termodinámica
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Termodinaacutemica
Curso de Termodinaacutemica de Ingenieriacutea
Definiciones de conceptos termodinaacutemicos
Termodinaacutemica ciencia que trata del calor y el
trabajo o bien parte de la fiacutesica que estudia la
energiacutea y la entropiacutea
Sistema termodinaacutemico Es una cantidad de
materia de masa fija o variable
Alrededores cualquier ambiente y cosa externa
al sistema
Paredes son los liacutemites que separaran el sistema
de sus alrededores Los liacutemites pueden fijos o
moacuteviles
Figura CD1
Sistema aislado el exterior no lo Influencia de ninguna manera
Volumen de control es una regioacuten endonde sale y entra materia yenergiacutea Por ejemplo Un compresor
Tambieacuten un volumen de control sedenomina sistema abierto
ESTADO Y PROPIEDADES DE UNASUSTANCIA PURA
Cualidades del agua por ejemplo
se transforma en vapor alcalentarla y se solidifica alenfriarla Estas son dos fasespara una misma sustancia
Fase Parte homogeacutenea de un sistema en el
que cada una de las propiedades intensivas
permanecen constante en todo el conjunto
uniforme Las fases estaacuten separadas por los
liacutemites de fase
Figura CD2
Estado de la sustancia Cada fase de la
sustancia puede existir a varias presiones y
temperaturas o bien en varios estados estos
se identifican por las propiedades macroscoacutepicas
observables temperatura presioacuten densidad y temperatura
Propiedades macroscoacutepicas para una
sustancia y en un estado dado eacutestas tienen
valores definidos para ese estado en particular
independientemente coacutemo alcanzoacute ese estado
Propiedad cantidad fiacutesica que depende del
estado del sistema y es independiente de la
trayectoria (o sea de sus antecedentes
histoacutericos) de llegada a ese estado
Inversamente el estado de un sistema se especifica o describe por sus propiedades
Propiedades termodinaacutemicas intensivas y
extensivas
Equilibrio termodinaacutemico Todas las
propiedades permanecen invariables con el
tiempo Existe equilibrio simultaacuteneo en los
aspectos teacutermico mecaacutenico y material
CICLOS Y PROCESOS
Cambio de estado Se presenta cuando al menos
una de las propiedades cambia a otra magnitud
Proceso Es la trayectoria de la sucesioacuten de estados
intermedios cuando un sistema pasa desde un
estado inicial a un estado final Se clasifican en
procesos isoteacutermicos (igual temperatura) isobaacutericos
(igual presioacuten) e isomeacutetricos (igual volumen)
Ciclo Es una trayectoria particular de un sistema
que se caracteriza porque parte desde un estado
inicial dado pasa por varios cambios o procesos y
finalmente vuelve al mismo estado inicial
Figura CD3
Proceso de cuasiequilibrio es aquel en que la
desviacioacuten del equilibrio termodinaacutemico es
infinitesimal tambieacuten se denomina cuasiestaacutetico
reversible
Temperatura y sus escalas
Celsius o centiacutegrada ordmC
Kelvin T K= 27316 + tordmC escala termodinaacutemica de
temperatura
Fahrenheit ordmFRankine ordmR T ordmR = 45967 +tordmF
Presioacuten Sea δA una pequentildea aacuterea del sistema y
δFn la componente de la fuerza normal que actuacutea
sobre el aacuterea entonces la presioacuten se define como
A
FlimP
n
AA
donde δArsquo es el aacuterea maacutes pequentildea en que aun
estadiacutesticamente el sistema se considera como
continuo
Volumen especiacutefico Sea δV un pequentildeo volumen del sistema y δm la masa contenida en ese volumen entonces el volumen especiacutefico es
m
Vlimv
VV
donde δVrsquo es el volumen maacutes pequentildeo en que aun el sistema puede ser considerado continuo
Temperatura propiedad asociada al nivel de energiacutea cineacutetica de las moleacuteculas (o aacutetomos) de un sistema
PROPIEDADES DE UNA SUSTANCIA PURA
Sustancia pura es materia que tiene una composicioacuten quiacutemica homogeacutenea e invariable puede existir en maacutes de una fase pero su composicioacuten quiacutemica es la misma en cada una de ellas
Figura CD4
Fase de equilibrio vapor-liacutequido-soacutelido en una sustancia puraSea un sistema de 1 kg de agua contenido en un cilindro provisto de eacutembolo seguacuten se muestra en la Figura CD4 adjunta
Inicialmente el eacutembolo con las pesas mantienen una presioacuten de 1033 kgfcm2 y la temperatura es de 156ordmC Si se transmite calor al agua la temperatura subiraacute y eventualmente llegaraacute a 100ordmC y apareceraacuten los primeros vestigios de vapor si se mantiene la temperatura a 100ordmCagregaacutendole calor al sistema entonces toda el agua se vaporizaraacute Todo ello ocurriraacute a presioacuten constante de 1033 kgfcm2El concepto de temperatura de saturacioacuten se usa para el proceso de vaporizacioacuten de una sustancia pura a una presioacuten determinada la cual se denomina presioacuten de saturacioacuten
En el caso anterior se dice que la presioacuten de saturacioacuten del agua a 100ordmC es 1033 kgfcm2 Inversamente la temperatura de saturacioacuten a esa presioacuten es 100 ordmCLas sustancias puras presentan correlaciones definidas para la presioacuten y temperaturas de saturacioacuten como se ilustra en la Figura CD5
Figura CD5
La curva de la Figura CD5 se denomina curva de presioacuten de vaporLiacutequido subenfriado se denomina una estado en que la
sustancia tiene una temperatura maacutes baja que la de saturacioacuten-
Figura CD6a
Liacuteneas de cambio de estados Sea una liacutenea de presioacuten constante en la Figura CD6a El agua se calienta desde el estado inicial - punto A - de 1033 kgfcm2 y 156ordmC La sustancia comienza a variar su volumen especiacutefico y su temperatura hasta alcanzar el punto B en donde el liacutequido es saturado en el cual surge el primer vestigio de vapor en la medida que se entrega calor a la sustancia estaacute recorre la liacutenea B-C en donde pasa desde un vapor cercano a cero (B) hasta llegar a 100 en C Este uacuteltimo punto es el del vapor saturado al continuar el proceso de entrega de calor el vapor desde C a D se calienta por sobre la saturacioacuten y se denomina vapor sobrecalentadoSi el proceso a presioacuten constante parte desde el punto E (7 kgfcm2) se tendraacute una transformacioacuten similar a la anterior
Figura CD6b
Figura CD6c
Calidad o tiacutetulo de vapor Si existe una sustancia con una parte en forma liacutequida y otra como vapor a la temperatura de saturacioacuten entonces se dice que el vapor tiene tiacutetulo o calidad (caso de Figura CD2b) esta se define comomasa vapor masa total Esta cantidad es de caraacutecter intensivo
Diagrama presioacuten ndash temperatura para el agua Sea la Figura CD7 tal diagramaEn el punto denominado triple coexisten el soacutelido vapor y liacutequido Este un estado termodinaacutemico invariante Es un estado uacutenico para el agua Para cada sustancia pura existiraacute un uacutenico punto con esas caracteriacutesticas
Figura CD7
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Definiciones de conceptos termodinaacutemicos
Termodinaacutemica ciencia que trata del calor y el
trabajo o bien parte de la fiacutesica que estudia la
energiacutea y la entropiacutea
Sistema termodinaacutemico Es una cantidad de
materia de masa fija o variable
Alrededores cualquier ambiente y cosa externa
al sistema
Paredes son los liacutemites que separaran el sistema
de sus alrededores Los liacutemites pueden fijos o
moacuteviles
Figura CD1
Sistema aislado el exterior no lo Influencia de ninguna manera
Volumen de control es una regioacuten endonde sale y entra materia yenergiacutea Por ejemplo Un compresor
Tambieacuten un volumen de control sedenomina sistema abierto
ESTADO Y PROPIEDADES DE UNASUSTANCIA PURA
Cualidades del agua por ejemplo
se transforma en vapor alcalentarla y se solidifica alenfriarla Estas son dos fasespara una misma sustancia
Fase Parte homogeacutenea de un sistema en el
que cada una de las propiedades intensivas
permanecen constante en todo el conjunto
uniforme Las fases estaacuten separadas por los
liacutemites de fase
Figura CD2
Estado de la sustancia Cada fase de la
sustancia puede existir a varias presiones y
temperaturas o bien en varios estados estos
se identifican por las propiedades macroscoacutepicas
observables temperatura presioacuten densidad y temperatura
Propiedades macroscoacutepicas para una
sustancia y en un estado dado eacutestas tienen
valores definidos para ese estado en particular
independientemente coacutemo alcanzoacute ese estado
Propiedad cantidad fiacutesica que depende del
estado del sistema y es independiente de la
trayectoria (o sea de sus antecedentes
histoacutericos) de llegada a ese estado
Inversamente el estado de un sistema se especifica o describe por sus propiedades
Propiedades termodinaacutemicas intensivas y
extensivas
Equilibrio termodinaacutemico Todas las
propiedades permanecen invariables con el
tiempo Existe equilibrio simultaacuteneo en los
aspectos teacutermico mecaacutenico y material
CICLOS Y PROCESOS
Cambio de estado Se presenta cuando al menos
una de las propiedades cambia a otra magnitud
Proceso Es la trayectoria de la sucesioacuten de estados
intermedios cuando un sistema pasa desde un
estado inicial a un estado final Se clasifican en
procesos isoteacutermicos (igual temperatura) isobaacutericos
(igual presioacuten) e isomeacutetricos (igual volumen)
Ciclo Es una trayectoria particular de un sistema
que se caracteriza porque parte desde un estado
inicial dado pasa por varios cambios o procesos y
finalmente vuelve al mismo estado inicial
Figura CD3
Proceso de cuasiequilibrio es aquel en que la
desviacioacuten del equilibrio termodinaacutemico es
infinitesimal tambieacuten se denomina cuasiestaacutetico
reversible
Temperatura y sus escalas
Celsius o centiacutegrada ordmC
Kelvin T K= 27316 + tordmC escala termodinaacutemica de
temperatura
Fahrenheit ordmFRankine ordmR T ordmR = 45967 +tordmF
Presioacuten Sea δA una pequentildea aacuterea del sistema y
δFn la componente de la fuerza normal que actuacutea
sobre el aacuterea entonces la presioacuten se define como
A
FlimP
n
AA
donde δArsquo es el aacuterea maacutes pequentildea en que aun
estadiacutesticamente el sistema se considera como
continuo
Volumen especiacutefico Sea δV un pequentildeo volumen del sistema y δm la masa contenida en ese volumen entonces el volumen especiacutefico es
m
Vlimv
VV
donde δVrsquo es el volumen maacutes pequentildeo en que aun el sistema puede ser considerado continuo
Temperatura propiedad asociada al nivel de energiacutea cineacutetica de las moleacuteculas (o aacutetomos) de un sistema
PROPIEDADES DE UNA SUSTANCIA PURA
Sustancia pura es materia que tiene una composicioacuten quiacutemica homogeacutenea e invariable puede existir en maacutes de una fase pero su composicioacuten quiacutemica es la misma en cada una de ellas
Figura CD4
Fase de equilibrio vapor-liacutequido-soacutelido en una sustancia puraSea un sistema de 1 kg de agua contenido en un cilindro provisto de eacutembolo seguacuten se muestra en la Figura CD4 adjunta
Inicialmente el eacutembolo con las pesas mantienen una presioacuten de 1033 kgfcm2 y la temperatura es de 156ordmC Si se transmite calor al agua la temperatura subiraacute y eventualmente llegaraacute a 100ordmC y apareceraacuten los primeros vestigios de vapor si se mantiene la temperatura a 100ordmCagregaacutendole calor al sistema entonces toda el agua se vaporizaraacute Todo ello ocurriraacute a presioacuten constante de 1033 kgfcm2El concepto de temperatura de saturacioacuten se usa para el proceso de vaporizacioacuten de una sustancia pura a una presioacuten determinada la cual se denomina presioacuten de saturacioacuten
En el caso anterior se dice que la presioacuten de saturacioacuten del agua a 100ordmC es 1033 kgfcm2 Inversamente la temperatura de saturacioacuten a esa presioacuten es 100 ordmCLas sustancias puras presentan correlaciones definidas para la presioacuten y temperaturas de saturacioacuten como se ilustra en la Figura CD5
Figura CD5
La curva de la Figura CD5 se denomina curva de presioacuten de vaporLiacutequido subenfriado se denomina una estado en que la
sustancia tiene una temperatura maacutes baja que la de saturacioacuten-
Figura CD6a
Liacuteneas de cambio de estados Sea una liacutenea de presioacuten constante en la Figura CD6a El agua se calienta desde el estado inicial - punto A - de 1033 kgfcm2 y 156ordmC La sustancia comienza a variar su volumen especiacutefico y su temperatura hasta alcanzar el punto B en donde el liacutequido es saturado en el cual surge el primer vestigio de vapor en la medida que se entrega calor a la sustancia estaacute recorre la liacutenea B-C en donde pasa desde un vapor cercano a cero (B) hasta llegar a 100 en C Este uacuteltimo punto es el del vapor saturado al continuar el proceso de entrega de calor el vapor desde C a D se calienta por sobre la saturacioacuten y se denomina vapor sobrecalentadoSi el proceso a presioacuten constante parte desde el punto E (7 kgfcm2) se tendraacute una transformacioacuten similar a la anterior
Figura CD6b
Figura CD6c
Calidad o tiacutetulo de vapor Si existe una sustancia con una parte en forma liacutequida y otra como vapor a la temperatura de saturacioacuten entonces se dice que el vapor tiene tiacutetulo o calidad (caso de Figura CD2b) esta se define comomasa vapor masa total Esta cantidad es de caraacutecter intensivo
Diagrama presioacuten ndash temperatura para el agua Sea la Figura CD7 tal diagramaEn el punto denominado triple coexisten el soacutelido vapor y liacutequido Este un estado termodinaacutemico invariante Es un estado uacutenico para el agua Para cada sustancia pura existiraacute un uacutenico punto con esas caracteriacutesticas
Figura CD7
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Figura CD1
Sistema aislado el exterior no lo Influencia de ninguna manera
Volumen de control es una regioacuten endonde sale y entra materia yenergiacutea Por ejemplo Un compresor
Tambieacuten un volumen de control sedenomina sistema abierto
ESTADO Y PROPIEDADES DE UNASUSTANCIA PURA
Cualidades del agua por ejemplo
se transforma en vapor alcalentarla y se solidifica alenfriarla Estas son dos fasespara una misma sustancia
Fase Parte homogeacutenea de un sistema en el
que cada una de las propiedades intensivas
permanecen constante en todo el conjunto
uniforme Las fases estaacuten separadas por los
liacutemites de fase
Figura CD2
Estado de la sustancia Cada fase de la
sustancia puede existir a varias presiones y
temperaturas o bien en varios estados estos
se identifican por las propiedades macroscoacutepicas
observables temperatura presioacuten densidad y temperatura
Propiedades macroscoacutepicas para una
sustancia y en un estado dado eacutestas tienen
valores definidos para ese estado en particular
independientemente coacutemo alcanzoacute ese estado
Propiedad cantidad fiacutesica que depende del
estado del sistema y es independiente de la
trayectoria (o sea de sus antecedentes
histoacutericos) de llegada a ese estado
Inversamente el estado de un sistema se especifica o describe por sus propiedades
Propiedades termodinaacutemicas intensivas y
extensivas
Equilibrio termodinaacutemico Todas las
propiedades permanecen invariables con el
tiempo Existe equilibrio simultaacuteneo en los
aspectos teacutermico mecaacutenico y material
CICLOS Y PROCESOS
Cambio de estado Se presenta cuando al menos
una de las propiedades cambia a otra magnitud
Proceso Es la trayectoria de la sucesioacuten de estados
intermedios cuando un sistema pasa desde un
estado inicial a un estado final Se clasifican en
procesos isoteacutermicos (igual temperatura) isobaacutericos
(igual presioacuten) e isomeacutetricos (igual volumen)
Ciclo Es una trayectoria particular de un sistema
que se caracteriza porque parte desde un estado
inicial dado pasa por varios cambios o procesos y
finalmente vuelve al mismo estado inicial
Figura CD3
Proceso de cuasiequilibrio es aquel en que la
desviacioacuten del equilibrio termodinaacutemico es
infinitesimal tambieacuten se denomina cuasiestaacutetico
reversible
Temperatura y sus escalas
Celsius o centiacutegrada ordmC
Kelvin T K= 27316 + tordmC escala termodinaacutemica de
temperatura
Fahrenheit ordmFRankine ordmR T ordmR = 45967 +tordmF
Presioacuten Sea δA una pequentildea aacuterea del sistema y
δFn la componente de la fuerza normal que actuacutea
sobre el aacuterea entonces la presioacuten se define como
A
FlimP
n
AA
donde δArsquo es el aacuterea maacutes pequentildea en que aun
estadiacutesticamente el sistema se considera como
continuo
Volumen especiacutefico Sea δV un pequentildeo volumen del sistema y δm la masa contenida en ese volumen entonces el volumen especiacutefico es
m
Vlimv
VV
donde δVrsquo es el volumen maacutes pequentildeo en que aun el sistema puede ser considerado continuo
Temperatura propiedad asociada al nivel de energiacutea cineacutetica de las moleacuteculas (o aacutetomos) de un sistema
PROPIEDADES DE UNA SUSTANCIA PURA
Sustancia pura es materia que tiene una composicioacuten quiacutemica homogeacutenea e invariable puede existir en maacutes de una fase pero su composicioacuten quiacutemica es la misma en cada una de ellas
Figura CD4
Fase de equilibrio vapor-liacutequido-soacutelido en una sustancia puraSea un sistema de 1 kg de agua contenido en un cilindro provisto de eacutembolo seguacuten se muestra en la Figura CD4 adjunta
Inicialmente el eacutembolo con las pesas mantienen una presioacuten de 1033 kgfcm2 y la temperatura es de 156ordmC Si se transmite calor al agua la temperatura subiraacute y eventualmente llegaraacute a 100ordmC y apareceraacuten los primeros vestigios de vapor si se mantiene la temperatura a 100ordmCagregaacutendole calor al sistema entonces toda el agua se vaporizaraacute Todo ello ocurriraacute a presioacuten constante de 1033 kgfcm2El concepto de temperatura de saturacioacuten se usa para el proceso de vaporizacioacuten de una sustancia pura a una presioacuten determinada la cual se denomina presioacuten de saturacioacuten
En el caso anterior se dice que la presioacuten de saturacioacuten del agua a 100ordmC es 1033 kgfcm2 Inversamente la temperatura de saturacioacuten a esa presioacuten es 100 ordmCLas sustancias puras presentan correlaciones definidas para la presioacuten y temperaturas de saturacioacuten como se ilustra en la Figura CD5
