teoria potencial linealizada de alas en regimen incompresible 2007

I. da Riva, J. M. Perales, A. Laverón Simavilla Página 5

CAPÍTULO 1. TEORÍA POTENCIAL LINEALIZADA DE ALAS EN RÉGIMEN INCOMPRESIBLE

1. INTRODUCCIÓN

El hecho de que las alas de los aviones tengan en general pequeño espesor y pequeña curvatura y que en régimen de crucero vuelen con ángulo de ataque pequeño permite desarrollar una teoría potencial linealizada para alas de modo semejante a lo hecho en el caso de perfiles. Los desarrollos en una y otra teoría linealizada, la de perfiles y la de alas, son parejos, con la única salvedad de que en alas, al ser un problema tridimensional no es de aplicación la integral de Cauchy empleada en la teoría de perfiles, debiéndose utilizar otra expresión para relacionar los puntos causa y efecto: la ecuación de Green.

La geometría del ala queda definida por la forma de los perfiles que la conforman y por la forma en planta del ala (Figura 1), caracterizada a su vez por el cociente entre el cuadrado de la envergadura del ala, b, y la superficie en planta, S, cociente conocido en la literatura con el nombre de alargamiento, Λ = b2/S.

Figura 1. Sistema de coordenadas y geometría del ala.

En este Capítulo se aborda el estudio de alas a través de la teoría potencial linealizada. En el apartado siguiente se deduce la formulación que gobierna el problema linealizado y se introduce un breve recordatorio sobre la integral de Green. Después se analizan los problemas simétrico (espesor) y antisimétrico (curvatura y ángulo de ataque) y se interpretan los resultados obtenidos en términos de singularidades conocidas: manantiales y sumideros en el caso del problema de espesor y herraduras de torbellinos en el sustentador. Por último, se estudian dos límites de esta teoría linealizada; el primero, válido para alas de gran alargamiento (Λ >> 1), conduce a la teoría del ala larga de Prandtl que ya se ha analizado en Aerodinámica I. El otro extremo de interés es el de las alas de pequeño alargamiento (Λ << 1), que también se estudian posteriormente como una aplicación particular de la teoría de cuerpos esbeltos.

U∞ z

y

x


2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA LINEALIZADO

El campo fluido potencial alrededor de un ala que se mueve con velocidad U∞ a través del aire en calma está definido por la ecuación de Laplace, ∆Φ = 0, y las condiciones de contorno apropiadas, a saber:

• En el infinito (x2 + y2 + z2 → ∞) ha de ser Φ = U∞x, aunque habrá que revisar esta condición cuando se analice la región de la estela aguas abajo del ala en los problemas sustentadores.

• Se debe cumplir la condición de velocidad tangente al obstáculo, n⋅∇Φ = 0. • La solución a determinar habrá satisfacer la hipótesis de Kutta respecto al borde de

salida.

Encontrada la solución que cumpla las condiciones establecidas el campo de presiones sobre el ala se calcula mediante la ecuación de Bernoulli, de modo que el coeficiente de presión es:

2 2 2

2( , , ) 1

x y zpc x y z

U∞

Φ + Φ + Φ= − .

El procedimiento para hallar la formulación del problema linealizado es totalmente análogo al seguido en el caso de perfiles: sea z = zp(x,y) la ecuación (o ecuaciones) que determina la forma del ala. Supongamos las ordenadas del ala suficientemente pequeñas en comparación con la cuerda de los perfiles que conforman el ala y escribamos z = εZp(x,y), donde el parámetro ε es mucho menor que la unidad y Zp(x,y) es una función de orden unidad, así como sus derivadas, excepto en posibles singularidades.

Si fuera ε = 0 la solución del problema sería Φ(x,y,z) = U∞x. Si ε es pequeño pero no nulo, es de esperar que la solución del problema admita un desarrollo asintótico de la forma

Φ(x,y,z) = U∞x + δ(ε)ϕ′ (x,y,z) + 0(δ2) , (1)

donde ϕ′ (x,y,z) es el potencial de velocidades de perturbación dilatado y δ(ε) es una función que tiende a cero cuando el parámetro ε tiendo a cero (al igual que en la teoría potencial linealizada de perfiles el potencial de velocidades de perturbación será ϕ(x,y,z) = δ(ε)ϕ′ (x,y,z)).

Introduciendo el desarrollo (1) en la ecuación ∆Φ = 0 se obtiene que el potencial de velocidades de perturbación, dilatado o no, ha de cumplir también la ecuación de Laplace, ∆ϕ' = 0.

La condición de contorno sobre el ala, en términos del potencial de velocidades de perturbación dilatado, se escribirá

Ux

Z

x y

Z

y zz Zp

p

z Zp

p

z Zp

∞= = =

+∂ ′∂

FHG

IKJ

∂

∂+

∂ ′∂

∂

∂−

∂ ′∂

=δ ε ϕ ε δ ε ϕ ε δ ε ϕε ε ε

( ) ( ) ( ) 0 .

En esta expresión el segundo término, de orden εδ(ε), es con toda seguridad mucho menor que el primero y el tercero. De igual modo se puede concluir que en el primer término se puede despreciar δ(ε)∂ϕ′/∂x frente U∞, con lo que la condición de contorno queda:

UZ

x zp

z Zp∞

=

∂∂ = ∂ ′

∂ε δ ε ϕε

( ) ,


de donde se deduce que δ(ε) ≈ ε, al igual que en perfiles. Desarrollando en serie ahora ϕ´(x,y,z) en el entorno de z = 0± y despreciando consistentemente términos de orden superior se obtiene finalmente:

∂ ′

∂=

∂∂= ± ∞

ϕ ( , , )x y z

zU

Z

xz

p

0 . (2)

Obsérvese que la condición de contorno sobre el ala es exactamente la misma que la obtenida en el caso de perfiles, pues en la expresión (2) no aparece la componente transversal de la velocidad. Además, la condición está impuesta en z = 0±, lo que permitirá superponer soluciones pues los distintos problemas de espesor, curvatura y ángulo de ataque se resolverán en un mismo dominio.

Respecto al coeficiente de presión, un cálculo análogo al realizado en el caso de perfiles, desarrollando en torno al esqueleto del ala, y tras despreciar términos de orden ε2 o superiores proporciona la expresión

c x yU

x y

xp ( , , )

( , , )0

2 0±

∞

±= −

∂ ′∂

ε ϕ .

En resumen, en términos del potencial de velocidades de perturbación (ϕ = εϕ′) el problema linealizado obedece a la siguiente formulación:

Ecuación diferencial:

∂

∂+∂

∂+∂

∂=

2

2

2

2

2

2 0ϕ ϕ ϕ

x y z . (3)

Condiciones de contorno:

1) En la forma en planta:

0

( , , ) p

z

zx y zU

z x

ϕ∞±=

∂∂ =∂ ∂

, (4)

2) Condición de Kutta en el borde de salida,

3) A gran distancia corriente arriba, donde no llega la estela: ϕ → 0.

Coeficiente de presión:

c x yU

x y

xp ( , , )

( , , )0

2 0±

∞

±= −

∂∂

ϕ . (5)

Hay que observar que la condición de contorno sobre la forma en planta se desdobla en dos: la correspondiente al extradós (z = 0+) y la del intradós (z = 0–).

Como el problema es lineal siempre se puede descomponer en suma de uno simétrico, S, (ala simétrica respecto a z = 0 y ángulo de ataque nulo) y otro antisimétrico, o sustentador, A, estando las condiciones de simetría y antisimetría definidas igual que en perfiles, es decir: una


función es simétrica si se cumple que f(x,y,z) = f(x,y,−z) y antisimétrica cuando f(x,y,z) = −f(x,y,−z).

