UNIVERSIDAD FERMIN TORO

VICE-RECTORADO ACADEMICO FACULTAD DE INGENIERIA

CABUDARE EDO- LARA

DISENO DE SISTEMAS DE CONTROL

DE TIEMPO DISCRETO

ALUMNA: MARIANA SANCHEZ

20.669.170

JULIO, 2014

Objetivo Terminal

Emplear algunos métodos para el diseño de sistemas de control discreto en

tiempo en una entrada - una salida. Determinar la estabilidad de los sistemas

en tiempo discreto. Objetivos Específicos

1. Representar las relaciones existentes entre el Plano s y el Plano z

2. Analizar la estabilidad de Sistemas Discretos en Tiempo y en Dominio

3. Analizar la respuesta en tiempo de un sistema de control discreto en

tiempo

4. Diseñar usando el método del lugar de las raíces

5. Diseñar usando el método de respuestas en frecuencia.

Transformación

En el diseño de un sistema de control en tiempo continuo, la localización de

los polos y los ceros en el plano s es de suma importancia para predecir el

comportamiento dinámico del sistema. De igual forma, en el diseño de sistemas

de control en tiempo discreto, es muy importante la localización de los polos y

los ceros en el plano z.

Cuando en el proceso se incorpora un muestreo por impulsos, las variables

complejas z y s quedan relacionadas mediante la ecuación: Z = eTs

Lo cual significa que un polo en el plano s puede quedar localizado en el

plano z mediante la transformación :

Z = eTs

Como: s = s + jw

Tenemos que: z = e T( s + jw)

= e Ts e jw

= e Ts [coswT + jsenwT]

De ésta última ecuación vemos que los polos y los ceros en el plano s, donde

la frecuencia difiere en múltiplos entero s de la frecuencia de muestreo ws=2 p

/T, corresponden a las mismas localizaciones en el plano z. Lo cual significa que

por cada valor de z existirá un número infinito de valores de s.

Tramo 1,2 s =0 (Varía la frecuencia)

1. Tramo 2,3 w=0 (Varía s )

2. Tramo 3,4 s =0 (Varía la frecuencia)

3. Tramo 4,5 w=0 (Varía s )

4. Tramo 5,1 s =0 (Varía la frecuencia)

Tramo 1,2 : s =0 0 £ w £ ws/2

z= coswt + jsenwt Z = cosw(2p / ws) + jsenw(2p / ws)

Cuando: w -- à 0 è z = 1

w -- à ws/2 è z=-1

Tramo 2,3; w = ws/2 - ¥ < s < 0

Z = e T s [-1] = - e

T s

Tramo 3,4: s à - ¥ (- ws/2) < w (ws/2)

Z = 0

Tramo 4,5: w=0 y - ¥ < s < 0

Z = e T s

Tramo 5,1: s = 0 (- ws/2) < w (ws/2)

Z = cosw(2 p / ws) + jsenw(2 p / ws)

En la franja primaria del plano s, si trazamos la secuencia de los puntos: 1-2-

3-4-5-1 (Como se muestra en la figura anterior), entonces esta trayectoria

corresponde al circuito unitario con centro en el origen del plano z, según la

correspondencia de los números: 1,2,3,4 y 5.

El área encerrada por cualquiera de las franjas complementarias se

transforman en el mismo círculo unitario en el plano z. Lo cual significa que la

correspondencia entre el plano z y el plano s no es única.

Un punto en el plano z corresponde a un número infinito de puntos en el

plano s, aunque un punto en el plano s corresponde a un solo punto del plano

z.

La totalidad del semiplano izquierdo del plano s corresponde al interior del

círculo unitario en el plano z, la totalidad el semiplano derecho del plano s

corresponde la exterior del círculo unitario en el plano z.

El eje jw del plano s se transforma en el círculo unitario del plano z. Si la

frecuencia de muestreo es por lo menos dos veces mayor que la componente

de frecuencia más alta involucrada en el sistema, entonces cada uno de los

puntos del círculo del plano z representa frecuencias entre - ws/2 y ws/2.

