teoría de gelfand para n-homomor smos de robfenius · agradecimientos agradezco al consejo...
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"Teoría de Gelfand para n-homomorsmos de Frobenius"
Tesis que presenta:
Yamid Alexánder Osorio Agudelo
para obtener el grado de:
Maestro en Ciencias
en la especialidad de
Matemáticas
Director de la Tesis:
Dr. Iakov Mostovoi
México, D.F. Febrero, 2014
Agradecimientos
Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) por el apoyo
económico brindado para poder realizar satisfactoriamente mis estudios de maestría.
También al Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto Politécnico
Nacional (CINVESTAV) y en especial al Departamento de Matemáticas por la forma-
ción que obtuve durante los dos últimos años, por medio de sus diferentes Doctores, en
especial a mi asesor el Dr. Jacob Mostovoy.
A mi familia por ser el aliento moral en cada día de la maestría. En especial a mis
padres Fabiola y Roman, hermanas Catalina y Maritza, sobrinas Daniela y Maria Angel
y mi novia Gloria María, quienes nunca dejaron de alentarme.
III
Índice general
Agradecimientos III
Resumen VII
Abstract IX
Introducción XI
1. Preliminares. 1
1.1. Álgebras de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Caracteres y la representación de Gelfand . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Álgebras C*. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Productos simétricos y n-homomorsmos de Frobenius. 25
2.1. Una identidad sobre particiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Transformaciones de Frobenius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3. Productos simétricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3. Preguntas abiertas. 47
3.1. Homomorsmos de Frobenius sobre álgebras no conmutativas. . . . . . 47
3.2. Homomorsmos de C(X)→Mn(R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
V
Resumen
Una manera de estudiar un espacio topológico X es a través del álgebra de funciones
continuas con valores complejos C(X), que es una C*-álgebra si X es localmente com-
pacto. Esta tesis analiza la generalización de dicha idea a la situación donde el espacio
de caracteres se cambia por el espacio de los llamados n-caracteres, o n-homomorsmos
de Frobenius al álgebra de los números complejos, cuya construcción está motivada
por funciones multivaluadas. El resultado principal que se analiza en esta tesis arma
que el espacio de n-caracteres de una C*-álgebra es homeomorfo al n-ésimo producto
simétrico del espacio de 1-caracteres. Finalmente discutimos algunas preguntas abiertas
que surgen al considerar álgebras no conmutativas y otra generalización del teorema de
Gelfand-Naimark conmutativo donde los caracteres se reemplazan por homomorsmos
al álgebra de matrices reales n× n.
VII
Abstract
One way to study a topological space X is through the algebra of complex-valued
continuous functions C(X), which is a C*-algebra if X is locally compact. This thesis
examines the generalization of this idea to the situation where space characters are
changed by the space of so-called n-characters or n-homomorphisms of Frobenius to
the algebra of complex numbers, whose construction is motivated by multiple-valued
functions. The main result analyzed in this thesis is that the space of n-characters
of a C*-algebra is homeomorphic to the n-th symmetric product of the space of 1-
characters. Finally we discuss some open questions that arise when considering non-
commutative algebras and another generalization of the commutative Gelfand-Naimark
theorem where characters are replaced by the algebra homomorphisms to n×n complex
matrices.
IX
Introducción
En este trabajo estudiamos la teoría de Gelfand y algunas generalizaciones. Esta
teoría tiene entre sus resultados más importantes el famoso teorema de Gelfand-Naimark
el cual es relevante y fue signicativo en el desarrollo de la teoría de las C*-álgebras
porque establece que toda C*-álgebra conmutativa con identidad A es isomorfa, como
C*-álgebra, al álgebra C(X) de todas las funciones continuas y C-valuadas sobre un
cierto espacio topológico compacto Hausdor X. Este espacio X es obtenido como el
espectro de Gelfand de los homomorsmos A → C sobre una C*-álgebra A (también
llamados caracteres de A).
Entre los ejemplos no conmutativos de C*-álgebras encontramos el álgebra B(H)
de operadores acotados sobre un espacio de Hilbert. Gelfand y Naimark también de-
muestran que toda C*-álgebra es *-isomorfa a una *-álgebra de operadores de espacios
de Hilbert. Este tema es a veces llamado topología no conmutativa.
La tesis está dividida en tres capítulos. El primero de ellos presentara los conceptos
y herramientas básicas de la teoría de Gelfand y las C*-álgebras. En el segundo capí-
tulo se generaliza la idea de estudiar un espacio topológico X a través del álgebra de
funciones C(X). Esto último se hará introduciendo los n-homomorsmos de Frobenius
y los productos simétricos Symn(X) del espacio X. Se demuestra que el espacio de
n-homomorsmos de Frobenius de C(X) a C es homeomorfo a Symn(X). En el tercer
XI
XII INTRODUCCIÓN
capítulo se mencionan algunas preguntas abiertas que surgen de las construcciones dis-
cutidas en la tesis, y se describe brevemente otra generalización de la teoría de Gelfand
que involucra matrices en lugar de números complejos.