Obviamente, de esta definición de simetría y antisimetría respecto a la variable z se deduce que si una función f es simétrica, sus derivadas respecto a x y respecto a y son también simétricas mientras que su derivada respecto a z es antisimétrica, y que si f es antisimétrica, fx y fy son de igual modo antisimétricas y por el contrario fz es simétrica. Según esto, la condición de contorno indica que en un problema simétrico la componente de la velocidad de perturbación ϕz es antisimétrica, pues Zp(x,y,0

+) = −Zp(x,y,0−), de forma que el potencial de velocidades de

perturbación es simétrico; en la Tabla 1.1 se resumen las características de simetría o antisimetría de las soluciones en los problemas simétricas (espesor) y sustentadores (curvatura y ángulo de ataque).

Problema ϕ u v w

Simétrico S S S A

Sustentador A A A S

Tabla 1.1 Simetría (S) o Antisimetría (A) respecto a z = 0 del potencial de velocidades de perturbación, ϕ, y de las componentes de la velocidad de perturbación (u,v,w).

También es de interés establecer la continuidad o discontinuidad de las soluciones en z = 0, y para ello centremos la atención en el borde de salida del ala en un problema sustentador, tal como el representado en la Figura 2.

Figura 2. Vista frontal y planta de un ala sustentadora.

En condiciones normales de vuelo en el extradós del ala aparece una depresión mientras que en el intradós hay sobrepresión. Debido a esta diferencia de presiones entre extradós e intradós, en los bordes marginales del ala aparece una corriente local desde el intradós hacia el extradós. Debido a esta corriente de rebordeo una partícula fluida que pase próxima al extradós del ala se

y

z

U∞

y

x


desviará hacia la raíz del ala, mientras que una partícula que pase por el intradós sufrirá una desviación en sentido contrario, es decir, hacia el borde marginal correspondiente (Figura 3). Según este razonamiento, dos partículas fluidas que confluyen en el borde de salida tendrían velocidades diferentes, con distintos sentidos aunque de igual módulo, pues de no ser así aparecería una discontinuidad en la presión en el borde de salida (fuera del ala) que carece de sentido físico. Así pues, el vector velocidad es discontinuo en el borde de salida.

Figura 3. Líneas de corriente en el extradós (línea continua) y en el intradós del ala (línea a trazos).

Analizando ahora el problema en el contexto de la teoría linealizada, es evidente que la componente u de la velocidad de perturbación ha de ser nula en el borde de salida, pues en un problema sustentador la componente u es antisimétrica y continua fuera del ala, de acuerdo con la expresión (5), por lo que dicha componente ha de ser nula en todo el plano z = 0 (excepto en la forma en planta del ala) y en particular ha de ser nula en el borde de salida (así lo exige la hipótesis de Kutta).

La componente vertical w de la velocidad de perturbación ha de ser continua en el borde de salida, pues de otra forma se violaría la condición de contorno, y en cuanto a la componente v es claro que es discontinua en el borde de salida (en razón de lo dicho respecto a las líneas de corriente) aunque su módulo debe tener el mismo valor a ambos lados de la discontinuidad. Esta discontinuidad en la componente v justifica la existencia de vorticidad en el borde de salida de eje paralelo al eje y, o en otras palabras, la generación de torbellinos que son arrastrados por la corriente, formando una estela turbillonaria corriente abajo del ala que en un modelo potencial, en virtud del teorema de Kelvin, llegará hasta el infinito.

Conocido el comportamiento en el borde de salida es inmediato inferir el carácter continuo o discontinuo de ϕ y sus derivadas en la estela del ala sustentadora: u ha de ser nula de acuerdo con lo argumentado, al igual que w, pues así lo exige que el gasto sea continuo a través de la estela. La componente v es discontinua, pues la situación en la estela es análoga a la del borde de salida, y en consecuencia el potencial de velocidades de perturbación ϕ también es una función discontinua en toda la estela turbillonaria del ala. En la Tabla 1.2 se resumen las propiedades de continuidad o discontinuidad de ϕ y de las componentes de la velocidad de perturbación.


Problema En el ala En la estela Fuera del ala y la estela

ϕ u v w ϕ u v w ϕ u v w

Simétrico C C C D C C C C(0) C C C C(0)

Sustentador D D D C D C(0) D C C(0) C(0) C(0) C

Tabla 1.2 Continuidad (C) o Discontinuidad (D) de las diferentes funciones en z = 0.En el cuadro se indica además en qué casos la función correspondiente es nula en el plano del ala (0),

pues en estos casos la función es antisimétrica y continua.

A. FÓRMULA INTEGRAL DE GREEN

Consideremos dos funciones armónicas, g y h, uniformes y acotadas, así como sus derivadas primeras y segundas en un cierto dominio, D, finito y simplemente conexo. Armónicas quiere decir que son soluciones de la ecuación de Laplace, que en el caso que ahora consideramos es tridimensional.

Es fácil demostrar (teorema de Green) que:

g hn

hg

ns∂

∂ − ∂∂

FH

IK =zz d

S

0 (6)

donde S es la frontera de D y ∂/∂n denota la derivada en la dirección de la normal, que suponemos positiva cuando apunta hacia el interior del dominio (Figura 4).

Σ

Figura 4. Definición del dominio al que se aplica la fórmula integral de Green.

Consideremos la función armónica h = 1/r, donde r = x − xo, que representa un manantial tridimensional situado en x (ver Aerodinámica I). Con esta elección la ecuación (6) no es directamente aplicable cuando x es un punto interior a D y xo es un punto genérico sobre la

frontera (pues no se cumplen algunas de las condiciones de validez enunciadas más arriba). En cambio, el teorema de Green sí es aplicable al dominio finito y simplemente conexo que se


obtiene extrayendo de D una esfera con centro en x y radio ε muy pequeño, cuyos puntos son todos interiores a D, con lo que se tiene:

(1/ ) 1 (1/ ) 1

d d 0r g r g

g s g sn r n n r n

Σ

∂ ∂ ∂ ∂ − + − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∫∫S

, (7)

donde Σ es la superficie esférica de centro en x y radio ε.

La integral extendida a la superficie Σ de la expresión (7) cuando ε es muy pequeño admite ciertas simplificaciones:

1) Independientemente de cuál sea el valor de ε, será: ∂(1/r)/∂n = – ε−2.

2) Dado que la función g y su derivada ∂g/∂n están acotadas, para un ε suficientemente pequeño será: g∂(1/r)/∂n >> (1/r)∂g/∂n.

3) Desarrollando en serie en el entorno de x se tiene g(xo) = g(x) + 0(ε); donde g(x) es una función que al no depender de xo se puede extraer de la integral.

Teniendo en cuenta además que el área de la superficie Σ es 4πε2, la expresión (7) resulta:

g gr

n r

g

nso

o( ) ( ) (1 / ) ( )dx x

x= ∂∂ − ∂

∂FH

IKzz1

41

πS

, (8)

donde, como ya se ha dicho, x es un punto cualquiera interior a D y r = xo − x es la distancia de dicho punto a uno genérico, xo, de la frontera del dominio D, a lo largo de la cual se efectúa la integración.

La ecuación (8) permite expresar el valor de cualquier función armónica en un punto x del dominio fluido superponiendo dobletes y manantiales sobre la frontera, cuya intensidad depende de los valores que toman g y ∂g/∂n en ella (condiciones de contorno). Esta expresión hace el mismo papel en la teoría de alas que el que tiene la de Cauchy, en la de perfiles.

3. EL PROBLEMA SIMÉTRICO

Atendiendo a las consideraciones hechas sobre el carácter de simetría y de continuidad del potencial de velocidades de perturbación, apliquemos la integral de Green a la función ϕ, eligiendo un dominio finito y simplemente conexo limitado por una parte por una esfera de radio R muy grande pero finito y por otra por el extradós y el intradós de la forma en planta del ala.