Figura CD5
La curva de la Figura CD5 se denomina curva de presioacuten de vaporLiacutequido subenfriado se denomina una estado en que la
sustancia tiene una temperatura maacutes baja que la de saturacioacuten-
Figura CD6a
Liacuteneas de cambio de estados Sea una liacutenea de presioacuten constante en la Figura CD6a El agua se calienta desde el estado inicial - punto A - de 1033 kgfcm2 y 156ordmC La sustancia comienza a variar su volumen especiacutefico y su temperatura hasta alcanzar el punto B en donde el liacutequido es saturado en el cual surge el primer vestigio de vapor en la medida que se entrega calor a la sustancia estaacute recorre la liacutenea B-C en donde pasa desde un vapor cercano a cero (B) hasta llegar a 100 en C Este uacuteltimo punto es el del vapor saturado al continuar el proceso de entrega de calor el vapor desde C a D se calienta por sobre la saturacioacuten y se denomina vapor sobrecalentadoSi el proceso a presioacuten constante parte desde el punto E (7 kgfcm2) se tendraacute una transformacioacuten similar a la anterior
Figura CD6b
Figura CD6c
Calidad o tiacutetulo de vapor Si existe una sustancia con una parte en forma liacutequida y otra como vapor a la temperatura de saturacioacuten entonces se dice que el vapor tiene tiacutetulo o calidad (caso de Figura CD2b) esta se define comomasa vapor masa total Esta cantidad es de caraacutecter intensivo
Diagrama presioacuten ndash temperatura para el agua Sea la Figura CD7 tal diagramaEn el punto denominado triple coexisten el soacutelido vapor y liacutequido Este un estado termodinaacutemico invariante Es un estado uacutenico para el agua Para cada sustancia pura existiraacute un uacutenico punto con esas caracteriacutesticas
Figura CD7
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Sistema aislado el exterior no lo Influencia de ninguna manera
Volumen de control es una regioacuten endonde sale y entra materia yenergiacutea Por ejemplo Un compresor
Tambieacuten un volumen de control sedenomina sistema abierto
ESTADO Y PROPIEDADES DE UNASUSTANCIA PURA
Cualidades del agua por ejemplo
se transforma en vapor alcalentarla y se solidifica alenfriarla Estas son dos fasespara una misma sustancia
Fase Parte homogeacutenea de un sistema en el
que cada una de las propiedades intensivas
permanecen constante en todo el conjunto
uniforme Las fases estaacuten separadas por los
liacutemites de fase
Figura CD2
Estado de la sustancia Cada fase de la
sustancia puede existir a varias presiones y
temperaturas o bien en varios estados estos
se identifican por las propiedades macroscoacutepicas
observables temperatura presioacuten densidad y temperatura
Propiedades macroscoacutepicas para una
sustancia y en un estado dado eacutestas tienen
valores definidos para ese estado en particular
independientemente coacutemo alcanzoacute ese estado
Propiedad cantidad fiacutesica que depende del
estado del sistema y es independiente de la
trayectoria (o sea de sus antecedentes
histoacutericos) de llegada a ese estado
Inversamente el estado de un sistema se especifica o describe por sus propiedades
Propiedades termodinaacutemicas intensivas y
extensivas
Equilibrio termodinaacutemico Todas las
propiedades permanecen invariables con el
tiempo Existe equilibrio simultaacuteneo en los
aspectos teacutermico mecaacutenico y material
CICLOS Y PROCESOS
Cambio de estado Se presenta cuando al menos
una de las propiedades cambia a otra magnitud
Proceso Es la trayectoria de la sucesioacuten de estados
intermedios cuando un sistema pasa desde un
estado inicial a un estado final Se clasifican en
procesos isoteacutermicos (igual temperatura) isobaacutericos
(igual presioacuten) e isomeacutetricos (igual volumen)
Ciclo Es una trayectoria particular de un sistema
que se caracteriza porque parte desde un estado
inicial dado pasa por varios cambios o procesos y
finalmente vuelve al mismo estado inicial
Figura CD3
Proceso de cuasiequilibrio es aquel en que la
desviacioacuten del equilibrio termodinaacutemico es
infinitesimal tambieacuten se denomina cuasiestaacutetico
reversible
Temperatura y sus escalas
Celsius o centiacutegrada ordmC
Kelvin T K= 27316 + tordmC escala termodinaacutemica de
temperatura
Fahrenheit ordmFRankine ordmR T ordmR = 45967 +tordmF
Presioacuten Sea δA una pequentildea aacuterea del sistema y
δFn la componente de la fuerza normal que actuacutea
sobre el aacuterea entonces la presioacuten se define como
A
FlimP
n
AA
donde δArsquo es el aacuterea maacutes pequentildea en que aun
estadiacutesticamente el sistema se considera como
continuo
Volumen especiacutefico Sea δV un pequentildeo volumen del sistema y δm la masa contenida en ese volumen entonces el volumen especiacutefico es
m
Vlimv
VV
donde δVrsquo es el volumen maacutes pequentildeo en que aun el sistema puede ser considerado continuo
Temperatura propiedad asociada al nivel de energiacutea cineacutetica de las moleacuteculas (o aacutetomos) de un sistema
PROPIEDADES DE UNA SUSTANCIA PURA
Sustancia pura es materia que tiene una composicioacuten quiacutemica homogeacutenea e invariable puede existir en maacutes de una fase pero su composicioacuten quiacutemica es la misma en cada una de ellas
Figura CD4
Fase de equilibrio vapor-liacutequido-soacutelido en una sustancia puraSea un sistema de 1 kg de agua contenido en un cilindro provisto de eacutembolo seguacuten se muestra en la Figura CD4 adjunta
Inicialmente el eacutembolo con las pesas mantienen una presioacuten de 1033 kgfcm2 y la temperatura es de 156ordmC Si se transmite calor al agua la temperatura subiraacute y eventualmente llegaraacute a 100ordmC y apareceraacuten los primeros vestigios de vapor si se mantiene la temperatura a 100ordmCagregaacutendole calor al sistema entonces toda el agua se vaporizaraacute Todo ello ocurriraacute a presioacuten constante de 1033 kgfcm2El concepto de temperatura de saturacioacuten se usa para el proceso de vaporizacioacuten de una sustancia pura a una presioacuten determinada la cual se denomina presioacuten de saturacioacuten
En el caso anterior se dice que la presioacuten de saturacioacuten del agua a 100ordmC es 1033 kgfcm2 Inversamente la temperatura de saturacioacuten a esa presioacuten es 100 ordmCLas sustancias puras presentan correlaciones definidas para la presioacuten y temperaturas de saturacioacuten como se ilustra en la Figura CD5
Figura CD5
La curva de la Figura CD5 se denomina curva de presioacuten de vaporLiacutequido subenfriado se denomina una estado en que la
sustancia tiene una temperatura maacutes baja que la de saturacioacuten-
Figura CD6a
Liacuteneas de cambio de estados Sea una liacutenea de presioacuten constante en la Figura CD6a El agua se calienta desde el estado inicial - punto A - de 1033 kgfcm2 y 156ordmC La sustancia comienza a variar su volumen especiacutefico y su temperatura hasta alcanzar el punto B en donde el liacutequido es saturado en el cual surge el primer vestigio de vapor en la medida que se entrega calor a la sustancia estaacute recorre la liacutenea B-C en donde pasa desde un vapor cercano a cero (B) hasta llegar a 100 en C Este uacuteltimo punto es el del vapor saturado al continuar el proceso de entrega de calor el vapor desde C a D se calienta por sobre la saturacioacuten y se denomina vapor sobrecalentadoSi el proceso a presioacuten constante parte desde el punto E (7 kgfcm2) se tendraacute una transformacioacuten similar a la anterior
Figura CD6b
Figura CD6c
Calidad o tiacutetulo de vapor Si existe una sustancia con una parte en forma liacutequida y otra como vapor a la temperatura de saturacioacuten entonces se dice que el vapor tiene tiacutetulo o calidad (caso de Figura CD2b) esta se define comomasa vapor masa total Esta cantidad es de caraacutecter intensivo
Diagrama presioacuten ndash temperatura para el agua Sea la Figura CD7 tal diagramaEn el punto denominado triple coexisten el soacutelido vapor y liacutequido Este un estado termodinaacutemico invariante Es un estado uacutenico para el agua Para cada sustancia pura existiraacute un uacutenico punto con esas caracteriacutesticas
Figura CD7
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Tambieacuten un volumen de control sedenomina sistema abierto
ESTADO Y PROPIEDADES DE UNASUSTANCIA PURA
Cualidades del agua por ejemplo
se transforma en vapor alcalentarla y se solidifica alenfriarla Estas son dos fasespara una misma sustancia
Fase Parte homogeacutenea de un sistema en el
que cada una de las propiedades intensivas
permanecen constante en todo el conjunto
uniforme Las fases estaacuten separadas por los
liacutemites de fase
Figura CD2
Estado de la sustancia Cada fase de la
sustancia puede existir a varias presiones y
temperaturas o bien en varios estados estos
se identifican por las propiedades macroscoacutepicas
observables temperatura presioacuten densidad y temperatura
Propiedades macroscoacutepicas para una
sustancia y en un estado dado eacutestas tienen
valores definidos para ese estado en particular
independientemente coacutemo alcanzoacute ese estado
Propiedad cantidad fiacutesica que depende del
estado del sistema y es independiente de la
trayectoria (o sea de sus antecedentes
histoacutericos) de llegada a ese estado
Inversamente el estado de un sistema se especifica o describe por sus propiedades
Propiedades termodinaacutemicas intensivas y
extensivas
Equilibrio termodinaacutemico Todas las
propiedades permanecen invariables con el
tiempo Existe equilibrio simultaacuteneo en los
aspectos teacutermico mecaacutenico y material
CICLOS Y PROCESOS
Cambio de estado Se presenta cuando al menos
una de las propiedades cambia a otra magnitud
Proceso Es la trayectoria de la sucesioacuten de estados
intermedios cuando un sistema pasa desde un
estado inicial a un estado final Se clasifican en
procesos isoteacutermicos (igual temperatura) isobaacutericos
(igual presioacuten) e isomeacutetricos (igual volumen)
Ciclo Es una trayectoria particular de un sistema
que se caracteriza porque parte desde un estado
inicial dado pasa por varios cambios o procesos y
finalmente vuelve al mismo estado inicial
Figura CD3
Proceso de cuasiequilibrio es aquel en que la
desviacioacuten del equilibrio termodinaacutemico es
infinitesimal tambieacuten se denomina cuasiestaacutetico
reversible
Temperatura y sus escalas
Celsius o centiacutegrada ordmC
Kelvin T K= 27316 + tordmC escala termodinaacutemica de
temperatura
Fahrenheit ordmFRankine ordmR T ordmR = 45967 +tordmF
Presioacuten Sea δA una pequentildea aacuterea del sistema y
δFn la componente de la fuerza normal que actuacutea
sobre el aacuterea entonces la presioacuten se define como
A
FlimP
n
AA
donde δArsquo es el aacuterea maacutes pequentildea en que aun
estadiacutesticamente el sistema se considera como
continuo
Volumen especiacutefico Sea δV un pequentildeo volumen del sistema y δm la masa contenida en ese volumen entonces el volumen especiacutefico es
m
Vlimv
VV
donde δVrsquo es el volumen maacutes pequentildeo en que aun el sistema puede ser considerado continuo
Temperatura propiedad asociada al nivel de energiacutea cineacutetica de las moleacuteculas (o aacutetomos) de un sistema
PROPIEDADES DE UNA SUSTANCIA PURA
Sustancia pura es materia que tiene una composicioacuten quiacutemica homogeacutenea e invariable puede existir en maacutes de una fase pero su composicioacuten quiacutemica es la misma en cada una de ellas
Figura CD4
Fase de equilibrio vapor-liacutequido-soacutelido en una sustancia puraSea un sistema de 1 kg de agua contenido en un cilindro provisto de eacutembolo seguacuten se muestra en la Figura CD4 adjunta
Inicialmente el eacutembolo con las pesas mantienen una presioacuten de 1033 kgfcm2 y la temperatura es de 156ordmC Si se transmite calor al agua la temperatura subiraacute y eventualmente llegaraacute a 100ordmC y apareceraacuten los primeros vestigios de vapor si se mantiene la temperatura a 100ordmCagregaacutendole calor al sistema entonces toda el agua se vaporizaraacute Todo ello ocurriraacute a presioacuten constante de 1033 kgfcm2El concepto de temperatura de saturacioacuten se usa para el proceso de vaporizacioacuten de una sustancia pura a una presioacuten determinada la cual se denomina presioacuten de saturacioacuten
En el caso anterior se dice que la presioacuten de saturacioacuten del agua a 100ordmC es 1033 kgfcm2 Inversamente la temperatura de saturacioacuten a esa presioacuten es 100 ordmCLas sustancias puras presentan correlaciones definidas para la presioacuten y temperaturas de saturacioacuten como se ilustra en la Figura CD5
Figura CD5
La curva de la Figura CD5 se denomina curva de presioacuten de vaporLiacutequido subenfriado se denomina una estado en que la
sustancia tiene una temperatura maacutes baja que la de saturacioacuten-
Figura CD6a
Liacuteneas de cambio de estados Sea una liacutenea de presioacuten constante en la Figura CD6a El agua se calienta desde el estado inicial - punto A - de 1033 kgfcm2 y 156ordmC La sustancia comienza a variar su volumen especiacutefico y su temperatura hasta alcanzar el punto B en donde el liacutequido es saturado en el cual surge el primer vestigio de vapor en la medida que se entrega calor a la sustancia estaacute recorre la liacutenea B-C en donde pasa desde un vapor cercano a cero (B) hasta llegar a 100 en C Este uacuteltimo punto es el del vapor saturado al continuar el proceso de entrega de calor el vapor desde C a D se calienta por sobre la saturacioacuten y se denomina vapor sobrecalentadoSi el proceso a presioacuten constante parte desde el punto E (7 kgfcm2) se tendraacute una transformacioacuten similar a la anterior
Figura CD6b
Figura CD6c
Calidad o tiacutetulo de vapor Si existe una sustancia con una parte en forma liacutequida y otra como vapor a la temperatura de saturacioacuten entonces se dice que el vapor tiene tiacutetulo o calidad (caso de Figura CD2b) esta se define comomasa vapor masa total Esta cantidad es de caraacutecter intensivo
Diagrama presioacuten ndash temperatura para el agua Sea la Figura CD7 tal diagramaEn el punto denominado triple coexisten el soacutelido vapor y liacutequido Este un estado termodinaacutemico invariante Es un estado uacutenico para el agua Para cada sustancia pura existiraacute un uacutenico punto con esas caracteriacutesticas
Figura CD7
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Fase Parte homogeacutenea de un sistema en el
que cada una de las propiedades intensivas
permanecen constante en todo el conjunto
uniforme Las fases estaacuten separadas por los
liacutemites de fase
Figura CD2
Estado de la sustancia Cada fase de la
sustancia puede existir a varias presiones y
temperaturas o bien en varios estados estos
se identifican por las propiedades macroscoacutepicas
observables temperatura presioacuten densidad y temperatura
Propiedades macroscoacutepicas para una
sustancia y en un estado dado eacutestas tienen
valores definidos para ese estado en particular
independientemente coacutemo alcanzoacute ese estado
Propiedad cantidad fiacutesica que depende del
estado del sistema y es independiente de la
trayectoria (o sea de sus antecedentes
histoacutericos) de llegada a ese estado
Inversamente el estado de un sistema se especifica o describe por sus propiedades
Propiedades termodinaacutemicas intensivas y
extensivas
Equilibrio termodinaacutemico Todas las
propiedades permanecen invariables con el
tiempo Existe equilibrio simultaacuteneo en los
aspectos teacutermico mecaacutenico y material
CICLOS Y PROCESOS
Cambio de estado Se presenta cuando al menos
una de las propiedades cambia a otra magnitud
Proceso Es la trayectoria de la sucesioacuten de estados
intermedios cuando un sistema pasa desde un
estado inicial a un estado final Se clasifican en
procesos isoteacutermicos (igual temperatura) isobaacutericos
(igual presioacuten) e isomeacutetricos (igual volumen)
Ciclo Es una trayectoria particular de un sistema
que se caracteriza porque parte desde un estado
inicial dado pasa por varios cambios o procesos y
finalmente vuelve al mismo estado inicial
Figura CD3
Proceso de cuasiequilibrio es aquel en que la
desviacioacuten del equilibrio termodinaacutemico es
infinitesimal tambieacuten se denomina cuasiestaacutetico
reversible
Temperatura y sus escalas
Celsius o centiacutegrada ordmC
Kelvin T K= 27316 + tordmC escala termodinaacutemica de
temperatura
Fahrenheit ordmFRankine ordmR T ordmR = 45967 +tordmF
Presioacuten Sea δA una pequentildea aacuterea del sistema y
δFn la componente de la fuerza normal que actuacutea
sobre el aacuterea entonces la presioacuten se define como
A
FlimP
n
AA
donde δArsquo es el aacuterea maacutes pequentildea en que aun
estadiacutesticamente el sistema se considera como
continuo
Volumen especiacutefico Sea δV un pequentildeo volumen del sistema y δm la masa contenida en ese volumen entonces el volumen especiacutefico es
m
Vlimv
VV
donde δVrsquo es el volumen maacutes pequentildeo en que aun el sistema puede ser considerado continuo
Temperatura propiedad asociada al nivel de energiacutea cineacutetica de las moleacuteculas (o aacutetomos) de un sistema
PROPIEDADES DE UNA SUSTANCIA PURA
Sustancia pura es materia que tiene una composicioacuten quiacutemica homogeacutenea e invariable puede existir en maacutes de una fase pero su composicioacuten quiacutemica es la misma en cada una de ellas
Figura CD4
Fase de equilibrio vapor-liacutequido-soacutelido en una sustancia puraSea un sistema de 1 kg de agua contenido en un cilindro provisto de eacutembolo seguacuten se muestra en la Figura CD4 adjunta
Inicialmente el eacutembolo con las pesas mantienen una presioacuten de 1033 kgfcm2 y la temperatura es de 156ordmC Si se transmite calor al agua la temperatura subiraacute y eventualmente llegaraacute a 100ordmC y apareceraacuten los primeros vestigios de vapor si se mantiene la temperatura a 100ordmCagregaacutendole calor al sistema entonces toda el agua se vaporizaraacute Todo ello ocurriraacute a presioacuten constante de 1033 kgfcm2El concepto de temperatura de saturacioacuten se usa para el proceso de vaporizacioacuten de una sustancia pura a una presioacuten determinada la cual se denomina presioacuten de saturacioacuten
