DESARROLLO DE UN ALGORITMO DE IDENTIFICACION DE PARAMETROS DE L INEAS DE TRANSMISION Y DE LA POSICION DEL CAMBIADOR DE TOMAS (TAPS), USANDO TECNICAS DE ESTIMACION DE ESTADO Y MEDICIONES FASORIALES SINCRONIZADAS

CARLOS EDUARDO BORDA ZAPATA

Tesis presentada como requisito parcial para obtener el t tulo de MAGISTER EN INGENIER - INGENIER ELECTRICA IA IA

Director: Hernando D Morales, Ph.D. az Profesor Titular

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIER IA BOGOTA D.C. 2009

Aprobada por la Facultad de Ingenier en a cumplimiento de los requisitos exigidos para otorgar el t tulo de: Magister en Ingenier - Ingenier a a Elctrica. e

Hernando D Morales, Ph.D. azDirector de la Tesis

Jurado AJurado

Jurado BJurado

Jurado CJurado

Universidad Nacional de Colombia Bogot D.C., Mayo de 2009 a

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RESUMEN DESARROLLO DE UN ALGORITMO DE IDENTIFICACION DE PARAMETROS DE L INEAS DE TRANSMISION Y DE LA POSICION DEL CAMBIADOR DE TOMAS (TAPS), USANDO TECNICAS DE ESTIMACION DE ESTADO Y MEDICIONES FASORIALES SINCRONIZADAS por CARLOS EDUARDO BORDA ZAPATA Magister en Ingenier - Ingenier Elctrica a a e UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Director: Hernando D Morales, Ph.D. az

Esta tesis presenta los resultados de un trabajo de investigacin orientado a resolo ver el problema de obtener valores ms exactos de los parmetros que caracterizan la a a red de transmisin en un sistema de potencia. Este trabajo se realiz en el marco del o o proyecto de investigacin Desarrollo de una herramienta de identicacin de parmeo o a tros de l neas de transmisin y de la posicin del cambiador de tomas (taps) usando o o algoritmos de estimacin de estado, el cual cont con nanciacin de la Universidad o o o Nacional de Colombia, Colciencias, Codensa S.A. ESP y el SENA. En este documento se describen varias metodolog de estimacin de parmetros usando mediciones as o a fasoriales sincronizadas obtenidas durante la operacin. o Se proponen varios algoritmos de estimacin de parmetros para las l o a neas de transmisin de energ elctrica y los transformadores de potencia, usando datos histricos o a e o de mediciones fasoriales sincronizadas. Entre los algoritmos propuestos se incluye el usado para estimar los parmetros distribuidos de l a neas de transmisin largas, y los o parmetros del transformador con cambiador de fase. Este es un resultado innovador a debido a que en la literatura no se presentan metodolog capaces de determinar la as relacin de transformacin compleja a partir de mediciones. La solucin planteada hace o o o uso de un conjunto de mediciones para diferentes condiciones de carga, las cuales pueden obtenerse en diferentes instantes de tiempo. Con los fasores de tensin y corriente o se construye un estimador que es independiente de las dems l a neas y transformadores, y es capaz de determinar todos los parmetros del sistema de transmisin. a o Haciendo un proceso secuencial de estimacin de parmetros, y gracias a las alo a tas tasas de actualizacin de las mediciones fasoriales sincronizadas, se propuso un o algoritmo para la identicacin en l o nea de parmetros, independientemente de si los a parmetros presentan cambios s bitos, como los que se producen por conexin o descoa u o

nexin de elementos de compensacin, o lentos como los producidos por calentamiento o o de los conductores. Esta es la primera vez que se propone un estimador de parmetros a en l nea utilizando unidades de medicin fasorial. o El desempe o de los algoritmos se evalu identicando todos los parmetros de las n o a l neas de transmisin y de los trasformadores del sistema de prueba de 30 nodos de la o IEEE cuando las mediciones inclu ruido con distribuciones de probabilidad normal an y uniforme.

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AGRADECIMIENTOS

El autor desea expresar su agradecimiento a todas las personas e instituciones que contribuyeron a la realizacin de este trabajo de investigacin. Al profesor Hernando o o D por su apoyo, orientacin y por la oportunidad de trabajar con l en esta inaz o e vestigacin. A Andrs Olarte por toda la ayuda brindada. A toda su familia, por su o e permanente apoyo y comprensin. A la Universidad Nacional de Colombia, Codensa o S.A. ESP, Colciencias y el SENA por su inters en la realizacin del proyecto y por su e o nanciacin. o

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A mi familia

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ContenidoContenido Lista de Tablas Lista de Figuras 1 Introduccin o 1.1 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Solucin propuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.3 Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Estimacin de estado o 2.1 Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Modelo de la red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L neas de transmisin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Condensadores o reactores en derivacin . . . . . . . . o Transformadores con cambiador de tomas . . . . . . . . Cargas y generadores del sistema . . . . . . . . . . . . 2.3 Criterio de mxima verosimilitud y m a nimos cuadrados 2.4 Solucin por el criterio de los m o nimos cuadrados . . . Caso lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mediciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii xi xii 1 1 2 3 4 4 5 6 6 6 7 7 9 10 11 12 14 15 15 16 18 19 20 21 22

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3 Estimacin de Parmetros o a 3.1 Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Inuencia de los errores de los parmetros en la estimacin de estado . a o 3.3 Clasicacin de los mtodos de estimacin de parmetros . . . . . . . . o e o a Solucin mediante el anlisis de la sensibilidad de los residuos de las o a mediciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Solucin mediante el aumento del vector de estado . . . . . . . . . . . . o Solucin usando ecuaciones normales . . . . . . . . . . . . . . . o Solucin usando la teor del ltro de Kalman . . . . . . . . . . o a viii

3.4 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Sistemas de Medicin Fasorial o 4.1 Origen de los Sistemas de Medicin Fasorial . . . . . o 4.2 Arquitectura y elementos de los Sistemas de Medicin o Unidad de Medicin Fasorial . . . . . . . . . . . . . . o Concentrador de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . Canales de comunicacin . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.3 Investigaciones en Sistemas de Medicin Fasorial . . . o 4.4 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 24 24 25 26 28 28 29 30 31 31 35 36 38 39 40 40 41 46 48 49 52 53 56 64 64 66 66 66 68 69 70 71 71 71 72

5 Algoritmos de identicacin de parmetros o a 5.1 Algoritmo de identicacin de los parmetros de la l o a nea de transmisin o Estimacin para una l o nea con parmetros distribuidos . . . . . . . . . a 5.2 Identicacin de los parmetros del transformador de potencia usando o a mediciones fasoriales sincronizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformador cambiador de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Resultados 6.1 Estimacin secuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Resultados de la identicacin de los parmetros de la l o a nea de transmisin o Resultados de la identicacin de los parmetros del transformador . . o a 6.2 Estimacin con esquema de remuestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Resultados de la identicacin de los parmetros de la l o a nea de transmisin usando mediciones fasoriales sincronizadas . . . . . . . . . o Identicacin para el modelo de parmetros distribuidos . . . . o a Resultados de la identicacin de los parmetros del transformador usano a do mediciones fasoriales sincronizadas . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Anlisis de resultados con sesgos en las mediciones . . . . . . . . . . . . a 6.4 Sensibilidad del algoritmo a valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Conclusiones 7.1 Resumen . . . . . 7.2 Conclusiones . . . 7.3 Aportes originales 7.4 Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A Estimador de parmetros a Manual del usuario A.1 Instalacin . . . . . . . . o A.2 Men s y funciones . . . u Men Archivo . . . . . . u Importar . . . . .

