3. Reversibilidad e irreversibilidad. Teorema del trabajo mximo

ndicendice

1. Procesos casiestticos

2. Procesos reversibles e irreversibles2. Procesos reversibles e irreversibles

3. Teorema del trabajo mximo obtenible

4. Procesos infinitesimales.

5. Eficiencia termodinmica de un motor, frigorfico o bomba trmica.

1. Procesos casiestticosLa relacin fundamental S(U,V,N1,,Nr) da la entropa de estados de equilibrio de un sistema simple.

La entropa de un sistema fuera del equilibrio es menor que sa (Postulado II) y depende de ms parmetros.

Imaginar que la temperatura es diferente en distintos puntos, representado por distintos colores en p pla figura. La entropa total depende de las temperaturas de cada punto.

Por otro lado, para un sistema en equilibrio

Con los requerimientos de los postulados: (T > 0) y S ser funcin univaluada de U y de los dems parmetros extensivos debe tener una forma parecida a la figura

Sistema compuestoPor simplificar, consideremos un sistema compuesto de slo dos partes. La entropa total (del universo): ,...,,,...,,, 222111 NVUNVUSPero dado que U=U +U V= V +V (y tambin S = S +S ) se puedePero dado que U=U1+U2, V= V1+V2,(y tambin S = S1+S2) se puede escribir en funcin de los parmetros de un subsistema y de los del sistema total: NVUNVUS ,...,,,...,,, 111 NVUNVUS

Considerando constantes los parmetros extensivos del sistema total py representando S en funcin de los del subsistema 1 queda algo como la figura

U i tti id lUn proceso casiesttico ideal es una sucesin de estados de equilibrio A, B, C,

Se llama casiesttico porque frecuentemente se consigue en la prctica p q g phaciendo un proceso muy lento de modo que los dos subsistemas estn casi en equilibrio durante todo el proceso

Los diferenciales que hemos usado hasta ahora: dU, dS, corresponden aLos diferenciales que hemos usado hasta ahora: dU, dS, corresponden a procesos casiestticos

2. Procesos reversibles e irreversibles

En la figura anterior, por el postulado II (o 2 principio de Termodinmica) ningn punto puede estar ms abajo que alguno de los anteriores

Un proceso se llama reversible si la entropa total (del universo) permanece constante (figura de al lado).constante (figura de al lado).

Se llama irreversible si la entropa del universo final es mayor que la inicial (fig ra de la pgina anterior)(figura de la pgina anterior)

U i ibl ll l t i ibl iUn proceso irreversible se llama as porque el opuesto es imposible, si no intervienen otras fuentes (ms bien sumideros) de calor (con lo que el universo ya es otro) que se lleven la disminucin de entropa necesaria para devolver el sistema a la situacin inicialdevolver el sistema a la situacin inicial.

Dos ejemplos:Ej 1 Se tiene un cilindro que contieneEj. 1 Se tiene un cilindro que contiene un volumen V1 de gas ideal simple a temperatura T1. a) Repentinamente se sube el pistn Determinar la

V2sube el pistn. Determinar la temperatura finales y el cambio de entropa. b) Lo mismo si el pistn se sube muy lentamente Las paredes sonsube muy lentamente. Las paredes son adiabticas en los dos casos.

a) El gas no sigue el movimiento del pistn luego el trabajo es cero. El calor es tambin nulo por lo que se conserva la energa del gastambin nulo por lo que se conserva la energa del gas

1TTTNcRTNcRT ifif

2

1

2 VVP

VNRT

P if

f VVT

IRREVERSIBLE0lnlnln1

2 VVNR

VV

NRTT

NcRSi

f

i

f

Notar que para volver al estado inicial debemos realizar (como mnimo) una q p ( )compresin isoterma de modo que el sistema recibe trabajo del exterior y cede calor a una fuente necesaria para mantener T = cte (de lo contrario se calentara).

b) Casiesttico. El pistn sufre por abajo continuamente la presin del gas que est casi en eq ilibrio (e pansin adiabtica) Dado q e est casi enest casi en equilibrio (expansin adiabtica). Dado que est casi en equilibrio, por arriba actuamos con un fuerza externa igual y opuesta

cNRdTdUPdVdW NRTPor otro lado el gas est siempre en equilibrio: dVVNRTPdV

1

2

1

2 lnlnTTc

VV

TdTc

VdVcNRdTdV

VNRT

lnlnlnln 112212

VT

VNRTNRcVNRTNRcSSS

REVERSIBLE0lnln

1

2

1

2

VV

TTcNR

Ej 2 En un depsito de volumen V hay N molesEj. 2 En un depsito de volumen V1 hay N moles de gas ideal simple a temperatura T1 . Se abre un orificio y el gas se comunica con otro depsito inicialmente vaco (expansin libre) La pared es

