B(Gp + 1)JK(Kd +Kf )KpM
+3BG2vK
2(Kd +Kf )KpM + 2BGvJK(Kd +Kf )2Kp
+BJ2(Kd +Kf )K2p + E2G2
vK2KAM
2l2a
+E2GvJ2KK2
A(Kd +Kf ) + E2GvK(Kd +Kf )M2l4a
+E2J2KA(Kd +Kf )2l2a − 2E(Gp + 1)GvJK
2KA(Kd
+Kf )M + 2E(Gp + 1)GvK2(Kd +Kf )M
2l2a
+EG3vK
3KA(Kd +Kf )M + EG2vJK
2KA(Kd +Kf )2
+EG2vK
2(Kd +Kf )2Ml2a + 2EGvJ
2KKA(Kd +Kf )Kp
+EGvJK(Kd +Kf )3l2a − 2EGvJK(Kd +Kf )KpMl2a
+(Gp + 1)2GvK3(Kd +Kf )M
2 + (Gp + 1)G2vK
3(Kd
+Kf )2M + (Gp + 1)GvJK
2(Kd +Kf )3 − 2(Gp
+1)GvJK2(Kd +Kf )KpM +G3
vK3(Kd +Kf )KpM
+G2vJK
2(Kd +Kf )2Kp +GvJ
2K(Kd
+Kf )K2p
]/[BM + J(Kd +Kf ) +GvKM
]> 0 (B.3)
57
c1s tiene 6 terminos negativos en su numerador que son
−2E(Gp + 1)GvJK2KA(Kd +Kf )M − 2(Gp + 1)GvJK
2(Kd
+Kf )KpM − 2EGvJK(Kd +Kf )KpMl2a − 2BE(Gp + 1)JKKA(Kd
+Kf )M − 2BEJ(Kd +Kf )KpMl2a − 2B(Gp + 1)JK(Kd +Kf )KpM
y 12 terminos positivos que son
+2EGvJ2KKA(Kd +Kf )Kp + (Gp + 1)2GvK
3(Kd +Kf )M2
+E2GvJ2KK2
A(Kd +Kf ) +GvJ2K(Kd +Kf )K
2p +E2GvK(Kd
+Kf )M2l4a + 2E(Gp + 1)GvK
2(Kd +Kf )M2l2a + 2BE(Gp
+1)K(Kd +Kf )M2l2a +B(Gp + 1)2K2(Kd +Kf )M
2 +BE2(Kd
+Kf )M2l4a +BJ2(Kd +Kf )K
2p +BE2J2K2
A(Kd +Kf )
+2BEJ2KA(Kd +Kf )Kp
sumando y restando al numerador los siguientes terminos
2E2GvJKKA(Kd +Kf )Ml2a (B.4)
2BE2JKA(Kd +Kf )Ml2a (B.5)
es posible completar cuadrados y escribir lo siguiente:
GvK(Kd +Kf )(−EMl2a + JKp + EJKA − (Gp + 1)KM)2
+2E2GvJKKA(Kd +Kf )Ml2a +B(Kd +Kf )(−EMl2a + JKp
+EJKA − (Gp + 1)KM)2 + 2BE2JKA(Kd +Kf )Ml2a (B.6)
por lo que tanto el numerador como el denominador de c1s son positivos. Por lo tanto c1s
es positivo.