En el caso anterior se dice que la presioacuten de saturacioacuten del agua a 100ordmC es 1033 kgfcm2 Inversamente la temperatura de saturacioacuten a esa presioacuten es 100 ordmCLas sustancias puras presentan correlaciones definidas para la presioacuten y temperaturas de saturacioacuten como se ilustra en la Figura CD5
Figura CD5
La curva de la Figura CD5 se denomina curva de presioacuten de vaporLiacutequido subenfriado se denomina una estado en que la
sustancia tiene una temperatura maacutes baja que la de saturacioacuten-
Figura CD6a
Liacuteneas de cambio de estados Sea una liacutenea de presioacuten constante en la Figura CD6a El agua se calienta desde el estado inicial - punto A - de 1033 kgfcm2 y 156ordmC La sustancia comienza a variar su volumen especiacutefico y su temperatura hasta alcanzar el punto B en donde el liacutequido es saturado en el cual surge el primer vestigio de vapor en la medida que se entrega calor a la sustancia estaacute recorre la liacutenea B-C en donde pasa desde un vapor cercano a cero (B) hasta llegar a 100 en C Este uacuteltimo punto es el del vapor saturado al continuar el proceso de entrega de calor el vapor desde C a D se calienta por sobre la saturacioacuten y se denomina vapor sobrecalentadoSi el proceso a presioacuten constante parte desde el punto E (7 kgfcm2) se tendraacute una transformacioacuten similar a la anterior
Figura CD6b
Figura CD6c
Calidad o tiacutetulo de vapor Si existe una sustancia con una parte en forma liacutequida y otra como vapor a la temperatura de saturacioacuten entonces se dice que el vapor tiene tiacutetulo o calidad (caso de Figura CD2b) esta se define comomasa vapor masa total Esta cantidad es de caraacutecter intensivo
Diagrama presioacuten ndash temperatura para el agua Sea la Figura CD7 tal diagramaEn el punto denominado triple coexisten el soacutelido vapor y liacutequido Este un estado termodinaacutemico invariante Es un estado uacutenico para el agua Para cada sustancia pura existiraacute un uacutenico punto con esas caracteriacutesticas
Figura CD7
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Estado de la sustancia Cada fase de la
sustancia puede existir a varias presiones y
temperaturas o bien en varios estados estos
se identifican por las propiedades macroscoacutepicas
observables temperatura presioacuten densidad y temperatura
Propiedades macroscoacutepicas para una
sustancia y en un estado dado eacutestas tienen
valores definidos para ese estado en particular
independientemente coacutemo alcanzoacute ese estado
Propiedad cantidad fiacutesica que depende del
estado del sistema y es independiente de la
trayectoria (o sea de sus antecedentes
histoacutericos) de llegada a ese estado
Inversamente el estado de un sistema se especifica o describe por sus propiedades
Propiedades termodinaacutemicas intensivas y
extensivas
Equilibrio termodinaacutemico Todas las
propiedades permanecen invariables con el
tiempo Existe equilibrio simultaacuteneo en los
aspectos teacutermico mecaacutenico y material
CICLOS Y PROCESOS
Cambio de estado Se presenta cuando al menos
una de las propiedades cambia a otra magnitud
Proceso Es la trayectoria de la sucesioacuten de estados
intermedios cuando un sistema pasa desde un
estado inicial a un estado final Se clasifican en
procesos isoteacutermicos (igual temperatura) isobaacutericos
(igual presioacuten) e isomeacutetricos (igual volumen)
Ciclo Es una trayectoria particular de un sistema
que se caracteriza porque parte desde un estado
inicial dado pasa por varios cambios o procesos y
finalmente vuelve al mismo estado inicial
Figura CD3
Proceso de cuasiequilibrio es aquel en que la
desviacioacuten del equilibrio termodinaacutemico es
infinitesimal tambieacuten se denomina cuasiestaacutetico
reversible
Temperatura y sus escalas
Celsius o centiacutegrada ordmC
Kelvin T K= 27316 + tordmC escala termodinaacutemica de
temperatura
Fahrenheit ordmFRankine ordmR T ordmR = 45967 +tordmF
Presioacuten Sea δA una pequentildea aacuterea del sistema y
δFn la componente de la fuerza normal que actuacutea
sobre el aacuterea entonces la presioacuten se define como
A
FlimP
n
AA
donde δArsquo es el aacuterea maacutes pequentildea en que aun
estadiacutesticamente el sistema se considera como
continuo
Volumen especiacutefico Sea δV un pequentildeo volumen del sistema y δm la masa contenida en ese volumen entonces el volumen especiacutefico es
m
Vlimv
VV
donde δVrsquo es el volumen maacutes pequentildeo en que aun el sistema puede ser considerado continuo
Temperatura propiedad asociada al nivel de energiacutea cineacutetica de las moleacuteculas (o aacutetomos) de un sistema
PROPIEDADES DE UNA SUSTANCIA PURA
Sustancia pura es materia que tiene una composicioacuten quiacutemica homogeacutenea e invariable puede existir en maacutes de una fase pero su composicioacuten quiacutemica es la misma en cada una de ellas
Figura CD4
Fase de equilibrio vapor-liacutequido-soacutelido en una sustancia puraSea un sistema de 1 kg de agua contenido en un cilindro provisto de eacutembolo seguacuten se muestra en la Figura CD4 adjunta
Inicialmente el eacutembolo con las pesas mantienen una presioacuten de 1033 kgfcm2 y la temperatura es de 156ordmC Si se transmite calor al agua la temperatura subiraacute y eventualmente llegaraacute a 100ordmC y apareceraacuten los primeros vestigios de vapor si se mantiene la temperatura a 100ordmCagregaacutendole calor al sistema entonces toda el agua se vaporizaraacute Todo ello ocurriraacute a presioacuten constante de 1033 kgfcm2El concepto de temperatura de saturacioacuten se usa para el proceso de vaporizacioacuten de una sustancia pura a una presioacuten determinada la cual se denomina presioacuten de saturacioacuten
En el caso anterior se dice que la presioacuten de saturacioacuten del agua a 100ordmC es 1033 kgfcm2 Inversamente la temperatura de saturacioacuten a esa presioacuten es 100 ordmCLas sustancias puras presentan correlaciones definidas para la presioacuten y temperaturas de saturacioacuten como se ilustra en la Figura CD5
Figura CD5
La curva de la Figura CD5 se denomina curva de presioacuten de vaporLiacutequido subenfriado se denomina una estado en que la
sustancia tiene una temperatura maacutes baja que la de saturacioacuten-
Figura CD6a
Liacuteneas de cambio de estados Sea una liacutenea de presioacuten constante en la Figura CD6a El agua se calienta desde el estado inicial - punto A - de 1033 kgfcm2 y 156ordmC La sustancia comienza a variar su volumen especiacutefico y su temperatura hasta alcanzar el punto B en donde el liacutequido es saturado en el cual surge el primer vestigio de vapor en la medida que se entrega calor a la sustancia estaacute recorre la liacutenea B-C en donde pasa desde un vapor cercano a cero (B) hasta llegar a 100 en C Este uacuteltimo punto es el del vapor saturado al continuar el proceso de entrega de calor el vapor desde C a D se calienta por sobre la saturacioacuten y se denomina vapor sobrecalentadoSi el proceso a presioacuten constante parte desde el punto E (7 kgfcm2) se tendraacute una transformacioacuten similar a la anterior
Figura CD6b
Figura CD6c
Calidad o tiacutetulo de vapor Si existe una sustancia con una parte en forma liacutequida y otra como vapor a la temperatura de saturacioacuten entonces se dice que el vapor tiene tiacutetulo o calidad (caso de Figura CD2b) esta se define comomasa vapor masa total Esta cantidad es de caraacutecter intensivo
Diagrama presioacuten ndash temperatura para el agua Sea la Figura CD7 tal diagramaEn el punto denominado triple coexisten el soacutelido vapor y liacutequido Este un estado termodinaacutemico invariante Es un estado uacutenico para el agua Para cada sustancia pura existiraacute un uacutenico punto con esas caracteriacutesticas
Figura CD7
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Propiedad cantidad fiacutesica que depende del
estado del sistema y es independiente de la
trayectoria (o sea de sus antecedentes
histoacutericos) de llegada a ese estado
Inversamente el estado de un sistema se especifica o describe por sus propiedades
Propiedades termodinaacutemicas intensivas y
extensivas
Equilibrio termodinaacutemico Todas las
propiedades permanecen invariables con el
tiempo Existe equilibrio simultaacuteneo en los
aspectos teacutermico mecaacutenico y material
CICLOS Y PROCESOS
Cambio de estado Se presenta cuando al menos
una de las propiedades cambia a otra magnitud
Proceso Es la trayectoria de la sucesioacuten de estados
intermedios cuando un sistema pasa desde un
estado inicial a un estado final Se clasifican en
procesos isoteacutermicos (igual temperatura) isobaacutericos
(igual presioacuten) e isomeacutetricos (igual volumen)
Ciclo Es una trayectoria particular de un sistema
que se caracteriza porque parte desde un estado
inicial dado pasa por varios cambios o procesos y
finalmente vuelve al mismo estado inicial
Figura CD3
Proceso de cuasiequilibrio es aquel en que la
desviacioacuten del equilibrio termodinaacutemico es
infinitesimal tambieacuten se denomina cuasiestaacutetico
reversible
Temperatura y sus escalas
Celsius o centiacutegrada ordmC
Kelvin T K= 27316 + tordmC escala termodinaacutemica de
temperatura
Fahrenheit ordmFRankine ordmR T ordmR = 45967 +tordmF
Presioacuten Sea δA una pequentildea aacuterea del sistema y
δFn la componente de la fuerza normal que actuacutea
sobre el aacuterea entonces la presioacuten se define como
A
FlimP
n
AA
donde δArsquo es el aacuterea maacutes pequentildea en que aun
estadiacutesticamente el sistema se considera como
continuo
Volumen especiacutefico Sea δV un pequentildeo volumen del sistema y δm la masa contenida en ese volumen entonces el volumen especiacutefico es
m
Vlimv
VV
donde δVrsquo es el volumen maacutes pequentildeo en que aun el sistema puede ser considerado continuo
Temperatura propiedad asociada al nivel de energiacutea cineacutetica de las moleacuteculas (o aacutetomos) de un sistema
PROPIEDADES DE UNA SUSTANCIA PURA
Sustancia pura es materia que tiene una composicioacuten quiacutemica homogeacutenea e invariable puede existir en maacutes de una fase pero su composicioacuten quiacutemica es la misma en cada una de ellas
Figura CD4
Fase de equilibrio vapor-liacutequido-soacutelido en una sustancia puraSea un sistema de 1 kg de agua contenido en un cilindro provisto de eacutembolo seguacuten se muestra en la Figura CD4 adjunta
Inicialmente el eacutembolo con las pesas mantienen una presioacuten de 1033 kgfcm2 y la temperatura es de 156ordmC Si se transmite calor al agua la temperatura subiraacute y eventualmente llegaraacute a 100ordmC y apareceraacuten los primeros vestigios de vapor si se mantiene la temperatura a 100ordmCagregaacutendole calor al sistema entonces toda el agua se vaporizaraacute Todo ello ocurriraacute a presioacuten constante de 1033 kgfcm2El concepto de temperatura de saturacioacuten se usa para el proceso de vaporizacioacuten de una sustancia pura a una presioacuten determinada la cual se denomina presioacuten de saturacioacuten
En el caso anterior se dice que la presioacuten de saturacioacuten del agua a 100ordmC es 1033 kgfcm2 Inversamente la temperatura de saturacioacuten a esa presioacuten es 100 ordmCLas sustancias puras presentan correlaciones definidas para la presioacuten y temperaturas de saturacioacuten como se ilustra en la Figura CD5
Figura CD5
La curva de la Figura CD5 se denomina curva de presioacuten de vaporLiacutequido subenfriado se denomina una estado en que la
sustancia tiene una temperatura maacutes baja que la de saturacioacuten-
Figura CD6a
Liacuteneas de cambio de estados Sea una liacutenea de presioacuten constante en la Figura CD6a El agua se calienta desde el estado inicial - punto A - de 1033 kgfcm2 y 156ordmC La sustancia comienza a variar su volumen especiacutefico y su temperatura hasta alcanzar el punto B en donde el liacutequido es saturado en el cual surge el primer vestigio de vapor en la medida que se entrega calor a la sustancia estaacute recorre la liacutenea B-C en donde pasa desde un vapor cercano a cero (B) hasta llegar a 100 en C Este uacuteltimo punto es el del vapor saturado al continuar el proceso de entrega de calor el vapor desde C a D se calienta por sobre la saturacioacuten y se denomina vapor sobrecalentadoSi el proceso a presioacuten constante parte desde el punto E (7 kgfcm2) se tendraacute una transformacioacuten similar a la anterior
Figura CD6b
Figura CD6c
Calidad o tiacutetulo de vapor Si existe una sustancia con una parte en forma liacutequida y otra como vapor a la temperatura de saturacioacuten entonces se dice que el vapor tiene tiacutetulo o calidad (caso de Figura CD2b) esta se define comomasa vapor masa total Esta cantidad es de caraacutecter intensivo
Diagrama presioacuten ndash temperatura para el agua Sea la Figura CD7 tal diagramaEn el punto denominado triple coexisten el soacutelido vapor y liacutequido Este un estado termodinaacutemico invariante Es un estado uacutenico para el agua Para cada sustancia pura existiraacute un uacutenico punto con esas caracteriacutesticas
Figura CD7
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
CICLOS Y PROCESOS
Cambio de estado Se presenta cuando al menos
una de las propiedades cambia a otra magnitud
Proceso Es la trayectoria de la sucesioacuten de estados
intermedios cuando un sistema pasa desde un
estado inicial a un estado final Se clasifican en
procesos isoteacutermicos (igual temperatura) isobaacutericos
(igual presioacuten) e isomeacutetricos (igual volumen)
Ciclo Es una trayectoria particular de un sistema
que se caracteriza porque parte desde un estado
inicial dado pasa por varios cambios o procesos y
finalmente vuelve al mismo estado inicial
Figura CD3
Proceso de cuasiequilibrio es aquel en que la
desviacioacuten del equilibrio termodinaacutemico es
infinitesimal tambieacuten se denomina cuasiestaacutetico
reversible
Temperatura y sus escalas
Celsius o centiacutegrada ordmC
Kelvin T K= 27316 + tordmC escala termodinaacutemica de
temperatura
Fahrenheit ordmFRankine ordmR T ordmR = 45967 +tordmF
Presioacuten Sea δA una pequentildea aacuterea del sistema y
δFn la componente de la fuerza normal que actuacutea
sobre el aacuterea entonces la presioacuten se define como
A
FlimP
n
AA
donde δArsquo es el aacuterea maacutes pequentildea en que aun
estadiacutesticamente el sistema se considera como
continuo
Volumen especiacutefico Sea δV un pequentildeo volumen del sistema y δm la masa contenida en ese volumen entonces el volumen especiacutefico es
m
Vlimv
VV
donde δVrsquo es el volumen maacutes pequentildeo en que aun el sistema puede ser considerado continuo
Temperatura propiedad asociada al nivel de energiacutea cineacutetica de las moleacuteculas (o aacutetomos) de un sistema
PROPIEDADES DE UNA SUSTANCIA PURA
Sustancia pura es materia que tiene una composicioacuten quiacutemica homogeacutenea e invariable puede existir en maacutes de una fase pero su composicioacuten quiacutemica es la misma en cada una de ellas
Figura CD4
Fase de equilibrio vapor-liacutequido-soacutelido en una sustancia puraSea un sistema de 1 kg de agua contenido en un cilindro provisto de eacutembolo seguacuten se muestra en la Figura CD4 adjunta
Inicialmente el eacutembolo con las pesas mantienen una presioacuten de 1033 kgfcm2 y la temperatura es de 156ordmC Si se transmite calor al agua la temperatura subiraacute y eventualmente llegaraacute a 100ordmC y apareceraacuten los primeros vestigios de vapor si se mantiene la temperatura a 100ordmCagregaacutendole calor al sistema entonces toda el agua se vaporizaraacute Todo ello ocurriraacute a presioacuten constante de 1033 kgfcm2El concepto de temperatura de saturacioacuten se usa para el proceso de vaporizacioacuten de una sustancia pura a una presioacuten determinada la cual se denomina presioacuten de saturacioacuten
En el caso anterior se dice que la presioacuten de saturacioacuten del agua a 100ordmC es 1033 kgfcm2 Inversamente la temperatura de saturacioacuten a esa presioacuten es 100 ordmCLas sustancias puras presentan correlaciones definidas para la presioacuten y temperaturas de saturacioacuten como se ilustra en la Figura CD5
Figura CD5
La curva de la Figura CD5 se denomina curva de presioacuten de vaporLiacutequido subenfriado se denomina una estado en que la
sustancia tiene una temperatura maacutes baja que la de saturacioacuten-
Figura CD6a
Liacuteneas de cambio de estados Sea una liacutenea de presioacuten constante en la Figura CD6a El agua se calienta desde el estado inicial - punto A - de 1033 kgfcm2 y 156ordmC La sustancia comienza a variar su volumen especiacutefico y su temperatura hasta alcanzar el punto B en donde el liacutequido es saturado en el cual surge el primer vestigio de vapor en la medida que se entrega calor a la sustancia estaacute recorre la liacutenea B-C en donde pasa desde un vapor cercano a cero (B) hasta llegar a 100 en C Este uacuteltimo punto es el del vapor saturado al continuar el proceso de entrega de calor el vapor desde C a D se calienta por sobre la saturacioacuten y se denomina vapor sobrecalentadoSi el proceso a presioacuten constante parte desde el punto E (7 kgfcm2) se tendraacute una transformacioacuten similar a la anterior
Figura CD6b
Figura CD6c
Calidad o tiacutetulo de vapor Si existe una sustancia con una parte en forma liacutequida y otra como vapor a la temperatura de saturacioacuten entonces se dice que el vapor tiene tiacutetulo o calidad (caso de Figura CD2b) esta se define comomasa vapor masa total Esta cantidad es de caraacutecter intensivo
Diagrama presioacuten ndash temperatura para el agua Sea la Figura CD7 tal diagramaEn el punto denominado triple coexisten el soacutelido vapor y liacutequido Este un estado termodinaacutemico invariante Es un estado uacutenico para el agua Para cada sustancia pura existiraacute un uacutenico punto con esas caracteriacutesticas
Figura CD7
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Figura CD3
Proceso de cuasiequilibrio es aquel en que la
