Teselaciones (o como embaldosar el plano)

Planteamiento del problemaLas teselaciones o recubrimientos del plano ms simples se construyen a partir de piezas, todas de la misma forma, que encajan sin dejar huecos ni solaparse. Cuando las piezas son polgonos, hablamos de recubrimien-tos poligonales, y si adems son re-gulares, de recubrimientos regulares.

Teselaciones regularesEl caso ms sencillo, por ser el que ms vemos, es el recubrimiento por cuadrados. He aqu dos ejemplos:

Tipo 1Tipo 2

Teselaciones regularesSolamente nos ocuparemos de recubri-mientos del primer tipo, en los que los polgonos se adosan unos a otros de manera que los lados coincidentes lo hacen en su totalidad (lado a lado). Cada vrtice presenta una configuracin que se llama figura en el vrtice, cons-tituida por los polgonos que en l se juntan.

Teselaciones regularesExigiremos que las figuras en los vrtices sean iguales.Puesto que en cada vrtice se han de juntar polgonos regulares iguales, sin huecos ni solapamientos, esto obliga a que tales polgonos no puedan ser ms que tringulos equilteros, cua-drados o hexgonos regulares. La razn de este hecho es la siguiente:

ngulos interioresngulo exteriorngulo interior

ngulos en polgonos regularesTodos los ngulos exteriores de un polgono regular suman 360 grados. Por tanto cada uno de ellos, al ser todos iguales entre s, mide 360 dividido por el nmero de lados.

ngulos en polgonos regularesComo cada ngulo exterior, con el co-rrespondiente interior, suma 180 gra-dos, el ngulo interior de un polgono regular de n lados tiene como medida, en grados,

ngulos en los vrticesSi en cada vrtice del recubrimiento regular coinciden m polgonos, cada uno de n lados, debe cumplirse que

Esta ecuacin se puede escribir, tras un poco de clculo, de esta forma ms simple:

Cuntas teselaciones regulares existen?m y n deben ser nmeros natu-rales, y adems mayores o igua-les que 3. Solo hay tres posibili-dades:

Cuntas teselaciones regulares existen?Por tanto solamente existen tres teselaciones regulares, constituidas por tringulos equilteros, cuadrados o hexgonos.

Teselacin triangular

Teselacin cuadrada

Teselacin hexagonal

Teselaciones dualesSi en una de las tres teselaciones anteriores unimos los centros de los polgonos qu obtenemos?Tomemos la hexagonal:

Teselacin dual

Teselacin dualHa resultado una teselacin triangular que se llama dual de la hexagonal.Si se parte de una hexagonal, se obtiene como dual una triangular.La teselacin cuadrada tiene como dual otra cuadrada.

Teselaciones semirregularesSi se mantienen las restricciones de seguir usando como teselas polgonos regulares, que los recubrimientos sean lado a lado, y que las figuras en los vrtices sean iguales, pero se admite que puedan utilizarse pol-gonos de diferente nmero de lados cuntas teselaciones distintas existen?

Teselaciones semirregularesLa respuesta es ocho. Estas son:

Teselaciones semirregulares

Teselaciones semirregulares

Teselaciones semirregulares

Una obra de Salvador Dal:

Teselacin CairoEsta es una teselacin con pentgo-nos, pero no son regulares. Es dual de la que aparece a su lado.

Teselaciones con polgonos irregularesCon qu tipo de polgonos irregula-res se podr teselar el plano, mante-niendo que se adosen lado a lado y que todos sean de la misma forma y tamao? He aqu un resultado: Cualquier paralelogramo permite teselar el plano.

Teselaciones con polgonos irregulares

Teselaciones con polgonos irregularesConsecuencia inmediata del hecho anterior es este otro:Cualquier tringulo permite teselar el plano.Pues dos copias del tringulo dado pueden unirse para formar un parale-logramo, y se aplica lo anterior.

Teselaciones con polgonos irregularesSer posible teselar el plano con cuadrilteros cualesquiera? La respuesta es afirmativa. Para verlo, tomamos el punto medio de uno cualquiera de los lados del cuadril-tero, y hallamos la figura simtrica del mismo respecto de dicho punto.

Teselaciones con polgonos irregulares

Teselaciones con polgonos irregularesLa figura resultante es un hexgono que tiene los lados opuestos paralelos e iguales entre s. Tal hexgono tese-la el plano.Qu ocurre si el cuadriltero del que se parte no es convexo? El mtodo sigue siendo vlido.

Teselaciones con polgonos irregulares

Teselaciones con polgonos irregularesUna vez vistos los casos de tringulos y cuadrilteros qu se puede decir de la posibilidad de teselar el plano con polgonos irregulares convexos de mayor nmero de lados?K. Reinhardt demostr en 1927 que es imposible recubrir el plano con teselas poligonales convexas de siete o mas lados.

Teselaciones con hexgonosEn su tesis doctoral de 1918, el ya citado K. Reinhardt demostr que se puede recubrir el plano con hexgo-nos irregulares convexos de tres tipos distintos, que deben verificar unas condiciones referidas a sus lados y a sus ngulos.

El curioso caso de los pentgonosFue de nuevo Reinhardt el que estudi los pentgonos convexos y encontr cinco clases de ellos que pueden tese-lar el plano, pero no prob que no hu-biera otros. En 1968, R.B.Kershner descubri tres clases ms, y manifest que estaba seguro de haber cerrado el problema, aunque no lo demostr.

El curioso caso de los pentgonosEn julio de 1975 se public en Scien-tific American la clasificacin aparen-temente completa de los pentgonos convexos que teselan el plano. Poco tiempo despus, un lector descubri una nueva clase -y ya van nueve!- y un ama de casa, Marjorie Rice, sin ms bagaje matemtico que el estu-diado en educacin secundaria, descubri cuatro clases ms.

El curioso caso de los pentgonosEn 1985, un doctorando en matem-ticas hall una nueva clase. Desde entonces no se ha descubierto ninguna nueva, pero no se ha demostrado que las halladas son todas las posibles.