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Exportar resultados estimacin secuencial . . . o Exportar resultados estimacin con remuestreo . o Cerrar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Men Calcular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u Estimacin secuencial . . . . . . . . . . . . . . . o Estimacin con remuestreo . . . . . . . . . . . . o Men Gracar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u Men Acerca de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u A.3 Proceso de estimacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . o

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B Medicin experimental de los parmetros de la l o a nea de transmisin o B.1 Justicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o B.2 Marco Terico de la Prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Modelo Trifsico y Componentes de Secuencia de una L a nea de Transmisin o Medicin de la Impedancia de Secuencia Positiva de una L o nea de Transmisin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Medicin de la Impedancia de Secuencia Cero de una Linea de Transmisin o o Medicin de la Susceptancia Shunt de una L o nea de Transmisin . . . . o B.3 Montaje Elctrico y procedimiento de la Prueba . . . . . . . . . . . . . e Medicin de la impedancia de secuencia positiva . . . . . . . . . . . . . o Medicin de la impedancia de secuencia cero . . . . . . . . . . . . . . . o Medicin de la Susceptancia Shunt de una l o nea de transmisin . . . . . o B.4 Equipos de Medida a Usar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.5 Fuentes de Incertidumbre en la Medicin . . . . . . . . . . . . . . . . . o

C Productos de divulgacin o 95 PMU-based Line and Transformer Parameter Estimation . . . . . . . . . . . 96 Identicacin de Parmetros de L o a neas de Transmisin Usando Estimacin de o o Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Bibliograf a 122

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Lista de TablasErrores en la estimacin de parmetros de la l o a nea 2-5 . . . . . . . . . . . . Resultados de la estimacin de parmetros de la l o a nea 2-5 usando el modelo de parmetros distribuidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 6.3 Resultados de la estimacin de parmetros de la l o a nea 2-5, usando el equivalente del modelo de parmetros distribuidos . . . . . . . . . . . . . . a 6.4 Resultados de la estimacin de parmetros del transformador 4-12 . . . . . o a 6.5 Resultados de la estimacin de parmetros del transformador 4-12, con camo a biador de tomas complejo con ngulo de 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . a 6.6 Resultados de la estimacin de parmetros del transformador 4-12, con camo a biador de tomas complejo con ngulo de 7,5 . . . . . . . . . . . . . . . . a 6.7 Errores en la estimacin de parmetros de la l o a nea 2-5 con sesgo en la tensin o del nodo R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Errores en la estimacin de parmetros de la l o a nea 2-5 con sesgo en la magnitud de tensin del nodo S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 6.9 Errores en la estimacin de parmetros de la l o a nea 2-5 con sesgo en el ngulo a de tensin del nodo S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 6.10 Errores en la estimacin de parmetros de la l o a nea 2-5 con sesgo en la corriente del nodo R al nodo S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11 Errores en la estimacin de parmetros de la l o a nea 2-5 con sesgo en la corriente del nodo S al nodo R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1 6.2 50 52 53 54 55 55 57 58 60 61 64

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Lista de Figuras2.1 2.2 2.3 2.4 4.1 4.2 4.3 5.1 5.2 5.3 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Modelo de una l nea de transmisin. . . . . . . . . . . . . o Modelo del transformador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funcion de densidad de probabilidad normal . . . . . . . . . Algoritmo de solucin de la estimacin de estado, tomado de o o . . . . . . . . . [31] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7 8 12 26 27 29 32 33 37 41 42 43 43 44 45

Sistema de medicin fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Estructura bsica de una unidad PMU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a PDC: Concentrador de datos fasoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelo de una l nea de transmisin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Sistema de potencia cticio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelo del transformador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estimaciones sucesivas del parmetro X de la l a nea 2-5 (q = 1). La l nea roja muestra el valor exacto del parmetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Histograma de los errores cometidos en la estimacin sucesiva (q = 1). . . . o Estimaciones sucesivas del parmetro X de la l a nea 2-5 (q = 3). La l nea roja muestra el valor exacto del parmetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Histograma de los errores cometidos en la estimacin sucesiva (q = 3). . . . o Varianza de los valores estimados en funcin del n mero de conjuntos de o u datos utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estimacin secuencial del parmetro dinmico X (q=6). Las l o a a neas rojas muestran el valor exacto del parmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Estimacin sucesiva de la resistencia dinmica R de la l o a nea 2-5. Se simularon cambios en la resistencia por efecto trmico. La l e nea roja muestra el valor exacto y el sombreado gris es una banda de 2 % del valor exacto. . Estimacin sucesiva de la reactancia X, simulando cambios simultneos en o a la posicin del tap y la reactancia. La l o nea roja muestra el valor exacto y el sombreado gris es una banda de 1 % del valor exacto. . . . . . . . . . . Estimacin sucesiva de la posicin del tap , simulando cambios simultneos o o a en la posicin del tap y la reactancia. La l o nea roja muestra el valor exacto. xii

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6.10 Estimacin sucesiva de la reactancia X en un transformador con cambiador o de tomas complejo, se simularon cambios simultneos en magnitud y ngulo a a del cambiador de tomas. La l nea roja muestra el valor exacto y el sombreado gris es una banda de 1 % del valor exacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11 Estimacin sucesiva del valor absoluto de en un transformador con camo biador de tomas complejo, se simularon cambios simultneos en magnitud a y ngulo del cambiador de tomas. La l a nea roja muestra el valor exacto y el sombreado gris es una banda de 0,15 % del valor exacto. . . . . . . . . . 6.12 Estimacin sucesiva del ngulo de en un transformador con cambiador de o a tomas complejo, se simularon cambios simultneos en magnitud y ngulo del a a cambiador de tomas. La l nea roja muestra el valor exacto y el sombreado gris es una banda de 1 % del valor exacto. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13 Histograma del valor estimado de la resistencia de la l nea 2-5. Mediciones con errores normalmente distribuidos. Las l neas verticales muestran el valor estimado (discontinua) y el valor exacto (punteada). . . . . . . . . . . . . . 6.14 Histograma del valor estimado de la reactancia de la l nea 2-5. Mediciones con errores normalmente distribuidos. Las l neas verticales muestran el valor estimado (discontinua) y el valor exacto (punteada). . . . . . . . . . . . . . 6.15 Histograma del valor estimado de la susceptancia de la l nea 2-5. Mediciones con errores normalmente distribuidos. Las l neas verticales muestran el valor estimado (discontinua) y el valor exacto (punteada). . . . . . . . . . . . . . 6.16 Histograma del valor estimado de la posicin del cambiador de tomas del o transformador 4-12. Mediciones con errores normalmente distribuidos. Las l neas verticales muestran el valor estimado (discontinua) y el valor exacto (punteada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.17 Histograma del valor estimado de la magnitud de la posicin del cambiador o de tomas del transformador 4-12. Mediciones con errores normalmente distribuidos. Las l neas verticales muestran el valor estimado (discontinua) y el valor exacto (punteada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.18 Histograma del valor estimado del ngulo de la posicin del cambiador de a o tomas del transformador 4-12. Mediciones con errores normalmente distribuidos. Las l neas verticales muestran el valor estimado (discontinua) y el valor exacto (punteada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.19 Errores en la estimacin de R en funcin del sesgo en la tensin del nodo o o o R, la l nea roja es la regresin lineal de los puntos mostrados. . . . . . . . o 6.20 Errores en la estimacin de X en funcin del sesgo en la tensin del nodo o o o R la l nea roja es la regresin lineal de los puntos mostrados. . . . . . . . . o 6.21 Errores en la estimacin de R en funcin del sesgo en la magnitud de tensin o o o del nodo S, la l nea roja es la regresin lineal de los puntos mostrados. . . o 6.22 Errores en la estimacin de X en funcin del sesgo en la magnitud de tensin o o o del nodo S, la l nea roja es la regresin lineal de los puntos mostrados. . . o 6.23 Errores en la estimacin de R en funcin del sesgo en el ngulo de tensin o o a o del nodo S, la l nea roja es la regresin lineal de los puntos mostrados. . . o xiii