desviacioacuten del equilibrio termodinaacutemico es
infinitesimal tambieacuten se denomina cuasiestaacutetico
reversible
Temperatura y sus escalas
Celsius o centiacutegrada ordmC
Kelvin T K= 27316 + tordmC escala termodinaacutemica de
temperatura
Fahrenheit ordmFRankine ordmR T ordmR = 45967 +tordmF
Presioacuten Sea δA una pequentildea aacuterea del sistema y
δFn la componente de la fuerza normal que actuacutea
sobre el aacuterea entonces la presioacuten se define como
A
FlimP
n
AA
donde δArsquo es el aacuterea maacutes pequentildea en que aun
estadiacutesticamente el sistema se considera como
continuo
Volumen especiacutefico Sea δV un pequentildeo volumen del sistema y δm la masa contenida en ese volumen entonces el volumen especiacutefico es
m
Vlimv
VV
donde δVrsquo es el volumen maacutes pequentildeo en que aun el sistema puede ser considerado continuo
Temperatura propiedad asociada al nivel de energiacutea cineacutetica de las moleacuteculas (o aacutetomos) de un sistema
PROPIEDADES DE UNA SUSTANCIA PURA
Sustancia pura es materia que tiene una composicioacuten quiacutemica homogeacutenea e invariable puede existir en maacutes de una fase pero su composicioacuten quiacutemica es la misma en cada una de ellas
Figura CD4
Fase de equilibrio vapor-liacutequido-soacutelido en una sustancia puraSea un sistema de 1 kg de agua contenido en un cilindro provisto de eacutembolo seguacuten se muestra en la Figura CD4 adjunta
Inicialmente el eacutembolo con las pesas mantienen una presioacuten de 1033 kgfcm2 y la temperatura es de 156ordmC Si se transmite calor al agua la temperatura subiraacute y eventualmente llegaraacute a 100ordmC y apareceraacuten los primeros vestigios de vapor si se mantiene la temperatura a 100ordmCagregaacutendole calor al sistema entonces toda el agua se vaporizaraacute Todo ello ocurriraacute a presioacuten constante de 1033 kgfcm2El concepto de temperatura de saturacioacuten se usa para el proceso de vaporizacioacuten de una sustancia pura a una presioacuten determinada la cual se denomina presioacuten de saturacioacuten
En el caso anterior se dice que la presioacuten de saturacioacuten del agua a 100ordmC es 1033 kgfcm2 Inversamente la temperatura de saturacioacuten a esa presioacuten es 100 ordmCLas sustancias puras presentan correlaciones definidas para la presioacuten y temperaturas de saturacioacuten como se ilustra en la Figura CD5
Figura CD5
La curva de la Figura CD5 se denomina curva de presioacuten de vaporLiacutequido subenfriado se denomina una estado en que la
sustancia tiene una temperatura maacutes baja que la de saturacioacuten-
Figura CD6a
Liacuteneas de cambio de estados Sea una liacutenea de presioacuten constante en la Figura CD6a El agua se calienta desde el estado inicial - punto A - de 1033 kgfcm2 y 156ordmC La sustancia comienza a variar su volumen especiacutefico y su temperatura hasta alcanzar el punto B en donde el liacutequido es saturado en el cual surge el primer vestigio de vapor en la medida que se entrega calor a la sustancia estaacute recorre la liacutenea B-C en donde pasa desde un vapor cercano a cero (B) hasta llegar a 100 en C Este uacuteltimo punto es el del vapor saturado al continuar el proceso de entrega de calor el vapor desde C a D se calienta por sobre la saturacioacuten y se denomina vapor sobrecalentadoSi el proceso a presioacuten constante parte desde el punto E (7 kgfcm2) se tendraacute una transformacioacuten similar a la anterior
Figura CD6b
Figura CD6c
Calidad o tiacutetulo de vapor Si existe una sustancia con una parte en forma liacutequida y otra como vapor a la temperatura de saturacioacuten entonces se dice que el vapor tiene tiacutetulo o calidad (caso de Figura CD2b) esta se define comomasa vapor masa total Esta cantidad es de caraacutecter intensivo
Diagrama presioacuten ndash temperatura para el agua Sea la Figura CD7 tal diagramaEn el punto denominado triple coexisten el soacutelido vapor y liacutequido Este un estado termodinaacutemico invariante Es un estado uacutenico para el agua Para cada sustancia pura existiraacute un uacutenico punto con esas caracteriacutesticas
Figura CD7
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Temperatura y sus escalas
Celsius o centiacutegrada ordmC
Kelvin T K= 27316 + tordmC escala termodinaacutemica de
temperatura
Fahrenheit ordmFRankine ordmR T ordmR = 45967 +tordmF
Presioacuten Sea δA una pequentildea aacuterea del sistema y
δFn la componente de la fuerza normal que actuacutea
sobre el aacuterea entonces la presioacuten se define como
A
FlimP
n
AA
donde δArsquo es el aacuterea maacutes pequentildea en que aun
estadiacutesticamente el sistema se considera como
continuo
Volumen especiacutefico Sea δV un pequentildeo volumen del sistema y δm la masa contenida en ese volumen entonces el volumen especiacutefico es
m
Vlimv
VV
donde δVrsquo es el volumen maacutes pequentildeo en que aun el sistema puede ser considerado continuo
Temperatura propiedad asociada al nivel de energiacutea cineacutetica de las moleacuteculas (o aacutetomos) de un sistema
PROPIEDADES DE UNA SUSTANCIA PURA
Sustancia pura es materia que tiene una composicioacuten quiacutemica homogeacutenea e invariable puede existir en maacutes de una fase pero su composicioacuten quiacutemica es la misma en cada una de ellas
Figura CD4
Fase de equilibrio vapor-liacutequido-soacutelido en una sustancia puraSea un sistema de 1 kg de agua contenido en un cilindro provisto de eacutembolo seguacuten se muestra en la Figura CD4 adjunta
Inicialmente el eacutembolo con las pesas mantienen una presioacuten de 1033 kgfcm2 y la temperatura es de 156ordmC Si se transmite calor al agua la temperatura subiraacute y eventualmente llegaraacute a 100ordmC y apareceraacuten los primeros vestigios de vapor si se mantiene la temperatura a 100ordmCagregaacutendole calor al sistema entonces toda el agua se vaporizaraacute Todo ello ocurriraacute a presioacuten constante de 1033 kgfcm2El concepto de temperatura de saturacioacuten se usa para el proceso de vaporizacioacuten de una sustancia pura a una presioacuten determinada la cual se denomina presioacuten de saturacioacuten
En el caso anterior se dice que la presioacuten de saturacioacuten del agua a 100ordmC es 1033 kgfcm2 Inversamente la temperatura de saturacioacuten a esa presioacuten es 100 ordmCLas sustancias puras presentan correlaciones definidas para la presioacuten y temperaturas de saturacioacuten como se ilustra en la Figura CD5
Figura CD5
La curva de la Figura CD5 se denomina curva de presioacuten de vaporLiacutequido subenfriado se denomina una estado en que la
sustancia tiene una temperatura maacutes baja que la de saturacioacuten-
Figura CD6a
Liacuteneas de cambio de estados Sea una liacutenea de presioacuten constante en la Figura CD6a El agua se calienta desde el estado inicial - punto A - de 1033 kgfcm2 y 156ordmC La sustancia comienza a variar su volumen especiacutefico y su temperatura hasta alcanzar el punto B en donde el liacutequido es saturado en el cual surge el primer vestigio de vapor en la medida que se entrega calor a la sustancia estaacute recorre la liacutenea B-C en donde pasa desde un vapor cercano a cero (B) hasta llegar a 100 en C Este uacuteltimo punto es el del vapor saturado al continuar el proceso de entrega de calor el vapor desde C a D se calienta por sobre la saturacioacuten y se denomina vapor sobrecalentadoSi el proceso a presioacuten constante parte desde el punto E (7 kgfcm2) se tendraacute una transformacioacuten similar a la anterior
Figura CD6b
Figura CD6c
Calidad o tiacutetulo de vapor Si existe una sustancia con una parte en forma liacutequida y otra como vapor a la temperatura de saturacioacuten entonces se dice que el vapor tiene tiacutetulo o calidad (caso de Figura CD2b) esta se define comomasa vapor masa total Esta cantidad es de caraacutecter intensivo
Diagrama presioacuten ndash temperatura para el agua Sea la Figura CD7 tal diagramaEn el punto denominado triple coexisten el soacutelido vapor y liacutequido Este un estado termodinaacutemico invariante Es un estado uacutenico para el agua Para cada sustancia pura existiraacute un uacutenico punto con esas caracteriacutesticas
Figura CD7
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
donde δArsquo es el aacuterea maacutes pequentildea en que aun
estadiacutesticamente el sistema se considera como
continuo
Volumen especiacutefico Sea δV un pequentildeo volumen del sistema y δm la masa contenida en ese volumen entonces el volumen especiacutefico es
m
Vlimv
VV
donde δVrsquo es el volumen maacutes pequentildeo en que aun el sistema puede ser considerado continuo
Temperatura propiedad asociada al nivel de energiacutea cineacutetica de las moleacuteculas (o aacutetomos) de un sistema
PROPIEDADES DE UNA SUSTANCIA PURA
Sustancia pura es materia que tiene una composicioacuten quiacutemica homogeacutenea e invariable puede existir en maacutes de una fase pero su composicioacuten quiacutemica es la misma en cada una de ellas
Figura CD4
Fase de equilibrio vapor-liacutequido-soacutelido en una sustancia puraSea un sistema de 1 kg de agua contenido en un cilindro provisto de eacutembolo seguacuten se muestra en la Figura CD4 adjunta
Inicialmente el eacutembolo con las pesas mantienen una presioacuten de 1033 kgfcm2 y la temperatura es de 156ordmC Si se transmite calor al agua la temperatura subiraacute y eventualmente llegaraacute a 100ordmC y apareceraacuten los primeros vestigios de vapor si se mantiene la temperatura a 100ordmCagregaacutendole calor al sistema entonces toda el agua se vaporizaraacute Todo ello ocurriraacute a presioacuten constante de 1033 kgfcm2El concepto de temperatura de saturacioacuten se usa para el proceso de vaporizacioacuten de una sustancia pura a una presioacuten determinada la cual se denomina presioacuten de saturacioacuten
En el caso anterior se dice que la presioacuten de saturacioacuten del agua a 100ordmC es 1033 kgfcm2 Inversamente la temperatura de saturacioacuten a esa presioacuten es 100 ordmCLas sustancias puras presentan correlaciones definidas para la presioacuten y temperaturas de saturacioacuten como se ilustra en la Figura CD5
Figura CD5
La curva de la Figura CD5 se denomina curva de presioacuten de vaporLiacutequido subenfriado se denomina una estado en que la
sustancia tiene una temperatura maacutes baja que la de saturacioacuten-
Figura CD6a
Liacuteneas de cambio de estados Sea una liacutenea de presioacuten constante en la Figura CD6a El agua se calienta desde el estado inicial - punto A - de 1033 kgfcm2 y 156ordmC La sustancia comienza a variar su volumen especiacutefico y su temperatura hasta alcanzar el punto B en donde el liacutequido es saturado en el cual surge el primer vestigio de vapor en la medida que se entrega calor a la sustancia estaacute recorre la liacutenea B-C en donde pasa desde un vapor cercano a cero (B) hasta llegar a 100 en C Este uacuteltimo punto es el del vapor saturado al continuar el proceso de entrega de calor el vapor desde C a D se calienta por sobre la saturacioacuten y se denomina vapor sobrecalentadoSi el proceso a presioacuten constante parte desde el punto E (7 kgfcm2) se tendraacute una transformacioacuten similar a la anterior
Figura CD6b
Figura CD6c
Calidad o tiacutetulo de vapor Si existe una sustancia con una parte en forma liacutequida y otra como vapor a la temperatura de saturacioacuten entonces se dice que el vapor tiene tiacutetulo o calidad (caso de Figura CD2b) esta se define comomasa vapor masa total Esta cantidad es de caraacutecter intensivo
Diagrama presioacuten ndash temperatura para el agua Sea la Figura CD7 tal diagramaEn el punto denominado triple coexisten el soacutelido vapor y liacutequido Este un estado termodinaacutemico invariante Es un estado uacutenico para el agua Para cada sustancia pura existiraacute un uacutenico punto con esas caracteriacutesticas
Figura CD7
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Temperatura propiedad asociada al nivel de energiacutea cineacutetica de las moleacuteculas (o aacutetomos) de un sistema
PROPIEDADES DE UNA SUSTANCIA PURA
Sustancia pura es materia que tiene una composicioacuten quiacutemica homogeacutenea e invariable puede existir en maacutes de una fase pero su composicioacuten quiacutemica es la misma en cada una de ellas
Figura CD4
Fase de equilibrio vapor-liacutequido-soacutelido en una sustancia puraSea un sistema de 1 kg de agua contenido en un cilindro provisto de eacutembolo seguacuten se muestra en la Figura CD4 adjunta
Inicialmente el eacutembolo con las pesas mantienen una presioacuten de 1033 kgfcm2 y la temperatura es de 156ordmC Si se transmite calor al agua la temperatura subiraacute y eventualmente llegaraacute a 100ordmC y apareceraacuten los primeros vestigios de vapor si se mantiene la temperatura a 100ordmCagregaacutendole calor al sistema entonces toda el agua se vaporizaraacute Todo ello ocurriraacute a presioacuten constante de 1033 kgfcm2El concepto de temperatura de saturacioacuten se usa para el proceso de vaporizacioacuten de una sustancia pura a una presioacuten determinada la cual se denomina presioacuten de saturacioacuten
En el caso anterior se dice que la presioacuten de saturacioacuten del agua a 100ordmC es 1033 kgfcm2 Inversamente la temperatura de saturacioacuten a esa presioacuten es 100 ordmCLas sustancias puras presentan correlaciones definidas para la presioacuten y temperaturas de saturacioacuten como se ilustra en la Figura CD5
Figura CD5
La curva de la Figura CD5 se denomina curva de presioacuten de vaporLiacutequido subenfriado se denomina una estado en que la
sustancia tiene una temperatura maacutes baja que la de saturacioacuten-
Figura CD6a
Liacuteneas de cambio de estados Sea una liacutenea de presioacuten constante en la Figura CD6a El agua se calienta desde el estado inicial - punto A - de 1033 kgfcm2 y 156ordmC La sustancia comienza a variar su volumen especiacutefico y su temperatura hasta alcanzar el punto B en donde el liacutequido es saturado en el cual surge el primer vestigio de vapor en la medida que se entrega calor a la sustancia estaacute recorre la liacutenea B-C en donde pasa desde un vapor cercano a cero (B) hasta llegar a 100 en C Este uacuteltimo punto es el del vapor saturado al continuar el proceso de entrega de calor el vapor desde C a D se calienta por sobre la saturacioacuten y se denomina vapor sobrecalentadoSi el proceso a presioacuten constante parte desde el punto E (7 kgfcm2) se tendraacute una transformacioacuten similar a la anterior
Figura CD6b
Figura CD6c
Calidad o tiacutetulo de vapor Si existe una sustancia con una parte en forma liacutequida y otra como vapor a la temperatura de saturacioacuten entonces se dice que el vapor tiene tiacutetulo o calidad (caso de Figura CD2b) esta se define comomasa vapor masa total Esta cantidad es de caraacutecter intensivo
Diagrama presioacuten ndash temperatura para el agua Sea la Figura CD7 tal diagramaEn el punto denominado triple coexisten el soacutelido vapor y liacutequido Este un estado termodinaacutemico invariante Es un estado uacutenico para el agua Para cada sustancia pura existiraacute un uacutenico punto con esas caracteriacutesticas
Figura CD7
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Figura CD4
Fase de equilibrio vapor-liacutequido-soacutelido en una sustancia puraSea un sistema de 1 kg de agua contenido en un cilindro provisto de eacutembolo seguacuten se muestra en la Figura CD4 adjunta
Inicialmente el eacutembolo con las pesas mantienen una presioacuten de 1033 kgfcm2 y la temperatura es de 156ordmC Si se transmite calor al agua la temperatura subiraacute y eventualmente llegaraacute a 100ordmC y apareceraacuten los primeros vestigios de vapor si se mantiene la temperatura a 100ordmCagregaacutendole calor al sistema entonces toda el agua se vaporizaraacute Todo ello ocurriraacute a presioacuten constante de 1033 kgfcm2El concepto de temperatura de saturacioacuten se usa para el proceso de vaporizacioacuten de una sustancia pura a una presioacuten determinada la cual se denomina presioacuten de saturacioacuten
En el caso anterior se dice que la presioacuten de saturacioacuten del agua a 100ordmC es 1033 kgfcm2 Inversamente la temperatura de saturacioacuten a esa presioacuten es 100 ordmCLas sustancias puras presentan correlaciones definidas para la presioacuten y temperaturas de saturacioacuten como se ilustra en la Figura CD5
Figura CD5
La curva de la Figura CD5 se denomina curva de presioacuten de vaporLiacutequido subenfriado se denomina una estado en que la
sustancia tiene una temperatura maacutes baja que la de saturacioacuten-
Figura CD6a
Liacuteneas de cambio de estados Sea una liacutenea de presioacuten constante en la Figura CD6a El agua se calienta desde el estado inicial - punto A - de 1033 kgfcm2 y 156ordmC La sustancia comienza a variar su volumen especiacutefico y su temperatura hasta alcanzar el punto B en donde el liacutequido es saturado en el cual surge el primer vestigio de vapor en la medida que se entrega calor a la sustancia estaacute recorre la liacutenea B-C en donde pasa desde un vapor cercano a cero (B) hasta llegar a 100 en C Este uacuteltimo punto es el del vapor saturado al continuar el proceso de entrega de calor el vapor desde C a D se calienta por sobre la saturacioacuten y se denomina vapor sobrecalentadoSi el proceso a presioacuten constante parte desde el punto E (7 kgfcm2) se tendraacute una transformacioacuten similar a la anterior
Figura CD6b
Figura CD6c
Calidad o tiacutetulo de vapor Si existe una sustancia con una parte en forma liacutequida y otra como vapor a la temperatura de saturacioacuten entonces se dice que el vapor tiene tiacutetulo o calidad (caso de Figura CD2b) esta se define comomasa vapor masa total Esta cantidad es de caraacutecter intensivo
Diagrama presioacuten ndash temperatura para el agua Sea la Figura CD7 tal diagramaEn el punto denominado triple coexisten el soacutelido vapor y liacutequido Este un estado termodinaacutemico invariante Es un estado uacutenico para el agua Para cada sustancia pura existiraacute un uacutenico punto con esas caracteriacutesticas
