teoria de ramsey infinita i grans cardinalsbfe12ncu/ramsey.pdfsuposem que celebrem una votació amb...

Teoria de Ramsey infinita i grans cardinals

David Asperó

ICREA i U. Barcelona

Suposem que celebrem una votació amb 1000000 decandidats (O amb 95 candidats, o amb infinits candidats. Elproblema és el mateix.) Quin és el mínim nombre de personesque han de votar per a què necessàriament hi hagi

(•) almenys 3 d’elles que votin al mateix candidat o(•) almenys 3 de elles que votin a candidats diferents?

Resposta: 6

I si substituïm 3 per 4?Resposta: 18

I si substituïm 3 per 5?La resposta és: Entre 43 i 49. El nombre exacte es desconeix.

Resposta: 6

Aquests són problemes i resultats de teoria de Ramsey. Engeneral:

Donat un conjunt X i un cardinal κ, [X ]κ denota{y ⊆ X : |y | = κ}, i.e. la colecció de tots els subconjunts d’Xde cardinalitat κ.Hom es pregunta: Donada qualsevol coloració

c : [X ]κ −→ λ

de [X ]κ en λ colors (on λ és també un cardinal), existeixnecessàriament un subconjunt H ⊆ X tal que

(◦) H és homogeni per a c, (és a dir, existeix un ξ ∈ λ tal quec � [H]κ = {ξ}) i

(◦) H és “gran” (té cardinalitat |X |, o cardinalitat µ per a un µfixat, etc.)?

Aquest tipus de pregunta admet moltes variacions. Per exemplepodem substituir κ per un conjunt amb estructura (un graf, unordre parcial, un espai topològic, etc.), i podem preguntar-nosper l’existència de conjunts grans homogenis que heredinl’estructura rellevant. O podem restringir-nos a coloracions queadmetin una definició simple en algun sentit rellevant. Etc.

Notació hongaresaSiguin κ, λ, µ, ν cardinals (finits o infinits).

κ −→ (µ)νλ

significa:

Per a qualsevol coloració

c : [κ]ν −→ λ

existeix un H ⊆ κ amb les següents propietats.

(◦) H és homogeni per a c. És a dir, existeix un ξ ∈ λ tal quec � [H]ν = {ξ}.

(◦) |H| = µ (H té cardinalitat µ).

Els resultats que he esmentat fins ara es poden formular així:

(1) 6 −→ (3)22

(2) 18 −→ (4)22

(3) Si n ∈ ω és mínim tal que n −→ (5)22, aleshores

43 ≤ n ≤ 49.

ω = N: El conjunt de tots els nombres naturals {0,1,2, . . .}.

Teorema (F. Ramsey, 1930)

(1) (Teorema finit de Ramsey) Siguin n, m, l nombres naturals(n, m, l ∈ ω). Aleshores existeix un k ∈ ω tal que

k −→ (m)nl

(2) (Teorema infinit de Ramsey) Per a tots n, l ∈ ω,

ω −→ (ω)nl

(1) se segueix de (2) pel Teorema de Compacitat.

Demostració del Teorema infinit de Ramsey

Sigui l ∈ ω fixat. La demostració és per inducció en n.

n = 1: Qualsevol partició d’un conjunt infinit en un nombrefinit de trossos té un tros infinit.

n = 2: Sigui c : [ω]2 −→ l . Per a tot i ∈ ω siguici : ω\(i + 1) −→ l donat per

ci(j) = c({i , j})

Construïm ω = A0 ⊇ A1 ⊇ A2 ⊇ infinits i ak ∈ Ak , (ak )k<ωcreixent: Siguin a0 = 0 i A0 = ω. Per hipòtesi d’inducció siguiA1 ⊆ A0 = ω infinit homogeni per a c0. Suposem k > 0 iconstruits (A0, . . .Ak ) i (a0, . . .ak−1). Sigui ak = min(Ak ) i siguiAk+1 ⊆ Ak\(ak + 1) infinit i homogeni per a cak (Ak+1 existeixper hipòtesi d’inducció).

ci(j) = c({i , j})

Demostració del Teorema de Ramsey (continuació)

Observem que per a tot k existeix un rk ∈ l tal quec({ak ,ak ′}) = rk per a tot k ′ > k .