Como en este problema no hay torbellinos ni estela, fácilmente se intuye que la perturbación que provoca el ala se puede representar por una superposición de manantiales y sumideros distribuidos sobre la forma en planta, de intensidad global nula (para que el obstáculo sea cerrado). La contribución a la integral de la superficie esférica de radio R es tan pequeña como se quiera pues ϕ y ∂ϕ/∂n decrecen como R−2 y R−3 respectivamente, debido a que de lejos la suma de manantiales y sumideros de intensidad total nula se comporta como un doblete. Quedan pues únicamente las contribuciones del extradós (normal positiva en la dirección de z creciente) y del intradós (normal positiva en la dirección z decreciente), es decir:


0 0. .

( , , )1 (1/ ) 1( , , ) ( , ,0 ) d d

4πo o o

o oo oz zo oF P

x y zrx y z x y x y

z r z

ϕϕ ϕ +

+= =

∂∂ = − −∂ ∂

∫∫

−∂∂

−∂

∂

L

NMM

O

QPP

UV|W|

−

= = −zz ϕ ϕ( , , )

( / ) ( , , )d d

. .

x yr

z r

x y z

zx y

o zo

o o o

o zo

o o

F P

01 1

0 0

,

donde con F.P. se indica que la integración se extiende a la forma en planta del ala. Nótese que en esta expresión lo único que diferencia extradós de intradós es la dirección de la normal.

Teniendo en cuenta que la función ϕ es simétrica respecto a zo = 0, que ∂ϕ/∂zo = w es

antisimétrica y recordando la condición de contorno ∂ϕ/∂z|zo=0+ = U∞∂zp

+/∂x, resulta finalmente:

2 2 2

. .

( , ) /( , , ) d d

2π ( ) ( )

p o o oo o

o oF P

z x y xUx y z x y

x x y y z

∂ϕ

+∞ ∂

= −− + − +∫∫ , (9)

expresión cuya interpretación física en términos de manantiales y sumideros es obvia. Obsérvese que la condición de contorno la hace cumplir el manantial que está en cada punto, y no contribuyen el resto de los manantiales del ala, como se comprueba haciendo el límite cuando z → 0 de la expresión (9).

A. CAMPO DE PRESIONES INDUCIDO POR UN ALA SIMÉTRICA

Para calcular las componentes de la velocidad de perturbación (u,v,w) en un punto P(x,y,z) hay que derivar (9) respecto a x, y ó z, teniendo en cuenta que en el integrando de la expresión (9) lo

único que depende de estas variables es el radicando que aparece en el denominador. Como se ha deducido en el apartado 1.3, para calcular el potencial de perturbación en P habrá que sumar el efecto de todos los manantiales (de intensidades conocidas proporcionales a w(xo,yo,0

+)) situados en xo,yo,0, es decir

2 2 2

. .

( , ,0 )1( , , ) d d

2π ( ) ( )

o oo o

o oF P

w x yx y z x y

x x y y z

ϕ+

= −− + − +∫∫ . (10)

Teniendo en cuenta que, como 2 2 2( ) ( )o or x x y y z= − + − + se cumple que

1 1

ox r x r

∂ ∂ = − ∂ ∂

y que los límites de integración de la integral doble no varían al cambiar el punto efecto x (a diferencia de lo que ocurre en el cálculo análogo que aparece en la teoría linealizada de alas en régimen supersónico) se puede escribir


( )2

2 ( )

12π 2π ( , ,0 ) d d

x x yb o bs o

o o o oo

b x x yo ba o

u w x y x yx x r

ϕ=

+

− =

∂ ∂ = = = ∂ ∂

∫ ∫

( )2 ( )

( )2 ( )

( , ,0 ) ( , ,0 ) dd

x x yb x x y o bs oo bs o

o o o o oo

ox x yb x x yo ba o o ba o

w x y w x y xy

r x r

==+ +

=− =

∂ = − ∂

∫ ∫ (11)

El primer sumando del integrando da lugar a dos integrales de línea, una extendida al borde de salida y otra al de ataque, y el segundo sumando a una integral de área, obteniéndose la expresión que proporciona la velocidad horizontal de perturbación, u, como función de la velocidad vertical de perturbación, w:

( ) ( )2 2

2 2 2 2 2 22 2

( ), ,0 ( ), ,02π ( , , ) d d

( ( )) ( ) ( ( )) ( )

b b

bs o o ba o oo o

bs o o ba o ob b

w x y y w x y yu x y z y y

x x y y y z x x y y y z

+ +

− −

= − −− + − + − + − +∫ ∫

−∂

∂ − + − +

+zz w x y

x

x y

x x y y z

o o

o

o o

o oF P

( , , ) d d

( ) ( ). .

02 2 2

. (12)

Nótese que si la velocidad vertical w fuera independiente de xo desaparecería la integral de

superficie y la velocidad u dependería tan sólo de las integrales de línea extendidas al borde de ataque y al borde de salida. Tal caso ocurre, por ejemplo, cuando el ala está formada por planos.

4. EL PROBLEMA SUSTENTADOR

La primera dificultad que aparece en un problema sustentador cuando se pretende aplicar un método análogo al usado en el problema simétrico es que el potencial de velocidades de perturbación ϕ es discontinuo en la estela, y no se conoce a priori el salto que experimenta al atravesarla. Por tanto, no se puede aplicar la expresión (8) para calcular el potencial ϕ.

Habida cuenta de esta dificultad, los otros candidatos a considerar son las componentes de la velocidad de perturbación u, v y w, que también son funciones armónicas (son derivadas de una función armónica, ϕ). Si se pudiera calcular una de ellas, se podría deducir ϕ por integración respecto a la variable apropiada, y, después, las otras dos componentes de la velocidad por derivación de ϕ.

De las tres componentes de la velocidad de perturbación, la componente lateral v se descarta por razones análogas a las expuestas para ϕ. Quedan las componentes u y w, pero como esta última no se anula en la estela a gran distancia, va a ser difícil calcular la contribución a la integral de la esfera de radio R, por lo que se aplicará la expresión (8) a la función u.

Para estimar el orden de magnitud de u en la esfera de radio R se puede considerar el campo lejano debido a un hilo de torbellinos de longitud finita paralelo al eje y. Es fácil comprobar de nuevo que, al igual que en el problema simétrico, la contribución de la superficie de radio R es despreciable, de modo que basta con contabilizar las contribuciones de las integrales extendidas al intradós y al extradós de la forma en planta, es decir:


0 0. .

( , , )1 (1/ ) 1( , , ) ( , ,0 ) d d

4πo o o

o o o oo oz zo oF P

u x y zru x y z u x y x y

z r z

+

+= =

∂∂ = − −∂ ∂

∫∫

−∂∂

−∂

∂

L

NMM

O

QPP

UV|W|

−

= = −zz u x yr

z r

u x y z

zx yo o

o zo

o o o

o zo

o o

F P

( , , )( / ) ( , , )

d d

. .

01 1

0 0

. (13)

Al agrupar ambos integrandos las derivadas ∂u/∂zo desaparecen en virtud de su simetría, de

manera que, teniendo en cuenta que ∂r/∂zo = –∂r/∂z por la estructura particular de r, resulta finalmente

. .

1 (1/ )( , , ) ( , , 0 ) d d

2π o o o o

F P

ru x y z u x y x y

z

+ ∂= −

∂∫∫ ,

expresión que también se puede escribir como:

3/ 22 2 2

. .