Figura CD7
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Inicialmente el eacutembolo con las pesas mantienen una presioacuten de 1033 kgfcm2 y la temperatura es de 156ordmC Si se transmite calor al agua la temperatura subiraacute y eventualmente llegaraacute a 100ordmC y apareceraacuten los primeros vestigios de vapor si se mantiene la temperatura a 100ordmCagregaacutendole calor al sistema entonces toda el agua se vaporizaraacute Todo ello ocurriraacute a presioacuten constante de 1033 kgfcm2El concepto de temperatura de saturacioacuten se usa para el proceso de vaporizacioacuten de una sustancia pura a una presioacuten determinada la cual se denomina presioacuten de saturacioacuten
En el caso anterior se dice que la presioacuten de saturacioacuten del agua a 100ordmC es 1033 kgfcm2 Inversamente la temperatura de saturacioacuten a esa presioacuten es 100 ordmCLas sustancias puras presentan correlaciones definidas para la presioacuten y temperaturas de saturacioacuten como se ilustra en la Figura CD5
Figura CD5
La curva de la Figura CD5 se denomina curva de presioacuten de vaporLiacutequido subenfriado se denomina una estado en que la
sustancia tiene una temperatura maacutes baja que la de saturacioacuten-
Figura CD6a
Liacuteneas de cambio de estados Sea una liacutenea de presioacuten constante en la Figura CD6a El agua se calienta desde el estado inicial - punto A - de 1033 kgfcm2 y 156ordmC La sustancia comienza a variar su volumen especiacutefico y su temperatura hasta alcanzar el punto B en donde el liacutequido es saturado en el cual surge el primer vestigio de vapor en la medida que se entrega calor a la sustancia estaacute recorre la liacutenea B-C en donde pasa desde un vapor cercano a cero (B) hasta llegar a 100 en C Este uacuteltimo punto es el del vapor saturado al continuar el proceso de entrega de calor el vapor desde C a D se calienta por sobre la saturacioacuten y se denomina vapor sobrecalentadoSi el proceso a presioacuten constante parte desde el punto E (7 kgfcm2) se tendraacute una transformacioacuten similar a la anterior
Figura CD6b
Figura CD6c
Calidad o tiacutetulo de vapor Si existe una sustancia con una parte en forma liacutequida y otra como vapor a la temperatura de saturacioacuten entonces se dice que el vapor tiene tiacutetulo o calidad (caso de Figura CD2b) esta se define comomasa vapor masa total Esta cantidad es de caraacutecter intensivo
Diagrama presioacuten ndash temperatura para el agua Sea la Figura CD7 tal diagramaEn el punto denominado triple coexisten el soacutelido vapor y liacutequido Este un estado termodinaacutemico invariante Es un estado uacutenico para el agua Para cada sustancia pura existiraacute un uacutenico punto con esas caracteriacutesticas
Figura CD7
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
En el caso anterior se dice que la presioacuten de saturacioacuten del agua a 100ordmC es 1033 kgfcm2 Inversamente la temperatura de saturacioacuten a esa presioacuten es 100 ordmCLas sustancias puras presentan correlaciones definidas para la presioacuten y temperaturas de saturacioacuten como se ilustra en la Figura CD5
Figura CD5
La curva de la Figura CD5 se denomina curva de presioacuten de vaporLiacutequido subenfriado se denomina una estado en que la
sustancia tiene una temperatura maacutes baja que la de saturacioacuten-
Figura CD6a
Liacuteneas de cambio de estados Sea una liacutenea de presioacuten constante en la Figura CD6a El agua se calienta desde el estado inicial - punto A - de 1033 kgfcm2 y 156ordmC La sustancia comienza a variar su volumen especiacutefico y su temperatura hasta alcanzar el punto B en donde el liacutequido es saturado en el cual surge el primer vestigio de vapor en la medida que se entrega calor a la sustancia estaacute recorre la liacutenea B-C en donde pasa desde un vapor cercano a cero (B) hasta llegar a 100 en C Este uacuteltimo punto es el del vapor saturado al continuar el proceso de entrega de calor el vapor desde C a D se calienta por sobre la saturacioacuten y se denomina vapor sobrecalentadoSi el proceso a presioacuten constante parte desde el punto E (7 kgfcm2) se tendraacute una transformacioacuten similar a la anterior
Figura CD6b
Figura CD6c
Calidad o tiacutetulo de vapor Si existe una sustancia con una parte en forma liacutequida y otra como vapor a la temperatura de saturacioacuten entonces se dice que el vapor tiene tiacutetulo o calidad (caso de Figura CD2b) esta se define comomasa vapor masa total Esta cantidad es de caraacutecter intensivo
Diagrama presioacuten ndash temperatura para el agua Sea la Figura CD7 tal diagramaEn el punto denominado triple coexisten el soacutelido vapor y liacutequido Este un estado termodinaacutemico invariante Es un estado uacutenico para el agua Para cada sustancia pura existiraacute un uacutenico punto con esas caracteriacutesticas
Figura CD7
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
La curva de la Figura CD5 se denomina curva de presioacuten de vaporLiacutequido subenfriado se denomina una estado en que la
sustancia tiene una temperatura maacutes baja que la de saturacioacuten-
Figura CD6a
Liacuteneas de cambio de estados Sea una liacutenea de presioacuten constante en la Figura CD6a El agua se calienta desde el estado inicial - punto A - de 1033 kgfcm2 y 156ordmC La sustancia comienza a variar su volumen especiacutefico y su temperatura hasta alcanzar el punto B en donde el liacutequido es saturado en el cual surge el primer vestigio de vapor en la medida que se entrega calor a la sustancia estaacute recorre la liacutenea B-C en donde pasa desde un vapor cercano a cero (B) hasta llegar a 100 en C Este uacuteltimo punto es el del vapor saturado al continuar el proceso de entrega de calor el vapor desde C a D se calienta por sobre la saturacioacuten y se denomina vapor sobrecalentadoSi el proceso a presioacuten constante parte desde el punto E (7 kgfcm2) se tendraacute una transformacioacuten similar a la anterior
Figura CD6b
Figura CD6c
Calidad o tiacutetulo de vapor Si existe una sustancia con una parte en forma liacutequida y otra como vapor a la temperatura de saturacioacuten entonces se dice que el vapor tiene tiacutetulo o calidad (caso de Figura CD2b) esta se define comomasa vapor masa total Esta cantidad es de caraacutecter intensivo
Diagrama presioacuten ndash temperatura para el agua Sea la Figura CD7 tal diagramaEn el punto denominado triple coexisten el soacutelido vapor y liacutequido Este un estado termodinaacutemico invariante Es un estado uacutenico para el agua Para cada sustancia pura existiraacute un uacutenico punto con esas caracteriacutesticas
Figura CD7
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Figura CD6a
Liacuteneas de cambio de estados Sea una liacutenea de presioacuten constante en la Figura CD6a El agua se calienta desde el estado inicial - punto A - de 1033 kgfcm2 y 156ordmC La sustancia comienza a variar su volumen especiacutefico y su temperatura hasta alcanzar el punto B en donde el liacutequido es saturado en el cual surge el primer vestigio de vapor en la medida que se entrega calor a la sustancia estaacute recorre la liacutenea B-C en donde pasa desde un vapor cercano a cero (B) hasta llegar a 100 en C Este uacuteltimo punto es el del vapor saturado al continuar el proceso de entrega de calor el vapor desde C a D se calienta por sobre la saturacioacuten y se denomina vapor sobrecalentadoSi el proceso a presioacuten constante parte desde el punto E (7 kgfcm2) se tendraacute una transformacioacuten similar a la anterior
Figura CD6b
Figura CD6c
Calidad o tiacutetulo de vapor Si existe una sustancia con una parte en forma liacutequida y otra como vapor a la temperatura de saturacioacuten entonces se dice que el vapor tiene tiacutetulo o calidad (caso de Figura CD2b) esta se define comomasa vapor masa total Esta cantidad es de caraacutecter intensivo
Diagrama presioacuten ndash temperatura para el agua Sea la Figura CD7 tal diagramaEn el punto denominado triple coexisten el soacutelido vapor y liacutequido Este un estado termodinaacutemico invariante Es un estado uacutenico para el agua Para cada sustancia pura existiraacute un uacutenico punto con esas caracteriacutesticas
Figura CD7
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Liacuteneas de cambio de estados Sea una liacutenea de presioacuten constante en la Figura CD6a El agua se calienta desde el estado inicial - punto A - de 1033 kgfcm2 y 156ordmC La sustancia comienza a variar su volumen especiacutefico y su temperatura hasta alcanzar el punto B en donde el liacutequido es saturado en el cual surge el primer vestigio de vapor en la medida que se entrega calor a la sustancia estaacute recorre la liacutenea B-C en donde pasa desde un vapor cercano a cero (B) hasta llegar a 100 en C Este uacuteltimo punto es el del vapor saturado al continuar el proceso de entrega de calor el vapor desde C a D se calienta por sobre la saturacioacuten y se denomina vapor sobrecalentadoSi el proceso a presioacuten constante parte desde el punto E (7 kgfcm2) se tendraacute una transformacioacuten similar a la anterior
Figura CD6b
Figura CD6c
Calidad o tiacutetulo de vapor Si existe una sustancia con una parte en forma liacutequida y otra como vapor a la temperatura de saturacioacuten entonces se dice que el vapor tiene tiacutetulo o calidad (caso de Figura CD2b) esta se define comomasa vapor masa total Esta cantidad es de caraacutecter intensivo
Diagrama presioacuten ndash temperatura para el agua Sea la Figura CD7 tal diagramaEn el punto denominado triple coexisten el soacutelido vapor y liacutequido Este un estado termodinaacutemico invariante Es un estado uacutenico para el agua Para cada sustancia pura existiraacute un uacutenico punto con esas caracteriacutesticas
Figura CD7
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Figura CD6b
Figura CD6c
Calidad o tiacutetulo de vapor Si existe una sustancia con una parte en forma liacutequida y otra como vapor a la temperatura de saturacioacuten entonces se dice que el vapor tiene tiacutetulo o calidad (caso de Figura CD2b) esta se define comomasa vapor masa total Esta cantidad es de caraacutecter intensivo
Diagrama presioacuten ndash temperatura para el agua Sea la Figura CD7 tal diagramaEn el punto denominado triple coexisten el soacutelido vapor y liacutequido Este un estado termodinaacutemico invariante Es un estado uacutenico para el agua Para cada sustancia pura existiraacute un uacutenico punto con esas caracteriacutesticas
Figura CD7
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Figura CD6c
Calidad o tiacutetulo de vapor Si existe una sustancia con una parte en forma liacutequida y otra como vapor a la temperatura de saturacioacuten entonces se dice que el vapor tiene tiacutetulo o calidad (caso de Figura CD2b) esta se define comomasa vapor masa total Esta cantidad es de caraacutecter intensivo
Diagrama presioacuten ndash temperatura para el agua Sea la Figura CD7 tal diagramaEn el punto denominado triple coexisten el soacutelido vapor y liacutequido Este un estado termodinaacutemico invariante Es un estado uacutenico para el agua Para cada sustancia pura existiraacute un uacutenico punto con esas caracteriacutesticas
Figura CD7
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Calidad o tiacutetulo de vapor Si existe una sustancia con una parte en forma liacutequida y otra como vapor a la temperatura de saturacioacuten entonces se dice que el vapor tiene tiacutetulo o calidad (caso de Figura CD2b) esta se define comomasa vapor masa total Esta cantidad es de caraacutecter intensivo
Diagrama presioacuten ndash temperatura para el agua Sea la Figura CD7 tal diagramaEn el punto denominado triple coexisten el soacutelido vapor y liacutequido Este un estado termodinaacutemico invariante Es un estado uacutenico para el agua Para cada sustancia pura existiraacute un uacutenico punto con esas caracteriacutesticas
Figura CD7
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Figura CD7
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
ECUACIONES DE ESTADO PARA PARA LA FASE VAPOR DE UNA SUSTANCIA SIMPLE COMPRESIBLEO sea P=f(vT)o bienv = f(PT)
Ecuacioacuten de estado simple gas ideal P vm=RT
vm= volumen molar
R 1986 [calgmolmiddotK] 8477 [kgfmiddotmkmolmiddotK] 0082 [atmmiddotLmolmiddotK] 1545 [lbfmiddotpielbmolmiddotK]
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Tablas de propiedades termodinaacutemicasLas tablas termodinaacutemicas se corresponden con graacuteficos como el que muestra la Figura 6Por ejemplo al punto Bcorresponde un volumen especiacutefico vf y al punto C vg por tanto el cambio de volumen cuando pasa de liquido saturado a vapor saturado es vfg
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
fgfg vvv
ffgg vvv
y este cambio se efectuacutea a presioacuten y temperatura de saturacioacuten constante Las tablas de Keenan y Keyes para el vapor de agua son las maacutes usadas en ingenieriacutea-
vw = vf+x(vg-vf)
Donde x es la calidad del vapor y estaacute dado por
)mm(mx fgg
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Muestra de una tabla termodinaacutemica para el agua en estados de saturacioacuten
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
A esa misma temperatura y presioacuten se registran las entalpiacuteas entropiacuteas y energiacuteas internas de liacutequido y vapor asiacute como sus cambiosAsiacute mismo se registran los valores de v h u s para vapor sobrecalentado Cualquier punto en esta regioacuten tendraacute dos grados de libertad (de acuerdo a la foacutermula C+2=F+L) es decir se debe fijar dos variables intensivas para determinar el estado Otras tablas entregaraacuten los valores de propiedades para liacutequidos subenfriados
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Ejemplo CD1Un recipiente que tiene 0283 m3 de volumen contiene 136 kg de una mezcla de agua y vapor en equilibrio a una presioacuten de 7 kgcm2Calcularel volumen y la masa de liacutequidoEl volumen y la masa de vapor
Caacutelculo de vwvw=0283136 = 0208 m3kg
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
CALOR Y TRABAJO DEFINICIONES
1- TRABAJO CALOR Y ENERGIacuteATrabajoEn mecaacutenica el trabajo se define como el producto escalar entre dos cantidades vectoriales una fuerza Fque actuacutea sobre un cuerpo o partiacutecula a lo largo de una trayectoria s Una pequentildea cantidad de trabajo se expresariacutea como
sdFW
10
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
El trabajo es energiacutea en transicioacuten (en movimiento) desde un cuerpo o sistema hacia otro existe mientras la operacioacuten de desplazamiento de la fuerza se estaacute realizando Asiacute no se puede hablar que un sistema tiene almacenado trabajo
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Definicioacuten termodinaacutemica Trabajo es energiacutea en traacutensito (es decir no almacenada en una sustancia en movimiento) eacuteste atraviesa las fronteras de un sistema y podriacutea producir como posibilidad un uacutenico efecto en el medio exterior al sistema que seriacutea cambiar la posicioacuten de una masa en un campo de fuerzas Por ejemplo en la tierra levantar un peso contra la fuerza de gravedad
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Ejemplos Consideacuterese unos sistemas de bateriacuteas con un motor como se muestra en los esquemas de la Figura 11 En el esquema 11(a) el motor mueve el ventilador iquestcruzaraacute los liacutemites del sistema el trabajo efectuado Para responder si estaacute de acuerdo con la definicioacuten dada se reemplaza el ventilador por una polea y un peso (Figura 11(b))
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Figura 11
En el esquema 11(a) el trabajo atraviesa los liacutemites del sistema En al Fig 11b cuando el motor gire levantaraacute el peso y el uacutenico efecto externo al sistema seraacute levantar el peso
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Asiacute si este efecto fiacutesico es capaz de levantar un peso tambieacuten podraacute hacer girar un eje contra una accioacuten resistente Este uacuteltimo tipo de trabajo se conoce como de eje o de flecha
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
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Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
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dt
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2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
El trabajo no es una propiedad de un sistema Es una funcioacuten de trayectoria Por tanto si se requiere identificar el trabajo en un cambio de estado diferencial entonces ese cambio se escribiraacute como una diferencial inexacta δW Comparadas con el trabajo las propiedades del sistema que son funciones de estado del mismo en sus cambios infinitesimales se expresan como diferenciales exactas
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Proceso reversible o cuasiestaacutetico (o cuasiequilibrio)Consideremos un sistema cuando estaacute experimentando un cambio de estado Por ejemplo el sistema de la Figura 1
Figura 1
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Si se quita un peso en el eacutembolo el equilibrio mecaacutenico no existiraacute y el resultado seraacute el desplazamiento del eacutembolo hacia arriba hasta que se restablezca nuevamente el equilibrio A raiacutez de esto surge la cuestioacutenPuesto que las propiedades describen el sistema soacutelo cuando estaacute en equilibrio iquestCoacutemo se podraacute describir los estados de un sistema durante un proceso si el proceso real ocurre cuando el equilibrio no existe La respuesta a esto es idealizar una trayectoria desde un estado a otro considerando que en ese proceso la desviacioacuten del equilibrio es de orden infinitesimal asiacute todos los estados por los que pasa un sistema en una trayectoria de cuasi equilibrio son estados de equilibrio
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
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1212 WQmgzmgz2
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2