Ara sigui r ∈ l tal que {k < ω : rk = r} és infinit. Ésfàcil veure que {ak : k < ω, rk = r} és infinit i homogeni per a c.

n = 3: Etc.

A partir d’ara suposem (explícitament) que treballem en lateoria axiomàtica de conjuntos ZFC (Teoria deZermelo–Fraenkel amb l’Axioma de Elecció (Axiom of Choice)).

ZFC proporciona la fonamentació axiomàtica més popular pera les matemàtiques.

A partir d’ara suposem (explícitament) que treballem en lateoria axiomàtica de conjuntos ZFC (Teoria deZermelo–Fraenkel amb l’Axioma de Elecció (Axiom of Choice)).

ZFC proporciona la fonamentació axiomàtica més popular pera les matemàtiques.

Ordinals

Definició: Un ordinal és un conjunt α tal que (α,∈) és un bonordre. (α,∈) = (α,<)

Un ordinal κ és un cardinal si no hi ha cap bijecció f : α −→ κ,α < κ.

En ZFC, per a qualsevol conjunt X hi ha un únic cardinal κ talque hi ha una bijecció f : κ −→ X . Escrivim

|X | = κ

Ordinals

Definició: Un ordinal és un conjunt α tal que (α,∈) és un bonordre. (α,∈) = (α,<)

Un ordinal κ és un cardinal si no hi ha cap bijecció f : α −→ κ,α < κ.

En ZFC, per a qualsevol conjunt X hi ha un únic cardinal κ talque hi ha una bijecció f : κ −→ X . Escrivim

|X | = κ

La successió dels ordinals estén la successió dels nombresnaturals.

Ordinals finits: 0, 1, 2, . . .

La successió dels ordinals estén la successió dels nombresnaturals.

Ordinals finits: 0, 1, 2, . . .

Primers ordinals infinits:

• ℵ0 = ω = {0,1,2, . . .},• ω + 1 = ω ∪ {ω},• ω + 2, . . .• ω + ω = ω · 2,• (ω · 2) + 1, . . .• ω · n, . . .• ω · ω = ω2, . . .

• . . . supn∈ωωn = ωω, . . .

Tots aquests són ordinals numerables (i.e., per a tot α enaquesta successió existeix una bijecció entre ω i α).

Primers ordinals infinits:

• ℵ0 = ω = {0,1,2, . . .},• ω + 1 = ω ∪ {ω},• ω + 2, . . .• ω + ω = ω · 2,• (ω · 2) + 1, . . .• ω · n, . . .• ω · ω = ω2, . . .

• . . . supn∈ωωn = ωω, . . .

Tots aquests són ordinals numerables (i.e., per a tot α enaquesta successió existeix una bijecció entre ω i α).

Ordinals no numerables

El conjunt ω1 (= ℵ1) de tots els ordinals de cardinalitat com amàxim ℵ0 és el primer cardinal per sobre de ω.ω1 és el primer cardinal no numerable.

El conjunt ω2 (= ℵ2) de tots els ordinals de cardinalitat com amàxim ℵ1 és el primer cardinal per sobre de ω1.ω2 és el segon cardinal no numerable.

Teorema (W. Sierpinski, 1933)

ω1 9 (ω1)22

Demostració: Sigui (rξ)ξ∈ω1 una successió de nombres realstots diferents.

[R té cardinalitat com a mínim ℵ1 (G. Cantor): Suposem que(fn)n<ω enumera totes les f : ω −→ {0,1}. Sigui araf : ω −→ {0,1} tal que f (n) = 1− fn(n). Aleshoresf /∈ {fn : n < ω}. Contradicció.]