V2 V2

inicialmente vaco ( expansin libre ). La pared es diatrmana y no se suministra calor durante el proceso. Determinar la temperatura y presin finales y el incremento de entropa

V1

finales y el incremento de entropa.

Dado que W = Q = 0 se conserva la energa1TTTNcRTNcRT ifif VNRT ff

21

1

21 VVVP

VVNRT

P if

f VVVT

IRREVERSIBLE0lnlnln1

21 VVVNR

VV

NRTT

NcRSi

f

i

f

S d h i tti b i d l i t lSe puede hacer casiesttico, abriendo el paso a pequeos intervalos o mediante un orificio muy estrecho, pero la situacin final es la misma y el proceso tambin irreversible.

Es decir REVERSIBLE CASIESTTICO pero la implicacin opuesta no es cierta

3. Teorema del trabajo mximo extrado. Ejemplo introductorioSe tienen dos focos trmicos a temperaturas T y T (T

El cambio total de entropa del foco (1) es: 11 1

1

1 1

11 ln'

'' T

TNC

TdTNC

TdQS f

Tf

T

Tf

T

11 11 1 TTT TT

Donde T1 es la temperatura del foco (1) en cualquier instante intermedioTfTf TNCdTNCdQS 222 l' Anlogamente para el foco (2) :

fTT TNC

TNC

TQS 2

2 2

2

2 2

22 ln''

El cambio de entropa del universo es pues : p p

0ln21

2

21 TTT

NCSSS funiv

El Postulado II (2 principio) impone que 212 TTTf

Luego el mximo trabajo (mnima Tf) ocurre si se cumple la igualdad, lo que corresponde a un proceso reversible.

Reemplazando Tf = (T1T2)1/2, el trabajo mximo es: 2112 2 TTTTNCW p f ( 1 2) , j 2112max 2 TTTTNCW Que slo depende de los estados inicial y final de los focosQue slo depende de los estados inicial y final de los focos

Teorema del trabajo mximo. Enunciado general. Fuente de calor a T constanteFuente de calor a T constante

Consideremos en primer lugar un sistema que evoluciona desde un estado A a otro B bienevoluciona desde un estado A a otro B bien determinados existiendo una fuente de calor a temperatura constante Tc a la que se cede un calor Qc y otra fuente de trabajo a la que cede W,calor Qc y otra fuente de trabajo a la que cede W, ambas reversibles.

Por la conservacin de la energa se tiene:

cBAABc QUUWUUUQW

Es decir W ser mayor cuanto menorEs decir W ser mayor cuanto menor sea el calor cedido a la fuente

Variaciones de entropa de la fuente y del sistema

Por otra parte la entropa del sistema es una funcin de estado, por lo que su variacin es perfectamente conocida:variacin es perfectamente conocida:

S = SB-SAY la variacin de entropa de la fuente es

Sc = Qc/TcEl postulado II exige que Suniv = Sc +S 0 es decir: )( BAcc SSTQ

El mximo trabajo obtenido Wmax ocurre cuando se cumple la igualdad, es decir en un proceso reversible, y vale:y

)(max BACBA SSTUUWW Notar que W no depende de los estados intermedios del sistema ni de cul es elNotar que Wmax no depende de los estados intermedios del sistema, ni de cul es el proceso seguido, ni de cmo es la mquina (en ingeniera Wmax se llama exerga)

Ejemplo: La fuente no es infinita sino que tiene nmero de moles N y capacidad l fi C S i i i l T D i l

j pcalorfica constante C. Su temperatura inicial es Tci. Determinar la temperatura final de la fuente y el trabajo mximo

Si la fuente recibe un calor Qc la temperatura final es: NCQTT ccicf NC

Y el incremento de entropa de la fuente:BA

ci

cfTcf

Tci c

c

c

cc SST

TNC

TNCdT

TdQS ln

El mnimo es S SEl mnimo es SA-SB(reversible) y entonces Tcf y Qc son los menores posibles y W el mximoW el mximo

El trabajo obtenido y el mximo posible son pues:

max1exp

)(

WNC

SSNCTUU

TTNCUUQUUW

BAciBA

cicfBAcBA

NC

4. Proceso infinitesimal

El resultado anterior es interesante porque nos da un valor del trabajo mximo obtenible.