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)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
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O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Por ejemplo el sistema de la Figura 1a consiste de un gas que estaacute a una presioacuten P1 V1T Contiene arriba del embolo unas masas que en conjunto tienen un peso MgEl sistema estaacute temperatura constante a traveacutes de un bantildeo termostaacutetico Los topes son para mantener confinado el gas El eacutembolo tiene aacuterea A
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
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la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
La presioacuten externa Pext es MgA (se despreciaraacute el efecto atmosfeacuterico) que es menor que la presioacuten del gas P1-
Por tanto al retirar los topes el eacutembolo se moveraacute hasta otra altura en donde tambieacuten existen unos topes Luego el estado final del gas es P2 V2 T En las Figuras 11a 11b y 11c se indican los estados inicial y final del gas y los trabajos efectuados en el sistema para los casos reales y en cuasi equilibrio respectivamente
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
En el caso de la Figura 11 (b) el trabajo seraacute
dsMgW
pero dsmiddotA es igual a la diferencial de volumen dV y ds=dVA que al reemplazar en ecuacioacuten (11) queda
dVA
MgW
Pero MgA es la presioacuten externa al sistema que ha sido constante en todo el proceso por tanto
)VV(PWdVPWdVPW 12ext
2V
1V
ext
2V
1V
ext
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Donde V1=h1A y V2=h2A Se notaraacute que aquiacute se cumplioacute a cabalidad con la definicioacuten de trabajo termodinaacutemico porque el uacutenico efecto externo fue cambiar de posicioacuten la masa M en el campo gravitacional terrestre
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Si se quitaran porciones finitas de masas del emboloel trabajo seriacutea
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
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o bien si son varias entradas y salidas resulta
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los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
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2h(m
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Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
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scs
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2e
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dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Cuando la extraccioacuten de masas sobre el eacutembolo (caso de expansioacuten) sea del orden infinitesimal entonces se obtendraacute el maacuteximo trabajo logrado en una expansioacuten y seraacute reversible En el caso de una compresioacuten si la incorporacioacuten de masa sobre el eacutembolo es del orden infinitesimal entonces se tiene el miacutenimo trabajo logrado en una compresioacuten y seraacute reversible
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Ahora supongamos que se realiza un ciclo con los siguientes trayectorias seguacuten diagrama adjunto
El trabajo total es el siguienteW=(P2-P1)(V2-V1)Pero este trabajo es negativo por tanto se hizo maacutes trabajo sobre el sistema que trabajo del sistema sobre los alrededores entonces algo cambia en los alrededores asiacute este ciclo es irreversible
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Sin embargo el trabajo reversible de expansioacuten es exactamente igual al trabajo reversible de compresioacuten y en un ciclo la sumatoria de esos trabajos es cero luego es un ciclo reversible De hecho de esta forma se comprueba que esas trayectorias son reversibles
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Calor El concepto se obtiene a partir de la experiencia claacutesica que consiste en sumergir una pieza metaacutelica de Cu (u otro metal) a temperatura T2 en agua a temperatura T1 (con T2gtT1) hasta alcanzar el equilibrio entre ambos cuerpos en un sistema adiabaacuteticoExperimentalmente se obtiene un modelo del fenoacutemenoC1(T-T1)=C2(T2-T) (110)
en donde T es la temperatura final de equilibrioLa ecuacioacuten (110) es una expresioacuten tiacutepica de conservacioacuten La cual se puede expresar como-Q1 = Q2 con
Q= C(TndashTi) (111)
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
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dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
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dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Es decir al sistema agua se transfirioacute un efecto fiacutesico que tuvo como consecuencia subir su temperatura y ese mismo efecto fiacutesico abandonoacute el metal para bajar su temperatura A este efecto se le denominoacute calor o maacutes bien flujo de calorSe ha visto que los coeficientes C dependen de la naturaleza de las sustancias y de la cantidad de sustancia Asiacute 10 kg de Cu tienen un efecto distinto que 1 kg de Cu y 1 Kg de plomo produciraacute una temperatura diferente que un kg de Fe C se denomina capacidad caloriacutefica C es una funcioacuten de la temperatura por lo cual se puede expresar como
(112)
dT
QC
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
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o bien si son varias entradas y salidas resulta
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los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
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Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
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Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
donde δQ es un pequentildea cantidad de calor que atraviesa alguacuten liacutemiteCuando se C se divide por la masa del sistema en consideracioacuten se llama calor especiacutefico c y si se divide por el nuacutemero de moles calor especiacutefico molar cmEl calor es una funcioacuten de trayectoria por tanto su diferencial es inexacta Siempre aparece el calor atravesando liacutemites de sistemas El calor no debe considerarse almacenado en un sistema Las unidades son la kcal el BTU y el Joule J la kcal se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua desde 145 ordmC a 155 ordmC
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
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El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
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O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
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la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
El calor transmitido desde los alrededores a un sistema se considera positivoEl calor cedido por un sistema hacia los alrededores seraacute negativo-
El trabajo efectuado por los alrededores sobre el sistema seraacute negativoEl trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores seraacute positivo
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Ejemplo Una barra de metal de 2 kg (Cp=800 JkgmiddotK) inicialmente a 200ordmC se deja caer en un estanque de agua a 27ordmC Despueacutes de alguacuten tiempo se encuentra que la temperatura de la barra de metal es 75ordmC(a) iquestCuaacutento ha cambiado la entalpiacutea de la barra de
metal en este proceso(b) Si toda la energiacutea de la barra de metal se transfiere al agua
iquestCuaacutenta agua hay en el estanque
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Primera ley de la termodinaacutemica para un sistema cerradoLa comprobacioacuten del hecho de que los trabajos adiabaacuteticos eran independientes de la trayectoria condujo al concepto de conservacioacuten de la energiacutea Esta se puede expresar como
(21)Donde E=U+Ek+Ep
(22a)
o en teacuterminos diferenciales
(22b)
WQEE 12
121212
21
22
1212 WQmgzmgz2
mv
2
mvUUEE
W)mgz(d2
)m(ddUQ
2
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
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o bien si son varias entradas y salidas resulta
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WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
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los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
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Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
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Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
El trabajo en la ecuacioacuten de conservacioacuten de la energiacutea es el trabajo total que es la suma de los trabajos de expansioacuten ndashcompresioacuten que llamaremos trabajo PV (WPV) y el trabajo efectuado por fuerzas de corte tales como las que aparecen en procesos de agitacioacuten de fluidos (Wτ) Luego
WWW PV
O bien en teacuterminos de diferenciales inexactas
WWW PV
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
la energiacutea del sistema E es una funcioacuten de estado termodinaacutemica por tanto tambieacuten lo son U Ek y Ep
Energiacutea interna propiedad termodinaacutemicaLa energiacutea interna U es una propiedad termodinaacutemica extensiva debido a que depende de la masa del sistema El siacutembolo u implicaraacute la energiacutea interna por unidad de masa y esta es una propiedad intensivaPara una sustancia pura los valores de u son dadas en tablas termodinaacutemicas De la misma forma como se consignan los voluacutemenes especiacuteficos v Por ejemplo la energiacutea interna para un vapor que tenga un tiacutetulo de seraacute
fgfw uxuu
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
En caso de que la tabla no entregue el valor de la energiacutea interna pero si de la entalpiacutea especiacutefica entonces se determinara u a partir de la relacioacuten de definicioacuten h=u+Pv---- u=h-Pvdonde h es la entalpiacutea especiacutefica de la sustancia pura-
Ejemplo 211- La energiacutea interna especiacutefica del vapor saturado que tiene que tiene una presioacuten de de 55 bar y una calidad de 95 puede calcularse comou=ug-(1-x)ufg Que es equivalente a u =uf+xufg
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
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2e
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o bien si son varias entradas y salidas resulta
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WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
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umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
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2h(m
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Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
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Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Ejemplo 21- Un estanque contiene un fluido que es agitado con un agitador tipo rueda con paletas el trabajo impuesto a la rueda es 1289 kcal (5090 BTU) El calor transmitido del estanque es 378 kcal (1500 BTU) Considerando el estanque y el fluido como sistema determinar el cambio de energiacutea interna del mismo
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
23- Teacutecnicas de anaacutelisis y solucioacuten de problemasHasta aquiacute se ha acumulado suficientes conceptos como para trabajar con los mismos Por ello se plantearaacute un procedimiento general de anaacutelisis y teacutecnicas para resolucioacuten de problemas La teacutecnica estaacute en el marco de contestar algunas preguntas ordenadas y en proceso de respuestas dar solucioacuten tambieacuten ordenada al (o los) problema(s) 1- iquestCuaacutel es el sistema o su volumen de control Es uacutetil dibujar un esquema o croquis del sistema en este punto2- iquestQueacute se sabe del estado inicial (cuaacuteles son sus propiedades)
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
3- iquestQueacute se conoce del estado final4- iquestQueacute se sabe sobre el proceso que tiene lugar iquestEs algo constante o tiene valor cero iquesthay alguna relacioacuten funcional entre dos propiedades5- iquestEs de utilidad dibujar un diagrama de la informacioacuten desde la etapa 2 a 4 (por ejemplo diagramas T-v h-P o P-v o T-s u otro)6- iquestCuaacutel es el modelo de comportamiento de la sustancia - o sea coacutemo modelar la conducta de la sustancia ante la variacioacuten de las propiedades de estado (por ejemplo se modela mediante tablas de vapor relaciones de gas ideal alguna ecuacioacuten de estado etc) 7- iquestCuaacutel seraacute el anaacutelisis del problema (examen de liacutemites para distintos modos trabajo primera ley etc
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
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Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
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umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
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2e
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CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
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2e
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2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
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2e
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dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
8- iquestCuaacutel seraacute la teacutecnica de solucioacuten (es decir a partir de lo hecho en las etapas 1 a 7 coacutemo se procederaacute para encontrar la respuesta iquestPor ejemplo es un problema de tanteo u otro procedimiento
Ejemplo 22 A continuacioacuten se resolveraacute el problema de acuerdo al procedimiento esbozadoUn recipiente cuyo volumen de 5 m3 contiene 005 m3 de agua liacutequida saturada y 495 m3 de vapor de agua saturado a 01 MPa (= 102 kgcm2 = 1 bar) Se transfiere calor hasta que el recipiente se llena con vapor saturado Determiacutenese el calor transferido en el procesoEquivalencias 1 Pa= 1 Nm2= (198) kgfm2= 0102x 10-4
kgfcm2
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Sistema toda la sustancia agua dentro del recipienteEsquema o croquis El de la Figura E22a adjuntaEstado inicial se conoce presioacuten volumen de liacutequido volumen de vapor O sea el estado 1 esta definidoEstado final El estado 2 se encuentra en alguacuten punto de la curva de vapor saturado y puesto que la sustancia se calentoacute P2gtP1Proceso a volumen y masa constante por ello a volumen especiacutefico constanteDiagrama Figura E22bModelo tablas de vaporAnaacutelisisPrimera ley W)zz(mg
2mUUQ 12
21
22
1212
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
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CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
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o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
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Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
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los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
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2s
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2e
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h(mdt
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Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Figura E22
Se constata que el trabajo es cero Ademaacutes el sistema no se mueve por tanto no hay cambio de energiacutea cineacutetica Ocurre un pequentildeo cambio de ubicacioacuten del centro de masa del sistema pero despreciable
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
1212 UUQ
Por tanto
Solucioacuten El calor transferido se encuentra de la primera ley El estado 1 es conocido porque se conoce P1 y v1 por tanto U1 puede determinarse por tablas de vapor saturado El volumen especiacutefico en el estado 2 tambieacuten se conoce (a partir del estado 1 y sabiendo que el proceso es a masa y volumen total constante) Puesto que el estado 2 es de vapor saturado seco estaacute definido como puede confirmarse de la Figura 10 b Por ello U2 tambieacuten puede determinarse viacutea tablas de vapor saturado
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
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Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
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CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
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o bien si son varias entradas y salidas resulta
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gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
La solucioacuten procede como siguem1 liacuteq =Vliacuteqvf = 005(0001043) = 4794 kgm1 vap =Vvapvg= 49516940 = 292 kgvf y vg se obtienen de tablas de vaporLuegoU1=m1 liacuteq middot u1 liacuteq + m1 vap middot u1 vap -----4794(41736)+292(25061)= 27326 kJPara determinar u2 se requiere conocer dos propiedades termodinaacutemicas ya que eacutestas determinan el estado final Las propiedades conocidas son calidad=100 y v2 el volumen especiacutefico final el cual puede determinarse faacutecilmentem=m1 liacuteq + m1 vap = 4794 + 292= 5086 kg v2=Vm=505086=009831 [m3kg]
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
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CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
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los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
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2s
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Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
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2e
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Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
En las Tablas de vapor se encuentra por interpolacioacuten que P2=207 kgcm2 =203 MPa vg=009831 m3kg Luegou2=26005 kJkg = 622 kcalkgU2=m u2 = 5086(26005) = 132261 kJ=316414 kcal
Q12=U2-U1=132261 ndash 27326=104935 kJ = 2509806 kcal
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
