teoría de la comunicación

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID

E.T.S. INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN

TEORÍA DE LA COMUNICACIÓN

CURSO 2010/2011

PROFESORES: ROBERTO HORNERO SÁNCHEZ

MARÍA GARCÍA GADAÑÓN


Curso 2010/2011

Profesores: Roberto Hornero Sánchez (despacho 2D087) e-mail: [email protected]

María García Gadañón (despacho 2D082) e-mail: [email protected]

DESCRIPCIÓN En esta asignatura se estudia la base de los sistemas de comunicación analógicos y digitales. En una primera parte se enseñan las diferentes modulaciones en amplitud y las modulaciones angulares, y se profundizará en el efecto del ruido sobre estas modulaciones. En una segunda parte se introducirán las modulaciones digitales y sus sistemas de transmisión banda base y paso banda. Entre ambas partes hay un tema intermedio sobre la modulación analógica y digital de pulsos. Este contenido teórico se completa con la realización de problemas de cada tema y con tres bloques de prácticas en el entorno MATLAB donde se simularán los distintos conceptos explicados en teoría, y ver cuáles son sus implicaciones prácticas. OBJETIVOS Los objetivos de esta asignatura son:

Conocer los distintos sistemas de comunicación existentes (analógicos y digitales) y comprender las ventajas e inconvenientes de cada uno de ellos.

Saber cuáles son los parámetros que se pueden modificar en cada caso, así cómo

evaluar sus prestaciones.

Identificar cuándo se debe utilizar cada una de las diferentes soluciones existentes para transmitir información a través de un medio entre dos puntos diferentes.

Simular correctamente en el entorno MATLAB los distintos conceptos explicados

en teoría, y ver cuáles son sus implicaciones prácticas.

TEORÍA TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE COMUNICACIÓN.

1.1. INTRODUCCIÓN. 1.2. CARACTERIZACIÓN TEMPORAL 1.3. CARACTERIZACIÓN ESPECTRAL

1.4. CARACTERIZACIÓN DE SISTEMAS 1.5. DENSIDAD ESPECTRAL 1.6. ANCHO DE BANDA DE UNA SEÑAL 1.7. MODELADO PASO BAJO EQUIVALENTE 1.8. RETARDOS DE FASE Y GRUPO 1.9. TRANSMISIÓN DE UNA SEÑAL ALEATORIA A TRAVÉS

DE UN SISTEMA 1.10. ANÁLISIS DE RUIDO TEMA 2: MODULACIONES DE AMPLITUD

2.1. INTRODUCCIÓN 2.2. MODULACIÓN AM 2.3. MODULACIÓN DSB-SC

2.4. MODULACIÓN QAM 2.5. FILTRADO DE BANDAS LATERALES

2.6. MODULACIÓN VSB 2.7. MODULACIÓN SSB 2.8. TRASLACIÓN EN FRECUENCIA 2.9. MULTIPLEXACIÓN POR DIVISIÓN EN FRECUENCIA (FDM)

TEMA 3: MODULACIONES ANGULARES

3.1. MODULACIÓN DE FASE (PM) Y MODULACIÓN DE FRECUENCIA (FM) 3.2. MODULACIÓN EN FRECUENCIA DE UN TONO SIMPLE

3.3. ANCHO DE BANDA DE SEÑALES FM 3.4. GENERACIÓN DE SEÑALES FM

3.5. DEMODULACIÓN DE FM 3.6. EFECTOS NO LINEALES EN SISTEMAS FM

TEMA 4: RUIDO EN MODULACIONES ANALÓGICAS

4.1. INTRODUCCIÓN: SNR y FOM 4.2. RUIDO EN MODULACIONES DE AMPLITUD

4.3. RUIDO EN MODULACIONES DE FRECUENCIA 4.4. RESUMEN

TEMA 5: MODULACIÓN ANALÓGICA Y DIGITAL DE PULSOS 5.1. INTRODUCCIÓN 5.2. TEOREMA DE MUESTREO 5.3. MODULACIÓN DE PULSOS EN AMPLITUD: PAM 5.4. MODULACIÓN DE PULSOS EN EL TIEMPO: PDM y PPM 5.5. MODULACIÓN DIGITAL DE PULSOS: PCM 5.5. CÓDIGOS DE LÍNEA

TEMA 6: TRANSMISIÓN DIGITAL EN BANDA BASE

6.1. INTRODUCCIÓN 6.2. INTERFERENCIA ENTRE SÍMBOLOS 6.3. CRITERIOS DE DECISIÓN 6.4. FILTRO ADAPTADO 6.5. DECISIÓN MEDIANTE UMBRAL. CÁLCULO DE LA PROBABILIDAD DE ERROR

TEMA 7: TRANSMISIÓN DIGITAL PASO BANDA

7.1. TIPOS BÁSICOS DE MODULACIONES DIGITALES 7.2. REPRESENTACIÓN Y ANÁLISIS VECTORIAL 7.3. RECEPTORES COHERENTES E INCOHERENTES 7.4. ANÁLISIS DE LOS TIPOS DE MODULACIÓN

LABORATORIO TUTORIAL DE MATLAB® PRÁCTICA 1: INTRODUCCIÓN A LA SIMULACIÓN DE SEÑALES Y SISTEMAS

• VISUALIZACIÓN EN TIEMPO Y FRECUENCIA DE SEÑALES CONTINUAS

• MODELADO PASO BAJO EQUIVALENTE • FILTRADO • SEÑALES ALEATORIAS Y RUIDO

PRÁCTICA 2: MODULACIÓN EN AMPLITUD. MODULACIÓN EN FRECUENCIA. RUIDO EN MODULACIONES ANALÓGICAS

• MODULACIÓN AM, SSB Y QAM. • MODULACIÓN FM DE BANDA ESTRECHA • RUIDO EN MODULACIÓN AM CONVENCIONAL

PRÁCTICA 3: MODULACIÓN ANALÓGICA DE PULSOS. CUANTIFICACIÓN. TRANSMISIÓN DIGITAL BANDA BASE Y PASO BANDA

• MODULACIÓN ANALÓGICA DE PULSOS • CUANTIFICACIÓN UNIFORME Y NO UNIFORME • INTERFERENCIA ENTRE SÍMBOLOS EN TRANSMISIÓN

DIGITAL BANDA BASE • MODULACIÓN DIGITAL PASO BANDA

BIBLIOGRAFÍA A) BIBLIOGRAFÍA BÁSICA [1] “Communication Systems”. Simon Haykin. Ed. John Wiley & Sons, 4ª

edición, 2001. [2] “Communications Systems. Analysis and Design”. Harold P..E. Stern, Samy

A. Mahmoud. Ed. Pearson, Prentice Hall, 2004. [3] “Sistemas de Comunicaciones”. Marcos Faúndez Zanuy. Ed. Marcombo

Boixareu, 2001. [4] “Modern Digital and Analog Communication Systems”. B. P. Lathi, Ed.

Oxford University Press, 3ª edición, 1998. [5] “Digital Communications”. John G. Proakis. Ed. McGraw Hill, 5ª edición,

2007. B) BIBLIOGRAFÍA AVANZADA [6] “Digital Communications: Fundamentals and Applications”. Bernard Sklar.

Ed. Prentice Hall, 2ª edición, 2001. [7] “Communication Systems Using MATLAB and Contemporary Simulink”.

John G. Proakis, Masoud Salehi, Gerhard Bauch. Ed. Thomson Engineering, 2004.

[8] “Communication Systems”. A. Bruce Carson, Paul Crilly, Janet Rutledge. Ed. McGraw Hill, 4ª edición, 2001.

[9] “Digital Communication”. John R. Barry, Edward A. Lee, David G. Messerschmitt. Ed. Kluwer Academic Pub, 3ª edición, 2003.




Tema 1: Introducción a los Sistemas de Comunicación

1

TEMA I : Introducción a los Sistemas de Comunicación

Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011

1.1.-Introducción1.2.-Caracterización temporal 1.3.-Caracterización frecuencial1.4.-Caracterización de sistemas1.5.-Densidad espectral1.6.-Ancho de banda de una señal

TEMA I : Introducción a los Sistemas de Comunicación


1.7.-Modelado paso bajo equivalente1.8.-Retardos de fase y grupo1.9.-Transmisión de una señal aleatoria a través de un sistema1 10 A áli i d id1.10.-Análisis de ruido

2

1.1. IntroducciónProceso de comunicación

Tema I: Introducción a los Sistemas de Comunicación

La comunicación lleva implícita la transmisión de la información de un punto a otro mediante la sucesión de los siguientes procesos:

Generación de la informaciónDescripción de la información mediante un conjunto de símbolosCodificación de los símbolos de una manera que sea apta para la transmisióntransmisiónTransmisión de los símbolos codificados al destino deseadoDecodificación y reproducción de los símbolos originalesRecreación de la información. Puede haber una degradación en la calidad debido a imperfecciones en el sistema de comunicación

1.1. Introducción

Los elementos básicos del sistema de comunicación son:


Los elementos básicos del sistema de comunicación son:TransmisorCanalReceptor

Fuente de información

Tx Rx Usuario de la i f ióinformación información

Canal

3

1.1. IntroducciónSeñales banda base y paso banda

E l T b d b l b d d t i ió d l l


En la Tx banda base, la banda de transmisión del canal se ajusta a la banda de frecuencia ocupada por la señal transmitida

Señal banda base: señal generada por fuente de información

En la Tx paso banda, la banda de transmisión del canal es m cho ma or q e la ma or componente frec encial de lamucho mayor que la mayor componente frecuencial de la señal

Señal paso banda: proceso de modulación (traslación en frecuencia)

1.1. Introducción


Ejemplo de señal banda base

f (Hz)

Ejemplo de señal paso banda

f (Hz)

4

1.1. IntroducciónProceso de comunicación: naturaleza probabilística

I tid b l ñ l ibid


Incertidumbre en la señal recibidaMayor fuente de incertidumbre: ruidoSeñales recibidas descritas en términos de sus propiedades estadísticas

TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

1.1. IntroducciónProceso de modulación

L d l ió i d l j


La modulación sirve para adecuar el mensaje original a su transmisión por el canal (Transmisor)

Se varía algún parámetro de la portadora de acuerdo con el mensaje a transmitir

En la demodulación restauramos el mensaje original a partir de la versión degradada de la señal recibida tras propagarse por el canal (Receptor)Hay varios tipos de modulación: más o menos sensibles a efectos de ruido, distorsión, etc

5

Clasificación modulación:

1.1. Introducción


De onda continua (modulación analógica)Modulación de amplitud Modulación angular:

Modulación de frecuencia (FM)Modulación de fase (PM)

Modulación de pulsosAnalógicaAnalógica

Modulación de amplitud de pulsos (PAM)Modulación de duración de pulsos (PDM)Modulación de posición de pulsos (PPM)

DigitalModulación de pulsos codificados (PCM)

1.1. IntroducciónLa multiplexación va a permitirnos combinar varios mensajes para ser transmitidos simultáneamente por el


mensajes para ser transmitidos simultáneamente por el mismo canal

Multiplexación por división en frecuencia (FDM)Multiplexación por división en el tiempo (TDM)Multiplexación por división en longitud de onda (WDM)

6

1.1. IntroducciónRecursos de comunicación

P i i l t d


Principalmente dos:Potencia transmitidaAncho de banda del canal (B)

Debemos usar ambos eficientementeAdemás:

SNR : cuantificación del efecto del ruidoC (capacidad de información): máximo rango en que la información puede ser transmitida sin error. El teorema de la capacidad de información:

)1(log 2 SNRBC +⋅= (bits/seg)

1.2.Caracterización temporalDefinición de señal

U ñ l f ió d l ti t t ú i


Una señal es una función del tiempo t que toma un único valor en cada punto y que representa una información (voz, imagen, tensión o corriente, conjunto de símbolos, etc.)

Clasificación:Continua, discreta y digital

Señal continua o analógica: puede tomar cualquier valor en cualquier instante de tiempo (continua en tiempo y amplitud)Señal discreta: definida únicamente en instantes enteros o discretos de tiempo, pero puede tomar cualquier valor en esos instantes

7

1.2.Caracterización temporalSeñal discreta en amplitud: definida en todo instante de tiempo, pero sólo puede tomar ciertos valores de amplitud prefijados


(continua en tiempo - discreta en amplitud)Señal digital: señal discreta en tiempo y amplitud

2

2.5

3

3.5

4

litud

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

litud

Señal continua Señal discreta

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

ampl

tiempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

1.2

1.4

1.6

1.8

ampl

tiempo

1.2.Caracterización temporal


0.5

1

1.5

2

2.5

3

ampl

itud

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

ampl

itud

Señal discreta en amplitud

Señal digital

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

tiempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

tiempo

8

1.2.Caracterización temporalPeriódicas y no periódicas

Señal periódica: Э To g(t) = g(t+ To) ∀t


Señal periódica: Э To g(t) g(t+ To) ∀tSeñal no periódica: NO existe To

Deterministas y aleatoriasDeterministas: señal completamente definida en el tiempo. No hay incertidumbre de su valor pasado, presente o futuroAleatorias: hay un grado de incertidumbre sobre valores de la señal

Señales definidas en potencia y energiaSeñales definidas en potencia y energiaSistema eléctrico: v(t), R , i(t)

Potencia instantánea:2

2

)()(

)( tiRRtv

tp ⋅==

1.2.Caracterización temporalSi R=1 Ω : p(t)= |v(t)|2 = |i(t)|2 = |g(t)|2Energía total:


Potencia promedio:

dttgdttgET

TT ∫∫∞

∞−−∞→

== 22 )()(lim

dttgTlimP

T

∫= 2)(21

Señal definida en energía: 0<E<∞Señal definida en potencia 0<P<∞

T TT ∫−∞→ 2

9

1.2.Caracterización temporalSon mutuamente excluyentes:


yLas señales de energía tienen potencia media ceroLas señales de potencia tienen energía infinita

En general:Señales de potencia:

Señales periódicasl l iSeñales aleatorias

Señales de energía:Señales deterministasSeñales no-periódicas

1.2.Caracterización temporal Unidades logarítmicas

S i t it d d l i ti


Son comparaciones entre magnitudes del mismo tipoSon relativas y adimensionalesLas respuestas de nuestros sentidos son proporcionales a los logaritmos de la excitaciónFacilitan cálculosRepresentación general: 2log gk n⋅p g

n: base del logaritmo; k: factor de proporcionalidad;

g: valores de magnitudes consideradas en puntos distintos o niveles

1

ggn

10

1.2.Caracterización temporalDecibelio (dB): dB

PPA

1

2log10=


A > 0: ganancia en potenciaA < 0: atenuación en potencia

1

2

1

2

1

2

22

log20log20log10

;

II

VV

PPA

RIR

VP

===

⋅==

Si se comparan potencias en dos cargas distintas R1 , R2:

2

1

1

2

1

2 log10log20log10log101

21

2

22

RR

VV

PPA

RVRV

+===

1.2.Caracterización temporalDecibelio (dB):


3 dB g=2-3 dB g=1/210 dB g=1020 dB g=100

Sistema en cascada de ganancias g1 y g2:g=g2·g1 <==> g (dB)=g2 (dB)+ g1 (dB)

11

1.2.Caracterización temporalNeper(N)

PV 22 1


Relación con dB:

NPPN

VVA

1

2

1

2 ln21ln ==

dBAeV

VVVV

V

)log(20)(loglog

ln1

21

2

1

2 ==⇒=

dBNNAdBA

e VV

VV

7.81)(7.8)(

)ln(7.8)ln(log201

2

1

2

≈⇒=

≅⋅=

1.2.Caracterización temporalNiveles: valores logarítmicos que toma una magnitud en un punto


p

g2: valores de una magnitud en un puntog1: valor de referencia de dicha magnitudL: nivel absoluto de g2 representado en dBx, donde x indica la unidad utilizadaLas dos unidades de referencia más utilizadas en sistemas de

dBxggkL

1

2log⋅=

Las dos unidades de referencia más utilizadas en sistemas de comunicación:

dBm: P1 = 1mw: L(dBm) = 10logP(mw)dBw: P1 = 1w: L(dBw) = 10logP(w)

L(dBm) = 10logP(mw) = 10log[103 P(w)] = L(dBw) + 30

12

1.3.Caracterización frecuencialTransformada de Fourier (T. F.)

S (t) ñ l iódi d t i i t T F


Sea g(t) una señal no periódica determinista, su T. F. es:

frecuencia angular w = 2π f

La T F inversa es:

∫∞

∞−−= dtftjtgfG )2exp()()( π

La T. F. inversa es:

∫∞

∞−= dfftjfGtg )2exp()()( π

1.3.Caracterización frecuencialPara que exista T. F., es suficiente con que se cumplan las condiciones de Dirichlet


Nº finito de discontinuidadesValor único para cada tNº finito de máximos y mínimosAbsolutamente integrable

Representación par transformado de Fourier

)()( fGtg ⇔[ ][ ] )()(

)()()()(

1 tgfGFfGtgF

fGtg

=

=⇔

−

13

1.3.Caracterización frecuencial

En general G(f) es una función compleja:


En general, G(f) es una función compleja:

Si (t) f ió l

[ ])(exp)()( fjfGfG θ=

|G(f)|: amplitud del espectro continuo

θ ( f ): fase del espectro continuo

Si g(t) es una función real:

)()()()(

)()( *

⎩⎨⎧

−−=⇒

−=⇒−=

fffGfG

fGfGθθ

Par

Impar

1.3.Caracterización frecuencialPropiedades de la T. F.

Li lid d


Linealidad

Escalado en el tiempo

)constantesson y ()()()()( 2121

bafbGfaGtbgtag +⇔+

1( ) ( )fg a t Ga a

⇔

Dualidad

( es una constan te )a

)()( )()(

fgtGentoncesfGtgSi

−⇔⇔

14

1.3.Caracterización frecuencialDesplazamiento temporal

)2()()( ftjfGtt


Desplazamiento frecuencial

Área bajo g(t):

)2exp()()( oo ftjfGttg π−⇔−

)()()2exp( cc ffGtgtfj −⇔π

∫∞

= )0()( GdttgÁrea bajo G(f):

∫ ∞−= )0()( Gdttg

∫∞

∞−= dffGg )()0(

1.3.Caracterización frecuencialDerivación en el dominio del tiempo


Integración en el dominio del tiempo

)(2)( ffGjtgdtd π⇔

)(2

)0()(21)( fGfG

fjdg

tδ

πττ +⇔∫ ∞−

Funciones conjugadas

)()( );()(

** fGtgentoncesfGtgSi−⇔

⇔

15

1.3.Caracterización frecuencialMultiplicación en el tiempo ⇒ convolución en frecuencia

λλλ dfGGtt )()()()( ⇔ ∫∞


Convolución en el tiempo ⇒ multiplicación en frecuencia

Ejemplo (de una señal y su T.F.):

λλλ dfGGtgtg )()()()( 2121 −⇔ ∫ ∞−

)()()()( 2121 fGfGdtgg ⇔−∫∞

∞−τττ

)(i)()()( fAfXtAΠ

1/τ

Aτ

f (Hz)

A

-τ/2 τ/2 t (s)

)( fX)(sinc)()()( ττ

τfAfXtAtx =⇔Π=

1.3.Caracterización frecuencialFunción delta de Dirac

L f ió d lt d Di i l id d d fi


La función delta de Dirac o impulso unidad se define como:

Propiedad de extracción:

∫∞

∞=

≠=

-dttδ

tt

1)(

,0)( 0 δ

)0()()( d∫∞

δ

)()()()(

)()()(

)0()()(

ooo

oo

tttgtttg

tgdttttg

gdtttg

−=−

=−

=

∫

∫∞

∞−

∞−

δδ

δ

δ

16

1.3.Caracterización frecuencialPropiedad de replicación:

)()()()( id tid df ióltttt ⇒∗ δδ


F[δ (t)] = 1

)()()(

)()()()(

oo ttgtgt-tδluciónador convoen el oper

identidadfunciónlaesttgtgt

−=∗

⇒=∗ δδ

1.3.Caracterización frecuencialTransformada de Fourier de señales periódicas

S (t) ñ l iódi d í d T d fi


Sea gp(t) una señal periódica de período To; se define:

F. T. existe energía, de Señal ,0

22 ),(

)(

⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤

−=

resto

TtTtgtg

oop

Se cumple:

∑∞

−∞=

−=m

op mTtgtg )()(

17

1.3.Caracterización frecuencialSuma de Poisson (se cumple para toda función de energía):


como

∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

=−m no

o Tntj

TnG

TmTtg )2exp()(1)(

00

π

−⇔nfntj )()2exp( δπ

∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

−⇔−=

⇔

m on ooop

oo

Tnf

TnG

TmTtgtg

Tf

T

)()(1)()(

)()exp(

δ

δ

1.3.Caracterización frecuencialEntonces, la T. F. de una señal periódica es un tren de deltas a frecuencias 0,±f , ± 2f , . . . donde f =1/ T


deltas a frecuencias 0,±fo, ± 2fo, . . . donde fo 1/ To

Periodicidad (tiempo) ⇔ Discretización (frecuencia)Ejemplo (tomaremos una señal sinusoidal):

f (Hz)t (s)

18

1.4.Caracterización de sistemas

Un sistema es un dispositivo físico que proporciona


Un sistema es un dispositivo físico que proporciona una señal de salida a partir de una de entrada

T[ ]x(t) y(t)

y(t)=T[x(t)]

1.4.Caracterización de sistemasPropiedades de los sistemas:

Li lid d (t) + b (t) T[ (t) + b (t)]


Linealidad: ay1(t) + by2(t) = T[ax1(t) + bx2(t)]Invarianza temporal: y(t-to) = T[x(t-to)]Estabilidad: Si |x(t)| < M ⇒ y(t) = T[x(t)] < NSistema sin memoria ⇒ la salida en un instante depende de la entrada en ese instante:

» y(to) = f [x(to)]y( o) [ ( o)]Causalidad: la salida depende del pasado y del presente de la entrada:

» y(to) = f [x(τ)]; ∀τ ≤ to

19

1.4.Caracterización de sistemasRespuesta al impulso de un sistema

Si i t LTI h(t) l t l i l


Si en un sistema LTI, h(t) es la respuesta al impulso (h(t) = T[δ(t)] ); entonces podemos calcular la salida convolucionando la respuesta al impulso con la señal de entrada, es decir:

∫∞

∞−∗=−= )()()()()( thtxdthxty τττ

Si el sistema es L.T.I. y causal ⇒ h(t) = 0, si t < 0

Si el sistema es L.T.I. y estable: ∫∞

∞−∞<ττ dh )(

1.4.Caracterización de sistemasRespuesta en frecuencia

L f ió d t f i t f i i


La función de transferencia o respuesta en frecuencia viene dada por:

l l f i d f i d i

)()()()()()( LTI es sistema el Si

)2exp()()(

)2exp()()(

fHfXfYthtxty

dfftjfHth

dtftjthfH

=⇔∗=⇒

=

−=

∫∫∞

∞−

∞

∞−

π

π

En general, la función de transferencia de un sistema LTI, será una función compleja:

[ ]

fase enrespuesta sistemadel amplitud enrespuesta

β(f): : H(f)

fjfHfH )(exp)()( β=

20

1.4.Caracterización de sistemasFiltros

E di iti l ti d f i l


Es un dispositivo selectivo de frecuencias que se emplea para limitar el espectro de una señal a unas bandas específicas de frecuenciaSu respuesta en frecuencia se caracteriza por:

Bandas de paso: frecuencias transmitidas con nula o pequeña distorsiónBandas eliminadas: frecuencias rechazadas por el sistemaBandas eliminadas: frecuencias rechazadas por el sistema

Si el filtro es ideal, en las bandas de paso la respuesta es la unidad y en las eliminadas cero

1.4.Caracterización de sistemasLos tipos de filtros ideales son:

P b j id l ú i t d j l b j f i


Paso bajo ideal: únicamente deja pasar las bajas frecuenciasPaso alto ideal: únicamente deja pasar las altas frecuenciasPaso banda ideal: solo deja pasar las frecuencias entre dos intervalos dadosBanda eliminada ideal: deja pasar todas las frecuencias excepto las comprendidas dentro de un intervalo dado

21

1.4.Caracterización de sistemas1

1 . 2

1

1 . 2


Paso bajo ideal Paso alto ideal-1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1 00

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

f (Hz)-1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1 00

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

f (Hz)

1 . 2 1 . 2

Paso banda ideal Banda eliminada ideal-1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1 00

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

f (Hz)-1 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1 00

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1

f (Hz)

1.5.Densidad espectralSeñales definidas en energía

S (t) ñ l d í G(f) T F


Sea g(t) una señal de energía, y G(f) su T. F. :

dffGdttgE ∫∫∞

∞−

∞

∞−==

:(D.E.E.) energía de espectral Densidad

)()(

:Rayleigh de energía la de Teorema22

dffΨE

fGf)Ψ

- g

g

∫∞

∞=

=

)(

)(( 2

22

1.5.Densidad espectralRelación con la función de autocorrelación:


)2()2()()(

); (

)2exp()()()]([

)()()(

*

*

*

dtdtfjfjt

ddthacemos

dfjdttgtgRF

dttgtgR

g

g

==+⇒

=−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

+=

∫∫

∫ ∫

∫

∞∞

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

ψτψτ

ττπττ

ττ

)()(...)()()(

)2exp()2exp()()(2*

fgREEDfGfGfG

dtdtfjfjgtg

g Ψ⇔

≡==

=−= ∫∫ ∞−∞−

τ

ψππψψ

1.5.Densidad espectralSeñales periódicas

S (t) ñ l iódi d í d T


Sea gp(t) una señal periódica de período To

La potencia media es:

)(1)(1)(2

2

2

2

22 ==== ∫ ∑−

∞

−∞=

T

T n oop

o TnG

Tdttg

TtgP

o

o

Parseval de potencia de Tª

))(1 ( 2

⇒

=== ∑∞

−∞=nn

oon c

TnG

Tchacemos

23

1.5.Densidad espectralDensidad espectral de potencia: función de la frecuencia cuya área es igual a la potencia media de la señal


cuya área es igual a la potencia media de la señal

La D.E.P. es una función discreta de la frecuencia debido a

∑∑

∫∞

−∞=

∞

−∞=

∞

∞−

−=−=

=

n on

on oogp

gp

Tnfc

Tnf

TnG

TfS

dffSP

)()()(1)(

)(

22

2 δδ

la periodicidad temporalRelacionado con la función de autocorrelación:

)()( fSR gpgp ⇔τ

1.5.Densidad espectralRelación entrada-salida en un LTI

D id d t l


Densidad espectral:

Con módulos:

h(t) x(t) y(t)

⇒Y( f ) = H(f)X(f)222 )()()( fHfXfY =

Señales de energía:Señales de potencia: )()()(

)()()(2

2

fSfHfS

fΨfHfΨ

xy

xy

=

=

⇒La relación entre la densidad espectral a la salida y la entrada sólo depende de la respuesta en amplitud del sistema

24

1.6.Ancho de banda de una señalEs la banda en la que se encuentra la mayor parte


q y pde la potencia (energía) de la señalHay varias definiciones, y por ello varias formas de cuantificar el ancho de banda de una señal:

Ancho de banda equivalenteAncho de banda a 3dBAncho de banda del 90%Ancho de banda del primer nulo

Ancho de banda equivalenteS (t) ñ l b d b d S (f) d fi


1.6.Ancho de banda de una señal

Sea x(t) una señal banda base con d.e.p. Sx(f), se define ancho de banda equivalente como el que tendría una señal estrictamente limitada en banda cuya potencia fuese la de x(t) pero con d.e.p. uniforme y de valor el máximo de Sx(f)

)(2 max wfSP eqxx ⋅=

)(2

)(

)(2 maxmax

a

fS

dffS

fSPw

x

x

x

xeq

eqxx

∫∞

∞−==

25

Ejemplo: pulso rectangular (amplitud A, anchura total τ).



ττ )(sinc)()()( ⇔Π fAfXtAtx

)( fxΨ

1/τ

A2τ2

f (Hz)

A

-τ/2 τ/2 t (s)

τττ

ττ

τττ

τττ

21

22

)(

2

)](max[)(sinc)(

)(sinc)()()(

22

2

22

2

22

22222

====

=Ψ⇒=Ψ

=⇔Π=

∫∞

∞−

AA

A

dttx

AEw

AffAf

fAfXAtx

xeq

xx

Ancho de banda a 3dBA ll f i l l d di i l



Aquella frecuencia para la que la d.e.p. disminuye a la mitad de su valor máximo

Para el ejemplo anterior:

cdBmaxx

cx fwfSfS =⇒= 32)()(

τττ

τττ

26.21443.0443.0

21)()()(

3

2222

==⇒=

=⇒=

dBc

cx

wf

fsincfsincAfS

26

Ancho de banda del 90%C ti l 90% d l t i / í d l ñ l



Contiene el 90% de la potencia/energía de la señal

τττ

25.1

:ntenuméricame oResolviend

9.0)(sin2:Ejemplo

90

0

22229.0

≈

=∫

.

w

w

AdffcA

Ancho de banda del primer nuloτ

τw 1=



f (H )

Señales paso banda: los anchos son el doble que los obtenidos para la misma señal paso bajo.

f (Hz)

27

1.7.Modelado paso bajo equivalenteQueremos disponer de una herramienta que permita analizar las señales independientemente de la frecuencia


analizar las señales independientemente de la frecuencia central en la que trabajemos

Transformada de Hilbert

ttgd

tgtg

πτ

ττ

π1)()(1)( ∗=

−= ∫

∞

∞−

∧

Transformada de Hilbert inversa:

1 ( ) 1( ) ( )gg t d gt tτ τ τ

π τ π

∧∧∞

−∞= − = − ∗

−∫

Como:)()()()(1 fGfjsignfGfjsign −=⇒−⇔

∧


1.7.Modelado paso bajo equivalente

Introduce desfase de -90º para frecuencias positivas y 90º para frecuencias negativasLa amplitud no se modifica

Nos servirá para ciertos tipos de modulaciones y para representar ñ l b d

)()()()( ffj gffj gtπ

señales paso banda

28

La respuesta en fase de la T. H. es :



Ejemplo de T. H. :



)]()([1)]()([

)]()()[(2

)()()(

)]()([21)(

2)2exp()2exp()2cos()(

δδδδ

δδ

δδ

πππ

+=+−

=

=++−−=−=

++−=

−+==

∧

ffffffffj

fffffsignjfGfjsignfG

fffffG

tfjtfjtftg

cc

cc

ccc

2 de desfase )2(

2)2exp()2exp()(

)]()([2

)]()([2

ππππ

δδδδ

⇒=−−

=

+−−=+−−=

∧

tfsinj

tfjtfjtg

ffffj

ffff

ccc

cccc

29



La transformada inversa de Hilbert retrasa otros π/2 radianes y cambia signo. Ejemplo:

)2(

)2

()2()2

cos()2cos()2

2cos()2

(

tfsin

sintfsintftftg

c

ccc

π

πππππππ

=

=+=−=−

)2cos(

)]2cos([)2

2()]([1

tf

tftfsintgH

c

cc

π

πππ

=

=−−=−−=∧

−

Propiedades de la transformada de Hilbert:Las señales g(t) y ĝ(t) tienen la misma densidad


1.7.Modelado paso bajo equivalenteLas señales g(t) y ĝ(t) tienen la misma densidad espectral:

La señal g(t) está limitada en banda ⇒ ĝ(t) tambiénTanto g(t) como ĝ(t) tienen la misma energía o potencia

Las señales g(t) y ĝ(t) tienen la misma función de autocorrelaciónSi g(t) ∈ ℜ⇒ g(t) ┴ ĝ(t)

H[ H(g(t)) ] = -g(t)

0)0( ==∧ τgg

R

30

Señal analíticaD d (t) ℜ l ñ l líti iti d fi



Dado g(t) ∈ ℜ , la señal analítica positiva, se define:

[ ] si fG si ffG

fGfjsignjfGfG

tgetgtgjtgtg

+

+

∧

+

⎪

⎪⎨

⎧=>

=−+=

ℜ=⇒+=

0)0(0)(2

)()()()(

)]([)()()()(

dfπftjfGtg

i f s

∫∞

+ =⇒

⎪⎩ <

0)2exp()(2)(

00

Señal analítica negativa:tgjtgtg

∧

)()()(



[ ]

dfπftjfGtg

i f s

si fG si ffG

fGfjsignjfGfG

tgjtgtg

∫

−

−

=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=<

=−−=

−=

0)2exp()(2)(

000)0(

0)(2)()()()(

)()()(

Señal original:

ffjfg ∫ ∞−− )p()()(

)]()([21)( tgtgtg −+ +=

31



G(f)

f (Hz)

G-(f)

f (Hz)

G+(f)

f (Hz)

Señales paso bandaS (t) ñ l b d h d b d 2



Sea g(t) una señal paso banda, con ancho de banda 2wcentrada en ± fc . En la mayoría de los sistemas de comunicación fc >> 2w, por lo que se denominan también señales banda estrechaSe define la envolvente compleja como:

)2exp()()(~

tfjtgtg π−=

Señal analítica positiva:

)2exp()()(~

tfjtgtg cπ=+

)2exp()()( tfjtgtg cπ= +

32

La señal g+(t) está limitada en banda (fc - w) ≤ f ≤ (fc + w)~



En general:bajo paso señal una es compleja envolvente la

en limitada está

)()()()(~

⇒≤≤⇒

+=+∗= ++

wf -w (f) G

ffGfffGfG~

ccδ

Ct)(~

bajo paso señalesson ,)()()()()(

~

t,gtgtjgtgtg

sc

sc

ℜ∈+=

Ctg ∈)(

Por definición, una señal g(t):tfjtgetgetg =ℜ=ℜ= )]2exp()([)]([)(

~π



R il d l l t l jtura en cuadracomponentetg

en fasecomponentetg

tftgtftgtfjtgetgetg

s

c

cscc

c

≡≡

⇒−=

=ℜ=ℜ= +

)()(

señal la de canónica formaen ción Representa)2sin()()2cos()(

)]2exp()([)]([)(ππ

π

)()()(~

tjtt +Recopilando, la envolvente compleja:Es una señal paso bajoContiene toda la información relevante de g(t) salvo la frecuencia central a la que se encuentraPor tanto, es una señal paso bajo equivalente a g(t)

)()()( tjgtgtg sc +=

33

Interpretación geométrica: fasor variante en el tiempo~



[ ]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

+=

=

+=

)()()(

natural envolvente)()()(

)(exp)()(

)()()(

1

22

tgtgtagt

tgtgta

tjtatg

tjgtgtg

c

s-

sc

~sc

φ

φ

gs

a(t)

gc

Eje realφ(t)

)2exp()()(

:Además~

tfjtgtg = π



plano del movimiento alatención

prestar no de tratacompleja envolvente La* )]([)(*

rad/s 2 velocidaduna a rota plano El* )2exp()()(

sc

csc

c

gg

tgetgπf gg

tfjtgtg

+

+

ℜ=

= π

gs(t)

a(t)

Eje real

φ(t)

g(t)

gc(t)

2πfct

g+(t)

34

Obtención de las componentes:



2)4cos(1)(

2)4sin()()2sin()(

2)4sin()(

2)4cos(1)()2cos()(

)2sin()()2cos()()(

tftgtftgtftg

tftgtftgtftg

tftgtftgtg

cs

ccc

cs

ccc

cscc

−−=

−+

=

−=

πππ

πππ

ππ

escaladefactor un salvo y obtenemosbajo,pasofiltramosSi )()( tgtg sc⇒

El esquema es:

(1/2) ( )



Y además:⊗

⊗

-π/2osc.cos(2 π fct)

LPF

LPFg(t)

(1/2)gc(t)

-(1/2)gs(t)Y además:

⊗

⊗

-π/2osc.

gc(t)

gs(t)

Σ g(t)+

-

cos(2 π fct)

35

Sistemas paso bandaL i t h t h i l t i l t i



Lo visto hasta ahora es operacionalmente incompleto si no contamos con una herramienta que nos permita manejar envolventes complejas para simular el efecto canalSiendo cierto:

h(t) x(t) y(t) Todas paso banda

Nos gustaría operar:

??? Todas paso bajo)(~

tx )(~

th

Se demuestra:~~~~~

∫∞



Pero nos puede obligar a realizar 4 convoluciones:

bajo paso enteexclusivam señalescon trabajar Podemos)]2exp()([)(

)()()()()(2~

⇒ℜ=

∗=−= ∫∞

∞−

tfjtyety

txthdtxhty

cπ

τττ

~~~

)()()()()(2)()()()()(2

)]()()()([)]()()()([)]()([)]()([)()()(2

txthtxthtytxthtxthty

txthtxthjtxthtxthtjxtxtjhthtxthty

sccss

ssccc

csscsscc

scsc

∗+∗=∗−∗=

∗+∗+∗−∗==+∗+=∗=

36

En definitiva, para la evaluación de un sistema paso-banda se realizan los siguientes pasos:


1.7.Modelado paso bajo equivalentese realizan los siguientes pasos:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )por reemplazase

por reemplazase

.2

)]2exp([

;.1

~

~

thth

tfjtxetx

tx tx

c

~

πℜ=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) )exp(calcula Se

obtiene Se

]2[4

2.3~

tfjtyety.

txthty

c

~~~

πℜ=

∗=

1.8.Retardos de fase y grupoRetardo de fase del canal: retardo de una señal sinusoidal (portadora)


(portadora)Retardo de grupo: retardo de la señal de informaciónUn canal dispersivo en fase se puede modelar como:

Sea una señal banda estrecha:

[ ]frecuenciala delineal no función

constante :fβ

kfjkfH)(

:)(exp)( β=

bajo pasoseñal

c

cc

cc

fw ωffX tx

tπftxtx

<<

>=

=

20)(/)(

)2cos()()(

37

1.8.Retardos de fase y grupoRealizamos una expansión en serie de Taylor en torno a fc(aproximamos con los 2 primeros términos)


( p p )

Se define:Retardo de fase:

cffcc df

fdffff=

−+≈)()()()( βββ

cp f

fβτ2

)(−=

Retado de grupo:c

p fπ2

cffg df

fd

=

−=)(

21 βπ

τ

1.8.Retardos de fase y grupoPor tanto:


Envolventes complejas:

