ESCUELA POLITCNICA NACIONALFUNDAMENTOS DE LA MATEMTICAMATERIAL DE TRABAJO

FUNCIONES REALES

Una funcin puede considerarse como un caso particular de una relacin de correspondencia matemtica. Cada relacin o correspondencia de un elemento con un (y solo un) , se denota , en lugar de .Formalmente se pide que se cumplan dos condiciones:

Condicin de Existencia: Todos los elementos de A estn relacionados con elementos de B, es decir: .Condicin de Unicidad: Cada elemento de A esta relacionado con un nico elemento de Y, es decir, si

Grficamente: A B

El conjunto B se denomina conjunto de llegada de Dominio de una funcin: El dominio de una funcin es el conjunto de existencia de x, es decir, los valores para los cuales la funcin est definida.Se denota o bien y est definida por:

Para indicar que es una funcin de A en B se usa la siguiente notacin:

Clculo del Dominio

El conjunto de formado por todos los elementos de B que son imgenes de los elementos de A se denomina rango o recorrido de la funcin.El recorrido de se nota como , es decir:

Existen dos formas para el clculo del Recorrido:

A. Despejar x para luego tratar la expresin como un dominio.

EJEMPLO

1.

2.

3.

4.

5.

6.

B. Reconstruir la funcin a partir del dominio en forma de desigualdad

ARTIFICIOS PARA RECONSTRUIREste tipo de artificios resultan tiles para ubicar a la incgnita x en un solo lugar.ParbolaEs recomendable completar el trinomio cuadrado perfecto.Pasos:Dividir el coeficiente de x para 2, elevar al cuadrado y sumar en la expresin como trmino independiente dentro de un parntesis (el trmino independiente debe estar fuera de l).Restar el trmino obtenido como independiente tambin fuera del parntesis.

Ejemplo: HomogrficaSe debe hacer una divisin algebraica entre las expresiones del numerador y denominador.Ejemplo -1

EJEMPLO

1.

2.

3.

4.

5.

PARA INVERTIR b) c)

6.

Observaciones:

El dominio de una funcin , grficamente est constituido por los puntos x, tales que la vertical que pasa por x corta en un punto a la grfica de la funcin .

El recorrido de una funcin , grficamente, est constituido por los puntos y, tales que la horizontal que pasa por y corta en un punto a la grfica de la funcin .

OPERACIONES CON FUNCIONES

Suma de funcionesSean y dos funciones reales de variable real. Se llama suma de funciones y se representa por a la funcin definida por:

Resta de funcionesDel mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real y como la funcin:

Producto de funcionesSean y dos funciones reales de variable real. Se llama producto de y a la funcin definida por:

Cociente de FuncionesDadas dos funciones reales de variable real, y , se llama funcin cociente a la funcin definida por:

Producto de un nmero por una funcinDado un nmero real y una funcin , el producto del nmero por la funcin es la funcin definida por:

CLASE N 36

EJERCICIOS

1. Sean las funciones:

. Definir la funcin

2. Dadas las funciones:

Definir la funcin

3. Dadas:

Definir la funcin

-2 5 6 +

CLASE N 36

4. Sean las funciones:

Hallar y su dominio.

5. Determinar si:

a)

- -1 0 1 +

b) - 0 1 +

c) - -1 0 1 5 +

d)

- 0 1 5 +

FUNCIN COMPUESTA

Una funcin compuesta es una funcin formada por la composicin o aplicacin sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la funcin ms prxima al mismo, y al resultado del clculo anterior se le aplica finalmente la funcin restante(gof)(x) = g(f(x))

-11 -5 1 7 13 f(x) = 2x g(x) = 3x+1

-2 -1 0 1 2 -4 -2 0 2 4

(gof)(x) = 6x+1

Dominio

CALCULO DEL DOMINIO DE LA FUNCIN COMPUESTASe deben cumplir dos condiciones: debe ser elemento del dominio de El dominio de la compuesta debe ser subconjunto del dominio de .

EJERCICIOS

1. Calcular el dominiof(x) = si 0 g(x) = si Dgof

2. Calcular el dominiof(x) = si g(x) = si Dfog

3. Hallar gof y su dominio

f: g: si x - si

si g +1 si -

g

g

4. Hallar la monotonia

f(x) = CVA

g(x) = x-2 f(x) = (hog)(x) h(x) =

g(x)=x-2 h(x)=

5. Hallar la monotonia

f(x) = CVA

g(x) = 9 - f(x) = (hog)(x) h(x) =

I1: g(x)= h(x)= f(x) = hog

I2: g(x)= h(x)=

6. Sean las funciones reales f y g, estudiar la paridad de la funcin g cuando f es par y cuando f es impar

g(x) =

f(-x) = f(x) f(-x) = -f(x)

g(x) = g(x) =

g(-x) = g(x) =

g(x) = g(-x) g(-x) = g(x)

g(x) es par g(x) es par

7. Hallar fog y su dominio

f(x) = si 0 g(x) = si 1 si 0 2 - 3 +X+3-+

I1: I2:

-x-3 x = -3 x+3 x = -3

fog =

8. Hallar fog y su dominio

f(x) = si g(x) = x si

fog =