Teorema (W. Sierpinski, 1933)

ω1 9 (ω1)22

Demostració: Sigui (rξ)ξ∈ω1 una successió de nombres realstots diferents.

[R té cardinalitat com a mínim ℵ1 (G. Cantor): Suposem que(fn)n<ω enumera totes les f : ω −→ {0,1}. Sigui araf : ω −→ {0,1} tal que f (n) = 1− fn(n). Aleshoresf /∈ {fn : n < ω}. Contradicció.]

Definim una partició c : [ω1]2 −→ {0,1} de la següent forma:Siguin α < β < ω1. Aleshores,

c({α, β}) = 0 ⇔ rα < rβ

(on < és l’ordre natural de la recta real).

Si H ⊆ ω1 és homogeni, aleshores (rξ)ξ∈H és una successió<–creixent o <–decreixent de reals. Però aleshores H ha deser numerable ja que R és un ordre separable (R conté unconjunt dens numerable).

Definim una partició c : [ω1]2 −→ {0,1} de la següent forma:Siguin α < β < ω1. Aleshores,

c({α, β}) = 0 ⇔ rα < rβ

(on < és l’ordre natural de la recta real).

Si H ⊆ ω1 és homogeni, aleshores (rξ)ξ∈H és una successió<–creixent o <–decreixent de reals. Però aleshores H ha deser numerable ja que R és un ordre separable (R conté unconjunt dens numerable).

També es pot demostrar:

• Per a tot n < ω, n ≥ 1, ωn 9 (ωn)22

• ℵω 9 (ℵω)22

• ℵω+1 9 (ℵω+1)22

• Etc.

Pregunta: Existeix algun cardinal κ > ω tal que κ −→ (κ)22?

La resposta està fora de l’abast de ZFC.

Pregunta: Existeix algun cardinal κ > ω tal que κ −→ (κ)22?

La resposta està fora de l’abast de ZFC.

Definició (Erdös–Tarski, 1961): Un cardinal κ és dèbilmentcompacte si i solament si

κ −→ (κ)22

Un cardinal κ és regular si no existeix cap λ < κ i cap funcióf : λ −→ κ tal que f és cofinal (per a tot α ∈ κ existeix un β ∈ λtal que f (β) ≥ α). [Equivalentment, κ ès regular si no existeix(Aξ)ξ<λ amb λ < κ,

⋃ξ<λ Aξ = κ, |Aξ| < κ per a tot ξ.]

Un cardinal κ és inaccessible si κ és regular i per a tot λ < κ,2λ < κ (2λ és la cardinalitat del conjunt P(λ) format per tots elssubconjunts de λ).

Un cardinal κ és regular si no existeix cap λ < κ i cap funcióf : λ −→ κ tal que f és cofinal (per a tot α ∈ κ existeix un β ∈ λtal que f (β) ≥ α). [Equivalentment, κ ès regular si no existeix(Aξ)ξ<λ amb λ < κ,

⋃ξ<λ Aξ = κ, |Aξ| < κ per a tot ξ.]

Un cardinal κ és inaccessible si κ és regular i per a tot λ < κ,2λ < κ (2λ és la cardinalitat del conjunt P(λ) format per tots elssubconjunts de λ).

La jerarquia acumulativa dels conjunts

• V0 = ∅• Vα+1 = P(Vα) (Vα+1 és el conjunt format per tots els

subconjunts de Vα)• Vλ =

⋃α<λ Vα si λ és un ordinal límit (i.e., si λ no és de la

forma α + 1)

V =⋃α∈Ord Vα: V és l’univers de tots els conjunts

La jerarquia acumulativa dels conjunts

• V0 = ∅• Vα+1 = P(Vα) (Vα+1 és el conjunt format per tots els

subconjunts de Vα)• Vλ =

⋃α<λ Vα si λ és un ordinal límit (i.e., si λ no és de la

forma α + 1)

V =⋃α∈Ord Vα: V és l’univers de tots els conjunts

Si κ és un cardinal inaccessible, aleshores 〈Vκ,∈〉 |= ZFC.