])(22exp[)(

)(22)(

gcpc

gcpc

ffjfjkfH

ffff

τπτπ

τπτπβ

−−−=

−−−≈

0 )(2)()(~

fffHffHfH cc >+=+= +

)()2exp()2exp()]()([21)(

)()(

)22exp(2)(

~~~

~

~

fXfjfjkfXfHfY

fXfX

fjfjkfH

cgpc

c

gpc

τπτπ

τπτπ

−−==

=

−−=

38

1.8.Retardos de fase y grupo

)2()()(

)()2exp()( Como~

−⇔−

fjk

fXπfτjτtx cggc


Por ello, la transmisión de x(t) por un canal dispersivo tiene 2 efectos:

L ñ l d d ( d d f

)2exp()()( :Recordemos

)](2cos[)()(

)2exp()()(

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ℜ=

−−=

−−=

tπfjtyety

tftkxty

fjtkxty

c

~

pcgc

pcgc

τπτ

τπτ

La señal portadora se retarda τp (retardo de fase o portadora)La envolvente xc(t) se retarda τg (retardo de grupo) ⇒retardo de la señal de información

1.8.Retardos de fase y grupoSi β(f) = -2πft (fase lineal)


Si β(f) 2πfto (fase lineal)

)(21

2)(

=−=

=−=

=o

ffg

oc

cp

tdf

fd

tff

c

βπ

τ

πβτ

igualesgrupodey fasedeRetardo⇒

39

1.9.Transmisión de una señal aleatoria a través de un sistema


Sea un sistema LTI cuya entrada es un proceso estocástico X(t); queremos conocer las características del proceso de salida Y(t) (media, autocorrelación, d.e.p., . . .)

di

h(t) X(t) Y(t)

⎤⎡∫∞

Media

ad)probabilid de densidad de(función ...)(

)()()]([ :Nota

)()()]([)(

pdfxf

dxxfxgxgE

dtXhEtYEtm

X

X

Y

≡

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −==

∫

∫∞

∞−

∞−τττ


Si l di d X( ) fi i l i bl


Si la media de X(t) es finita y el sistema es estable:

Si X(t) es estacionario en sentido amplio (WSS)

)()()(

)()()]([)()(

tmthtm

dtmhdtXEhtm

XY

XY

∗=

−=−= ∫∫∞

∞−

∞

∞−ττττττ

Si X(t) es estacionario en sentido amplio (WSS) ⇒ mX = cte

XXY mHdhmtm ∫∞

∞−== )0()()( ττ

40


Autocorrelación


Autocorrelación

Si el sistema es estable, y el valor cuadrático medio de la señal de entrada es finito ∀t:

])()()()([

)]()([),(

222111 ∫∫∞

∞−

∞

∞−−−=

==

ττττττ duXhdtXhE

uYtYEutR Y

Si X(t) es WSS ⇒ la autocorrelación depende de la diferencia de tiempos τ = t-u

(1) )()(),(),( uhthutRutR XY ∗∗=

(2) )()()()( ττττ −∗∗= hhRR XY


Correlación cruzada:


Correlación cruzada: Suponemos sistema estable y valor cuadrático medio de la señal de entrada finito

)()()()(),(),( (1)Por

)(),(),()(),(),(

uhutRutRthutRutR

thutRutRuhutRutR

XYY

XYX

XXY

∗∗=⇒

∗=∗=

Si además X(t) es WSS, por (2):

Similares deducciones para valor cuadrático medio, covarianzas y autocovarianzas.

)(),(),( uhutRutR YXY ∗=

)()()()()()()()()()()()(

ττττττττττττ

−∗=⇒∗=∗=⇒−∗=hRRhRR

hRRhRR

YXYXYX

XYYXXY

41


D id d t l d t i (d )


Densidad espectral de potencia (d.e.p.)Ahora trabajamos en el dominio de la frecuenciaSuponemos sistema LTI estable y X(t) proceso WSSLa densidad espectral de potencia es:

∫∞

∞−−= ττπτ dfjRfS XX )2exp()()(

Propiedades:

ormadoPar transf)2exp()()(

)2exp()()(

:Khintchine- Wienerde Relaciones .1

⇒=

−=

∫∫∞

∞−

∞

∞−

dffjSR

dfjRfS

XX

XX

τπττ

ττπτ



Relación entrada-salida en un sistema LTI estable y con

ffSfSfS

dffSXER

dRS

X

XX

XX

XX

∀≥⇒=−

==

=

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

0)( 5. .frecuencia la depar Función )()( 4.

)(][(0) 3.

)()0( 2.

2

ττ

Relación entrada-salida en un sistema LTI estable y con X(t) proceso WSS

∫∫∞

∞−

∞

∞−===

=

dffSfHdffSRYE

fSfHfS

XYY

XY

)()()()0(][

)()()(22

2

42



Procesos gaussianosLa función densidad de probabilidad es conocida a priori:

Independencia ⇒ Incorrelación (siempre)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−= 2

2

2)(exp

21)(

X

X

XX

mxxfσσπ

En gaussianos: Incorrelación ⇒ IndependenciaSe conserva el carácter gaussiano al atravesar un sistema lineal ⇒ sólo habrá que calcular medias y varianzas

1.10. Análisis de ruidoEl ruido es toda señal no deseada que aparece en los sistemas de comunicación y sobre la que no tenemos


sistemas de comunicación y sobre la que no tenemos ningún control Tipos de ruido

Ruido externo al sistema: ruido atmosférico, producido por el hombre, galáctico, etcRuido interno al sistema: el más importante es debido a las fluctuaciones aleatorias de las portadoras en los dispositivos utilizados. Los más comunes son:Los más comunes son:

Ruido impulsivo o shot: ruido cuya intensidad aumenta bruscamente durante un intervalo de tiempo muy pequeño. Ruido térmico: ruido producido por el movimiento aleatorio de los electrones en los elementos integrantes de los circuitos

43

1.10. Análisis de ruidoEl análisis del ruido en los sistemas de comunicación se basa en una forma idealizada de ruido: ruido blanco


Su densidad espectral de potencia es constante y no depende de la frecuencia

Autocorrelación (F-1 de la d.e.p.):

Entonces dos señales cualesquiera de ruido

2)( o

wNfS =

)(2

)( τδτ ow

NR =

Entonces, dos señales cualesquiera de ruido blanco están incorreladas (ya que la correlación es cero ∀τ excepto τ = 0 )

Si además el ruido es gaussiano ⇒ 2 señales cualesquiera son estadísticamente independientes

1.10. Análisis de ruidoRuido blanco


Densidad espectral Autocorrelación

Modelo físicamente no realizable: buena aproximación cuando el ancho de banda de ruido es notablemente superior al del sistema

44

1.10. Análisis de ruidoAncho de banda equivalente de ruido o rectangular


Aplicación del ancho de banda equivalenteEn un sistema paso bajo, para calcular el ancho de banda equivalente, reemplazamos dicho sistema paso-bajo por un filtro ideal paso-bajo con ancho de banda el que se desea calcular y con amplitud el valor de la función de transferencia en el origen de modo que la potencia de ruidotransferencia en el origen de modo que la potencia de ruido a la salida sea la misma cuando a la entrada hay ruido blanco

1.10. Análisis de ruidoSi la densidad espectral de ruido a la entrada es Sw(f)=No/2 ⇒ la potencia de ruido a la salida es:


Si tenemos la misma fuente de ruido y un filtro ideal paso-bajo con ancho de banda ‘B’ y amplitud en el origen la misma que el sistema H(0) ⇒ la potencia de ruido a la salida es:

∫ ∫∞

∞−

∞==

0

22 )()(2

dffHNdffHNP oo

No

2)0(HBNP oNo =

La potencia de ruido de salida de un sistema paso-bajo con ancho de banda de ruido o rectangular B, cuando la entrada es ruido blanco, es proporcional a dicho ancho de banda

45

1.10. Análisis de ruido

Si igualamos ambas expresiones:


Si igualamos ambas expresiones:

Si el sistema es paso banda:

2

02

( )ancho de banda equivalentede ruido

(0)

H f dfB

H

∞

= ≡∫

Si el sistema es paso banda:

20

2

'

)(

)(

cfH

dffHB

∫∞

=

1.10. Análisis de ruidoDe forma gráfica (para sistemas paso bajo):


|H(f)|2

|H(0)|2

0 f (Hz)

46

1.10. Análisis de ruidoPara sistemas paso banda:


|H(fc)|2

|H(f)|2

0-fc fc f (Hz)

1.10. Análisis de ruidoRuido de banda estrecha

En el receptor de los sistemas de comunicaciones que utilizan


e ecep o de os s s e s de co u c c o es que uportadora:

La señal y el ruido se filtran de forma selectivaSe deja pasar sólo la banda de frecuencias que interesa, no el ruido fuera de esa bandaUn filtro de este tipo es un filtro banda estrecha (fc >> B)El ruido tras el filtrado es un ruido banda estrecha

Vamos a estudiar como cualquier ruido de banda estrecha se puede modelar como la salida de cierto sistema al que se le aplica a su entrada un ruido blanco

47

1.10. Análisis de ruidoSea n(t) el ruido a la salida de un filtro paso-banda de banda estrecha como respuesta a un ruido blanco,


banda estrecha como respuesta a un ruido blanco, gaussiano, de media cero y d.e.p. unidad; ω(t)

h(t) ω(t) n(t)

unidad) la es )( de d.e.p. (la )()( 2 tfHfSN ω=

1∧T.H.[n(t)]:

Sea fc la frecuencia central de la banda de ruidoSeñal analítica positiva de ruido:

( ) ( ) ( )tnjtntn∧

+ +=

( ) )(*1 tnt

tn⋅

=∧

π

1.10. Análisis de ruidoEnvolvente compleja:

e)equivalentbajopaso(ruido)2exp()()(~

tfjtntn = π


Si se desarrollan n+(t) y exp(-j2π fct), deducir:

cuadraturaen componente la es )(faseen componente la es )(

)()()(

e)equivalentbajopaso(ruido )2exp()()(~

tntn

tjntntn

tfjtntn

s

c

sc

c

+=

−= + π

)2()()2cos()()(^

tfsintntftntn ππ +=

estrecha) banda ruido del canónica (forma)2()()2cos()()(

)2()()2cos()()(

)2()()2cos()()(^

tfsintntftntntfsintntftntn

tfsintntftntn

cscc

ccs

ccc

ππππ

ππ

−=⇒−=

+=

48

1.10. Análisis de ruidoPropiedades de las componentes en fase y cuadratura:

1) Si n(t) tiene media cero n (t) y n (t) también


1) Si n(t) tiene media cero, nc(t) y ns(t) también

2) Si n(t) es gaussiano ⇒ nc(t) y ns(t) son gaussianas cada una de ellas y conjuntamente gaussianas

3) Si n(t) es WSS y E[n(t)]=0 ⇒ nc(t) y ns(t) son WSS y son

0)]([

0)]([0)]([0)]([ Si

^

⎩⎨⎧

==

⇒=⇒=tnEtnE

tnEtnEs

c

conjuntamente WSS4) Las componentes nc(t) y ns(t) tienen la misma d.e.p. :

definido donde

sto re

BffBffS

BfBffSffSfSfS

ccN

cNcNNN sc

+≤≤−⎩⎨⎧ ≤≤−++−

==

)(

0)()(

)()(

1.10. Análisis de ruido5) Si n(t) tiene media cero ⇒ nc(t) y ns(t) tienen la misma varianza

que n(t)


6) La densidad espectral cruzada de las componentes en fase y cuadratura son imaginarias puras y vienen dadas por:

dfjRfS

BfBffSffSjfSfS

xyxy

cNcNNNNN cssc

∫∞

∞−−=

⎩⎨⎧=

≤≤−−−+=−=

ττπτ )2exp()()( :NOTA

resto 0 )]()([

)()(

7) Si un ruido paso banda n(t) es gaussiano, de media cero y su d.e.p. SN(f) es localmente simétrica alrededor de ±fc⇒ nc(t) y ns(t) son estadísticamente independientes; por lo que su f.d.p. es :

∫ ∞

49


)()()( nfnfnnf ==


Resumen de propiedades: si n(t) es un ruido blanco banda estrecha, de media nula, WSS y gaussiano:

nc(t) y ns(t) tienen media nula

)2

exp(2

1)2

exp(21)

2exp(

21

)()(),(

2

22

22

2

2

2

)()()()(

σπσσσπσσπscsc

stNctNsctNtN

nnnn

nfnfnnfkskckskc

+−=−−=

==

c( ) y s( )Son WSS y conjuntamente estacionariosSon gaussianos y conjuntamente gaussianosSi la d.e.p. SN(f) es localmente simétrica respecto a ±fc⇒ nc(t) y ns(t) son estadísticamente independientes

1.10. Análisis de ruido– Representación de un ruido banda estrecha en función

de su envolvente y fasede su envolvente y fase• Podemos poner: n(t) = r(t)cos[2πfct + ψ (t)]; donde:

)()()(

)()()(

1

22

tntntagt

tntntr

c

s

sc

ψ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

+=

−

r

n(t)ns

)](sin[)()()](cos[)()(

ttrtnttrtn

s

c

ψψ

==

:lado otropor ψ

nc

50

1.10. Análisis de ruidoSi n(t) es gaussiano y de media cero, y SN(f) es localmente simétrica alrededor de ±f ⇒ n (t) y n (t) son


localmente simétrica alrededor de ±fc ⇒ nc(t) y ns(t) son gaussianas y de media cero:

sin

cos

)2

exp(2

1),(

1

22

2

22

2, σπσ

ntagψψrn

nnrψrn

nnnnf

s

scc

scscNN sc

⎥⎤

⎢⎡

⇒

+=⇒=

+−=

−

: variablede cambio-

)()()2

exp(2

),(

sin

2

2

2, ψσπσ

ψ ψψ frfrrrf

rdrdψdn dn n

tagψψr n

RR

sc

c

ss

=−=⇒

=

⎥⎦

⎢⎣

=⇒=

1.10. Análisis de ruidoEsto sugiere:

⎧


eighón de Rayldistribuci resto

r rrrf

uniforme esto r

πψ πf

R ⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−=

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤

=

0

0 )2

exp()(

0

2021

)(

2

2

2 σσ

ψψ

Normalizamos: ν = r /σ

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−==

o rest

ν νν(r)σ f(νf RV

0

0)2

exp()

2

51

1.10. Análisis de ruidoLa f.d.p. de una variable Rayleigh dada por la ecuación anterior es la que se muestra a continuación (el máximo se


produce para ν = 1 , donde la función vale fV (ν ) = 0.607)

fV(ν)

ν

1.10. Análisis de ruidoEnvolvente de una señal sinusoidal con ruido de banda estrecha


estrecha

Si n(t) es gaussiano, de media cero, varianza σ 2, y se cumple que SN(f) es simétrica respecto a ± fc:

Las señales n ´(t) y n (t) son gaussianas e independientes

Atntn

tftntftntntfAtx

cc

csccc

+=

−=+=

)()( donde

)2sin()()2cos()()()2cos()('

' πππ

Las señales nc (t) y ns(t) son gaussianas e independientesLas medias son E[nc´(t)] = A; E[ns(t)] = 0Las varianzas son Var[nc´(t)] = Var[ns(t)] = σ2

52

1.10. Análisis de ruidoPor ello:

)(1 22' A ⎤⎡


)](sin[)()( ;)()()(

)](cos[)()( ;)()()( : variablede cambio-

2)(exp

21),(

'1

'22'

2

22

2'

,'σπσ

tψtrtntntntagt ψ

tψtrtntntntr

nAnnnf

sc

s

csc

scscNN sc

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−−=

−

.cos términoal debido 0) para (salvo ntesindependieson no y donde

2cos2exp

2),(

)(

2

22

2,

ψ

σψ

πσψψ

rAψR

ArArrrfR

c

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+−=⇒

⎦⎣

1.10. Análisis de ruidoLa f.d.p. de R vendrá dada por:

2

∫π


Si hacemos x = Ar /σ 2:cero.orden y clase 1ª de modificada Bessel

defunción la es corchetes entre términoel donde

)cosexp(2

exp2

),()(

2

0 22

22

2

2

0 ,

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=

==

∫

∫ Ψ

π

π

ψψσσπσ

ψψ

dArArr

drfrf RR

Rician. de óndistribuci≡+−=

=⇒ ∫

)()2

exp()(

)cosexp(21)(

202

22

2

2

0

σσσ

ψψπ

π

ArIArrrf

dxxI

R

o

53

1.10. Análisis de ruidoNormalizamos ν = r / σ ; a = A / σ :

)()( σν rff =


La f.d.p. de una variable aleatoria Rician es :

)()2

exp()(

)()(22

νννν

σν

aIaf

rff

oV

RV

+−=

=

fV(ν)a=0

2a=1

ν

a=3 a=4a=2 a=5


Rayleighóndistribuciunatenemos0Para a =⇒


ruido) al frente grandees portadora la decir, es , a respecto grande es que implica grande sea que (el gaussiana aleatoria

variableuna a aproxima seón distribuci la , degrandes valoresparay de entornoun Para

Rayleighón distribuciuna tenemos0, Para

σ

ν

Aa

aa

a=⇒

=⇒

NOTASNOTAS:Anexo con tablas de pares transformados, relaciones trigonométricas y funciones tabuladasUtilizar: http://www.gib.tel.uva.es/tc

1

ANEXO

TABLAS DE PARES TRANSFORMADOS, RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Y

FUNCIONES TABULADAS

Resumen de las propiedades de la transformada de Fourier Propiedad Descripción matemática

1. Linealidad ( ) ( ) ( ) ( )fGbfGatgbtga 2121 ⋅+⋅⇔⋅+⋅ , siendo a y b constantes

2. Escalado temporal ( )

⋅⇔⋅afG

atag 1 siendo a constate

3. Dualidad Si: ( ) ( )fGtg ⇔ , entonces: ( ) ( )fgtG −⇔

4. Desplazamiento en tiempo ( ) ( ) ( )00 2exp ftjfGttg π−⋅⇔− 5. Desplazamiento en frecuencia

( ) ( ) ( )cc ffGtfjtg −⇔⋅ π2exp

6. Área bajo g(t) ( ) ( )0Gdttg =∫+∞

∞−

7. Área bajo G(f) ( ) ( )∫+∞

∞−= dffGg 0

8. Diferenciación en tiempo ( ) ( )fGfjdttdg

⋅⇔ π2

9. Integración en tiempo ( ) ( ) ( ) ( )fGfGfj

dgt

δπ

ττ ⋅+⋅⇔∫ ∞− 20

21

10. Funciones conjugadas Si: ( ) ( )fGtg ⇔ , entonces: ( ) ( )fGtg −⇔ **

11. Multiplicación en tiempo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫+∞

∞−−⋅=∗⇔⋅ λλλ dfGGfGfGtgtg 212121

12. Convolución en tiempo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fGfGdtggtgtg 212121 ⋅⇔−⋅=∗ ∫+∞

∞−τττ

2

Pares transformados de Fourier Función en tiempo Transformada de Fourier

ΠTt ( )fTcT sin⋅

( )Wtc 2sin

Π⋅Wf

W 221

( ) ( ) 0,exp >⋅− atuat fja π2

1+

( ) 0,exp >− ata ( )22 22fa

aπ+

( )2exp tπ− ( )2exp fπ−

ΛTt ( )fTcT 2sin⋅

( )tδ 1 1 ( )fδ ( )0tt −δ ( )02exp ftj π− ( )tfj cπ2exp ( )cff −δ

( )tf cπ2cos ( ) ( )[ ]cc ffff ++−⋅ δδ21

( )tf cπ2sin ( ) ( )[ ]cc ffffj

+−−⋅ δδ21

( )tsign fjπ

1

tπ1 ( )fsignj ⋅−

( )tu ( )fj

fπ

δ21

21

+⋅

( )∑+∞

−∞=

−i

iTt 0δ ∑∞+

−∞=

−⋅

n Tnf

T 00

1 δ

NOTAS: u(t): Función escalón unidad δ(t): Función delta de Dirac

≥

<=

Π

2,02,1Tt

TtTt

≥

<−=

Λ

Tt

TtTt

Tt

,0

,1

( )

<−=>

=0,1

0,00,1

ttt

tsign

3

Pares transformados de Hilbert Función en tiempo Transformada de Hilbert ( ) ( )tftm cπ2cos⋅ (1) ( ) ( )tftm cπ2sin⋅ ( ) ( )tftm cπ2sin⋅ (1) ( ) ( )tftm cπ2cos⋅− ( )tf cπ2cos ( )tf cπ2sin ( )tf cπ2sin ( )tf cπ2cos− ( )ttsin ( )

ttcos1−

ΠTt

2121

log1

+

−⋅−

t

t

π

( )tδ tπ

1

211t+

21 tt+

t1 ( )tδπ ⋅−

(1) En los dos primeros pares, se asume que m(t) es una señal limitada en banda, en el intervalo: -W ≤ f ≤ W, siendo: fc > W. NOTAS: δ(t): Función delta de Dirac

≥

<=

Π

2,02,1Tt

TtTt

log: logaritmo natural Identidades trigonométricas

( ) ( ) ( )θθθ sincosexp ⋅±=± jj

( ) ( ) ( )[ ]θθθ jj −+⋅= expexp21cos

( ) ( ) ( )[ ]θθθ jjj

−−⋅= expexp21sin

( ) ( ) 1cossin 22 =+ θθ ( ) ( ) ( )θθθ 2cossincos 22 =−

( ) ( )[ ]θθ 2cos121cos2 +⋅=

( ) ( )[ ]θθ 2cos121sin 2 −⋅=

( ) ( ) ( )θθθ 2sincossin2 =⋅⋅ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bababa sincoscossinsin ⋅±⋅=± ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bababa sinsincoscoscos ⋅⋅=± m

( ) ( ) ( )( ) ( )ba

babatantan1

tantantan⋅

±=±

m

( ) ( ) ( ) ( )[ ]bababa +−−⋅=⋅ coscos21sinsin

( ) ( ) ( ) ( )[ ]bababa ++−⋅=⋅ coscos21coscos

( ) ( ) ( ) ( )[ ]bababa ++−⋅=⋅ sinsin21cossin

4

Funciones de Bessel

Jn(x) n\x 0.5 1 2 3 4 6 8 10 12 0 0.9385 0.7652 0.2239 -0.2601 -0.3971 0.1506 0.1717 -0.2459 0.0477 1 0.2423 0.4401 0.5767 0.3391 -0.0660 -0.2767 0.2346 0.0435 -0.2234 2 0.0306 0.1149 0.3528 0.4861 0.3641 -0.2429 -0.1130 0.2546 -0.0849 3 0.0026 0.0196 0.1289 0.3091 0.4302 0.1148 -0.2911 0.0584 0.1951 4 0.0002 0.0025 0.0340 0.1320 0.2811 0.3576 -0.1054 -0.2196 0.1825 5 0.0002 0.0070 0.0430 0.1321 0.3621 0.1858 -0.2341 -0.0735 6 0.0012 0.0114 0.0491 0.2458 0.3376 -0.0145 -0.2437 7 0.0002 0.0025 0.0152 0.1296 0.3206 0.2167 -0.1703 8 0.0005 0.0040 0.0565 0.2235 0.3179 0.0451 9 0.0001 0.0009 0.0212 0.1263 0.2919 0.2304 10 0.0002 0.0070 0.0608 0.2075 0.3005 11 0.0020 0.0256 0.1231 0.2704 12 0.0005 0.0096 0.0634 0.1953 13 0.0001 0.0033 0.0290 0.1201 14 0.0010 0.0120 0.0650

Función de error

u erf(u) u erf(u) 0.00 0.00000 1.10 0.88021 0.05 0.05637 1.15 0.89612 0.10 0.11246 1.20 0.91031 0.15 0.16800 1.25 0.92290 0.20 0.22270 1.30 0.93401 0.25 0.27633 1.35 0.94376 0.30 0.32863 1.40 0.95229 0.35 0.37938 1.45 0.95970 0.40 0.42839 1.50 0.96611 0.45 0.47548 1.55 0.97162 0.50 0.52050 1.60 0.97635 0.55 0.56332 1.65 0.98038 0.60 0.60386 1.70 0.98379 0.65 0.64203 1.75 0.98667 0.70 0.67780 1.80 0.98909 0.75 0.71116 1.85 0.99111 0.80 0.74210 1.90 0.99279 0.85 0.77067 1.95 0.99418 0.90 0.79691 2.00 0.99532 0.95 0.82089 2.50 0.99959 1.00 0.84270 3.00 0.99998 1.05 0.86244 3.30 0.999998


CUESTIONES TEMA 1

INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE COMUNICACIÓN

1.- Indicar los principales canales de comunicación utilizados en la actualidad.

2.- Tipos de señales. Explicar cada uno de ellos.

3.- ¿Cómo se define la energía o la potencia media de una señal?

4.- ¿Cómo se definen y por qué se utilizan las unidades logarítmicas?

5.- Que tenga periodicidad una señal en el dominio del tiempo, ¿qué implicación tiene en el dominio de la frecuencia?

6.- Ecuación síntesis y análisis de la transformada de Fourier. ¿Cuáles son las condiciones para que una señal tenga trasformada de Fourier?

7.- ¿Cómo se puede calcular a simple vista al área bajo g(t) o bajo G(f)?

8.- Definición y propiedades de los sistemas.

9.- En el caso de sistemas LTI, ¿qué condición debe cumplir la respuesta al impulso para que el sistema sea i) sin memoria, ii) causal, y iii) estable?

10.- ¿Cuál es la respuesta en amplitud y en fase? ¿Cómo se relacionan con la función de transferencia? ¿Cuál es la ganancia del sistema y su relación con la respuesta en amplitud?

11.- ¿Qué es un filtro? Tipos de filtros ideales.

12.- ¿Cuál es la relación entre la densidad espectral de energía y la transformada de Fourier para una señal de energía?

13.- Dar una expresión para la energía en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia.

14.- ¿Cuál es la relación entre la densidad espectral de potencia y los coeficientes de la serie compleja de Fourier para una señal periódica?

15.- ¿Cómo se puede calcular la densidad espectral a la salida de un sistema a partir de la densidad espectral a la entrada tanto para señales de energía como de potencia?

16.- ¿Cómo se puede calcular la correlación de la señal de entrada y la señal de salida de un sistema? ¿Cómo se puede calcular la autocorrelación de la señal de salida?

17.- Dar al menos tres criterios para calcular en la práctica el ancho de banda.

18.- ¿Cuál es la ecuación análisis y síntesis para la transformada de Hilbert? La transformada de Hilbert de una señal se puede calcular haciendo pasar a ésta por un sistema LTI. ¿Cuál es la respuesta al impulso de ese sistema que recibe el nombre de

transformador de Hilbert? ¿Cuál es la respuesta en amplitud de dicho sistema? ¿Cuál es la relación entre la señal y su transformada de Hilbert en el dominio de la frecuencia?

19.- ¿Cómo se calcula la señal analítica positiva y la señal analítica negativa de una señal cualquiera en el dominio del tiempo y de la frecuencia?

20.- Para una señal paso banda, ¿cómo se calcula la envolvente compleja en el dominio del tiempo y de la frecuencia?

21.- ¿Cómo se definen las componentes en fase y en cuadratura de una señal paso banda? ¿Cuál es la forma canónica de una señal paso banda?

22.- ¿Cómo se puede calcular una señal a partir de sus componentes en fase y en cuadratura y al revés?. Poner los diagramas de bloques.

23.- Hacer un diagrama fasorial de una señal paso banda, indicando la envolvente natural, la fase, la componente en fase y la componente en cuadratura.

24.- Si se tiene la envolvente compleja de la señal a la entrada de un sistema LTI paso banda y la envolvente compleja del sistema, ¿cómo se calcula la envolvente compleja de la señal a la salida?

25.- ¿Cuál es la definición del retardo de fase y de grupo? ¿Cuál es el sentido físico de cada uno y cómo se puede aplicar al caso de señales y sistemas paso banda?

26.- ¿Cuál es la expresión, en el caso estacionario, de la media y la autocorrelación a la salida de un sistema LTI en función de la media y la autocorrelación a la entrada y la respuesta al impulso del sistema?

27.- ¿Cuál es la relación entre la densidad espectral de potencia y la autocorrelación?. ¿Cómo se define la densidad espectral cruzada?

28.- ¿Cuál es la expresión de la densidad espectral de potencia a la salida de un sistema LTI en función de la densidad espectral de potencia a la entrada y la función de transferencia del sistema?

29.- ¿Cómo es la distribución de la salida de un sistema LTI cuya entrada es gaussiana?

30.- ¿Cuál es la densidad espectral de potencia y la autocorrelación para un ruido blanco gaussiano y de media cero?

31.- ¿Cuál es la forma canónica de un ruido de banda estrecha?

32.- ¿Qué se puede decir de las componentes en fase y en cuadratura de un ruido de banda estrecha con media cero, gaussiano y estacionario?

33.- ¿Cómo se puede calcular la densidad espectral de potencia de las componentes en fase y en cuadratura de un ruido de banda estrecha a partir de la densidad espectral de potencia de ese ruido?

34.- ¿Cuál es la distribución de la envolvente natural de un ruido de banda estrecha gaussiano con media cero?

35.- ¿Cuál es la distribución de la envolvente natural de un ruido de banda estrecha gaussiano con media cero junto con una señal sinusoidal?


PROBLEMAS TEMA 1

INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE COMUNICACIÓN

1.- Clasifica las siguientes señales como señales de energía o de potencia. Calcula en cada caso la potencia o la energía de dichas señales: a) ∞∞π= <t<- para ) 2cos()( 0tfAtx

b) ⎩⎨⎧ =≤≤π

=restoel para 0

f/1 Tdonde ,2/T2/T- para ) 2cos()( 00000 ttfA

tx

c) ⎩⎨⎧ −

=restoel para 0

0>a y0>t para )exp()(

atAtx

d) ∞∞+= <t<- para )2cos(5)cos()( tttx 2.- a) Calcular la transformada de Fourier del pulso medio-coseno mostrado en la figura:

A

0-T/2 T/2 t

g(t)

b) Aplicar la propiedad de desplazamiento temporal para que a partir del resultado obtenido en el apartado anterior calcular la transformada de Fourier del pulso medio-seno mostrado en la figura:

A

0

g(t)

T t

c) ¿Cuál es la transformada de Fourier del pulso medio-seno de duración aT? d) ¿Cuál es la transformada de Fourier del pulso medio-seno negativo de la siguiente figura?

-A

t

g(t)

0

-T

e) Calcular el espectro del pulso seno de la siguiente figura:

A

-A

t

g(t)

0 T

-T

3.- Una señal x(t) de energía finita es aplicada a un dispositivo cuadrático cuya salida y(t) está relacionada con la entrada x(t) mediante la expresión:

y(t) = x2(t)

El espectro de x(t) está limitado al intervalo de frecuencias -W ≤ f ≤ W. Mostrar entonces que el espectro de y(t) está limitado al intervalo -2W ≤ f ≤ 2W. 4.- Considerar una función g(t) que sea un pulso formado por un número finito de segmentos de línea recta. Supongamos que dicha función g(t) es diferenciable con respecto al tiempo dos veces, de modo que puede generarse un tren de deltas ponderadas de la siguiente forma:

∑ δ=i

)t-t(kdtg(t)d

i i2

2

donde los ki están relacionados con las pendientes de los segmentos de línea recta. a) Dados los valores de ki y de ti, mostrar que la transformada de Fourier de g(t) viene dada por:

∑ π−π i

)t fj2exp(kf4

1-=G(f) i i22

b) Utilizando este procedimiento, mostrar que la transformada de Fourier del pulso trapezoidal mostrado en la figura:

A

t

g(t)

0 tb ta -ta -tb

es:

[ ] [ ])tt(f )tt(f )tt(f

A=G(f) ababab

22 +π−π−π

sinsin

5.- Calcular la densidad espectral de potencia del pulso RF de la figura:

T0/2 T0/2

1/fc

2A t

g(t)

. . . . . .

6.- Mostrar que la densidad espectral de energía del pulso:

A

0-T/2 T/2 t

g(t)

y la del pulso:

A

0

g(t)

T t

es la misma y tiene un valor:

22

2

)41((cos( 22

22

g fTf) T T4A=f)

−ππΨ

7.- Considere un sistema receptor formado por cinco secciones como se muestra en la siguiente figura:

5 4 3 2 1

Entrada Salida

sabiendo que la primera sección, la tercera y la quinta son atenuadores iguales de 5 dB y que introducen una potencia de ruido de -100 dBm, -50 dBm y -20 dBm respectivamente al final de esa sección. Sabiendo además que las secciones segunda y cuarta son amplificadores de 20 y 50 dB respectivamente que además introducen un ruido de -50 dBm y -20 dBm respectivamente al final de esa sección. Con esos datos y suponiendo que a la entrada hay una potencia de señal de -50 dBm y de ruido de -100 dBm, determinar: a) El valor de la SNR a la entrada en dB. b) La potencia de señal a la salida en dBm. c) La potencia de ruido a la salida en dBm. d) El valor de la SNR a la salida en dB. e) La relación entre el valor de la SNR a la entrada y el valor de la SNR a la salida medida en dB. 8.- Una señal periódica xp(t) de período T0 se aplica a un filtro lineal e invariante en el tiempo de respuesta al impulso h(t). Utiliza la representación en serie de Fourier Compleja de xp(t) y la integral de convolución para evaluar la respuesta del filtro a dicha entrada.

9. Respecto la señal )()( 1

0 tuektx tk−= , donde 0, 10 >kk , se pide: a) Ancho de banda a 3 dB b) Ancho de banda equivalente c) Ancho de banda del 90% d) Ancho de banda del primer nulo 10.- a) Considerar una señal g(t) limitada a la banda de frecuencias -B ≤ f ≤ B. Esta señal se aplica a un filtro paso bajo con amplitud no constante y fase lineal dado por:

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤π+=B f para 0

B f para )Bf cos(aaH(f) 10

y por:

⎩⎨⎧

>≤π

=βB f para 0B f para ft 2-

f)( 0

Determinar la salida del filtro resultante. b) Supóngase ahora el caso contrario para el que la amplitud es constante y la fase no lineal:

⎩⎨⎧

>≤

=B f para 0B f para a

H(f) 0

y por:

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤ππ=βB f para 0

B f para )Bf sin( b+ft 2-f)( 10

Determinar la salida del filtro resultante suponiendo que la constante b1 es lo suficientemente pequeña como para poder utilizar la aproximación:

)Bf sin( jb1)

Bf sin( jbexp 11

π+≅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ π

11.- Determina la señal analítica positiva g+(t) la señal analítica negativa g-(t), la envolvente compleja t)(~g , la componente en fase gc(t), la componente en cuadratura gs(t), la envolvente natural a(t) y la fase φ(t) para las siguientes señales:

a) g(t) = sinc(t). b) g(t) = [1 + k cos(2πfmt)] cos(2πfct). 12.- Una señal de banda estrecha se puede expresar de la forma:

g(t) = gc(t)cos(2πfct)-gs(t)sin(2πfct)

Utilizando G+(f) para denotar la transformada de Fourier de la señal analítica positiva de g(t), mostrar que las transformadas de Fourier de las componentes en fase gc(t) y en cuadratura gs(t) vienen dadas por:

[ ])f+(-fG+)f+(fG21=(f)G c

*+c+c

[ ])f+(-fG-)f+(fG2j1=(f)G c

*+c+s

Se ha estudiado un diagrama de bloque que ilustra el método para obtener la componente en fase gc(t) y en cuadratura gs(t) a partir de la señal g(t). Ayudados por este diagrama de bloques, y dado que el espectro de g(t) está limitado en la banda WffWf cc +≤≤− , demostrar las siguientes expresiones de las transformadas de Fourier de las componentes en fase gc(t) y en cuadratura gs(t):

⎩⎨⎧ ≤≤−++

resto0WfW)fG(f)f-G(f

=(f)G ccc

[ ]

⎩⎨⎧ ≤≤−+−

resto0WfW)fG(f)f-G(fj

=(f)G ccs

13.- Dada la siguiente señal paso banda:

T/2-T/2

1/fc

-A

A

t

g(t)

y el sistema paso banda:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤⎥⎦⎤

⎢⎣⎡π+

≤⎥⎦⎤

⎢⎣⎡π+

restoel para 0T2f+f para

2)f+ T(fcos

21

21

T2f-f para

2)f- T(fcos

21

21

=H(f) cc

cc

a) Determinar la transformada de Fourier de la señal de entrada X(f). b) Determinar la transformada de Fourier de la envolvente compleja de la señal de entrada

(f)X~ . c) Determinar la transformada de Fourier de la envolvente compleja de la respuesta al impulso del sistema (f)H~ . d) Determinar la transformada de Fourier de la envolvente compleja de la señal de salida

(f)Y~ . e) Determinar la transformada de Fourier de la señal de salida Y(f). e) Determinar la señal de salida y(t). 14.- Si de un sistema de fase no lineal se sabe que una buena aproximación de su respuesta en fase β(f) se puede calcular desarrollando dicha respuesta en fase en serie de Taylor en torno a una frecuencia fc = 1 MHz y quedándose con los dos primeros términos de dicho desarrollo, puesto que se sabe que la no linealidad de la fase no es muy grande. Si la expresión para dicha aproximación es β(f) ≈ 7 - 10-5f, calcular: a) El valor del retardo de fase τp. b) El valor del retardo de grupo τg. 15.- Si a la entrada de un sistema lineal e invariante en el tiempo dado por:

KH(f) =

y por:

gcpc )f-(f 2f 2- = (f) τπ−τπβ

se aplica una señal de banda estrecha dada por:

x(t) = xc(t)cos(2πfct)-xs(t)sin(2πfct)

calcular la expresión de la señal de salida y(t) en función de K, xc(t), xs(t), fc, τp y τg.

16.- La densidad espectral de potencia de un proceso estocástico X(t) es la siguiente:

1

SX(f)

f 0 -f0 f0

δ(f)

Determina y dibuja la función de autocorrelación RX(τ). 17.- Un par de procesos ruidosos n1(t) y n2(t) están relacionados por:

n2(t) = n1(t) cos(2πfct + θ) - n1(t) sin(2πfct + θ)

donde fc es una constante y θ es una variable aleatoria definida por:

⎪⎩

⎪⎨⎧ π≤θ≤π=θΘ

restoel para 0

2 0 para 21

)(f

El proceso de ruido n1(t) es estacionario en sentido amplio y su densidad espectral de potencia es:

SN1(f)

f

a

-W W0

Encontrar y dibujar la densidad espectral de potencia de n2(t). 18.- Considerar un proceso de ruido blanco gaussiano de media cero y densidad espectral de potencia N0/2 que se aplica a la entrada del sistema que se muestra en la siguiente figura:

cos (2πfct)

Señal deSalidaFiltro paso

bajo H2(f)Filtro pasobanda H1(f)

RuidoBlanco

X

siendo el filtro paso banda:

2B

1.0

H f)1(

f -fc fc 0

y el filtro paso bajo:

0 f

2B

1.0

H f)2 (

a) Encontrar la densidad espectral de potencia del proceso de salida del sistema. b) ¿Cuál es la media y la varianza de este proceso de salida?

1


SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS TEMA 1

INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE COMUNICACIÓN 1.

a. Señal definida en potencia: 2

2APx =

b. Señal definida en energía: 2

02TA

Ex =

c. Señal definida en energía: a

AEx 2

2

=

d. Señal definida en potencia: 13=xP 2.

a. ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

⋅=

21sin

21sin

2fTcfTcTAfGa

b. ( ) ( )fTjfTcfTcTAfGa π−⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

⋅= exp

21sin

21sin

2

c. ( ) ( )afGafG bc ⋅=

d. ( ) ( )fTjfTcfTcTAfGa πexp21sin

21sin

2⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

⋅−=

e. ( ) ( ) ( )fGfGfG dbe += 3. Es una demostración. 4. Son demostraciones.

5. ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅= ∑

∞+

−∞=nccg T

nffTnffncAfS

00

22

2sin

16δδ

6. Es una demostración. 7.

a. dBSNRentrada 50= b. dBmSsalida 5= c. dBmN salida 68.3−= d. dBSNRsalida 68.8=

e. ( ) dBdBSNRSNR

salida

entrada 32.41=

8. ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅= ∑

∞+

−∞= 0

2expT

ntjatyn

nπ ; ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅= ∫

∞+

∞−00

2expTnfHcd

Tntjhca nnn τπτ

2

9.

a. π21

3k

w dB =

b. 41k

weq =

c. 1%90 005.1 kw ⋅≈ d. ∞→pnw

10.

a. ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅+−⋅=

Bttg

Bttg

attgaty

21

21

2 001

00

b. ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅

⋅+−⋅=

Bttg

Bttg

battgaty

21

21

2 0010

00

11.

a. ( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅=+ tjtctfjtgtg c 2

exp2

sin2exp~ ππ

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=− tjtctg

2exp

2sin π

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2sin~ tctg

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2sin tctgc ; ( ) 0=tg s

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2sin tcta ; ( ) 0=tφ

b. ( ) ( )[ ] ( )tfjtfktg cm ππ 2exp2cos1 ⋅⋅+=+ ( ) ( )[ ] ( )tfjtfktg cm ππ 2exp2cos1 −⋅⋅+=− ( ) ( )tfktg mπ2cos1~ ⋅+= ( ) ( )tfktg mc π2cos1 ⋅+= ; ( ) 0=tg s

( ) ( )tfkta mπ2cos1 ⋅+= ; ( ) 0=tφ 12. Son demostraciones. 13.

a. ( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }TffcTffcj

ATfX cc ⋅+−⋅−⋅= sinsin2

b. ( ) ( )fTcjATfX sin~ ⋅−=

c. ( )T

fT

fTfH 222

cos1~ ≤≤−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=π

d. ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅+⋅−= fTcfTcfTcjATfY

21sin

41

23sin

43sin

2~

e. ( ) ( ) ( ) ( )j

fffffTcTfTcTfTcTAfY cc

221sin

41

23sin

43sin

2+−−

∗⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅+⋅⋅=

δδ

3

f. ( ) ( )tfsenTt

Tt

TtAty cπ22

21

32

21

2⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Π⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Π⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Π⋅=

14.

a. sp μπ

τ23

=

b. sg μπ

τ210

=

15. ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]pcgspcgc tfsentxktftxkty τπττπτ −⋅−⋅−−⋅−⋅= 22cos

16. ( ) ( )ττ 02

0 sin1 fcfRx ⋅+=

17. ( ) ( ) ( )[ ]cNcNN ffSffSfS ++−⋅=112 2

1

18.

a. ( )⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤=

resto

BfN

fS salida

,0

,4

0

b. 0=Media

20 BN

Varianza =




Tema 2: Modulaciones de Amplitud

1

TEMA II : Modulaciones de Amplitud

2 1 I t d ió


2.1.-Introducción2.2.-Modulación AM2.3.-Modulación DSB-SC2.4.-Modulación QAM2.5.-Filtrado de bandas laterales2 6 M d l ió VSB2.6.-Modulación VSB2.7.-Modulación SSB2.8.-Translación en frecuencia2.9.-Multiplexación por división en frecuencia (FDM)

2.1. IntroducciónEl objetivo de un sistema de comunicación es transmitir

ñ l d i f ió t é d l d

Tema II: Modulaciones de Amplitud

señales de información a través de un canal de comunicación, que separa el transmisor y el receptorEl término banda-base se utiliza para denominar las bandas de frecuencias que representa la señal original que lleva informaciónLa utilización eficiente del canal de comunicaciónLa utilización eficiente del canal de comunicación requiere desplazar las frecuencias ‘banda-base’ a otro rango de frecuencias más adecuado para la transmisión ⇒MODULACIÓN

2

2.1. IntroducciónModulación: se define como el proceso por el cual alguna de las características de una portadora se modifica de


de las características de una portadora se modifica de acuerdo con la señal de información:

Señal banda-base de información ⇒ señal moduladora

Señal resultante del proceso de modulación ⇒ señal modulada

En recepción, normalmente, se requiere restaurar o devolver la señal modulada a su forma original ⇒devolver la señal modulada a su forma original ⇒DEMODULACIÓN (proceso inverso a la modulación)

2.1. IntroducciónVeremos dos tipos de modulación de onda continua:

Modulación de amplitud (AM): la amplitud de la señal portadora


Modulación de amplitud (AM): la amplitud de la señal portadora sinusoidal varía en función de la señal moduladoraModulación angular: el ángulo de la señal portadora sinusoidal varía en función de la señal moduladora

Modulación de fase (PM): la fase de la señal portadora sinusoidal varía en función de la señal moduladoraModulación de frecuencia (FM): la frecuencia de la señal ( )portadora sinusoidal varía en función de la señal moduladora

3

2.2.Modulación AMGeneración de una señal AM

Consideremos la señal portadora c(t):


Consideremos la señal portadora c(t):

S ( ) l b d b i l i f ió0

::

)2cos()(

=

=

c :cero esportadora la de fasela que asumimos ciónsimplificaPor

portadorala de frecuenciaportadorala de amplitud

φ

π

c

c

cc

fA

tfAtc

Sea m(t) una señal banda-base que contiene la información (señal moduladora), con ancho de banda ω.La portadora c(t) es independiente de m(t)

2.2.Modulación AMLa modulación de amplitud (AM) se define como el proceso por el cual la amplitud de la portadora c(t) varía en


p p p p ( )torno a un valor medio de forma lineal con la señal moduladora m(t)La expresión de la señal modulada en AM es:

moduladordel amplituden adsensibilid denominada constante:

)2cos()](1[)(

a

cac

ktftmkAts π+=

Para que la envolvente de la señal modulada en AM siga la forma de la señal banda-base m(t) se deben satisfacer 2 condiciones:

4

2.2.Modulación AM1º) | kam(t) | < 1 ∀t

Si | kam(t) | < 1:


a

Aseguramos que 1+ kam(t) > 0Envolvente de la señal s(t): Ac[1+ kam(t)]Relación unívoca entre la envolvente de la señal AM y la señal moduladora

Si | kam(t) | > 1:Puede que 1+ kam(t) < 0; ⇒ la fase de la señal se invierte siempre que 1+ k m(t) cambie de signo ⇒ Distorsión en lasiempre que 1+ kam(t) cambie de signo ⇒ Distorsión en la envolvente sobremodulación

Porcentaje de modulación: el valor absoluto máximo de kam(t) multiplicado por 100 max | kam(t) | x 100

2.2.Modulación AM


( ) S ñ l b d b ( )(a) Señal banda base m(t)

(b) Señal AM con |kam(t)| < 1 ∀t

(c) Señal AM con |kam(t)| > 1 para algún t

5

2.2.Modulación AM2º) La frecuencia de la señal portadora fc sea mucho mayor que la componente frecuencial superior de m(t): fc >> ω (ω es el ancho


de banda de m(t))Calculamos la T.F. de la señal AM:

Suponiendo que la señal moduladora m(t) está limitada en un rango de frecuencias -ω ≤ f ≤ ω :

)]()([2

)]()([2

)( ccca

ccc ffMffMAkffffAfS ++−+++−= δδ

f (Hz)

2.2.Modulación AMRepresentación S ( f ) :


f (Hz)

6

2.2.Modulación AMDel gráfico deducimos:

La condición fc > ω asegura que las bandas laterales inferiores no se


La condición fc ω asegura que las bandas laterales inferiores no se solapenEn frecuencias positivas, la componente frecuencial superior es fc + ω, y la componente frecuencial inferior fc - ωEl ancho de banda de transmisión de la señal AM se define como la diferencia entre ambas:

BT = 2ω

2.2.Modulación AMModulación de un tono simple

S ñ l d l d t i l


Señal moduladora: tono simple

Señal modulada AM:

moduladora señal la de frecuencia:moduladora señal la de amplitud:

)2cos()(

m

m

mm

fA

tfAtm π=

aciónsobremodulevitar 1 modulación de porcentaje %en expresa se si

modulación defactor donde)2cos()]2cos(1[)(

⇒<⇒⇒⇒

⇒=+=

μ

μππμ

ma

cmc

AktftfAts

7

2.2.Modulación AMEjemplo (dominio del tiempo):


2.2.Modulación AMSi μ < 1 (no sobremodulación):


Desarrollando la señal:

minmax

minmax

c

c

min

max

AAAA

AA

AA

+−=⇒

−+= μμμ

)1()1(

)2cos()]2cos(1[)( tftfAts cmc += ππμ

])(2cos[21

])(2cos[21)2cos()(

tffA

tffAtfAts

mcc

mcccc

−+

+++=

πμ

πμπ

8

2.2.Modulación AMSu T.F. :

11


Diferenciamos tres componentes:Portadora: ± fc

B d l l i (USB) f f f f

mcmcc

mcmcc

mcmccccc

f, -ff, ff

ffffffA

ffffffAffffAfS

±±±⇒

−+++−+

++++−−+++−=

en deltas

)]()([41

)]()([41)]()([

21)(

δδμ

δδμδδ

Banda lateral superior (USB): + fc + fm ; - fc - fm

Banda lateral inferior (LSB): fc - fm ; - fc + fm

2.2.Modulación AMEn frecuencia:


f (Hz)

|M(f) |

0 fm-fm

f (Hz)

|C(f) |

0 fc-fc

f (Hz)

|S(f) |

0 fc-fc

2fm 2fm

9

2.2.Modulación AMPotencia media de una señal x(t):

∫∞


Potencia de la componente portadora:)(:

)()(

)(...)()(

2

txc

nffcfG

txPEDfGdffGP

n

nonx

xxx

deFourier de escoeficient

∑

∫∞

−∞=

∞

∞−

−=

≡=

δ

A

244)(

)(41)(

41)(

)]()([2

)(

222

22

ccccc

ccccc

ccc

AAAdffGP

ffAffAfG

ffffAfC

=+==

++−=

++−=

∫∞

∞−

δδ

δδ

2.2.Modulación AMPotencia de la banda lateral superior (USB):

1 1


Potencia de la banda lateral inferior (LSB):

2 2 2 2

2 22 2 2 2

1 1( ) ( ) ( )4 41 1( ) ( ) ( )

1 6 1 61 1

1 6 1 6 8

c c m c c m

U S B c c m c c m

cU S B c c

U S B f A f f f A f f f

G f A f f f A f f f

AP A A

μ δ μ δ

μ δ μ δ

μμ μ

= − − + + +

= − − + + +

= + =

1 1

2 2 2 2

2 2

1 1( ) ( ) ( )4 41 1( ) ( ) ( )

1 6 1 6

8

c c m c c m

L S B c c m c c m

cL S B

L S B f A f f f A f f f

G f A f f f A f f f

AP

μ δ μ δ

μ δ μ δ

μ

= − + + + −

= − + + + −

=

10

2.2.Modulación AMSe define la eficiencia en potencia:

SBP


Si por ejemplo se utiliza 100% porcentaje de modulación (μ = 1), es

2

2

22222

2222

2882

88

totalPotencia:laterales bandasen Potencia:

μμ

μμ

μμ

η

η

+=

++

+=

=

ccc

cc

T

SB

T

SB

AAA

AA

PP

P

Si por ejemplo se utiliza 100% porcentaje de modulación (μ 1), es

decir, se utiliza la máxima potencia en bandas laterales:La potencia utilizada en la información transmitida es sólo 1/3 de la potencia total

31

211

=+

=η

2.2.Modulación AM1


0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Portadora

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

Bandas laterales

Factor de modulación

11

2.2.Modulación AMTransparencia: para μ < 0.2 la potencia en bandas laterales es menor del 1% de la potencia de la señal AM ⇒ se desperdicia gran


cantidad de potencia

Resumen AM:1) BT = 2ω2) ηmax = 1/3

2.2.Modulación AMModulador en cuadratura: generar señal AM

S i


Se requiere:Sumar portadora y señal moduladoraElemento no lineal (diodos y transistores)Filtrado paso-banda para extraer los productos de modulación deseados (circuitos simple o doblemente sintonizado)

Elemento li lno lineal

v1(t) v2(t)

m(t)

RL

Circuito sintonizado a fc

c(t)

12

2.2.Modulación AMDetector de envolvente


Idealmente produce una señal de salida que sigue la envolvente de la señal de entrada

Demodular señal AMSe requiere señal de entrada de banda estrecha y que no se produzca sobremodulación:

μ < 1fc >> ω

2.2.Modulación AMLas señal s(t) es:


Y la salida del detector de envolvente:

13

2.3. Modulación DSB-SCModulación DSB-SC (Double Side Band-Supressed Carrier)


Carrier)La señal portadora c(t) es independiente de la señal moduladora m(t)Transmitir la portadora significa desperdicio de potencia ⇒sólo una parte de la potencia transmitida de la señal AM lleva informaciónS l ió i i l t d l t dSolución: suprimir la componente de la portadora

⇒ DSB-SC

2.3. Modulación DSB-SCGeneración de una señal DSB-SC

Al i i l d l ñ l d l d i l


Al suprimir la portadora, la señal modulada es proporcional al producto de la portadora por la señal moduladora:

La señal modulada s(t) presenta cambio de fase cuando m(t) cruce por cero ⇒ ahora la envolvente de la señal DSB-

)()2cos()()()( tmtfAtmtcts cc π==

SC no sigue a la señal moduladora

Modulador producto se representa:Modulador

productom(t)

OSC c(t)

s(t) = m(t)c(t)fc > ω

14

2.3. Modulación DSB-SCEjemplo de señal DSBSC:


2.3. Modulación DSB-SCEn frecuencia:

)]()([1)( ffMffMAfS ++


)]()([2

)( ccc ffMffMAfS ++−=

f (Hz)

15

2.3. Modulación DSB-SC|S(f) |

AcM(0)/2


f (Hz)

2ω 2ωc ( )

DSB:1) BT = 2ω2) η = PSB/PT = (PUSB + PLSB )/(PUSB + PLSB ) = 1 ⇒ toda la potencia se consume en transmitir la señal de información

f (Hz)

2.3. Modulación DSB-SCModulación de un tono simple

S ñ l d l d i id l


Señal moduladora sinusoidal:

Señal modulada:

Su T F :

)2cos()( tfAtm mm π=

)])(2cos[(21)])(2cos[(

21

)2cos()2cos()()()(

tffAAtffAA

tftfAAtctmts

mcmcmcmc

mcmc

−++=

===

ππ

ππ

Su T.F. :

. ,en deltas)]()(

)()([41)(

mcmc

mcmc

mcmcmc

ffffffffff

ffffffAAfS

±±−⇒−+++−+

++++−−=

δδ

δδ

16

2.3. Modulación DSB-SCDetección coherente


La señal moduladora m(t) puede ser recuperada multiplicando la señal DSBSC s(t) por una señal sinusoidal generada de forma local y filtrando el resultadoAsumiendo que el oscilador local está perfectamente sincronizado en fase y frecuencia con la señal portadora c(t) ⇒ detección coherente

Moduladorproducto

Oscilador local

Filtradopaso bajo

s(t) vo(t)v(t)

A’ccos(2πfct)

2.3. Modulación DSB-SCDemodulación DSB-SC de un tono simple:

D t ió h t i i i f t


Detección coherente: asumimos sincronismo perfecto en fase y frecuencia entre transmisor y receptor

''

'

( ) ( ) ( ) cos[2 ( ) ]cos(2 )2

cos[2 ( ) ]cos(2 ) ; 2

c c mc m c

c c mc m c

A A Av t s t c t f f t f t

A A A f f t f t

π π

π π

= = + +

+ −

{ }

'

'

NOTA: ( ) cos(2 )

( ) cos[2 (2 ) ] cos[2 (2 ) ] cos((2 ) cos(2 )4

'c c

c c mc m c m m m

c t A πf t

A A Av t f f t f f t f t f tπ π π π

=

= − + + + +

17

2.3. Modulación DSB-SCLos términos a frecuencia 2fc± fm son eliminados mediante filtrado paso-bajo, obteniendo vo(t)


paso bajo, obteniendo vo(t)

Los dos términos son proporcionales a la señal de información, uno procede de la banda lateral superior y otro de la banda lateral inferior

)]2cos()2[cos(4

)('

tftfAAAtv mmmcc

o ππ +=

Como hemos visto, hemos recuperado la señal moduladora multiplicando s(t) por c’(t) y filtrando paso bajo

2.3. Modulación DSB-SCEstudiemos un caso más general: frecuencia fc y fase φ arbitraria:

)()2cos()2cos()()2cos()( '' tmtftfAAtstfAtv cccccc πφπφπ =+=+=


Con un filtrado paso bajo se puede recuperar la señal de información:

)()cos(21)()4cos(

21

)()()()()()(

'' tmAAtmtfAA

fff

ccccc

cccccc

φφπ

φφ

++=

)cos()(21)( ' φtmAAtv cco =

Si φ(t) es constante ⇒ vo(t) es proporcional a m(t) ⇒ versión no distorsionada de la señal moduladora

Si φ = 0 ⇒ amplitud máxima Si φ = π/2 ⇒ vo(t) = 0 ⇒ efecto nulo en cuadratura

18

2.3. Modulación DSB-SC

En la práctica el error de fase varía de forma aleatoria


En la práctica el error de fase varía de forma aleatoria debido a variaciones del canal de comunicación, por ello:

Se debe proveer una circuitería extra para que el oscilador local esté en perfecto sincronismo en fase y frecuencia con la señal portadora transmitidaMayor complejidad del receptor: precio a pagar por eliminar portadora para ahorrar potencia

2.3. Modulación DSB-SCBucle de Costas

é d l i i d


Método para mantener al receptor sincronizadoEl sistema consiste en 2 detectores coherentes alimentados con la misma señal de entrada s(t), pero con la señal procedente del oscilador local en cuadratura

La frecuencia del oscilador local se ajusta para que sea la misma fc(conocida a priori)( p )Canal superior: detector coherente en fase o canal ICanal inferior: detector coherente en cuadratura o canal Q

19

2.3. Modulación DSB-SCEsquema del bucle de Costas:

(1/2)Accos(φ)m(t)


Moduladorproducto

Desfasador-90º

VCO

cos(2πfct+φ)

LPF

Señal DSBSC

( ) c (φ) ( )

Comparadorde fases

s(t)=Accos(2πfct)m(t)

VCO: oscilador controlado por tensión.

Moduladorproducto LPF

sin(2πfct+φ)

(1/2)Acsin(φ)m(t)

2.3. Modulación DSB-SCComparador de fases: multiplica y filtra paso bajoSi φ = 0 (hay sincronismo):


Canal I: Acm(t)/2Canal Q: 0Por ello, la salida del discriminador de fase es cero ⇒ la entrada al VCO es cero ⇒ seguimos con la misma fase

Si φ > 0 (φ ≅ 0):Canal I: ≅ Acm(t)/2Canal Q: ≅ Ac φ m(t)/2. NOTA: sinφ ≅ φ cuando φ→0Por ello, la entrada al VCO es positiva ⇒ se ajusta disminuyendo la fase

Si φ < 0 (al contrario) ⇒ aumenta fase

20

2.3. Modulación DSB-SCCanal en cuadratura: para ajustar la fase

C l f d d l l ñ l


Canal en fase: demodular la señal

El control de fase en recepción se detiene con la modulación, y el enganche de fase debe reestablecerse cuando vuelve a aparecer la modulación ⇒ No es problema para voz, pues el proceso de sincronización es

t á id e e e ibe di t iótan rápido que no se percibe distorsión