Apendice C
Prueba de estabilidad
El sistema en lazo cerrado se puede dividir en los sistemas S1 y S2 como se muestra
en la Figura C.1. Ignorando la entrada W en (4.10), el sistema S1 se puede escribir en el
dominio de la frecuencia como
S1(s) =Fe(s)
ye(s)=
1MKA
s2 +Kd+Kf
KAs+
Kp
KA
(C.1)
Ignorando los retardos y la entrada yvd en (4.13); y substituyendo (4.8) en (4.13),
se puede escribir
−yh(s)
Fe(s)=
l2aJs2 + (B +KGv)s+K(1 +Gp)
(C.2)
Simplificando el lazo cerrado en S2, se puede escribir lo siguiente
S2(s) =Fe(s)
ye(s)=
−E[Js2 + (B +KGv)s+K(1 +Gp)]
Js2 + (B +KGv)s+K(1 +Gp) + El2a(C.3)
Los sistemas S1 y S2 se pueden generalizar como
S1(s) =1
a2s2 + a1s+ a0(C.4)
S2(s) =−c(b2s
2 + b1s+ b0)
b2s2 + b1s+ b0 + cd(C.5)
59
60 Apendice C: Prueba de estabilidad
Dinámica del
bloque mecánico
F
ye
-
Modelo del
brazo
Fe
KA
+
Kd-
E +ye
yh
yvd
-1
Fh τh
Kp
+
-
W
-
ye.
la
yvd.
S1
S2
Fe ye
Figura C.1: Separacion del modelo general de control en los subsistemas en lazo cerrado S1
y S2.
Polinomio caracterıstico (P (s)) de este sistema es el siguiente:
P (s) = 1− S1(s)S2(s) = 0 (C.6)
= 1 +c(b2s
2 + b1s+ b0)
(a2s2 + a1s+ a0)(b2s2 + b1s+ b0 + cd)= 0 (C.7)
= (a2s2 + a1s+ a0)(b2s
2 + b1s+ b0 + cd) + c(b2s2 + b1s+ b0) = 0 (C.8)
= a2b2s4 + a2b1s
3 + a2b0s2 + a2cds
2
+a1b2s3 + a1b1s
2 + a1b0s+ a1cds
+a0b2s2 + a0b1s+ a0b0 + a0cd
+b2cs2 + b1cs+ b0c = 0 (C.9)
= (a2b2)s4 + (a2b1 + a1b2)s
3 + (a2b0 + a2cd+ a1b1 + a0b2 + b2c)s2
+(a1b0 + a0b1 + b1c+ a1cd)s+ (a0cd+ b0c+ a0b0) (C.10)
La ecuacion anterior se puede escribir como
P (s) := A4s4 +A3s
3 +A2s2 +A1s+A0 = 0 (C.11)
61
donde
A4 = a2b2 (C.12)
A3 = a1b2 + a2b1 (C.13)
A2 = a0b2 + a1b1 + a2b0 + b2c+ a2cd (C.14)
A1 = a0b1 + a1b0 + b1c+ a1cd (C.15)
A0 = a0b0 + b0c+ a0cd (C.16)
De acuerdo con el criterio de estabilidad de Routh Hurwitz, el sistema es estable
si y solo si las siguientes condiciones se satisfacen.
A0 > 0; A1 > 0; A2 > 0; A3 > 0; A4 > 0 (C.17)
B1 :=A3A2 −A4A1
A3> 0 (C.18)
C1 :=B1A1 −A3A0
B1> 0 (C.19)
B1 =(a1b2 + a2b1)(a0b2 + a1b1 + a2b0 + b2c+ a2cd)− a2b2(a0b1 + a1b0 + b1c+ a1cd)
a1b2 + a2b1
=[a0a1b
22 + a21b1b2 + a1a2b0b2︸ ︷︷ ︸
2
+a1b22c+ a1a2b2cd︸ ︷︷ ︸
4
a0a2b1b2︸ ︷︷ ︸1
+a1a2b21 + a22b0b1 + a2b1b2c︸ ︷︷ ︸
3
+a22b1cd
− a0a2b1b2︸ ︷︷ ︸1
− a1a2b0b2︸ ︷︷ ︸2
− a2b1b2c︸ ︷︷ ︸3
− a1a2b2cd︸ ︷︷ ︸4
]/[a1b2 + a2b1
]=
a0a1b22 + a21b1b2 + a1b
22c+ a1a2b
21 + a22b0b1 + a22b1cd
a1b2 + a2b1(C.20)
De la ecuacion anterior se puede observar que B1 es positivo y por tanto C1 se
puede simplificar de la siguiente manera.