Pel segon Teorema d’Incompletesa de Gödel, si ZFC ésconsistent, aleshores en ZFC no es pot demostrar l’enunciataritmètic que expressa “ZFC és consistent”.En particular, si ZFC és consistent, aleshores ZFC nodemostra l’existència de cap cardinal inaccessible (ZFC +“Existeix un cardinal inaccessible” és una teoria estríctamentmés forta que ZFC.)

Si κ és un cardinal inaccessible, aleshores 〈Vκ,∈〉 |= ZFC.

Pel segon Teorema d’Incompletesa de Gödel, si ZFC ésconsistent, aleshores en ZFC no es pot demostrar l’enunciataritmètic que expressa “ZFC és consistent”.En particular, si ZFC és consistent, aleshores ZFC nodemostra l’existència de cap cardinal inaccessible (ZFC +“Existeix un cardinal inaccessible” és una teoria estríctamentmés forta que ZFC.)

Teorema Si κ és un cardinal dèbilment compacte, aleshores κés inaccessible i el conjunt dels cardinals inaccessibles menorsque κ és cofinal en κ.

• T2 = ZFC + “Existeix un cardinal dèbilment compacte” ésuna teoria estríctament més forta que T1 = ZFC +“Existeix un cardinal inaccessible”.

• T1 = ZFC + “Existeix un cardinal inaccessible” és unateoria estríctament més forta que ZFC.

En particular: T2 demostra enunciats sobre la teoria delsnombres naturals que no demostra T1, i T1 demostra enunciatssobre la teoria dels nombres naturales que no demostra ZFC(si aquestes teories són consistents).

Demostració de “κ dèbilment compacte =⇒ κ inaccessible”

Lema: Si κ no és regular, aleshores

κ 9 (κ)22

Dem.: Sigui (Aξ)ξ<λ tal que λ < κ,⋃ξ<λ Aξ = κ, i |Aξ| < κ per a

tot ξ.

Def. c : [κ]2 −→ {0,1} per

c({α, β}) = 0 ssi (∃ξ < λ)({α, β} ⊆ Aξ)

c no té conjunts homogenis de cardinalitat κ.

Demostració de “κ dèbilment compacte =⇒ κ inaccessible”

Lema: Si κ no és regular, aleshores

κ 9 (κ)22

Dem.: Sigui (Aξ)ξ<λ tal que λ < κ,⋃ξ<λ Aξ = κ, i |Aξ| < κ per a

tot ξ.

Def. c : [κ]2 −→ {0,1} per

c({α, β}) = 0 ssi (∃ξ < λ)({α, β} ⊆ Aξ)

c no té conjunts homogenis de cardinalitat κ.

Demostració de “κ dèbilment compacte =⇒ κ inaccessible”(cont.)

Lema: Per a tot λ,2λ 9 (λ+)2

Dem.: Sigui P = {f : f : λ −→ {0,1}}. Def. c : [P]2 −→ {0,1}per

c({f ,g}) = 0 ssi (∃ξ < λ)(f � ξ = g � ξ, f (ξ) < f (ξ))

I.e., c({f ,g}) = 0 ssi f <lex g, on <lex = l’order lexicogràfic enP.

Demostració de “κ dèbilment compacte =⇒ κ inaccessible”(cont.)

Lema: Per a tot λ,2λ 9 (λ+)2

Dem.: Sigui P = {f : f : λ −→ {0,1}}. Def. c : [P]2 −→ {0,1}per

c({f ,g}) = 0 ssi (∃ξ < λ)(f � ξ = g � ξ, f (ξ) < f (ξ))

I.e., c({f ,g}) = 0 ssi f <lex g, on <lex = l’order lexicogràfic enP.