2.4. Modulación QAMModulación o multiplexación de amplitud en cuadraturaPermite transmitir dos señales mod ladas en DSBSC de 2


Permite transmitir dos señales moduladas en DSBSC de 2 fuentes independientes ocupando el mismo ancho de banda de transmisión y permitiendo su separación en el receptorEs un esquema ahorrador de ancho de banda

ModuladorS l 2 d l d d t d ñ lSe emplean 2 moduladores producto para cada señal que son alimentados con la portadora a misma frecuencia pero diferenciadas en fase de 90º

21

2.4. Modulación QAMEsquema:


Moduladorproducto

Desfasador90º

Accos(2πfct)

Señal m1(t)

Σ s(t) señal QAM

+

+

Moduladorproducto

-90Acsin(2πfct)

Señal m2(t)

2.4. Modulación QAMLa señal QAM:

)()2()()2()( fAfA


Si ω es el ancho de banda de m1(t) y m2(t) ⇒ el ancho de banda de s(t) es 2ω y centrado en fc

productos smoduladore los a aplicadas diferentes señales dosson y donde

)()2()()2cos()(

21

21

(t)m(t)mtmtfsinAtmtfAts cccc ππ +=

Las componentes en fase y cuadratura de s(t) son:

)()( )()( 21 tmAtstmAts cscc −==

22

2.4. Modulación QAMDemodulador

E


Esquema:

Moduladorproducto

A’ccos(2πfct)

LPFSeñal

QAM

(1/2)AcA’cm1(t)

Desfasador-90º

Moduladorproducto LPF

A’csin(2πfct)

(1/2)AcA’cm2(t)

2.4. Modulación QAMPara que el sistema funcione correctamente es importante sincronizar correctamente la portadora del oscilador en


sincronizar correctamente la portadora del oscilador en emisión y recepción La técnica QAM se usa para la difusión de la TV en color, enviándose además un pulso de sincronismo para mantener el oscilador local del receptor a la frecuencia y fase correcta respecto a la del emisor

23

2.5. Filtrado de bandas lateralesVamos a estudiar métodos para procesar señales DSB-SC y generar modulación VSB y SSB (se explicarán en los


generar modulación VSB y SSB (se explicarán en los apartados siguientes)

Método discriminador de frecuenciaEsquema:

Moduladorproducto

Filtradopaso banda

H ( f )

m(t) s(t)u(t)

Accos(2πfct)

Señalmodulada

2.5. Filtrado de bandas laterales

)()]()([)()()(

:)2cos()()(

fHffMffMAfHfUfS

tftmAtu

c

cc= DSBSCseñal π


Donde M(f) es la T.F. de m(t)

Problema: determinar las condiciones de H( f ) para que m(t) pueda ser recuperada a partir de s(t) usando un detector coherente.

)()]()([2

)()()( fHffMffMfHfUfS ccc ++−==

Moduladorproducto

Filtradopaso bajo

vo(t)v(t)

A’ccos(2πfct)

Señaldemodulada

s(t)

Señalmodulada

24

2.5. Filtrado de bandas laterales)2cos()()(

'

'cc

A

tftsAtv = π


Sustituyendo en S( f ):

)]()([2

)( ccc ffSffSAfV ++−=

)]()2()()2([4

)]()()[(4

)(

'

'

cccccc

cccc

ffHffMffHffMAA

ffHffHfMAAfV

+++−−+

+++−=

Tras el filtrado paso-bajo:

)]()()[(4

)('

cccc

o ffHffHfMAAfV ++−=

2.5. Filtrado de bandas lateralesRequerimos que Vo( f ) sea una versión escalada de M( f ) (así vo(t) α m(t) ); lo que se puede cumplir si:


Si M( f ) está definida en -ω ≤ f ≤ ω sólo necesitamos que se cumpla lo anterior en el intervalo -ω ≤ f ≤ ωPor ejemplo, si H( fc ) = 1/2 :

)(2)()( ccc fHffHffH =++−

- 1)()( fffHffH cc ≤≤=++− ωω

condición esa satisfacer para )( deelección laen adflexibilidgran

)()(fH

fffff cc

⇒

25

2.5. Filtrado de bandas lateralesMétodo discriminador de fase

S ñ l (t) b d t ió f


Señal s(t) es paso banda ⇒ representación en forma canónica:

Componente en fase (problema 1.12):

cuadratura en componente fase en componente

:)(:)(

)2sin()2cos()()(

tsts

tfstftsts

Q

I

cQcI ππ −=

p (p )

)()]()([2

)( donde

resto 0f- )()(

)(

fHffMffMAfS

ffSffSfS

ccc

ccI

++−=

⎩⎨⎧ ≤≤++−

=ωω

2.5. Filtrado de bandas lateralesf- ; )(

2)]()()[(

2)( fMAffHffHfMAfS c

ccc

I ≤≤=++−=⇒ ωω


Componente en cuadratura (problema 1.12):)(

21)(

1)()( cuando22

tmAts

ffHffH

cI

cc

=⇒

=++−

⎩⎨⎧ ≤≤+−−

=resto0

f- )]()([)(

ωωccQ

ffSffSjfS

Se deduce:⎩ resto 0

ωω ≤≤+−−= f- )]()()[(2

)( cccQ ffHffHfMAjfS

26

2.5. Filtrado de bandas lateralesEntonces, se puede generar sQ(t), excepto por un factor de escala, pasando m(t) a través de un filtro con función de


escala, pasando m(t) a través de un filtro con función de transferencia:

Sea m’(t) la salida de este filtro con entrada m(t):

ωω ≤≤+−−= f- )]()([)( ccQ ffHffHjfH

)(21)( ' tmAts cq =

Representación en forma canónica:

)2()(21)2cos()(

21)( ' tfsintmAtftmAts cccc ππ −=

2.5. Filtrado de bandas lateralesCon ello, se deduce el esquema del método discriminador en fase (salvo factor de escala 1/2):


en fase (salvo factor de escala 1/2):

D f d

Accos(2πfct)

m(t)

Σ s(t)+

Moduladorproducto

HQ(f) OSC

Moduladorproducto

Desfasador-90º

Acsin(2πfct)

-m’(t)

27

2.5. Filtrado de bandas lateralesObservamos:

La componente en fase es independiente del filtro paso banda H( f )


La componente en fase es independiente del filtro paso banda H( f )H( f ) afecta sólo a la componente en cuadraturaEl papel de la componente en cuadratura es interferir con la componente en fase para reducir o eliminar potencia en una de las bandas laterales de s(t)Estos métodos se usan en la modulación VSB y SSB

2.6. Modulación VSBVestigial Side Band Modulation (Modulación en banda lateral residual)


lateral residual)Se transmite completamente una banda lateral (superior o inferior) y una pequeña parte de la otra banda (banda residual)Método discriminador de frecuencia

Para generar una señal modulada VSB que contenga un residuo de la banda lateral inferior (LVSB) usaremos el siguiente filtrola banda lateral inferior (LVSB) usaremos el siguiente filtro normalizado (sólo se han representado las frecuencias positivas):

28

2.6. Modulación VSB


|H(f)|

0.5

1

f (Hz)0

fc+ωfc+ fv fc-fv fc


La respuesta en frecuencia del filtro en torno a fc tiene que cumplir:


p fc q p

Como fv es el ancho de banda de la banda residual ⇒ BT = ω + fv

Método discriminador en fase:

ωω ≤≤−=++− fffHffH cc 1)()(

≤≤ fffHffHjfH )]()([)( ωω ≤≤−+−−= fffHffHjfH ccQ )]()([)(

29


H (f)/j


HQ(f)/j

f (Hz)

1

fv

-f

-1

-fv

2.6. Modulación VSBAplicación a la señal de televisión:

La circuiteria para demodular la señal debería ser lo más sencilla


La circuiteria para demodular la señal debería ser lo más sencilla posible (receptores baratos) ⇒ detector de envolvente ⇒ añadir portadora a señal VSBSe transmite la banda lateral superior (USB), el 25% de la banda lateral inferior (LSB) y la portadora (hay portadora tanto de imagen como de sonido)En la transmisión de la señal de TV, no se transmite la señal VSB debido a que la forma en región de transmisión no se controla de forma rígida, en su lugar se inserta filtro VSB en recepción (ver diapositivas siguientes)

30

2.6. Modulación VSBEspectro ideal de una señal de TV:


0.5

radi

ado

rela

tivo

a la

ra

de

imag

en

Portadora Portadora

0.75

1.25 4.5 (MHz) 0.25

f (Mhz)054M

áxim

o ca

mpo

po

rtado

r

56 58 60

de imagen de sonido

2.6. Modulación VSBRespuesta en amplitud de un filtro VSB en el receptor:


0.5norm

aliz

ada

Portadora Portadora

1

Ancho de banda del canal (6 MHz)

f (Mhz)054

resp

uest

a

56 58 60

de imagen de sonido

31

2.7. Modulación SSBSingle Side Band Modulation (banda lateral única)Sólo se transmite una banda lateral (superior o inferior)


Sólo se transmite una banda lateral (superior o inferior)Sea m(t) banda base con M(f) definida entre -ω ≤ f ≤ ωcomo:

f (Hz)

2.7. Modulación SSBSeñal DSBSC:

| |


2ω 2ω

|S(f) |

AcM(0)/2

f (Hz)

32

2.7. Modulación SSBSeñal SSB con banda lateral superior :


|S(f)|

AcM(0)/2

fc-fc-fc- ω fc+ ωf (Hz)

2.7. Modulación SSBSeñal SSB con banda lateral inferior:


|S(f)|

AcM(0)/2

f (Hz)fc-fc -fc+ ω fc- ω

33

2.7. Modulación SSBVentajas:

1) BT = ω


1) BT ω2) η = 1

Desventajas: mayor coste y complejidad

En la realidad, la señal M(f) debe ser nula en torno al origen ⇒ gap de energía.Este requerimiento se satisface por la señal de voz, con un gap de energía de ancho 600 Hz (-300 Hz a 300 Hz)

2.7. Modulación SSBEspectro de una señal m(t) con un gap de energía centrado en el origen


en el origen

|M(f)|

f (Hz)

fa fb-fa-fb 0

gap de

energía

34

2.7. Modulación SSBEspectro de una señal SSB con banda lateral superior:


|S(f)|

f (Hz)

fc +fafc0 fc +fb-fc-fc -fb -fc -fa

2.7. Modulación SSBRequerimientos de filtro paso-banda:

L b d l t l d d té d t d l b d d


La banda lateral deseada esté dentro de la banda de paso del filtroLa banda lateral a eliminar esté dentro de la banda eliminada o de rechazo del filtroEste discriminador de frecuencia puede lograrse utilizando filtros altamente selectivos en frecuencia que

d li d d d i lpueden ser realizados por resonadores de cristal

35

2.7. Modulación SSBModulación señal SSB


Método discriminador en frecuencias

|H(f)|

f (Hz)fc0 fc+ω-fc- ω -fc

ωω ≤≤−=++− fffHffH cc 1)()(

2.7. Modulación SSB

Método discriminador de fase:


Método discriminador de fase:HQ( f )=j[H( f-fc )-H( f+fc )] ; - ω ≤ f ≤ ω

f (Hz)

HQ(f)/j

)()()()(

)()(

^' tmtmtmtm

fjsignfH

'

Q

de Hilbert la T. es

Hilbertdeda transformala de

ciatransferen de función

=⇒

⇒−=

36

2.7. Modulación SSBSeñal SSB con banda lateral superior

11 ^


Señal SSB con banda lateral inferior: se cambia el signo ‘-’ por ‘+’El modulador para generar la señal SSB según el diagrama de bloques del método discriminador de fase se llama

)2()(21)2cos()(

21)( tfsintmAtftmAts cccc ππ −=

modulador de Hartley (ver diapositiva siguiente)

2.7. Modulación SSBModulador de Hartley:


s(t)D f d

Accos(2πfct)

m(t)

Σ

+

Moduladorproducto

Transformador OSC

Moduladorproducto

Desfasador-90º

Acsin(2πfct)

de Hilbert -

)(^

tm

37

2.7. Modulación SSBDemodulación señal SSB

D d l ió di t d t ió h t


Demodulación mediante detección coherente:

Suponiendo que se transmite la banda superior:

Moduladorproducto

Filtradopaso bajo

vo(t)v(t)

Ac’cos(2πfct)

Señaldemodulada

s(t)

Señalmodulada

Suponiendo que se transmite la banda superior:

=−=

−=

)]2()()2cos()()[2cos(21)(

)2()(21)2cos()(

21)(

^'

^

tfsintmtftmtfAAtv

tfsintmAtftmAts

ccccc

cccc

πππ

ππ

2.7. Modulación SSB)]4()()4cos()([

41)(

41 ^

'' tfsintmtftmAAtmAA cccccc −+= ππ


Para que sea realizable, necesitamos en recepción una señal sinusoidal sincronizada en fase y frecuencia con la

)(41)( ' tmAAtv cco =

Eliminado con filtro paso bajo

portadora transmitida. Para ello hay dos métodos:1º) Transmitimos una portadora piloto junto a la señal SSB2º) Utilizamos en recepción un oscilador muy estable en frecuencia

38

2.7. Modulación SSBCon 2º método: estudio distorsión por fase Ac’cos(2πfct+φ)

)]2()()2()()[2(1)(^

' φ fffAA


Su T.F. :

)]()()cos()([41)(

)4()()()()cos()()4cos()(41

)]2()()2cos()()[2cos(21)(

^'

^^'

φφ

φπφφφπ

ππφπ

sintmtmAAtv

tfsintmsintmtmtftmAA

tfsintmtftmtfAAtv

cco

cccc

ccccc

+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+++=

=−+=

+= )]()()cos()([1)(^

' sinfMfMAAfV φφ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

>−=

−=

+=

0 ; )exp()(41

0 ; )exp()(41

)(

)()()( donde

)]()()cos()([4

)(

'

'

^

fjfMAA

fjfMAAfV

fMfjsignfM

sinfMfMAAfV

cc

cc

o

cco

φ

φ

φφ


unaalugardaosciladorenfasedeError⇒


Este desfase no suele ser problema para la voz, ya que el oído humano es relativamente insensible a la distorsión en fase. Se corre el riesgo de producirse el llamado efecto voz del pato Donald

fase de distorsión unaalugar daoscilador en fasedeError ⇒

En el caso de la música o el vídeo, la distorsión de fase es inaceptable

39

2.8. Translación en frecuenciaCuando es necesario trasladar una señal modulada en una banda de frecuencias a otra banda de frecuencias


banda de frecuencias a otra banda de frecuenciasSe consigue usando un mezclador: multiplicador + filtro paso banda

Moduladorproducto

Filtradopaso banda

s2(t)v(t)Señalmodulada

s1(t)

Señalmodulada a

Señal s1(t): modulada DSB-SC a f1

Aecos(2πfet) a f2f1

)2cos()()( 11 tftmAts c π=

2.8. Translación en frecuenciaSi m(t) está limitada en banda | f | < ω⇒ s1(t) está limitada entre f1- ω < | f | < f1+ ω :


|S1(f) |2ω 2ω

f1 f1+ωf1-ω-f1+ω-f1-f1-ω

f (Hz)

40

2.8. Translación en frecuenciaSi queremos trasladar a una frecuencia mayor f2 > f1:


])(2cos[)(2

])(2cos[)(2

)2cos()2cos()()2cos()()(

11

11

1212

tfftmAAtfftmAAtftftmAAtfAtstv

ffffff

eec

eec

eecee

ee

++−=

===−=⇒+=

ππ

πππ

DSB-SC a f1-fe DSB-SC a f1+fe

Si f2 = f1 + fe es la señal buscada: filtro paso banda centrado en f2 y ancho de banda 2ω

)2cos()(2

])(2cos[)(2

)( 212 tftmAAtfftmAAts ece

ec ππ =+=

2.8. Translación en frecuencia

|V(f) |


2ω |V(f) |2ω 2ω 2ω

-f1-fe -f1+fe f1-fe f1+fe

f (Hz)

41

2.8. Translación en frecuencia

|S2(f) |


| 2(f) |

2ω 2ω

-f1-fe f1+fe

f (Hz)

2.8. Translación en frecuenciaCondición: no se solapen espectros


Para disminuir frecuencia: f2 = f1 - fe⇒ fe = f1 - f2

12

11

fffffff

e

ee

−<⇒<⇒−+<+−

ωωωω

⇒ condición global: ω < |f1 - f2|

42

2.9. Multiplexación por división en frecuencia (FDM)

Multiplexación: proceso por el cual varias señales


Multiplexación: proceso por el cual varias señales independientes de características similares se pueden combinar de algún modo para ser transmitidas de forma conjunta por el mismo canal de comunicaciónTipos de multiplexación

FDM (Multiplexación por división en frecuencia)TDM (Multiplexación por división en el tiempo) WDM (Multiplexación por división en longitud de onda)

Diagrama de bloques de un sistema FDM:



g qFiltros

paso bajoFiltros

paso bandaFiltros

paso bandaFiltros

paso bajoModuladores DemoduladoresEntradas Salidas

Transmisor Receptor

43



FDM: Aunque se suponen señales paso bajo, se emplean filtros paso bajo para eliminar componentes no deseadas a altas frecuenciasSe aplica al modulador una portadora adecuada para ocupar intervalos de frecuencia mutuamente excluyentes ⇒ generador de portadoraLos métodos de modulación que se emplean son algunos de los estudiadosestudiados.

Por ejemplo: para las señales de voz provenientes de las conversaciones telefónicas se usa SSB con ancho aproximado de 4 KHz para cada canal de entrada

Filtro paso banda (BP) para restringir la banda de cada señal modulada a su rango asignado



En recepción se usan los mismos filtros paso banda y se recupera la señal en demoduladores individualesEste sistema funciona sólo en un sentido ⇒ habrá que utilizar otro similar en el sentido inverso

Ejemplo: caso telefónico con conversaciones de voz.Esquema (diapositiva siguiente)Normalmente FDM suele requerir varias etapas de modulación yNormalmente FDM suele requerir varias etapas de modulación y demodulación. La primera etapa combina 12 señales de voz en un grupo básico

Banda de voz: 4 KHzValores de portadora: fc = 60 + 4n KHz; n = 1,2, . . .,12Se seleccionan mediante filtros paso banda las 12 bandas laterales inferiores ⇒ ocupando rango: 60 → 108 KHz (modulación SSB)

44


Pasos a seguir para la modulación en un sistema FDM:


Pasos a seguir para la modulación en un sistema FDM:frecuencias portadoras (KHz)

de las señales de vozfrecuencias portadoras (KHz)

de los grupos

Señal de vozGrupo básico de 12 señales de voz

Super-grupo de 5 grupos



Super-grupo: se combinan 5 grupos básicos con: fc = 372 + 48n KHz ; n = 1,2, . . .,5

Se seleccionan las 5 bandas laterales inferiores con el rango 312 KHz → 552 KHzObtenemos 60 conversaciones independientesLos super-grupos se pueden combinar y así sucesivamenteCon SSB necesitamos sincronismo de portadora entre elCon SSB necesitamos sincronismo de portadora entre el transmisor y el receptor para la detección coherente.

Se transmite una frecuencia portadora piloto. Dicha portadora piloto modula el generador de portadora y obtenemos todas las portadoras necesarias


CUESTIONES TEMA 2

MODULACIONES DE AMPLITUD

1.- Definir modulación, señal moduladora, señal portadora y señal modulada. Tipos de modulación. ¿Qué es demodular una señal?

2.- Expresión de una señal AM. ¿Cuál es la sensibilidad en amplitud?

3.- ¿Cuándo hay sobremodulación en AM?, ¿por qué no es deseable y cómo se puede evitar?

4.- ¿Cuáles son las tres componentes en frecuencia de una señal AM?, ¿cuál es el ancho de banda de la señal modulada en función del ancho de banda de la señal moduladora?

5.- ¿Cómo se define el índice de modulación?. ¿Cuál es su rango de valores para que no tengamos sobremodulación?

6.- ¿Cuál es la eficiencia en potencia máxima en AM?

7.- ¿Cuál es la expresión de una señal DSBSC?. ¿Cuál es su ancho de banda en función del ancho de banda de la señal moduladora?. ¿Cuál es su eficiencia en potencia?

8.- Explicar el esquema de detector coherente. ¿Cuándo se dice que ocurre el efecto nulo en cuadratura?

9.- Explicar el Bucle de Costas.

10.- Esquema modulador y demodulador de QAM.

11.- Expresión de una señal SSB. ¿Qué dos tipos de SSB existen (caracterizarlos cualitativamente en frecuencia)?. Ancho de banda y eficiencia en potencia.

12.- Filtrado de bandas laterales: método discriminador de frecuencias y método discriminador de fase.

13.- Demodulador coherente de SSB. Efecto de un error de fase en la recuperación de la portadora.

14.- Expresión de una señal VSB. ¿Qué dos tipos de VSB existen (caracterizarlos cualitativamente en frecuencia)?. Ancho de banda y eficiencia en potencia.

15.- Componentes en fase y cuadratura para los diferentes tipos de modulación en amplitud.

16.- ¿Qué es un mezclador y para qué sirve?. Diagrama de bloques.

17.- Multiplexación por división en frecuencia (FDM).


PROBLEMAS TEMA 2

MODULACIONES DE AMPLITUD 1.- Para un diodo de unión p-n, la relación entre la corriente que pasa a través de dicho diodo y la tensión aplicada en sus bornas viene dada por:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

Vv-expI=i

T0

donde I0 es la corriente inversa de saturación y VT es la tensión equivalente de temperatura definida por:

ekTVT =

donde k es la constante de Bolzmann en Julios por grados Kelvin, T es la temperatura absoluta en grados Kelvin y e es la carga del electrón en C. A temperatura ambiente VT = 0.026 V. a) Realizar la expansión de i en serie de potencias de v, hasta el término de orden v3. b) Sea:

t) Voltsπf( .t)πf( .v(t)= cm 2cos0102cos010 +

donde fm = 1 KHz y fc = 100 KHz. Determina el espectro de la corriente i(t) resultante. c) Especificar las características del filtro paso banda requerido para extraer de la corriente del diodo i(t) una señal AM a la frecuencia fc. d) ¿Cuál es el tanto por ciento de modulación de esta señal AM? 2.- En este problema se va a estudiar el funcionamiento del modulador AM en cuadratura. Este modulador consta de un determinado dispositivo no-lineal seguido por un filtro paso-banda. El dispositivo no lineal está representado por la siguiente ley cuadrática:

)()()( 221 tvatvatv ii0 +=

donde 1a y 2a son constantes, )(tvi es la señal de entrada, y )(tv0 es la señal de salida. La señal de entrada )(tvi es la suma de una señal moduladora )(tm y una señal portadora

)(tc . Sea )(tm la señal moduladora limitada en frecuencia en el intervalo entre WfW ≤≤− , y )(tc la portadora a frecuencia cf y amplitud cA .

a) Evaluar la salida )(tv0 del dispositivo no-lineal b) Evaluar la salida en frecuencia )( fV0 del dispositivo no lineal en función de la transformada de Fourier de la señal moduladora )( fM , y representarla en frecuencia para un espectro de la señal moduladora de forma triangular, indicando a qué corresponde cada uno de los diferentes términos. c) Especificar las características del filtro paso-banda y las condiciones necesarias para que a la salida del filtro tengamos la señal AM deseada. ¿Qué sensibilidad en amplitud tiene la señal AM modulada? 3.- Supóngase que se dispone de dispositivos no lineales para los que la relación entre la corriente de salida io y la tensión de entrada vi es la siguiente:

3i3i1o vavai +=

donde a1 y a3 son constantes. Explicar como se puede utilizar dichos dispositivos para obtener: a) un modulador producto. b) un modulador de amplitud.

4.- Considerar una señal moduladora m(t) con ak

1m(t) ≤ de modo que 1 + kam(t) sea

mayor que cero para todo t. Suponer que el espectro de m(t) es cero para Wf > . Sea:

[ ] )2cos()(1As(t) c tftmk ca π+=

donde fc > W. a) La señal modulada s(t) se aplica a un rectificador de onda completa, cuya salida es:

s(t)=t)(v1

Determinar el espectro de v1(t). b) Si la salida del rectificador v1(t) se pasa a través de un filtro paso bajo ideal definido por la función de transferencia:

⎩⎨⎧

><

Wf para 0Wf para 1

=H(f)

mostrar que si la salida es v2(t), está relacionada con m(t) por:

[ ]m(t)k12A=t)(v ac

2 +π

5.- ¿Cómo puede recuperarse la señal de información m(t) de una señal AM que está sobremodulada? Justifica la respuesta de forma analítica y gráfica. 6.- Suponiendo que se demodula una señal DSBSC utilizando un detector coherente: a) Evaluar el efecto de un error en la frecuencia del oscilador local del detector de Δf, medido con respecto a la frecuencia portadora de la señal DSBSC. b) Para el caso de una señal moduladora sinusoidal, mostrar como por causa de este error, la señal demodulada presenta un efecto de batido a la frecuencia error Δf. Ilustrar la respuesta dibujando la señal demodulada. 7.- Considerar la señal DSBSC:

m(t) t)fcos(2A=s(t) cc π

donde Accos(2πfct) es la señal portadora y m(t) es la señal moduladora. Esta señal modulada se aplica a un detector de ley cuadrática caracterizada por:

y(t) = s2(t)

La salida y(t) se aplica a un filtro de banda estrecha con amplitud en la banda de paso unidad, centrado en la frecuencia 2fc y con ancho de banda Δf. Supongamos que Δf es suficientemente pequeño como para considerar el espectro de y(t) esencialmente constante dentro de la banda de paso del filtro. a) Determinar el espectro de la señal de salida del dispositivo con ley cuadrática y(t). b) Mostrar que la salida del filtro v(t) es aproximadamente sinusoidal, y viene dada por:

t)fcos(4 f E2

Av(t) c

2c πΔ≅

donde E es la energía de la señal m(t). 8.- Considerar un sistema QAM emisor y otro receptor. Si la señal de salida del emisor QAM s(t) se transmite por un canal de comunicaciones con función global de transferencia H(f), probar que la condición:

H(fc + f) = H*(fc - f) para f W≤

es necesaria para que las señales recuperadas en el receptor QAM sean proporcionales a m1(t) y m2(t) que son las señales originales de información del canal I y del Q respectivamente, donde fc es la frecuencia de la portadora y W es el ancho de banda de las señales que llevan información m1(t) y m2(t).

9.- Considerar la siguiente señal modulada:

t)f(t)sin(2m-t)fm(t)cos(2+t)fcos(2A=s(t) cccc πππ

que representa una señal SSB con portadora, donde m(t) es la señal moduladora y (t)m su transformada de Hilbert. Determinar bajo que condiciones la salida de un detector de envolvente ideal, si la entrada es s(t), es una buena aproximación para la señal moduladora m(t). 10.- Sea una señal moduladora sinusoidal m(t) = Am cos(2πfmt) que se utiliza para generar una señal VSB:

[ ] [ ]tff2a)cos-(1AA21tff2cosAaA

21=s(t) mccmmccm )()( −++ ππ

donde a es una constante menor que la unidad, que representa la atenuación de la banda lateral superior. a) Encontrar la componente en fase y la componente en cuadratura de la señal VSB así definida. b) Esta señal VSB junto con la portadora Ac cos(2πfct) se pasa a través de un detector de envolvente. Determinar la distorsión producida por la componente en cuadratura. c) ¿Cuál es el valor de la constante a para el cual la distorsión afecta en menor grado? 11.- Considerar un sistema múltiplex en el cual cuatro señales de entrada m1(t), m2(t), m3(t) y m4(t) son multiplicadas por las cuatro portadoras siguientes:

[ ][ ][ ][ ]) +t fcos(2+) +t fcos(2

) +t fcos(2+) +t fcos(2) +t fcos(2+) +t fcos(2

t)fcos(2+t)fcos(2

3b3a

2b2a

1b1a

ba

βπαπβπαπβπαπ

ππ

y las señales DSBSC resultantes se suman para transmitir el resultado por el mismo canal de comunicaciones. En el extremo receptor, la demodulación se hace multiplicando la señal suma transmitida por las cuatro portadoras separadamente utilizadas en el transmisor, y después filtrando para eliminar las componentes no deseadas. a) Determinar que condiciones deben satisfacer α1, α2, α3 y β1, β2, β3 de modo que la salida del demodulador k sea proporcional a mk(t) para k = 1, 2, 3, 4. b) Determinar la mínima separación de las frecuencia portadoras fa y fb en relación con el ancho de banda de las señales moduladoras mk(t) de modo que el funcionamiento del sistema sea el correcto.

1



MODULACIONES DE AMPLITUD 1.

a. 32

0 61

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+−≈

TTT Vv

Vv

Vv

Ii

b. ( ) ( )[ ]++⋅−≈ tftfIi

cm ππ 2cos2cos406.0074.00

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }−−⋅++⋅++⋅+ tfftfftftf mcmccm ππππ 2cos22cos24cos4cos037.0( ) ( )[ ]−+⋅− tftf cm ππ 6cos6cos0016.0

( )[ ] ( )[ ]{ +−++⋅− tfftff mcmc 22cos22cos0071.0 ππ ( )[ ] ( )[ ]}tfftff mcmc −+++ 22cos22cos ππ

c. KHzfc 100= ; KHzBW 2=

d. ( )[ ] ( ) %2.36:%362.02cos2cos362.01406.00

ModulacióntftfIi

cm ⇒=⇒⋅⋅−⋅−≈ μππ

2.

a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tfAa

tmatftmaa

Aatmatv cc

cc ππ 4cos12

2cos2

12

222

1

2110 +⋅+⋅+⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅+⋅=

b.

c. El filtro paso-banda tiene que estar centrado en: fc, con un ancho de banda: 2w,

de forma que se cumpla: fc >3w.

La sensibilidad en amplitud es: 1

22aa

K a =

1 2 3 4

2

3. a. Señal DSB-SC b. Señal AM

4.

a. ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }∑+∞

=

+−+++⋅+

−⋅=

01 1212

1212

ncc

n

fnfSfnfSn

fVπ

b. Es una demostración. 5. Se puede utilizar un detector coherente, con un filtro paso-bajo de ancho de banda:

w.

( ) ( )[ ]tmKAA

tv acc +⋅= 1

2

'

0

6.

a. Tras el filtrado paso-bajo: ( ) ( ) ( )fttmAA

tv cco Δ⋅⋅= π2cos

2

'

b. ( ) ( )[ ] ( )[ ]tffAAA

tffAAA

tv mmcc

mmcc

o Δ−⋅+Δ+⋅= ππ 2cos4

2cos4

''

La señal moduladora m(t), a frecuencia fm, es modulada por una señal sinusoidal a frecuencia Δf, por lo que se produce un “efecto de batido”, como se ilustra en la figura.

Dispositivo no lineal

Filtro paso banda (fc, 2w)

( )tm

( )tfA cc πcos⋅ ( ) ( ) ( )tftmAats cc π2cos23 2

3 ⋅⋅⋅=

wfc 6>



( )tm

( )tfA cc πcos⋅

( ) ( )[ ] ( )tftmAAa

ts cc π2cos

23

0

23 ⋅+⋅=

wfc 6>

( )tfA cc πcos⋅



0A

∑+

+

3

7.

a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎢⎣⎡ ⋅−−⋅⋅+⋅−⋅⋅= ∫∫

∞+

∞−

∞+

∞−λλλλλλ dffMM

AdfMM

AfY c

cc 242

22

( ) ( ) ⎥⎦⎤⋅−+⋅+ ∫

+∞

∞−λλλ dffMM c2

b. ( ) ( ) ( ) ( )tffEA

tvEA

fYfY ccc

cc π4cos24

2222

⋅Δ⋅⋅≈⇒=−=

8. Es una demostración, planteando el esquema completo de modulación, transmisión y demodulación, para las señales QAM.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎣ ⎦ wfffHffHthsiwfffHffH cccc <−=+⇒ℜ∈⇒<−=+ ,,*

9. La expresión de la envolvente natural es: ( ) ( ) ( ) ( )tmtmAtmAta cc

222 ˆ2 +⋅++=

En caso de que: ( )( ) ( ) ( )tmAtatmAtmA

cc

c +≈⇒⎩⎨⎧

>>>>

ˆ

Para llegar a este resultado se han tenido en cuenta las siguientes aproximaciones

para b << 1: 2

112

11 bbybb −≈−+≈+

10.

a. ( ) ( )tfAAts mcmc π2cos21

⋅⋅=

( ) ( ) ( )tfsenaAAts mcms π22121

⋅−⋅⋅−=

b. Distorsión: ( )( ) ( )

( )

2

2cos211

22121

1

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅+

⋅−⋅⋅+=

tfA

tfsenaAtd

mm

mm

π

π

c. La distorsión: d(t) es mayor cuando: a=0; mientras que esta es menor (d(t)=1) cuando: a=1/2.

4

11.

a. ( ) ( )⎩⎨⎧

===≠=

=−+− −−−− 0:,4,3,2,1,:,,0,2

coscos 001111 βαββαα ykiparakiki

ikik

b. wff ba 2>−




Tema 3: Modulaciones Angulares

1

TEMA III . Modulaciones angulares

3 1 M d l ió d f (PM) d l ió d


3.1.-Modulación de fase (PM) y modulación de frecuencia (FM)3.2.-Modulación en frecuencia de un tono simple3.3.-Ancho de banda de señales FM3.4.-Generación de señales FM3.5.-Demodulación FM3.6.-Efectos no lineales en sistemas FM

IntroducciónEstudiaremos un tipo de modulación donde el ángulo de la señal portadora se modifica siguiendo las variaciones de la

Tema III: Modulaciones Angulares

señal moduladoraUna característica muy importante de estas modulaciones angulares es que se puede discriminar más fácilmente el ruido y las interferencias que en modulaciones de amplitud ⇒ conlleva aumento del ancho de bandaEn las modulaciones angulares hay mecanismos por los que se puede intercambiar ancho de banda y prestaciones frente al ruido (no en modulaciones de amplitud)frente al ruido (no en modulaciones de amplitud)Hay 2 tipos: modulación en frecuencia (FM) y modulación en fase (PM)

Nos centraremos en FM (la más utilizada)Son similares y están relacionados

2

3.1.- Modulación de fase (PM) y modulación de frecuencia (FM)

S θ (t) l á l d t d l l ll


Sea θi(t) el ángulo de una portadora, la cual lleva información:

Una oscilación completa sucede cuando θi(t) cambia 2πradianes. Si θi(t) crece de forma monótona con el tiempo, la frecuencia promedio, en el intervalo t y t + Δt:

portadora la de amplitud ; )](cos[)( ≡= cic AtAts θ

Se define la frecuencia instantánea de la señal modulada angularmente:

tttttf ii

t Δ−Δ+

=Δ πθθ

2)()()(

dttd

ttttlimtflimtf iii

ttti)(

21

2)()()()(

00

θππ

θθ=

Δ−Δ+

==→ΔΔ→Δ


S d i ( ) f d li d


Se puede interpretar s(t) como un fasor rotante de amplitud Ac, fase θi(t) y velocidad angular dθi(t)/dtEn el caso de una portadora sin modular:

0parafaselaesdondey,2 constanteangular velocidaduna a gira quefasor

2)(

=⇒

+=

tπf

tft

c

cci

φ

φπθ

Hay muchas formas de hacer que varíe θi(t) de acuerdo con m(t), vamos a considerar 2 métodos: PM y FM

0parafaselaes dondey =tcφ

3


Modulación de fase (PM): el ángulo de la señal modulada


Modulación de fase (PM): el ángulo de la señal modulada θi(t) varía de forma lineal con la señal banda base m(t)

2πfct: ángulo de la portadora sin modularkp: sensibilidad en fase del modulador: si m(t) está en Voltios, kp se da en rad/VoltSupuesto φ = 0

)(2)( tmktft pci += πθ

Supuesto φc = 0Forma de la señal modulada en fase:

ambas entre linealrelación hay noy moduladaseñal la de ángulo elen aparece moduladora señal la

)](2cos[)(

⇒

+= tmktfAts pcc π



Modulación de frecuencia (FM): la frecuencia instantánea de la señal modulada fi(t) varía de forma lineal con la señal banda base m(t)

fc: frecuencia de la portadora sin modularkf: sensibilidad del modulador en frecuencia: si m(t) está en Voltios, kf se da en Hz/VoltIntegrando en el tiempo y multiplicando por 2π (recordemos que f (t) = (1/2π)dθ (t)/d t )

)()( tmkftf fci +=

fi(t) = (1/2π)dθi(t)/d t )

Señal modulada en frecuencia (ahora no hay relación lineal):∫+=

t

fci dttmktft0

)(22)( ππθ

])(22cos[)(0∫+=t

fcc dttmktfAts ππ

4


Diferencia de PM y FM frente a AM:


Diferencia de PM y FM frente a AM:No hay regularidad respecto a cruces por cero en FM y PMEn PM y FM, la envolvente es constante e igual a la amplitud de la portadoraLas señales PM y FM sólo se pueden distinguir cuando se conoce m(t)Ver diapositiva siguiente:

a) Portadorab) Señal moduladora sinusoidalc) Señal modulada en amplitud d) Señal modulada en fasee) Señal modulada en frecuencia



5


Relación entre PM y FM:S d ñ l FM i t d (t) d l d


Se puede generar una señal FM integrando m(t) y modulando en fase

Se puede generar una señal PM derivando m(t) y modulando en

IntegradorModulador

PMs(t)

Accos(2πfct)

m(t)

p g ( ) yfrecuencia

Diferenciador ModuladorFM

s(t)

Accos(2πfct)

m(t)


Las propiedades para señales PM se pueden derivar directamente


Las propiedades para señales PM se pueden derivar directamente de las propiedades de FM y viceversaNos centraremos en FM por ser la más utilizada

6

3.2.- Modulación en frecuencia de un tono simple

La señal s(t) es una función no lineal de la señal moduladora


La señal s(t) es una función no lineal de la señal moduladora m(t), lo que hace que la modulación en frecuencia sea un proceso no linealA diferencia de AM, en FM el espectro de s(t) no está relacionado de forma sencilla con el espectro de m(t) En el análisis espectral consideraremos el caso más sencillo, con una señal moduladora que será un tono simple.q p

Objetivo: obtener una relación empírica entre el ancho de banda de la señal FM y el ancho de banda de la señal m(t)

Sea:)2cos()( tfAtm mm π=

La frecuencia instantánea:



La desviación en frecuencia es Δf = kf Am :Representa la desviación máxima de la frecuencia instantánea respecto de la portadoraNo depende de la frecuencia de la portadora, sino de la amplitud de la señal moduladora

l á l á

)2cos()2cos()( tffftfAkftf mcmmfci ππ Δ+=+=

El ángulo será:

El índice de modulación β se define como el cociente entre la desviación en frecuencia y la frecuencia de la señal moduladora.

)2sin(2)(2)(0

tffftfdttft mm

c

t

ii πππθ Δ+== ∫

7


[rad]fβ Δ=


Representa la máxima desviación en fase respecto a la fase de la portadora sin modular

Señal FM:

Dependiendo del valor del índice de modulación β vamos a diferenciar

)2(2)(

[rad]

i tfsintftf

mc

m

πβπθ

β

+=

=

[ ])2(2cos)( tfsintfAts mcc πβπ +=

Dependiendo del valor del índice de modulación β, vamos a diferenciar dos tipos de modulación en frecuencia:

a) FM de banda estrecha, para β pequeño ( β < 1 rad )b) FM de banda ancha, para β elevado

Para FM de banda estrecha, el ancho de banda de s(t) es aproximadamente 2 veces el de m(t). Para FM de banda ancha, excede este valor


Modulación en frecuencia de banda estrecha


Expandimos la expresión de la señal FM

Suponiendo β pequeño comparado con 1 radian ( β << 1 radian), se pueden hacer las siguientes aproximaciones:

[ ][ ])2()2(

)2(cos)2cos()(tfsinsintfsinA

tfsintfAts

mcc

mcc

πβππβπ

−−=

[ ] 1)2( tfiβ

Tendremos:Esta ecuación nos da la forma aproximada de señal FM de banda estrecha modulada por Amcos(2πfmt)

[ ][ ] )2()2(

1)2(costfsintfsinsin

tfsin

mm

m

πβπβπβ

≈≈

)2()2()2cos()( tfsintfsinAtfAts mcccc ππβπ −≈

8


Diagrama de bloques del modulador FM de banda estrecha:


IntegradorModuladorproducto s(t)

Accos(2πfct)

m(t) Σ+

-

Desfasador-90º

señal

moduladora

portadora

modulador de fase de banda estrecha


Idealmente, la señal FM:


Idealmente, la señal FM:Tiene envolvente constanteSi la señal moduladora es sinusoidal de frecuencia fm ⇒ el ángulo θ i(t) es también sinusoidal con la misma frecuencia

El diagrama de bloques estudiado introduce distorsión:La envolvente contiene una modulación de amplitud residualPara una señal moduladora sinusoidal ⇒ el ángulo θ i(t) contiene distorsión armónica de los armónicos de 3er orden y mayor orden dedistorsión armónica de los armónicos de 3 orden y mayor orden de la frecuencia fm

Si β ≤ 0.3 radianes ⇒ el efecto de la modulación en amplitud y la distorsión armónica de la fase están limitados a valores despreciables

9


La expresión de s(t) se puede expandir:


p ( ) p p

Esta expresión es parecida a la de AM:

[ ] [ ]{ }tfftffAtfAts mcmcccc )(2cos)(2cos21)2cos()( −−++= ππβπ

[ ] [ ]{ }tfftffAtfAts mcmccccAM )(2cos)(2cos21)2cos()( −+++= ππμπ

La diferencia está en el signo negativo de la banda lateral inferior ⇒ la señal FM de banda estrecha tiene un ancho de banda que es esencialmente el mismo que para AM


Podemos representar en diagrama fasorial la señal FM de banda


p gestrecha, utilizando el fasor de la portadora como referencia:

fm-fm

Banda lateral

Banda lateral inferior

Suma de bandas laterales

La señal suma de las bandas laterales está en cuadratura respecto la portadoraLa resultante es un fasor con aproximadamente la misma amplitud que la portadora, pero con fase diferente

Banda lateral superiorPortadora

10


La representación fasorial de AM:


fm

-fm

Banda lateral superior

Portadora

Banda lateral inferior

Suma de bandas laterales

La resultante está en fase con la portadora, mientras la amplitud varía


Modulación en frecuencia de banda ancha


Ahora determinaremos el espectro de una señal de FM modulada por un tono simple para un valor arbitrario del índice βSeñal FM:

En general, esta señal no es periódica, a menos que la frecuencia portadora fc sea un múltiplo de fm

P d ( ) ( i d f h b d ñ l FM)

[ ])2(2cos)( tfsintfAts mcc πβπ +=

Podemos poner s(t) (suponiendo fc >> ancho banda señal FM):

[ ]{ } { }[ ]

~

~

( ) exp 2 sin(2 ) ( )exp( 2 )

( ) exp sin(2 ) es la envolvente compleja de la señal FM ( )

c c m c

c m

s t e A j f t j f t e s t j f t

s t A j f ts t

π β π π

β π

= ℜ + = ℜ

=

11


Ahora, la envolvente compleja de la señal FM s(t) es función periódica


del tiempo con frecuencia fundamental fm, por lo que se puede expandir como una serie compleja de Fourier

Los coeficientes complejos de Fourier:

∑∞

−∞=

=n

mn tnfjcts )2exp()(~

π

∫ −=

T

dttnjtsc2 ~

)2exp()(1:Recordemos π

[ ]∫∫

∫

−−

−

−=−=m

m

m

m

f

f

mmcm

f

f

mmn

Tn

dttnfjtfjAfdttnfjtsfc

dttT

jtsT

c

21

21

21

21

~

2

2)2sin(exp)2exp()(

)2exp()(:Recordemos

ππβπ

π


dx


[ ]∫ −=

−=⇒−=

=⇒=

=⇒==

π

π

βπ

π

π

ππ

dxnxxjAc

xf

t

xf

t

πfdxdtdt f dxtfx

cn

m

m

mmm

)sin(exp2

21

21

22 ; 2: variablede cambio

Esta integral no se puede evaluar directamente y se conoce con el nombre de función de Bessel de primera clase, argumento β y orden ‘n’, se denota:

−π

[ ]∫−

−=π

π

βπ

β dxnxsinxjJ n )(exp21)(

12


Por tanto:)(βJAc


La serie de Fourier compleja queda:

Expresión s(t):

)(βncn JAc =

∑∞

−∞=

=n

mnc tnfjJAts )2exp()()(~

πβ

[ ]tnffJAtfjtsets mcncc )(2cos)()2exp()()(~

+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ℜ= ∑

∞

πβπ

Esta es la representación en serie de Fourier de una señal FM modulada por un tono a frecuencia fm para un valor arbitrario de β

Su espectro (T.F.):

n⎥⎦⎢⎣ −∞=

[ ])()()(2

)( mcmcn

nc nfffnfffJAfS +++−−= ∑

∞

−∞=

δδβ


Funciones de Bessel:

(β)


Jn(β)

Jo(β)

J1(β)J2(β) J3(β)

J4(β)

β

13


Tabla de las funciones de Bessel:



Propiedades:Para n par: J (β) = J (β)


Para n par: Jn(β) = J-n(β) Para n impar: Jn(β) = -J-n(β)

Jn(β) = (-1)n J-n(β)Para pequeños valores de β

2)(

1)(

1 ≈

≈

J

Jo

ββ

β

Además:

1 0)( >≈ nJn β

∑∞

−∞=

=n

nJ 1)(2 β

14


Con estas propiedades y la forma de Jn(β) tenemos:


1. El espectro FM consiste en una componente portadora y un número infinito de bandas laterales colocadas de forma simétrica a frecuencias fm, 2fm, 3fm, . . . en torno a la portadora. Esta es una diferencia importante frente a AM, donde sólo hay 2 bandas laterales.

2. En el caso de que β sea pequeño comparado con la unidad ⇒ sólo los coeficientes Jo(β) y J1(β) son significativos ⇒ la señal modulada está formada por la componente de la portadora y 2 bandas laterales a p p p yfrecuencias fc ± fm ⇒ caso especial de FM de banda estrecha.

3. La amplitud de la portadora varía con β de acuerdo con Jo(β):Diferencia respecto AM (en FM la amplitud de portadora depende del índice de modulación)


Cuando la portadora se modula para generar FM la potencia de las bandas


Cuando la portadora se modula para generar FM, la potencia de las bandas laterales aparece a expensas de quitar potencia a la portadora, haciendo que la amplitud de la portadora dependa del índice de modulación β

[ ]

)(

)(2cos)()(

22

2cc

nmcnc

AJAP

tnffJAts

∑

∑∞

∞

−∞=

==

+=

β

πβ

Recuerda:

2)(

2 nnJP ∑

−∞=

== β

∑∞

−∞=

=n

nJ 1)(2 β

15


Ejemplos: vamos a estudiar qué ocurre con la señal


modulada FM para variaciones de la amplitud y la frecuencia de la señal moduladora

Ejemplo 1: fijamos fm, variamos la amplitud de la señal moduladora → variamos la desviación máxima en frecuencia Δf = kf Am

Fijamos fm ⇒ β = Δf / fm para β = 1,2,5. En la diapositiva siguiente (ejemplo 1) se muestra el espectro de la señal FM normalizada(ejemplo 1) se muestra el espectro de la señal FM normalizada respecto a la amplitud de la portadora


1.0Δf=fm


1.0Δf=2fm

f (Hz)

β=1.0

2Δf f (Hz)

1 0

β=2.0

2Δf2Δf

Ejemplo 1

1.0

β=5.0

Δf=5fm

2Δf

fc fmf (Hz)

16


Ejemplo 2: fijamos Am (Δf → constante) y variamos fm

β 1 2 5


⇒ β = 1,2,5.

Según aumentamos β con Δf fijo hay un mayor número de deltas en el intervalo fc - Δf < | f | < fc + Δf.

Cuando β → ∞ el ancho de banda de la señal viene limitado por 2Δf.


1.0 1.02Δf


β=1.0

2Δf f (Hz)

β=2.0

2Δf

f (Hz)

1 0

Ejemplo 2

1.0

β=5.0

2Δf

fc fm f (Hz)

17

3.3.- Ancho de banda de señales FM

En teoría, la señal FM tiene un número infinito de bandas laterales, con lo que el ancho de banda absoluto es infinito


lo que el ancho de banda absoluto es infinitoEn la práctica, se puede considerar un número finito de bandas laterales compatible con una cantidad fijada de distorsión, así pues, hablaremos de un ancho de banda efectivo de transmisión (BT)Consideremos una señal FM modulada por un tono fm: las bandas laterales están separadas por fm

Aquellas bandas laterales por encima de Δf decrecen rápidamente a cero. Entonces:

Ancho de banda algo mayor que 2ΔfSi β → ∞ ⇒ ancho de banda próximo a 2ΔfSi β → 0 (FM banda estrecha) ⇒ ancho de banda determinado por 2fm

Por ello, la regla práctica para el cálculo del ancho de banda es:

CARSON DEREGLA )11(222 ≡+Δ=+Δ≈β

fffB mT


Una definición más precisa de BT: aquel ancho de banda que contiene el máximo número significativo de bandas laterales cuya amplitud sea


el máximo número significativo de bandas laterales cuya amplitud sea mayor de un valor dado. Un valor conveniente suele ser el 1% de la amplitud de la portadora sin modularSe define el ancho de banda del 1% (ancho de banda de Tx de la señal FM) como la separación entre las 2 frecuencias fuera de las cuales ninguna banda lateral tiene una amplitud mayor que el 1% de la amplitud de la portadora sin modular

01.0)(J satisface que valor máximo:moduladora señal frecuencia:

22

max

maxmax

>

Δ==

β

β

n

m

mT

nf

fnfnB

18


El valor nmax depende del índice de modulación β y se puede determinar a partir de gráficos de Bessel:


p g

El BT puede calcularse utilizando este procedimiento de forma general, y normalizado respecto a Δf y dibujado respecto a β

βmax2 n

fB T =Δ


Se obtiene una curva universal interpolando valores de la tabla anterior:


Para β >> ⇒ BT/Δf ≅ 2 ⇒ BT≅ 2Δf

19


Consideremos m(t) arbitrario, con ancho de banda ωEl B d i id d l


El BT se puede estimar considerando un tono para el peor caso.Primero se determina la relación de desviación (D):

La relación de desviación D es el cociente entre la desviación en frecuencia (Δf) y su máxima componente frecuencial (ω)

Este factor D juega el mismo papel para una modulación no sinusoidal que el índice de modulación β para modulación sinusoidal

; maxf Akf fD =ΔΔ

=ω

Cambiando β por D y fm por ω en la regla de Carson o ancho de banda del 1%, se determina el ancho de banda de las señales FM

NOTA: la regla de Carson estima por debajo el ancho de banda, mientras que la del 1% da un valor mayor ⇒ en la práctica se usa un valor comprendido entre ambos (valor medio)


Ejemplo: en Norteamérica se fija Δf = 75 KHz para difusión de FM comercial y ω = 15 KHz la máxima frecuencia de audio de interés en


comercial, y ω = 15 KHz la máxima frecuencia de audio de interés en transmisiones FM; por ello:

Relación de desviación D = 75/15 = 5Regla de Carson: BT = 2(75 + 15) = 180 KHzRegla del 1%: BT = 2nmaxfm = 2nmax ω = 16*15 = 240 KHz

(como D = 5 ⇒ 2nmax = 16)Por ejemplo: BT = (180+240)/2 = 210 KHz

20

3.4.- Generación de señales FMHay 2 métodos para generar señales moduladas en frecuencia: FM directo y FM indirecto


En el método FM indirecto se emplea modulación FM de banda estrecha y multiplicación de frecuencia para incrementar el nivel de desviación de frecuencia hasta el valor deseadoEn el método FM directo la portadora varía directamente su frecuencia de acuerdo a la señal de entrada banda base (moduladora), esto es, la frecuencia instantánea de la portadora se varía de forma directa con la variación temporal de la señal banda base ⇒ se utiliza un dispositivo oscilador controlado por tensión: VCO (Voltage

Controller Oscilator)

m(t) VCO s(t) SEÑAL FM

3.4.- Generación de señales FMMétodo FM indirecto

Diagrama de bloques:


Diagrama de bloques:

Integrador s(t)m(t)Señal moduladora banda base

Modulador de fasebanda estrecha

Multiplicador de frecuencia

Oscilador decristal controlado

s1(t)

f1

Señal FM

La señal banda base se integra y se emplea para el modulador de fase un oscilador de cristal controlado que da estabilidad en frecuenciaPara minimizar la distorsión de fase inherente en el modulador el valor de β debe mantenerse pequeño (β ≤ 0.3)Se utiliza un multiplicador de frecuencia para dar lugar a la señal FM de banda ancha

21

3.4.- Generación de señales FM

Salida del modulador de fase de banda estrecha:

)(22)(t

dkfA ⎤⎡ ∫


Si la señal moduladora es sinusoidal: m(t) = Amcos(2πfmt)

[ ]+= tftfAts m )2sin(2cos)( 1111 πβπ

modulador)del fase en dad(sensibili constantecontroladocristal del frecuencia

::

)(22cos)(

1

0111

f

f

kf

dttmktfAts ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += ∫ππ

La salida del modulador de fase es multiplicada en frecuencia por nveces con el “multiplicador de frecuencia” para dar lugar a la señal FM de banda ancha

distorsiónla evitar ⇒< rad3.01β

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += ∫

t

fc dttmnktnfAts01 )(22cos)( ππ

3.4.- Generación de señales FMSi m(t) es sinusoidal:

[ ])2(2)( tfitfAt β


Por ello, eligiendo de forma apropiada el valor n se obtiene el índice de modulación deseado β y frecuencia fc

Problema: ajustamos fc y β con un único parámetro n ⇒ hay un único

[ ]11 ; donde

)2(2cos)(nffn

tfsintfAts

c

mcc

==+=

ββπβπ

cgrado de libertad ⇒Solución: usamos 2 multiplicadores de frecuencia (ver diapositiva siguiente)

22

3.4.- Generación de señales FM

Modulador de fase Multiplicador β1,


Integradorm(t)Señal moduladora banda base

Modulador de fasebanda estrecha

pde frecuencia

x n1


β1,f1

Accos(2πf1t)

Señal n β n f Multiplicadorβ f f

Mezclador


FM Banda Ancha β, fc

n1β1, n1f1

Ac’cos(2πf2t)


x n2

n1β1, f2-n1f1

β= n1n2 β1

fc = n2(f2-n1f1)

3.5.- Demodulación de FM

La demodulación en frecuencia es el proceso que permite recuperar la


p q p pseñal moduladora de la señal FMLa salida del demodulador FM será una señal proporcional a la frecuencia instantánea de la señal de entradaHay 2 esquemas básicos de demodulación:

Discriminador de frecuenciaBucle enganchado en fase (PLL)

23


Discriminador de frecuenciaIdealmente es un derivador seguido de un detector de envolvente


Idealmente es un derivador seguido de un detector de envolventeConsiste en un circuito pendiente seguido de un detector de envolventeEl circuito pendiente se caracteriza por una función de transferencia que es imaginaria pura (simetría impar) y varía de forma lineal dentro del intervalo de frecuencias dado:

H1(f)/j

f (Hz)

fc+BT/2fc-BT/2

-fc+BT/2-fc-BT/2

3.5.- Demodulación de FMFunción de transferencia:

2 BffBfBffaj TTT⎪⎧

+<<⎟⎞

⎜⎛ +π


Evaluemos la salida de este sistema con entrada señal FM centrada en fc y ancho de banda BT

constante:

resto 022

2

2

22

22

)(1

a

BffB-fBffaj

fffffaj

fH Tc

Tc

Tc

ccc

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨ +−<<−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

+<<−⎟⎠

⎜⎝

+−

= π

π

Suponemos que el espectro de s(t) es cero fuera del intervalo fc - BT/2 < | f | < fc + BT/2

Es conveniente utilizar la representación paso bajo equivalente:

:función de transferencia del filtro paso bajo equivalente del circuito pendiente H1(f)

)( , )(~

1

~tsfH

)(1

~fH

24


jfH /)(~


f (Hz)

BT/2-BT/2

jfH /)(1

Pendiente:4πa

⎪⎩

⎪⎨

⎧<<−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

=−

resto 022

2

4)(

)(2)(

1

~

11

~

TTT

c

BfBBfajfH

fHffH

π

3.5.- Demodulación de FMSeñal FM de entrada:

⎤⎡ + ∫t

dttmktfAts )(22cos)( ππ


Envolvente compleja:

Si es la envolvente compleja de la respuesta del circuito pendiente:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += ∫fcc dttmktfAts

0)(22cos)( ππ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= ∫

t

fc dttmkjAts0

~)(2exp)( π

)(1

~ts

⎪⎨

⎧<<−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

22 )(

22

)()(1)(

