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Teoría Positiva del Equilibrio

Basado en el capítulo 17 de “Microeconomic

Theory”, Mas-Colell, Whinston and Green, 1995.

Equilibrio: Definiciones y Ecuaciones Básicas

Funciones de Demanda Excedente en Economías de Intercambio Puro

Considere la función de demanda walrasiana

Proposición

En una economía de intercambio puro en la que las preferencias del

consumidor son continuas, estrictamente convexas y localmente no

saciadas, es un vector de precios de un Equilibrio Walrasiano si y sólosaciadas, es un vector de precios de un Equilibrio Walrasiano si y sólo

si:

Sketch de prueba:

- suponga de existe un bien adicional

- Los mercados limpian.

- Las decisiones son óptimas.


Definición:

La función de exceso de demanda del consumidor i está dada por

La función de exceso de demanda agregada está dada por:

El dominio de la función son un conjunto de vectores de precios no negativos

que incluye a todos los vectores estrictamente positivos.

El dominio de la función son un conjunto de vectores de precios no negativos

que incluye a todos los vectores estrictamente positivos.

En un equilibrio Walrasiano:

(por no saciedad local)

� para cada bien: si


Proposición:

Suponga que para cada consumidor i, y es continua ,

estrictamente convexa y fuertemente monótona. Suponga también que

. Entonces la función de demanda excedente agregada ,

definida para todos los vectores de precios satisface las siguientes

propiedades:propiedades:

i. continuidad.

ii. homogeneidad de grado cero.

iii. 0 para todo p (Ley de Walras)

iv. Existe un valor tal que para todos los bienes y

precios.

v. Si , donde y para algún , entonces


Sketch de Prueba:

i-iii por las propiedades de las funciones de demanda.

iv la cota se debe a la no negatividad de las demandas.

v Existe algún consumidor con riqueza positiva (debido a )

Debido a monoticidad fuerte la demanda para alguno de los bienes

cuyo precio converge a cero debe crecer.

Observación:

Debido a la ley de Walras, para verificar que un vector de precios

limpia todos los mercados basta con verificar que limpia todos los

mercados menos uno. Si debido a

y tenemos que:


Economías con producción:

Suponga que el conjunto de producción es cerrado, acotado por arriba y

estrictamente convexo.

Sean y los beneficios máximos y el vector de producción

que maximiza los beneficios.

La función de demanda excedente con producción es:

Un vector de precios es el vector de precios de un Equilibrio

Walrasiano si y sólo si .

Existencia de un Equilibio Walrasiano

Economías de Intercambio puro:

Ejemplo con dos bienes:

- Por homogeneidad de grado 0 (propiedad ii) se puede normalizar el

precio del bien 2:

- Por ley de Walras (propiedad iii), un equilibrio es la solución a:

Por propiedades iv y v:

- Existe precio suficientemente bajo tal que:

- Existe precio suficientemente alto tal que:

- Por continuidad(propiedad i) existe precio intermedio

tal que

Existencia de un Equilibio Walrasiano

Economías de intercambio puro:

Caso con L bienes:

Proposición:

Suponga que es una función definida para todos los vectores

estrictamente positivos y que satisface las condiciones i-v. Entonces el

sistema de ecuaciones tiene una solución. Por lo tanto, existesistema de ecuaciones tiene una solución. Por lo tanto, existe

un equilibrio Walrasiano en toda economía de intercambio puro en la

que y cada consumidor tiene preferencias continuas,

estrictamente convexas y fuertemente monótonas.

Comentarios:

- La prueba es una aplicación del teorema del punto fijo de Kakutani.

- Se extiende a economías con producción.

Unicidad Local y el Teorema del Indice

Múltiples equilibrios, en general, no pueden ser descartados:

�

(también ver ejemplo 15.B.2 y ejercicio 17.D.1 en el libro)

Una propiedad más débil es la unicidad local (no existe otro equilibrio

arbitrariamente cerca).


Ejemplo en el que unicidad local no es satisfecha:


• De ahora en más se normaliza el precio del bien L:

� un equilibrio Walrasiano satisface:

donde

Economías Regulares

Definición:Definición:

Un vector de precios es regular is la matriz de efectos de

precios es no-singular, es decir, tiene rango L-1. Si todos los

vectores de precios de equilibrio normalizados son regulares, la

economía es regular.

(La economía del ejemplo anterior no es regular ya que la pendiente de la

función de demanda excedente es cero para precios de equilibrio)


Proposición:

Todo vector de precios (normalizado ) de equilibrio regular p está

localmente aislado (o es localmente único). Es decir existe tal que

si , y entonce . Si la economía es

regular, el número de vectores de precios de equilibrio normalizados es

finito.

Sketch de la prueba:Sketch de la prueba:

La unicidad local es consecuencia del teorema de la función inversa.

El conjunto de precios de equilibrio es acotado (por propiedad v),

cerrado (por continuidad, propiedad i) y es discreto (por unicidad local)

� el conjunto es finito.