Nuestro objetivo en el primer capítulo será introducir las álgebras de Banach para
luego denir los caracteres de un álgebra conmutativa A, el cual denotaremos por Ω(A),
y que tiene especial importancia en la teoría de dicho capítulo y además se generalizan
en el segundo capítulo. Finalmente enunciamos y demostramos los teoremas de Gelfand-
Naimark, Gelgand-Kolmogorov y Gelfand-Naimark-Segal.
En el segundo capítulo empezamos demostrando un resultado de combinatoria que
será importante para demostrar varios resultados del capítulo. Luego denimos los
n-homomorsmos de Frobenius los cuales son una generalización de los caracteres
Ω(A). Y por último se estudiará los productos simétricos Symn(X) para un espacio
X estableciéndose homeomorsmos de estos con el conjunto de n-homomorsmos de
Frobenius, teniéndose como caso particular para n = 1 un homomorsmo entre X y
los 1-homomorsmo de Frobenius que no son más que los caracteres sobre el álgebra
A = C(X).
Finalmente en el tercer capítulo discutiremos y dejaremos algunas preguntas abiertas
que surgen al considerar álgebras no conmutativas o también ver qué pasa si en lugar
del espacio de caracteres para un álgebra de funciones A = C(X) tomamos el espacio
de homomorsmos de la forma A→ Mn(R).
Capítulo 1
Preliminares.
En este capítulo veremos deniciones y teoremas relevantes relacionados con C*-
álgebras; estos nos permitirán enunciar y demostrar los teoremas de Gelfand-Naimark,
Gelfand-Kolmogorov y Gelfand-Naimark-Segal los cuales son resultados importantes en
esta tesis.
1.1. Álgebras de Banach.
Denición 1.1.1. Un álgebra de Banach es un espacio de Banach complejo (A, ‖‖)
junto con una multiplicación asociativa y distributiva tal que:
λ(ab) = (λa)b = a(λb)
y
‖ab‖ ≤ ‖a‖ ‖b‖
para todo a, b ∈ A, λ ∈ C.
1
2 Preliminares.
Note que para todo a, a′, b, b′ ∈ A, tenemos que
‖ab− a′b′‖ = ‖a(b− b′) + (a− a′)b′‖ ≤ ‖a‖ ‖b− b′‖+ ‖a− a′‖ ‖b′‖
de donde vemos que la multiplicación es continua.
Decimos que el álgebra A es conmutativa (o abeliana) si ab = ba para todo a, b en A,
y A es unital si posee una unidad o identidad (multiplicativa). Si A tiene una identidad,
entonces esta es única y la denotaremos por 1A
Denición 1.1.2. Sea A un álgebra de Banach unital. Para cada a ∈ A, El espectro
de a en A es
σ(a) = σA(a) = λ ∈ C : λ1A − a /∈ InvA
donde InvA es el conjunto de elementos invertibles de A.
Ejemplo 1.1.3. Sea X un espacio topológico compacto. Si f ∈ C(X) entonces el
espectro de f es su imagen, es decir,
σ(f) = f(X) = f(x) : x ∈ X .
En efecto,
λ ∈ σ(f) ⇐⇒ λ1− f /∈ InvC(X)
⇐⇒ (λ1− f)(x) = 0 para algún x ∈ X,
⇐⇒ λ = f(x) para algún x ∈ X
⇐⇒ λ ∈ f(X).
1.1. Álgebras de Banach. 3
Un resultado básico, cuya demostración puede encontrarse en [6], establece que: el
espectro de un elemento a ∈ A, es un subconjunto compacto no vacío de C, además
σ(a) ⊆ λ ∈ C : |λ| ≤ ‖a‖.
Denición 1.1.4. Sea A un álgebra de Banach unital. El radio espectral de un elemento
a ∈ A se dene como:
r(a) = rA(a) = supλ∈σA(a)
|λ| .
Dado X, un espacio de Banach. Su espacio dual X∗; es el espacio de Banach de
funcionales lineales continuos ϕ : X → C, con la norma ‖ϕ‖ = sup‖x‖≤1 |ϕ(x)|.
Denición 1.1.5. Para x ∈ X, sea Jx : X∗ → C, ϕ 7→ ϕ(x). La topología sobre X∗
es la topología débil inducida por la familia Jx : x ∈ X.
Recordemos algunas características y propiedades de la topología débil en X∗:
1. Para x ∈ X, el mapeo Jx es simplemente la imagen canónica de x en X∗∗. En
particular, cada Jx es continuo cuando X∗ está equipado con la topología usual
de su norma, así la topología débil* es más débil que la topología inducida por la
norma sobre X∗.