~~~~ TTT BfBfSBfaj

fSfHfSπ

Entonces : (aplicamos la propiedad de la T. F. que nos dice que multiplicar en frecuencia por j2πf equivale a derivar en el dominio del tiempo):

)(1

~ts

⎪⎩

⎪⎨

⎟⎠

⎜⎝==

resto 022

)(2)()(

2)( 11

fffjfSfHfS

25


⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+= T tsBj

dttsdats

~~

1

~)()()( π


La señal paso banda de salida del circuito pendiente:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

⎦⎣

∫t

fT

fcT dttmkj

Btmk

aABjts0

1

~)(2exp

)(21)( ππ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ℜ=

∫ 2)(22cos

)(21)(

)2exp()()(

01

1

~

1

ππππ

π

t

fcT

fcT

c

dttmktfB

tmkaABts

tfjtsets se deduce por cos(a+π/2)=-sina

La señal s1(t) presenta una modulación híbrida: la amplitud y frecuencia de la señal portadora varía de acuerdo con m(t)Podemos utilizar un detector de envolvente para demodular la señal, para ello:

⎦⎣⎦⎣ 0T

aciónsobremodulevitar 1)(2

⇒∀< ttmBk

T

f

3.5.- Demodulación de FMLa salida del detector de envolvente:

)(2

1)(1

~

⎥⎤

⎢⎡+= tm

kaABts f

Tπ


El término de continua es proporcional a la pendiente de la función de transferencia del circuito

La componente de continua se puede eliminar restando a la salida del detector de envolvente la salida de un segundo detector de envolvente precedido de un circuito pendiente complementario con función de transferencia H2( f )

continuadeun términosalvomoduladoraseñallatenemos

)(1)(1

→

⎥⎦

⎢⎣+ tm

BaABts

TcTπ

fc+BT/2fc-BT/2

-fc+BT/2-fc-BT/2

H2(f)/jPendiente:-2πa

f (Hz)

26

3.5.- Demodulación de FMLas funciones de transferencia complejas están relacionadas por:

)()( 1

~

2

~fHfH −=


Si s2(t) es la respuesta del segundo circuito pendiente, cuya entrada es la señal FM s(t), la envolvente compleja de s2(t):

La diferencia de las envolventes:

)()( 12 fHfH =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= )(

21)(2

~tm

Bk

aABtsT

fcTπ

iiN

)(4)()()( 2

~

1

~tmaAktststs cfo π=−=

El discriminador de frecuencia serían dos circuitos pendiente complementarios seguidos de detector de envolvente y un sumador ⇒ discriminador de frecuencia balanceado (ver diapositiva siguiente)

continuacomponentetieneNo

3.5.- Demodulación de FMDiagrama de bloques: discriminador de frecuencias balanceado


Circuito pendiente

H1 ( f )

Detector de envolvente

Señal FM Σ

Circuito di t Detector

+

-

Señal banda base

pendienteH2( f )

Detector de envolvente

27

3.6.- Efectos no lineales en sistemas FM

Supongamos un sistema de comunicación cuya función de transferencia está definida por la relación no lineal:


está definida por la relación no lineal:

Se supone que el sistema no tiene memoria ⇒ vo(t) es una función instantánea de vi(t)

constantes:salida de señal:)(entrada de señal:)(

)()()()(

321

33

221

,a,aatvtv

tvatvatvatv

o

i

iiio ++=

Deseamos determinar el efecto de transmitir la señal FM a través de este canal: vi(t) → señal FM

[ ]

∫=

+=t

of

cci

dttmkt

ttfAtv

)(2)(

)(2cos)(

πφ

φπ


[ ] [ ])(2cos)(2cos)( 2221 ttfAattfAatv cccco φπφπ ++++=


Expandiendo y tomando factor común:

[ ])(2cos 333 ttfAa cc φπ ++

[ ] [ ]

[ ] [ ]{ }))(24cos(1)(2cos2

))(24cos(12

)(2cos)(

33

22

1

ttfttfAa

ttfAattfAatv

ccc

cc

cco

φπφπ

φπφπ

++⋅++

+++++=

[ ] [ ]{ }

[ ]

[ ] [ ]{ })(2cos)(36cos4

)](24cos[2

)(2cos)2

(2

)(

))(()(2

33

22

33

1

22

ttfttfAattfAa

ttfAaAaAatv

ff

ccc

cc

cc

cc

o

cc

φπφπφπ

φπ

φφ

++++++

++++=

28


[ ])(2cos)43(

2)( 3

31

22 ttfAaAaAatv ccc

co φπ ++++=


La salida tiene una componente continua y 3 componentes moduladas en frecuencia con portadoras fc, 2fc, 3fc

Para poder extraer la señal FM de la señal de salida vo(t) es necesario separar la señal FM a frecuencia fc de la señal FM a frecuencia más próxima

[ ]

[ ])(36cos4

)](24cos[21

423

322

31

ttfAattfAa cc

cc

ccco

φπφπ ++++

próximaSi Δf es la desviación en frecuencia de vi(t), y ω el ancho de banda de la señal moduladora m(t); aplicando la regla de Carson (BT ≅ 2Δf + 2fm = 2Δf + 2ω) y teniendo en cuenta que la desviación en frecuencia de la señal FM a frecuencia 2fc es 2Δf, la condición necesaria para separarlas es:


'BB


ωωω

23)2(2

22

2

+Δ>⇒+Δ−<+Δ+

−<+

ffffff

BfBf

c

cc

Tc

Tc

fc+Δf+ωBT BT’ BT’’

|Vo(f)|

f (Hz)2fc

BT

fc 3fc

BT BT

2fc-2Δf-ω

29


Utilizando un filtro paso banda centrado en fc , y ancho de banda 2Δf + 2ω la señal de salida es:


2Δf + 2ω , la señal de salida es:

Conclusiones:El único efecto de pasar una señal FM a través de un canal con no-linealidades en amplitud, si filtramos de un modo adecuado, es simplemente modificar la amplitud

dif i d l l l f d

[ ])(2cos)43()( 3

31' ttfAaAatv ccco φπ ++=

A diferencia de lo que ocurre con AM, la señal FM no se ve afectada por la distorsión debida a no-linealidades de la amplitud del canal

Esta es la razón por la que FM se utiliza de forma amplia en enlaces de microondas y satélites, debido a que permite el uso de amplificadores de potencia altamente no lineales


Sin embargo, FM es muy sensible a no-linealidades de fase, y un tipo muy común de no linealidad de fase en los enlaces de microondas es la


muy común de no-linealidad de fase en los enlaces de microondas es la denominada conversión AM→PM. Esto es debido a que las características de fase de los amplificadores y repetidores empleados en los sistemas depende de la amplitud instantánea de la señal de entradaEn la práctica, esta conversión AM→PM se caracteriza por una constante K medida en [grados/dB], y debe interpretarse como el cambio de fase de pico a la salida para un cambio de 1dB en la envolvente de entradaCuando la señal FM se transmite a través de un enlace de radio, recoge variaciones aleatorias en amplitud debido al ruido e interferencias durante su propagación, y cuando dicha señal se pasa por un repetidor con conversión AM→PM, la salida tendrá modulación no deseada de fase dando lugar a la distorsión

⇒ En los repetidores FM, es muy importante mantener la conversión AM→PM a un nivel bajo, típicamente, K < 2 grados / dB


CUESTIONES TEMA 3

MODULACIONES ANGULARES

1.- Definición de fase y frecuencia instantánea. ¿Cómo están relacionadas?. ¿Cuál es la fase y la frecuencia instantánea para PM y FM?

2.- ¿Cuál es la expresión de una señal FM y de una señal PM?. ¿Se pueden distinguir a simple vista en un osciloscopio?. ¿Se pueden distinguir de una señal AM?

3.- ¿Cómo se puede generar una señal FM con un modulador de PM y al revés?

4.- ¿Cuál es la definición de desviación en frecuencia e índice de modulación cuando la moduladora es sinusoidal?. Poner la expresión en ese caso de la señal modulada FM utilizando ambos parámetros por separado.

5.- ¿Cómo se diferencia FM de banda ancha y FM de banda estrecha?. ¿Cuál es la expresión aproximada para FM de banda estrecha?

6.- ¿Cómo se puede generar FM de banda estrecha?

7.- Hacer un diagrama fasorial de AM y otro de FM de banda estrecha. ¿Cuál es la diferencia fundamental?

8.- ¿Cuál es el procedimiento para obtener el espectro de una señal FM de banda ancha puesto que al no ser periódica no se puede calcular directamente la serie de Fourier?

9.- ¿Cuál es la expresión del espectro de una señal FM?. ¿Por qué tipo de funciones viene determinada la altura relativa de las deltas?

10.- ¿Cuál es la relación entre la potencia de la señal modulada y la de la portadora?. ¿Varía la amplitud de componente a la frecuencia portadora de la señal modulada con el índice de modulación?

11.- ¿Cuál es la separación entre las deltas en el espectro de una señal FM?

12.- ¿Cuál es el ancho de banda absoluto de una señal FM?

13.- ¿Cuales son las dos reglas para la determinación del ancho de banda de forma aproximada en el caso de que la señal moduladora sea sinusoidal?. ¿Cuál de las dos reglas da un ancho de banda menor del utilizado en la práctica y cuál uno mayor?

14.- En el caso de tener una señal moduladora arbitraria con ancho de banda W, ¿cómo se define la relación de desviación D?. ¿Cuáles son ahora las dos reglas para la determinación del ancho de banda?

15.- Explicar el método de generación de FM indirecto.

16.- Explicar el esquema del discriminador de frecuencias para demodular la señal FM.

17.- Explicar el diagrama de bloques completo del discriminador de frecuencias balanceado.

18.- Explicar los efectos no lineales en FM. ¿Cómo se recupera la señal FM original tras el sistema no lineal?

19.- ¿En qué consiste la conversión AM a PM en sistemas FM?. ¿Por qué no es deseable y cómo es posible evitarla?


PROBLEMAS TEMA 3

MODULACIONES ANGULARES 1.- Sea una señal sinusoidal moduladora:

m(t) = Am cos (2πfmt)

que se aplica a un modulador de fase con sensibilidad de fase kp. La señal portadora tiene amplitud Ac y frecuencia fc. a) Determinar el espectro de la señal resultante modulada en fase, suponiendo que el máximo valor de la desviación de fase βp = kpAm no excede 0.3 radianes. b) Construir un diagrama fasorial para esta señal modulada en fase y compáralo con el correspondiente a una señal FM de banda estrecha. 2.- Una señal FM con índice de modulación β = 1 se transmite a través de un filtro paso banda ideal con frecuencia central fc y ancho de banda 5fm, donde fc es la frecuencia de la señal portadora y fm es la frecuencia de la señal moduladora que es sinusoidal. Determinar la amplitud del espectro a la salida de dicho filtro. 3.- Considerar la señal moduladora cuadrada de la siguiente figura:

T0/2T0/2

-1

0

+1

t

m(t)

que se utiliza para modular una señal portadora Ac cos (2πfct). Suponer que la sensibilidad en frecuencia es kf Hz por Voltio. a) Determinar la forma de la señal que define la frecuencia instantánea de la señal FM resultante. b) Determinar la forma de la señal que define la fase instantánea de la señal FM resultante. c) Evaluar la envolvente compleja de la señal FM. Mostrar entonces que la señal FM se puede expandir como sigue:

∑∞

−∞=

ππα

n 0cnc T

t n 2+tf 2cos A = s(t)

donde:

β

−+

β

=α2

n + sinc)1(2

n - sinc21 n

n

β = kf T0

siendo T0 el período de la señal cuadrada. 4.- Determinar el espectro de la siguiente señal FM multitono y explicar las diferentes componentes que forman dicho espectro:

s(t) = Accos[2πfct + β1sin(2πf1t) + β2sin(2πf2t)] 5.- Una señal portadora de frecuencia 100 MHz es modulada en frecuencia por una señal moduladora sinusoidal de amplitud 20 Volts. y frecuencia 100 KHz. La sensibilidad en frecuencia del modulador es 25 KHz por voltio. a) Determinar el ancho de banda aproximado de la señal FM resultante utilizando la regla de Carson. b) Determinar el ancho de banda en el caso de que se transmitan únicamente aquellas componentes que excedan el 1 % de la amplitud de la portadora sin modular. Utilizar la curva universal. c) Repetir los cálculos suponiendo que la amplitud de la señal moduladora es el doble. d) Repetir los cálculos suponiendo que la frecuencia de la señal moduladora es el doble.

6.- El diagrama de bloques siguiente representa el sistema FM transmisor de una señal de audio estereofónica:

Modulador enfrecuencia

Fuente deportadora

Doblador defrecuencia

Señal FMestereofónica

m(t)

l(t)

r(t)

+

+ +

+

+

+

_

∑

∑

∑

ModuladorProducto

Las señales de entrada l(t) y r(t) representan las señales procedentes del canal izquierdo y del canal derecho, respectivamente. Esas señales se han sumado y restado para obtener l(t) + r(t) y l(t) - r(t). La señal diferencia se utiliza para generar una señal DSBSC con frecuencia central 38 KHz. La señal portadora necesaria se obtiene utilizando una fuente de portadora a 19 KHz y un sistema que dobla la frecuencia. La señal DSBSC, la señal l(r) + r(t) y el piloto de 19 KHz se suman para obtener la señal m(t). El piloto de 19 KHz se transmite por razones de sincronismo. La señal moduladora m(t) se utiliza para modular en frecuencia una señal a la frecuencia fc, resultando una señal FM que es la que se transmite. a) Dibujar la amplitud del espectro de la señal compuesta m(t), suponiendo que la amplitud del espectro de las señales l(t) y r(t) es el siguiente:

f2 f

|R(f)|

f1 f2 f

|L(f)|

f1

donde f1 = 40 Hz y f2 = 15 KHz. b) Suponiendo que la desviación en frecuencia es de 75 KHz, determina el ancho de banda de transmisión de la señal. c) Desarrolla un diagrama de bloques en el receptor para recuperar los canales izquierdo y derecho de la señal FM. d) Determinar cual es la señal de salida en el caso de que el receptor sea monofónico.

7.- Una señal FM se aplica a un dispositivo con ley cuadrática cuya tensión de salida v2(t) está relacionada con la tensión de entrada v1(t) por la expresión:

t)( va = t)(v 212

donde a es una constante. Explicar cómo este dispositivo puede ser utilizado para obtener una señal FM con una desviación de frecuencia mayor que la de la señal FM de entrada. 8.- Considerar el esquema demodulador de FM mostrado en la siguiente figura:

_

+

∑ Señal desalida

SeñalFM

Detector deenvolvente

Linea deretardo

en el cual la señal FM de entrada s(t) se pasa a través de un bloque que introduce un retardo de modo que a la frecuencia portadora el desfase sea de π/2 radianes. La salida del bloque que introduce el retardo se resta de la señal FM original, y la señal resultante se pasa a través de un detector de envolvente. Este demodulador tiene aplicación en la demodulación de señales FM para microondas. Supóngase que la expresión de la señal modulada es:

s(t) = Ac cos[2πfct + β sin(2πfmt)]

Analizar el funcionamiento de este demodulador cuando el índice de modulación β es menor que la unidad y el retardo T introducido por la línea de retardo es suficientemente pequeño para justificar las aproximaciones:

cos(2πfmT) ≈ 1 y

sin(2πfmT) ≈ 2πfmT

9.- Supongamos que la señal recibida en un sistema FM contiene una modulación de amplitud residual dada por la amplitud positiva a(t), de modo que:

s(t) = a(t) cos[2πfct + φ(t)]

donde fc es la frecuencia portadora. La fase φ(t) está relacionada con la señal moduladora m(t) de la forma:

∫πφt

0f dt)t(mk 2 = (t)

donde kf es una constante. Supongamos que la señal s(t) está restringida a la banda de frecuencias centrada en fc y de ancho de banda BT, donde BT es el ancho de banda de transmisión de la señal FM en ausencia de modulación de amplitud. Suponer también que la variación de a(t) es lenta comparada con φ(t). Mostrar que la salida de un discriminador de frecuencia ideal cuya entrada es s(t) es proporcional a a(t)m(t). 10.- Si la señal s(t) del problema anterior se aplica a un limitador, cuya señal de salida z(t) está relacionada con la entrada por:

− 0 < s(t) para 1

0 > s(t) para 1+ = sgn[s(t)] = z(t)

a) Mostrar que la señal de salida del limitador puede expresarse como una serie de Fourier:

[ ]∑∞

=

φπ+

−π 0n

c

n

(t) 1)+(2n + 1)+t(2nf 2cos1n2

)1(4 = z(t)

b) Suponer que la señal de salida del limitador se aplica a un filtro paso banda cuya amplitud en la banda de paso es unidad, con ancho de banda BT y centrada en la frecuencia portadora fc, donde BT es el ancho de banda de transmisión de la señal FM en ausencia de modulación de amplitud. Suponiendo que fc es mucho mayor que BT, mostrar que la señal de salida resultante tras el filtro es:

[ ](t) +t f 2cos4 = y(t) c φππ

Comparar esta señal con s(t) a la hora de demodular la señal y comentar la utilidad del limitador en este caso.

1



MODULACIONES ANGULARES 1.

a. ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]−++−−−−++−≈ mcmccpccc ffffffAj

ffffAfS δδβδδ41

21

( ) ( )[ ]mcmccp ffffffAj

−+−+−− δδβ41

b. ⇒ Diferencia de fases

2.

3.

a. ( ) ( )tmkftf fci ⋅+=

2

b. ( ) ( )ttft ci φπϑ += 2

( ) ( )∫ ⋅⋅=t

f dttmkt0

2πφ

c. Es una demostración.

4. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2121212nfmfffnfmfffJJ

AfS cc

m nnm

c ++++−−−⋅⋅⋅= ∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

δδββ

Se pueden distinguir cuatro componentes:

i. Portadora a frecuencia fc, de amplitud: J0(β1)⋅J0(β2) ii. Conjunto de bandas laterales a frecuencia: fc±m⋅f1 (m=1,2,3,…), y

amplitud: Jm(β1)⋅J0(β2)

3

iii. Conjunto de bandas laterales a frecuencia: fc±n⋅f2 (n=1,2,3,…), y amplitud: J0(β1)⋅Jn(β2)

iv. Términos de modulación cruzada a frecuencia: fc±m⋅f1±n⋅f2 (m=1,2,3,…; n=1,2,3,…), y amplitud: Jm(β1)⋅Jn(β2)

5. a. MHz2.1=

CARSONTB

b. MHz6.1=CARSONTB

c. MHz2.2=CARSONTB

MHz8.2%1 =TB

d. MHz4.1=CARSONTB

MHz2%1 =TB 6.

a.

b.

KHz315KHz375

KHz256

%1

≈⇒

==

MEDIATT

CARSONT BBB

c.

d.

4

7.

( ) ( )

⋅+⋅= ∫

t

fc dttmktfAtv011 1

22cos ππ

( ) ( ) ( ) ( )

⋅+⋅⋅= ∫

t

fc dttmktfAa

tv01

20 1

2222cos2

ππ

8. Salida del detector de envolvente:

( ) ( )[ ]tfTfAta mc ππ 2cos12 ⋅⋅∆⋅+⋅⋅≈

9. Salida del detector de envolvente del discriminador de frecuencias ideal:

( ) ( ) ( )tmtakts f ⋅⋅⋅⋅≈ π20

10. a. Es una demostración.

b. Término k=0, con: fc>>BT: ( ) ( )( )ttfty c φππ

+⋅= 2cos4

⇒Utilizando el limitador seguido del filtro paso banda, se elimina el efecto de la variación de amplitud en la señal modulada.




Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas

Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas Teoría de la Comunicación

1

Tema 4: Ruido en modulaciones analógicas.

4.1.- Introducción: SNR y FOM.

Se necesita una medida útil para medir la calidad de una señal en el receptor, para ello se usa la relación señal a ruido de salida:

receptordelsalidalaaruidodemediaPotenciareceptordelsalidalaauladamoddeseñallademediaPotenciaSNRo =

Es una medida intuitiva para describir la calidad para el proceso de

demodulación en el receptor en presencia de ruido. Vamos a suponer que la señal de información recuperada y el ruido deben

aparecer aditivamente a la salida del demodulador:

• Condición válida cuando se emplea recepción con detección coherente. • En caso de usar detección de envolvente, ésta condición es aproximada, siempre

y cuando el nivel de ruido sea pequeño comparado con el de la señal.

Además, el valor de la SNRo depende de varios factores: • Del tipo de modulación empleada en el transmisor. • Del tipo de demodulación empleada en el receptor.

Sería interesante comparar la SNRo para diferentes esquemas de modulación y

demodulación, pero para que sea válido se debería cumplir:

• La señal modulada: s(t), transmitida por cada sistema, tiene que tener la misma potencia media.

• El ruido del receptor: ω(t), tiene que tener la misma potencia media, medida en el ancho de banda w de la señal de información.

Se define así la SNR para el canal, como:

ormacióninfdeseñalladebandalaencanaldelruidodemediaPotenciareceptordelentradalaauladamodseñallademediaPotenciaSNRc =

Para comparar diferentes esquemas de modulación y demodulación, vamos a

normalizar la SNRo por la SNRc. Así se define la FOM (Figure Of Merit), como:

c

o

SNRSNR

FOM =


2

Otros parámetros de calidad que también se estiman en los sistemas de comunicación son los siguientes:

receptordelentradalaauladamodseñalladebandalaenruidodemediaPotenciareceptordelentradalaauladamodseñallademediaPotenciaSNRi =

La relación: i

o

SNRSNR

Y la relación portadora a ruido:

uladamodseñalladebandalaenruidodemediaPotenciaportadoralademediaPotenciaCNR =

4.2.- Ruido en modulaciones de amplitud.

Vamos a ver un caso de estudio común en los sistemas de comunicación:

• Analizaremos los efectos del ruido en el funcionamiento del receptor. • Compararemos el comportamiento de los diferentes esquemas de modulación y

demodulación frente al ruido: o Hay que definir criterios objetivos que describan cómo se comportan

estos sistemas frente al ruido. o En modulaciones analógicas se va a estimar la SNRo y FOM.

Vamos a suponer que tenemos a la entrada del receptor un ruido aditivo, blanco,

gaussiano (AWGN), y de media nula. En concreto estudiaremos las modulaciones:

• DSB-SC con detección coherente. • AM con detección de envolvente.

4.2.1.- Receptor de amplitud. Modelo funcional.

Los receptores de AM se denominan superheterodinos, y su esquema general se representa en la siguiente figura:

Sección de radiofrecuencia

(RF)

Mezclador

Sección de frecuencia

intermedia (IF)

Demodulador

Oscilador local

Señal AM +

Ruido

Señal a la salida

Figura 1. Esquema funcional de un receptor de amplitud.


3

La señal captada por las antenas se amplificaría en la sección de radiofrecuencia (RF), donde además se realiza un primer filtrado paso banda. Esta estaría sintonizada a la frecuencia de portadora (fc). A continuación el conversor de frecuencia convertiría la frecuencia de entrada, cuyo valor es variable, a una frecuencia intermedia (fIF) fija y menor.

LORFIF fff −=

La sección de frecuencia intermedia (IF) amplificaría la señal a su entrada, en un entorno de fIF, y filtraría en función del tipo de modulación de amplitud. Es de notar que este bloque es el que da la mayor parte de la ganancia y la selectividad del sistema. Por último, el demodulador recuperaría la señal de información original m(t).

El esquema simplificado del receptor de amplitud para el análisis de ruido es el siguiente:

Inicialmente la señal modulada s(t) se sumaría con ω(t), que es ruido blanco, aditivo, gaussiano (AWGN), de media cero, y densidad espectral de potencia: Sω(f)=No/2. Después pasaría por un filtro paso banda equivalente, cuya respuesta es h(t), que representa las secciones de RF e IF en cascada del modelo funcional. En el caso de modulaciones AM y DSB-SC, su respuesta normalizada en frecuencia se muestra en la Figura 3, donde: fc = fIF (frecuencia portadora a la salida del mezclador), y BT es el ancho de banda de la señal transmitida.

Sea x(t) la señal a la salida del filtro h(t), la cual se podrá descomponer en dos términos: uno referente a la señal modulada [s(t)], y otro relacionado con el ruido de banda limitada o paso banda [n(t)]. En el caso de este último, su densidad espectral de potencia vendrá dada por:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

0

+≤≤−=resto

BffBfNfS

Tc

Tc

N,

22,

20

O con su representación gráfica:

BPF equivalente

h(t)

Demodulador s(t)

ω(t)

Σ +

+

y(t) x(t)

Figura 2. Modelo de receptor de amplitud para análisis de ruido.

|H(f)|1

BT

f fc -fc

Figura 3. Respuesta normalizada del filtro paso banda equivalente para AM y DSB-SC.


4

Supondremos que este ruido paso banda n(t), será un ruido de banda estrecha, ya

que se cumplirá: fc >> BT.

El último bloque del modelo de receptor AM para análisis de ruido sería un demodulador, el cual obtendría la señal de información de salida y(t).

4.2.2.- Análisis de ruido para detección coherente con modulación DSB-SC.

En el caso de que la modulación empleada en el transmisor fuera DSB-SC, en el lado del receptor tendríamos el siguiente modelo simplificado para analizar el efecto del ruido:

Para simplificar el estudio, vamos a tomar las siguientes consideraciones:

• Supondremos que la señal del oscilador local tiene amplitud unitaria (normalizada).

• Además supondremos que existe sincronismo, es decir, que la señal generada por el oscilador local en el receptor está sincronizada en fase y en frecuencia con la portadora transmitida.

A continuación, vamos a ir definiendo las potencias promedio en cada bloque,

para poder calcular los parámetros definidos en el primer apartado.

Así, a la entrada del sistema tendremos la señal modulada, s(t), de la forma:

( ) ( ) ( )tmtfAts cc ⋅⋅⋅⋅⋅= π2cos

SN(f)No/2

BT

f fc -fc

Figura 4. Densidad espectral de potencia de ruido a la salida del filtro paso banda equivalente.

BPF equivalente

h(t)

LPF s(t)

ω(t)

Σ +

+

y(t) x(t)

Modulador producto

Oscilador local

v(t)

Figura 5. Modelo de receptor DSB-SC, con detección coherente, para análisis de ruido.


5

Vamos a considerar a la señal moduladora, m(t), como una función muestra de un proceso estacionario, de media cero, densidad espectral de potencia SM(f), y ancho de banda w.

El área bajo esta curva será la potencia promedio (P), y nos será útil a la hora de calcular los parámetros definidos en la introducción del tema.

( )∫− ⋅=w

w M dffSP

Además, vamos a asumir que la señal portadora es estadísticamente

independiente de la señal moduladora. Para indicar esto, se incluye en la portadora una fase aleatoria (θ), con distribución uniforme entre 0 y 2π radianes:

( ) ( ) ( )tmtfAts cc ⋅+⋅⋅⋅⋅= θπ2cos

Si hallamos la densidad espectral de potencia de s(t) (ver problema 18 del primer tema), obtendríamos:

( ) ( ) ( )[ ]cMcMc

s ffSffSA

fS ++−⋅=4

2

Observando la figura, se deduce que el ancho de banda de s(t) es BT=2w, y su

potencia promedio 2

2 PAc ⋅

Respecto al ruido, w(t), AWGN, de media nula, y densidad espectral de potencia No/2, distinguiremos dos situaciones. La primera para su valor de potencia promedio en

SM(f)

f-w w

Área: ( )∫− ⋅=w

w M dffSP

Figura 6. Densidad espectral de potencia de la señal moduladora m(t).

SS(f)

f fc -fc fc+w fc-w -fc+w -fc-w

Área: PAc ⋅4

2

Área: P

Ac ⋅4

2

Figura 7. Densidad espectral de potencia de la señal modulada s(t).


6

el ancho de banda de la señal de información m(t), y la segunda ese mismo valor, pero en el ancho de banda de la señal modulada s(t).

Con estos valores, ya podemos calcular las siguientes relaciones señal a ruido:

• o

c

o

c

SCDSBc NwPA

Nw

PA

SNR⋅⋅⋅

=⋅

⋅=− 2

22

2

,

• o

c

o

c

SCDSBi NwPA

Nw

PA

SNR⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅=− 42

22

2

,

Para calcular la relación señal a ruido a la salida, tendremos que deducir la señal

a la salida del receptor. Así en primer lugar, calculamos la señal x(t) a la salida del filtro paso banda equivalente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tfsentntftntmtfAtntstx cscccc πππ 22cos2cos ⋅−⋅+⋅⋅=+=

A la salida del modulador producto, y teniendo en cuenta las siguientes

relaciones trigonométricas:

( ) ( )[ ]bababa −++⋅=⋅ coscos21coscos

( ) ( )[ ]basenbasenbsena −++⋅=⋅21cos

Obtenemos:

No/2

f fc -fc fc+w fc-w -fc+w -fc-w

Área: oo NwNw ⋅⋅=⋅⋅ 2

24

No/2

f

Área: oo NwNw ⋅=⋅⋅

22

w-w

Figura 8. Densidad espectral de ruido en el ancho de banda de la señal de información m(t).

Figura 9. Densidad espectral de ruido en el ancho de banda de la señal modulada s(t).


7

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )tfsentntftntmAtntmAtftxtv cscccccc πππ 4214cos

21

21

212cos ⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅=

Por último, aplicamos el filtrado paso bajo, para eliminar las componentes a alta

frecuencia (2fc):

( ) ( ) ( )tntmAty cc ⋅+⋅⋅=21

21

Esta fórmula nos indica que la señal moduladora m(t) y la componente en fase

del ruido nc(t), se suman a la salida; mientras el detector coherente rechaza la componente en cuadratura del ruido ns(t).

Una vez que deducimos a la salida la componente de señal y la componente de

ruido, vamos a estimar la potencia media de cada una, para hallar la relación señal a ruido a la salida:

• Señal de información a la salida: ( )tmAc ⋅⋅21 , con una potencia promedio

asociada de PAc ⋅4

2

, siendo P la potencia promedio de m(t).

• Ruido a la salida: ( )tnc⋅21 . En el primer tema vimos la relación entre la

densidad espectral de ruido y sus componentes en fase y en cuadratura para banda estrecha.

( ) ( ) ( ) ( ) ,,c s

N c N cN N

S f f S f f w f wS f S f

resto− + + − ≤ ≤⎧

= = ⎨ 0⎩

No/2

f fc -fc fc+w fc-w-fc+w -fc-w

SN(f)

f w-w

SNc(f)= SNs(f)No

Figura 10. Densidad espectral de ruido en el ancho de banda de la señal modulada, y de sus componentes en fase y cuadratura.


8

Así la potencia promedio de ruido a la salida, será: 2

221 2

oo

NwNw

⋅=⋅⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Recopilando ideas, los parámetros que nos quedan por calcular, serán:

• o

c

o

c

SCDSBo NwPA

Nw

PA

SNR⋅⋅⋅

=⋅

⋅=− 2

2

42

2

,

• 1,

, ==−

−

SCDSBc

SCDSBo

SNRSNR

FOM

• 2,

, =−

−

SCDSBi

SCDSBo

SNRSNR

4.2.3.- Análisis de ruido para detección de envolvente en AM.

Ahora vamos a particularizar el modelo de análisis de ruido general para el caso de una modulación AM, donde el módulo de demodulación del receptor será un detector de envolvente. En este caso, sustituimos el bloque demodulador del esquema estudiado por un detector de envolvente.

La señal modulada en AM estará formada por dos bandas laterales y una portadora:

( ) ( )[ ] ( )tftmkAts cac π2cos1 ⋅⋅+⋅= Siendo ka la sensibilidad en amplitud, que es una constante que determina el

porcentaje de modulación. Analizando esta expresión, obtenemos la potencia promedio

de la portadora (2

2cA

), y de las bandas laterales ( PkA ac ⋅⋅2

22

), siendo P la potencia

promedio de la señal de información m(t). Sumando estos valores se calcularía la

potencia promedio de la señal: ( )PkA

ac ⋅+⋅ 22

12

El siguiente paso consiste en calcular la potencia de ruido, que en el ancho de banda de la señal moduladora m(t) será wNo,; y en el ancho de banda de la señal modulada s(t) es 2wNo.

BPF equivalente

h(t)

Detector de envolvente Señal AM

ω(t)

Σ +

+

y(t) x(t)

Figura 11. Esquema de análisis de ruido para una detección de envolvente en AM.


9

Con estos valores vamos a poder definir la relación señal a ruido en el canal, y a la entrada del receptor:

• ( ) ( )

o

ac

o

ac

AMc NwPkA

Nw

PkA

SNR⋅⋅

⋅+⋅=

⋅

⋅+⋅=

211

222

22

,

• ( ) ( )

o

ac

o

ac

AMi NwPkA

Nw

PkA

SNR⋅⋅

⋅+⋅=

⋅⋅

⋅+⋅=

41

2

12

222

2

,

En el caso de la relación señal a ruido a la salida, al igual que pasaba con DSB-

SC con detección coherente, debemos deducir la señal de salida del receptor. La señal a la salida del filtro paso banda equivalente:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )tfsentntftntmkAA

tfsentntftntftmkAtntstx

csccacc

cscccac

πππππ

22cos22cos2cos1

⋅−⋅+⋅⋅+==⋅−⋅+⋅⋅+⋅=+=

Si hacemos la representación fasorial de esta señal, donde tomamos como

referencia la componente de la señal:

De esta forma, a la salida del detector de envolvente:

( ) ( ) ( )[ ] ( )tntntmkAAty scacc22 ++⋅⋅+=

Esta expresión es bastante compleja, por lo que vamos a simplificarla para poder extraer conclusiones. En principio, vamos a suponer que la potencia de la señal es mucho mayor que la potencia de ruido (CNR >> 1), por lo que vamos a aproximar:

( ) ( ) ( )tntmkAAty cacc +⋅⋅+≈ El primer término Ac es una componente de continua, generada por el proceso de demodulación de la portadora transmitida. Esta componente continua no tiene relación directa con la señal de interés. El segundo término ( )tmkA ac ⋅⋅ es la parte de señal que llega a la salida, y su potencia promedio será entonces: PkA ac ⋅⋅ 22 . El último término nc(t) es la componente de ruido, y su potencia media es 2wNo, ya que tendremos:

Ac+Ac.ka.m(t) nc(t)

ns(t)RESULTANTE

Figura 12. Representación fasorial de la señal AM con ruido aditivo a la salida del filtro paso banda equivalente.


10

( ) ( ) ( ) ( ) ,,c s

N c N cN N

S f f S f f w f wS f S f

resto− + + − ≤ ≤⎧

= = ⎨ 0⎩

Por tanto, ya podremos calcular el resto de parámetros que nos faltaban:

• o

acAMo Nw

PkASNR

⋅⋅⋅⋅

≈2

22

,

• ( )PkPk

SNRSNR

FOMa

a

AMc

AMoAM ⋅+

⋅== 2

2

,

,

1

• ( )PkPk

SNRSNR

a

a

AMi

AMo

⋅+⋅⋅

= 2

2

,

,

12

En relación a la SNRo,AM deducida, tenemos que destacar que será válida si y

sólo si el ruido en el receptor es pequeño comparado con la señal (CNR>>1), y si ka se ajusta para que el porcentaje de modulación sea menor o igual que 100% (así no habría sobremodulación).

Al comparar con las expresiones que se obtenían para el caso de DSB-SC, ahora se ve que la FOMAM será siempre menor que la unidad.

Ejercicio: Deducir la FOMAM cuando la señal de información es un tono

simple y calcular su valor para el máximo porcentaje de modulación.

Comparar con la FOMDSB-SC. (Solución 2

2

2 μμ+

=AMFOM )

A continuación, vamos a ver qué pasa cuando la relación portadora a ruido (CNR) es pequeña en comparación con la unidad, ya que en ese caso el ruido será predominante. En esta situación se va a dar el denominado efecto umbral, que como veremos cambiará totalmente el análisis y el funcionamiento del receptor. Vamos a cambiar la representación del ruido, ahora emplearemos su envolvente y su fase.

( ) ( ) ( )[ ]ttftrtn c ψπ +⋅= 2cos

A la salida del filtro paso banda equivalente, tendremos la contribución del ruido y de la señal modulada, filtrados:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]ttftrtftmkAtntsty ccac ψππ +⋅+⋅⋅+⋅=+= 2cos2cos1 Si dibujamos el diagrama de fase para la entrada al detector, donde utilizamos como referencia el ruido, obtenemos la siguiente figura. En ella se puede ver cómo el ruido es dominante. Al fasor n(t) le añadimos el fasor con módulo ( )[ ]tmkA ac ⋅+⋅ 1 y ángulo ψ(t).


11

Dado que la amplitud del ruido es mayor que la de la señal modulada, vamos a poder aproximar y(t) por el fasor proyectado en el eje de la referencia.

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]ttmkAtAtrty acc ψψ coscos ⋅⋅⋅+⋅+≈ Analizando la expresión podemos ver cómo cuando la CNR es baja, a la salida del detector no hay ningún término directamente proporcional a m(t). Aparece m(t) multiplicado por cos[ψ(t)], y como el ruido de banda estrecha tiene una fase uniformemente distribuida entre 0 y 2π. Por tanto, hay una pérdida total de información. Esta situación se denomina efecto umbral, entendiéndose por umbral al valor de la CNR, por debajo del cual el funcionamiento del detector frente al ruido se deteriora mucho más rápido que en proporción a la CNR. Para concluir, simplemente tres ideas:

• Cualquier detector no lineal tiene efecto umbral, a diferencia del detector coherente.

• En AM con detector de envolvente con un valor de CNR > 6.6 dB podemos asegurar que se está fuera de la zona umbral.

• Por tanto, el efecto umbral no suele ser muy importante en recepción AM con detector de envolvente, ya que sólo se precisa de ese nivel de CNR > 6.6 dB para asegurar que estamos fuera de la zona umbral.

4.3.- Ruido en modulaciones de frecuencia.

4.3.1.- Modelo funcional de receptores FM.

Los receptores FM se denominan heterodinos. En primer lugar vamos a ver el esquema funcional para un receptor FM.

r(t)

Ac.[1+ka.m(t)]

Ψ(t)RESULTANTE

Figura 13. Diagrama fasorial a la entrada al detector de envolvente.

Figura 14. Modelo funcional para un receptor FM.

Señal FM +

Ruido

LPF

Sección de radiofrecuencia

(RF)

Mezclador

Sección de frecuencia

intermedia (IF)

Limitador

Oscilador local

Señal a la salida

Discriminador


12

La señal captada por las antenas se amplificaría y filtraría en la sección de radiofrecuencia (RF). A continuación, con el mezclador controlado por el oscilador local, se traslada la señal a frecuencia intermedia (IF), siendo su salida amplificada y filtrada a fIF en la sección de frecuencia intermedia. El limitador elimina la variación de envolvente, recortando la entrada al mismo, y filtrando la señal cuadrada resultante mediante un filtro paso banda, que la suaviza eliminando los armónicos de la frecuencia portadora. El siguiente bloque sería un discriminador que, como se vio en el tema anterior, consta de un circuito pendiente (genera una modulación híbrida de amplitud y frecuencia), seguido de un detector de envolvente (extrae la modulación de amplitud de la señal modulada híbrida, donde está contenida la señal moduladora). Por último, se aplica un filtro paso bajo o filtro de post-detección, que elimina el ruido fuera del ancho de banda de la señal de información original m(t). Para realizar el análisis de ruido vamos a simplificar el esquema anterior, dando lugar al siguiente diagrama de bloques: A la señal modulada FM, trasladada en frecuencia a fc y con ancho de banda BT, se le añade el ruido ω(t), que será AWGN, de media nula y densidad espectral de

potencia: ( )2

oNfS =ω . A continuación, la señal suma se filtra con el filtro paso banda

equivalente, que representa una cascada de secciones de RF e IF, las cuales permiten pasar la señal FM sin distorsión. Su respuesta ideal se ilustra a continuación. Tras el filtrado tenemos ruido de banda estrecha, ya que fc >> BT, y entonces la señal a la salida del filtro paso banda equivalente queda:

( ) ( ) ( )tntstx += El siguiente paso consiste en aplicar a esta señal el limitador y el discriminador, para su resultado pasarlo por el filtro de post-detección. Este último, consideraremos que es un filtro paso bajo ideal, con ancho de banda w. Su respuesta normalizada en frecuencia se muestra en la siguiente figura:

BPF equivalente

hIF(t)

LPF s(t)

ω(t)

Σ+

+

y(t) x(t)

Limitador

Discriminador v(t)

Figura 15. Modelo de receptor FM para análisis de ruido, con ruido aditivo.

|HIF(f)|1

BT

f fc-fc

Figura 16. Respuesta en frecuencia del filtro paso banda equivalente.


13

4.3.2.- SNR y FOM en receptores FM. En primer lugar vamos a realizar un análisis de ruido en estos receptores suponiendo que la potencia de señal es mucho mayor que la potencia de ruido (CNR >> 1). Así, a la salida del filtro IF tenemos ruido de banda estrecha, por lo que lo podremos representar de la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ttftrtfsentntftntn ccscc ψπππ +⋅=⋅−⋅= 2cos22cos

* ( ) ( ) ( )tntntr sc22 += → Distribución Rayleigh

* ( ) ( )( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡= −

tntn

tagtc

s1ψ → Distribución uniforme entre 0 y 2π

La señal FM:

( ) ( ) ( )[ ]ttfAdftmktfAts cc

t

fcc φπππ +⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+⋅= ∫ 2cos22cos

0

Sumando los dos términos (señal y ruido), a la salida del filtro IF equivalente

obtendríamos:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]ttftrttfAtntstx ccc ψπφπ +⋅++⋅=+= 2cos2cos La representación fasorial de esta expresión, donde se toma como referencia la componente de señal s(t):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅+

−⋅+= −

tttrAttsentrtagtt

c φψφψφθ

cos1

Figura 17. Respuesta normalizada en frecuencia del filtro de post-detección.

r(t)

ψ(t) – φ(t)

RESULTANTE

θ(t)φ(t)

Figura 18. Diagrama fasorial a la salida del filtro IF equivalente.

1

f-w w

|HPD(f)|


14

A diferencia que en las modulaciones en amplitud, ya no interesa la envolvente de x(t), pues sus variaciones son eliminadas por el limitador. Lo que interesa conocer es la fase θ(t), donde va la señal de información. Vamos a asumir que el discriminador es ideal, de esta manera a su salida se obtendrá:

( ) ( )dt

tdtv θπ⋅=

21

La expresión de θ(t) es compleja por lo que la simplificaremos para poder extraer conclusiones. Supondremos que la CNR >> 1, a la entrada del discriminador; y denominamos por R a la variable aleatoria obtenida observando el proceso envolvente, cuya función muestra es r(t). La mayor parte del tiempo R << Ac, por lo que podremos aproximar la fase como:

( )[ ] ( ) ( ) 0,1 →≈− tsitttag θθθ ⇓

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ttsenAtrttc

φψφθ −⋅+≈

A la salida del discriminador:

( ) ( ) ( ) ( )tntmkdt

tdtv df +⋅≈⋅=θ

π21

Siendo ( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }ttsentrdtd

Atn

cd φψ

π−⋅⋅=

21

Si CNR >> 1, la salida será la señal moduladora multiplicada por kf, y una componente aditiva de ruido nd(t). Vamos a simplificar la componente ruidosa nd(t). Para ello, partimos de que ψ(t) sigue una distribución uniforme entre 0 y 2π.