C1s := B1A1 −A3A0 > 0
C1s =
((a0a1b
22 + a21b1b2 + a1b
22c+ a1a2b
21 + a22b0b1 + a22b1cd
a1b2 + a2b1
)(a0b1 + a1b0 + b1c
+a1cd)− (a1b2 + a2b1)(a0b0 + b0c+ a0cd)
)> 0 (C.21)
62 Apendice C: Prueba de estabilidad
o ((a0a1b
22 + a21b1b2 + a1b
22c+ a1a2b
21 + a22b0b1 + a22b1cd)(a0b1 + a1b0 + b1c+ a1cd)
−(a1b2 + a2b1)(a0b0 + b0c+ a0cd)(a1b2 + a2b1)
)> 0 (C.22)
o ((a0a1b
22 + a21b1b2 + a1b
22c+ a1a2b
21 + a22b0b1 + a22b1cd)(a0b1 + a1b0 + b1c+ a1cd)
−(a1b2 + a2b1)2(a0b0 + b0c+ a0cd)
)> 0 (C.23)
o ((a0a1b
22 + a21b1b2 + a1b
22c+ a1a2b
21 + a22b0b1 + a22b1cd)(a0b1 + a1b0 + b1c+ a1cd)
−(a21b22 + a22b
21 + 2a1a2b1b2)(a0b0 + b0c+ a0cd)
)> 0 (C.24)
o (a20a1b1b
22 + a0a
21b
21b2 + a0a1b1b
22c+ a0a1a2b
31 + a0a
22b0b
21︸ ︷︷ ︸
2
+ a0a22b
21cd︸ ︷︷ ︸
6
+ a0a21b0b
22︸ ︷︷ ︸
1
+a31b0b1b2 + a21b0b22c︸ ︷︷ ︸
3
+a21a2b0b21 + a1a
22b
20b1 + a1a
22b0b1cd
+a0a1b1b22c+ a21b
21b2c+ a1b1b
22c
2 + a1a2b31c+ a22b0b
21c︸ ︷︷ ︸
4
+a22b21c
2d
+ a0a21b
22cd︸ ︷︷ ︸
5
+a31b1b2cd+ a21b22c
2d+ a21a2b21cd+ a1a
22b0b1cd+ a1a
22b1c
2d2
− a0a21b0b
22︸ ︷︷ ︸
1
− a0a22b0b
21︸ ︷︷ ︸
2
−2a0a1a2b0b1b2
− a21b0b22c︸ ︷︷ ︸
3
− a22b0b21c︸ ︷︷ ︸
4
−2a1a2b0b1b2c
− a0a21b
22cd︸ ︷︷ ︸
5
− a0a22b
21cd︸ ︷︷ ︸
6
−2a0a1a2b1b2cd
)> 0 (C.25)
63
o
(a20a1b1b
22︸ ︷︷ ︸
X
+a0a21b
21b2 + a0a1b1b
22c︸ ︷︷ ︸
X
+a0a1a2b31
+a31b0b1b2 + a21a2b0b21 + a1a
22b
20b1︸ ︷︷ ︸
X
+ a1a22b0b1cd︸ ︷︷ ︸X
+ a0a1b1b22c︸ ︷︷ ︸
X
+a21b21b2c+ a1b1b
22c
2︸ ︷︷ ︸X
+a1a2b31c+ a22b
21c
2d
+a31b1b2cd+ a21b22c
2d+ a21a2b21cd+ a1a
22b0b1cd︸ ︷︷ ︸X
+ a1a22b1c
2d2︸ ︷︷ ︸X
− 2a0a1a2b0b1b2︸ ︷︷ ︸X
− 2a1a2b0b1b2c︸ ︷︷ ︸X
− 2a0a1a2b1b2cd︸ ︷︷ ︸X
)> 0 (C.26)
Reescribiendo la condicion anterior al agrupar todos los terminos seleccionados
entre parentesis cuadrados y el resto de los terminos entre parentesis, se obtiene
[a20a1b1b
22 + a0a1b1b
22c+ a1a
22b
20b1 + a1a
22b0b1cd+ a0a1b1b
22c+ a1b1b
22c
2 + a1a22b0b1cd
+a1a22b1c
2d2 − 2a0a1a2b0b1b2 − 2a1a2b0b1b2c− 2a0a1a2b1b2cd
]+
(a0a
21b
21b2
+a0a1a2b31 + a31b0b1b2 + a21a2b0b
21 + a21b
21b2c+ a1a2b
31c+ a22b
21c
2d+ a31b1b2cd
+a21b22c
2d+ a21a2b21cd
)> 0 (C.27)
Sumando y restando un termino externo 2a1b1a2b2c2d a la condicion anterior para simpli-
ficar, se obtiene
[a20a1b1b
22 + a0a1b1b
22c+ a1a
22b
20b1 + a1a
22b0b1cd+ a0a1b1b
22c+ a1b1b
22c
2 + a1a22b0b1cd
+a1a22b1c
2d2 − 2a0a1a2b0b1b2 − 2a1a2b0b1b2c− 2a0a1a2b1b2cd+ 2a1b1a2b2c2d