Analizaremos la estabilidad de los sistemas de control en tiempo discreto

lineales e invariantes en el tiempo. La estabilidad de un sistema de control en

tiempo discreto, puede determinarse por las localizaciones de los polos en lazo

cerrado en el plano Z, o por las raíces de la ecuación característica:

C(z) = G(z)

R(z) 1+GH(z) Según:

1. Para que el sistema sea estable, los polos en lazo cerrado o las raíces de

la ecuación característica deben presentarse en el planoz dentro del círculo

unitario. Cualquier polo en lazo cerrado exterior al círculo unitario hace

inestable al sistema.

2. Si un polo simple se presenta enz = 1, el sistema se presenta críticamente

estable. También si un solo par de polos complejos se presentan sobre el

círculo unitario será críticamente estable.

3. Los ceros en lazo cerrado no afectan la estabilidad absoluta y por lo tanto

pueden quedar localizados en cualquier parte del plano z.

En conclusión, un sistema de control en lazo cerrado en tiempo

discreto lineal e invariante en el tiempo se vuelve inestable si

presenta un polo fuera del círculo unitario o polo múltiple sobre el

círculo unitario del plano z.

Prueba de Jury

La determinación exacta de los polos es una tarea complicada para

polinomios característicos de orden elevado y muy sensible a errores

numéricos. Otra opción para determinar la Estabilidad de un Sistema de Lazo

Cerrado es el Método de Jury.

Procedimiento:

1. Al aplicar la prueba de estabilidad de Jury a una ecuación característica

P(z)=0, construimos una tabla cuyos elementos se basan en coeficientes de

P(z).

2. Determinamos los determinates de la tabla o arreglo

3. Se evalúa las condiciones del criterio.

Existe una constante K de ganacia para estabilidad. Utilizando este criterio

podemos determinar el valor de K y determinar si el Sistema es o no Estable.

Otro metodo muy utilizado en el análisis de la estabilidad de los sistemas de

control en tiempo discreto es el uso de la Transformación Bilineal junto con el

Criterio de Routh Hurwitz.

Para determinar la estabilidad:

o Este método requiere la transformación del plano complejo z al plano

complejo w.

o La cantidad de cálculos requerida es mayor que en el Criterio de Jury.

La estabilidad de un sistema lineal discreto en el tiempo, expresada en el

dominio de z también puede determinarse utilizando los métodos del plano s

como el Criterio de Routh Hurwitz, para esto seguiremos

un procedimiento adecuado que permita transformar paso a paso del plano z al

plano w y luego poder aplicar el criterio de Routh.

La estabilidad absoluta es un requisito básico de todos los sistemas de

control. En cualquier sistema de control se requiere también de una buena

estabilidad relativa y precisión en estado permanente, ya sea en tiempo

continuo o en tiempo discreto.

La respuesta transitoria corresponde a la parte de la respuesta

debida a los polos del sistema en lazo cerrado y la respuesta en

estado permanente corresponde a la parte de la respuesta debida a

los polos de la función de entrada o excitación.

Los sistemas de control en tiempo discreto son analizados mediante entradas

“estándar”, como son entrada escalón, rampa o senoidales, esto se debe a que

la respuesta del sistema a una entrada arbitraria puede ser estimada a partir de

su respuesta correspondiente a dichas entradas estándar.

En muchos casos prácticos, las características de desempeño deseadas de

los sistemas de control, sean en tiempo discreto o continuo, se especifican en

cantidades en el dominio del tiempo. Esto ocurre debido a que los sistemas con

almacenamiento de energía no pueden responder de forma instantánea y

siempre que estén sujetos a entradas o perturbaciones mostraran alguna

respuesta transitoria.

Con frecuencia, las características de un sistema de control estan

especificadas en terminos de la respuesta transitoria a una entrada escalón

unitario, ya que ésta es fácil de generar y ppuede proporcionar información útil

de la Respuesta Transitoria y de la Respuesta Permanente del sistema.