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6.24 Errores en la estimacin de X en funcin del sesgo en el ngulo de tensin o o a o del nodo S, la l nea roja es la regresin lineal de los puntos mostrados. . . o 6.25 Errores en la estimacin de X en funcin del sesgo en la corriente del nodo o o R al nodo S, la l nea roja es la regresin lineal de los puntos mostrados. . . o 6.26 Errores en la estimacin de ys en funcin del sesgo en la corriente del nodo o o R al nodo S, la l nea roja es la regresin lineal de los puntos mostrados. . . o 6.27 Errores en la estimacin de X en funcin del sesgo en la corriente del nodo o o S al nodo R, la l nea roja es la regresin lineal de los puntos mostrados. . . o 6.28 Errores en la estimacin de ys en funcin del sesgo en la corriente del nodo o o S al nodo R, la l nea roja es la regresin lineal de los puntos mostrados. . . o A.1 A.2 A.3 A.4 A.5 A.6 A.7 Modelo de una l nea de transmisin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Modelo del transformador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ventana inicial de la aplicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Men archivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u Men calcular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u Dialogo de ajuste de bsico parmetros de clculo de la estimacin secuencial a a a o Dialogo de ajuste avanzado de parmetros de clculo de la estimacin sea a o cuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.8 Resultado de la estimacin secuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o A.9 Dialogo de ajuste bsico de parmetros de clculo de la estimacin con a a a o remuestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.10 Resultado de la estimacin con remuestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . o A.11 Men gracar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u A.12 Men acerca de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u

61 62 62 63 63 70 71 71 72 73 74 74 75 76 76 77 77 81 82 82 83 84 85 85 88 90 91 92

B.1 B.2 B.3 B.4 B.5 B.6 B.7 B.8

L nea de transmisin de dos conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o L nea de transmisin de 2 conductores, ia = ib . . . . . . . . . . . . . . . . o Esquema para la medicin de la impedancia 2(Zaa Zab ) . . . . . . . . . . o Esquema para la medicin de la impedancia 2(Zbb Zbc ) . . . . . . . . . . o cc Zca ) . . . . . . . . . . Esquema para la medicin de la impedancia 2(Z o 1 Esquema para la medicin de la impedancia 3 Zaa + 2Zab + 3Zdd 6Zad . o 1 Circuito para la medicin de 3 Zaa + 2Zab + 3Zdd 6Zad . . . . . . . . . o Montaje elctrico de la prueba para la medicin de la impedancia de see o cuencia positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.9 Montaje elctrico de la prueba para la medicin de la impedancia de see o cuencia positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.10 Montaje elctrico de la prueba para la medicin de la impedancia de see o cuencia positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.11 Montaje elctrico de la prueba para la medicin de la impedancia de see o cuencia cero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xiv

Cap tulo 1 Introduccin o1.1 Planteamiento del problema

El estimador de estado es la herramienta central de los centros de gestin de energ o a EMS (Energy Management Systems). Este, proporciona al operador un vistazo de las condiciones actuales de operacin del sistema, mediante el clculo de los fasores o a complejos de tensin en los nodos, recurriendo a un n mero redundante de mediciones o u remotas tomadas de diferentes puntos de la red. Adems, los resultados del estimador a de estado son usados como datos de entrada en aplicaciones como anlisis de seguridad, a despacho econmico, ujo de carga ptimo, entre otras [34], [16], [28], haciendo de la o o precisin de la estimacin de estado un aspecto muy importante. o o A parte de las mediciones remotas, el estimador de estado necesita tambin infore macin topolgica de la red, obtenida del congurador de red, y de los parmetros o o a de la red. Entre los parmetros necesarios se encuentran la resistencia, reactancia y a susceptancia en derivacin de la l o nea de transmisin, la reactancia y la posicin del o o cambiador de tomas de los transformadores, valores de los elementos de compensacin o reactiva, entre otros. Tradicionalmente, la estimacin de estado se hace asumiendo que o estos valores son conocidos y exactos [37]. Las bases de datos de parmetros que tienen las distintas empresas suelen contar a con datos errneos debido a imprecisin de los datos reportados por los fabricantes, o o modicacin de los circuitos sin actualizacin de los valores, al desgaste de los materiao o les o cambios en las condiciones ideales con las que se calcul el modelo [2], [18], [34]. o Seg n Kusic [15] los errores en los parmetros debido a las desviaciones de los valores u a ideales de clculo para una l a nea pueden estar entre un 25 % y un 30 % del valor real. Estos errores en los parmetros afectan la precisin de los resultados de la estia o macin de estado. En [20] se hace un anlisis de la inuencia de los errores de los o a parmetros de la l a nea de transmisin en la estimacin de estado, y se encontr que el o o o parmetro de la inductancia serie es el que ms afecta la precisin de los resultados. a a o Adems, valores incorrectos de los parmetros pueden llevar a despachos econmicos a a o 1