2. Los conjuntos ψ ∈ X∗ : |ψ(x)− ϕ(x)| < ε para ϕ ∈ X∗, ε > 0 y x ∈ X forman
una subbase para la topología débil*.
3. Por (2), X∗ con la topología débil es un espacio topológico de Hausdor.
Teorema 1.1.6. (El teorema de Banach-Alaoglu). Sea X un espacio de Banach. La
bola unitaria cerrada de X∗ es compacta en la topología débil* (Ver [6]).
4 Preliminares.
1.2. Caracteres y la representación de Gelfand
En esta sección desarrollamos la teoría de Gelfand y trabajamos con álgebras de
Banach conmutativas. En particular, si A es un álgebra de Banach conmutativa unital
identicaremos su espacio de ideales maximales ∆A con un espacio Ω(A) que llamaremos
conjunto de caracteres de A. Luego deniremos lo que se conoce como la transformada
de Gelfand de un elemento a ∈ A con la cual podremos denir un homomorsmo de
álgebras γ : A→ C(Ω(A)), llamado la representación de Gelfand de A.
Denición 1.2.1. Un caracter en un álgebra de Banach abeliana unital A es un fun-
cional lineal no nulo κ : A → C que cumple κ(ab) = κ(a)κ(b) para todo a, b ∈ A.
Denotamos por Ω(A) al conjunto de caracteres sobre A.
Ejemplo 1.2.2. Sea A = C(X) donde X es un espacio topológico compacto. Para
cada x ∈ X, el mapeo δx : A→ C, f 7→ f(x) es un caracter sobre A.
El siguiente lema establece una propiedad interesante de los caracteres la cual será
bueno tener en cuenta, porque cuando denamos los n-homomorsmos de Frobenius
vamos a pedir que estos cumplan una condición análoga al evaluarlos en la identidad
1A.
Lema 1.2.3. Si κ ∈ Ω(A) entonces κ es continuo. Más precisamente,
‖κ‖ = κ(1) = 1.
En particular, Ω(A) es un subconjunto de la bola unitaria cerrada de A∗(espacio
dual). (Ver [6])
La topología de Gelfand sobre Ω(A) es la topología de subespacio obtenida de la
topología débil* sobre A∗. Llamamos al espacio topológico Ω(A) como espacio de ca-
racteres o espectro, de A.
1.2. Caracteres y la representación de Gelfand 5
Teorema 1.2.4. Ω(A) es un espacio Hausdor compacto.
Demostración. Ya que la topología débil* es Hausdor entonces Ω(A) también lo es.
Por el lema 1.2.3, Ω(A) está contenido en la bola unitaria de A∗, la cual es compacta
en la topología débil* por el teorema 1.1.6. Un subconjunto cerrado de un conjunto
compacto es compacto, por lo que es suciente mostrar que Ω(A) es débil* cerrado en
A∗. Sabemos que:
Ω(A) = κ ∈ A∗ : κ(1) = 1, κ(ab) = κ(a)κ(b) para a, b ∈ A
= κ ∈ A∗ : κ(1) = 1 ∩⋂a,b∈A κ ∈ A∗ : κ(ab)− κ(a)κ(b) = 0
= J−11 (1) ∩
⋂a,b∈A (Jab − Ja.Jb)−1 (0).
Cada funcional evaluación Ja : A∗ → C, τ 7→ τ(a) es débil* continuo, así los mapeos
Jab − Ja · Jb también lo son. Por lo tanto, los conjuntos en esta intersección son todos
débil* cerrados, y así Ω(A) es débil* cerrado.
Este último teorema es importante porque casi todos los teoremas principales que
utilizamos requieren que los espacios sean Hausdor compactos.
Observación 1.2.5. Sea A un álgebra de Banach abeliana con identidad, entonces
se tienen las siguientes relaciones entre Ω(A), el espectro σ(a) y el radio espectral r(a)
para a ∈ A.
1. a ∈ InvA si y solo si κ(a) 6= 0 para todo κ ∈ Ω(A).
2. σ(a) = κ(a) : κ ∈ Ω(A).
3. r(a) = supκ∈Ω(A) |κ(a)|.
6 Preliminares.
Si τ ∈ Ω(A) entonces denotamos su núcleo por Ker τ y el conjunto de ideales
maximales de A por ∆A.
Lema 1.2.6. Sea A un álgebra de Banach abeliana.
1. Si τ ∈ Ω(A) entonces Ker τ ∈ ∆A.
2. Si M ∈ ∆A, entonces el mapeo C → A/M , λ 7→ λ1 + M es un isomorsmo
isométrico.
Para la demostración de este último lema y del siguiente teorema ver [6].
Teorema 1.2.7. Sea A un álgebra de Banach abeliana unital. El mapeo
τ 7→ Ker τ
es una biyección de Ω(A) sobre ∆A.