Però: (P, <lex ) no té λ+–successions creixent o decreixents:

Sup. p. ex. (fα)α<κ+ és <lex–creixent. Sigui γ ≤ κ mínim tal que

|{fα � γ : γ < κ+}| = κ+

Podem suposar fα � γ 6= fβ � γ per a tots α < β.Per a tot α sigui ξα < γ tal que

fα � ξα = fα+1 � ξα, fα(ξα) = 0, fα+1(ξα) = 1

Hi ha ξ tal que |{α < κ+ : ξα = ξ}| = κ+. Però si fα � ξ = fβ � ξ,aleshores fβ <lex fα+1 i fα <lex fβ+1, i.e. fα = fβ. Per tant|{fα � ξ : α < κ+}| = κ+, i això contradiu la minimalitat de γ.�

Pel Lema, si λ < κ i 2λ ≥ κ,

2λ 9 (λ+)22 =⇒ κ 9 (λ+)2

2 =⇒ κ 9 (κ)22

|{fα � γ : γ < κ+}| = κ+

2λ 9 (λ+)22 =⇒ κ 9 (λ+)2

2 =⇒ κ 9 (κ)22

|{fα � γ : γ < κ+}| = κ+

2λ 9 (λ+)22 =⇒ κ 9 (λ+)2

2 =⇒ κ 9 (κ)22

Teoria de Ramsey de dimensió infinita

Teorema En ZFC, ω 9 (ω)ω2 .

Demostració: Sigui ρ la següent relació d’equivalència en[ω]ω:

A ρB ⇐⇒ |A∆B| < ℵ0

Per a tota classe d’equivalència [A] de [ω]ω/ρ sigui R[A] unelement d’[A] [aquesta assignació existeix gràcies a l’Axiomad’Eleccció.]Sigui c : [ω]ω −→ {0,1} definida per

c(A) = 0 ⇐⇒ |A∆R[A]| és un nombre parell

És fàcil verificar que la coloració c no té cap conjunt homogeniinfinit. �

A ρB ⇐⇒ |A∆B| < ℵ0

D’altra bandaTeorema (R. Solovay, 1965) Si ZFC + “Existeix un cardinalinaccessible” és consistent, aleshores també és consistent ZFjunt amb la conjunció dels següents enunciats (a)–(d) (ZF és lateoria ZFC sense l’Axioma d’Elecció).

(a) Tot conjunt de reals és mesurable en el sentit deLebesgue.

(b) Tot conjunt de reals té la propietat de Baire.(c) Tot conjunt de reals conté o és disjunt d’un conjunt

perfecte.(d) ω −→ (ω)ω2 (A. Mathias)

El model d’aquesta teoria és el model interno L(R) calculat encerta extensió de forcing de l’univers (L(R) és el mínim modeltransitiu de ZF que conté tots els ordinals i tots els reals).

D’altra bandaTeorema (R. Solovay, 1965) Si ZFC + “Existeix un cardinalinaccessible” és consistent, aleshores també és consistent ZFjunt amb la conjunció dels següents enunciats (a)–(d) (ZF és lateoria ZFC sense l’Axioma d’Elecció).

(a) Tot conjunt de reals és mesurable en el sentit deLebesgue.

(b) Tot conjunt de reals té la propietat de Baire.(c) Tot conjunt de reals conté o és disjunt d’un conjunt

perfecte.(d) ω −→ (ω)ω2 (A. Mathias)

El model d’aquesta teoria és el model interno L(R) calculat encerta extensió de forcing de l’univers (L(R) és el mínim modeltransitiu de ZF que conté tots els ordinals i tots els reals).

Pregunta: És necessari l’ús d’un cardinal inacccessible enel teorema anterior?