( , ,0 )( , , ) d d

2π ( ) ( )

o oo o

F P o o

u x yzu x y z x y

x x y y z

+=

− + − + ∫∫ . (14)

Haciendo el límite de (14) cuando z → 0 se obtiene una identidad, de donde se deduce que la única singularidad que contribuye a u es la situada en el punto (x,y,0+), que representa un doblete (∂(1/r)/∂zo).

Para calcular el potencial de velocidades de perturbación ϕ(x,y,z) hay que observar que u =

∂ϕ/∂x y que ϕ(–∞,y,z) = 0. Por tanto:

ϕ ξ ξ( , , ) ( , , )dx y z u y z

x

=−∞z . (15)

Introduciendo en (15) la expresión de la velocidad u dada por (14) se obtiene:

3/ 22 2 2

. .

( , , ) ( , ,0 ) d d2π ( ) ( )

x

o o o o

F P o o

z dx y z u x y x y

x y y z

ξϕξ

+

−∞

= − + − +

∫∫ ∫

y, finalmente,

2 2 1/ 22 2 2

. .

( , ,0 )( , , ) 1 d d

2π ( ) ( ) ( )

o o oo o

oF P o o

u x y x xzx y z x y

y y z x x y y z

ϕ+ − = +

− + − + − + ∫∫

(16)

donde se ha utilizado la relación


2 2

3/ 22 2 2 2 2 2

( )

( ) ( ) ( ) ( )

o o

o o o o

x x y y z

xx x y y z x x y y z

− − +∂ =∂ − + − + − + − +

Para relacionar la forma del ala, w(x,y,0), con la sustentación sobre el ala, u(xo,yo,0+), basta con derivar la expresión (16) respecto a z y hacer z = 0, es decir:

2 1/ 22 2

. .

( , ,0 )1( , ,0) 1 d d

2π ( ) ( ) ( )

o o oo o

oF P o o

u x y x xw x y x y

y y x x y y

+ − = + − − + −

∫∫ (17)

También aquí, igual que en el caso simétrico, antes de seguir adelante conviene interpretar el resultado obtenido en términos de singularidades conocidas que en este caso son herraduras de torbellinos.

A. INTERPRETACIÓN DE LA EXPRESIÓN PARA LA VELOCIDAD VERTICAL DE PERTURBACIÓN EN FUNCIÓN DE HERRADURAS DE

TORBELLINOS

Consideremos la herradura de torbellinos de intensidad Γ > 0, representada en la Figura 5 en la que el plano que contiene a la herradura coincide con z = 0. Según los resultados obtenidos en Aerodinámica I, Capítulo 3, las velocidades inducidas por la línea de torbellinos, positivas cuando salen del plano de la figura, son:

1/ 22 2

1( , ,0) 1

4π( ) ( )

o

oo o

x xw x y

y yx x y y

−Γ = − + + − − + −

1/ 22 2

11

( ) ( )

o

o oo o o

x x

y y yx x y y y

− + + − − − ∆ − + − − ∆

1/ 2 1/ 22 2 2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )

o o o

oo o o o o

y y y y y

x xx x y y x x y y y

− − − ∆ − − − − + − − + − − ∆

Figura 5. Herradura de torbellinos de intensidad Γ

x, xo

y, yo

xo, yo

xo, yo+∆y


Para simplificar la escritura de los desarrollos posteriores se introducen las funciones auxiliares F1(x,y;xo,yo) y F2(x,y;xo,yo) definidas como

1 1/ 22 2

1( , ; , ) 1

( ) ( )

oo o

oo o

x xF x y x y

y yx x y y

− = + − − + −

2 1/ 22 2

1( , ; , )

( ) ( )

oo o

oo o

y yF x y x y

x xx x y y

− = − − + −

con lo que la velocidad w(x,y,0) se escribirá, salvo términos de orden (∆yo)2, como

1 2 2 1/ 22 2

1( , ,0) ( ) 1

4π 4π ( ) ( ) ( )

oo o

o oo o

x xw x y F F y y

y y y x x y y

−Γ ∂ Γ = + ∆ = + ∆ ∂ − − + −

.

(18)

La interpretación física de la expresión (17) es ahora evidente: la componente w de la velocidad de perturbación sobre el ala se debe a herraduras de torbellinos cuyas cabezas están situadas en el ala y cuyas colas se extienden hasta el infinito paralelamente a la velocidad incidente U∞.

Escribiendo 2u(xo,yo,0+) = γ (xo,yo), la expresión (17) se convierte en:

2 1/ 22 2

. .

( , )1( , ,0) 1 d d

4π ( ) ( ) ( )

o o oo o

oF P o o

x y x xw x y x y

y y x x y y

γ − = + − − + − ∫∫ . (19)

Así pues, el efecto sustentador del ala se representa matemáticamente por una distribución de torbellinos, al igual que ocurre en la teoría potencial linealizada de perfiles. Hay que recordar, sin embargo, que en el problema bidimensional 2u(xo,0+) = γ(xo) representaba la intensidad por

unidad de cuerda del torbellino que había que situar en (xo,0+) para perturbar el campo fluido de

la misma manera que el elemento correspondiente de perfil. Aquí ocurre lo mismo con la única diferencia de que la intensidad del torbellino γ es también función de yo.

La ecuación (19) resuelve, al menos formalmente, el problema de relacionar la forma del ala, w (x,y,0), con la distribución de sustentación, γ (x,y). Desgraciadamente no existe método analítico conocido que permita resolver el problema contrario, es decir, calcular la distribución de sustentación conocida la forma del ala (o en otras palabras, determinar u conocida w) debiéndose acudir a métodos numéricos como por ejemplo los métodos de paneles.

5. LA HIPÓTESIS DE PRANDTL OBTENIDA COMO LÍMITE CUANDO EL ALARGAMIENTO ES GRANDE

En el integrando de la expresión (19) aparece una singularidad muy fuerte, (y – yo)–2, cuyo

orden se puede reducir escribiendo primero dicho integrando en la forma γ (xo,yo)∂(F1+F2)/∂yo

y observando que la función γ(xo,yo) es nula fuera de la forma en planta y en el contorno del ala


(pues la componente según el eje x de la velocidad de perturbación, u, es antisimétrica, continua y, por tanto, nula en z = 0, fuera del ala), lo que permite aprovechar estos hechos para simplificar la integral (19) integrando por partes. En efecto, la expresión (19) se puede escribir como:

1/ 2(0) ( ) 2 2

(0) ( )

( ) ( )1 1( , ,0) ( , ) d d

4π ( )( )

x y xbs b oo o

o o o oo o o o

x y xba b o

x x y yw x y x y y x

y y y x x y yγ

−

− + − ∂ = + ∂ − − −

∫ ∫

[ ]1 21

( ) ( , )4π

I y I x y= − + , (20)

donde

1

. .

( , ) 1( ) d do o

o oo o

F P

x yI y x y

y y y

γ∂=

∂ −∫∫ , (21)

I x yx y

y

x x y y

x x y yx yo o

o

o o

o oo o

F P

2

2 2 1 2

( , )( , ) ( ) ( )

( )( )d d

/

. .