−2a1b1a2b2c2d
]+
(a0a
21b
21b2 + a0a1a2b
31 + a31b0b1b2 + a21a2b0b
21 + a21b
21b2c+ a1a2b
31c
+a22b21c
2d+ a31b1b2cd+ a21b22c
2d+ a21a2b21cd
)> 0 (C.28)
64 Apendice C: Prueba de estabilidad
o
a1b1
[(a20b
22 + a0b
22c+ a22b
20 + a22b0cd+ a0b
22c+ b22c
2 + a22b0cd+ a22c2d2
−2a0a2b0b2 − 2a2b0b2c− 2a0a2b2cd− 2a2b2c2d) + 2a2b2c
2d
]+
(a0a
21b
21b2 + a0a1a2b
31
+a31b0b1b2 + a21a2b0b21 + a21b
21b2c+ a1a2b
31c+ a22b
21c
2d+ a31b1b2cd+ a21b22c
2d
+a21a2b21cd
)> 0 (C.29)
Completando cuadrados a partir de los terminos subrayados en la ecuacion anterior, se
puede escribir lo siguiente
a1b1
[(a0b2 − a2b0 + b2c− a2cd)
2 + 2a2b2c2d
]+
(a0a
21b
21b2 + a0a1a2b
31 + a31b0b1b2
+a21a2b0b21 + a21b
21b2c+ a1a2b
31c+ a22b
21c
2d+ a31b1b2cd+ a21b22c
2d
+a21a2b21cd
)> 0 (C.30)
Dado que todas las condiciones del criterio de estabilidad de Routh Hurwitz se
satisfacen, el sistema en lazo cerrado es estable para todos los valores positivos de los
coeficientes.
Apendice D
El modelo experimental
El modelo experimental se muestra en la Figura 4.1(b), el bloque mecanico se
muestra en detalle en la Figura D.1 y sus dimensiones estan dadas en la Figura D.2. Asu-
miendo la densidad del hierro, del acero, y del aluminio como 7200 kgm−3, 7800 kgm−3, y
2700 kgm−3 respectivamente, se puede estimar la masa del bloque mecanico
M = 7200× 0.51[0.216× 0.01 + 0.01(0.216− 0.025× 2− 0.03)
+0.01(0.037× 2 + 0.05× 2)]+ 2700× 2
[0.064(0.2× 0.01
+0.17× 0.052)− π
4× 0.0252 × 0.17
]+ 7800
[0.04× 0.05× 0.06
−π
4× 0.0252 × 0.04
]= 19.3147 kg + 3.2957 kg + 0.7828 kg = 23.3932 kg (D.1)
El movimiento del bloque mecanico se realiza por medio de un mecanismo tuerca-
tornillo. La tuerca es un pequeno bloque de acero que forma parte del bloque mecanico. El
tornillo es una barra vertical de acero con cuerda que gira por accion del motor conectado en
su extremo superior. El giro del tornillo en un sentido o el otro hace que el bloque mecanico
se desplace hacia arriba o hacia abajo. Para evitar movimientos laterales del bloque este
tiene dos soportes laterales de aluminio con dos orificios recubiertos de acero que permiten
que el bloque se deslice a lo largo de dos barras de acero fijas paralelas al tornillo, que pasan
por los orificios de estos soportes y que fungen como guias.