• Asumiremos entonces que ψ(t)-φ(t) seguirá también una distribución uniforme entre 0 y 2π.

• Además el ruido nd(t) va a ser independiente de la señal moduladora, y dependiente de las características de la portadora y del ruido de banda estrecha.

( ) ( ) ( )[ ]{ }tsentrdtd

Atn

cd ψ

π⋅⋅≈

21

Como: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bsenasenbaba ⋅−⋅=+ coscoscos , entonces el ruido queda:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )tfsentsentrtfttrttftrtn ccc πψπψψπ 22coscos2cos ⋅⋅−⋅⋅=+⋅=

* ( ) ( ) ( )[ ]ttrtnc ψcos⋅= ⇒ Componente en fase del ruido * ( ) ( ) ( )[ ]tsentrtns ψ⋅= ⇒ Componente en cuadratura del ruido


15

Identificando términos: ( ) ( )dt

tdnA

tn s

cd ⋅≈

π21 , nd(t) depende de la amplitud de la

portadora (Ac), y de la componente en cuadratura del ruido de banda estrecha. Respecto la componente de señal ( )tmk f ⋅ , la potencia promedio de señal a la salida tras el discriminador será Pk f ⋅ . El filtro paso bajo que hay a continuación no le afectará. En cuanto a la potencia promedio de ruido a la salida, la componente de ruido a

la salida del discriminador era ( ) ( )dt

tdnA

tn s

cd ⋅≈

π21 , lo cual es equivalente al siguiente

esquema:

Siendo la transformada de Fourier de la respuesta del filtro:

( )cc A

fjfjA

fH ⋅=⋅= ππ

22

1

Y por tanto, la densidad espectral de potencia:

( ) ( )fSAffS Ns

cNd ⋅= 2

2

Si a la entrada del receptor tenemos ruido AWGN, de media cero, y densidad

espectral de potencia ( )2

oNfS =ω , y si el filtro IF equivalente tiene características

ideales, a su salida la densidad espectral de ruido será: Y su componente en cuadratura quedará:

No/2

f fc+BT/2 fc-BT/2 -fc+BT/2 -fc-BT/2

SN(f)

h(t) ns(t) nd(t)

Figura 19. Representación equivalente de la componente de ruido nd(t).

Figura 20. Densidad espectral de ruido a la salida del filtro IF equivalente.

BT


16

Propagando esta componente a la salida del discriminador, obtenemos la densidad espectral de nd(t).

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<⋅

=resto

BfA

fNtS

T

c

o

Nd

,02

,2

2

El siguiente bloque después del discriminador será el filtro paso bajo, con ancho de banda w, que lo que hace es recortar el ancho de banda de la densidad espectral de ruido SNd(f), ya que en los sistemas FM: w << BT/2. Así la densidad espectral de ruido a la salida no(t), quedará:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<⋅

=resto

wfA

fNtS

c

o

No

,0

,2

2

Figura 23. Densidad espectral de ruido a la salida.

f BT/2-BT/2

SNs(f)

No

f w

SNo(f)

-w

Figura 21. Densidad espectral de la componente en cuadratura de ruido, a la salida del filtro IF equivalente.

f BT/2-BT/2

SNd(f)

Figura 22. Densidad espectral de ruido a la salida del discriminador.


17

Por tanto, la potencia promedio de ruido a la salida será el área bajo SNo(f):

∫− ⋅⋅⋅

=⋅⋅=w

wc

o

c

oNo A

Nwdff

AN

P 2

32

2 32

De esta expresión, podemos decir que si aumentamos la potencia de la portadora

2

2cA

, el ruido a la salida disminuye.

Una vez que ya tenemos las potencias de señal y de ruido en las diferentes partes

del sistema, podemos deducir las expresiones de las relaciones señal a ruido.

• o

fc

c

o

fFMo Nw

PkA

ANw

PkSNR

⋅⋅

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅

⋅= 3

22

2

3

2

, 23

32

• o

c

o

c

FMc NwA

Nw

A

SNR⋅⋅

=⋅

=2

22

2

,

• oT

c

oT

c

FMi NBA

NB

A

SNR⋅⋅

=⋅

=2

22

2

,

• 3

2

23

22

,

, 322

3w

PBkA

NBNw

PkASNRSNR Tf

c

oT

o

fc

FMi

FMo ⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅

⋅⋅

⋅⋅⋅=

• 2

2

,

, 3w

PkSNRSNR

FOM f

FMc

FMo ⋅⋅==

En el tema 2 vimos que: Δf=kf.Amáx ⇒ Δf es proporcional a kf

• wfD Δ

= ⇒ FOM es proporcional a D2

• En FM de banda ancha: BT es proporcional a D

Como conclusión podemos decir que cuando la CNR >> 1, un incremento en el ancho de banda de transmisión (BT), da lugar a un incremento cuadrático en la SNRo o en el valor de FOM. Por tanto, en FM existe un mecanismo para intercambiar ancho de banda por una mejora frente al ruido.

Ejercicio: Deducir la FOMFM cuando la señal de información es un tono

simple. (Solución: 2

3 2β⋅=FMFOM )


18

4.3.3.-Efecto umbral en FM. La fórmula de la SNRo,FM es válida si la CNR >> 1 a la entrada del discriminador. Experimentalmente, conforme aumenta el ruido, la CNR disminuye, y el receptor FM deja de funcionar. Primero aparecen impulsos ruidosos y si la CNR decrece más, aparece un mayor número de impulsos ruidosos hasta tener finalmente una señal ruidosa. De esta manera, se define el efecto umbral como el mínimo valor de la CNR, que da lugar a una SNRo no muy diferente del valor predicho mediante la SNRo,FM, suponiendo bajo ruido.

Vamos a realizar un análisis cualitativo de este efecto, para lo cual supondremos que no existe modulación. Es decir, sólo tenemos portadora y ruido. Así, a la entrada del discriminador tendremos:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )tfsentntftnAtntfAtx csccccc πππ 22cos)(2cos ⋅−⋅+=+= La representación fasorial de esta fórmula se ilustra a continuación.

nc(t) y ns(t) son señales aleatorias, por lo que el punto P varía también de manera aleatoria alrededor del punto Q. Si la CNR tiene un valor elevado, es decir, nc(t) y ns(t) son la mayor parte del tiempo mucho menores que Ac, entonces:

• La mayor parte del tiempo la variación de P será muy cercana a Q.

• Además: ( ) ( )c

s

Atn

t ≈θ , dentro de un múltiplo de 2π radianes.

En caso de que la CNR sea pequeña, el punto P pasará ocasionalmente alrededor

del punto O. Así, θ(t) aumenta o decrece 2π radianes.

Ac nc(t)

ns(t)RESULTANTE r(t)

P

QO

θ(t)

Figura 24. Representación fasorial del efecto umbral en FM.


19

Figura 25. Componentes impulsivas en θ’(t)=d θ(t)/dt, producidas por cambios de 2π en θ(t); (a) y

(b) son los gráficos de θ(t) y θ’(t), respectivamente.

Cuando el número de impulsos ruidosos es apreciable, estamos en el umbral. Experimentalmente se demuestra que apenas hay impulsos ruidosos para una CNR ≥ 13 dB (o 20 en unidades naturales), es decir, que estaríamos fuera de la zona umbral. Por lo tanto, a la salida del discriminador no perdemos señal si:

202

2

≥⋅⋅

=oT

c

NBA

CNR ⇒ oTc NB

A⋅⋅≥ 20

2

2

Esto se puede ver en la siguiente figura.


20

Figura 26. Dependencia de la SNRo frente a la CNR. En la curva I, se calcula la potencia promedio

de ruido asumiendo una portadora sin modular. En la curva II, la potencia media de ruido a la salida se calcula asumiendo una señal FM modulada por un tono simple.


21

4.3.4.- Redes de pre-énfasis y de-énfasis. El ruido a la salida del detector FM tiene una dependencia cuadrática con la frecuencia, tal y como se ha deducido. En cuanto a la densidad espectral de potencia típica de una señal de audio o vídeo. Se puede ver como la densidad espectral de potencia cae apreciablemente a altas frecuencias. Por otra parte, la densidad espectral de potencia del ruido de salida SNo(f) crece rápidamente con la frecuencia. Cerca de ±w la potencia de ruido es elevada y la de señal es baja. Por tanto, no se está utilizando la banda de señal de forma eficiente frente al ruido. Una idea es reducir el ancho de banda del filtro de post-detección. Así se elimina la mayor cantidad posible de ruido, perdiendo a cambio una potencia pequeña de señal. Sin embargo, es una solución no satisfactoria porque la distorsión de la señal debido a la reducción del ancho de banda, aunque sea pequeña, no es tolerable. Otra solución más satisfactoria es utilizar una red de pre-énfasis en el transmisor, y otra de de-énfasis en el receptor.

• Red de pre-énfasis. a. Enfatiza artificialmente las componentes a frecuencias elevadas de la

señal, antes de la modulación y antes de que se introduzca ruido en el receptor.

b. El efecto que consigue es ecualizar la señal de información, de forma que la potencia se reparta por igual en toda la banda permitida.

• Red de de-énfasis. a. Se vuelve a repartir la potencia como estaba originalmente en la señal

original.

fw

SNo(f)

-w

Figura 27. Ruido a la salida del detector FM.

w

SM(f)

-wf

Figura 28. Densidad espectral de potencia típica de una señal de audio o vídeo.


22

b. La potencia de ruido a altas frecuencias, a la salida del discriminador, se reduce considerablemente. Así se incrementa la SNRo.

Las redes de pre-énfasis y de de-énfasis se utilizan de forma generalizada en

transmisores y receptores de FM. En el siguiente diagrama de bloques se puede ver su disposición. La señal de salida no tendrá distorsión, si los filtros de pre-énfasis y de de-énfasis son inversos:

( ) ( ) wfwfH

fHpe

de ≤≤−= ,1

Así, la densidad espectral de potencia de la señal detectada es

independientemente de estos procesos.

Deducción del factor de mejora con las redes de pre-énfasis y de-énfasis:

El factor de mejora en la SNRo viene dado por la siguiente expresión:

énfasisdeyénfasispreconsalidaderuidodemediaPotenciaénfasisdeyénfasispresalidaderuidodemediaPotencia

SNRSNR

IénfasisideyénfasispreO

énfasisideyénfasispreconO

−−−−

==−−

−− sin

sin

La densidad espectral de potencia de ruido sin pre-énfasis y de-énfasis ya se ha

deducido anteriormente, cuyo valor era 2

3

32

c

o

AwN

⋅⋅⋅

.

Por otro lado, también hemos deducido la densidad espectral de potencia de

ruido antes del filtro de post-detección para una CNR >> 1:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

≤⋅

=resto

BfA

fNfS

T

c

o

Nd

,02

,2

2

Por tanto, la densidad espectral de potencia de ruido a la salida del filtro de de-

énfasis será: ( ) ( )fSfH Ndde ⋅2

Como el filtro de post-detección tiene un ancho de banda w << BT/2, la potencia promedio de ruido a la salida con una red de de-énfasis será:

Filtro de pre-énfasis

Hpe(f)

Filtro de de-énfasis

Hde(f) m(t)

ω(t)

Σ+

+

Señal +

Ruido

Transmisor FM

Receptor FM

Figura 29. Esquema de comunicación usando redes de pre-énfasis y de de-énfasis.


23

( )∫− ⋅⋅⋅w

w dec

o dffHfAN 22

2

De esta forma, la mejora en la SNRo quedaría:

( )∫− ⋅⋅⋅

⋅= w

w de dffHf

wI22

3

3

2

A modo de ejemplo, para la FM comercial: fo=2.1 KHz., w=15 KHz, y las redes típicas de pre-énfasis y de-énfasis, el factor de mejora en la SNRo es de I=22 (13 dB).

4.4.- Resumen. En este apartado vamos a comparar diferentes esquemas estudiados, para lo cual vamos a suponer:

• La señal moduladora es sinusoidal. • Todos los sistemas aportan el mismo valor de SNRc. • Hay que tener en cuenta el ancho de banda de cada sistema, por lo que

definiremos un ancho de banda normalizado:

wBB T

n =

Siendo BT el ancho de banda de s(t), y w el ancho de banda de m(t).

En la siguiente figura se muestra una comparación para diferentes esquemas de modulación:

I. AM con detección de envolvente.

co SNRSNR ⋅+

= 2

2

2 μμ , siendo μ el porcentaje de modulación.

- En la curva I: μ=1, y hay efecto umbral AM - Como se transmiten dos bandas: Bn=2.

II. DSB-SC y SSB con detección coherente.

co SNRSNR = - En la curva II se puede ver como estos esquemas son superiores a AM en 4.8 dB, y no existe el efecto umbral. - Ahora los anchos de banda serían: Bn,DSB-SC=2, y: Bn,SSB=1.

III. FM con discriminador.

co SNRSNR ⋅⋅= 2

23 β , siendo β el índice de modulación.


24

• En la curva III: β=2 con efecto umbral. Se produce una mejora de 20.8 dB al comparar con SSB. Siendo el ancho de banda normalizado, según la regla del 1%: Bn=8.

• En la curva IV: β=5, con efecto umbral. Se produce una mejora de 8 dB, respecto a FM con: β=2. En cuanto al ancho de banda normalizado, según la regla del 1%, será: Bn=16.

• En ambas curvas se incluye una mejora de 13 dB, con las redes de pre-énfasis y de de-énfasis. Así se produce una mejora clara de FM de banda ancha, respecto a AM. El precio a pagar sería un aumento del ancho de banda de transmisión (mecanismo en FM de intercambiar ancho de banda frente a SNR).

Figura 30. Comparación de la mejora de la SNR de varios sistemas de modulación analógicos.

Curva I: AM, con μ=1. Curva II: DSB-SC y SSB. Curva III: FM, con β=2. Curva IV: FM, con β=5. (Las curvas III y IV incluyen una mejora de 13 dB por las redes de pre-énfasis y de-énfasis).


25

4.5.- Bibliografía. [1] Simon Haykin, Communications Systems, Ed. John Wiley & Sons, 4rd

edition, 2001. [2] Marcos Faúndez Zanuy, Sistemas de Comunicaciones,. Ed. Marcombo

Boixareu, 2001. [3] John G. Proakis, Digital Communications, Ed. McGraw Hill, 3ª edición,

1995.


CUESTIONES TEMA 4

RUIDO EN MODULACIONES ANALÓGICAS

1.- ¿Cómo se define (SNR)o, (SNR)c, CNR, (SNR)i y FOM?

2.- Modelo funcional de un receptor de modulación de amplitud para el análisis del ruido.

3.- Si el ruido es AWGN con media cero y densidad espectral de potencia N0/2 a la entrada del receptor, ¿cómo es el ruido a la salida del filtro paso banda equivalente?

4.- Deducir el valor de FOM y (SNR)o/(SNR)i para DSBSC con detección coherente

5.- Deducir el valor de FOM para AM con detector de envolvente cuando el valor de CNR es elevado. ¿Cuál es el valor máximo en el caso de que la señal moduladora sea sinusoidal?

6.- ¿Qué se entiende por el efecto umbral en AM?. Aproximadamente, ¿para qué valor de CNR el receptor está por encima del umbral?. ¿Es necesario tener en cuenta el efecto umbral en AM?

7.- Modelo de un receptor de FM con discriminador. ¿Por qué se introduce el limitador?. ¿Cuál es la función del filtro de postdetección?

8.- Modelo de un receptor de FM para el análisis del ruido.

9.- Si el valor de CNR es elevado, deducir la expresión del término de ruido presente en la señal a la salida del discriminador. ¿Depende de la componente en fase del ruido a la salida del filtro de frecuencia intermedia?. ¿Cuál es la densidad espectral de potencia de este ruido y cuál es la del ruido a la salida del filtro de postdetección?

10.- Deducir el valor de FOM para el caso FM. En el caso de que la señal moduladora sea sinusoidal, ¿cuál es entonces el valor de FOM?

11.- ¿Qué se entiende por efecto umbral en FM?.

12.- Comparar la curva real de (SNR)o en función del valor de CNR, ρ, con la expresión calculada para CNR elevado. ¿Cuál es el valor de ρ para el que el sistema está trabajando fuera del alcance del efecto umbral?.

13.- ¿Por qué surge la necesidad de redes de pre-énfasis y de-énfasis?

14.- ¿Cuál es el diagrama de un sistema FM que utiliza redes de pre-énfasis y de-énfasis?. ¿Cuál es la relación entre las funciones de transferencia de ambas redes?

15.- ¿Cómo se define el factor de mejora debido a las redes de pre-énfasis y de-énfasis I?. Deducir su expresión en función del ancho de banda de la señal moduladora W y de Hde(f) función de transferencia del filtro de de-énfasis. ¿Cuál es un valor típico para el factor de mejora I?

16.- Dibujar y comparar las curvas de (SNR)o en función (SNR)c para AM, DSBSC y FM. Para estos tipos de modulación, ¿cuál es el valor de Bn (ancho de banda de señal modulada normalizado al ancho de banda de señal moduladora)?


PROBLEMAS TEMA 4

RUIDO EN MODULACIONES ANALÓGICAS 1.- Realizar el análisis de ruido para la modulación SSB, donde se transmite la banda lateral inferior, y en el receptor se utiliza una detección coherente. Suponer un ruido aditivo, blanco, gaussiano con media cero y densidad espectal de potencia N0/2, y que la señal moduladora m(t) es una función muestra de un proceso estacionario de media cero y su densidad espectral de potencia tiene un ancho de banda W. Deducir la SNRc, SNRi, SNRo, y FOM. 2.- En un receptor que utiliza detección coherente, la señal sinusoidal generada por el oscilador local tiene un error de fase θ(t) con respecto a la portadora cos(2πfct). Supóngase que θ(t) es una función muestra de un proceso gaussiano de media cero y varianza σ 2

Θ , y que la mayor parte del tiempo el valor máximo de θ(t) es pequeño comparado con la unidad. Encontrar el error cuadrático medio de la salida del receptor para: a) modulación DSBSC b) modulación SSB donde se transmite la banda lateral superior El error cuadrático medio está definido como el valor esperado del cuadrado de la diferencia entre la salida del receptor y la componente moduladora de la salida del receptor. 3.- El siguiente diagrama de bloques muestra un sistema de modulación SSB con una señal piloto que está armónicamente relacionada con la portadora:

+

Divisor de frecuencia

Detector coherente

Fltro de predetección

Filtro paso banda piloto

Portadora fuente


Modulador SSB

CanalSeñal de entrada

Señal de salida

Ruido blanco gaussiano

Señal piloto

Portadora local

+ + + ∑ ∑

En el receptor se utiliza un filtro paso banda de ancho Δf para extraer la señal piloto de la señal recibida ruidosa. A continuación se divide en frecuencia dicha señal piloto para obtener la portadora local para demodulación. Se incluye un filtro de predetección para limitar el espectro a la entrada del detector coherente a la mínima banda posible de frecuencias. El ruido blanco aditivo a la entrada del receptor tiene media cero y densidad espectral de potencia N0/2. Suponiendo que la SNR es grande, determinar la varianza del error de fase de la portadora local aplicada al detector coherente. 4.- Una señal modulada SSB se transmite por un canal ruidoso, cuya densidad espectral de potencia es:

SN(f)(W/Hz)

10-6

-400 4000 f (KHz)

El ancho de banda de la señal moduladora es 4 KHz y la frecuencia portadora es 200 KHz. Suponiendo que únicamente se transmite la banda lateral superior, que la amplitud de la portadora es 1 vol., y que la potencia media de la señal moduladora es de 10 W, determinar la SNR a la salida del receptor suponiendo que el filtro de predetección es ideal. 5.- Considerar un sistema modulador de fase (PM), que tiene la siguiente señal modulada:

s(t) = Ac cos [2πfct + kpm(t)]

donde kp es una constante y m(t) es la señal moduladora. El sistema tiene ruido aditivo a la entrada del detector de fase:

n(t) = nc(t)cos(2πfct) - ns(t)sin(2πfct)

Suponiendo que el valor de CNR es elevado comparado con la unidad a la entrada del detector, determinar: a) el valor de SNR a la salida b) el valor de FOM del sistema Comparar los resultados con los obtenidos para el caso FM con modulación sinusoidal.

6.- La señal de entrada de un receptor FM consiste en una portadora sin modular acompañada de una señal sinusoidal interferente. El nivel de la señal interferente está 20 dB por debajo del nivel de la señal portadora, siendo la separación entre ambas señales de 15 KHz. Suponiendo que el receptor utilice un discriminador ideal de frecuencias con sensibilidad de 0.2 V/KHz, determinar la tensión de salida del receptor. 7.- Suponer que el espectro de la señal moduladora ocupa el intervalo de frecuencias

21 fff ≤≤ . Para acomodar esta señal, el receptor de un sistema FM (sin pre-énfasis y de-énfasis) utiliza un filtro paso banda ideal de postdetección conectado a la salida del discriminador de frecuencia; el filtro deja pasar la banda de señales comprendidas en el intervalo de la señal moduladora, es decir, 21 fff ≤≤ . Determinar el valor de SNR a la salida y FOM del sistema en presencia de ruido aditivo, blanco, gaussiano, de media cero y densidad espectral de potencia N0/2. Suponer que el valor de CNR es elevado comparado con la unidad. 8.- Un sistema FDM utiliza modulación SSB para combinar 12 señales de voz de fuentes independientes. Luego utiliza modulación en frecuencia para transmitir la señal banda base compuesta. Cada señal de voz tiene una potencia media P y ocupa la banda de frecuencias de 300 a 3400 Hz; el sistema FDM considera que el ancho de banda es de 4 KHz. Para cada señal de voz, sólo se transmite la banda lateral inferior. Las subportadoras utilizadas para el primer nivel de modulación son (f0=4 KHz.):

ck(t) = Ak cos(2πkf0t) para 1 ≤ k ≤ 12

La señal recibida está formada por la señal FM transmitida sumada a ruido blanco gaussiano de media cero y de densidad espectral de potencia N0/2. a) Dibujar la densidad espectral de potencia de la señal a la salida del discriminador de frecuencias, mostrando por un lado la componente de señal y por otro la componente de ruido. Suponer CNR elevado comparado con la unidad. b) Encontrar el valor de las amplitudes de las subportadoras Ak de modo que las señales de voz demoduladas tengan igual valor de SNR. 9.- Sea el filtro de pre-énfasis mostrado en la siguiente figura:

R

r

C

Amplificador

Señal desalida

Señal deentrada

donde R << r y 2πfCR << 1 en la banda de interés. El parámetro de este filtro es f0=1/(2πCr), siendo su función de transferencia:

0pe f

jf+1 = f)(H

Si dicho filtro se utiliza con señales moduladoras de voz, el transmisor FM da lugar a una señal que es esencialmente modulada en frecuencia por las bajas frecuencias de la señal de voz y modulada en fase por las altas frecuencias de la señal de voz. Explicar las razones de este fenómeno. 10.- Suponer que las funciones de transferencia para el par de filtros de pre-énfasis y de-énfasis de un sistema FM se escalan como sigue:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0pe f

jf+1k = f)(H

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

0

de

fjf+1

1k1 = f)(H

El factor de escala k se elige de modo que la potencia media de la señal moduladora enfatizada sea la misma que la potencia media de m(t). a) Encontrar el valor de k que satisface este requisito cuando la densidad espectral de potencia de la señal moduladora m(t) sea:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧ ≤≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

restoel para 0

W f W- para

ff+1

S

= f)(S2

0

0

M

b) ¿Cuál es el valor I correspondiente a la mejora de prestaciones en la SNR gracias a la utilización de este par de filtros de pre-énfasis y de-énfasis? Comparar este resultado con el obtenido sin factor de escala. 11.- Un sistema de modulación de fase (PM) utiliza un par de filtros de pre-énfasis y de-énfasis definidos por las funciones de transferencia:

0pe f

jf+1 = f)(H

0

de

fjf+1

1 = f)(H

Mostrar que la mejora de prestaciones en la SNR0 debido a la utilización de estos filtros es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0

1-

0

fWtan

fW

=I

Evaluar esta mejora cuando W = 15 KHz y f0 = 2.1 KHz y compáralo con el valor correspondiente para el caso FM. Suponer que el valor de CNR es elevado comparado con la unidad.

1



RUIDO EN MODULACIONES ANALÓGICAS 1.

a) 0

2

,,, 4 NPASNRSNRSNR c

SSBoSSBiSSBc ⋅⋅⋅

===ω

1=SSBFOM 2. Para. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tfsentmAtftmAts cccc ππ 22cos 21 ⋅⋅−⋅⋅=

( ) ( )[ ] ( )[ ][ ]{ } ( )[ ] ( )[ ][ ]44

cos14

222

2

222

1

2Ncc tsenEtmEAtEtmEAt σ

θθε +⋅⋅+−⋅⋅=

a) En el caso de la modulación DSB-SC.

( ) ( )tmtm =1 ; ( ) 02 =tm ; ( )[ ]tmEP 21=

4163 242

Nc PA σσε +

⋅⋅⋅≈ Θ

b) Para la modulación SSB.

( ) ( )tmtm ⋅=21

1 ; ( ) ( )tmtm ˆ21

2 = ; ( )[ ] ( )[ ]tmEtmEP 22

21 44 ⋅=⋅=

416

222Nc PA σσ

ε +⋅⋅

≈ Θ

3. 2'202

cAnNf⋅⋅∆

=φσ

4. 21031.6 ⋅≈oSNR ⇒ ( ) dBdBSNRo 28≈

5.

a) 0

22

, 2 NPAk

SNR cpPMo ⋅⋅

⋅⋅=

ω

b) PkFOM pPM ⋅= 2 En el caso de una modulación sinusoidal:

• FM: 2

23 β⋅=FMFOM

• PM: 2

2p

PMFOMβ

=

6. ( ) ( )ttv ⋅⋅⋅⋅⋅= 30 10152cos3.0 π (Volt.)

2

7. ( )31

320

22

23

ffNPkA

SNR fco −⋅⋅

⋅⋅⋅=

( )

31

32

1223

ffffPk

FOM f

−

−⋅⋅⋅=

8. a) Densidad espectral de potencia de la señal banda base.

Densidad espectral de potencia de la componente de señal a la salida del discriminador, para frecuencias positivas (f > 0).

Densidad espectral de potencia de la componente de ruido a la salida del discriminador, para frecuencias positivas (f > 0).

b) 133 2 +⋅−⋅⋅= kkAAk , 12,2,1 K=k , A: constante

9. A bajas frecuencias: ( ) FMrRfH ⇒≈

A altas frecuencias: ( ) ( ) ( )PM

dttdv

CRtvCRfjfH io ⇒⋅⋅≈⇒⋅⋅⋅⋅⋅≈ π2

10.

a)

⋅= −

0

10

ftag

fk ω

ω

b) Con factor de escala:

−⋅

⋅

=−

−

0

1

0

0

12

0

3'

ftag

f

ftag

fI

ωω

ωω

3

Sin factor de escala:

−⋅

=−

0

1

0

3

0

3f

tagf

fI

ωω

ω

11. Es una demostración.

=

−

0

1

0

ftag

fI PM ω

ω

⇒ dBI PM 7≈

−⋅

=−

0

1

0

3

0

3f

tagf

fI FM

ωω

ω

⇒ dBI FM 13≈




Tema 5: Modulación Analógica y Digital de Pulsos

1

TEMA V. Modulación analógica y digital de pulsos


5.1.-Teorema de muestreo5.2.-Modulación de pulsos en amplitud (PAM)5.3.-Modulación de pulsos en el tiempo (PDM y PPM)5.4.-Modulación digital de pulsos (PCM)5.5.-Códigos de línea

IntroducciónHasta ahora hemos visto como una señal analógica varía de forma continua un parámetro de una portadora sinusoidal

Tema V: Modulación Analógica y Digital de Pulsos

(amplitud, fase y frecuencia)En este tema vamos a considerar un tren de pulsos que se ve modificado por las características de la señal moduladora (señal de información)Hay 2 tipos:

Modulación analógica de pulsos. Se modifica algún parámetro del tren de pulsos (amplitud, posición, duración)M d l ió di it l d l L ñ l t iti di tiModulación digital de pulsos. La señal a transmitir se discretiza en tiempo y amplitud

Se envía una secuencia de pulsos codificadosLos dos tipos de modulaciones utilizan muestras de la señal a transmitir

Teorema de muestreo

2

5.1.- Teorema de muestreo

El proceso de muestreo consiste en obtener t di t d ñ l ti ti


muestras discretas de una señal continua en tiempoPartimos de la señal de energía finita: g(t)Suponemos que muestreamos g(t) a una tasa uniforme cada TS segundosObtenemos una secuencia de números espaciados TSsegundos: { } enteroValornnTg S :][g { }

muestreodeFrecuenciaT

f

muestreodePeriodoTenteroValornnTg

SS

S

S

:1:

:][

=

E l d



Este proceso lo podemos ver como:

( )tg

t( )tgδ

t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑+∞

−∞=

−⋅=⋅=n

SST nTtnTgttgtgS

δδδ

( ) ( )∑+∞

−∞=

−=n

ST nTttS

δδ

×( )tg

Es de notar la dualidad:Señal periódica

en tiempo

Muestras en tiempo (tren de deltas en tiempo)

Tren de deltas en frecuencia (muestras de la TF de un

período de la señal)

Señal periódica en frecuencia⇔

⇔

3


Una cuestión importante consiste en ver si a partir


Una cuestión importante consiste en ver si a partir de las muestras [gδ(t)] vamos a poder recuperar la señal original [g(t)]

Dependerá de la banda de frecuencia de la señal y de la tasa de muestreoVamos a analizar la señal en el dominio de la frecuenciaPartimos de la señal muestreada: gδ(t)=g(t) ⋅δTS(t), y hallamos su transformada de Fourier

Hallamos la T.F. del tren de deltas



La T.F. de la señal muestreada

( ) ( ) ( ) ∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇔−=

n SST

nST T

nfT

fnTttSS

δδδδ 1

( ) ( )+∞

⎟⎞

⎜⎛ n1

(Señal periódica)

( ) ( ) ∑−∞=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∗=

n SS Tnf

TfGfG δδ

1

( ) ( )∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

nSS

n SS

nffGfTnfG

TfG 1

δ

(Repetición periódica del espectro de la señal original)

4



A

|G(f) |

fw-w 0

A⋅fS

|Gδ(f) |

......

El proceso de muestreo uniforme de una señal en el dominio del tiempo da lugar a un espectro periódico en el dominio de la frecuencia, con periodo igual a la frecuencia de muestreo

fw-w 0-fS fS

También puede obtenerse la T.F. de gδ(t) de forma directa, a partir d t



de sus muestras

Agrupando las ideas anteriores se puede concluir que sia) G(f) = 0, para | f | ≥ wb) fS ≥ 2w (fS = 2w: frecuencia de Nyquist)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑+∞

−∞=

−+∞

−∞=

=⇔−⋅=n

fnTjS

nSS

SenTgfGnTtnTgtg πδδ δ 2

) fS (fS yq )Entonces: G(f) = (1/fS) ⋅ Gδ(f), para | f | ≤ w

Donde Gδ(f) es función exclusiva de g(nTS), es decir, de muestras de la señal original

5


Teorema de muestreo


Una señal limitada en banda, de energía finita, que no tiene componentes en frecuencia mayores de w (Hz), está completamente descrita especificando los valores de la señal en instantes de tiempo separados 1/(2w) seg.Una señal limitada en banda, de energía finita, sin componentes en frecuencia mayores de w (Hz), puede co po e tes e ecue c a ayo es de w ( ), puedeser recuperada totalmente a partir de muestras tomadas a una tasa de 2w muestras por segundos

Reconstrucción de la señal



( ) ( ) ( )∫∫+

−

∞+

∞−===

w

w

ftj

S

ftj dfefGf

dfefGtg 1 22 πδ

π

( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

= ∑+∞

−∞=

−

wf

enTgfG

S

n

fnTjS

S

2

2πδ

( ) ( )∑∑

∑ ∫∫ ∑∞+

−∞=

∞+

−∞=

∞+

−∞=

+

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

−

−∞+

−∞=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

nn

n

w

w

wntfjw

w

ftjwnfj

n

nwtwng

nwtnwtsen

wng

dfeww

ngdfeewng

w

2sinc22

22

21

2221 2

22

ππππ

ππ

π

6

Ecuación de interpolación



Ecuación de interpolaciónSirve para reconstruir la señal original a partir de las

muestras de {g(n/2w)}, usando como funciones de interpolación sinc(2wt)

( ) ( )∑+∞

−∞=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

n

nwtcwngtg 2sin

2 ⎠⎝n

Si f 2 d l i ( l ) l



Si fS < 2w, se produce solapamiento (aliasing) espectralLas réplicas desplazadas en frecuencia se solapan

f

|Gδ(f) |

0

......

Para combatir el efecto del solapamientoAntes de muestrear se utiliza un filtro paso bajo anti-aliasingMuestrear la señal filtrada por encima de la frecuencia de Nyquist

fw-w 0-fS fS-2fS 2fS

7

5.2.- Modulación de pulsos en amplitud

En la modulación de pulsos en amplitud (PAM) se varía la


En la modulación de pulsos en amplitud (PAM) se varía la amplitud de unos pulsos esquiespaciados, en función de los valores muestreados de la señal continua de información, m(t) ( )tm

t

( )ts

t

Para generar las señales PAM intervienen dos procesosMuestrear la señal m(t) cada TS (TS = 1/fS) segundos, de manera que fS verifique el teorema de muestreoMantener la duración de cada pulso un tiempo T0

SAMPLE&

HOLD⇐

0T ST


En el proceso sample & hold intervienen las siguientes


En el proceso sample & hold intervienen las siguientes señales:

m(t): Señal que contiene la informaciónh(t): Pulso base

( ) ( ) ( ) 0000

0

sin

,0

,0,21

0,1fTjeTfcTfH

resto

Ttt

Tt

th π−⋅⋅⋅=⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

<<

=( )th

tT

p(t): Onda pulsada

Así podemos escribir la señal PAM:

,⎩

( ) ( ) ( )∑+∞

−∞=

−⋅=n

SS nTthnTmts

0T

( )tp

t0T ST

8


O d


Operando:

En el dominio de la frecuencia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

−⋅∗=−⋅∗=n

SSn

S nTtnTmthnTttmthts δδ

( ) ( ) ( )tmthts δ∗=Versión muestreada de m(t) ⇒ mδ(t)

( ) ( ) ( )fMfHfS δ⋅= ( ) ( )∑+∞

−∞=

−=k

SS kffMffMδ

( ) ( ) ∑+∞

−∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

k SS T

kfMffHfS

Como:

Obtenemos:


U l t d ó l ñ l d l d


Una vez planteado cómo es la señal modulada s(t), vamos a ver cómo recuperar la señal de información m(t):

1) Interpolar la señal pulsada s(t)2) Muestrear la señal pulsada e interpolar3) Promediar la señal pulsada muestrear e interpolar3) Promediar la señal pulsada, muestrear e interpolar

9


1) Interpolar la señal modulada s(t)S (t) tá li it d b d t ±


Suponemos que m(t) está limitada en banda entre ± w y que muestreamos a una frecuencia fS ≥ 2wTenemos una versión distorsionada del espectro de m(t), ya que aparece distorsión debido a H(f)

( ) ( ) ( ) wffMfHffS S ≤⋅⋅= ,

|H(f) |

f1/T0-1/T0

( ) ( ) 000 sin fTjefTcTfH π−⋅⋅=

Si T0 << TS (1/T0 >> 1/TS), prácticamente no hay distorsiónPráctica: T0 = TS/10

00

|Mδ(f) |

2fS-2fS 1/T0-1/T0

......f1/TS-1/TS w-w

|H(f) | |M(f) |


2) Muestrear la señal pulsada e interpolar


2) Muestrear la señal pulsada e interpolarEliminamos la distorsión debida a H(f)

Habría problemas si la señal recibida está contaminada con ruido (suponemos ruido de media nula)

( )ts

t......

( p )Tenemos varios valores que muestrear: mi(nT0)+ni

Posible solución: promediar esos valores

( )ts

t......

10


3) Promediar, muestrear e interpolar


Promediando

El integrador es análogo a convolucionar con un filtro de respuesta al impulso rectangular, de anchura T0

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ +=+=000 000

111TST ST

dttnT

nTmdttnnTmT

dttsT

La varianza del ruido a la salida es menor que a la entrada del integrador

( )th1/T0

El filtro que utilizamos es proporcional a los pulsos que empleamos para transmitir la señal

Filtro adaptado. Se emplea un filtro que coincide con los pulsos de la señal que se envía (se estudia en el tema 6)

tT0

1/T0


Esta tercera posibilidad contiene a las dos anteriores


Esta tercera posibilidad contiene a las dos anteriores, añadiendo un filtrado inicial de la señal para minimizar el ruido

Filtro de promediado

Muestreok ⋅TS

s(t ) Interpolador ( )tm

11


Utilid d d l t d t i t


Utilidad de lo comentado anteriormente:1) Multiplexación por división en el tiempo (TDM)

Muestreamos cada TS, pero transportamos información únicamente durante T0 segundosEl resto del tiempo se puede transmitir otras señales: m1(t), m2(t), …

m1(t)

T0 TSt

0

t

m1(t)

m2(t)

…


2) Justificación del uso de arquitecturas digitales


2) Justificación del uso de arquitecturas digitalesLa señal llega contaminada con ruido

Si tuviéramos un conjunto finito de amplitudes que enviar: A1, A2, …, An, las muestras sólo podrán tomar esos valores

( ) ( )[ ]∫ +00

1T S dttnnTm

T ⇒ Cuando promediamos disminuimos el ruido, pero no lo eliminamos

m(nTS)

1, 2, , n, p

( )

( )( )

( )

( )tnA

tnA

tnAtnA

nTm n

n

S ˆ2

1

+=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+

++

=M

⇒ Si el ruido es suficientemente pequeño, se puede decidir correctamente qué símbolo An se ha transmitido, eliminando totalmente el ruido

12

H i t


5.3.- Modulación de pulsos en el tiempo (PDM y PPM)

Hemos visto:PAM (Modulación por amplitud de pulsos)

La amplitud de los pulsos se varía en función de los valores muestreados de la señal de información m(t)

Pero también podemos tener:PDM (Modulación por duración de pulsos)( p p )

La duración de los pulsos se varía en función de los valores muestreados de la señal de información m(t)

PPM (Modulación por posición de pulsos)La posición de los pulsos se varía dependiendo de los valores muestreados de m(t)

P d i



Podemos variar:PAM

Ti = 0; T0 = constante; A = A[m(nTS)]

PDMTi = constante; T0 = T0[m(nTS)]; A = constanteModulamos la anchura de los pulsos

t

T0

0 Ti TS

A

También se denomina modulación de anchura de pulsos o modulación de longitud de pulsos

PPMTi = Ti[m(nTS)]; T0 = constante; A = constanteModulamos el punto de inicio del pulso, es decir, su fase

13

L d l i PDM PPM ti j



Las modulaciones PDM y PPM tienen mejor comportamiento frente al ruido que la PAM

El ruido se superpone en amplitudSin embargo, con niveles elevados de ruido podemos perder toda la información

Ef t b lEfecto umbral

Si en un sistema de comunicación enviamos una señal de


5.4.- Modulación digital de pulsos (PCM)

Si en un sistema de comunicación enviamos una señal de variación continua, el ruido hará imposible la recuperación perfecta del mensajeSi enviamos una sucesión de estados discretos, el detector tendrá que decidir qué estado de los posibles se ha enviado

Si las perturbaciones son tales que no confunden al decisor, la información se recupera de forma perfectaInconveniente: la discretización de la información es un proceso pinherentemente ruidoso

PCM (Pulse Code Modulation)Procesos para su generación

Muestreo: discretizamos la señal en tiempoCuantificación: discretizamos la señal en amplitudCodificación: asignamos un código a cada muestra

14



CuantificaciónEs el proceso por el cual se transforman valores continuos de amplitud, muestreados en tiempo m(nTS), en un conjunto finito y discreto de amplitudes

Asumiremos cuantificación sin memoria: la salida en un instante depende de la entrada en ese instante

Q(x)x(t) ( )tx ⇒ Tenemos Nposibles valores

Una posible función de transferencia



( )

( )x 1x 2x 3

y2

y1

y3⇒ Tenemos 8 posibles salidas o niveles de cuantificación

( )tx

x-max=x-4

ymax=y4

x(t)x1 x2 x3

x-1x-2x-3

y-1

y-2

y-3

max 4

x4=xmax

y-4=y-max

15

Al tifi l ñ l di t i



Al cuantificar la señal se distorsionaRangos continuos transformados en un único valorLa degradación es controlable, se puede hacer que sea inapreciable (CD de audio)Trataremos que la ventaja de poder eliminar el ruido en la transmisión sea superior al inconveniente de degradar p gla señal de información

Parámetros relevantes en la cuantificación



Parámetros relevantes en la cuantificaciónMargen dinámico

Rango de valores de entrada del cuantificador: [xmax - (-xmax)] = 2xmax

Niveles de cuantificación (L)Número de niveles en que cuantificamos: L = 2n (n: número de bits)

Escalón de cuantificación ([xi, xi+1])Ancho de cada intervalo de cuantificación

2Si todos son iguales tenemos un “cuantificador uniforme”:

Posición de los niveles de cuantificación (yi)Valor por el que se cuantificaNormalmente se asigna el punto medio del intervalo que se cuantifica

Lxmax2

=Δ

16

Error en la cuantificación uniforme:



ˆx xxe ˆ−=x

x⇒En el margen dinámico del cuantificador los errores están acotados

xΔ/2

-Δ/2

e⇓ Error

Error de saturación

Error granularError de saturación

… …

⇒Fuera del margen dinámico los errores crecen sin límite

Tipos de error



Tipos de errorError granular:

Está acotado entre -Δ/2 y Δ/2Aparece cuando la señal está en el margen dinámico del cuantificador

Error de saturación:No tiene límiteAparece al introducir valores fuera del rangoNo lo consideraremos, ya que supondremos que las señales estarán ajustadas al rango dinámico del cuantificador

17

P t i d



Potencia de error

( ) ( ) ( ) +−== ∫∫−

∞− −

∞+

∞−

max 2max

22 x

xe dxxfyxdeefee

2

2

ex

PP

dorcuantificadelruidodePotenciaseñalPotenciaSNR

rc

x ===

E d t ió

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫∫∞+

−+−+ +

kx x

x

x xk dxxfyxdxxfyxk

k max

1 2max

2



Error granular

Ruido granular



Ruido granularSuponemos que la señal se reparte de manera más o menos homogénea por todos los niveles de cuantificación

El error granular se comporta como una variable uniforme entre ±Δ/2

Función densidad de probabilidad: ( )⎪⎩

⎪⎨⎧ Δ

≤≤Δ

−Δ=

resto

eefe,0

22,1

Consideramos la media nula y la potencia de error queda:

{ } ( )12

1 22222 2

2

2

2

Δ=

Δ=== ∫∫

Δ

Δ

Δ

Δ −−deedeefeeE eeσ

18

Ejemplo: señal aleatoria a la entrada



( ) ( )ϑωϑ +txx cosEjemplo: señal aleatoria a la entrada

También suele expresarse la SNR en función de n: L=2n

( )2

22max

2max

2

2max

2

2

23

1242

122

12L

Lxxxdxxfx

PPSNR x

rc

x ⋅=⋅⋅

=Δ

=Δ

== ∫+∞

∞−

( ) ( )ϑωϑ +⋅= txx 0max cos

2

2maxx

Px =Lxmax2

=Δ ⇒ Cuantificador uniforme con L niveles

También suele expresarse la SNR en función de n: L 2122 23

23 −⋅=⋅= nLSNR

( ) ( ) ( )( )dBn

ndBSNR n

⋅+≈≈⋅⋅−+⋅=⋅⋅= −

676.12log10123log1023log10 12



Cuantificación no-uniformeEn la cuantificación uniforme hemos tomado como hipótesis que la señal se reparte más o menos por igual en todos los niveles de cuantificación

Problema con señales que no se reparten uniformemente

La cuantificación óptima sería aquella que redujese la potencia de ruido para una señal de entrada arbitraria

( ) ( )∑∫+ −=

k

x

x xkk

k

dxxfyxe 1 22

19

E t t i i i i l



Estrategias para minimizar el errorVariar xk e yk en función de x para minimizar el error

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∀=

∂∂

=∂∂

= k

yexe

e

k

k

yx kk

,0

0min 2

2

,

2 ⇒ Esto es bastante complejo

Analizar cómo es la señal (tipo de distribución) y redistribuir la señal para repartirla uniformemente

Técnica de compansiónSistema simple y con prestaciones aceptables

⎩ k

Caso particular para las señales de voz para transmitir por



Caso particular para las señales de voz para transmitir por telefonía

Los niveles de baja intensidad tienen mayor probabilidadAparecen niveles altos de intensidad con menor probabilidad

GaussianaLaplaciana

Distribución típica de señales de voz para telefonía

20

Mét d d ió



Método de compansión1) Preprocesar los datos para que se distribuyan de forma

aproximadamente uniforme: C(x)2) Cuantificar uniformemente: Q(x)3) Pos-procesar los datos para devolverlos a su estado

inicial: C-1(x)( )

C(x)Cuantificador

Q(x) C-1(x)…

Transmisor Receptor

Funciones de compansión



Funciones de compansiónCuantificación no-uniforme

C(x)

ΔC(x)

xmax

Cuantificación uniformeC(x)

ΔC(x)

xmax

⇒ Expansión de los niveles más bajos⇒ ΔC(x) >> Δx

x

Δxxmax

⇒ Todos los niveles se tratan igual⇒ ΔC(x) = Δx

xΔx xmax

21

Efecto conjunto de expandir y cuantificación uniforme:



Efecto conjunto de expandir y cuantificación uniforme:Aparecen más niveles para los valores bajos de la señal de entrada y menos niveles para los valores más altos

xmax( )tx

⇒Sentido vertical, Lniveles de altura:

Δ = 2⋅xmax/L

⇒Sentido horizontal,

⇒ Por tanto (L↑↑):

x(t)xmax-xmax

-xmax

,cada escalón mide: Δk, k = 1, 2, …, L

( )kdx

xdCΔΔ

≈

A áli i d id tifi ió if



Análisis de ruido en cuantificación no-uniformeSupondremos que el ruido granular se distribuye uniformemente en cada uno de los intervalos, ya que la señal expandida se distribuye de forma más o menos uniforme por todos los intervalos

⇒ Utilización homogénea de los intervalos de cuantificación

El error para cada intervalo será:

12

22 kke Δ

≈

22

Aglutinando todos los intervalos:



Aglutinando todos los intervalos:

( ) ( )∑∫∑

⎤⎡

=Δ

=∈⋅Δ

= +1

2

222

1212 k

x

x xk

kk

k dxxfIxPe k

k

( )kdx

xdCΔΔ

≈Probabilidad de caer en un intervalo u otro

( )( ) ( )

( )∫∑∫ −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅Δ

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡Δ

= + max

max

1

2

2

1212x

xx

k

x

x x dx

dxxdCxfdxxfdx

xdCk

k

Potencia de ruido para un cuantificador no-uniforme

R l ió ñ l id



Relación señal a ruidoPara cuantificación uniforme:

Para cuantificación no-uniforme( )

∫Δ max

22 x Pxxf

1212 22

22

Δ==⇒

Δ= x

CU

xCU

PePSNRe

CU

( )( )∫−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅=max

max2

1x

xx

CUCNU

dx

dxxdCxfSNRSNR

( )( ) ( )

( )∫∫

−

−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅Δ

=⇒

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅Δ

=max

max

max

max

2

222

1212 x

xx

CNUxx

dx

dxxdCxf

PxSNRdx

dxxdCxfe

CNU

23

G i d ió



Ganancia de compansiónGanancia en la relación señal a ruido para señales de entrada con amplitud pequeña

( )( )∫−

→

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=max

max2

0

2 1limx

xxxC

dx

dxdCxfG

Sólo para valores pequeños: x → 0 ⇒ fx(x) ≈ δ(x)⎥⎦⎢⎣ dx

( ) ( ) ( )0max

max

gdxxxgx

x=⋅∫−

δ

( ) ( )0

2

0

2

==

≈⇒⎥⎦⎤

⎢⎣⎡≈

xC

xC dx

xdCGdx

xdCG

Este parámetro se suele expresar en unidades



Este parámetro se suele expresar en unidades logarítmicas

Da una idea de la ganancia en la relación señal a ruido para señales de entrada con amplitud pequeña

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=

=0

log20x

C dxxdCdBG

( )CU

xCCNU SNRGSNR ⋅≈

→0

2

( ) ( )( )

( )dBSNRGdBSNR CUx

CCNU +⋅=→0

log20

24

Di ñ d l f ió d ió C( )



Diseño de la función de compansión C(x)Objetivo. Queremos independizar la SNRCNU con respecto a la señal de entrada. Es decir, que la SNRCNUsea constante en un rango amplio de la señal de entrada:

( )∫−==

max

max

2x

x x dxxfxPxSNR

La condición equivale a que:

( )( )

( )( )∫∫ −−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅Δ

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅Δ

=max

max

max

max2

2

2

2

1212x

xx

x

xx

CNU

dx

dxxdCxfdx

dxxdCxf

SNR

( ) 22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

xk

dxxdC



Por tanto, un compansor ideal debería cumplir:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=−⇒⋅==

⇒=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∫∫ xxkxCxCxkdx

xkxdC

xk

dxxdC

xk

dxxdC

x

x

x

x

x

xmax

max

22

lnln maxmaxmax

⎞⎛ x

Esto sería teóricamente, en la práctica no se usa pues:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+=

maxmax ln

xxkxCxC

( ) −∞→→0

lnx

x

25

Para poder usarlo en la práctica ponemos ciertas



Para poder usarlo en la práctica, ponemos ciertas restricciones a C(x):1) C(0) = 02)

3) Que C(x) tenga una forma logarítmica posible para que se parezca a la función teórica

( )( ) dinámicorangoelMantenemos

xxCxxC

⇒⎭⎬⎫

−=−=

maxmax

maxmax

p

Funciones prácticas:



Funciones prácticas:Ley A (estándar europeo)

( )

( )

( )⎪⎪

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≤≤⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅

≤≤⋅+

⋅

=

11ln1

10,ln1

max

max

xxsign

xxA

x

Axx

xsignA

xA

xC

La función es lineal en un tramo y logarítmica en otro. Los tramos vienen determinados por el valor de A.