(1) No ho és per a (b) (Shelah).(2) Ho és per a (a) i per a (c) (Specker, Shelah).(3) Per a ω −→ (ω)ω2 la pregunta segueix oberta.

Grans cardinals i propietats de regularitat per a conjunts dereals

κ és un cardinal mesurable si i només si existeix un ultrafiltreno principal κ–complet sobre κ. Equivalentement, κ ésmesurable si i només si existeix una immersió elemental

j : V −→ M

de l’univers en una classe transitiva tal que κ = cp(j) (κ és elprimer ordinal α tal que α < j(α)).

j es una immersió elemental si per a tota fòrmula ϕ(x0, . . . xn−1)i tots a0, . . .an−1 ∈ V ,

V |= ϕ(a0, . . .an−1) ⇔ M |= ϕ(j(a0), . . . j(an−1))

Si κ és mesurable, aleshores κ és dèbilment compacte i límitde cardinals dèbilment compactes. Si existeix un cardinalmesurable, aleshores l’univers estén l’univers constructible (L)de manera estricta (d’altra banda, l’existència de cardinalsdèbilment compactes és consistent junt amb V = L).

Teorema (Rowbottom) Si κ és measurable, aleshores

κ −→ (κ)<ωλ

per a tot λ < κ, i.e., per a tot c : [κ]<ω −→ λ hi ha un H ⊆ κ,|H| = κ, tal que |{c(s) : s ∈ [H]n}| = 1 per a tot n.

Dem.: Sigui U un ultrafiltre κ–complet sobre κ. Per a tot n siguiξn < λ tal que

Xn := {s ∈ [κ]n : c(s) = ξn} ∈ U

SiguiX =

Aleshores X ∈ U (per tant |X | = κ) i c(s) = ξn per a tot n i tots ∈ [X ]n. �

Teorema (Rowbottom) Si κ és measurable, aleshores

κ −→ (κ)<ωλ

per a tot λ < κ, i.e., per a tot c : [κ]<ω −→ λ hi ha un H ⊆ κ,|H| = κ, tal que |{c(s) : s ∈ [H]n}| = 1 per a tot n.

Dem.: Sigui U un ultrafiltre κ–complet sobre κ. Per a tot n siguiξn < λ tal que

Xn := {s ∈ [κ]n : c(s) = ξn} ∈ U

SiguiX =

Aleshores X ∈ U (per tant |X | = κ) i c(s) = ξn per a tot n i tots ∈ [X ]n. �

Aplicació Si κ és measurable i M ⊇ Vκ, hi ha una successióestríctament creixent (αξ)ξ<κ d’ordinals en κ tal que per a totafòrmula ϕ(x0, . . . xn−1) i tots ξ0 < . . . < ξn−1, ξ′0 < . . . < ξ′n−1,

M |= ϕ(αξ0 , . . . αξn−1)

si i només si

M |= ϕ(αξ′0 , . . . αξ′n−1

Existeixen versions molt fortes dels cardinals mesurables:Cardinals de Woodin, cardinals supercompactes, etc. (ZFC +“Existeix un cardinal supercompacte” és més forta que ZFC +“Existeix un cardinal de Woodin”, i al seu torn aquestateoria és més forta que ZFC + “Existeix un cardinal mesurable”).

Aquests axiomes s’obtenen d’exigir en

j : V −→ M

que M sigui “més i més semblant a V ” i tenen un límit natural:

Teorema (K. Kunen, 1971) No hi ha cap immersió elemental

j : V −→ V ,

j 6= id .

Pregunta: És ZF consistent amb l’existència d’una immersióelemental

j : V −→ V ,

j 6= id?

Teorema (K. Kunen, 1971) No hi ha cap immersió elemental

j : V −→ V ,

j 6= id .

Pregunta: És ZF consistent amb l’existència d’una immersióelemental

j : V −→ V ,

j 6= id?