ms costosos, debido a que se puede subestimar la capacidad de transmisin de las a o l neas de transmisin [15]. o La estimacin de parmetros surge como solucin a la problemtica de identicar o a o a y corregir los valores errneos en los parmetros. En la literatura se encuentra que la o a estimacin de parmetros se desarrolla bsicamente por dos metodolog distintas. En o a a as la primera metodolog la estimacin de parmetros se ejecuta en un proceso posterior a o a a la estimacin de estado mediante el anlisis de sensibilidad de los residuos de las o a mediciones [30],[17]. La segunda metodolog hace la estimacin de parmetros en un a o a proceso simultneo a la estimacin de estado, aumentando el vector de estado con los a o parmetros que se quieren estimar [16],[35],[37]. a Sin importar cual de las dos metodolog anteriores para el estimacin de parmeas o a tros se use, la solucin se deteriora a medida que se estima una mayor cantidad de o parmetros [34]. En [21] se propone una nueva metodolog que es capaz de estimar los a a parmetros de todas las l a neas de una red sin que se deteriore la solucin. La metodoo log requiere de varios conjuntos de mediciones de tensiones y potencias para construir a un sistema cticio en el cual todas las l neas comparten los mismos parmetros, y mea diante la solucin de un estimador de estado basado en m o nimos cuadrados se calculan los parmetros del modelo . a Por otra parte, actualmente en los sistemas de potencia ya se puede contar con mediciones del ngulo de fase de las tensiones nodales mediante el uso de las unidades a de medicin fasorial PMUs (Phasor Measurement Units) [22], [23]. Estos instrumentos o entregan de forma sincronizada los fasores de secuencia positiva de tensin de un nodo o y los fasores de secuencia positiva de las corrientes de las l neas que estn conectadas al a mismo nodo. Una de las ventajas de este equipo es la sincronizacin de las mediciones o mediante dispositivos GPS, lo cual permitir mejores resultados en la estimacin de a o estado, ya que se elimina el problema de la no simultaneidad de las mediciones [18]. Adicionalmente, la precisin de estos dispositivos es en muchos casos superior a la o alcanzada por los elementos tradicionales de medicin de tensin y potencia [14]. Estas o o caracter sticas hacen interesante el uso de mediciones fasoriales sincronizadas en la estimacin de parmetros. o a El objetivo principal de esta tesis es el de desarrollar un algoritmo de identicacin o de parmetros de l a neas de transmisin y de posicin del cambiador de tomas (taps), o o usando mediciones fasoriales sincronizadas.

1.2

Solucin propuesta o

En esta tesis se desarrollaron varios algoritmos para la identicacin de los parmetros o a de la l nea de transmisin, modelada mediante el modelo y mediante el modelo o de parmetros distribuidos, y del transformador de potencia. Las mediciones a las a que recurren los algoritmos de identicacin son mediciones fasoriales sincronizadas o proporcionadas por las unidades de medicin fasorial PMUs. o 2

La estructura de los algoritmos de identicacin es similar a la que se plante en o o [20], con algunas diferencias en cuanto a extensiones de los modelos de los elementos y a las mediciones que se usan en el proceso de identicacin. En este documento se o propone un esquema de estimacin que puede ser utilizado para la identicacin en o o l nea de aquellos parmetros de l a neas de transmisin y transformadores que cambian o durante la operacin. o El algoritmo se basa en la estimacin simultnea de estados y parmetros de un o a a sistema de potencia articial que se construye para tal n.

1.3

Estructura de la tesis

Teniendo en cuenta que la solucin propuesta est basada en una estimacin simultnea o a o a de estados y parmetros, en el cap a tulo dos se describe el problema de la estimacin de o estado y se muestran algunas alternativas de solucin. Posteriormente, en el cap o tulo tres se hace una revisin sobre el tema de la estimacin de parmetros en sistemas de o o a potencia. Aqu se describe la inuencia de los errores de los parmetros en el proceso a de estimacin de estado, y se clasican las diferentes metodolog de solucin. En el o as o cap tulo cuatro se hace una revisin de los sistemas de medicin fasorial, sus or o o genes, arquitectura y principales componentes. En el cap tulo cinco se presentan los algoritmos desarrollados. Los algoritmos son agrupados dependiendo del elemento del cual se quieren estimar sus parmetros (l a nea de transmisin o transformador). Tambin se o e hace diferencia en el modelo del elemento usado. En el cap tulo seis se muestran los resultados obtenidos al aplicar los algoritmos para identicar los parmetros del sistea ma de prueba de 30 nodos de la IEEE, y tambin se hace un anlisis de los resultados e a producto de sesgos en las mediciones. En el cap tulo siete se presentan las conclusiones de este trabajo. Adicionalmente, este documento cuenta con tres anexos. En el anexo A se describe brevemente la aplicacin (software) desarrollada que utiliza algunos algoritmos preo sentados en esta tesis, junto con las instrucciones de uso. El anexo B presenta una metodolog para hacer la medicin experimental de los parmetros de una l a o a nea de transmisin. En el anexo C se presentan dos art o culos que fueron escritos en el transcurso de este trabajo de investigacin. o

3

Cap tulo 2 Estimacin de estado oLa estimacin de estado es el proceso de asignar valores a las variables de estado o desconocidas de un sistema recurriendo a mediciones tomadas del sistema y a alg n u mtodo matemtico. Las condiciones de operacin de un sistema de potencia en un e a o instante de tiempo pueden ser determinadas si se conoce la topolog de la red y los a fasores complejos de tensin en cada uno de los nodos del sistema. Debido a esto, al o conjunto de fasores complejos de tensin se le denomina el estado esttico del sistema. o a En este cap tulo se presentar una breve revisin del tema de estimacin de estado en a o o sistemas de potencia y la solucin matemtica a este problema por el criterio de mxima o a a verosimilitud y de los m nimos cuadrados, los mtodos ms ampliamente usados [4], e a [34], [18], [2].

2.1

Aspectos generales

Tener una imagen precisa del estado del sistema es una parte fundamental en la operacin de un sistema de potencia. Una primera aproximacin se consigue mediante el o o sistema de adquisicin de datos y mando remoto SCADA (Supervisory Control and o Data Acquisition), el cual proporciona datos crudos, sin procesar, de las condiciones de operacin del sistema. Sin embargo, estas mediciones pueden ser incorrectas debido o a errores introducidos por los transductores, los canales de comunicacin, conversores o anlogo-digitales, etc. [35]. Estos errores pueden tener componentes tanto aleatorias a como sistemticas. a El estimador de estado tiene la habilidad de ltrar la componente aleatoria de los errores en las mediciones para proporcionar una imagen ms precisa del estado del a sistema de potencia haciendo uso de la redundancia del sistema de medicin. As las o , mediciones que son transmitidas al centro de control son procesadas por el estimador de estado con el n de determinar el estado del sistema durante la operacin normal. o La estimacin de estado en sistemas de potencia fue introducida por Fred Schweppe o a nales de la dcada de 1960 [27] ,[26], [25], [18], ampliando las capacidades del sistema e 4