=∂

∂

− + −

− −zz γ . (22)

La integral I1(y) se calcula integrando en primer lugar en bandas paralelas al eje x, como se

indica en la Figura 6, con lo que se tiene:

I yy y

x y

yx y

o

o o

oo

xba yo

xbs yo

o

b

b

1

2

2

1( )( , )

d d

( )

( )

/

/

= −∂

∂

L

NMM

O

QPPzz

−

γ ,

pero como γ(xo,yo) es nula tanto en el borde de ataque como en el de salida, la integral respecto

a xo valdrá:

Figura 6. Integración en bandas paralelas al eje x para el cálculo de la integral I1, expresión (21).

x, xo

y, yo

xba(yo) U∞

xbs(yo)

b


( ) ( )

( ) ( )

( , ) d ( )d ( , )d

d

x y x ybs o bs o

o o oo o o o

o o ox y x yba o ba o

x y yx x y x

y y y

γγ

∂ Γ∂= =

∂ ∂∫ ∫ ,

siendo Γ(yo) la circulación total alrededor del perfil situado en yo. Así pues, la integral I1(y)

resulta, por tanto:

/ 2

1

/ 2

d ( )( )

b

o

ob

yI y

y y−

Γ= ×

−∫ , (23)

Esta integral sólo está definida como valor principal en sentido Cauchy y representa la velocidad inducida por los torbellinos libres de la estela. Este resultado se ha obtenido ya para el caso de alas de gran alargamiento en Aerodinámica I, pero aquí no se ha hecho todavía ninguna hipótesis adicional sobre el alargamiento del ala y, por tanto, la expresión obtenida para I1(y) es válida independientemente de cuál sea la forma en planta del ala.

En cambio, para estudiar el comportamiento de I2(x,y), se introduce la hipótesis de que el ala en consideración es larga, es decir, que y ~ b >> c ~ x. Para evaluar esta segunda integral se podría pensar ahora en despreciar |x−xo| frente a |y–yo|, con lo que el término que multiplica a ∂γ/∂yo en

el integrando de I2(x,y), es decir,

Fx x y y

x x y yo o

o o=

− + −− −

( ) ( )( )( )

/2 2 1 2

(24)

se convertiría en

1 o

o o

y yF

x x y y

−≅

− − .

Esta expresión está representada en la Figura 7 para puntos causa xo situados corriente arriba de

x (x−xo>0) y para puntos situados corriente abajo de x (x–xo<0). En ambos casos la función

presenta un salto, 2/(x–xo), cuando yo = y.

Figura 7. La función F = [1/(x–xo)][|y–yo|/(y–yo)] en función de yo para dos valores distintos de

la abscisa del punto efecto, x.

yo

yb(xo)

−yb(xo) y

x−xo<0

F

yo

yb(xo)

−yb(xo)

y

x−xo>0

F


Para ver qué ocurre realmente en las proximidades del salto, hay que situarse muy cerca de yo =

y, de modo que sea |y–yo| << |x–xo|; en tal caso la función que multiplica a ∂γ/∂yo en el

integrando de I2 se convierte en:

Fy y

x x

x xo

o

o= −

−−

1

expresión que tiende a infinito cuando yo → y, dependiendo el signo de los signos respectivos de (y−yo) y de (x−xo). En la Figura 8 se ha representado el comportamiento del término que multiplica a ∂γ/∂yo en la integral I2, expresión (24), a la luz de estas consideraciones. Se puede

concluir que, supuesta el ala larga, la función F dada por la expresión (24) se comportará como se indica en la Figura 8, que sólo difiere de la Figura 7 en bandas paralelas al eje x, cuyas anchuras son del orden de la cuerda media, c, dividida por el alargamiento, Λ, y por tanto, pequeñas cuando Λ es grande.

Figura 8. Variación con yo de la expresión (24) para dos valores distintos de la abscisa

en el punto efecto, x.

Analizado el comportamiento del integrando de I2, su cálculo se puede efectuar integrando en

bandas paralelas al eje y como se indica en la Figura 9, es decir:

I x yx y

y

x x y y

x x y yy xo o

o

o o

o oo

yb xo

yb xo

o

xba

xbs

2

2 2 1 2

0

0

( , )( , ) ( ) ( )

( )( )d d

/

( )

( )

( )

( )

=∂

∂

− + −

− −

L

NMMM

O

QPPP−

zz γ . (25)

yo

yb(xo)

−yb(xo) y

x−xo<0

F

yo

yb(xo)

−yb(xo)

y

x−xo>0

F


Figura 9. Integración en bandas paralelas al eje y para el cálculo de I2.

Para integrar respecto a yo se descompone el intervalo de integración como se indica a

continuación, debiendo escribir en cada intervalo parcial la expresión aproximada apropiada del integrando.

− −

−

−

+

+z z z z= + +

yb xo

yb xo

yb xo

y

y

y

y

yb xo

( )

( )

( )

( )ε

ε

ε

ε

,

donde ε ∼ b/Λ2 (en el límite Λ → ∞, ε → 0).

De las tres integrales en las que se ha descompuesto el cálculo de la expresión (25), la primera vale:

1/ 22 2

( ) ( )

( ) ( )( , ) ( , )1 1d d ( , )

( )( )

y yo oo o o o

o o oo o o o o o

y x y xb o b o

x x y yx y x yy y x y

y x x y y x x y x x

ε εγ γ

γ ε− −

− −

− + −∂ ∂ ≅ = −∂ − − − ∂ −∫ ∫

Recuérdese, una vez más, que en los bordes es γ = 0. Para la tercera integral se tiene

1/ 2( ) 2 2( ) ( )( , ) 1d ( , )

( )( )

y xb oo oo o

o oo o o o

y

x x y yx yy x y

y x x y y x xε

γγ ε

+

− + −∂ ≅ +∂ − − −∫ ,

y, finalmente, la segunda integral es:

x, xo

y, yo

xba(0) U∞ xbs(0)

yb(xo)

−yb(xo)


1/ 22 2( ) ( )( , ) ( , )1

d d( )( )

y yo o oo o o o

o oo o o o o o

y y

x x y y x xx y x yy y

y x x y y x x y y y

ε ε

ε ε

γ γ+ +

− −

− + − −∂ ∂ ≅∂ − − − − ∂∫ ∫ ,

expresión que tiende a cero con ε por la antisimetría del integrando.

Resulta, por tanto, que cuando ε → 0 la expresión (25) vale

I x yx y

x xx

x y

x xxo

oo

xba

xbs

o

oo

xba y

xbs y

2

0

02 2

( , )( , )

d( , )

d

( )

( )

( )

( )

= × − = × −z zγ γ . (26)

El cambio introducido en los límites de integración obedece a que γ sólo es distinta de cero entre el borde de ataque y el borde de salida del perfil situado en y y no entre el borde de ataque y el borde de salida de la sección central, de modo que en cada sección al descomponer la primera de las integrales de (26) en tres

I

xba

xba y

xba y

xbs y

xbs y

xbs

2 = × + × + ×z z z(0)

( )

( )

( )

( )

(0)

la primera y la tercera son nulas pues en éstas es nulo el integrando.

Así pues, en función de las expresiones de I1 e I2, ecuaciones (23) y (26), la expresión que

permite determinar w(x,y,0) se convierte, para un ala larga, en

( )/ 2

/ 2 ( )

d ( ) ( , )1 1( , ,0) d

4π 2

x yb bs

o oo

o ob x yba

y x yw x y x

y y x x

γπ

−

Γ= − × − ×

− −∫ ∫ . (27)

siendo

( )

( )

( ) ( , )d

x ybs o

o o o o

x yba o

y x y xγΓ = ∫ .

La expresión anterior indica que en el caso de un ala larga la velocidad de perturbación según el eje z en el ala es suma de dos efectos fácilmente identificables: la primera de las integrales de la expresión (27) representa la contribución a la velocidad de perturbación vertical sobre el ala de la estela de torbellinos que se extiende desde el ala hasta el infinito corriente abajo de la misma; la intensidad de los torbellinos que forman esta estela es de dΓ/dy, donde Γ(y) es la circulación global en el perfil del ala situado en y. La segunda integral de la expresión (27) es idéntica a la expresión obtenida en Aerodinámica I, escribiendo γ = 2u, y que representa el campo de velocidad vertical inducido en sí mismo por un perfil de acuerdo con la teoría potencial linealizada de perfiles en régimen incompresible expuesta en el Capítulo 7 de Aerodinámica I.