La simple existència d’un cardinal supercompacte (i de fet lasimple existència de certa acumulació de cardinals de Woodin)implica que totes les propietats de regularitat que valen en elmodel de Solovay (i moltes més) valen en el model internoL(R) calculat en l’univers.

Teorema (H. Woodin, 1985) (ZFC + “Existeixen infinitscardinals de Woodin amb un cardinal mesurable per sobre”)

Els següents enunciats valen en L(R).

(1) (a)–(d) del Teorema de Solovay.(2) (Martin) ω1 −→ (ω1)ω1

La simple existència d’un cardinal supercompacte (i de fet lasimple existència de certa acumulació de cardinals de Woodin)implica que totes les propietats de regularitat que valen en elmodel de Solovay (i moltes més) valen en el model internoL(R) calculat en l’univers.

Teorema (H. Woodin, 1985) (ZFC + “Existeixen infinitscardinals de Woodin amb un cardinal mesurable per sobre”)

Els següents enunciats valen en L(R).

(1) (a)–(d) del Teorema de Solovay.(2) (Martin) ω1 −→ (ω1)ω1

(1) i (2) se segueixen del

Axioma de Determinació (Mycielski–Steinhaus, 1962):Donat A ⊆ {f : f : ω −→ ω} sigui GA el següent joc infinit (delongitut ω) entre dos jugadors I i II:

I i II es turnen per jugar nombres naturals an. I juga en lesposicions parelles i II en les posicions senars.

I guanya ssi (an)n<ω ∈ A. Altrament II guanya.

L’Axioma de Determinació: Per a qualsevolA ⊆ {f : f : ω −→ ω}, exactament un dels dos jugadors té unaestratègia guanyadora en GA.

Teorema (W. Woodin, 1985) (ZFC + “Existeixen infinitscardinals de Woodin amb un cardinal mesurable per sobre”)

L’Axioma de Determinació val en L(R).

Axiomes naturals i axiomes útils

Hi ha moltes preguntes que ZFC no decideix.

Exemple: Existeix un κ > ω tal que κ −→ (κ)22?

Hem vist que els axiomes de grans cardinals decideixenaquesta pregunta.

També: Els axiomes de grans cardinals impliquen que l’Axiomade Determinació val en L(R). En particular, els grans cardinalsproporcionen una teoria “essencialment completa” delsconjunts ‘definibles’ de reals (ja que una tal teoria se segueixde l’Axioma de Determinació).

Axiomes naturals i axiomes útils

Hi ha moltes preguntes que ZFC no decideix.

Exemple: Existeix un κ > ω tal que κ −→ (κ)22?

Hem vist que els axiomes de grans cardinals decideixenaquesta pregunta.

També: Els axiomes de grans cardinals impliquen que l’Axiomade Determinació val en L(R). En particular, els grans cardinalsproporcionen una teoria “essencialment completa” delsconjunts ‘definibles’ de reals (ja que una tal teoria se segueixde l’Axioma de Determinació).

Fins i tot: Hi ha enunciats “combinatòrics, de tipus Ramsey”,“naturals” sobre funcions aritmètiques (enunciats que no són“sentències de Gödel”) que se segueixen de grans cardinals ique necessiten grans cardinals (H. Friedman).

Els axiomes de grans cardinals són útils.

Decideixen els grans cardinals tots els enunciats matemàtics?

Una de les preguntes més famoses que no decideix ZFC:

La Hipòtesi del Continu de Cantor (CH): 2ℵ0 = ℵ1És a dir: Hi ha exactament ℵ1 nombres reals.

Teorema (K. Gödel, 1938): CH val en L. De fet, en L, 2κ = κ+

per a tot cardinal infinit κ.

Teorema (P. Cohen, 1963): Si ZFC és consistent, també ésconsistent ZFC + ¬CH.

Teorema (K. Gödel, 1938): CH val en L. De fet, en L, 2κ = κ+

per a tot cardinal infinit κ.