Definición

Suponga que es un equilibrio regular de la

economía. Entonces :

donde es el determinante de

Proposición (Teorema del Indice)

Para cualquier economía regular, se cumple:Para cualquier economía regular, se cumple:

Es decir que el números de equilibrios es impar.


Genericidad

¿Qué proporción de las economías son regulares?

Proposición (Debreu 1970)

Para casi cualquier vector de dotaciones inciales la economía definida por es regular.

Observaciones:

- El análisis de genericidad se extiende a economías con externalidades, impuestos y otras imperfecciones.

- Número finito de equilibrios sigue siendo un resultado vago. Porejemplo los equilibrios pueden ser millones y muy diferentes.

Vale todo!

Teorema de Sonnenschein-Mantel-Debreu

Sin imponer restricciones adicionales, ¿qué más se puede decir en

términos de estática comparada o predicción?

La respuesta es que, en general, no podemos imponer restricciones

adicionales a las demandas excedentes (en línea con los resultados sobre

agregación de demandas, Cap. 4):agregación de demandas, Cap. 4):

Proposición:

Suponga que z(.) es una función continua definida en:

y con valores en . Suponga adicionalmente homogeneidad de grado 0 y

que la ley de Walras se satisface. Entonces existe una economía con L

consumidores para los cuales la función de demanda excedente agregada

coincide con en el dominio .

Unicidad del Equilibrio

A lo largo de esta sección las preferencias son continuas, estrictamente

convexas y fuertemente monótonas.

Proposición:

Dada una economía especificada por una tecnología de rendimientos

constantes a escala Y y una demanda excedente agregada z(.), un vector

de precios p es un vector de precios de un equilibrio Walrasiano si y sólo

si:si:

i. para todo

ii. es un nivel de producción factible, es decir

Prueba:

� ii es consecuencias directas de la definición de equilibrio Walrasiano. i se

satisface en por maximización de los beneficios bajo retornos constantes.

ii implica maximización de la utilidad.

Por ley de Walras que junto con i implica maximización

de beneficios. Los mercados limpian.


Definición (Axioma Débil para funciones de demanda excedente):

La función de demanda excedente satisface el axioma débil de demanda

excedente (ADDE) si para cualquier para de vectores de precios p y p’ se

cumple:

y implica

Este axioma se satisface para demandas individuales pero es un supuestoEste axioma se satisface para demandas individuales pero es un supuesto

fuerte para demandas agregadas.


Ejemplo de violación del ADDE y multiplicidad:

Suponga que existe un par de vectores de precios p y p’ tal que ,

y . Entonces los dos vectores son de equililbrio con la

siguiente tecnología de rendimientos constantes a escala:

Gráfico con dos bienes:


Proposición:

Suponga que la función de demanda excedente z(.) es tal que, para cualquier

tecnología con rendimientos constantes a escala Y, la economía formada por

z(.) e Y tiene un único vector de precios de equilibrio. Entonces, z(.) satisface

el axioma débil de la demanda excedente. Si z(.) satsiface el axioma débil de

la demanda excedente, para cualquier tecnología convexa con rendimientos

constantes a escala, el conjunto de precios de equilibrio es convexo (y por lo

tanto, si el conjunto de vectores de precios normalizados de equilibrio estanto, si el conjunto de vectores de precios normalizados de equilibrio es

finito, puedo haber a lo sumo un vector de precios de equilibrio normalizado).

Sketch de prueba:

La primera parte fue probada en el anterior slide.

Para verificar convexidad considere p y p’ vectores de precios de equilibrio.

Considere y muestre que y que p’’ satisface la

condición i de la definición de equilibrio.


¿Bajo que condiciones se satisface el ADDE?

Si los vectores de dotaciones individuales son proporcionales entre

sí y preferencias homotéticas.

Pero si la proporcionalidad de las dotaciones no se mantiene, ADDE

puede ser violado aún bajo preferencias homotéticas. puede ser violado aún bajo preferencias homotéticas.

Unicidad del EquilibrioDefinición:

La función satisface la propiedad de sustituibilidad bruta (SB) cuando para

cualquier par de vectores y tales que para un bien y

para resulta para .

Aclaración: por homogeneidad de grado 0 también se obtiene

(chequear como ejercicio).

Proposición:

Una función de demanda agregada que satisface la propiedad de

sustituibilidad bruta tiene a lo sumo un equilibrio de intercambio puro; es

decir z(.) tiene a lo sumo una solución normalizada.


Prueba:

Basta con probar que z(p)=z(p’) sólo se puede satisfacer si existe un k>0 tal

que p=kp’. Por homogeneidad de grado cero podemos asumir y

para un bien . Considere alterar p’ para llegar a p en L-1 pasos

bajando o manteniendo constantes los precios de los bienes distintos de

uno a la vez. Entonces el exceso de demanda del bien no puede bajar y

ya que los vectores de precios son distintos, debe subir al menos una vez.

Por lo tanto . Es decir no es posible que la demanda excedentePor lo tanto . Es decir no es posible que la demanda excedente

sea nula en los dos casos.

Comentarios:

- Con producción los resultados son limitados.

- EDDA no implica SB, SB no implica EDDA.

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