La respuesta transitoria de un sistema de control digital puede caracterizarse

no solo por el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural

amortiguada, sino también por el tiempo de levantamiento, los sobrepasos

máximos, el tiempo de asentamiento y así sucesivamente, en respuesta a la

entrada escalón.

Especificaciones de la Respuesta Transitoria

En la especificación de la Respuesta Transitoria de distintas características es

común especificar las siguientes cantidades:

Tiempo de Retardo (td): Es el tiempo requerido para que la respuesta

llegue a la mitad del valor final la primera vez.

Tiempo de crecimiento (tr): Es el tiempo que requiere la respuesta para

pasar de 10% hasta 90%, de 5% a 95% o de 0% a 100% de su valor final,

según la situación.

Tiempo Pico (tp): Es el tiempo requerido para que la respuesta llegue al

primer pico del sobre impulso.

Sobre impulso máximo (Mp): Es el valor máximo de la curva de

respuesta medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado permanente

difiere de la unidad, entonces es común utilizar el sobrepaso porcentual

máximo. Queda definido por la relación:

Sobre impulso máximo en porcentaje = C( tp ) – C (∞ ) X 100%

C(∞ )

La cantidad de sobre impulso máximo (en porcentaje) indica en forma

directa la estabilidad relativa del sistema.

Tiempo de Establecimiento (ts): Es el tiempo requerido para que una

curva de respuesta llegue y se quede dentro de un rango alrededor del valor

final de un tamaño especificado, en función de un porcentaje absoluto del valor

final, por lo general es de 2%.

En la siguiente grafica se puede observar cada una de las características anteriormente mencionadas.

Una característica importante asociada con la respuesta transitoria es el error

en estado permanente. El desempeño en estado permanente de un sistema de

control estable se juzga en general por el error en estado permanente debido a

las entradas escalón, rampa y de aceleración. Existen tipo de error en Estado

permanente atribuidas a causas como imperfecciones en los componentes del

sistema, fricción estática, zonas muertas o el deterioro o edad de los

componentes.

En forma inherente cualquier sistema físico de control sufre de error en

estado permanante en respuesta a ciertos tipos de entradas.

Consideremos la función de transferencia de lazo abierto:

G(s)H(S) = K(Tas + 1)(Tbs+1)............(Tms+1) SN (T1s+1)(T2s+1)...........(Tps+1)

El término sN en el denominador representa un polo de multiplicidad N en el

origen. Es costumbre clasificar el sistema de acuerdo al número de integradores

en la Función Transferencia en lazo abierto.

Se dice que un sistema es de tipo 0, tipo 1, tipo 2,....., si N=0,N=1,N=2, respectivamente.

Los sistemas de control en tiempo discreto pueden clasificarse según el

número de polos en lazo abierto en z=1. El significado de las constantes de

error estático para sistemas de control en tiempo discreto es el mismo que para

los sistemas de control en tiempo continuo, excepto que el primero solo

transmite información en los instantes de muestreo.

Las constantes se estudias aplicando a la función que define el error el

Teorema de muestreo, de esta forma determinamos:

1. La Constante de Error de Posición Estática (Ka) que genera la respuesta a

una entrada escalón.

2.La Constante de Error de Velocidad Estática (Kv) que genera la respuesta a

una entrada rampa unitaria.

3. La Constante de Error de Acelaeración Estática (Ka) que genera la

respuesta a una entrada de acelaración unitaria.

El error de actuación es la diferencia entre la entrada de referencia

y la señal de realimentación, y no la diferencia entre la señal de

referencia y la salida.

El método de lugar geométrico de las raíces desarrollado para sistemas en

tiempo continuo puede ser extendido sin modificaciones a tiempo discreto,

excepto por que el límite de estabilidad queda modificado del eje jw a el plano

s al círculo unitario en el plano z. Esto se debe a que la ecuación característica

correspondiente al sistema en tiempo discreto tiene la forma que la del sistema

de tiempo continuo.

La estabilidad relativa del sistema de control en tiempo discreto es

investigada con el circulo unitario en el plano z. Por ejemplo, si los polos en

lazo cerrado son complejos conjugados y ocurren dentro del círculo unitario, la

respuesta escalón unitario será oscilatoria.