SCADA y dando origen a los actuales sistemas de gestin de energ (EMS, Energy o a Management Systems). La estimacin de estado es el corazn de los sistemas de gestin de energ [34], o o o a puesto que le permite al operador conocer el estado de operacin de un sistema de o potencia. Adems, los resultados del estimador de estado constituyen la base de datos a en tiempo real de aplicaciones como el anlisis de seguridad, el despacho econmico y el a o ujo de carga ptimo entre otras [34], [16], convirtiendo la optimizacin del estimador o o de estado no solo en un problema de tipo tcnico, sino econmico y de seguridad. e o El estado del sistema se extrae a partir de un conjunto redundante de numerosas mediciones a distancia, algunos valores jos y el modelo del sistema. Entre las mediciones se tienen magnitudes de tensin, ujos de potencia activa y reactiva entre nodos o y potencia activa y reactiva neta inyectada en los nodos. Recientemente, se han puesto en operacin las unidades de medicin fasorial (PMU, Phasor Measurement Unit), con o o las cuales se obtienen las componentes real e imaginaria de los fasores de tensin y o corriente en los nodos. En varios estudios ya se analiza la inclusin de estas nuevas o mediciones en la estimacin de estado [32], [36]. o Entre los parmetros jos utilizados por el estimador de estado se tienen los parmea a tros de las l neas de transmisin y de los transformadores de potencia, los cuales se o asumen conocidos y exactos [37]. El desempe o del estimador depende del modelo de la n red usado y de la precisin de las mediciones [17], [18], [34], las cuales inherentemente o contienen inexactitudes, en otras palabras contienen ruido. Generalmente, en la mayor de los mtodos de estimacin, incluyendo el estimador por m a e o nimos cuadrados, se considera que el error en las mediciones presenta una funcin de distribucin de o o probabilidad Gaussiana con media cero [35]. Diferentes metodolog ms robustas ante la presencia de errores gruesos que el esas a timador por m nimos cuadrados se han desarrollado para tratar el problema de errores sistemticos, pero su implementacin no ha sido muy amplia debido a su complejidad a o computacional [35]. Los errores sistemticos pueden ser ltrados mediante una mea todolog posterior al estimador por m a nimos cuadrados o mediante los estimadores robustos. Sin embargo, el rendimiento de todos estos mtodos est limitado por el nie a vel de redundancia de las mediciones. El n mero de errores sistemticos que se pueden u a ltrar no puede exceder un l mite superior que depende de la redundancia local de las mediciones y de la conguracin de la red. o

2.2

Modelo de la red

Se asume que el sistema de potencia est operando en estado estacionario y en condia ciones balanceadas, es decir, todas las cargas en los nodos y los ujos de potencia por las l neas estn balanceados. Adems, se asume que las l a a neas estn idealmente transa puestas a cada tercio de su longitud y que otros elementos que puedan estar en serie o en derivacin son simtricos para las tres fases del sistema. Lo anterior permite que el o e 5

sistema se pueda representar mediante el circuito equivalente de secuencia positiva. La solucin que se encuentre usando este modelo ser a su vez la componente de secuencia o a positiva durante la operacin balanceada y estacionaria del sistema. A parte de estas o suposiciones el modelo de la red cuenta con los elementos descritos a continuacin. o

L neas de transmisin oLas l neas de transmisin son representadas por el modelo correspondiente al circuito o equivalente de secuencia positiva de las l neas de transmisin. En la gura 2.1 se ve o como los parmetros de la impedancia serie de secuencia positiva Z = R + jX y la a susceptancia en derivacin de secuencia positiva jys se relacionan para modelar todos o los fenmenos elctricos en una l o e nea de transmisin. o IR i2 VR jys VS i1 R + jX IS i3 jys S

R

Figura 2.1: Modelo de una l nea de transmisin. o

Condensadores o reactores en derivacin oLos condensadores o reactores que se conectan en derivacin para hacer un control o local de la tensin del sistema se modelan mediante su susceptancia por fase conectada o al respectivo nodo. El signo de la susceptancia determina si el elemento es un reactor (valores negativos) o un condensador (valores positivos).

Transformadores con cambiador de tomasUn transformador con cambiador de tomas se puede representar mediante una impedancia en serie con un transformador ideal con relacin de transformacin : 1 [1], o o [5], [30]. Los lados R y S se denominan lado de la impedancia y lado del cambiador de tomas respectivamente. 6

R

IR

yt

:1

IS

S

Figura 2.2: Modelo del transformador.

Cargas y generadores del sistemaLas cargas y los generadores son modelados mediante inyecciones de potencia compleja en los nodos en los cuales estn conectados. Lo anterior implica que las cargas y gea neradores no modican el modelo de red. Sin embargo, en algunos casos las cargas de tipo impedancia constante se modelan incluyendo su admitancia en derivacin al nodo o respectivo.

2.3

Criterio de mxima verosimilitud y m a nimos cuadrados

El concepto central de este criterio es la funcin de probabilidad conjunta. Se supone o que el error en las mediciones tienen una funcin de densidad de probabilidad (PDF, o Probability Density Function) conocida con algunos parmetros desconocidos en esta a funcin. Generalmente, se considera que los errores en la medicin tienen una distrio o 2 bucin Gaussiana o normal descrita por sus parmetros y . La estimacin por o a o mxima verosimilitud solucionar el problema para estos dos parmetros. a a a La funcin de densidad de probabilidad se dene a continuacin: o o 1 1 f (z) = exp 2 2 z 2

(2.1)

En donde z es la variable aleatoria (medicin), es la media o el valor esperado de o z (E(z) = ) y es la desviacin estndar de z. En la gura 2.3 se graca la funcin o a o de densidad de probabilidad f (z). En la gura se ve el comportamiento en funcin o de los valores de z. Si la desviacin estndar es grande, la medicin es menos precisa, o a o mientras que una desviacin estndar baja indica una medicin ms precisa. o a o a Si se considera que se tienen m mediciones independientes, cada una con una funcin o de densidad de probabilidad normal, la funcin de densidad de probabilidad conjunta o se puede expresar como el producto de las PDFs individuales si cada medicin es o independiente de las dems. a As la PDF conjunta es: , 7

f (z)

3 2

2

3

(z )

Figura 2.3: Funcion de densidad de probabilidad normal

fm (z) = f (z1 )f (z2 ) f (zm )

(2.2)

La funcin de la ecuacin (2.2) es llamada la funcin de verosimilitud, la cual indica o o o la probabilidad de observar el conjunto particular de mediciones en el vector z.

En donde zi representa la i-sima medicin del vector de mediciones z T = [z1 , z2 , zm ]. e o

El objetivo del estimador por el criterio de mxima verosimilitud consiste en maa ximizar la funcin de verosimilitud, variando los parmetros y de las funciones o a normales de densidad de probabilidad. Para hallar estos valores ptimos la funcin de verosimilitud se reemplaza por su o o logaritmo.

m

L = log fm (z) =i=1

log(f (zi ))2

(2.3)m

1 L= 2

m

i=1

zi 1 1

m log 2 + 2

log 1i=1

(2.4)

El problema de maximizar la funcin de verosimilitud o la funcin logar o o tmica de verosimilitud se puede lograr mediante la minimizacin de la primera parte de la o ecuacin (2.4). o Es decir,m

m ni=1

zi 1 1

2

(2.5)

La expresin anterior conduce al enfoque de estimacin de m o o nimos cuadrados ponderados. Si se dene el residuo como: 8

ri = zi i = zi E(zi )

(2.6)

En donde ri es el residuo de la medicin i, zi es el valor medido y i es la media o o el valor esperado de zi (E(zi )). El valor esperado E(zi ) se puede ver como una funcin o no lineal que relacione la medicin i con el vector de estado (hi = f (x)). Si se dene a o 2 wi como el inverso de la varianza i de cada medicin, el problema de estimacin por o o m nimos cuadrados ponderados se puede reescribir como se muestra a continuacin. om

m ni=1

2 ri w i

(2.7)

En la ecuacin (2.7) los valores wi ponderan el residuo de la medicin i. As los o o , residuos correspondientes a mediciones ms precisas tendrn un mayor peso que las a a correspondientes a mediciones menos precisas, garantizando que los instrumentos con baja precisin tengan un menor efecto en el valor estimado nal. o