En resumen, en la aproximación de ala larga cada sección del ala se resuelve sumando al problema estrictamente bidimensional del perfil en consideración (problema representado por la integral I2) la contribución debida a la estela completa del ala (la integral I1), enunciado que


coincide con la hipótesis de Prandtl para el cálculo de las características aerodinámicas de alas de gran alargamiento, cuyo desarrollo se presenta en el Capítulo 11 de Aerodinámica I.

6. FORMULACIÓN PARA ALAS ESBELTAS OBTENIDA COMO LÍMITE PARA ALARGAMIENTOS PEQUEÑOS

Existe otra aproximación simplificada de interés de la teoría de alas desarrollada, que se obtiene cuando las dimensiones del ala en el sentido de la cuerda son mucho más grandes que en el sentido de la envergadura (ala esbelta, Figura 10). Con esta aproximación se obtienen los mismos resultados que los que se deducen en el desarrollo de la teoría general de cuerpos esbeltos, aunque los obtenidos aquí son menos generales ya que sólo son formalmente de aplicación en el caso del vuelo en régimen incompresible, mientras que los de la teoría de alas esbeltas son válidos en cualquier régimen, dentro del rango de validez de la aproximación linealizada.

Figura 10. Geometría y ejes para un ala esbelta.

Como se ha visto en el apartado anterior, expresiones (20)-(22), la velocidad vertical en un problema antisimétrico se puede escribir como:

1/ 22 2

. .

( ) ( )( , )1 1( , ,0) 1 d d

4π ( )o oo o

o oo o o

F P

x x y yx yw x y x y

y y y x x

γ − + −∂ = − + ∂ − − ∫∫ .

(28)

Procediendo con la expresión anterior de forma parecida a lo hecho en el apartado anterior, se transforma w(x,y,0) para integrar en bandas paralelas al eje x (Figura 11) y para estudiar el comportamiento del integrando, más concretamente el comportamiento de la función

Gy y

x x y y

x xo

o o

o= − +

− + −−

LNMM

OQPP

1 12 2 1 2

( ) ( )( )

/

, (29)

x

y z

c

U∞

2b(x)

α


Figura 11. Integración en bandas paralelas al eje x para el cálculo de w(x,y,0) en un ala esbelta

se hace la hipótesis de que el ala que consideramos es esbelta, es decir, que c ~ x >> y ~ b.

A la vista de los condicionantes impuestos, se podría pensar que está justificado despreciar |y-yo|

frente a |x–xo|, con lo que el término que multiplica a ∂γ/∂yo en el integrando de w(x,y,0) se

convertiría en

Gy y

x x

x x

y yx x

x xo

o

o

oo

o

= − +−−

LNM

OQP=

− <

>

RS||

T||

1 1

2

0,

,

Esta expresión está representada en la Figura 12 para puntos causa yo situados a la izquierda de

y (y-yo>0) y para puntos situados a la derecha de y (y–yo<0). En ambos casos la función presenta

un salto, 2/(y–yo), cuando xo = x.

x, xo

b b

y, yo xba(yo)

xbs(yo)


2

oy y−( )ba ox y

( )bs ox y0oy y− ≥

2

oy y−( )ba ox y

( )bs ox y0oy y− ≤

Figura 12. La función G = [1/(y–yo)][1+|x–xo|/(x–xo)] en función de xo para dos valores distintos de la ordenada del punto efecto, y.

También aquí, como en el caso de las alas largas, para ver qué ocurre realmente en las proximidades del salto, hay que situarse tan cerca de x = xo que sea |x–xo| << |y–yo|; en tal caso

la función que multiplica a ∂γ/∂yo en el integrando de w(x,y,0), expresión (29), se convertiría en:

1 1y y

y y

x xo

o

o− +−−

LNM

OQP

de manera que, si el ala es esbelta, la función G dada por la expresión (29) se comporta como se representa en la Figura 13, que sólo difiere de la Figura 12 en bandas paralelas al eje y, cuyas anchuras son del orden de la cuerda media, c, multiplicada por el alargamiento, Λ, y por tanto, pequeñas cuando Λ es pequeño.

Visto el comportamiento de la función, para calcular w(x,y,0) se integra en bandas paralelas al eje x (Figura 11) obteniéndose


2

oy y−( )ba ox y

( )bs ox y0oy y− >

2

oy y−( )ba ox y

( )bs ox y0oy y− <

Figura 13. Variación con xo de la expresión (29) para dos valores distintos de la ordenada en el punto efecto, y.

1/ 2( ) 2 2

( )

( ) ( )( , )1 1( , ,0) 1 d d

4π ( )

x yb bs oo oo o

o oo o o

b x yba o

x x y yx yw x y x y

y y y x x

γ

−

− + − ∂ = − + ∂ − −

∫ ∫

. (30)

Nótese que al escribir la integral anterior se ha seguido la nomenclatura utilizada habitualmente en la teoría de alas esbeltas donde se denomina b a la semienvergadura del ala y no a la envergadura.

Para integrar respecto a xo descomponemos el intervalo de integración como sigue, debiendo

escribir en cada intervalo parcial la expresión aproximada apropiada del integrando:

xba yo

xbs yo

xba yo

x

x

x

x

xbs yo

( )

( )

( )

( )

z z z z= + +−

−

+

+

ε

ε

ε

ε

donde ε ∼ cΛ2, de modo que, en el límite Λ → 0, se tiene ε → 0. La primera de estas tres integrales, recordando una vez más que en el borde de ataque γ(xba(yo),yo) = 0, es:

1/ 22 2

( ) ( )

( ) ( )( , ) ( , )1 21 d d

( )

x xo oo o o o

o oo o o o o

x y x yba o ba o

x x y yx y x yx x

y y y x x y y y

ε εγ γ

− − − + −∂ ∂ + = = ∂ − − − ∂ ∫ ∫

( )

( , )2 2 ( , )d

x

oo o o

o o o ox yba o

x yx y x

y y y y y y

εε

γ−

∂Γ −∂= =

− ∂ − ∂∫ɶ

, (31)


donde se ha definido la función

( )

( , ) ( , ) d

x

o o o o

x yba o

x y x y xγΓ = ∫ɶ , (32)

que representa la acumulación de todos los torbellinos que hay en y = yo desde el borde de ataque hasta xo = x (véase la Figura 14).

Figura 14. Herraduras de torbellinos correspondientes a un ala esbelta.

La tercera integral es nula:

∂

∂ −+

− + −

−

LNMM

OQPP =

+z γ

ε

( , ) ( ) ( )

( )d

( )x y

y y y

x x y y

x xxo o

o o

o o

oo

x

xbs yo1

1 02 2

, (33)

respecto a la segunda de las integrales, en el límite ε → 0, se tiene:

∂

∂ − +− + −

−LNM

OQP =

−

+

z γ

ε

ε( , ) ( ) ( )

( )d

x y

y y y

x x y y

x xxo o

o o

o o

oo

x

x

1 12 2

=∂

∂ − +−− −

∂∂

−

+

z2 1 1ε γ γ

ε

ε( , ) ( , )

dx y

y y y

y y

y y x x

x y

yxo

o o

o

o o

o o

oo

x

x

, (34)

expresión que tiende a cero con ε por la antisimetría del integrando del segundo sumando.

En resumen, en el caso de alas esbeltas la velocidad de perturbación vertical sobre el ala vale

( )

( , ) ( , ) /1 2 1( , ,0) d d d

4π 2π

b x b

o o o oo o o

o o ob x y bba o

x y x y yw x y x y y

y y y y y

γ

− −

∂ ∂Γ ∂ = − = − ×− ∂ −

∫ ∫ ∫

ɶ

.