( )⎪⎪⎩

≤≤⋅+

⋅ 1,ln1 max

max xAxsign

Ax

26

Función de compasión




xmaxC(x)

A=1

A=5

A=87.5

x

⇒ Al aumentar A, aumentamos el carácter no lineal

⇒ Valor típico: A = 87.5

xmax-xmax

-xmax

x

Ganancia de compasión




Valor típico: A = 87.5

( )A

Adx

xdCGx

C ln10 +==

=

dBGAC 09.24

6.87≈

=

Ganancia de compansión para valores pequeños de la señalCon señales de amplitud grande la compansión no mejora la SNRCU, incluso es peor

27

SNR y SNR para varios valores de L con ley A



SNRCNU y SNRCU para varios valores de L con ley A

( ) ( )ϑωϑ +⋅= tBx 0sin

Funciones prácticas:



Funciones prácticas:Ley μ (estándar americano)

( ) ( ) ( )xsignx

x

xxC ⋅+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⋅=μ

μ

1ln

1lnmax

max

28





⇒ Al aumentar μ, aumentamos el carácter no lineal

⇒ Valor típico: μ = 255

xmaxC(x)

μ=5

μ=255

xxmax-xmax

-xmax

x





Valor típico: μ = 255

( )μμ+

=1lnCG

dBGC 25.33255

≈=μ

Ganancia de compansión para valores pequeños de la señalCon señales de amplitud grande la compansión no mejora la SNRCU, incluso es peor

29

SNR y SNR para varios valores de L con ley μ



SNRCNU y SNRCU para varios valores de L con ley μ

( ) ( )ϑωϑ +⋅= tBx 0sin

dBGC 53.31200

≈=μ



CodificaciónLos niveles cuantificados son susceptibles de ser enviados mediante un código

El número de bits del código (n) será función del número de niveles del cuantificador (L): L = 2n

x

xy3

y4

y2

y1

11

10

01

00

00 → y1

01 → y2

10 → y3

11 → y4

30



Modulación deltaAlternativa a la cuantificaciónAhora la cuantificación no es independiente entre muestras

Al muestrear más rápido la diferencia entre las muestras es menormenorLa señal diferencia tiene un rango dinámico menor que la señal original ⇒ menos niveles de cuantificación

( ) ( ) ( )[ ]SSS TnxnTxnTe 1−−=

d l ió d l d i l



Modulación delta con dos niveles

En función de si tenemos un error positivo o negativo subimos o bajamos un escalón Δ

+ Δ → Bit 1- Δ → Bit 0

+ Δ

- Δ

Así transmitimos un bit por muestra, en lugar de n bits

t

+ Δ → Bit 1- Δ → Bit 0

31

P i l d l ió



Para implementar esta modulaciónTransmisor:

q(x)

+

+x(nTS)e(nTS) eq(nTS)

xq[(n-1)TS] xq[(n-1)TS]

+ Δ → Bit 1- Δ → Bit 0

+

-++

( ) ( ) ( )[ ]SqSS TnxnTxnTe 1−−=

( ) ( )[ ]SSq nTeqnTe =

Retardo TSxq(nTS)

R t



Receptor:

( ) ( )[ ] ( )

LPF

Retardo TS

+ xq(nTS)

xq[(n-1)TS]

eq(nTS) +

+

Ventajas de la modulación deltaEn la cuantificación n bits tienen significado propioEn la modulación delta 1 bit tiene significado propio

( ) ( )[ ] ( )SSS nTeTnxnTx +−= 1

32

l d l ió d l



Errores en la modulación deltaError granular:

Propio de toda cuantificación: x(nTS)-xq(nTS) ó e(nTS)-eq(nTS)Error de sobrecarga de pendiente

Con señales de pendientes muy grandes, la modulación delta no puede seguir la variaciónE i li i ió l id d d i ió ( )tdxá Δ

≤Existe una limitación en su velocidad de variación: ( )STdt

tdxmáx ≤

t

5.5.- Códigos de línea

Los niveles de cuantificación se direccionan con un


Los niveles de cuantificación se direccionan con un conjunto de dígitos binariosEsta información binaria (lógica) hay que darle el soporte de una señal física para que se pueda transmitir

Códigos de línea

Estudiaremos varios tiposP l i t í tiPara compararlos se recurre a varias características:

Capacidad de mantenimiento del sincronismoExistencia de una componente continua (espectro a f = 0)Ancho de bandaPotencia de transmisión y probabilidad de error

33

Tipos de códigos de líneaCódigos NRZ (Non Return to Zero)



Códigos NRZ (Non-Return to Zero)

TS

A“1”

“0”

UNIPOLAR

TS

A“1”

“0”

POLAR

Códigos polares más robustos frente al ruido pero se requiere mayor potencia

-A

Códigos RZ (Return to Zero)



Códigos RZ (Return to Zero)

A“1”

“0”

UNIPOLARA

“1”

“0”

POLAR

TS/2 TS/2

Ahora el pulso no está activado todo el periodo de muestreo

TS

-A

34

Ventajas de los códigos RZ frente a los NRZ:Los códigos RZ tienen capacidad de sincronismo, ya que



Los códigos RZ tienen capacidad de sincronismo, ya que mantienen la alineación temporalEn caso de que muchos bits sean iguales, con los códigos NRZ se puede perder el sincronismo

Con los códigos RZ forzamos las transiciones

“1”NRZ RZ

“1” “1” “1” “1” “1” “1” “1”

Inconvenientes de los códigos RZ: mayor ancho de banda

Códigos bipolares



Códigos bipolaresSímbolo “0”: A = 0 Símbolo “1”: transición de valor ± A

A“1” “1” “0” “1” “0” “1”

No aparece componente continua

TS-A

35

Código Manchester (estándar IEEE 802 3)



Código Manchester (estándar IEEE 802.3)Símbolo “0”: flanco de bajadaSímbolo “1”: flanco de subida

“1” “0”A A

No aparece componente continua, capacidad de sincronismo

TS

-ATS

-A

Múltiplex PCM de canales telefónicos



Ejemplo de sistema utilizado en la prácticaRecomendación ITU-T G.732TDM de 30 canales de voz con ley de compasión A y codificados con palabras de 8 bitsCanales vocales muestreados a 8 KHz

Tasa de cada canal de 64 Kbps

Se selecciona una banda de frecuencias entre 300 y 3400 Hz, donde la voz es inteligible

300 3400f (Hz)

36

Se multiplexan los 30 canales formando la siguiente trama de 32 intervalos



de 32 intervalos

0

8 bits

1 2 15 16 17 31

8 bits

1x 2x 15x 30x16x

Intervalo 0: información de alineación (cuándo empieza y termina la trama)Intervalo 16: información de señalización

Régimen binario total: Rs = 32 ⋅ 64 Kbps = 2048 Kbps


CUESTIONES TEMA 5

MODULACIÓN ANALÓGICA Y DIGITAL DE PULSOS

1.- ¿Qué se entiende por muestreo? ¿Cuál es su expresión en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia?

2.- Enunciar el teorema de muestreo.

3.- ¿Qué es interpolar una señal? ¿Cómo se reconstruye la señal original a partir de sus muestras?

4.- ¿Qué se tiene que cumplir para que no haya pérdida de información en las muestras de una señal respecto a la señal original?

5.- ¿Cómo se puede ver en el dominio de la frecuencia la reconstrucción de una señal a partir de sus muestras?

6.- ¿En qué consiste el aliasing y qué dos procesos se pueden hacer para evitarlo?

7.- Deducir la señal PAM en el dominio del tiempo y la frecuencia.

8.- ¿Qué dos procesos intervienen en la generación de la señal PAM?

9.- Explicar las tres posibilidades de detectar la señal de información m(t) a partir de la señal PAM s(t).

10.- ¿En qué consiste la multiplexación por división en el tiempo (TDM)?

11.- Explicar las modulaciones de pulsos en el tiempo: PDM y PPM.

12.- ¿Cómo se comportan las modulaciones PDM y PPM frente al ruido en comparación a la modulación PAM?

13.- ¿En qué consiste el proceso de cuantificación? ¿Qué parámetros caracterizan a un cuantificador?

14.- ¿Qué tipos de errores existen en el proceso de cuantificación?

15.- ¿Por qué son necesarios los cuantificadores no uniformes? ¿En qué consisten y cómo se implementan en la práctica?

16.- Deducir la relación existente entre la SNR para cuantificadores uniformes y cuantificadores no uniformes.

17.- ¿Qué es la ganancia de compansión?

18.- Deducir la expresión que debe cumplir un compansor ideal.

19.- ¿Qué proceso realiza el codificador tras el cuantificador?

20.- Explicar la modulación delta. Indicar las ventajas de esta modulación.

21.- ¿Cómo se implementa en la práctica la modulación delta en transmisión y recepción?. Mostrar los diagramas de bloque.

22.- Explicar los tipos de errores de la modulación delta.

23.- ¿Qué son los códigos de línea?. Citar algunos ejemplos. ¿Cuáles son las características deseables de un código de línea?

24.- Explicar el sistema utilizado en la práctica: multiplex PCM de canales telefónicos (recomendación ITW-T G-732).


PROBLEMAS TEMA 5

MODULACIÓN ANALÓGICA Y DIGITAL DE PULSOS 1.- Las señales: g1(t) = 10⋅cos(100πt), y: g2(t) = 10⋅cos(50πt), se muestrean a una tasa de 75 muestras por segundo. Demostrar que las muestras de ambas señales son iguales, y explicar la causa. 2.- La señal: g1(t) = 10⋅cos(60πt)⋅cos2(160πt), se muestrea a una tasa de 400 muestras por segundo. Determine cuál es el rango de posibles frecuencias de corte para un filtro de reconstrucción ideal. 3.- Sea E la energía de una señal estrictamente limitada en banda, g(t). Mostrar que E puede expresarse en términos de las muestras de g(t), tomadas a la frecuencia de Nyquist, según la expresión:

∑∞+

−∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

n wng

wE

2

221

donde w es el ancho de banda de g(t). 4.- Se crea un múltiplex por división en el tiempo de 24 señales vocales, muestreadas mediante pulsos de anchura 1 μs. El múltiplex incluye un pulso adicional (que se empleará para sincronización de trama) de la misma duración que los anteriores. Considere que la componente de frecuencia más elevada en la señal vocal es de 3.4 KHz

a) Considerando una frecuencia de muestreo de 8 KHz, calcule el espacio entre dos pulsos consecutivos en la señal múltiplex.

b) Repita los cálculos para una frecuencia de muestreo igual a la de Nyquist. 5.- Deducir el espectro de una señal PAM generada por una señal moduladora: m(t) = Am⋅cos(2πfmt), suponiendo un factor de modulación: μ = Ka⋅Am < 1, una frecuencia: fm = 0.25 Hz, un período de muestreo: Ts = 1 s, y una duración para el pulso base: T = 0.45 s. Tener en cuenta que la señal generada se puede representar por la siguiente expresión:

( ) ( )[ ] ( )∑ ⋅−⋅⋅⋅+=n

ssa TntgTnmKts 1

Utilizando un filtro de reconstrucción ideal, dibujar el espectro a la salida del filtro. Compare este resultado con el que se obtendría si el pulso base tuviera una duración prácticamente nula.

6.- La señal: m(t) = 6⋅sen(2πt), se transmite utilizando un esquema PCM. El cuantificador empleado es de tipo Mid-Riser, con un tamaño de escalón unidad. Dibuje la señal resultante del proceso de cuantificación para un ciclo completo de la señal de entrada. Suponga que la frecuencia de muestreo es de 4 muestras por segundo, muestreándose en los instantes: t = ± 1/8, ± 3/8, ± 5/8, … 7.- La función de densidad de probabilidad de las muestras de una señal es: fX(x) = 4⋅e-8⋅⎪x⎜. Esta señal se aplica a un cuantificador de 4 niveles cuyo margen dinámico es ± 1 voltio. Calcule el valor cuadrático medio del error, distinguiendo los términos granular y de saturación. Compare con el valor del error obtenido en el caso en que la señal sea uniforme en el margen dinámico del cuantificador. 8.- Considere la ley de compansión μ. Demuestre que para L grande se cumple:

a) μ+≈ΔΔ

1min

max

b) ( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+⋅⋅

⋅⋅+⋅

≈Δ pequeñaesxsi

xxL

grandeesxsiLx

k ,1ln2

,1ln2

max μμ

μ

9.- Se dispone de un codificador PCM de 8 bits, con margen dinámico ± 1 voltio. Se aplica a dicho codificador muestras de la señal, de valores: 1.117314, 0.086726 y 0.714236. En la cuantificación uniforme de tipo MID-RISER los niveles positivos se numeran del 0 al

12−

L , con el bit más significativo a 0. Los negativos se numeran de forma equivalente,

salvo el bit más significativo, que se fija a 1. a) Indique para cada muestra su nivel de cuantificación, los errores absoluto y relativo y la palabra código correspondiente. b) Repita los cálculos en el caso de realizar una compansión con ley A (A = 87.6).

10.- Para evaluar un codificador Delta-Lineal se utiliza un tono de prueba normalizado de frecuencia fm. Si la transmisión en línea se efectúa a cuatro niveles: A, B, C y D, y al receptor llega el mensaje: ABCBBDDBACA, se pide: a) Secuencia de dígitos binarios enviada. b) Dibuje la forma de onda recuperada.

c) Obtenga la máxima frecuencia del tono para que este cuantificador pueda ser utilizado.

Considere que: Δ = 0.1 voltios, que un cero lógico equivale a una bajada de tamaño Δ, que un uno lógico equivale a una subida de tamaño Δ, A = 01, B = 00, C = 10, D = 11, y que el régimen de símbolos es RS = 50300 símbolos/s.

11.- Un múltiplex PCM tiene un caudal de 354 Kbps y está constituido por 14 canales de información, más uno de señalización. El régimen binario de este último es de 1200 bps. Cada canal PCM es la salida de un conversor analógico-digital con cuantificación uniforme de tipo Mid-Riser, y margen dinámico de entrada de ± 2 voltios. El número de niveles de cuantificación (L) es el apropiado para que la SNR de cuantificación de una sinusoide de amplitud 2 voltios sea igual a 38 dB. Los niveles positivos se numeran del 0 al 1

2−

L , con el

bit más significativo a 0. Los negativos se numeran de forma equivalente, salvo el bit más significativo que se fija a 1. Si las señales analógicas se muestrean a 1.4 veces la frecuencia de Nyquist, determine:

a) El número de niveles de cuantificación (ajuste a la potencia de 2 más cercana). b) El ancho de banda máximo aceptable de las señales analógicas.

Se incluye un compasor de ley A, cuya ganancia de compansión es igual a 23.44 dB. Se pide:

c) Calcular las palabras código correspondientes a las muestras con amplitudes: z1 = -0.0018 V y z2 = 1.325 V. d) Calcular el rango de valores de entrada correspondientes al nivel de cuantificación positivo 8.

1



MODULACIÓN ANALÓGICA Y DIGITAL DE PULSOS 1. Es una demostración, hay que darse cuenta de que g1(t) está muestreada por debajo de

la frecuencia de Nyquist. 2. 190 Hz < fCORTE < 210 Hz 3. Es una demostración. 4.

a) ∆T = 4 µs b) ∆T = 4.88 µs

5.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

⋅−++⋅−−⋅+⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅= ∑+∞

−∞=nsmsms

S

fnfffnfffnfT

fTjTfcTfS δδµ

δπ2

1expsin

El espectro a la salida del filtro quedaría:

Cuando T → 0, el espectro a la salida del filtro sería:

Cuando T → 0: ( )ST

TfcTT1

sin' ⋅⋅⋅=

T’ ≈ T (TS = 1 s)

6. Señal resultante del proceso de cuantificación.

2

7. Error de cuantificación para una señal de entrada con función densidad de

probabilidad Laplaciana: ( ) xX exf ⋅−⋅= 84

029.0102.5102.5028.0 54222 ≈⋅+⋅+=+= −−

sg eee Error de cuantificación para una señal de entrada con función densidad de probabilidad con distribución uniforme (ahora sólo hay error granular).

02.022 ≈= gee

8. Son unas demostraciones. 9.

a)

x Nivel x ErrorABS ErrorREL Palabra código 1.117314 127 0.99609 0.1212 10.85 % 01111111 0.086726 11 0.08984 0.0031 3.6 % 00001011 0.714236 91 0.71484 6⋅10-4 0.085 % 01011011

b)

x C(x) Nivel x C-1(x) ErrorABS ErrorREL Palabra código 1.117314 1 127 0.99609 0.9789 0.1384 12.38 % 01111111 0.086726 0.55324 70 0.55078 0.08556 1.16⋅10-3 1.33 % 01000110 0.714236 0.938506 120 0.941460 0.72566 0.01143 1.6 % 01111000 10.

a) A B C B B D D B A C A 01 00 10 00 00 11 11 00 01 10 01

b)

c) fmax ≈ 800.5 Hz

11. a) L = 64 b) fmax = 1500 Hz c) z1 = -0.0018 V ⇒ Palabra código: 100000

z2 = 1.325 V ⇒ Palabra código: 011101

Error granular Error de saturación

3

d) Rango de valores de entrada al nivel de cuantificación 8:

[ ]0414.0,0353.00414.00353.0

8max

8min ⇒

==

xx




Tema 6: Transmisión digital banda base

1

TEMA VI. Transmisión digital en banda base


6.1.-Interferencia entre símbolos6.2.-Criterios de decisión6.3.-Filtro adaptado6.4.-Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error

Introducción

En el tema anterior estudiamos técnicas para convertir información analógica en información

Tema VI: Transmisión Digital en Banda Base

convertir información analógica en información digital

Muestreo + Cuantificación + CodificaciónEn este tema estudiaremos la transmisión digital de datos a través de un canal banda baseHabrá dos fuentes principales de error

RuidoRuidoInherente al canalEn sistemas digitales puede combatirse su efecto por completoTambién puede equivocarse: hay una probabilidad de error

Interferencia entre símbolos (ISI)Debido a que un símbolo puede estar afectado por símbolos adyacentes

2

6.1.- Interferencia entre símbolos

Esq ema de n sistema digital banda base


Esquema de un sistema digital banda base

Conversor de formato g(t)Datos

binariosDecisor kah(t) c(t)+ TS

y(t)

…s(t)

ak

…… Canal ReceptorTransmisor

( ) ( )∑ −⋅=k

Sk kTtgats

ω(t)Ruido

AWGN

Pulso que tomamos como forma básica

Filtro receptor



No confundir el envío de bits con el envío de símbolos ⇒ se envían símbolos

Los símbolos pueden tener tantos bits como deseamosSímbolos de 1 bit → 2 nivelesSímbolos de 2 bits → 4 nivelesSímbolos de n bits → 2n niveles

Hay que diferenciarTiempo de duración de 1 bit: Tb

Tiempo de duración del símboloSímbolos 1 bit: TS = Tb

Símbolos 2 bits: TS = 2Tb

3



( ) ( )∑El transmisor emite la señal:Señal a la salida del filtro receptor:

Agrupamos: ( ) ( ) ( ) ( )tcthtgtp ∗∗=

( ) ( )∑ −⋅=k

Sk kTtgats

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tcttcthtsty ∗+∗∗= ω

Agrupamos:

Obtenemos:

( ) ( ) ( ) ( )tcthtgtp

( ) ( ) ( )tcttn ∗= ω

( ) ( ) ( )tnkTtpatyk

Sk +−⋅= ∑

M d idi é í b l ibi d



Muestreamos para decidir qué símbolo recibimos en cada instante iTS:

En el sumatorio reside la interferencia entre símbolos (ISI), ya que

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( )Sik

Ski

Sk

SSkS

iTnTkipapa

iTnkTiTpaiTy

+−⋅+⋅=

=+−⋅=

∑

∑

≠

0

ISI( ), y q

si los p[(i-k)TS] no son nulos, se estarán superponiéndose al símbolo iNo tendremos ahora presente el efecto del ruido, por lo que la expresión a la entrada del decisor quedaría:

( ) ( ) ( )[ ]∑≠

−⋅+⋅=ik

SkiS TikpapaiTy 0

4

T ó i d li i l ISI i l



Teóricamente se puede eliminar la ISI si se cumple: cumple:

De esta manera al muestrear no tienen influencia el resto de los

( )⎩⎨⎧

≠=

=0001

mm

mTp S

símbolos



En el dominio de la frecuencia

Para m = 0 es la única muestra que debe tener

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ −⋅=−⋅=⋅=m

SSm

ST mTtmTpmTttpttptpS

δδδδ

( ) ( ) ( )∑∑ −⋅=−⋅=m

mfTjS

mS

S

SemTpmffPT

fP πδ

21

Para m 0 es la única muestra que debe tener aportación

Este es el criterio para evitar la interferencia entre símbolosLos filtros que cumplan esta condición pueden eliminar la ISI

( ) ( ) 11=−⋅= ∑

+∞

−∞=mS

S

mffPT

fPδ

5

Ej l 1 fil b j id l f /2



Ejemplo 1: filtro paso bajo ideal, w = fS/2

En el dominio del tiempo:

( ) ( ) 11=−⋅= ∑

+∞

−∞=mS

S

mffPT

fPδ

fS/2=w

TS

-fS/2f

P(f)

( ) ( ) ( )wtftTttp SS

2sincsincsinc =⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

S ⎠⎝

( )⎩⎨⎧

≠=

=0001

mm

mTp S

L ñ l l t d d l d i



( ) ( )∑ kTttLa señal a la entrada del decisor es: ( ) ( )∑ −⋅=k

Sk kTtpaty

Si muestreamos justo cada TS segundos, en cada instante conseguimos recuperar el valor del pulso adecuado

Al muestrear en t = 0, sólo tenemos la contribución de a0

Al muestrear en t = TS sólo tenemos la contribución de a1 ...

6

Ej l 2 ñ l i l f



Ejemplo 2: señal triangular, w = fS

( ) ( ) 11=−⋅= ∑

+∞

−∞=mS

S

mffPT

fPδ

fS=w

TS

-fS

f

P(f)

0

Pδ(f)

En relación al ejemplo anterior el ancho de banda es el doble

fS=w

TS

-fS

f

δ(f)

0 2fS-2fS

Fil d l d ( d )



Filtros de coseno alzado (raised cosine)Familia paramétrica de filtros que cumplen la condición impuesta para evitar la ISI

( ) ( )⎪

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−≤≤⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−⋅

≤≤

= fwfffwf

sen

ffw

fP 2,22

141

0,21

11

1

π

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎭⎪⎩⎥⎦

⎢⎣ −

restofww

,0224 1

221 S

S

RT

w == RS: Régimen o tasa de símbolos

7

A h d b d d t i ió



Ancho de banda de transmisión:

Parámetros de la familiaf1: frecuencia a partir de la cual comienza a caer el filtroα (‘Factor de redondeo o rolloff’): representa el exceso de ancho de banda frente a la banda mínima necesaria

( )wfwfwBT1

1 112 −=⇒+=−= αα

α = 0 ⇒ Filtro idealα ↑↑ ⇒ Se ocupa más ancho de banda

⇒ Disminuye la amplitud de los lóbulos secundarios

10 ≤≤ α

D i i d l f i filt d l d



Dominio de la frecuencia: filtros de coseno alzado

α = 0

α = 0.5

α = 1α 1

8

D i i d l ti



( ) ( ) ( )2cos2i wtπαDominio del tiempo: ( ) ( ) ( )222161

2cos2sintw

wtwtctpαπα

−⋅=

( ) ( )wtctp 2sin0 =⇒=α

0

α = 0.8

α ↑ ↑⇒Se ocupa más ancho de banda⇒Disminuye laα = 0 ⇒Disminuye la amplitud de los lóbulos secundarios⇒Menor sensibilidad frente a pequeños errores en el muestreo


Comentarios al criterio de eliminación de la ISIL l ió t i id l l l h( ) i t l bl


La solución anterior es ideal, ya que el canal h(t) es incontrolable

⇒p(t) no podrá ser perfecto para evitar la ISI

Solución práctica: “ecualización” o “igualación”y(t)

( ) ( ) ( ) ( )tcthtgtp ∗∗=

Se estudian las interferencias entre símbolos vecinos con una señal de referencia

Decisor kac(t)TS

…

Filtro receptor

Ecualizador

9

Di d bl d li d l ISI



Diagrama de bloques de un ecualizador para cancelar ISI

RetardoTS

TSa’k-2 TS TS TS

a’k-1 a’k a’k+1

a’k+2

ω1 ω2 ω3 ω4 ω5

ComparadorReferencia Salida

Error

ka

T j t d t i d



Tenemos un conjunto de muestras vecinas que procesamos de forma conjunta y comparamos con la referencia

Se obtiene una señal de errorEn función del error se varían los pesos (ωi) para que éste vaya disminuyendo⇒Ajustamos p(t)

Necesitamos una referenciaInformación de sincronismo que se envía con la información vocal

10

6.2.- Criterios de decisión

El i t d i ti di d


El sistema decisor tiene que disponer de una herramienta para decidir cuál de los M símbolos posibles se ha enviado a partir de una observación ruidosa y

iDyHH

→→1

0

M

Hay que decidir cuál de las posibles hipótesis Hi ha generado la observación y: DiSe recurre a los test de hipótesis

i

MH −1

M


Hi ót i bi i


Hipótesis binarias

Hipótesis múltiples

H0 → “1”

H1 → “0”A

-A

H0 → “00”

H1 → “01” A

A/2

Vamos a plantear varios criterios para tomar estas decisiones

Supondremos hipótesis binarias

H2 → “10”

H3 → “11”

-A

-A/2

11

Criterio de Bayes



yTrata de tomar decisiones de forma que se minimice el riesgo medio en las decisionesConcepto de riesgo

Asociado a cada una de las hipótesis: yLos riesgos se definen a partir de los costes de las

0HR1HR

Los riesgos se definen a partir de los costes de las decisiones acertadas o falladas

Cij: Coste asociado a la decisión i cuando es cierta la hipótesis j C00H0

H1

D0

D1C11

Riesgos asociados a cada hipótesis



( ) ( )

Definición de riesgo:Terminología

Probabilidad a priori

( ) ( )000 110000 HHH DpCDpCR ⋅+⋅=

( ) ( )111 111001 HHH DpCDpCR ⋅+⋅=

( ) ( )10 10HpRHpRR HH ⋅+⋅=

( )⎨⎧ 0Hp

Probabilidad a priori

Funciones de verosimilitud

Probabilidades a posteriori

( )⎩⎨

1Hp

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

1

0

HY

HY

yfyf

( )( )⎩

⎨⎧

yHpyHp

1

0

12

El criterio de Bayes trata de minimizar el riesgo



medioTrata de definir una frontera de decisión que minimice el riesgo medio

( )( )

( ) [ ]( ) [ ]00100

11011

0

1

0

CCHpCCHp

yf

yf

H

H

HY

HY

−⋅−⋅

<>

Es de notar que el umbral para decidir H0 aumenta:Cuanto más probable sea H1 ( ↑ p(H1))Cuanto mayor sea el coste asociado a decidir “0” cuando sea cierto “1” (↑ C01)

1H

Criterio de máximo a posteriori (MAP)



p ( )Compara las probabilidades a posteriori y se selecciona la hipótesis que maximiza la probabilidad a posteriori

( ) ( )yHpyHpH

10

0

<>

H1

( )( )

( )( )0

1

1

0

1

0

HpHp

yf

yf

H

H

HY

HY

<>

( ) ( ) ( )( )yf

HpyfyHp

Y

HY 00

0⋅

=

( ) ( ) ( )( )yf

HpyfyHp

Y

HY 11

1⋅

=

Caso particular del criterio de Bayes cuando:[C01-C11] = [C10-C00]

⇒

13

Criterio de máxima verosimilitud (ML)



( )Compara las funciones de verosimilitud y escoge la hipótesis que maximiza la función de verosimilitud

( ) ( )1

0

0 HY

H

HY yfyf >

Caso particular del criterio de Bayes cuando:⇒

( ) ( )1

1

0

H<

( )( ) 1

1

0

1

0

H

H

HY

HY

yf

yf

<>

( ) ( )[ ] [ ]⎩

⎨⎧

−=−=

00101101

01

CCCCHpHp

Esquema del receptor


6.3.- Filtro adaptado

Decisor kac(t)+ k ⋅ TS

y(t)

…

ω(t)Ruido AWGN− Media nula

Filtro receptor

Canal

( ) 0NfS

s(t)

Objetivo: diseñar c(t) con un criterio de ruidoNo confundir con la cancelación de ISI, donde se diseña g(t) para que se cumplan las condiciones de eliminar ISI

( )2

0fS =− ω

( ) ( ) ( ) ( )tcthtgtp ∗∗=

14



Diseño de c(t) con un criterio de ruidoIntentar maximizar la SNR a la entrada del “decisor” para facilitar la decisión

A la entrada del muestreador:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tcttctsty ∗+∗= ω

( ) ( ) ( )tntgty += 0gP

SNR 0A la entrada del muestreador:

A la entrada del decisor:

n

gm P

SNR 0=

( )( )

( )( )2

200

S

S

Sn

Sgd Tn

TgTPTP

SNR ==


Luego:


Luego:

Hay que maximizar la SNR|d

( )( )

( )( )

( ) ( )

( )2

22

2

200

S

fTj

S

S

Sn

Sgd Tn

dfefCfS

Tn

TgTPTP

SNRS∫

+∞

∞−⋅⋅

===

π

Aplicamos la desigualdad de Schwarz:

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

+∞

∞−⋅≤⋅ dxxdxxdxxx 2

22

1

2

21 φφφφ

15



El numerador de la SNR|d estará acotado según la expresión anterior, alcanzándose la cota cuando se produce la igualdad de factores:

Por tanto, para maximizar la SNR|d:

( ) ( )xkx *21 φφ ⋅=

( ) ( ) SfTjefSkfC π2* −⋅⋅= ( ) ( )tTsktc S −⋅= *

( ) ( )fGtg −⇔ **

⇔

F d ( )



k = 1Forma de c(t)

S l i (t) ∗ (t)

TS

A

0t

s(t)

TS

A

0t

c(t) = k ⋅ s*(TS-t) = s*(TS-t)

k 1

⇒

Se convolucionan: s(t) ∗ c(t)

TS

A

0t

t

⇒ El mayor encaje (máximo valor de la convolución) se da cuando: t = TS

⇒ Se maximiza la contribución de la señalen los valores muestreados

16

E d l fil d d ( )



Esquema del filtro adaptado c(t)

Es equivalente a un correlador (a la entrada del decisor)

Decisor kak ⋅ s*(TS - t)TS

y(t)

s(t)

Decisor kaT

s(t) × ∫STdt

0

El receptor puede recibir varios pulsos⇒ c(t) para estos pulsos es el mismo:⇒ El filtro está adaptado a la forma del pulso con

con independencia de su polaridad

( ) ( )tTsktc S −⋅= *

TS0

c(t)

-A

A


6.4.- Decisión mediante umbral. Cálculo de la probabilidad de error

Esquema del receptor

Decisor kac(t)+ k ⋅ TS

y(t)

…

ω(t) Ruido AWGN− Media nula

Canal

( ) 0NfS =−

s(t) y

Decisor:Cálculo del umbral de decisión (λ)

Depende del criterio seleccionado

Hay una probabilidad de error asociada a λp(e) ≡ BER (Bit Error Rate)

( )2

fS =ω

17


Cálculo del umbral de decisión


Cálculo del umbral de decisiónSupongamos que tenemos un código polar NRZ y filtro adaptado

TS

1/TS

0t

c(t)

TS

A

0t

“1”

TS

-A

0

“0”

( ) ( )tTsktc = *( ) ( )tTsktc S −⋅=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]STtS tcttctsTyy =∗+∗== ω

( ) ( )∫∫ ⋅+±⋅=SS T

S

T

S

dttT

dtAT

y00

11 ω


R ibi


Recibiremos:Hay que calcular un umbral de decisión (λ), de modo que amplitudessuperiores correspondan a un “1” y amplitudes inferiores a un “0”

Decidimos sobre la variable y¿qué es y…?

A

-A

¿q y

y es una variable aleatoria gaussianaω(t) es la realización de un proceso estocástico gaussiano

( )∫⋅+−= ST

SH dtt

TAy

0

10

ω ( )∫⋅++= ST

SH dtt

TAy

0

11

ω

18


C t i ió d ( i bl l t i i )


Caracterización de y (variable aleatoria gaussiana)Media:

Varianza:

{ } AYE H −=0

{ } AYE H +=1

⎫⎧( )[ ]{ } ( )

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −= ∫

2

0

222 1

0000

S

HH

T

SHYHY

dttT

EAYEmYE ωσ

( )[ ]{ } ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=+−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −= ∫

2

0

222 1

1111

S

HH

T

SHYHY

dttT

EAYEmYE ωσ



( ) ( ) ( ){ }∫ ∫∫ ⋅=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== S SS

HH

T T

S

T

SYY

dtdtttET

dttT

E0 20 1212

2

0

22 1110

ωωωσσ

( ) ( )210

21 2ttNttR −⋅=− δω

SYY TNTN

THHY 22

1 002

222 =⋅⋅=== σσσ

Luego:

SSYY TTHH 2210

( )2,0 YH ANy σ−→

( )2,1 YH ANy σ+→

19


Frontera de decisión (apartado 6.2)Según el criterio bayesiano:


Según el criterio bayesiano:

Según el criterio MAP

( )( )

( )( )

( )( )

11

0

0 HpHpyfA

H

HY =⇒>

λ

( )( )

( ) [ ]( ) [ ]

( ) [ ]( ) [ ]00100

11011

00100

11011

1

0

1

0

CCHpCCHp

CCHpCCHp

yf

yfBAYES

H

H

HY

HY

−⋅−⋅

=⇒−⋅−⋅

<>

λ

Según el criterio ML( ) ( ) ( )00

11

HpHpyf MAP

HHY

⇒<

λ

( )( ) 11

1

0

1

0 =⇒<>

ML

H

H

HY

HY

yf

yfλ


O d j


Operamos para despejar y:

T l it

( )( )

( )

( )

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<>

==

⋅

⋅=

−−+−++

−

−−

+−

ML

MAP

BAYES

i

H

HAyAyAyAyAy

Ay

Y

Ay

Y

HY

HY YY

Y

Y

ee

e

e

yf

yf

λλλ

λ

πσ

πσ σσ

σ

σ

1

022

2222

2

2

2

2

1

0

22

22

2

2

21

21

Tomamos logaritmos:

i

H

H

i

H

H

AyAy Y

Y

λσ

λσ

ln2

ln2 2

2

1

0

1

0

−><

⇒<>

−

Umbral sobre la observación ‘y’λ’ ⇒

20


C ti l l it i ML (λ 1)


Caso particular para el criterio ML (λML = 1)

( ) ( ) 01;1

0

0010

110101

H

H

yCCCCHpHp

><

⇒=−−

=

A

0 Menor que cero ⇒ “0”⇒

-AMayor que cero ⇒ “1”

⇒



Cálculo de la probabilidad de errorNos fijamos en las funciones de verosimilitud

( ) ( ) ( ) ( ) ( )01 01HpepHpepep HH ⋅+⋅=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )''01 01 λλ >⋅+<⋅= HH ypHpypHpep

⇒ El error aparece representado como el área rayada debajo de las curvas

21


E ió l l l l


Expresión general para calcular el error

Caso particular: criterio MLSímbolos equiprobables:Costes iguales :

( ) ( )( )

( )( )

∫∫∞+

+−

∞−

−−

⋅⋅+⋅⋅='

20

' 21

2

2

2

2

21

21

λ

σλ σ

πσπσdyeHpdyeHpep YY

Ay

Y

Ay

Y

00H

y><

⇒( ) ( )

[ ] [ ]⎩⎨⎧

−=−=

00101101

01

CCCCHpHp

g1H

>

( ) ( ) pepep HH ==01

( ) ( )21

01 == HpHp⇒

( ) ( ) ( ) ( )012

121

HH epepeppppep ==⇒=⋅+⋅=

[ ] [ ]⎩ 00101101


C l l


( )( )

∫∞+

+−

2 2

2

1 dY

AyσCalculamos:

Realizamos un cambio de variable:

( ) ∫ ⋅=00 2

dyeep Y

YH πσ

2Y

dydσ

τ =

2Y

Ayσ

τ +=

( ) ∫∫∞+ −∞+ − ⋅=⋅⋅⋅=

22

22

0

122

1

YY

AA YY

H dedeepσ

τ

σ

τ τπ

τσπσ

Se suele poner esta expresión de la p(e) en función del error complementario:

22 YY Y σσ

( ) ∫∞+ −=

udeuerfc τ

πτ 22

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⋅⋅== ∫

∞+ −

2212

21

2

2

0

YAH

AerfcdeepepY

στ

πσ

τ

22


C t i


Comentarios:El cociente A/σY representa una relación entre la señal (A) y el ruido (σY)Cuanto mayor A/σ sea menor será el errorLa p(e) se suele expresar en función de Eb/N0

2

EATEATAE b

bb=

⎪⎫=

0002

22

2 NEA

TNT

TNP

b

Y

bY

b

bn Y

=⇒=

⇒⎪⎭

⎪⎬== σσ

σ

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

021

NEerfcep b ⇒ Expresión comúnmente utilizada


E l ió d l ( ) E /N


Evolución de la p(e) con Eb/N0

⇒ En relativamente pocos decibelios conseguimos reducir bastante el orden de magnitud de p(e)p( )

23


Ej i i ál l d l b l d d i ió d l


Ejercicio: cálculo del umbral de decisión y de la probabilidad de error para un código unipolar NRZ

( )20Ny σ→

( )2,1

YANy H σ+→

TS

A

0

“1”

T0

“0”

La distancia entre símbolos es ahora A, por lo tanto la p(e) será más grande, pues los símbolos están más próximos

( ),00

YNy H σ→TS0


CUESTIONES TEMA 6

TRANSMISIÓN DIGITAL BANDA BASE

1.- Explicar el modelo de un sistema de transmisión digital banda base.

2.- ¿En qué consiste la ISI? ¿Qué condición debe cumplir p(t) para que la ISI se reduzca a cero?

3.- ¿Qué tipos de filtro P(f) se pueden utilizar para eliminar la ISI?. Ventajas e inconvenientes de cada uno.

4.- ¿Qué es el factor de redondeo (rolloff) a de un pulso de espectro con forma de coseno alzado?. Dibujar p(t) y P(f). ¿Qué ocurre en p(t) cuando a = 0?

5.- Explicar la ecualización utilizada en la práctica para reducir la ISI.

6.- Describir los diferentes criterios de decisión estudiados.

7.- ¿Para qué se utilizan los filtros adaptados? Deducir la expresión del filtro adaptado c(t) en función de los pulsos de entrada s(t) que están contaminados con un ruido AWGN.

8. ¿Qué tareas tiene el decisor? ¿Qué es la probabilidad de error?

9.- Para un código polar deducir los umbrales de decisión según los tres criterios estudiados.

10.- Deducir la probabilidad de error P(e) para un código polar según el criterio de máxima verosimilitud (ML) en función de Eb/N0.

11. Ventajas e inconvenientes de un código polar frente un código unipolar.


PROBLEMAS TEMA 6

TRANSMISIÓN DIGITAL BANDA BASE 1.- Demuestre que, para el caso de codificación unipolar NRZ, la regla de decisión óptima en sentido MAP es:

+

<>

1

02

0

1

ln2 p

pA

A

H

H

xσ

donde x es la observación, A la amplitud del pulso ideal, 2σ la potencia de ruido a la entrada del decisor, y ip la probabilidad a priori de la hipótesis iH . Nota: Se utiliza filtro adaptado con amplitud 1/Ts y duración Ts. 2.- Un ordenador tiene una tasa binaria de salida de 56 Kbits/sg. Esta señal se transmite utilizando un sistema PAM binario en banda base que ha sido diseñado para tener el espectro de pulso con forma de coseno alzado. Determinar el ancho de banda de transmisión para los factores de redondeo del filtro a={0.25, 0.5, 0.75, 1}. 3.- Repetir el problema anterior considerando que el sistema envía símbolos formados por grupos de tres bits. 4.- Una señal binaria se transmite por un canal paso bajo con un ancho de banda de 75 KHz. La duración de cada bit es de 10 µs. Determine el espectro del canal en coseno alzado que satisface estos requerimientos. 5.- a) Se diseña1 un sistema binario polar en banda base para transmitir datos a una tasa de

4800 bps, a través de un canal paso bajo ideal cuya función de transferencia viene dada por:

≤

resto0.Khz8.4fsi 1

=f)(Hc

Se han elegido los filtros de transmisión y recepción de forma que contribuyan por igual a la formación del pulso necesario, y para minimizar la probabilidad de error media. Suponiendo que se utiliza un pulso cuyo espectro tiene forma de coseno alzado, especifique la respuesta en frecuencia de dichos filtros.

b) En el caso de que el ruido a la entrada del filtro receptor sea blanco, aditivo, gaussiano, con media cero y con densidad espectral de potencia N0/2, con N0=10-10 W/Hz., calcule la varianza del ruido resultante a la salida del filtro.

c) Utilizando el resultado del apartado anterior, calcule el valor de pico de la potencia requerida para tener un valor de probabilidad de error media de 10-5.

1 Consulte el apartado 9.3 (Optimun transmitting and receiving filters for noise immunity) entregado junto el enunciado de los problemas.

6.- Suponga un sistema banda base M-ario, es decir, que envía uno de los M símbolos posibles de su alfabeto, con símbolos, en este caso, equiprobables. Considérese que la amplitud de los símbolos recibidos es:

Ak2AAk ⋅+=

con ...,2,1,0k ±±= Considere, asimismo, que la potencia del ruido a la entrada del decisor es 2

nσ , y que los umbrales de decisión se sitúan en los puntos medios entre los símbolos. Demuestre que, en estas condiciones, la probabilidad de error del símbolo es igual a:

σ

−=

ne 22

Aerfc

M1

1P

7.- Algunos sistemas de radio sufren distorsión multitrayecto, que es debida a la existencia de más de un camino de propagación entre el transmisor y el receptor. Considerar un canal con tal distorsión, que tenga una función de transferencia dada por la siguiente expresión:

)t-s(t K + )t-s(t K = x(t) 022011

donde K1 y K2 son constantes, K1>>K2,, y t01 y t02 representan retardos de transmisión, con t01 < t02. a) Obtenga la respuesta en frecuencia de este canal. b) Para cancelar el eco se propone utilizar un filtro transversal como el de la figura 1,

donde T= t02 - t01. Obtenga los valores de wi, i={0, 1, 2} en función de los parámetros del canal.

RetardoT

RetardoT

w2w1w0

Entrada

Salida

∑

XXX

Figura 1. Filtro de cancelación de eco.

8.- En relación con la señal de la figura 2: a) Represente la respuesta al impulso de un filtro adaptado a esa señal. b) Determine la salida del filtro adaptado cuando la entrada es la señal de la figura. Indique

el instante óptimo de muestreo, así como la amplitud de salida del filtro en dicho instante.