2.4

Solucin por el criterio de los m o nimos cuadrados

El criterio de los m nimos cuadrados ponderados se puede ver como un caso particular del criterio de mxima verosimilitud, asumiendo que la funcin de densidad de proa o babilidad de los errores de las mediciones es una funcin normal con media cero. La o solucin por medio de esta metodolog halla el mejor ajuste de las variables de estado o a para que la sumatoria del residuo cuadrtico tome el valor mas bajo posible. a El modelo de las mediciones es como se establece a continuacin. o e1 h1 (x1 , x2 , x3 , , xn ) z1 z2 h2 (x1 , x2 , x3 , , xn ) e2 z3 h3 (x1 , x2 , x3 , , xn ) e3 + = . . . . . . . . . em hm (x1 , x2 , x3 , , xn ) zm z = h(x) + e

(2.8)

(2.9)

En donde zi es la medicin i, hi es la funcin que relaciona el vector de estado x con o o la i-sima medicin y ei es el error de la medicin. Debido a la redundancia del sistema e o o de medicin, el n mero de mediciones m es mayor al n mero de estados a estimar n, lo o u u cual lleva al planteamiento de un conjunto sobredeterminado de ecuaciones no lineales. El estimador por m nimos cuadrados ponderados (WLS, Weighted Least Squares) es la solucin al sistema sobredeterminado y consiste en minimizar la siguiente expresin: o o 9

m

F =i=1

(zi hi (x))2 wi

(2.10) (2.11)

F = [z h(x)]T W [z h(x)]

La ecuacin (2.10) es equivalente a la ecuacin (2.7), simplemente se expresaron o o los residuos en funcin del valor esperado de zi , es decir hi (x). La ecuacin (2.11) es o o la funcin a minimizar escrita de forma matricial, en donde W es una matriz diagonal o cuyos elementos son el inverso de la varianza de las mediciones.

Caso linealSi las funciones que relacionan los estados con las mediciones son lineales, se puede denir hi como: hi (x) = hi1 x1 + hi2 x2 + hi3 x3 + + hin xn En este caso se puede expresar el vector de mediciones as : z = Hx Entonces se puede escribir la funcin a minimizar como en [31]: o F = [z Hx]T W [z Hx] Desarrollando los productos se puede reescribir la funcin a minimizar. o F (x) = z T W z xT H T W z z T W Hx + xT H T W Hx (2.15) (2.14) (2.13) (2.12)

En el valor m nimo de F se debe cumplir la condicin de optimalidad de primer o orden. G(x) = F (x) = 2H T W z + 2H T W Hx = 0 x (2.16)

De la ecuacin anterior podemos encontrar el valor del vector de estado x que o minimiza la funcin F (x), este vector es el estado estimado y se simboliza as x. El o : vector estimado x es entonces: x = [H T W H]1 H T W z (2.17)

En el caso lineal se llega a la solucin mediante la expresin (2.17) sin recurrir o o a iteraciones. Esta ventaja se puede apreciar con el uso de las unidades de medicin o 10

fasorial PMUs, debido a que se pueden establecer relaciones lineales entre los estados del sistema y las mediciones proporcionadas por las PMUs.

Caso no linealEn el caso no lineal se tienen funciones no lineales que relacionan las variables de estado con las mediciones. La condicin de optimalidad de primer orden se expresa as o : F (x) = 2J T W r = 0 x

G(x) =

(2.18)

En donde J es la matriz jacobiana del vector de funciones h, y r es el vector de los residuos de las mediciones. Se dene J as : h1x1 h1 x2 h2 x2 h3 x2 h1 x3 h2 x3 h3 x3

.. .

h1 xn

h 2 x1 h(x) h3 J= = x1 x . . .

hm x1

hm x2

hm x3

hm xn

h2 xn h3 xn

(2.19)

Para solucionar el conjunto de ecuaciones de la expresin (2.18) se aplica el mtodo o e de Newton, obteniendo la formula recursiva siguiente: (z1 h1 (x)) x = xk+1 xk = [J T W J]1 J T W (z2 h2 (x)) . . .

(2.20)

En donde J es la matriz jacobiana de h(x) evaluada en xk . El procedimiento de hallar el estado del sistema cuando existen relaciones no lineales entre las mediciones y los estados es un proceso iterativo que se hace mediante la utilizacin de la frmula o o de avance de la ecuacin (2.20). Este proceso termina cuando la diferencia entre un o estado y el siguiente es menor a cierto umbral denido por el usuario. El procedimiento se puede resumir en el siguiente diagrama de ujo: 11

Inicio Seleccionar valores iniciales para x

Calcular residuos

z = z F (xk )Linealizar alrededor de xk

J=

H x (xk )

(z1 h1 (x)) x = [J T W J]1 J T W (z2 h2 (x)) . . .Actualizar Calcular

Solucionar

x

k+1

= x + x

k

mx (x) a

Fin

mx (x) < aNo

Si

Figura 2.4: Algoritmo de solucin de la estimacin de estado, tomado de [31] o o

MedicionesEntre las mediciones ms comunes usadas en la estimacin de estado en sistemas de a o potencia se encuentran las magnitudes de las tensiones en los nodos del sistema, las potencias netas inyectadas (activa y reactiva) en los nodos y los ujos de potencia (activa y reactiva) entre distintos nodos del sistema. Estas mediciones se pueden relacionar con los estados del sistema como se muestra a continuacin. o

Potencias netas inyectadas.n

Pi = Vij=1

Vj (Gij cos ij + Bij sin ij ) 12

(2.21)

n

Qi = Vij=1

Vj (Gij sin ij Bij cos ij )

(2.22)

Flujos de potencia Pij = Vi2 (gsi + gij ) Vi Vj (gij cos ij + bij sin ij ) Qij = Vi2 (bsi + bij ) Vi Vj (gij sin ij bij cos ij ) (2.23)

(2.24)

En donde Vi , i es la magnitud de tensin y ngulo de fase respectivamente, ij = o a i j es la diferencia angular entre las tensiones de los nodos i y j, Gij + Bij es el elemento i j de la matriz de admitancia compleja, gij + bij es la admitancia entre los nodos i y j, y gsi + bsi es la admitancia en derivacin en el nodo i. o Con este tipo de mediciones la matriz jacobiana toma la siguiente forma: Pi Pi V

Qi J = Pij Qij 0

Qi V Pij V Qij V Vi V

(2.25)

13

2.5

Conclusiones

En este cap tulo se introdujo al lector al tema de la estimacin de estado y se present la o o solucin por el criterio de mxima verosimilitud y de los m o a nimos cuadrados, que son los estimadores ms ampliamente utilizados por su simplicidad. El mtodo de a e los m nimos cuadrados ponderados se plante como un caso particular del criterio de o mxima verosimilitud, asumiendo que la funcin de densidad de probabilidad es normal. a o El estimador de estado suaviza las mediciones, detecta transductores defectuosos (bad data) y calcula el mejor estimado de la magnitud de tensin y el ngulo de fase en los o a nodos del sistema. La importancia de la estimacin de estado radica en que aplicaciones o como el anlisis de seguridad, despacho econmico, ujo de carga ptimo, entre otros, a o o utilizan los datos proporcionados por el estimador de estado. Es decir, el estimador de estado funciona como un ltro entre las mediciones del sistema SCADA y otras aplicaciones.