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12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
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Q
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1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
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H
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1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
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)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
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donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
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y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
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2T
To
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Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
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Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
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dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
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gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
24- Entalpiacutea propiedad termodinaacutemica Normalmente en los anaacutelisis de procesos siempre se encuentran ciertas combinaciones de propiedades termodinaacutemicas Para ilustrar el caso consideacuterese un sistema que experimenta un cambio de estado con un proceso en cuasiequilibrio y a presioacuten constante Como se muestra en la Figura 241 Se supondraacute que no hay cambios en la energiacutea cineacutetica y potencial y que el uacutenico trabajo hecho durante el proceso es el asociado con el movimiento de las fronteras (liacutemites) Considerando que un gas es el sistema y aplicando la primera ley se tiene
121212 WUUQ
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
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CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
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los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
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Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
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2s
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Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Figura 241El trabajo puede determinarse viacutea relacioacuten
2
1
12 PdVW
como P2=P1=Pext=constante
)VV(PdVPW 12
2
1
12
Por ello
)VPU()VPU(VPVPUUQ 11122211221212
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
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U
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1
T
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1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
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T
H
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1
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1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
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y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
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TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
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donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
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Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
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2T
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Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
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Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
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dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
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Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
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Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Esta uacuteltima correlacioacuten indica que en este caso el calor transferido es igual al cambio de un binomio de propiedades cuya magnitud es U+PV medida en un estado final y un estado inicial dado que este binomio estaacute compuesto por propiedades termodinaacutemicas (de estado) el mismo es una propiedad de punto termodinaacutemica y a este conjunto se le ha denominado entalpiacutea H
PVUH (241)
y por unidad de masa h
Pvuh (242)
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Por tanto como se hizo con la energiacutea interna se podraacute hablar de entalpiacutea especiacutefica h y entalpiacutea total HEl significado y uso de la entalpiacutea no esta restringido al proceso especial arriba descrito Asiacute no se debe pensar que la ecuacioacuten (241) es vaacutelida soacutelo para un proceso a presioacuten constante se debe tener presente que la entalpiacutea es una propiedad termodinaacutemica como cualquier otra es decir es una funcioacuten de punto o variable de estado
Las tablas termodinaacutemicas de sustancias puras generalmente dan valores de entalpiacutea como propiedad significativa en lugar de la energiacutea interna
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
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1
T
Q
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1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
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Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
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1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
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WQ))Pv(gz2
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los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
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Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
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2e
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2h(m
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dE
scs
2s
ssVC
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2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
En muchas tablas termodinaacutemicas en la regioacuten de sustancia sobrecalentadas los valores de la energiacutea interna especiacutefica no son dadas Por tanto esos valores como se mencionoacute antes se pueden calcular faacutecilmente con la expresioacuten u=h-PvLa entalpiacutea de una sustancia en estado saturada huacutemeda con una calidad x puede calcularse de la misma forma a como se calculan las otras propiedades en estado huacutemedo
hw = (1-x) hf +x hg
hw=hf + x hfg
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
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1
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Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
La entalpiacutea del agua comprimida se encuentra en la Tabla A14 SI Si no existe tabla disponible la entalpiacutea se toma como la del liacutequido saturado a la misma temperatura
Ejemplo 241- Un cilindro provisto con pistoacuten tiene un volumen de 01 m3 total y contiene 05 kg liacutequido y vapor a 04 MPa (4 bar) El calor se transfiere al vapor hasta que la temperatura alcanza los 300 ordmC En el proceso la presioacuten permanece constante Determiacutenese el calor y trabajo transferidos en el proceso Se indica en figura los diagramas correspondientes Con uno nuevo entalpiacutea vs presioacuten
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
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po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
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1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
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Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
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Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
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2s
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CM
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o bien si son varias entradas y salidas resulta
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los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
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2s
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Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
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Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Figuras E241
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
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1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
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Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
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Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
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y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
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26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
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y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
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donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
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resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
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y para una masa m dTcmdH po
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Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
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b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
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Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
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Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
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VC Anmdt
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Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
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Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
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2s
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Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
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dt
dE
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ssVC
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2e
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dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Sistema vapor de agua dentro del cilindroEstado inicial P1 V1 m Por tanto v1 es conocido el estado 1 estaacute definido ( con P1 y v1 se examina las tablas de vapor y se constata que el sistema inicialmente estaacute en una regioacuten bifaacutesica)Estado final P2T2 de alliacute que el estado final esta fijado (vapor sobrecalentado)Proceso a presioacuten constanteDiagrama Figura E22 (b) y (c)Modelo de comportamiento tablas de vaporAnaacutelisis No ocurre cambio en la energiacutea cineacutetica ni variacioacuten significativa de la energiacutea potencial El trabajo se efectuacutea por el movimiento de los liacutemites se asume un proceso en cuasiequilibrio
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
1
2
1
12
Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
vdT
u
T
U
m
1
T
Q
m
1c
(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
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CM
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Vc
WQ))Pv(gz2
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umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
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Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
)vPvP(m)VV(PdVPPdVW 112212
2
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Luego de la primera ley
)hh(m)vPvP(m)uu(mW)uu(mQ 12112212121212
25- Calores especiacuteficos a volumen constante y presioacuten constanteSe tiene una sustancia en fase homogeacutenea de composicioacuten constante La fase puede ser soacutelido liquido o gas pero no ocurriraacute un cambio a otra fase Se define una variable denominada calor especiacutefico es decir la cantidad de calor necesaria para elevar en un grado la temperatura de una sustancia Se examinaraacute la relacioacuten existente entre el calor especiacutefico y otras variables termodinaacutemicas
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
vvv
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(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
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1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
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y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
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26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
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y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
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donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
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resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
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Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
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b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
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donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
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Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
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Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
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Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
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Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
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33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
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los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
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34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Despreciando los cambios en energiacutea cineacutetica y potencial El calor transferido estaacute dado por la relacioacuten
PdVdUWdUQ (251 a)
o bien reemplazando H=U+PV y luego diferenciando
VdPdHPdV)PV(ddHQ (251 b)
Dos casos importantesa- Caso en que V=constante implicando de la ecuacioacutenj (251a) que PdV=0 por lo cual el calor especiacutefico a volumen constante es
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(252)
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
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Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
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y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
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Cuando c=f(T) entonces2T
1T
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26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
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y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
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donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
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resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
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y para una masa m dTcmdH po
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donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
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b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
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2T
To
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Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
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Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
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Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
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gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
scs
2s
ssVC
e
2e
eesc W)gz2
h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
donde m es la masa del sistema homogeacuteneob- Proceso a presioacuten constante en este caso de la relacioacuten (251b) se tiene VdP=0 y el calor especiacutefico a presioacuten constante es
PPP
PT
h
T
H
m
1
dT
Q
m
1c
Las ecuaciones (252) y (253) contienen soacutelo propiedades termodinaacutemicas por lo cual se concluye que cv y cP son propiedades termodinaacutemicas
(253)
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
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los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
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Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
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2s
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2s
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2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Estas nuevas propiedades termodinaacutemicas son independientes del proceso particular que tengan lugar en el mismo sentido que la definicioacuten de la entalpiacutea hecho anteriormente Por ejemplo consideacuterese los dos sistemas ideacutenticos mostrados en la Figura 251
Figura 251
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
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y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
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donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
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1iSCi