N i l f t d l d T t (f tNo es necesario que la fuente de calor sea de Tc = cte (fuente infinitamente grande). Basta decir que el mximo trabajo correspondeal mnimo calor Qc lo que tambin corresponde al mnimo incremento de entropa de la fuente que es S S en cuyo caso el proceso esde entropa de la fuente que es SA-SB, en cuyo caso el proceso es tambin reversible.

En este caso el trabajo mximo S depende de cmo es la fuente (su capacidad calorfica C(Tc) y nmero de moles) y no se puede evaluar de forma general.

S que es posible obtener el trabajo mximo para un procesoS que es posible obtener el trabajo mximo para un proceso infinitesimal (en que el estado del sistema cambia muy poco):

dSTdUdQdUdW cc El trabajo mximo obtenible corresponde a la igualdad, en cuyo caso la variacin de entropa del universo es cero y el proceso reversible

dSTdUdW cmax

Es muy interesante escribir el trabajo mximo obtenido en funcin del calor dQ y trabajo dW (supongamos >0 si son cedidos por el sistema) proporcionados por el sistema, que NO NECESARIAMENTE SON IGUALES A LOS RECIBIDOS POR LA FUENTE DE CALOR Y

Se tiene:

SON IGUALES A LOS RECIBIDOS POR LA FUENTE DE CALOR Y TRABAJO RESPECTIVAMENTE.

dWdQdU dW

TTdQ

TdQTdWdQdSTdWdQdW ccc

1max

dW

O sea: dWdWdW 2maxDonde:

TdQdW c12

El resultado anterior indica que el trabajo mximo obtenible es la suma del trabajo directamente

dQ

dW2 Fuente detrabajodW

TQ2

jrealizado por el sistema, y el que se puede obtener convirtiendo parte del calor cedido en trabajo mediante una mquina trmica reversible 1

dQcdWmax

Ejemplo: Un cilindro de volumen VA contiene N moles de gas ideal simple a temperatura TA y se expande hasta un volumen VB y temperatura TB. Se tiene una fuente de calor infinita a temperatura constante TB. Cul es trabajo mximo que puede obtenerse? Calcularlo explcitamente para eltrabajo mximo que puede obtenerse? Calcularlo explcitamente para el siguiente proceso en dos etapas: 1) Expansin adiabtica reversible hasta la temperatura TB 2) Expansin isoterma hasta el volumen final VB.

Trabajo mximo:Trabajo mximo:

A

B

A

BBBAABBBA V

VNRTTNcRTTTNcRSSTUUW lnlnmax

1) Expansin adiabtica hasta TB BABBAA TTNcRVTUVTUUW ),(),(1El volumen tras este primer paso es: cc 11El volumen tras este primer paso es:

11

111

VTVTVPVP BAAAA ccc

cc

V

P 11111 Por tanto:

A

c

A VTV

1

2) Expansin isoterma hasta VB

AB

VT

V 1

cVB TVVNRTBmax21 WWW

pues los dos

A

B

A

BB

BB

V

BB

TT

VVNRT

VVNRTdV

VNRTPdVW

B

lnln11

2

1

pues los dos procesos son reversibles

5. Eficiencia termodinmica (o de Carnot) de un motor un frigorfico y una bomba de calormotor, un frigorfico y una bomba de calor

Como regla mnemotcnica, en todos los casos la eficiencia es lo que se obtiene / lo que hay que pagar

En todos los casos la eficiencia mxima corresponde a funcionamiento reversible:

120TdQ

TdQdSuniv Y adems (cons energa): dWdQdQ 12

Habitac incaliente

Atmsferaverano

12 TT

dQ2dW dQ2dW

dQ2dW

T1

dQ1

1

dQ1

1

dQ1

Atmsferainvierno

HabitacinrefrigeradaMotor

Refrigerador Bomba trmica11 1TdW 11

2

1

2

TT

dQdW

112

11 TTT

dWdQ 1

12

22 TTT

dWdQ