El método del lugar geométrico de las raíces es útil para determinar los

efectos de la ganancia del sistema o del periodo de muestreo del sistema sobre

la estabilidad absoluta y relativa del sistema de lazo cerrado.

Para realizar el dibujo y la realización del Lugar Geométrico de las Raíces

existen unas condiciones que se deben cumplir unas las reglas generales que se

deben seguir para llevar a cabo la realización del estudio.

El concepto de respuesta en frecuencia juega un papel importante en los

sistemas de control en tiempo discreto. Es necesario la familiarización con los

diagramas de Bode (trazas logaritmica) en la extensión de las técnicas

convencionales de la respuesta en frecuencia al análisis y el diseño de los

sistemas de control en tiempo discreto

Al llevar a cabo pruebas de respuestas en frecuencia sobre un sistema de

tiempo discreto, es importante que el sistema tenga un filtro para bajas antes

del muestreador, de tal manera que las bandas laterales estén centradas.

Entonces el sistema lineal e invariante en el tiempo a una entrada senoidal

conserva su frecuencia y modifica solamente la amplitud y la fase de la señal de

entrada.

Las dos únicas cantidades que deben ser manejadas son la frecuencia y la fase.

El diagrama de Bode consiste en 2 trazas por separado, la magnitud

logarítmica /G(jv)/ en función del logaritmo de v y el ángulo de fase G(jv) en

función del logaritmo de v. La traza de la magnitud logarítmica se basa en la

factorización de G(jv), de tal forma que funciona en el principio de sumar los

términos individuales factorizados, en vez de multiplicar los términos

individuales

A través de las técnicas para las trazas asintóticas, se pueden dibujar con

rapidez la curva de magnitud si se utilizan asíntotas con líneas rectas.

Mediante el uso del diagrama de Bode, se puede diseñar un compesador digital o un controlador digital a través de las técnicas de diseño convencionales.

Ventajas

1. La asíntota de baja frecuencia de la curva de magnitud indica una de las

constantes de error estáticas Kp, Kv y Ka.

2. Se pueden traducir las especificaciones de la respuesta transitoria a las

correspondientes de la respuesta en frecuencia en términos de margen de fase,

el margen de ganancia, el ancho de franja y así sucesivamente.

3. El diseño de un compensador digital (o un controlador digital) para

satisfacer las especificaciones dadas (en función del margen de fase o del

margen de ganancia) puede llevarse a cabo en el Diagrama Bode de una forma

sencilla y simple.

Procedimiento

Consideremos el siguiente sistema de Lazo Cerrado:

1. Obtenga G(z), la transformada z de la planta precedida por un retenedor.

Transforme G(z) en una función de transferencia G(w) mediante la

transformación bilineal dada por la ecuación: Z = 1 + (T/2)w

1 – (T/2)w

2. Sustituya w=jv en G(w) y trace el diagrama de Bode para G(jv).

3. Lea el diagrama de Bode las constantes de error estático, el margen de

fase y el margen de ganancia.

4. Suponiendo la ganancia en baja frecuencia de la función de transferencia

del controlador en tiempo discreto Gd(w) es la unidad, determine la ganancia

del sistema al satisfacer el requisito para una constante de error estático.

Determine los polos y los ceros de la función de transferencia del controlador

digital.

5. Transforme la función de transferencia del controlador Gd(w) en Gd(z)

mediante la transformación bilineal dada por la ecuación:

W = 2( z – 1)

T (z + 1)

Entonces: Gd(z) = Gd(w) / w = (2/T)(z-1)/(z+1)

Siguiendo el procedimiento podemos observar: 1. La función transferencia G(w) es una función de transferencia de fase no

mínima. 2. El eje de frecuencia en el plano w está distorsionado. La relación entre la

frecuencia ficticia v y la frecuencia real w es:

V= (2/T)tang((wT)/2)

Si se define un ancho de franja wb, necesitamos diseñar el sistema para un

ancho de franja vb, donde:

Vb = ((2/T)tang((wbT)/2)