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Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
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Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
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los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
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Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
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Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
En el primer sistema 100 kJ de calor se transfieren al mismo y en el segundo 100 kJ de trabajo se efectuacutea sobre eacutel Por tanto el cambio de energiacutea interna es la misma en cada sistema por ello las temperatura y estado finales son los mismo en ellos Por tanto de acuerdo a la ecuacioacuten (252) exactamente el mismo valor como promedio de calor especiacutefico a volumen constante se encontraraacute en la sustancia para los dos procesos auacuten cuando un proceso es totalmente diferente al otro en donde hay transferencia de calor de por medio
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
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donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
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u(m))Pv(gz2
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scscs
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Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
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Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Estimar el calor especiacutefico a presioacuten constante del vapor a 5 bar 375 ordmCSolucioacuten Si se considera un cambio de estado a presioacuten constante la ecuacioacuten 253 se podraacute expresar como
P
PT
hc
y de las tablas de vapora 5 bar y 350 ordmC --- h=31677 kJa 5 bar y 400 ordmC --- h=32718 kJPuesto que se requiere a 5 bar y 375 ordmC es decir justo en el punto medio de los valores de temperaturas anteriorescP=(32718 ndash 31677)(400-350) = 2082 [kJ kg-1 K-1]
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
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Cuando c=f(T) entonces2T
1T
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26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
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udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
dT
duc vo
donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
RTuPvuh Y puesto que
resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
dTcdh po
y para una masa m dTcmdH po
Rcc vopo Para un gi se tiene
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
dm
Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
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umd
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
2s
sse
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dt
dE
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2s
ssVC
e
2e
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dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Para soacutelidos y liacutequidos el calor especiacutefico a presioacuten y contante y a volumen constante son praacutecticamente iguales c=cp=cv y se mantienen constantes en un amplio rango de presioacuten y temperatura o sea
dTcdudh (255)
)TT(cuuhh 121212 (256)
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
T
udu
TP
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
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donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
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resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
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Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
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b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
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donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
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Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
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Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
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VC Anmdt
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Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
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Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
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los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
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34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Cuando c=f(T) entonces2T
1T
dT)T(fuh
26- Energiacutea interna entalpiacutea y calores especiacuteficos para gases idealesLa ecuacioacuten de estado para un gas ideal (gi) esPv=RTSi u = u(T P) una variacioacuten infinitesimal de la energiacutea interna se puede escribir como
dPP
udT
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y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
TPu
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donde el subiacutendice vo indica calor especiacutefico de gas ideal que tambieacuten se generaliza a otros gases que se comportan como gi cuando la presioacuten tiende a cero
Para una masa dada m dTcmdU vo
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resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
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y para una masa m dTcmdH po
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donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
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Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
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Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
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Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
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Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
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los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
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Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
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34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
y se puede demostrar que es cero para un gas ideal (Joule fue el primero que lo proboacute) por tanto la energiacutea interna para este tipo de gas es soacutelo funcioacuten de la temperatura(partupartT)P = dudT= cv que se puede anotar como
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Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
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b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
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donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
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Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
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Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
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Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
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Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
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los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
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a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Para una masa dada m dTcmdU vo
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resulta que tambieacuten h es soacutelo funcioacuten de la temperatura para un gi es decir
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y para una masa m dTcmdH po
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Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
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b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
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donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
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Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
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Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
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VC Anmdt
dm
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dt
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Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
scscss
2s
ssee
2e
ee
CM
2CM
Vc
WQ))Pv(gz2
u(m))Pv(gz2
u(m
dt
gz2
umd
o bien si son varias entradas y salidas resulta
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u(m))Pv(gz2
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los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
scscs
2s
sse
2e
eecv WQ)gz
2h(m)gz
2h(m
dt
dE
Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
scscs
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dt
dE
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2s
ssVC
e
2e
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h(mdt
dE)gz
2h(mQ
Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
donde c
indica calor especiacutefico molar-
Para calcular entalpiacuteas de gases se tienen tres posibilidadesa) Si el calor especiacutefico es constante entonces
)TT(chh 12po12
b) Si el cpo es funcioacuten de la temperatura en ese caso
2T
1T
po12 dt)T(chh
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
poT dTch
Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
To
po
2T
To
po12 hhdTcdTchh
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
i
mN
1iSCi
N
1ii
VC Anmdt
dm
Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
sevc mm
dt
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Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
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los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
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Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
donde cpo en funcioacuten de la temperatura estaacuten tabulados en las tablas del Manual ldquoPerryrdquo
c) De expresiones de la termodinaacutemica estadiacutestica se puede integrar los resultados a partir de una temperatura de referencia To y obtener h a otras temperaturas
T
To
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Entonces esta funcioacuten podraacute tabularse en un tabla con una sola entrada de temperatura Por tanto entre dos estados se tendraacute
1T2T
1T
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Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
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Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
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Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
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33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
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Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Esta funcioacuten hT estaacute listada en tablas en el texto Van Wylen para gases la funcioacuten similar seraacute uT = hT ndash RT
Ejemplo 261- Determinar el cambio de entalpiacutea de 1 kg de oxiacutegeno cuando es calentado desde 300 a 1500 K Suponer comportamiento de gas idealUna respuesta exacta estariacutea dada consultando las tablas de gas ideal de Van Wylen (Tabla A12)
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
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Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
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Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
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Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
3- Anaacutelisis de la primera ley mediante un volumen de controlExisten condiciones termodinaacutemicas praacutecticas que son mejor manejadas mediante el concepto de volumen de control en esta seccioacuten se veraacute aplicaciones con voluacutemenes de control para la conservacioacuten de la masa y conservacioacuten de la energiacutea31- El volumen de control
El volumen de control VC es un objeto en el espacio que un observador adherido a un sistema de referencia fijo o moacutevil puede analizar estudiar registrar y cuantificar los fenoacutemenos que ocurren en ese volumen La superficie de este volumen de control es siempre cerrada y se llama superficie de control SC
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
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Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
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34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
La superficie puede ser fija o dilatarse yo moverse La forma y tamantildeo del VC puede ser completamente arbitrario y se define uno en particular soacutelo para que el anaacutelisis sea claro y expedito ejemplo de esto en Fig adjunta
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
n
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Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
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34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
Cuando la geometriacutea es simple los balances macroscoacutepicos son suficientes La ecuacioacuten siguiente es un balance total para un volumen de control que tiene Nm puertas (de entrada o salida) para flujos globales y Nn puertas o interfaces de transporte a traveacutes de las cuales pueden ocurrir densidades de flujo difusivo
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Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
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es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
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Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
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Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
n
i
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N
1ii
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Si soacutelo existen puertas de entrada y salidas del aacuterea con aacutereas Ae y aacuterea As globales entonces la variacioacuten de la masa existente en VC en donde se inscriben varias puertas de entrada y salida se denota como
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dt
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Donde m es un flujo maacutesico kgsseg en unidades SI
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
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2s
ssee
2e
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CM
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Vc
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o bien si son varias entradas y salidas resulta
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los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
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2s
sse
2e
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Nuevamente si se considera varias entradas y salidas entonces la ecuacioacuten se expresaraacute como
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Reordenando
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
es decir acumulacioacuten neta=(entrada- salida)
33- primera ley de la termodinaacutemica para un volumen de controlSe consideraran dos momentos en un volumen de control en el que estaacute entrando yo saliendo masa y energiacutea y junto con eso simultaacuteneamente cruza a traveacutes de sus liacutemites calor y trabajo
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34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
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34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
los subiacutendices del teacutermino del lado derecho en la expresiones anteriores vc y CM SC denotan volumen de control centro de masa respectivamente superficie de controlLas ecuaciones mencionadas pueden simplificarse para diversos casosa- uno de ellos bastante usual es que ms y me son constantesb- otro vaacutelido para fluidos incompresibles c- y otro muy comuacuten es que el sistema estaacute fijo respecto al sistema de referencia terrestre luego vCM y ΔgzCM son ceroSi se aplica la definicioacuten h=u+Pv entonces la ecuacioacuten de variacioacuten es
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a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
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a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
34- Proceso en Estado Estacionario y Flujo Estacionario (modelo PEEFE o proceso EEFE)Este modelo permitiraacute plantear operaciones en equipos tales como turbinas boquillas calderas condensadores etc El modelo no incluye la puesta en marcha o parada de estos equipos El modelo implica ciertas suposiciones necesarias para su desarrollo expeditoa1- El volumen de control no se mueve con relacioacuten a un sistema de coordenadasa2- La masa existente en cualquier punto dentro del sistema de control no variacutea con el tiempo
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
a3- Los flujos maacutesicos que cruzan puertas y superficies del volumen de control no variacutean con el tiempo a4- Las velocidades de transferencia de calor y trabajo permanecen constantes
Ejemplo de un modelo PEEFE (proceso en estado estacionario y flujo estacionario) seriacutea un compresor centriacutefugo que opera a flujo maacutesico constante con propiedades constantes en cada seccioacuten de los conductos a la entrada y salida del equipo a una velocidad de transferencia de calor constante hacia los alrededores y una potencia entregada tambieacuten constante y en cada punto en el interior del compresor las propiedades del fluido son constantes con el tiempo aun cuando las propiedades de una masa elemental de aire variacutee en la medida que se mueva a traveacutes del compresor