Teorema (P. Cohen, 1963): Si ZFC és consistent, també ésconsistent ZFC + ¬CH.

Cohen va trobar un mètode molt general per construir“extensions” de l’univers V .

Però l’univers ho és tot!?!?

Cohen va trobar un mètode molt general per construir“extensions” de l’univers V .

Però l’univers ho és tot!?!?

Es tria un ordre parcial (P,≤) (un forcing).

G ⊆ P és un filtre si

(◦) si p0 ∈ G i p1 ∈ G, aleshores existeix un p2 ∈ G, p2 ≤ p0,p2 ≤ p1,

(◦) si p0 ∈ G i p1 ≤ p1, aleshores p1 ∈ G.

D ⊆ P és dens: Per a tot p0 ∈ P hi ha un p1 ∈ D, p1 ≤ p0.

Un filtre G ⊆ P és genèric sobre V sii G ∩ D 6= ∅ per a tot D ⊆ Pdens.

Teorema (Cohen, 1963): Si V és un model de ZFC, P ∈ V ésun forcing i G ⊆ P és un filter P–genèric sobre V , existeix elmínim model W tal que

(◦) W satisfà ZFC,(◦) V ⊆W ,(◦) G ∈W .

W es denota per V [G] i es diu que V [G] és una extensió deforcing de V .

Si triem P amb sort o inteligència podem fer que enunciatsinteressants valguin en V [G].Per exemple es poden construir extensions de forcing on:

• 2ℵ0 = ℵ1

• 2ℵ0 = ℵ2

• 2ℵ0 = ℵ122334456876

• 2ℵ0 = ℵℵω+1

• 2ℵ17 = ℵ34346611

• Hi ha un arbre de Suslin• No hi ha cap arbre de Suslin

I moltes més.

Teorema (W. Woodin, 1985) (ZFC + “Hi ha una classe pròpiade cardinals de Woodin”)

La teoria de L(R) no es pot canviar mitjancant forcing.

La teoria de L(R) ès “absoluta” en presència de granscardinals. Els grans cardinals decideixen la teoria de L(R).

Els axiomes de grans cardinals són útils (i naturals).

Decideixen també els grans cardinals enunciats com CH?

No: Els forcings de cardinalitat petita (p. ex. el forcing per forcar2ℵ0 = ℵ1, ℵ2, ℵ3, etc.) preserven grans cardinals.

Decideixen també els grans cardinals enunciats com CH?

No: Els forcings de cardinalitat petita (p. ex. el forcing per forcar2ℵ0 = ℵ1, ℵ2, ℵ3, etc.) preserven grans cardinals.

Podem trobar axiomes naturals compatibles amb els axiomesde grans cardinals que decideixin CH?

Axiomes de forcing

Sigui S una classe d’enunciats i Γ una classe de forcings.

Típic axioma de forcing: Si

• P ∈ Γ,• G és genèric sobre V ,• σ ∈ Σ, i• σ val en V [G]

aleshores σ val en V .

Molts d’aquests “axiomes” són falsos. Però n’hi ha deconsistents. I de naturals.

PFA (PROPER FORCING AXIOM) és un axioma de forcing.

És consisten a partir de grans cardinals (Baimgartner, Shelah):Si hi ha un cardinal supercompacte hi ha un forcing P que forcaPFA.

PFA decideix moltes qüestions combinatòries, topològiques,etc.

Teorema(J. Moore, 2003, 2005)

• BPFA, una versió dèbil (i “natural”) de PFA, implica2ℵ0 = ℵ2.

• PFA implica que hi ha un conjunt {L1,L2,L3,L4,L5} formatper 5 ordres lineals no numerables tal que qualsevol ordrelineal no numerable conté una còpia d’almenys un d’ells.

teoria de ramsey infinita i grans cardinalsbfe12ncu/ramsey.pdfsuposem que celebrem una votació amb...

Documents