Figura 2. Señal de soporte del símbolo 9.- Se propone realizar un filtro adaptado mediante un filtro basado en una línea de retardo con N+1 coeficientes kw , k={0, 1,..., N}. Asumiendo que la señal )t(s a la que tiene que estar adaptada el filtro tiene una duración de T segundos, encuentre el valor de los pesos

kw . Asuma que la señal se muestrea uniformemente. 10.- Dada una señal binaria, que utiliza señalización polar NRZ, siendo la amplitud de los símbolos igual a 1 voltio. Esta señal se aplica a un filtro paso bajo RC con función de transferencia:

0ff j+1

1 = H(f)

Suponer una tasa binaria de 2 f0 bits por segundo, construir el diagrama de ojos centrado en Tb y anchura Tb para la señal a la salida del filtro con las siguientes secuencias: a) Alternancia de unos y ceros. b) Una larga secuencia de unos seguida de una larga secuencia de ceros. c) Una larga secuencia de unos seguida por un único cero y después otra larga secuencia

de unos.

t T

T/2

-A/2

A/2

s(t)

1



TRANSMISIÓN DIGITAL BANDA BASE 1. Es una demostración. 2. α = 0.25 ⇒ BT = 35 KHz

α = 0.5 ⇒ BT = 42 KHz α = 0.75 ⇒ BT = 49 KHz α = 1 ⇒ BT = 56 KHz

3. α = 0.25 ⇒ BT = 11.67 KHz α = 0.5 ⇒ BT = 14 KHz α = 0.75 ⇒ BT = 16.33 KHz α = 1 ⇒ BT = 18.67 KHz

4. α = 0.5; f1 = 25 KHz 5.

a) ( ) ( ) 02 ftjTX efPfH π⋅=

( ) ( ) 02 ftjRX efPfH π−⋅=

b) 2

102

1002

−

==N

Nσ W

c) Valor pico de potencia: A2 = 9⋅10-10 W 6. Es una demostración. 7.

a) ( ) 0201 22

21

ftjftj eKeKfH ππ −− ⋅+⋅=

b) 1

01K

=ω ; 22

11

KK

−=ω ; 31

22

1 KK

=ω

( ) ( ) ( ) ( )01010231

32

01 23 ttstttsKKttsty −≈⋅+⋅−⋅+−=

8. a) ( ) ( )tTstc −=

K1 >> K2

2

b) ( ) ( ) ( )tTststy −∗=

Instante óptimo de muestreo: t = T

Amplitud en dicho instante:

( )4

2 TATy ⋅=

9. ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−=⋅−=

NTkTsTkTs Skω

10.

a) ( ) ( )⎩⎨⎧

⋅<<−⋅<<⋅−

=−−

−

bbTtf

btf

TtTeTte

tyb 2,12

0,210

0

2

2

π

π

⇒Señal periódica con período 2⋅Tb

Diagrama de ojos de anchura Tb y centrado en Tb.

b) ( )⎩⎨⎧

>−⋅<

= − 0,120,1

02 tet

ty tfπ


3

c) ( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

>⋅−<<−⋅

<=

−−

−

bTtf

btf

TteTte

tty

b ,210,12

0,1

0

0

2

2

π

π





Tema 7: Transmisión digital paso banda

1

TEMA VII. Transmisión digital paso banda


7.1.-Tipos básicos de modulaciones digitales7.2.-Representación y análisis vectorial7.3.-Receptores coherentes e incoherentes7.4.-Análisis de los tipos de modulación

IntroducciónTema VII: Transmisión Digital Paso Banda

En el tema anterior estudiamos los sistemas de transmisión digital banda baseEn este tema estudiaremos la transmisión digital de datos a través de un canal paso banda

Centramos el espectro de s(t) en torno a una frecuencia no nula (fc)

Ventajas de la transmisión paso banda

2

7.1.- Tipos básicos de modulaciones digitales

Tema VII: Transmisión Digital Paso Banda

Hay tres tipos básicos:1) ASK (Amplitude Shift Keying)2) PSK (Phase Shift Keying)3) FSK (Frequency Shift Keying)



ASKA cada símbolo le asignamos una amplitud

La frecuencia fc se suele poner como múltiplo de la frecuencia del símbolo:

( ) ( ) Tttfats ci ≤≤⋅= 02cos π T: Tiempo de símbolo

Tnfc = símbolodelfrecuencia

Tf s

1=

Ejemplo:

⎩⎨⎧

=→=→

=VaVa

M2"1"1"0"

21

0

Tfc T

3

PSK



PSKAsignamos a cada símbolo una fase inicial

( ) ( ) Tttfats ici ≤≤+⋅= 02cos ϑπ

( ) 1,,0,12 −=+⋅= MiiMi Kπϑ

Ejemplo:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=→=→=→=→

=

47"11"45"10"43"01"

4"00"

4

3

2

1

0

πϑπϑπϑ

πϑ

M⎩⎨⎧

=→=→

=23"1"

2"0"2

1

0

πϑπϑ

M

7.1.- Tipos básicos de modulaciones digitalesFSK


FSKAsignamos a cada símbolo una frecuencia distinta

En FSK las frecuencias desplazadas son múltiplos enteros de fs, respecto a fc:

( ) ( ) Tttfats i ≤≤⋅= 02cos π

in + 1

Para PSK y FSK se normaliza la amplitud a

Sci fifT

inf ⋅+=+

=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅=

===⇒=ETPE

TETEaP

TEa

SS

S 22

22

2T: tiempo de símboloE: energía de símbolo

símbolodelfrecuenciaT

f s1

=

4

Ej l d f d d



Ejemplos de forma de ondaASK

PSK

T0 2T 3T

FSK

T0 2T 3T

T0 2T 3T

7.2.- Representación y análisis vectorial

Carácter vectorial de las señales


Carácter vectorial de las señalesEstudiaremos una base teórica para las señales anterioresLas señales si(t) pueden ser expresadas como:

∑=

=≤≤⋅=N

jjiji MiTttsts

1,...,1;0)()( φ

Ejemplo: PSK

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tfsensenatfatfats ciciici πϑπϑϑπ 22coscos2cos ⋅⋅−⋅⋅=+⋅=

( )t1φ ( )t2φ

j

5

Vamos a representar el conj nto de M señales



Vamos a representar el conjunto de M señales {si(t)} como combinación lineal de N funciones que deben ser ortonormales para formar base ( ⇒ ortogonalización de Grand-Schmidt)

Ortogonalidad:Norma unitaria:

( ) ( ) jitt ji ≠∀= 0,φφ

( ) ( ) itt ∀=1φφNorma unitaria:Trabajamos con símbolos de duración T

Producto escalar (orto-normalidad):

( ) ( ) itt ii ∀=1,φφ

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]⎩⎨⎧

=≠

=−=⋅= ∫ jiji

jidtttttT

jiji 10

,0

δφφφφ

L fi i t d bt



Los coeficientes sij se pueden obtener:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ij

N

k

T

jkik

T

j

N

kkik

T

ji

sdttts

dtttsdttts

=⋅⋅=

=⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⋅

∑ ∫

∫ ∑∫

=

=

10

01

0

φφ

φφφ

( ) ( )∫ ⋅=T

jiij dtttss0

φ⇒

δ [k-j]

6

Ejemplo 1: PSK ⇒ necesitamos como máximo 2



j pfunciones base

( ) ( )tfT

t cπφ 2cos21 ⋅=

( ) ( )tfsenT

t cπφ 222 ⋅=

Son ortonormales

( ) ( ) TttfTEts ici ≤≤+⋅= 02cos2 ϑπ

Cada símbolo si(t) podemos verlo como un vector en ℜ2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tfsenT

senEtfT

Ets cicii πϑπϑ 222cos2cos ⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=⇒

( )t1φ ( )t2φ

T

])(,)cos([)( iii senEEts θθ ⋅⋅⇒

C ti l M 4



Caso particular: M = 4

⇒ Con estas dos funciones base podemos representar todos los símbolos que

1

φ1(t)

φ2(t)

0

1ϑ2ϑ

podamos tener en PSK2 3

7

Ej l 2 ASK i ól 1 f ió b



Ejemplo 2: ASK ⇒ necesitamos sólo 1 función base

Ejemplo 3: FSK ⇒ necesitamos tantas funciones base como símbolos haya

( ) ( )tfT

ats cii π2cos2 ⋅⋅= φ1(t)a1 a2 a3

base como símbolos hayaM = 3

( ) ( )tfTEts ii π2cos2 ⋅=

φ2(t)

φ3(t)E

φ1(t)

E E

í b l i d d l



Los símbolos enviados podemos verlos como puntos en un espacio

Generados por una base de N funciones ortonormalesTendremos vectores en ℜN

Para la detección del símbolo: x(t) = s (t) + ω(t)Para la detección del símbolo: Hay que definir regiones asociadas a cada símbolo para tomar decisionesPara ello vamos a estudiar sus coordenadas

x(t) = si(t) + ω(t)

8

Análisis de las coordenadas



Análisis de las coordenadasTenemos:

Siendo las coordenadas:

( ) ( ) TttstsN

jjiji ≤≤⋅= ∑

=

01

φ

( ) ( )∫ ⋅=T

jiij dtttss0

φ

Sin embargo, realmente recibimos:0

( ) ( ) ( )ttstx i ω+= ⇒ Suponemos ω(t) → AWGN− Media cero: ηω = 0

( )2

0NfS =− ω

Para obtener las coordenadas del símbolo



Para obtener las coordenadas del símboloAsumimos sincronismo: detección coherente

× ∫T

dt0

φ1(t)

x1 = si1 + n1

x(t) = s (t) + ω(t) × ∫T

dt0

x2 = si2 + n2x(t) si(t) + ω(t) ∫0

φ2(t)

× ∫T

dt0

φN(t)

xN = siN + nN

Coordenada i-ésima del símbolo

9

Obtenemos un vector de variables aleatorias:



⎥⎤

⎢⎡ x1Obtenemos un vector de variables aleatorias:

ω(t): Ruido gaussiano a la entrada ⇒ el ruido a la salida también será gaussiano

⇒ Las observaciones xj serán variables aleatorias

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣ Nx

xM2

jgaussianas

Para describir estas variables calcularemos su media y varianza

( )2, jjHj NXi

ση→

Media



{ } { } { } ijjijjijHjj snEsnsEXEi

=+=+==η

{ } ( ) ( ){ } 00

=⋅= ∫T

jj dtttEnE φω

{ } ijHj sXEi

=

⇒ Ya que el ruido a la entrada tiene media nula

Varianza (matriz de covarianzas)( ) ( ){ }kkjjjk XXEc ηη −⋅−=

{ }kjjkijj

jijj nnEcs

nsX⋅=⇒

⎭⎬⎫

=+=

η

10

Varianza (matriz de covarianzas)



( )

⇒ Ruido blanco de media nula

( ) ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ){ } ( ) ( )∫ ∫

∫∫⋅⋅⋅=

=⋅⋅⋅=

T T

kj

T

k

T

jjk

dtdtttttE

dtttdtttEc

0 20 12121

0 2220 111

φφωω

φωφω

( ) ( )210

21 2ttNttR −⋅=− δω

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠=⋅⋅= ∫ kjN

kjdtttNc

T

kjjk

2

0

2 00 1110 φφ ⇒ Matriz de

covarianzas diagonal

NjNjX ,,1

202 K==σ



Las observaciones son gaussianas, incorreladas, y tienen todas la misma varianza

⇒ Tenemos N observaciones independientes

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛→⇒

2, 0NsNX ijHj i

Función de verosimilitud para cualquier hipótesis

( ) ( )∏=

=N

jHjXHX iji

xfxf1

20N

=σ( ) ( )∑⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= =

−⋅−N

jijj

i

sxN

HX exf 1

222

1

21 σ

πσ

11

Reglas de decisión para 2 hipótesis



Reglas de decisión para 2 hipótesisCriterio MAP

Criterio ML

( ) ( ) ( )( )

( )( )0

110

1

0

1

0

1

0

HpHp

xf

xfxHpxHp

H

H

HX

HX

H

H

<>

⇔<>

( ) ( ) ( )( ) 1

1

0

1

0

1

1

0

0

H

H

HX

HXHX

H

H

HX xf

xfxfxf

<>

⇔<>

Reglas de decisión para M hipótesis



Reglas de decisión para M hipótesisCriterio MAP

Maximiza la probabilidad a posteriori

Criterio ML

( )[ ] MmxHpmáxm m ,,1argˆ K==

Maximiza la función de verosimilitud

( )[ ] MmxfmáxmmHX ,,1argˆ K==

12

Observamos: y tratamos de decidir



[ ]xxx 1=Observamos: , y tratamos de decidir cuál de los M símbolos es el posible

Criterio ML:

[ ]Nxxx ,,1 K

( ) ( )∑⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= =

−⋅−N

jijj

i

sxN

HX exf 1

222

1

21 σ

πσ

( )[ ] ⎫⎧ N

( )[ ]iHX xfmáx

Lo que hacemos es calcular la distancia de la observación x a todos los símbolos en ℜN, y quedarnos con aquel que está más cerca de la observación

( )[ ] ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⇔ ∑=

N

jijjHX sxmínxfmáx

i1

2

Hasta ahora hemos supuesto una detección

7.3.- Receptores coherentes e incoherentes


Hasta ahora hemos supuesto una detección coherente

La señal observada está perfectamente en fase con cada una de las señales base ⇒ están sincronizadas

( ) ( )∑ ⋅=N

jiji tsts φ ( )tjφ

Pero hay receptores que no precisan de este sincronismo

=j 1j

Sincronizadas

13

De esta manera se distinguen



De esta manera, se distinguenSistemas coherentes

Hay un tiempo previo para engancharse en fase, sincronizare y, luego, empezar a procesarSon sistemas más complejos

Sistemas incoherentesNo necesitan sincronismo

Ejemplo: FSK con M = 2



( ) ( )tft 2cos2 πφ ⋅=Ejemplo: FSK, con M 2

Recibimos:

( ) ( )tfT

t 11 2cos πφ =

( ) ( )tfT

t 22 2cos2 πφ ⋅=

( ) ( )ϑπ +⋅= tfTEtx 12cos2

: desconocido

(error de fase)

ϑ

φ2(t)

Queremos obtener la coordenada del símbolo asociada a f1 ⇒ E

φ1(t)ϑ

E

14

Esquema del detector incoherente a frecuencia fi



q fi

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅−⋅⋅⋅=

=+⋅=

ϑπϑπ

ϑπ

sentfsenT

tfT

E

tfTEtx

ii

i

22cos2cos2

2cos2

× ∫T

dt0

( )22cy( )ϑcos⋅E

∫0

x(t)

× ∫T

dt0

+( )tf

T iπ2cos2 ⋅

( )tfsenT iπ22

⋅

( )

( )2

+ E

2sy

+

( )ϑsenE ⋅−

Los sistemas incoherentes son más sencillos pero



Los sistemas incoherentes son más sencillos, pero tienen alguna desventaja frente a los sistemas coherentes:

El ruido tiene dos componentes: fase y cuadratura

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tfsentntftntn isic ππ 22cos ⋅−⋅=

Con un sistema incoherente pasan las dos componentes, por lo que se complica el análisis de ruidoCon un sistema coherente filtramos una de las dos componentes

15

Vamos a estudiar los siguientes esquemas:

7.4.- Análisis de los tipos de modulación


Vamos a estudiar los siguientes esquemas:Coherentes

PSK binarioFSK binarioPSK cuaternario (QPSK)

IncoherentesS bi iFSK binario

PSK diferencial (DPSK)

Para comparar los esquemas: probabilidad de error

PSK binario con detección coherente



PSK binario, con detección coherenteTenemos 2 símbolos distintos (M = 2), cada uno con su fase asociada

( ) ( ) TttfTEtsH c ≤≤⋅=≡ 02cos2

11 π

EE 22

Sólo es necesario una función base

( ) ( ) ( ) TttfTEtf

TEtsH cc ≤≤⋅−=+⋅=≡ 02cos22cos2

00 πππ

( ) ( )tfT

t cπφ 2cos2⋅=

16

En recepción tendremos:



En recepción tendremos:

Esquema del detector: criterio ML

Si aplicamos el criterio ML ⇒ El umbral será el punto medio de las distancias entre ambos

E− E2σ

φ(t)Región Z0 Región Z1

2σ

0


× ∫T

dt0x(t) = s(t) + ω(t)

φ(t)

x “1”

“0”λ = 0

0

Probabilidad de error



Probabilidad de errorSi usamos el criterio ML, será la misma que la de un sistema polar banda base

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

221

σAerfcep

A 2σ

Ahora:( )

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅⋅=

22

21

0NEerfcep

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

202 N

EAσ

2σ-A

17

Por lo que la probabilidad de error queda:



q p q

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

021

NEerfcep

⇒ La probabilidad de erorr disminuye cuanto mayor sea

p(e)

la energía respecto a la variabilidad introducida por el ruido

Eb/N0

FSK binario con detección coherente



FSK binario, con detección coherenteFSK:

C d í b l

( ) ( ) TttfTEts ii ≤≤⋅= 02cos2 π

Tif

Tinf ci +=+=

⎧ → 11 HfCon dos símbolos:Necesitamos dos funciones base:

⎩⎨⎧

→→

⇒=00

112HfHf

M

( ) ( )tfT

t 11 2cos2 πφ ⋅=

( ) ( )tfT

t 00 2cos2 πφ ⋅=⇒ Son ortonormales

18

En el receptor:



En el receptor:La constelación queda: criterio ML

⇒ Umbral: Bisectriz del primer y tercer

Región Z0

φ0(t)

x1 = x0

E p ycuadrante

φ1(t)

E

ERegión Z1





11 HH

× ∫T

dt0

x(t) φ1(t)

x1

× ∫T

dt0

φ0(t)x0

“1”

“0”λ = 0-+

+ L0

Criterio de decisión:

L = X1 - X0: Diferencia de variables aleatoriasX1 y X0 son gaussianas e incorreladas independientes⇒ L gaussiana

000

0101

HH

xxlxx<>

−=⇒<>

φ0( )

19

L es una v. a. gaussiana y para describirla:



g y pMedia

Varianza

{ } { } { } EExExELE HHH −=−=−= 0000 01

{ } { } { } EExExELE HHH =−=−= 0111 01

0002222

220110NNN

xxLL HH=+=+== σσσσ




Probabilidad de errorLa regla de decisión se plantea sobre L

⇒ Estamos de nuevo en el caso polar (criterio ML), con:

2 NEA =E− E

lRegión Z0 Región Z1

0

NN

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

0221

221

NEerfcAerfcep

σ

02 N=σN0N0

20

Esta probabilidad de error es mayor que en PSK



p y q

Intuitivamente:

⇒ Para una misma relación: Eb/N0, la p(e) es mayor en FSK

Eb/N0

p(e)FSK

PSK

En PSK los símbolos están más separados, por lo que la probabilidad de error será menor

FSK: Símbolos ortogonalesPSK: Símbolos polares

E− E

s0 s1

0E

E

PSK cuaternario (QPSK) con detección



PSK cuaternario (QPSK), con detección coherente

Ahora tenemos cuatro símbolos: M = 4

( ) 3,2,1,0;04

122cos2=≤≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+⋅= iTtitfTEts ci ππ

Harán falta 2 funciones base:

( ) ( )tfT

t cπφ 2cos21 ⋅=

( ) ( )tfsenT

t cπφ 222 ⋅=

21

La constelación quedará:



La constelación quedará:

s1

φ1(t)

φ2(t)

s0

E2

E−E−2

E

E

2E

E

Con coordenadas:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

±

±=

2

2E

E

sij

s2 s3

E−

2E−

En el receptor: criterio ML



En el receptor: criterio MLLas regiones para cada símbolo estarán limitadas por los ejes

s1

φ2(t)

s0

Región Z0Región Z1

φ1(t)

s2

0

s3

Región Z3Región Z2

22





× ∫T

dt0

x(t) = si(t) + ω(t) φ1(t)

x1

“00”“01”“10”“11”

∫T

MUX

1/0

× ∫ dt0

φ2(t)

x2 1/0

Probabilidad de error: criterio ML




Símbolos equiprobables:

Los son iguales para todos los símbolos ya que

( ) ( ) ( )∑=

⋅=3

0iiH Hpepep

i

( )41

=iHp

( )Los son iguales para todos los símbolos, ya que hay simetría total

( )iHep

( ) ( ) ( ) 3,2,1,0,441 =∀=⋅⋅= iepepep

ii HH

23

Habrá error de símbolo si:



Los ruidos son independientes en cada eje:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )oaoaoa eepepepeepep ∩−+=∪=

Error en abscisa

Error en ordenada

( ) ( ) ( ) ( ) ( )epepepepep +=

Los ejes son iguales:

Normalmente: p(e) = 10-4, 10-5, … ⇒ p2(eo) despreciable frente a 2⋅p(eo), luego:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )oaoa epepepepep ⋅−+=

( ) ( )oepep ⋅≅ 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )oooa epepepepep 22 −⋅=⇒=

Calculamos p(eo):



p( o)

⇒ Estamos de nuevo en el caso polar (criterio ML), con:

22

02 N

EA

=

=

σ

⎞⎛

20N2E

2E− 20N

Por lo tanto la probabilidad de error de símbolo queda:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅=

222

21

0NE

erfcep o

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

02NEerfcep S

24

En QPSK no hay igualdad entre símbolo y bit



Q y g y2 bits ≡ 1 símbolo

( ) ( ) ( )bbs epNEerfcepep =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⇒⋅≅

02212

( ) ( ) ( ) ( ) ( )212121 bbbbbbs eepepepeepep ∩−+=∪=

0

− E ≡ Energía de símboloE = 2 E ⇒ E = E/2 ≡ Energía de bit

En QPSK tenemos la misma BER que en PSK binario, pero ahora la tasa binaria se ha duplicado (transmitimos al doble de velocidad)

⇒ Probabilidad de error de bit (BER)

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

021

NEerfcep b

b

− E = 2 ⋅ Eb ⇒ Eb = E/2 ≡ Energía de bit

FSK binario con detección incoherente



FSK binario, con detección incoherenteEn los sistemas con detección incoherente el transmisor y el receptor no están sincronizados

⇒ si(t) y φi(t) no están alineados temporalmente

( ) ( )ϑπ +⋅= tfTEts ii 2cos2

Solución: Operar con las envolventes

T

( ) ( )tfT

t ii πφ 2cos2⋅=

ϑ : Desconocido (error de fase)

25


Al operar con la envolvente mientras que las


Al operar con la envolvente, mientras que las proyecciones en fase y cuadratura (x e y) dependen de θ, la envolvente es constante

( ) ( ) ϑϑϑ ∀≡=+ .22 cteEyxE( )ϑsenE ⋅=y

( )ϑcos⋅= Exφ1(t)

ϑ

En el receptor:



En el receptor:Detector de envolvente a frecuencia fi

× ∫T

dt0

x(t) = si(t) + ω(t) ( )tfiπ2cos2 ⋅

( )2

+ E

+

× ∫T

dt0

+

( )fT i

( )tfsenT iπ22

⋅

( )2

+ E

26

Si esperamos 2 símbolos posibles (M = 2)



Si esperamos 2 símbolos posibles (M 2), calculamos las envolventes a las frecuencias f1 y f2, y comprobamos cuál es mayorEsquema del detector

Suponemos que se aplica el criterio ML

rDetector de envolvente a f1

x(t) = si(t) + ω(t)

r1

Detector deenvolvente a f2 r2

“1”

“0”λ = 0-+

+




Probabilidad de error: criterio MLSuponemos que se envía el símbolo H1 (f1)

El detector de envolvente a f2 sólo recibe ruido

( ) 022

22

222

22

12>⋅=→

−rerrfr

r

HRσ

σ

⇒ La envolvente de un ruido gaussiano sigue una distribución Rayleigh

El detector de envolvente a f1 recibe señal y ruido

( ) 0121

02

21

112

221

11>⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⋅⋅=→+

−rrAIerrfr

Ar

HR σσσ

⇒ La envolvente de una señal sinusoidal y un ruido gaussiano sigue una distribución Rician

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

202 N

EAσ

27

Expresamos la probabilidad de error como:



p p

Los símbolos son equiprobables:

Por la simetría del problema:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )01 01HpepHpepep HH ⋅+⋅=

( ) ( )21

10 == HpHp

( ) ( )10 HH epep =

Por lo que la probabilidad de error se simplifica en:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )10102

1HHHH epepepepep ==+⋅=

Calculamos:



( ) ( )12 HH rrpep >=( ) ( )11 12 HH rrpep >

r1

r2

H1

r1

r2 = r1

R

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞+ ∞+

===0 1221

112111

, drdrrrfRpepepr HRRHH

1r1

28

Las variables aleatorias que representan el ruido son



q pgaussianas e incorreladas

( )11 1 HR rf ( )

12 2 HR rf⇒ y independientes

⇒ El ruido en un canal es ortogonal al del otro

( ) ( ) ( )1211121 2121, HRHRHRR rfrfrrf ⋅=

( )( )+ ⎞⎛

22

221 E rEr

Y la probabilidad de error queda:

( ) ( )( )

∫ ∫∞+ ∞+ −

+−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅⋅==⇒

0 122

22

21

02

21

1

22

21

1drdrerrEIerepep

r

rEr

Hσσ

σσσ

( ) 02

21 N

E

eep−

⋅=⇒ Expresión diferente a las anteriores, ya que tenemos otras fX(x)

⇒ Sigue siendo una función decreciente con E/N0

PSK diferencial (DPSK)



( )De forma aproximada se puede ver como un sistema PSK con detección incoherente (no es correcto)

QPSK con detección coherenteiϑInformación en la fase:

( ) ( )tfEts ϑπ +⋅= 2cos2⎧

Necesitamos dos funciones base:

( ) ( )ici tfT

ts ϑπ += 2cos

⇒ El argumento lo usamos para tener que decidir entre los posibles símbolos

( ) ( )

( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅=

⋅=

tfsenT

t

tfT

t

c

c

πφ

πφ

22

2cos2

2

1

φ1(t)

φ2(t)

iϑ

si

iϑ

29

QPSK con detección incoherente



QPSK con detección incoherente

Ahora los símbolos no están alineados temporalmente con las funciones base

ψ : Desconocido (error de fase)

( ) ( )ψϑπ ++⋅= ici tfTEts 2cos2

QPSK-Coherente QPSK-Incoherente

⇒ Todo está ϑ1ϑ 0ϑ ψ

Si mantenemos las decisiones como con detección coherente, la P(e) será muy elevadaEn PSK es muy importante estar sincronizado en fase

⇒ PSK con detección incoherente no tiene sentido

girado un ángulo desconocido ψ

0ϑ2ϑ

3ϑ 1ϑ 2ϑ3ϑψ

Sin embargo se puede aprovechar la diferencia



Sin embargo, se puede aprovechar la diferencia entre las fases de los símbolos consecutivos

Ejemplo: PSK, con M = 2 “0” → Fase = π

“1” → Fase = 00ϑ

1ϑBPSK-Coherente BPSK-Incoherente

“0” “1” “1”

Se mantiene la diferencia de fases

DPSK consiste en enviar la información sobre la diferencia de fases, y no sobre las fases absolutas

0ϑ 1ϑπϑϑ =− 01

0 1

πϑϑ =− 01

“0”

ψ

30

Ejemplo DPSK:



Ejemplo DPSK:Queremos enviar: {bk} = {10010011}Esta información la codificamos con una secuencia intermedia:

Caso particular:

Operación lógicakkk bdd 1−= O.L.

Si bk = 1 ⇒ dk = dk-1

Tomamos el primer valor de dk arbitrariamente a “1”

{bk} = {1 0 0 1 0 0 1 1}

{dk} = {1 1 0 1 1 0 1 1 1}

Fase = 0 0 π 0 0 π 0 0 0

1−kdk k k 1

Si bk = 0 ⇒ dk =



Codificamos {dk} como PSK ordinarioTenemos como resultado neto en {dk}:

Cambio de fase: si se ha enviado “0”Se mantiene la fase: si se ha enviado “1”

31

En recepción: criterio ML



En recepción: criterio MLSe reciben dos símbolos consecutivos y se comprueba si cambia su fase o no

Tendremos dos situaciones posiblesφ2(t)

s(i)s(i-1)

φ2(t)s(i)

φ1(t)ψ

( )

No cambia la fase ⇒ “1”

φ1(t)ψ

s(i-1)

Cambia la fase ⇒ “0”

Para decidir si hay cambio de fase habría que



Para decidir si hay cambio de fase, habría querealizar el producto escalar entre los dos símbolosconsecutivos y comprobar el signo

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϑcos11 ⋅−⋅=−⋅ isisisis

( ) ( ) "1"01 →>−⋅ isis

( ) ( ) "0"01 →<−⋅ isis

= 0 : No cambia la fase ⇒

= π : Cambia la fase ⇒

ϑ

ϑ

Decisión:

( ) ( ) ( ) ( ) 0110

1

H

H

sscc isisisis<>

−⋅+−⋅

( ) ( ) 001 →<isis π : Cambia la fase ⇒ϑ

32





× ∫T

dt0

x(t)

+( )tf

T cπ2cos2⋅ Retardo

T ++

×sc(i)

sc(i-1)

“1”

“0”

× ∫T

dt0

+

( )tfsenT cπ22 ⋅ Retardo

T

×ss(i)

ss(i-1)

“0”λ = 0




Probabilidad de errorSu cálculo es más complicado que en los esquemasanteriores

Hay que tener en cuenta la correlación entre dossímbolos en las decisiones

Cualitativamente:Para un sistema incoherente: ( ) 02

21 N

E

eep−

⋅=

Ahora tenemos dos símbolos para decidir: ES = 2 ⋅ Eb

⇒ Podemos aproximar la p(e) en DPSK

2

( ) 0

21 N

Eb

eep−

⋅≅

33

No es del todo correcta



Los símbolos no son totalmente independientesLos errores en un bit se propagan durante un tiempo(propagación por ráfagas)Cada cierto tiempo se re-sincroniza para evitar queesas ráfagas se extiendan en el tiempo

Comparación entre esquemas de modulación



Comparación entre esquemas de modulación

PSK y QPSK coherentes:

FSK coherente:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

021

NEerfcep b

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

0221

NEerfcep b

DPSK:

FSK incoherente:

⎠⎝ 0

( ) 0

21 N

Eb

eep−

⋅≈

( ) 02

21 N

Eb

eep−

⋅=

34




CUESTIONES TEMA 7

TRANSMISIÓN DIGITAL PASO BANDA

1.- Tipos de modulación digital paso banda.

2.- Diagramas de bloques que relacionan {sij} y {si(t)} con i = 1, ..., M y j = 1, ..., N.

3.- Si X(t) = si(t) + W(t) es la entrada al banco de correladores, con W(t) un ruido blanco, gaussiano, con media cero y densidad espectral de potencia N0/2. ¿Cuánto vale Xj que es la salida de cada uno de ellos?. ¿Cuál es la distribución estadística de las variables aleatorias Xj?. Deducir la media y la varianza de esas variables aleatorias.

4.- ¿Cuál es la correlación cruzada de las variables aleatorias Xj y Xk con j≠k?. ¿Son Xj y Xk independientes?

5. Deducir la expresión de la función densidad de probabilidad de X, vector de las variables aleatorias {Xj}, condicionado a haber transmitido el símbolo mi.

6.- ¿Cuál es la regla de decisión de máxima probabilidad a posteriori?

7.- ¿Cuál es la regla final de decisión de máxima verosimilitud?

8.- ¿Qué diferencia hay entre detección coherente e incoherente?

9.- Determinar {si(t)}, {φj(t)}, {sij}, esquema del detector, y expresión de la probabilidad de error media para BPSK coherente y BFSK coherente.

10.- Diagrama de bloques para la detección incoherente en BFSK. Deducir la expresión de su probabilidad de error.

11.- Determinar {si(t)}, {φj(t)}, {sij}, espacio de señales transmitidas {Zi}, esquema del detector, y expresión de la probabilidad de error para la modulación QPSK coherente.

12.- Explicar la modulación DPSK, y mostrar el diagrama de bloques del detector.

13.- Comparar las curvas de Pe en función de E/N0 para BPSK coherente, BFSK coherente y BFSK no coherente.


PROBLEMAS TEMA 7


1.- Un transmisor envía uno de los mensajes siguientes:

( )

( )b

c

c

TttffAts

tffAts<<

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+⋅=0

22cos

22cos

1

0

π

π

de manera equiprobable. Sobre las señales enviadas se superpone un ruido gaussiano, de media cero y densidad espectral de potencia No/2. Suponga que la duración de los símbolos es de Tb segundos, así como que fc >> 1/Tb. El receptor correla las señales recibidas con las funciones φj(t) = cos(2πfjt), siendo fj igual, en cada caso, a las frecuencias asociadas a cada símbolo. Definiendo el coeficiente de correlación ρ entre s0(t) y s1(t) como

( ) ( )

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅

⋅⋅=

∫∫

∫bb

b

TT

T

dttsdtts

dttsts

0

210

20

0 10ρ

obtenga la probabilidad de error de bit del sistema como función de los parámetros que figuran en el enunciado del problema. 2.- Una universidad desea establecer un radioenlace entre dos de sus edificios. La calidad del enlace deber ser tal que la probabilidad de error de bit no puede superar 10-4. La potencia máxima que se permite transmitir es de 30 dBW, y la atenuación del canal es de 30 dB. El ruido que se superpone a la comunicación es blanco gaussiano, con densidad espectral de potencia de nivel N0/2, con N0 = -78 dBW/Hz. Se plantean dos situaciones:

• Suponiendo que el sistema emplea QPSK bajo las condiciones del criterio ML: a) Calcule el máximo régimen binario que puede mantenerse en el enlace. b) Dibuje la constelación de la señal modulada a la entrada del receptor. c) Indique la estructura del receptor óptimo, así como las regiones de decisión

correspondientes a cada símbolo. d) Calcule la eficiencia espectral (régimen binario dividido por ancho de banda

ocupado) tomando como ancho de banda el mínimo teórico. • Suponiendo que el sistema emplea una modulación BFSK ortogonal coherente,

obtenga el umbral de decisión óptimo sabiendo que la probabilidad a priori del símbolo “0” es 0.7. Exprese el resultado en función de Eb y No.

3.- La secuencia binaria {1100100010} se aplica a un transmisor DPSK que emplea como referencia el dígito binario “1”. Esquematice en un cuadro la secuencia original, la secuencia intermedia, las fases enviadas, las componentes en fase y cuadratura y las polaridades de los productos escalares de ambas, así como la secuencia de símbolos recibida (asuma ausencia de ruido). 4.- Sea un sistema PSK coherente binario, que emite uno de los dos posibles símbolos:

bcb

bc

b

bo

bcb

bc

b

b

TttfkTE

tfkTE

ts

TttfkTE

tfkTE

ts

≤≤⋅−−⋅⋅=

≤≤⋅−+⋅⋅=

0)2cos(12

)2sin(2

)(

0)2cos(12

)2sin(2

)(

2

21

ππ

ππ

Supongamos que los símbolos se transmiten de forma equiprobables y que la señal llega contaminada al receptor con un ruido blanco, gaussiano, media nula y densidad espectral de potencia 2/)( 0NfSw = .Deduzca la probabilidad de error en función del error complementario de bE , k y 0N . Compare con la probabilidad de error del sistema convencional BPSK con detección coherente para símbolos equiprobables. Suponga

1k ≤ .

1




1. ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅−⋅

⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅⋅⋅=

00 21

211

221

NE

erfcN

TAerfcep bb ρρ

2. Haciendo uso de una modulación QPSK: a) 10≤bR Mbps b)

CONSTELACIÓN

c) RECEPTOR ÓPTIMO

2

d) 2=η

Usando BFSK ortogonal coherente:

42.00

0

1

⋅<>

bH

H

EN

y

3. Secuencia original 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 Secuencia intermedia 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 Fase 0 0 0 π 0 0 π 0 π π 0 Componente en fase (xc) + + + - + + - + - - + Componente en fase retardada (xc-1) + + + - + + - + - - Componente en cuadratura (xs) + + + - + + - + - - + Componente en cuadratura retardada (xs-1) + + + - + - - - + - xc⋅xc-1 + + - - + - - - + - xs⋅xs-1 + + - - + - - - + - xc⋅xc-1+ xs⋅xs-1 + + - - + - - - + - Secuencia recibida 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0

4.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

0

2 )1(21)(

NkE

erfceP b




PRÁCTICAS DE LABORATORIO

CURSO 2010/2011




Tutorial de Introducción a Matlab ®

Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Tutorial de Introducción a Matlab®

1

1. OBTENCIÓN DE AYUDA Y GUÍAS DE REFERENCIA

Matlab® es un conjunto de herramientas de cálculo basadas en matrices especialmente diseñado para resolver problemas numéricos como los que se dan en aplicaciones científicas o de ingeniería.

A continuación se detallan varios sistemas de ayuda que permiten obtener información de las diferentes funcionalidades de Matlab®. Se recomienda que el alumno se familiarice con ellos y con la información que proporcionan:

• Ayuda on line de Matlab®: accesible a través de los comandos helpwin, help o lookfor.

• helpdesk nos proporciona la ayuda en su versión web. Un buen punto de partida para introducirse en Matlab® es el Enlace “getting started”.

• Demostraciones de Matlab® accesibles a través del comando demo.

Además, también serán elementos de ayuda para el desarrollo del laboratorio:

• The Mathworks, manual de usuario de Matlab® en formato “.pdf”, accesible a través de la ayuda en formato “.html”.

• Su página web: http://www.mathworks.com/

2. ACCESO A MATLAB ®

Para acceder a Matlab® basta con hacer uso del icono que encontraremos en el escritorio de cada uno de los PCs del laboratorio. También se puede iniciar una sesión accediendo al ejecutable a través del menú Programas.

Inicio de sesión

La pantalla inicial de Matlab® muestra una ventana con un aspecto similar a:

To get started, type one of these: helpwin, helpdes k, or demo. For product information, type tour or visit www.m athworks.com. »

o a:

To get started, select MATLAB Help or Demos from th e Help menu. »

El símbolo “»” indica que el programa está listo para que introduzcamos

nuestras instrucciones. Si se desea abandonar la sesión de Matlab® basta con ejecutar:

» quit o


2

» exit

Configuración del path

Una vez iniciado Matlab®, conviene configurar el directorio de ejecución actual de los programas. Para ello, se accede al menú: File -> Set path -> Add folder, y se selecciona la carpeta en la que estén contenido los programas. Una vez hecho ya se podrán ejecutar los programas de nuestro directorio, tecleando su nombre en la línea de comandos. Igualmente, puede hacer que el directorio de trabajo sea el correspondiente a su cuenta de laboratorio sin más que seleccionarlo en Current Directory.

3. INTRODUCCIÓN DE MATRICES

Los elementos de trabajo fundamentales en Matlab® son las matrices. Si se pretende representar un escalar se hará a través de una matriz 1x1; las matrices con una sola fila, 1xN, o con una sola columna, Nx1, representan vectores. Además hay que tener en cuenta que los elementos de una matriz pueden ser complejos, es decir, constar de parte real y parte imaginaria.

En Matlab® se suele trabajar asignando estas matrices a variables con un

determinado nombre. Así, para introducir una matriz 3x3 y asignarla a una variable denominada A podemos hacer:

» A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] o bien:

» A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9] Los elementos de una fila de la matriz se separan por espacios en blanco, aunque

también se pueden usar comas. Para separar cada una de las filas se utilizará punto y coma. Se debe ser cuidadoso con el uso de espacios en blanco.

Para identificar a cada uno de los elementos de una matriz se indicará la fila y columna correspondiente al valor deseado:

» a=A(2,2) a = 5

De esta manera se ha identificado el elemento que se encuentra en la segunda fila y segunda columna de la matriz A. Si se hubiera definido un vector bastaría con utilizar un único índice para referenciar el elemento de interés. Estos índices que identifican los elementos de una matriz deben ser siempre números enteros positivos.


3

4. FUNCIONES PARA CONSTRUIR MATRICES

Para construir matrices de una forma más sencilla Matlab® dispone de muchas funciones. Algunos ejemplos con los que se recomienda experimentar son:

eye Matriz identidad zeros Matriz de ceros ones Matriz de unos diag Ver help diag triu Parte triangular superior de una matriz tril Parte triangular inferior de una matriz rand Matriz de elementos aleatorios (distribución uniforme) randn Matriz de elementos aleatorios (distribución gaussiana) hilb Matriz de Hilbert magic Matriz mágica toeplitz Ver help toeplitz

Si x es un vector, diag(x) es la matriz diagonal con x en su diagonal; si A es una

matriz cuadrada, entonces diag(A) es un vector formado por la diagonal de A.

Las matrices se pueden construir por bloques. Por ejemplo si A es una matriz 3x3:

» B=[A, zeros(3,2); zeros(2,3), eye(2)] B = 1 2 3 0 0 4 5 6 0 0 7 8 9 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

5. OPERACIONES CON MATRICES

Las operaciones que se pueden realizar son:

+ Suma - Resta * Multiplicación ^ Potenciación ‘ Transposición \ División izquierda / División derecha

Todas estas operaciones se pueden aplicar sobre matrices [NxM] o escalares

[1x1]. En el caso de que las dimensiones de las matrices sean incompatibles con la operación que se pretende realizar, Matlab® mostrará un mensaje de error. No obstante, determinadas operaciones se realizan de forma particular. Así, si a una matriz [NxM] se le resta o suma un escalar, esta operación se realiza sobre cada uno de los elementos de la matriz:


4

» A+1 ans = 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Es posible utilizar los operadores para realizar operaciones por coordenadas, es

decir, elemento a elemento entre las matrices involucradas en la operación. Para realizar este tipo de operaciones se usa el operador “.”. Así, si un operador aparece precedido de un punto ( .^, .*, .\, ./ ) la operación se realizará elemento a elemento, como en el siguiente ejemplo, en el que se eleva al cuadrado cada valor de la matriz:

» A.^2 ans = 1 4 9 16 25 36 49 64 81

6. EXPRESIONES, VARIABLES Y SESIONES

Matlab® es un lenguaje de expresiones. Éstas son interpretadas y evaluadas. Como se ha visto en los ejemplos previos las expresiones en Matlab® son del tipo:

» variable = expresión

o » expresión

Una expresión estará compuesta por operadores, funciones y nombres de

variables. El resultado de evaluar una expresión es una matriz, que se mostrará por pantalla y se almacenará en la variable indicada para su posterior uso. Si se omiten la variable y el signo “=” se crea una variable llamada ans a la que se le asigna el resultado de la expresión.

Una instrucción termina con un retorno de carro. Si se desea continuar con ella en la siguiente línea basta con escribir tres (o más) puntos al final, antes del retorno de carro, como se ilustra a continuación:

>> A=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 10; 11 12 13 14 15 ...

16 17 18 19 20]

A =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

>>

Para agrupar varias instrucciones en una línea se separarán éstas por comas o

puntos y comas; aquéllas que finalicen con “;” no muestran el resultado por pantalla.


5

Es necesario indicar que Matlab® es sensible al uso de mayúsculas y minúsculas,

tanto en los nombres de variables como en los de instrucciones y funciones.

Para saber qué variables hay almacenadas en nuestro espacio de trabajo se utiliza la instrucción who:

» who Your variables are: A F G S

Si se desea eliminar una variable de la memoria se hará:

» clear variable

Para eliminar todas las variables no permanentes bastará con teclear clear .

Es posible almacenar las variables de la sesión actual de Matlab® para utilizarlas

en una sesión posterior con la instrucción save , que genera un fichero en el disco con el nombre matlab.mat guardando los datos de nuestra sesión. Para recuperar estos datos en una sesión posterior se hará uso de la instrucción load . Si se desea, es posible asignar un nombre diferente al archivo en el que se almacenan los datos de la sesión o seleccionar qué variables guardar, tal como se explica en la ayuda del comando save .

Matlab® es un lenguaje de programación interpretado, es decir, los programas no necesitan una compilación o enlazado previos a su funcionamiento y las expresiones que componen una determinada secuencia de instrucciones o programa se ejecutan de manera secuencial.

7. BUCLES. OPERADORES RELACIONALES

Matlab® tiene instrucciones para el control de flujo de los programas que actúan de forma similar al resto de los lenguajes.

for

La forma general de un bucle for es:

for contador instrucciones end

Veamos un ejemplo para un valor determinado de una variable n que actúa como

límite del bucle, en concreto generaremos un vector con cuatro elementos:

» n = 4; » x=[];for i = 1:n, x=[x,i^2], end x = 1


6

x = 1 4 x = 1 4 9 x = 1 4 9 16

Lo anterior sería equivalente a escribir:

» x=[]; » for i = 1:n x=[x,i^2] end x = 1 x = 1 4 x = 1 4 9 x = 1 4 9 16

En un bucle for se puede indicar la cantidad que queremos que se incremente la

variable contador (i en este caso) en cada iteración del bucle. Por defecto i será incrementada en una unidad por iteración. Así podemos tener un bucle for como:

» for i = n:-1:1, x=[x,i^2],end x = 16 x = 16 9 x = 16 9 4 x = 16 9 4 1

Una anidación de bucles for puede usarse para construir una matriz, como en el

siguiente ejemplo, que proporciona la matriz Hilbert m x n. Puesto que se usa el “;” no se muestran los resultados intermedios. El uso de H al final muestra la variable resultado.

» m=10 m = 10 » n=5 n =


7

5 » for i =1:m for j= 1:n H(i,j)=1/(i+j-1); end end » H H = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.0769 0.1000 0.0909 0.0833 0.0769 0.0714

while

La forma general de un bucle while es:

while relacion Instrucciones end

Las instrucciones se ejecutarán mientras se cumpla la relación. Por ejemplo:

» while 2^n < a n=n+1; end » n

este bucle se repetirá hasta que la relación: 2n < a, no sea satisfecha.

if, else, elseif

La forma general de una instrucción if es:

if relación instrucciones elseif relación instrucciones else instrucciones end

De esta forma se puede alterar el flujo secuencial de un programa. Las

instrucciones dentro del bucle if sólo se ejecutarán una vez y sólo si la relación es cierta. Es posible tener ramificaciones múltiples:

» if n<0 paridad=0; elseif rem(n,2) == 0 paridad=2;


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else paridad=1; end

Relaciones en Matlab ®

Los operadores relacionales en Matlab® son:

< Menor que > Mayor que <= Menor o igual que >= Mayor o igual que == Igual ~= Distinto

Es importante tener en cuenta que el signo “=” se usa en las asignaciones de valor mientras que el “==” se usa en las relaciones.

Para conectar relaciones o cuantificar las mismas se usan operadores lógicos:

& AND | OR ~ NOT

Las relaciones entre escalares, es decir, entre matrices 1x1, devuelven un escalar, que será 1 ó 0 dependiendo de si la relación es verdadera o falsa:

» 1 > 0, 1 < 0, 1 == 0, 1 ~= 0 ans = 1 ans = 0 ans = 0 ans = 1

Si la relación se aplica a matrices del mismo orden, la evaluación de ésta da lugar a una matriz de ceros y unos, valores correspondientes a calcular la relación entre los distintos elementos de cada matriz.

Es importante observar el correcto uso de la relación entre matrices en un bucle while o una sentencia condicional if. Por ejemplo, en

» if a==b instrucciones end


9

las instrucciones se ejecutarán si todos los elementos de la matriz a son iguales a los de b. Pero, si se desea ejecutar las mismas instrucciones sólo si a y b son distintas hay que recurrir a

» if any(any(a~=b)) instrucciones end

o más sencillo:

» if a==b else instrucciones end

ya que la expresión

» if a~=b instrucciones end

sólo se ejecutará si todos los elementos de a son distintos a los de b. Las funciones any y all pueden utilizarse para reducir relaciones entre matrices a relaciones entre vectores y escalares. En el ejemplo anterior se requieren dos any porque éste es un operador vectorial.

8. FUNCIONES ESCALARES

Las funciones más comunes de Matlab® que operan sobre magnitudes escalares o sobre matrices elemento a elemento son: sin asin rem abs ceil cos acos log sqrt floor tan atan exp sign round

Se puede obtener más información sobre cada una de estas funciones escalares con el comando help .

9. FUNCIONES VECTORIALES

Otras funciones operan sobre vectores fila o columna, o sobre matrices mxn (con m ≥ 2). En este último caso operan columna a columna y proporcionan como resultado un vector fila cuyos elementos son las evaluaciones de la operación sobre cada columna. El siguiente ejemplo hace uso del comando mean, que calcula la media de los elementos de un vector.

a = 0.9501 0.7621 0.6154 0.4057 0.0579 0.2311 0.4565 0.7919 0.9355 0.3529 0.6068 0.0185 0.9218 0.9169 0.8132 0.4860 0.8214 0.7382 0.4103 0.0099 0.8913 0.4447 0.1763 0.8936 0.1389 » mean(a)


10

ans = 0.6331 0.5006 0.6487 0.7124 0.2745 » mean(a,1) ans = 0.6331 0.5006 0.6487 0.7124 0.2745

El resultado de los comandos mean(a) y mean(a,1) es el mismo debido a que el segundo argumento de mean se refiere a la dimensión sobre la que se efectuará la operación. En el caso de operar sobre las columnas el escalar valdrá 1, mientras que si actuamos sobre las filas su valor será 2. Si se desea aplicar la operación a las filas basta con usar la matriz traspuesta – por ejemplo mean(a')' nos proporciona un vector columna con las medias calculadas para cada fila – o el comando mean(a,2) :

» mean(a') ans = 0.5583 0.5536 0.6554 0.4931 0.5090 » mean(a')' ans = 0.5583 0.5536 0.6554 0.4931 0.5090 » mean(a,2) ans = 0.5583 0.5536 0.6554 0.4931 0.5090

Algunas de las funciones vectoriales empleadas con mayor frecuencia son:

max sum median any sort min prod mean all std

Se puede obtener más información sobre cada una de estas funciones vectoriales con el comando help .

10. FUNCIONES MATRICIALES

Matlab® dispone de multitud de funciones matriciales. Es conveniente tener en cuenta que los argumentos de salida para una función en Matlab® pueden ser simples o múltiples. Por ejemplo:

y = eig(A) , o simplemente eig(A)


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proporciona un vector columna con los autovalores de A. Mientras que [U,D] = eig(A) genera una matriz U cuyas columnas son los autovectores de A y una matriz diagonal D con los autovalores de A en su diagonal.

11. SUBMATRICES Y NOTACIÓN DE DOS PUNTOS

Los vectores y submatrices son utilizados a menudo en Matlab® para conseguir efectos de manipulación bastante complejos. La “notación de dos puntos” se utiliza para generar vectores o submatrices. El uso conjunto de esta notación con la adecuada indexación por vectores son claves para realizar cálculos en Matlab® de forma eficiente, minimizando el número de bucles, que hacen la ejecución de los programas más lenta. Además, las instrucciones parecen más sencillas y legibles. Veamos un ejemplo de “notación de dos puntos”:

» 1:5 ans = 1 2 3 4 5

Resulta que 1:5 es en realidad el vector mostrado en la variable ans . Los números pueden no ser enteros y el incremento diferente de la unidad. Por ejemplo:

» 0:0.2:1 ans = 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000

El siguiente ejemplo muestra cómo generar una función sinusoidal sin usar un

bucle for con una variable haciendo de contador:

» x=[0.0:0.1:2*pi]’ » y=sin(x) » plot(x,y)

Mediante la notación de dos puntos se puede acceder a submatrices. Por

ejemplo, A(1:4,3) es el vector columna con las cuatro primeras entradas de la tercera columna de A.

Dos puntos sin más especificación denotan una fila o columna completa. Así, A(:,3) es la tercera columna de A y A(1:4,:) serán las cuatro primeras filas. Igualmente, se pueden usar como índices vectores enteros arbitrarios. Por ejemplo, A(:,[2 4]) serán las columnas segunda y cuarta de A. Otro ejemplo más elaborado podría ser A(:, [2 4 5]) = B(:,1:3) , que reemplaza las columnas 2, 4 y 5 de A por las tres primeras de B, asignando el resultado a la matriz A.

Podemos usar esta notación para trabajar con submatrices de forma eficiente y

sin utilizar bucles. Así, la instrucción A(:,[2,4])=A(:,[2,4])*[1 2;3 4] multiplica


12

las columnas 2 y 4 de A por una matriz 2x2 y el resultado se asigna de nuevo a la matriz completa.

12. ARCHIVOS .m

En Matlab® es posible ejecutar una secuencia de instrucciones almacenadas en un archivo de disco. Estos archivos se denominan “archivos .m” porque su extensión debe ser “.m”. Pueden ser de dos tipos: de funciones y de instrucciones.

Archivos de instrucciones. Scripts

Estos archivos “.m” consisten en una sucesión de instrucciones normales de Matlab®.Si tuviéramos un archivo denominado nombre.m, las instrucciones del archivo pueden ser ejecutadas sin más que escribir nombre . Las variables en un archivo de este tipo se consideran como globales y por lo tanto alterarán los valores de las variables del espacio de trabajo.

Los archivos de instrucciones se utilizan para cargas de datos en matrices de tamaño considerable, o cuando estas cargas son repetitivas, ya que es sencillo corregir errores sin tener que repetir todo el trabajo. Por ejemplo el archivo datos.m que incluye el siguiente contenido:

a=[ 1 2 3 4 5 6 7 8 ];

hará que al ejecutar datos se cargue la variable a con el valor especificado en el espacio de trabajo. Además este archivo puede hacer referencia a otros.

Resulta muy habitual emplear los archivos de instrucciones es como scripts. Los scripts no aceptan ningún tipo de argumento de entrada ni devuelven ningún argumento de salida y trabajan con datos situados en el espacio de trabajo (workspace). Los scripts son muy útiles dado que, al invocarlos, Matlab® simplemente ejecuta los comandos presentes en el fichero. Los scripts pueden trabajar con datos existentes en el espacio de trabajo o pueden crear nuevos datos con los que operar. Aunque hemos mencionado que los scripts no devuelven argumentos de salida, cualquier variable creada por ellos permanece en el espacio de trabajo, por lo que puede emplearse en cálculos posteriores. La utilidad de los scripts podrá comprobarse a lo largo de las prácticas de la asignatura.