(35)

( , )x yΓɶ


La expresión anterior indica que, en la aproximación de ala esbelta, sólo tienen influencia las singularidades situadas corriente arriba del punto efecto x (que se ven como hilos de torbellinos de longitud infinita) y que en este caso los torbellinos libres de la estela y los ligados situados en xo > x contribuyen poco (nada) a la velocidad vertical. También se debe destacar que en las alas esbeltas no hace falta imponer la condición de Kutta (pues es imposible, ya que en un punto dado sólo influye lo que ocurre corriente arriba del mismo).

En el caso que se desee calcular la circulación conocida la geometría del ala, la ecuación (35), que ahora sería una ecuación integral, puede ser resuelta mediante un método similar al de Goldstein en las variables x e y, obteniéndose

( )2 2

2 2( )

( , ,0)( , ) 2x ( ) d

π ( )

b x

oo o

ob x

w x yx yb x y y

y y yb x y −

∂Γ= −

∂ −− ∫ɶ

. (36)

La solución (36) se obtiene multiplicando en ambos lados de la expresión (35) por una función del tipo [(b(x)−y)(b(x)+y)]1/2 que no proporciona circulación neta en el plano xz como debe de ocurrir por la simetría del problema. También se ha tenido en cuenta una condición adicional

que fija y∂Γ ∂ɶ

( )

( )

( , )d 0

b x

b x

x y yy

−

∂Γ =

∂∫ ɶ . (37)

ya que la solución de (35) no es única.

Un caso de particular interés es cuando el ala es plana (los cortes por planos x = cte son líneas rectas). En este caso w(x,y,0) = −α(x)U∞ y de la integración de la expresión (1.37) se obtiene

2 2

2 ( )( , )

( )

y x Ux y

yb x y

α ∞−∂Γ=

∂ −

ɶ

, (38)

de modo que

2 2( , ) 2 ( ) ( )x y b x y x Uα ∞Γ = −ɶ . (39)

Particularizando la expresión (1.40) en el borde de salida, resulta:

2 2( , ) 2 ( ) ( )L y b L y L Uα ∞Γ = −ɶ (40)

y como según la expresión (32) es

( )

( )

( , ) ( , )d ( )

x ybs

o o

x yba

L y x y x yγΓ = = Γ∫ɶ

se tiene por tanto


2 2( ) 2 ( ) ( )y b L y L Uα ∞Γ = − , (41)

expresión que permite concluir que en un ala esbelta plana, cualquiera que sea su forma en planta, la distribución de circulación a lo largo de la envergadura es elíptica.

7. EL PLANO DE TREFFTZ Y LA RESISTENCIA INDUCIDA

Según la teoría potencial linealizada de alas

( )21 0 , 1U Uϕ ϕ ε ε ε∞ ∞Φ = + = + + ≪ , (42)

con ϕ1 de orden unidad, siendo ε el orden de magnitud de la perturbación en la forma del ala si

ésta no es esbelta, z x zl l l cε ∼ ∼ . En este último caso, ε es el cuadrado de la perturbación en

la forma, ( ) ( )2 2

y xl l b lε ∼ ∼ .

En este modelo, el ala se representa mediante distribuciones de torbellinos ligados a la forma en planta del ala, que dan lugar a una estela de torbellinos libres que se extiende hasta el infinito aguas abajo. Un observador situado muy lejos, aguas abajo del ala, puede pensar que los hilos de torbellinos vienen de x = –∞ (desde muy lejos aguas arriba) y que continúan hasta x = +∞ . En esta zona, muy lejos aguas abajo del ala, donde el efecto de los torbellinos ligados al ala pueden ser despreciados frente al efecto de los torbellinos libres, las longitudes características de variación del potencial de velocidades de perturbación son ,y z xl l l≪ , es decir es necesario

trasladarse una distancia mucho mayor en la dirección de la corriente no perturbada, que en las direcciones transversales, para notar variaciones del mismo orden de magnitud en el potencial de perturbación. Esto es similar a lo que ocurre en el campo próximo de cuerpos esbeltos, y la ecuación diferencial para el potencial de perturbación en este caso será también

ϕ ϕyy zz+ = 0 , (43)

es decir, la ecuación es la de Laplace en dos dimensiones, en el plano transversal. A este plano transversal se le denomina “Plano de Trefftz”.

Las componentes transversales de la velocidad, ϕy y ϕz, producen un arrollamiento de la estela

como se muestra en la Figura 15. La distancia que hay que alejarse corriente abajo para que el arrollamiento sea grande es del orden de, b/ε, siendo, b, la envergadura del ala y, ε, el parámetro

pequeño empleado en la linealización, z x zl l l cε ∼ ∼ .


Figura 15. Arrollamiento de la estela.

Los efectos viscosos no tenidos en cuenta por la teoría potencial, producen difusión de la verticidad. Siendo la distancia que hay que recorrer a lo largo de la estela para poder apreciar este efecto tan grande que la parte de los torbellinos que inducen la mayor parte de la velocidad en el ala responden al modelo potencial. Si la difusión es laminar su efecto será apreciable a una distancia del orden de bRe1/2.

Normalmente el efecto del arrollamiento se presenta antes que el de la difusión de verticidad, ya que el número de Reynolds suele ser muy grande en estos movimientos, mucho mayor que el inverso de la perturbación en la geometría del ala al cuadrado.

El movimiento en el plano de Trefftz tiene dos características importantes:

1. Los efectos de compresibilidad son despreciables en esta zona del campo fluido, pues el

único término que depende de la compresibilidad, (1 )− ∞M xx2 ϕ , es de menor orden.

Por lo tanto, la resistencia inducida, que como veremos es la asociada a las

perturbaciones producidas por el ala en el plano de Trefftz, no depende de M∞ .

2. La única información que llega al plano de Trefftz es la de la variación a lo largo de la envergadura, de la circulación alrededor de los perfiles del ala. Es decir, si se tienen dos alas, una larga y otra corta, con la misma envergadura y con la misma distribución de sustentación a lo largo de la envergadura, las dos tienen la misma resistencia inducida. Por lo tanto la distribución de la sustentación a lo largo de las cuerdas no influye en el valor de la resistencia inducida.

8. CÁLCULO DE LA RESISTENCIA INDUCIDA Y LA SUSTENTACIÓN DEL ALA

Para determinar la resistencia inducida se aplican los principios de conservación de la masa y de la cantidad de movimiento en la dirección horizontal a un prisma de generatrices paralelas a la corriente no perturbada. Las superficies frontera del volumen fluido se muestran en la Figura 16:

• S1: base anterior en el infinito aguas arriba, • S2: superficie lateral muy alejada del ala, • S3: base posterior en el plano de Trefftz.

b

εϕy


Figura 16. Volumen de control para el cálculo de la resistencia inducida.

El potencial de velocidades linealizado

� � �� , se introduce en las ecuaciones del movimiento para retener los términos de primer orden.

A. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE LA MASA

� �v·nd��

� �

En el plano de Trefftz la perturbación en la densidad es de segundo orden como se comprobará más adelante. Por tanto se puede escribir � � �� . Introduciendo los desarrollos de potencias del potencial de velocidades y de la densidad se tiene

�� d�� !d��

�� "�� #"�� $ � �� #d�%& � �, (44)

donde ϕ′n representa la derivada del potencial en la dirección normal a las caras laterales del prisma. Operando, simplificando y despreciando términos de orden superior se tiene

� ��d�� d�� d�� .

B. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

� �v�'''' ( )))) d��

� � * +nd��

Introduciendo el desarrollo del potencial de velocidades y proyectando en la dirección del la corriente no perturbada se tiene:

�� d�,� �� -�� .$/��.0d�,� �� -�� .$/�d�,� �

x

y

z L

D

U∞

�

�

�


�� 1 � 1� d�,� � 2 (45)

Introduciendo el desarrollo en serie de potencias para la densidad en la superficie S3, teniendo en cuenta el resultado obtenido de la ecuación de continuidad y despreciando términos de orden superior se tiene:

2 � �� 1 � 1� d�,� �� $��0d�,� �� $d�,� �� $�d�,� (46)

C. ECUACIÓN DE BERNOULLI

La relación entre la presión y la velocidad en el campo fluido en teoría linealizada puede escribirse para régimen compresible como:

343565 7 8�485�

94: � � :� ;�� $ � � ��<� � ��=� �� >. (47)

Introduciendo la ecuación (47) en (46) se tiene:

2 � :�� -��<� � ��=� � ��$�/d�,� �� $�0d�,� (48)

El último término del integrando del primer término en el segundo miembro de la ecuación anterior es despreciable frente los otros dos, aunque a simple vista pueda parecer del mismo orden. La integral está extendida al plano de Trefftz por lo que el movimiento está contenido en ese plano.

Se puede estimar el orden de magnitud de las velocidades de perturbación en el plano de Trefftz teniendo en cuenta que los hilos de torbellinos son una superficie libre tal que cada hilo es tangente en cada punto a la velocidad local. Como además , ,x y z Uϕ ϕ ϕ ∞<< , el ángulo que

forma cada hilo con la dirección del eje x, ,y y z zU Uδ ϕ δ ϕ∞ ∞∼ ∼ , será del orden de la

velocidad de perturbación, ,y zδ δ ε∼ , como se muestra en la Figura 17.

zδ

zδ

Figura 17. Componentes de la velocidad en el plano de Trefftz


Cada hilo induce sobre los puntos del plano de Trefftz velocidades que en primera aproximación son perpendiculares al hilo, y al proyectarlas sobre los ejes del sistema de referencia se obtiene

x y zϕ εϕ εϕ∼ ∼ . De donde se deduce que la velocidad de perturbación en la dirección del eje x

es de orden 2ε . Introduciendo estas estimaciones en la expresión que relaciona la presión con la velocidad en el plano de Trefftz se tiene

( )2 32 0p p pε ε∞= + + (49)

y por tanto también

( )2 32 0ρ ρ ε ρ ε∞= + + . (50)

Por lo que la resistencia aerodinámica se puede escribir finalmente, en primera aproximación, y en función de las variables físicas como:

2 � :�� -�<� � �=�/d�,� �� $�0d�,� (51)

Los dos términos que proporcionan la resistencia están extendidos a las superficies S3 y S2:

• El primero es la denominada resistencia inducida, Di, y es debida a los torbellinos de la estela. Esta resistencia es directamente proporcional a la energía cinética en el plano de Trefftz.

• El segundo término es la denominada resistencia de onda Donda, y, en teoría linealizada, se debe a la perturbación en la velocidad que llega lateralmente hasta el infinito. Esta resistencia es nula en movimiento subsónico porque la perturbación se amortigua muy rápidamente al alejarse del cuerpo en las direcciones transversales a la corriente no perturbada.

I. RESISTENCIA INDUCIDA

La primera integral del segundo miembro de la ecuación (51) puede resolverse fácilmente teniendo en cuenta que el movimiento en el plano de Trefftz es incompresible y por tanto

2 0ϕ∇ = . El integrando puede reescribirse como

( ) 22 2 2y zϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ∇⋅ ∇ = ∇ ⋅∇ + ∇ = ∇ = + . (52)

De donde la integral sobre S3 es

( )3 3

2 d d dS S C C C C

ϕ σ ϕ ϕ σ ϕ ϕ+ −

∞= + +

∇ = ∇⋅ ∇ = ∇ ⋅ Σ∫∫ ∫∫ ∫ n . (53)

Obsérvese que el dominio fluido potencial excluye la estela, de manera que el contorno del volumen de control está formado por las superficies siguientes (representadas en la Figura 18):

1. C∞ : el contorno del infinito

2. C + : el extradós de la estela

3. C − : el intradós de la estela


Figura 18. Dominios de integración para la integral de la ecuación (53).

Llamando n a la dirección normal al contorno y teniendo en cuenta que los contornos C+ y C- son perpendiculares al eje vertical se tiene

d d d dn z z

CC C C C C C

ϕ ϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ+ − + −

∞∞= + +

∇ ⋅ Σ = Σ− Σ + Σ∫ ∫ ∫ ∫n . (54)

Expresión que puede simplificarse teniendo en cuenta la antisimetría del flujo en el plano de Trefftz, debido a la distribución bidimensional de torbellinos de la estela, que proporciona las siguientes expresiones

( ) ( )( ) ( )

, , 0 , ,0 ,

, ,0 , ,0 .

y y

w y w y

ϕ ϕ+ −

+ −

∞ = − ∞

∞ = ∞ (55)

El salto de potencial entre extradós e intradós de dos puntos de la estela ( ), ,0x y + y ( ), ,0x y −

es igual a la circulación alrededor del perfil situado en y. El integrando del primer término del segundo miembro de la ecuación (54) es

( ) ( )2 2

1, d rd 0n n r r

C C

ff

r r

θϕ θ ϕ ϕϕ θ

∞ ∞

→∞ →∞⇒ Σ → →∫ ∫∼ ∼ . (56)

Introduciendo (55)-(56) en (54) se tiene

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

2

d d , ,0 , ,0 , ,0 d

, ,0 d .

b

z z

bC C

b

b

y y w y y

y w y y

ϕϕ ϕϕ ϕ ϕ+ −

− + +

−

+

−

− Σ + Σ = ∞ − ∞ ∞

= − Γ ∞

∫ ∫ ∫

∫ (57)

Con lo que la resistencia inducida puede escribirse de forma general para cualquier obstáculo como


( ) ( )2

2

, ,1

20 d

b

b

iD y w y yρ +∞

−

= − Γ ∞∫ . (58)

Esta expresión ya fue obtenida en el caso de alas largas y se desarrolló un método para resolver la integral de forma sencilla. De lo anterior se demuestra que ese método es aplicable a cualquier tipo de obstáculo, no sólo para alas largas, para el cálculo de la resistencia inducida.

II. SUSTENTACIÓN

Respecto a la sustentación, aunque el resultado que vamos a obtener es conocido, es interesante el método utilizado para calcular la sustentación del ala en función de la intensidad de los torbellinos en la estela. El interés radica en que este mismo método se puede aplicar para calcular las fuerzas en otras configuraciones, por ejemplo, en el caso de las fuerzas transversales en cuerpos esbeltos.

La aplicación del teorema de conservación de la componente vertical de la cantidad de movimiento al elemento de control de la Figura 19, despreciando términos de segundo orden y empleando la ecuación (47) para expresar los términos de presión en función de las velocidades de perturbación, conduce a la expresión

1 3 2 2

d d d d d d d d

z zS S S S

L U w y z w y z u y x u y xρ+ −

∞ ∞

= − + − ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ (59)

13

y

Figura 19. Integración a lo largo de la curva Cy

Integrando en las bandas resultantes al cortar las superficies por planos perpendiculares al eje y, como se muestra en la Figura 19 se tiene

( ) ( ) ( ) ( ), , d , , d , , d , , d d

d dy

s

C

L U w y z z u x y x w y z z u x y x y

U V s y

ρ

ρ

+∞ +∞ +∞ +∞ +∞

∞ ∞−∞ −∞ −∞ −∞ −∞

+∞

∞ ∞−∞

= −∞ + ∞ − ∞ − ∞

= ⋅

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫�

(60)


La integral de línea representa la circulación alrededor de la curva Cy, y finalmente se tiene

( )2

2

db

b

L U y yρ+

∞ ∞−

= Γ∫ . (61)

teoria potencial linealizada de alas en regimen incompresible 2007

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