14

Cap tulo 3 Estimacin de Parmetros o aLa estimacin de parmetros es un proceso matemtico mediante el cual se obtienen o a a valores aproximados de algunos parmetros a partir de mediciones. Este campo no a tiene un desarrollo tan extenso como la estimacin de estado, reejado en la escasa o literatura sobre el tema. En este cap tulo se presenta una revisin de la estimacin de o o parmetros y la clasicacin de las diferentes alternativas de solucin existentes. a o o

3.1

Aspectos generales

En los grandes sistemas de transmisin de energ se miden las tensiones en todos sus o a nodos, los ujos de potencia y la potencia neta inyectada.Como resultado, los sistemas de transmisin cuentan con niveles de redundancia del orden de cuatro [1]. Con esta o redundancia, la estimacin de estado se puede potenciar con nuevas caracter o sticas, llevando a lo que se considera una estimacin de estado generalizada [2]. o Entre las caracter sticas que puede incluir la estimacin generalizada se encuentran: o La posibilidad de mejorar el modelo estad stico de ciertas mediciones que se consideran poco precisas. La habilidad de obtener valores ms precisos de algunos parmetros (p. ej., a a parmetros de l a neas de transmisin) o La capacidad de estimar variables no tele-medidas de gran importancia (p. ej., posicin del cambiador de tomas) o La posibilidad de detectar errores topolgicos y de encontrar el estado de los o interruptores desconocidos. La segunda caracter stica es la que se conoce como la estimacin de parmetros. La o a estimacin de parmetros es el proceso mediante el cual uno o varios parmetros de la o a a 15

red, cuya precisin no es muy segura, son identicados. La estimacin de parmetros o o a es importante, debido a que valores ms precisos en los parmetros conducen a mejores a a resultados en el estimador de estado, y en aplicaciones como anlisis de seguridad, a despacho econmico y ujo de carga ptimo [15]. o o

3.2

Inuencia de los errores de los parmetros en a la estimacin de estado o

Las bases de datos de los parmetros que tienen las distintas empresas suelen contar a con datos errneos [2],[18],[34]. Estos errores se deben a: o Imprecisin de los datos reportados por los fabricantes o mala calibracin de los o o equipos de medida de los fabricantes. Modicacin de los circuitos sin actualizar la base de datos (ej., reemplazo de o una seccin de una l o nea). Desgaste de los materiales. El desgaste puede ser lento, un desgaste normal, o rpido como los relacionados con el desgaste producido por el efecto corona. a Parmetros que dependen de la temperatura (ej., la resistencia de una l a nea de transmisin var con la corriente que circula, con la temperatura ambiente, la o a radiacin solar y por efecto del viento). o Cambios en las condiciones ideales con las que se calcul el modelo . Para el o clculo del modelo se considera una geometr ideal, no se tienen en cuenta a a los diferentes cambios de altura de la l nea respecto al terreno, se considera la resistividad del terreno constante y se supone que la l nea es transpuesta a cada tercio de su longitud. Tambin se supone que la longitud se conoce con exactitud. e Seg n Kusic [15] los errores en los parmetros para una l u a nea de transmisin debidos o a las anteriores causas pueden estar entre un 25 % y un 30 %. Los errores en los parmea tros pueden generar resultados errneos del estimador de estado y por tanto pobres o resultados en aplicaciones como anlisis de seguridad. Adicionalmente, la identicacin a o de mediciones incorrectas se deteriora, debido a la inconsistencia con los parmetros de a la red. Estas deciencias usualmente conducen a una prdida de conanza del operador e en el estimador de estado. En [34] se hace una completa revisin del estado del arte del tema de la estimacin o o de parmetros, y en ella se hace una prueba para medir cmo se propaga el error de a o un parmetro en la red. En esta prueba se relacionan los errores de los parmetros con a a los residuos de las mediciones a diferentes distancias de la l nea en donde se simula el error del parmetro. Los resultados de esta prueba muestran que a medida que el error a del parmetro es ms grande se presenta un deterioro de los residuos de las mediciones. a a 16

Tambin, se encontr que la inuencia del error decrece con la distancia a la l e o nea en donde se simul el error. Esta conclusin es muy importante ya que indica que el o o proceso de estimar un parmetro es de naturaleza local. Es decir, que la estimacin debe a o considerar mediciones cercanas a la l nea de cuyos parmetros se sospecha su validez, a dado que mediciones muy alejadas carecen de utilidad en el proceso de estimacin. De o esta forma es posible concluir que la estimacin de parmetros se puede llevar a cabo o a en peque as sub-redes que incluyan los elementos con parmetros sospechosos. n a Si ahora en el modelo de las mediciones se incluyen los parmetros de la red, se a obtiene: z = H(x, p) + (3.1) Con z el vector de las mediciones, H el vector de funciones que relacionan los estados x y los parmetros p con las mediciones y es el error inherente al proceso de a medicin. o Con una manipulacin simple de la ecuacin 3.1 se puede ver que los errores en o o los parmetros tienen el mismo efecto que un error de medicin. As por ejemplo, los a o , estimados de las mediciones relacionados con alguna l nea van a presentar un residuo menor si los parmetros son correctos. Lo anterior se puede ver en la siguiente ecuacin a o en donde se tienen en cuenta el valor verdadero de los parmetros y el valor de los a parmetros utilizado en la estimacin: a o zi = Hi (x, p0 ) + i = Hi (x, p) + [Hi (x, p0 ) Hi (x, p)] + i (3.2)

En donde zi es la i-sima medicin, Hi es la funcin que relaciona la i-sima medicin e o o e o con los estados x y los parmetros, i es el error inherente al proceso de medicin del a o medidor i, p es el valor verdadero de los parmetros y p0 es el valor errneo de los a o parmetros utilizado en la estimacin de estado. El trmino entre los corchetes act a a o e u como un error adicional en la i-sima medicin, cuando la diferencia entre p y p0 es e o notable. Si es el caso, las mediciones adyacentes relacionadas con este parmetro sern a a detectadas como incorrectas (bad data) ya que presentarn un residuo de medicin a o grande. La ecuacin del error en la medicin producido por errores en los parmetros se o o a puede linealizar como sigue: Si se expande Hi (x, p) en serie de Taylor alrededor del punto p0 se obtiene: Hi (x, p) = Hi (x, p0 ) + Hi p (p p0 ) + t.o.s. (3.3)

p0

En donde t.o.s. representa los trminos de orden superior, los cuales se desprecian e ya que tienen una contribucin poco signicativa al total, cuando la diferencia entre o p y p0 es peque a. Ahora, se calcula el error en la medicin debido a errores en los n o parmetros: a 17

Hi (x, p0 ) Hi (x, p) Hi (x, p0 ) Hi (x, p0 ) Hi (x, p0 ) Hi (x, p) Hi (x, p0 ) Hi (x, p) Hi pp0 p0

Hi p

p0

(p p0 )

(p p0 ) (3.4)

Hi p

(p0 p)

De la ecuacin (3.4) se puede concluir que los errores en los parmetros afectan o a de forma casi lineal al residuo de las mediciones. Por tanto, una primera forma para la identicacin de los parmetros sospechosos se basa en la seleccin de los elemeno a o tos cuyos residuos normalizados de las mediciones adyacentes sean considerablemente grandes.