Archivos de funciones

Mediante estos archivos Matlab® extiende sus capacidades de cálculo, creando funciones específicas para la resolución de tareas concretas. Estas funciones tendrán el mismo rango que cualquier otra de las existentes en el sistema. En este caso las variables empleadas serán locales a cada función, y si se pretende usar una variable como global habrá que declararla como tal explícitamente. Veamos un ejemplo sencillo con el archivo ental.m, cuyo contenido es


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function a = ental(m,n) %ENTAL Matriz generada aleatoriamente % ental(m,n) produce una matriz con mxn entradas % enteras entre 0 y 9 a = floor(10*rand(m,n));

Una versión más general de esta función es:

function a = ental(m,n,b,c ) %ENTAL Matriz generada aleatoriamente % ental(m,n) produce una matriz con mxn entradas % enteras entre 0 y 9 % ental(m,n,b,c) da las entradas de la matriz entre b y c if nargin < 3, b=0; c=9; end a = floor((c-b+1)*rand(m,n))+b;

La primera línea del archivo ental.m contiene el nombre de la función, así como los argumentos de entrada y de salida de la misma. Sin esta línea el archivo se consideraría como uno de instrucciones. Así la instrucción z = ental(4,5) hará que los números 4 y 5 pasen a las variables m y n en el archivo de función. El resultado se asignará a la variable z. Como las variables en un archivo de función son locales, sus nombres son independientes de los que se encuentren en el espacio de trabajo.

El uso de nargin (número de argumentos de entrada) permite asignar un valor por defecto a una variable de entrada que se omita, como b y c en el ejemplo.

Los argumentos de salida también pueden ser múltiples. Por ejemplo: function [w,ierr] = bessel(nu,z) %BESSEL Bessel functions of various kinds. % Bessel functions are solutions to Bessel's diff erential % equation of order NU: % 2 2 2 % x * y'' + x * y' + (x - nu ) * y = 0 % % There are several functions available to produc e solutions to % Bessel's equations. These are: % % BESSELJ(NU,Z) Bessel function of the fir st kind % BESSELY(NU,Z) Bessel function of the sec ond kind % BESSELI(NU,Z) Modified Bessel function o f the first kind % BESSELK(NU,Z) Modified Bessel function o f the second kind % BESSELH(NU,K,Z) Hankel function % AIRY(K,Z) Airy function % % See the help for each function for more details . % Copyright (c) 1984-98 by The MathWorks, Inc. % $Revision: 5.8 $ $Date: 1997/11/21 23:45:04 $ [w,ierr] = besselj(nu,z);

En el caso de que se usen argumentos de salida múltiples también es posible

hacer asignaciones simples al primero de los parámetros de salida.

El símbolo % indica que el resto de la línea es un comentario; así Matlab® lo ignorará durante la ejecución del código. Las primeras líneas de comentarios de un


14

archivo de función pueden consultarse con la instrucción help. Es imprescindible incluir esta documentación en cada archivo para una correcta clasificación y reutilización de nuestras propias funciones.

Matlab® dispone de funciones internas, construidas en el propio código del programa, y otras que se entregan como archivos “.m”. Se recomienda la inspección de dichos archivos, que pueden servir al alumno como fuente de inspiración a la hora de crear sus propias funciones. Para ver un archivo desde la línea de comandos de Matlab® usando el editor integrado en la aplicación basta teclear edit funcion.m . Las ventajas de crear funciones propias podrán comprobarse a lo largo de las prácticas de la asignatura.

13. CADENAS DE TEXTO, MENSAJES DE ERROR, INPUT

Las cadenas de texto se introducen entre comillas simples. Por ejemplo:

s = ‘Esto es una cadena de texto de prueba’

Las cadenas de texto pueden mostrarse con la instrucción disp :

disp(‘Esto es un mensaje’)

Para el caso en el que se desee mostrar algún tipo de mensaje de error resulta más aconsejable emplear la función error :

error(‘Lo siento, esto es un mensaje de error’) La diferencia entre las dos opciones consiste en que al emplear error se finaliza la ejecución del archivo “.m”.

Para la introducción de datos de manera interactiva se usa input . Si Matlab® encuentra la instrucción input durante la ejecución de un script o de un archivo de función, mostrará la cadena de texto asociada y parará la ejecución hasta que el usuario introduzca los datos. Estos se asignarán a la variable correspondiente tras el retorno de carro, continuando inmediatamente con la ejecución del programa.

14. DEPURACIÓN DE FUNCIONES

Matlab® dispone de herramientas para depurar funciones en archivos “.m”. Algunas de éstas son:

dbstop Fija un breakpoint dbclear Elimina un breakpoint dbcont Reanuda la ejecución dbdown Cambia el contexto de ejecución local dbstack Indica desde donde se llamó a una función dbstatus Lista todos los breakpoints dbstep Ejecuta una o más líneas dbtype Lista un fichero “.m” con números de línea


15

dbup Cambia el contexto de ejecución local

15. GRÁFICOS E INTERFACES GRÁFICAS

Matlab® permite dibujar gráficos planos y de malla de superficies tridimensionales.

Gráficos planos

La función plot crea gráficos en el plano XY; si x e y son vectores de la misma longitud, la orden plot(x,y) accede a la pantalla gráfica y realiza un gráfico plano de los elementos de y frente a los elementos de x. Intente dibujar de esta forma la función seno sobre el intervalo [-2*π,2*π], con un paso de 0.01, teniendo en cuenta que la función sin es vectorial.

Si realiza un nuevo gráfico, éste se dibujará sobre el anterior. Si desea mantener el primer gráfico se debe emplear la función hold ; con hold on y hold off congela y libera la pantalla gráfica actual. La instrucción grid dibujará una cuadrícula de referencia sobre el gráfico. Puede emplear el comando figure para realizar representaciones en diferentes ventanas. Como prueba, muestre un gráfico de la función

2xey −= con un paso de 0.01 sobre el intervalo [-1.5,1.5].

Para poner títulos, etiquetas y comentarios en los ejes de los gráficos se emplean los comandos title , xlabel , ylabel , gtext , text . Experimente con ellos. La escala de los ejes se ajusta automáticamente al pintar el gráfico, por lo que si desea fijar los ejes con unos valores determinados deberá usar el comando axis . La entrada de axis es un vector de 4 elementos de la forma [x min , x max, y min , y max] . El uso de axis congela el escalado para los siguientes gráficos que muestre. Para volver al escalado automático se emplea la función axis sin argumentos. Puede ver más utilidades de este comando con help axis .

En Matlab® también puede obtener gráficos de funciones múltiples formando una matriz con los valores de dichas funciones como columnas. El siguiente ejemplo representa tres funciones sinusoidales:

x=0:.01:2*pi; Y=[sin(x)’,sin(2*x)’,sin(4*x)’]; plot (x,Y)

Otra de las características de las representaciones gráficas en Matlab® es la posibilidad de realizar cambios en los tipos de línea y de punto asignados por defecto. Teclee help plot y experimente con ello.

Para finalizar, el comando subplot permite visualizar varios gráficos a la vez en

la pantalla. Este comando divide la ventana de representación de figuras en una matriz mxn. Posteriormente es necesario seleccionar la posición concreta en la que se quiere representar cada figura. La ayuda de Matlab® proporciona ejemplos ilustrativos acerca del uso combinado de plot y subplot .


16

Interfaces gráficas

Es posible construir interfaces gráficas para permitir al usuario una interacción más fácil con las herramientas desarrolladas. Proporcionar las nociones básicas del manejo de elementos gráficos está fuera de los objetivos de este tutorial. No obstante, puede ser interesante para el alumno aprender a manejar esta característica de Matlab® con el fin de presentar más fácilmente los resultados obtenidos en los ejercicios y realizar una programación estructurada en la resolución de cada uno de ellos.

BIBLIOGRAFÍA

[1] The Mathworks, Manual de usuario de Matlab®.




Práctica 1: Introducción a la simulación de señales y sistemas

Teoría de la Comunicación - Curso 2010-2011 Práctica 1

1

1. OBJETIVOS

Con esta primera práctica se pretende que el alumno sea capaz de simular los conocimientos teóricos adquiridos sobre señales y sistemas lineales. Para ello deberá realizar una serie de programas de Matlab® que le permitirán:

1. Calcular transformadas de Fourier. 2. Ver e interpretar espectros de señales. 3. Obtener el equivalente paso bajo de señales paso banda. 4. Trabajar con procesos aleatorios.

Debido al limitado número de sesiones de laboratorio disponibles, resulta MUY

RECOMENDABLE plantearse la resolución de los ejercicios antes de la correspondiente sesión práctica. De este modo es posible sacar el máximo partido al tiempo pasado en el laboratorio.

Asimismo, con el objetivo de facilitar la comprensión de los conceptos de Teoría

de la Comunicación, complementando las explicaciones teóricas y las prácticas de laboratorio, se encuentra disponible en http://www.gib.tel.uva.es/tc un tutorial vía web. Cada tema de la asignatura tiene una serie de applets de Java que permiten simular diferentes conceptos teóricos, evaluando la importancia de los diferentes parámetros que entran en juego. Cada applet se identifica como TemaxApplety.html, siendo x el número del tema e y el número del applet. A lo largo del enunciado de las prácticas de laboratorio se mencionarán los applets que pueden resultar útiles en cada caso. Es necesario instalar JRE 1.5 para poder utilizarlo (disponible en la web de la asignatura alojada en http://www.tel.uva.es).

2. SEÑALES EN TIEMPO Y EN FRECUENCIA

En este primer apartado se pretende que el alumno sea capaz de generar y visualizar correctamente señales en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia, haciendo uso de las funciones que proporciona Matlab®. Para ello se recomienda consultar el toolbox ‘Signal Processing’, fijándose especialmente en las funciones de las categorías ‘Waveform Generation’ y ‘ Transforms’.

Considere las siguientes señales definidas en el tiempo:

• ( ) ( )tftx cπ2cos1 = (1)

• x2(t) = sinc(at) (2) • ( )ttx Λ=)(3 (3)

• ( )

−Λ=

0

04 T

tttx (4)

• ( )

−Π⋅+

Π=

2

0

15 T

ttb

T

ttx (5)


2

Los parámetros de las mismas vienen dados por: fc = 200 Hz, a = 0.5, t0 = 0.1 s, T0 = 0.01 s, T1 = 0.05 s, T2 = 0.025 s y b = 2 V. Además:

<−=Λ

resto

tt

t

,0

,1)( τττ

(6)

• Genere un vector de tiempos, a partir de una frecuencia de muestreo (fs) que

considere adecuada para cada señal. La opción más recomendable consiste en definir el vector de la forma t = [tinicial:1/fs:tfinal] , donde tinicial y tfinal representan los extremos del intervalo temporal de trabajo y fs es la frecuencia de muestreo1. De este modo el vector tendrá un determinado número de muestras N = length(t) que dependerá de los valores de tinicial , tfinal y fs .

• Visualice en tiempo las señales anteriores, mediante el comando plot . Para escalar convenientemente la señal puede resultar útil el comando axis .

Una vez definidas las señales en el tiempo, se va a calcular el espectro de las

mismas, para lo cual se hará uso de la transformada de Fourier. Ha de tener en cuenta que en Matlab® se trabaja con señales discretas x[n], es decir, con secuencias de N muestras, separadas TS (período de muestreo). El primer paso para obtener una señal de este tipo consiste en tomar muestras de la señal continua en instantes de tiempo separados TS:

∑∞

−∞=−=

nSS nTtnTxtx )()()( δδ (7)

Si se calcula la transformada de Fourier de la misma se obtiene:

∑∞

−∞=−=

n SS T

nfX

TfX )(

1)(δ (8)

En el caso de que se parta directamente de una secuencia discreta, x[n], como

ocurre en Matlab®, la expresión de la transformada de Fourier discreta (DFT, Discrete Fourier Transform) es:

[ ]∑∞

−∞=

−⋅=n

fnTjd

SenxfX π2)( (9)

Para reducir la carga computacional asociada, Matlab® implementa la DFT

mediante el algoritmo de la transformada rápida de Fourier (FFT, Fast Fourier Transform). El comando correspondiente es fft , que suele combinarse con la función fftshift . La frecuencia más alta con significado físico real visible mediante el comando fft es la mitad de la frecuencia de muestreo. Esto hay que tenerlo en cuenta cuando se vayan a representar los espectros. 1 Para la mayor parte de las señales que analizaremos a lo largo del curso es recomendable emplear tinicial = -tfinal para así tener un intervalo simétrico con respecto a t = 0 .


3

• Calcule de manera analítica la transformada de Fourier de las señales x1(t),

x2(t), x3(t), x4(t) y x5(t). Visualice en el dominio de la frecuencia las expresiones obtenidas con el comando plot . Para generar el vector de frecuencias correspondiente puede resultar útil el comando linspace .

• Partiendo de las señales en el tiempo del apartado anterior (x1(t), x2(t), x3(t), x4(t) y x5(t)) y de la frecuencia de muestreo seleccionada, calcule numéricamente los espectros de las mismas. Represente el valor absoluto de los resultados, utilizando las funciones abs y plot . ¿Por qué piensa que ha de tomarse el valor absoluto de la transformada de Fourier?

• Compare los espectros obtenidos de forma analítica con los obtenidos de manera numérica. En caso de que no coincidan, indique si es necesario introducir algún factor de escala en el cálculo numérico, teniendo en cuenta si las señales están definidas en energía o en potencia. Si ha definido el vector de tiempos de la manera indicada anteriormente, su programa tan sólo dependerá de dos variables: la frecuencia de muestreo y el número de muestras del vector de tiempos.

Con el applet disponible en http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema1Applet1.html es

posible estudiar diferentes propiedades de la transformada de Fourier (escalado, desplazamiento en tiempo y desplazamiento en frecuencia) de una función sinc para así comprobar si los resultados previamente obtenidos con Matlab® se ajustan a lo esperado. De manera análoga en http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema1Applet2.html se puede calcular la transformada de Fourier de varias señales tipo (coseno, sinc y pulso rectangular) para contrastar las figuras con los resultados obtenidos con Matlab®.

Para cuantificar la distribución en frecuencia de la energía o la potencia de una señal se recurre a una magnitud denominada densidad espectral.

• Calcule analíticamente la densidad espectral de las señales anteriores. • Calcule numéricamente y represente la densidad espectral de las señales

anteriores (x1(t), x2(t), x3(t), x4(t) y x5(t)), teniendo en cuenta si están definidas en energía o en potencia antes de realizar los cálculos. Para generar la función de autocorrelación puede resultar útil el comando xcorr .

• Compare los espectros obtenidos de forma analítica con los obtenidos de manera numérica.

3. MODELADO PASO BAJO EQUIVALENTE

En este apartado se va a estudiar la representación equivalente paso bajo de una señal paso banda. Para ello, se hará uso de la transformada de Hilbert, que puede realizarse en Matlab® con el comando hilbert , si bien el mismo merece especial atención. Por ello, se recomienda consultar la ayuda de esta función antes de emplearla.

Sean )(6 tx y )(7 tx las señales definidas como:

• )t500cos(2 t)sen(105

3)(6 ⋅⋅⋅= ππ

πttx (10)


4

• )t400cos(2 (10t)25)(7 ⋅⋅Λ⋅= πtx (11)

Suponiendo que la frecuencia de muestreo es HzfS 2000= , realice un

programa de Matlab® para calcular y representar:

• Las señales )(6 tx y )(7 tx .

• Los módulos del espectro de cada señal, es decir, )(6 fX y )(7 fX .

• La densidad de espectral de )(6 tx y )(7 tx .

• Los módulos de los espectros de las señales analíticas positivas y negativas correspondientes a cada una de las dadas.

• Los espectros de las señales equivalentes paso bajo. • Las componentes en fase y cuadratura de )(6 tx y )(7 tx .

• La envolvente natural de )(6 tx y )(7 tx .

Las funciones angle , real e imag , además de la ya mencionada hilbert ,

pueden resultarle útiles en la resolución del problema. Consulte la ayuda para saber el modo de empleo de cada una de ellas.

4. PROCESOS ALEATORIOS PASO BANDA

En este último apartado se van a analizar los procesos aleatorios, estudiando dos formas de ruido: el ruido blanco gaussiano y el ruido de banda estrecha.

El ruido blanco gaussiano se caracteriza porque su densidad espectral de

potencia es constante:

2

)( 0NfSW = (12)

)( fSW vendrá dada en W/Hz. Dado que )( fSW es constante y no depende de la

frecuencia, la función de autocorrelación del ruido blanco es una delta en el origen, cuya magnitud es la de la densidad espectral de potencia.

Para generar ruido blanco gaussiano, se puede usar la función wgn. La siguiente

línea de código permite crear un vector fila de ruido blanco gaussiano con media nula especificando la densidad espectral de potencia:

Ruido_blanco = wgn(1,N,N0/2,’linear’,’real’); Otra opción consiste en utilizar la función randn , que genera datos gaussianos

de media nula y varianza (σ2) unidad. Es posible emplearla para generar un vector fila de datos gaussianos con diferente media y varianza como sigue:

Datos_gaussianos = media+sqrt(varianza)*randn(1,N);


5

Si se aproxima la varianza del ruido blanco gaussiano por el valor de la densidad espectral de potencia, podremos generar un vector de media nula y varianza igual a N0/2 con la siguiente línea de código:

Ruido_blanco = sqrt(N0/2)*randn(1,N); • Genere un vector de ruido blanco gaussiano de media cero, N0 = 10 W/Hz y

10000 muestras con las dos opciones especificadas anteriormente. • Visualice la función de autocorrelación (asuma que la frecuencia de

muestreo es fs = 4000 Hz) y la densidad espectral de potencia de los procesos de ruido generados. Analice los resultados.

Cuando el proceso de ruido tiene un espectro en potencia mucho mayor en las

frecuencias en torno a una central (± fc), que en el resto, se dice que el proceso es paso banda. Por ello, al igual que las señales paso banda deterministas, puede representarse en su forma canónica. Si además se cumple que su ancho de banda es suficientemente pequeño en relación a esta frecuencia central (fc >> B), podemos decir que el proceso de ruido es de banda estrecha. Una forma de generar un proceso de ruido de este tipo consiste en aplicar un filtro paso banda, de anchura B en un entorno de fc, a un proceso de ruido blanco.

• Analice la respuesta del filtro paso banda, especificado por los coeficientes a y b2. ¿Cuál es la frecuencia central del mismo (fc), así como el ancho de banda correspondiente (B), teniendo en cuenta que la frecuencia de muestreo es: fs = 4000 Hz? Para ello se recomienda consultar la función fvtool .

• Genere un ruido de banda estrecha centrado en fc con ancho de banda B, a partir del proceso de ruido blanco generado anteriormente. Calcule y visualice su densidad espectral de potencia. Para filtrar el ruido blanco emplee la función de Matlab® filter(b,a,n) , siendo a y b los vectores de coeficientes del punto anterior y n el vector que contiene las muestras de la señal ruidosa.

Otra forma alternativa para generar ruido de banda estrecha consiste en emplear

procesos ruidosos paso bajo. Al igual que en el caso de las señales deterministas, un proceso aleatorio paso banda puede representarse como: )2()()2cos()()( 00 tfsentXtftXtX SC ππ −= , (13)

donde )(tXC y )(tXS son las componentes en fase y en cuadratura de )(tX . Los

procesos aleatorios )(tXC y )(tXS son paso bajo.

BIBLIOGRAFÍA

[1] S. Haykin, Communication Systems, John Wiley & Sons, 4rd edition, 2001.

2 Los vectores de coeficientes, están disponibles en la página web de la asignatura (alojada dentro del dominio www.tel.uva.es), en el archivo coeficientes.mat . Para cargarlos en el espacio de trabajo debe emplear el comando load .


6

[2] A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1989.

[3] The Mathworks, Manual de usuario de Matlab®.




Práctica 2: Modulación en amplitud. Modulación en frecuencia. Ruido en

modulaciones analógicas


1

1. OBJETIVOS

Con esta segunda práctica se pretende que el alumno comprenda los conceptos teóricos fundamentales de las modulaciones analógicas. Para ello se simularán la modulación AM convencional, la modulación SSB, la influencia del sincronismo en la modulación DSB-SC y la distorsión en FM de banda estrecha. Asimismo, también se estudiará la influencia del ruido en la modulación AM convencional.

Antes de comenzar la realización de la práctica se recomienda consultar el

toolbox ‘Signal Processing’, fijándose especialmente en las funciones de la categoría ‘Specialized Operations’. Debido al limitado número de sesiones de laboratorio disponibles, resulta MUY RECOMENDABLE plantearse la resolución de los ejercicios antes de la correspondiente sesión práctica. De este modo es posible sacar el máximo partido al tiempo pasado en el laboratorio.

2. MODULACIÓN EN AMPLITUD

2.1. Modulación AM convencional

Sea m(t) la señal de datos que se quiere transmitir y c(t) una señal portadora, es decir, )2cos()( tfAtc cc π= . Si modulamos la señal de datos m(t) con AM convencional

con sensibilidad ka, la señal modulada s(t) vendrá dada por la expresión: [ ] ( )tftmkAts cac π2cos)(1)( += (1)

La envolvente de la señal s(t) tiene la misma forma que m(t) siempre que

1)( <tmka . En caso contrario se produce sobremodulación.

La transformada de Fourier de la señal s(t) es:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]ccca

ccc ffMffM

Akffff

AfS ++−+++−=

22)( δδ (2)

La potencia de la señal modulada es:

[ ]PkA

P ac

s2

2

12

+= (3)

En la expresión (3), P es la potencia de la señal moduladora. La eficiencia en

potencia de la modulación se obtiene como el cociente entre la potencia empleada para transmitir el mensaje de datos y la potencia total en la señal modulada. Para el caso de una señal modulada con AM convencional:

Pk

Pk

a

a2

2

1+=η (4)


2

Sea la señal:

( )tfAtm mm π2cos)( = (5)

Considere que 85.0=ak , Am = 1 V, fm = 100 Hz y que la frecuencia de la portadora c(t)

es de 250Hz. Suponiendo que no hay ruido en el canal de comunicaciones, realice las siguientes tareas con Matlab®:

• Obtenga la señal s(t) con la fórmula (1) a partir de m(t), c(t) y ka. Tenga en cuenta que VAc 1= . ¿Hay sobremodulación?

• Represente m(t) y s(t) en el intervalo st 15.00 ≤≤ 1.

• Calcule las transformadas de Fourier de m(t) y s(t) y represéntelas. Para ello, tenga en cuenta todas las consideraciones respecto al cálculo de los espectros y a la visualización de señales de la práctica anterior.

• Determine la potencia de m(t) y s(t). Para ello puede resultarle útil la función xcorr.

• Calcule la eficiencia de la modulación. • Recupere la señal m(t) a partir de s(t) con un detector de envolvente. Utilice las

líneas de código del programa que crease en la práctica 1 para el cálculo de la envolvente natural de señales. Tenga en cuenta que, una vez obtenida la envolvente de s(t), su expresión será similar a [ ])(1)( tmkAtv ac += . Si Ac = 1,

puede eliminar la componente de continua y recuperar la señal moduladora con la siguiente expresión, en la que env hace referencia a la envolvente previamente calculada: dem1=(env-1)/k_a;

• ¿Qué sucedería si la señal moduladora fuera )(3)(2 tmtm = ?

• Repita los pasos anteriores empleando adecuadamente las funciones modulate y demod de Matlab®. ¿Qué método ha de seleccionar para realizar la modulación AM con el comando modulate? ¿Es posible realizar la demodulación con un detector de envolvente empleando el comando demod?

En http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema2Applet1.html es posible estudiar la

modulación AM con dos señales moduladoras diferentes (coseno y sinc) y así comprobar si los resultados previamente obtenidos con Matlab® se ajustan a lo esperado.


En la modulación SSB sólo se transmite una banda lateral de las dos que componen la modulación DSB-SC, introducida de manera implícita en el segundo ejercicio de la práctica anterior. Así se consigue ocupar un menor ancho de banda en la transmisión de la señal. La expresión general de la señal SSB es:

1 Se recomienda emplear un intervalo temporal de mayor duración para definir las señales y, posteriormente, ajustar la representación con axis.


3

( ) ( )tftmAtftmAts cccc ππ 2sin)(2

12cos)(

2

1)(

^

±= (6)

Cuando en (6) se emplea el signo menos, la banda transmitida es la superior. De manera análoga, cuando se utiliza el signo más, lo que se transmite es la banda inferior. Considere la señal: )2cos()( tfAtm mm π= , (7)

con Am = 4 V y Hzfm 100= .

• Obtenga la señal s(t) para modulación SSB con banda lateral superior y con

banda lateral inferior a partir de (7). Considere que VAc 1= y Hzf c 200= .

• Represente m(t) y s(t) (para los dos tipos de modulación SSB) en el intervalo st 11 ≤≤− .

• Calcule las transformadas de Fourier de m(t) y s(t) y represéntelas correctamente (es decir, tenga en cuenta que todo lo visto en la primera práctica acerca del cálculo y visualización de transformadas de Fourier con Matlab® sigue siendo aplicable aquí). Compruebe que se está transmitiendo la banda adecuada en cada caso.

• Repita los pasos anteriores empleando adecuadamente la función modulate de Matlab®.¿Qué método ha de seleccionar para realizar la modulación AM con el comando modulate? ¿Es posible simular la transmisión de la banda lateral inferior con este comando? ¿Y la transmisión de la banda lateral superior?

2.3. Modulación QAM

En este apartado simularemos la modulación QAM, que permite transmitir dos señales de información diferentes, de ancho de banda W, ocupando un ancho de banda total de 2W. La señal transmitida viene dada por la expresión:

( ) ( )tftmAtftmAts cccc ππ 2sin)(2cos)()( 21 += (8)

Considere las señales m(t) y m’( t), que van a ser las moduladoras que

empleemos, con Am = 1V, fm = 50Hz, VAm 2' = y Hzfm 100' = :

( ) ( )tfAtm mm π2cos= (9)

( ) ( )tfAtm mm''' 2sin π= (10)

Suponga que la frecuencia portadora es fc = 800 Hz y que Ac = 1V. Con estos parámetros:


4

• Genere la señal s(t) a partir de la ecuación (8). Considere como componente en fase m(t), y como componente en cuadratura m’( t).

• Represente s(t) en el intervalo st 05.00 ≤≤ .

• Calcule la transformada de Fourier de s(t) y represéntela para el intervalo de frecuencias [-1000, 1000] Hz. Para ello, tenga en cuenta todas las consideraciones respecto al cálculo de los espectros y a la visualización de señales de la práctica anterior.

• Compare los resultados con los que se obtendrían empleando el comando de Matlab® modulate a la hora de generar s(t).

• Recupere las señales de información m(t) y m’(t), a partir de la señal modulada anteriormente, haciendo uso del comando demod.

• Represente m(t) y m’(t) en el intervalo st 1.00 ≤≤ .Visualice también en frecuencia las señales demoduladas en el intervalo [-500, 500] Hz.

3. MODULACIÓN EN FRECUENCIA

3.1. Modulación FM de banda estrecha

La modulación en frecuencia FM es no lineal. En este caso la amplitud de la señal es constante y la señal de datos m(t) se emplea para modificar la fase de la portadora. La expresión general de la señal modulada FM es:

+= ∫

t

fcc dttmktfAts0

)(22cos)( ππ (11)

El término kf representa la sensibilidad en frecuencia del modulador. La frecuencia instantánea es: )()( tmkftf fci += (12)

Cuando la señal moduladora es un tono ( )2cos()( tfAtm mm π= ), la ecuación (12)

se transforma en: )2cos()2cos()( tffftfAkftf mcmmfci ππ ∆+=+= (13)

La fase )(tiθ será:

)2(2)2(2)(22)(0

tfsentftfsenf

ftfdttmktft mcm

mc

t

fci πβπππππθ +=∆+=+= ∫ (14)

β es el índice de modulación:

m

mf

m f

Ak

f

f =∆=β (15)


5

Por lo tanto, la señal FM modulada por un tono puede expresarse como: [ ])2(2cos)( tfsentfAts mcc πβπ ⋅+= (16a)

En http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema3Applet1.html se puede simular la

modulación FM cuando se emplea un tono como señal moduladora, siendo posible visualizar la señal en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia.

Empleando fórmulas trigonométricas, la ecuación (16a) se transforma en:

[ ] [ ])2()2()2(cos)2cos()( tfsensentfsenAtfsentfAts mccmcc πβππβπ ⋅−⋅= (16b)

Si consideramos que el índice de modulación es pequeño con respecto a un radián, pueden realizarse varias aproximaciones en la ecuación (16b): [ ] 1)2(cos ≈⋅ tfsen mπβ y

[ ] )2()2( tfsentfsensen mm πβπβ ⋅≈⋅ ⇒ FM de banda estrecha. Entonces,

)2()2()2cos()( tfsentfsenAtfAts mcccc πβππ ⋅−≈ (17)

Esta aproximación presenta dos problemas:

1. La envolvente contiene una modulación en amplitud residual, por lo que no es

constante. 2. La fase presenta distorsión armónica.

Es posible desarrollar la ecuación (17) con fórmulas trigonométricas:

[ ] [ ]tffA

tffA

tfAts mcc

mcc

cc )(2cos2

)(2cos2

)2cos()( −−++≈ πβπβπ (18)

Para poder ilustrar la distorsión que aparece en FM de banda estrecha, suponga

los siguientes parámetros:

• Frecuencia de muestreo kHzf s 200= .

• Frecuencia de la portadora Hzfc 5000= .

• Frecuencia de la moduladora Hzfm 1000= .

• Amplitud de la portadora VAc 7= .

• Amplitud de la moduladora VAm 3= .

• Índice de modulación rad2=β .

• Número de muestras 10001. • Intervalo temporal [0, 0.05] s.

Deberá realizar un programa de Matlab® que haga lo siguiente:


6

• Mostrar la señal moduladora y la señal FM (obtenida con el comando de Matlab modulate

2) en el intervalo temporal [0.001, 0.005] s (emplee el comando axis para ajustar la representación).

• Mostrar el módulo de la transformada de Fourier de la señal moduladora y de la señal FM anteriores (emplee el comando axis para ajustar su representación a un intervalo que muestre claramente el espectro de ambas señales).

• Demodular la señal FM con el comando de Matlab demod y representar la señal obtenida en el intervalo [0.001, 0.005] s.

• Representar el módulo de la transformada de Fourier de la señal demodulada. • Generar la señal modulada con la expresión (17) (aproximación de FM de banda

estrecha) y representarla en el intervalo [0.001, 0.005] s. • Mostrar el módulo de la transformada de Fourier de la señal modulada obtenida

con la aproximación de FM de banda estrecha. • Demodular con el comando de Matlab demod la señal modulada (FM de banda

estrecha) y representarla en el intervalo [0.001, 0.005] s. ¿Aparece distorsión? • Representar la transformada de Fourier de la señal demodulada en el punto

anterior para el intervalo de frecuencias [-10000, 10000] Hz. ¿Qué armónicos de la señal moduladora están presentes?

• Repita los pasos anteriores variando el índice de modulación.

Con el objetivo de complementar esta práctica sobre la modulación FM de banda estrecha, en http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema3Applet2.html se puede simular vía web dicho tipo de modulación paso a paso. El applet permite observar, tanto en tiempo como en frecuencia, la señal moduladora, la señal resultante antes y después del modulador producto y, finalmente, la señal modulada.

4. ESTUDIO DEL RUIDO

4.1. Ruido en modulación AM convencional

Como se ha visto en la parte teórica de la asignatura, la relación señal a ruido a la salida de un receptor AM que emplea detector de envolvente es, aproximadamente,

0

22

, 2)(

WN

PkASNR ac

AMO ≈ (19)

Se asume que la señal transmitida está contaminada con ruido aditivo, blanco, gaussiano y de media nula, con densidad espectral de potencia N0/2 y que W es el ancho de banda de m(t). La ecuación (19) es válida si la potencia de ruido es pequeña con respecto a la potencia media de la portadora a la entrada del detector de envolvente y si no hay sobremodulación. Teniendo esto en cuenta, vamos a simular el efecto del ruido en la modulación AM convencional. Supondremos que dBSNR AMO 20)( , = y que m(t) es la

señal moduladora del primer ejercicio de esta práctica (ecuación (5)). 2 El parámetro OPT de la función modulate para el caso que estamos considerando de modulación de un

tono viene dado por la expresión: ms

m

Af

fk

πβ2=


7

• Obtenga la relación señal a ruido en unidades naturales. Como ya ha calculado

anteriormente la potencia P, puede determinar 2WN0 sin más que despejar en (19). En este caso3, coincide con 2

Nσ , la varianza del ruido.

• Calcule la desviación típica del ruido a partir de 2Nσ y construya un vector que

represente el ruido blanco, gaussiano, aditivo y de media nula que estamos considerando.

• Sume el ruido a la señal modulada, dando lugar a un vector que represente a )()()( twtstr += .

• Represente r(t). • Recupere la señal m(t) a partir de r(t) con un detector de envolvente. Utilice las

mismas líneas de código que en el caso anterior en el que no había ruido. • Repita los pasos anteriores con distintos valores de la relación señal a ruido con

el objetivo de ver la variación de la señal demodulada.

Se puede complementar los conocimientos adquiridos con esta práctica sobre ruido en modulación AM convencional ejecutando el applet disponible en http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema4Applet2.html. En dicho applet se puede simular vía web dicho tipo de modulación paso a paso en presencia de ruido blanco gaussiano, aditivo y de media nula. El applet permite observar, tanto en tiempo como en frecuencia, la señal modulada, la señal modulada con ruido, la señal a la salidad del filtro IF y, finalmente, la señal a la salida del demodulador.

BIBLIOGRAFÍA

[1] S. Haykin, Communication Systems, John Wiley & Sons, 4rd edition, 2001. [2] The Mathworks, Manual de usuario de MATLAB.

3 Recuerde que estamos trabajando con ruido blanco gaussiano, aditivo y de media nula.




Práctica 3: Modulación analógica de pulsos. Cuantificación. Transmisión digital banda

base y paso banda


1

1. OBJETIVOS

Con esta última práctica de laboratorio de Teoría de la Comunicación se pretende que el alumno sea capaz de simular los conocimientos teóricos adquiridos sobre modulaciones analógicas y digitales de pulsos, así como algunos fundamentos básicos de la transmisión digital banda base y paso banda. Para ello deberá realizar una serie de programas de Matlab® que le permitirán:

1. Estudiar cómo puede simularse la modulación de pulsos en el tiempo. 2. Entender el concepto de cuantificación y aprender en qué situaciones hay que

aplicar la cuantificación uniforme o la no uniforme. 3. Estudiar el concepto de interferencia entre símbolos en la transmisión digital y

analizar las maneras de eliminarla. 4. Simular distintos esquemas de modulación digital paso banda.

Debido al limitado número de sesiones de laboratorio disponibles, resulta MUY

RECOMENDABLE plantearse la resolución de los ejercicios antes de la correspondiente sesión práctica. De este modo es posible sacar el máximo partido al tiempo pasado en el laboratorio.

2. MODULACIÓN ANALÓGICA DE PULSOS

En este primer apartado se pretende que el alumno sea capaz de simular la modulación analógica de pulsos, según dos esquemas vistos en clase. Para ello se recomienda consultar el toolbox ‘Signal Processing’, fijándose especialmente en las funciones de la categoría ‘Specialized Operations’.

La modulación analógica de pulsos consiste en variar las características de un

pulso en función de la señal moduladora. El esquema de modulación analógica de pulsos más sencillo es PAM o modulación de pulsos en amplitud. Consiste en hacer variar la amplitud de los pulsos en función de la señal de información m(t). En http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema5Applet2.html puede simular dicho esquema de modulación. Sin embargo, en un sistema de modulación por pulsos es posible emplear el ancho de banda extra consumido por los pulsos para mejorar el comportamiento frente al ruido de PAM. Esto puede conseguirse representando los valores muestreados de las señales con alguna propiedad del pulso distinta de su amplitud. Simularemos dos esquemas de modulación diferentes:

• Modulación por duración de pulsos (PDM). • Modulación por posición de pulsos (PPM).

2.1. Modulación por duración de pulsos (PDM)

En la modulación por duración de pulsos (PDM), en ocasiones denominada modulación por anchura de pulsos (PWM o pulse-width modulation), las muestras de la señal de información se emplean para variar la duración de los pulsos en la portadora. La función de Matlab® que permite simular este tipo de modulación es modulate , ya


2

estudiada en la práctica anterior. El método que implementa la modulación PDM es ‘pwm’ .

Suponga que la frecuencia de muestreo es Hzf s 5000= , la frecuencia portadora

Hzf c 200= y que st 33 ≤≤− . Con el objetivo de ilustrar el funcionamiento de la

modulación PDM, deberá realizar un programa de Matlab® que haga lo siguiente:

• Genere una señal moduladora m1(t) formada por datos comprendidos entre 0 y 1 para el vector temporal mencionado anteriormente. La función rand puede resultarle útil a la hora de definir m1(t).

• Genere una señal modulada PDM a partir de la señal m1(t). • Represente los cinco primeros pulsos de la señal PDM. Tenga presente que el

vector que contenga las muestras de la señal PDM tiene una longitud igual a length(x)*fs/fc .

• Repita los pasos anteriores empleando la opción ‘centered’ en la modulación PDM.

2.2. Modulación por posición de pulsos (PPM)

En la modulación por posición de pulsos (PPM) se varía la posición de un pulso con respecto a su posición original en función de la señal de información m(t). Al igual que sucede con la modulación PDM, la función de Matlab® que permite simular PPM es modulate . En esta ocasión, el método que implementa la modulación PPM es ‘ppm’ .

Suponga que la frecuencia de muestreo, la frecuencia portadora y el intervalo

temporal de trabajo son los mismos que en el apartado anterior. Para ilustrar el funcionamiento de la modulación PPM, deberá realizar un programa de Matlab® que haga lo siguiente:

• Genere una señal moduladora m2(t) = 0.2 m1(t). • Genere una señal modulada PPM a partir de la señal m2(t). Los valores de la

señal moduladora determinan la posición de los pulsos en cada periodo. • Represente los cinco primeros pulsos de la señal PPM. Tenga presente que el

vector que contenga las muestras de la señal PPM tiene una longitud igual a length(x)*fs/fc .

• Repita los pasos anteriores variando opt con el objetivo de modificar la longitud de los pulsos empleados en la modulación PPM.

• Repita también el ejercicio empleando m1(t) como señal moduladora.

3. CUANTIFICACIÓN UNIFORME Y NO UNIFORME

En este apartado se pretende que el alumno sea capaz de generar una señal cuantificada, según los distintos esquemas vistos en clase. Para ello se recomienda consultar el toolbox ‘Communications Toolbox’, fijándose especialmente en las funciones de la categoría ‘Source Coding’.


3

Es posible distinguir dos tipos de cuantificación de señales: uniforme y no uniforme. La primera funciona adecuadamente cuando la señal de entrada se reparte uniformemente por todos los niveles de cuantificación. Sin embargo, hay aplicaciones en las que es preferible emplear cuantificación no uniforme por las características de la señal de entrada.

Considere las siguientes señales, definidas en el intervalo 11 ≤≤− t : ( )tsentx π2)(1 = (1)

ttx =)(2 (2)

¿Cuál sería el rango dinámico de un cuantificador uniforme adecuado para las señales anteriores? Empleando la función de Matlab® quantiz diseñe un cuantificador uniforme de 2, 4, 8, 16 y 32 niveles para )(1 tx y )(2 tx . Considere Hzf s 1000= .

Para utilizar quantiz necesitará definir dos vectores: partition y codebook. El

primero se usa para dividir el rango de la señal de entrada en N regiones. Tendrá, por lo tanto, N–1 elementos. El segundo asigna un valor de cuantificación a cada región definida con partition. La relación general entre ambos vectores es: )()1()2()1()1( NcodebookNpartitioncodebookpartitioncodebook ≤−≤≤≤≤ K (3)

Si mmax es el valor máximo de la señal de entrada al cuantificador, la anchura de cada intervalo de cuantificación será:

nivelesdeN

m

º

2 max=∆ (4)

Puede definir los vectores partition y codebook en función de ∆ y mmax como:

partition = [-mmax+delta:delta:mmax-delta]; codebook = [-mmax+(delta/2):delta:mmax-(delta/2)];

Una vez diseñado el cuantificador uniforme:

• Represente la señal )(1 tx y su versión cuantificada en la misma figura.

• Represente el error de cuantificación, definido como la diferencia entre el valor real de la señal )(1 tx y su valor cuantificado, y determine la distorsión.

• Represente la señal )(2 tx y su versión cuantificada en la misma figura.

• Represente el error de cuantificación, definido como la diferencia entre el valor real de la señal )(2 tx y su valor cuantificado, y determine la distorsión.

• ¿Cómo varían los resultados al aumentar el número de niveles de cuantificación?

Hemos comentado que el rango dinámico del cuantificador ha de adecuarse a los valores de entrada de las señales. Con el objetivo de ilustrar la importancia de este aspecto, repita los apartados anteriores – sin modificar ninguna característica en el cuantificador uniforme – con )(2)( 13 txtx ⋅= y )(2)( 24 txtx ⋅= . ¿Qué cambios hay en

el error de cuantificación y la distorsión?


4

En http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema5Applet3.html se encuentra disponible un

applet que permite simular la cuantificación uniforme de varias señales (coseno, sinc y pulso rectangular). Puede emplearlo para ver la importancia que tiene la adecuación del rango dinámico del cuantificador a la señal que se pretende cuantificar y para comprobar si los resultados previamente obtenidos con Matlab® son correctos.

El uso de un cuantificador uniforme no es adecuado cuando la señal original no

se reparte uniformemente por todos los niveles de cuantificación. En estos casos se emplea cuantificación no uniforme. Para comprobar la utilidad de esta técnica considere la señal )(5 tx definida en el intervalo 40 ≤≤ t :

( )tetx t π8sin78,0)( 2

5⋅−⋅= (5)

Emplee el cuantificador uniforme diseñado antes y represente la señal )(5 tx y su

versión cuantificada en la misma figura. ¿Se aprovechan adecuadamente los intervalos de cuantificación? ¿Cuál es la distorsión? Represente también el error de cuantificación.

La función de Matlab® compand permite realizar la compresión y expansión de la señal con las leyes A y µ. Para ver cómo cambia el número de intervalos de cuantificación con ellas, realice la compresión de la señal )(5 tx con los valores

6,87=A y 255=µ . Tras ello utilice el cuantificador uniforme. Represente la señal comprimida con cada ley y su versión cuantificada en la misma figura. ¿Qué diferencias observa con respecto a emplear únicamente cuantificación uniforme?

4. INTERFERENCIA ENTRE SÍMBOLOS EN TRANSMISIÓN

DIGITAL EN BANDA BASE

A continuación se va a analizar el efecto de la interferencia entre símbolos (ISI) en los sistemas de comunicación digital banda base. Para ello se recomienda consultar el toolbox ‘Communications Toolbox’.

Cuando se transmiten datos digitales a través de un canal banda base hay que

considerar dos fuentes principales de error:

a) El ruido introducido por el canal. b) La interferencia entre símbolos, que se debe a que un pulso (símbolo) puede

verse afectado por los adyacentes.

Si suponemos que ak son los símbolos (con valores +1 ó –1) transmitidos cada Tb y g(t) el pulso que se toma como forma básica, la señal a la salida del transmisor es: ( )∑ −=

kbk kTtgats )( (6)

Si h(t) representa el canal, w(t) el ruido y c(t) el filtro receptor, la señal recibida

vendrá dada por la siguiente expresión:


5

( ) )()( tnkTtpaty

kbk +−= ∑µ (7)

donde: )()()()( tcthtgtp ∗∗=µ (8) )()()( tctwtn ∗= (9)

La señal y(t) es la que se muestrea para decidir el símbolo que se recibe en cada

instante iTb: [ ] )()()0()()()( b

ikbkib

kbbkb iTnTkipapaiTnkTiTpaiTy +−+=+−= ∑∑

≠

µµµ (10)

Para evitar la ISI (representada por el término [ ]∑

≠

−ik

bk Tkipa )(µ ) ha de

cumplirse que:

≠=

=0,0

0,1)(

m

mmTp b (11)

Empleando filtros de coseno alzado se puede eliminar la ISI. En frecuencia:

( )

−≤≤

−−

−

≤≤

=

resto

fWfffW

Wfsen

W

ffW

fP

,0

2,22

14

1

0,2

1

)( 111

1

π (12)

En el dominio del tiempo:

( )

222161

2cos)(

tW

Wttp

απα

−= sinc(2Wt) (13)

El parámetro α se denomina factor de redondeo y está comprendido entre 0 y 1.

W está relacionado con el régimen o tasa de símbolos Rb según la expresión:

22

1 b

b

R

TW == (14)

El ancho de banda es:

( )α+= 1WBT (15)

Realice las siguientes tareas con Matlab®:


6

• Considere que sTb 200

1= y que Hzf s 2000= .Represente en el dominio del

tiempo el filtro de coseno alzado (emplee la ecuación (13) para ello) con 0=α , 3.0=α , 6.0=α y 1=α . Ajuste el eje x para poder ver los datos en el intervalo

temporal [–0.02, 0.02]. • Represente los filtros calculados anteriormente en el dominio de la frecuencia,

ajustando el eje x al intervalo comprendido entre TB5.1− y TB5.1 .

En el applet disponible en http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema6Applet1.html se puede estudiar cómo cambia un filtro de coseno alzado, tanto en el dominio temporal como en el de la frecuencia, cuando se varían W y α. De este modo se puede comprobar si los resultados previamente obtenidos con Matlab® se ajustan a lo esperado.

Suponga que se transmiten cuatro símbolos ( 10 =a , 11 −=a , 12 =a y 13 =a )

con la tasa Rb especificada anteriormente, que se emplea un filtro de coseno alzado y que, además, 1=µ . Asumiendo nulo el ruido:

• Represente la señal recibida. Tendrá que multiplicar cada símbolo por el filtro de coseno alzado ( )(tp en el caso del primer símbolo transmitido, )( bTtp − para el

segundo, y así sucesivamente) y realizar la suma de las distintas contribuciones. Emplee el comando axis para ajustar los ejes de la manera que crea más conveniente. Compruebe si existe interferencia entre símbolos representando en una misma figura la señal recibida y la componente correspondiente a cada uno de los símbolos.

• Repita el proceso anterior con un filtro p(t)=sinc(bT

t

2). ¿Existe en esta ocasión

interferencia entre símbolos? • Repita los dos puntos anteriores variando los símbolos transmitidos.

5. MODULACIÓN DIGITAL PASO BANDA

En este último apartado simularemos conceptos relacionados con algunos esquemas de modulación digital paso banda explicados en clase. Para ello se recomienda consultar el toolbox ‘Communications Toolbox’, fijándose especialmente en las funciones de la categoría ‘Digital Modulation/Demodulation’.

5.1. Modulación BPSK y QPSK sin ruido

Con este ejercicio se pretende ilustrar cómo es posible implementar las modulaciones BPSK y QPSK con Matlab®. La función que permite simular estas modulaciones es pskmod(x,m) , donde x es la señal de información y m el número de símbolos a emplear. Teniendo esto en cuenta, realice las siguientes tareas con Matlab®:

• Genere una secuencia de 5000 símbolos que formarán la señal de datos. Para ello es aconsejable utilizar la función randint , con el campo RANGE ajustado al número de símbolos del alfabeto empleado en BPSK.


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• Obtenga la señal BPSK con el comando pskmod . • Represente la constelación BPSK. Puede emplear para ello el comando

scatterplot . • Recupere la señal de datos original con el comando pskdemod . • Obtenga la probabilidad de error de bit con la función biterr . • Repita los pasos anteriores para la modulación QPSK.

El applet disponible en http://www.gib.tel.uva.es/tc/Tema7Applet2.html permite

simular la modulación PSK y puede resultar útil para visualizar en el tiempo cómo cambia la fase de la portadora en función del símbolo transmitido.

5.2. Modulación BPSK y QPSK en presencia de ruido A WGN

Con este ejercicio se pretende mostrar el efecto que tiene el ruido en la transmisión de señales BPSK y QPSK. Para añadir ruido blanco, gaussiano y aditivo a la señal transmitida deberá emplear la función awgn. Teniendo esto en cuenta, realice las siguientes tareas con Matlab®:

• Genere una secuencia de 5000 símbolos que formarán la señal de datos. Para ello es aconsejable utilizar la función randint , con las mismas consideraciones acerca del campo RANGE que en el apartado anterior.

• Obtenga la señal BPSK con el comando pskmod . • Transmita la señal a través de un canal que añade ruido blanco gaussiano.

Emplee para ello la siguiente línea de código yruidosa = awgn(y,SNR);

Suponga que la SNR es de 15dB por muestra.

• Represente la constelación BPSK. • Recupere la señal de datos original con el comando pskdemod . • Obtenga la probabilidad de error de bit con la función biterr . • Repita los pasos anteriores para distintos valores de SNR • Vuelva a realizar el ejercicio para la modulación QPSK.

BIBLIOGRAFÍA

[1] S. Haykin, Communication Systems, John Wiley & Sons, 4rd edition, 2001.

[2] The Mathworks, Manual de usuario de MATLAB.

teoría de la comunicación

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