Como la masa se desplaza a 90 con respecto a la tierra, el bloque mecanico no
65
66 Apendice D: El modelo experimental
Hierro
Aluminio
(a) Parte frontal
Hierro
Aluminio
Acero
(b) Parte trasera
Figura D.1: Figura 3D muestrando el bloque mecanico.
ejerce ninguna fuerza horizontal sobre las barras guias. Por lo tanto se considera que entre
las barras guias y el bloque mecanico no existe fuerza de friccion cinematica. Por otro lado,
se puede ignorar la resistencia del aire que causa friccion viscosa sin gran margen de error.
El motor que se emplea como actuador es un motor C34-L80-W40 de “Moog
Components Group” [Group12] con un amplificador modelo 423 de “Copley Controls Corp.”
[Corp.12]. La Figura D.3 muestra el mecanismo de tuerca husillo que esta acoplado al
motor. El momento de inercia total es la suma del momento de inercia del eje del motor
67
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(a) Dimensiones de la parte de hierro
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(b) Dimensiones de la parte de alu-
minio y acero.
Figura D.2: Dimensiones del bloque mecanico.
(3.884× 10−4 kgm2) y de la barra que actua como tornillo.
JA = 3.884× 10−4 +7800π
2(0.0154 × 0.14 + 0.0224 × 0.045
+0.0274 × 0.64 + 0.0224 × 0.045 + 0.0154 × 0.14)
+7200π
2(0.0254 × 0.06 + 0.0774 × 0.02)
= 0.0132 kgm2 (D.2)
Con los valores de BA = 286.479× 10−6Nms rad−1, KAt = 0.42NmA−1, LA =
11.20× 10−3H, RA = 4.90Ω, KAe = 0.42V s rad−1, KAp = 21.58, KAi = 985.94 s−1, KAA =
11.3, KAC = 0.2Ω, y KAE = 0.6073, se puede obtener KT = 1.2753NmV−1
Sensor de fuerza: El dispositivo experimental emplea como sensor una resistencia va-
riable sensible a la fuerza (RSF), FSR 406 de “Interlink Electronics” [Electronics12] con
4.445 cm×3.81 cm, la Figura D.4 muestra la relacion fuerza-resistencia del sensor. La rela-
cion fuerza-resistancia de la figura puede approximarse por
log10
(Fe(t)
g
)= −1.327× log10 (RRSF (t)) + 4.096 (D.3)
con un coeficiente de determinacion de 0.9945, donde RRSF es la resistencia del RSF en Ω,
Fe es la fuerza aplicada al sensor en N, y g u 9.8m s−2. La Figura D.5 muestra al cirquito
68 Apendice D: El modelo experimental
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Acero
Hierro
Figura D.3: Dimensiones del tornillo del mecanismo de tuerca husillo.
1010.10.01
0.1
1
10
100
Re
sist
en
cia
(kΩ
)
Fuerza (kg)
Figura D.4: Resistencia vs fuerza del sensor de fuerza.
que se empleo para realizar la lectura de la fuerza con el dispositivo RRSF . La relacion entre
el voltaje de entrada a la tarjeta de adquisicion de datos VRSF y la fuerza Fe esta dada por
VRSF =12
1 + 4700
3000−1 + 10
log10
(Fe(t)
g
)−4.096
1.327
(D.4)
69
KA358
3 kΩ
4.7 kΩ
RSF
12 VVoltaje a la tarjeta de adquisición de datos
Figura D.5: Cirquito electronico del sensor de fuerza.