3.3

Clasicacin de los mtodos de estimacin de o e o parmetros a

La estimacin de parmetros generalmente se desarrolla por dos metodolog distintas o a as [34]. Mtodos basados en el anlisis de la sensibilidad de los residuos de las mediciones e a [30],[17]. Estos mtodos hacen la estimacin de parmetros en un proceso postee o a rior a la estimacin de estado, lo cual les da la ventaja de que el cdigo principal o o del estimador de estado no se modica. Una vez obtenido el resultado del estimador de estado, se analizan todos los residuos de las medidas, seleccionando aquellas mediciones que presentan los mayores residuos. Por medio de la relacin o lineal que existe entre los residuos de las medidas y los errores en las mediciones se hallan los errores de los parmetros y se actualizan sus valores. a En la segunda metodolog al vector de variables de estado se le agregan como a, variables los parmetros que requieren estimacin. En este caso, se ejecuta el esa o timador de parmetros al mismo tiempo que el estimador de estado [16],[35],[37]. a Estos mtodos aumentan el vector de estado al agregarle como estados adicionae les a estimar un numero Np de parmetros que se sospechan errneos y hacen una a o estimacin simultnea de estados y parmetros. La seleccin de los parmetros a o a a o a incluir en esta estimacin se puede hacer basada en la experiencia del operador o o mediante un proceso de identicacin de parmetros sospechosos, lo cual hace o a necesaria una estimacin de estado previa. Cabe notar que estas metodolog o as requieren una modicacin en la rutina del estimador de estado regular. Dentro o de esta clasicacin existen dos diferentes alternativas de solucin: o o 18

La alternativa ms com n utiliza las ecuaciones normales del estimador de a u estado por m nimos cuadrados ponderados. Esta es una extensin del modelo o convencional del estimador de estado. La segunda alternativa hace uso de la teor del ltro Kalman. Este es un a mtodo recursivo que va estimando los parmetros del sistema a medida e a que se a ade un nuevo conjunto de mediciones. Partiendo de un conjunto n de mediciones dadas, el estimador basado en la teor de Kalman estima a los parmetros del sistema y sus respectivos valores de covarianza. En la a siguiente estimacin k + 1, el valor de los parmetros hallados en k, se o a utilizan como pseudomedidas y su covarianza es la hallada en la estimacin o k [7]. Esta tcnica para la estimacin permite obtener valores de parmetros e o a que var en el tiempo. an

Solucin mediante el anlisis de la sensibilidad de los residuos o a de las medicionesEstas tcnicas hacen uso de la estimacin de estado convencional para obtener la mae o triz de sensibilidad que relaciona los residuos de las mediciones y los errores en las mediciones. Esta relacin se escribe a continuacin: o o r=S e En donde S es la matriz de sensibilidad de los residuos y est dada por: a S = I JG 1J T W y G = JT W J (3.7) (3.6) (3.5)

En donde G es la matriz de ganancia, J es la matriz jacobiana y W es la matriz diagonal que pondera los residuos (los elementos diagonales de W son el inverso de la covarianza de cada una de las mediciones). Combinando las ecuaciones (3.4) y (3.5) se puede llegar a la siguiente expresin: o rs = Sss Hs ep + rs p (3.8)

Siendo ep = (p0 p), Sss una submatriz de S correspondiente a las s mediciones adyacentes envueltas en el proceso y rs el residuo que se obtendr si el error en los a parmetros fuera cero. a 19

La ecuacin (3.8) se puede interpretar como un modelo lineal que relaciona los o residuos en la medicin rs con un error en un parmetro ep en la presencia de un o a ruido rs . La solucin para ep de este modelo se puede hacer mediante un proceso de o estimacin local. o Debido a que el modelo es lineal, la estimacin de ep no requiere iteraciones. La o solucin mediante los m o nimos cuadrados ponderados de la estimacin de ep ser como o a se plante en [30]: o Hs pT

ep =

Ws Sss

Hs p

1

Hs p

T

Ws rs

(3.9)

Una vez se estime el error del parmetro, se puede corregir el valor del mismo como: a p = p0 + ep (3.10)

El modelo descrito anteriormente funciona para la estimacin de un solo parmetro, o a pero se puede extender fcilmente para incluir ms de un parmetro cuando ep y p son a a a vectores. El proceso de estimacin se puede repetir con los valores estimados de los o parmetros p y el residuo se puede volver a utilizar para estimar los errores de los a parmetros ep . El proceso se repite hasta cuando no se obtengan mejoras adicionales a en los valores estimados.

Solucin mediante el aumento del vector de estado oEsta clase de mtodos aumentan el vector de estado con los parmetros p de los cuales e a se sospecha su precisin. Si se tiene suciente redundancia alrededor de los parmetros o a que se quieran estimar, stos se pueden incluir en el vector de estado como si fueran e variables independientes. En este caso el modelo de las mediciones es el mismo mostrado en (3.2), el cual se reescribe a continuacin: o z = H(x, p) + En donde z es el vector de mediciones, de orden m 1, x es el vector de estados, de orden n 1, H es un vector de funciones que relaciona los estados x y los parmetros a p con las mediciones y es el vector de error en las mediciones. En [2], en lugar de aumentar el vector de estado con los parmetros se preere a aumentar el vector de estado con los ujos de potencia incrementales debidos a errores en los parmetros de la l a nea. Esta metodolog busca evitar problemas numricos relaa e cionados con la solucin. Una vez se estiman estos ujos incrementales, se calculan los o errores en los parmetros y nalmente el valor del parmetro se corrige. Los problemas a a numricos en el proceso de solucin pueden aparecer si se escoge el n mero uno como e o u valor inicial (at start), por esta razn en [2] se escoge otra variable relacionada con los o 20

parmetros. Otra solucin a este problema se basa en el aumento del vector de estado a o despus de la primera iteracin. e o El problema de estimacin simultanea se puede denir como: o (, p) = arg m z H(x, p) x n(x,p)

l

(3.11)

En donde .

l

es cualquier norma en Rm .

Se trata entonces de minimizar el residuo de las mediciones haciendo ajustes simultneos a los estados y a los parmetros. La solucin por esta metodolog se puede a a o a resumir en el siguiente algoritmo: Algoritmo 1 Estimacin simultnea de estados y parmetros o a a j0 xj x0 {Seleccionar un estado inicial} j p p0 {Estimado inicial de los parmetros} a repetir J H H (xj ,pj ) {Linealizar alrededor de xj , pj } x p z z H(xj , pj ) {Calcular el residuo} x xj+1 arg m (x,p) z J n p l pj+1 j+1 j j+1 x x + x {Actualizar estados} j+1 j j+1 p p + p {Actualizar parmetros} a j j+1 j1 j1 hasta mxi xj xi a < & mxi pj pi a