Ejemplo 1.2.8. Sea X un espacio de Hausdor compacto. Para x ∈ X, el mapeo
δx : C(X) → C, f 7→ f(x) es un homomorsmo no nulo, de donde δx : x ∈ X ⊆
Ω(C(X)). Veamos que se cumple la igualdad.
Para x ∈ X, seaMx = Ker δx = f ∈ C(X) : f(x) = 0, el cual es un ideal maximal
de C(X) por el teorema 1.2.7. Sea I un ideal de C(X). Si I * Mx para todo x ∈ X,
entonces para cada x ∈ X, existe fx ∈ I con fx 6= 0. Ya que I es un ideal, gx = |fx|2 =
fxfx ∈ I, ya que gx es continua y no negativa con gx(x) > 0, existe un conjunto abierto
Ux con x ∈ X y gx(y) > 0 para todo y ∈ Ux. Como x varía a lo largo de X, los conjuntos
abiertos Ux cubren a X. Ya que X es compacto, existe n ≥ 1 y x1, . . . , xn ∈ X tal que
Ux1 , . . . , Uxn cubren a X. Sea g = gx1 + · · ·+ gxn. Entonces g ∈ I y g(x) > 0 para todo
x ∈ X, de modo que g es invertible en C(X). Por lo tanto I = C(X).
1.2. Caracteres y la representación de Gelfand 7
Esto muestra que todo ideal propio I de C(X) está contenido en Mx para algún
x ∈ X. Sea τ ∈ Ω(C(X)). Ya que Ker τ es un ideal maximal propio, debemos tener
Ker τ = Mx para algún x ∈ X, asi τ = δx por el teorema 1.2.7.
Considere el mapeo θ : X → Ω(C(X)), x 7→ δx. Ya hemos mostrado que es sobreyec-
tiva, falta solo mostrar la inyectividad. Como X es compacto y Hausdor, C(X) separa
los puntos de X por el lema de Urysohn. Por lo tanto si δx = δy entonces f(x) = f(y)
para todo f ∈ C(X), de modo que x = y, de donde θ es una biyección.
Veamos ahora que θ es un homeomorsmo. En efecto, θ es continua ya que para
f ∈ C(X) y x ∈ X tenemos que
Jf (θ(x)) = Jf (δx) = δx(f) = f(x),
de modo que Jf θ : X → C es continua para todo f ∈ C(X), de donde θ es continua
(ver teorema 4.6 en [5]). Ya que X es compacto y Ω(C(X)) es Hausdor, entonces θ
es homeomorsmo (ver [5]).
Denición 1.2.9. Sea A un álgebra de Banach abeliana con identidad. Para cada
a ∈ A, la transformada de Gelfand de a es el mapeo
a : Ω(A) −→ C, κ 7→ κ(a).
Sea X un espacio Hausdor compacto. El mapeo X → Ω(C(X)), x 7→ δx es un
homeomorsmo por el ejemplo anterior. Si f ∈ C(X) entonces
f : Ω(C(X))→ C, δx 7−→ δx(f) = f(x).
Esto signica que, si identicamos Ω(C(X)) con X de modo que x = δx, entonces
f = f .
8 Preliminares.
Teorema 1.2.10. Sea A un álgebra de Banach abeliana y con identidad. Para cada
a ∈ A, la transformada de Gelfand a está en C(Ω(A)). Más aún, el mapeo
γ : A −→ C(Ω(A)), a 7→ a
es un homomorsmo unital de norma decreciente (y por tanto continuo), además, Para
cada a ∈ A tenemos que:
σA(a) = σC(Ω(A))(a) = a(κ) : κ ∈ Ω(A) , y r(a) = ‖a‖ .
Demostración. Por denición de topología sobre Ω(A), cada a está en C(Ω(A)). Es fácil
ver que γ es un homomorsmo, y es unital por el lema 1.2.3. La identicación de σA(a)
con σC(Ω(A))(a) se sigue de la observación 1.2.5 (2). Ahora r(a) = ‖a‖ ≤ ‖a‖ por la
observación 1.2.5 (3), de donde γ es lineal y de norma decreciente, por tanto continua.
Con este último teorema podemos pasar a dar una denición de un mapeo bastante
importante el cual es fundamental en el teorema de Gelfand-Naimark.
Denición 1.2.11. Si A es un álgebra de Banach abeliana y con unidad entonces el
homomorsmo unital
γ : A −→ C(Ω(A)), a 7→ a
es llamado la representación de Gelfand de A.
En general, la representación de Gelfand no es ni inyectiva ni sobreyectiva. Por
ejemplo, la representación de Gelfand del álgebra del disco
A(D) =f ∈ C(D) : f es analítica sobre D
1.3. Álgebras C*. 9
es la inclusión A(D)→ C(D), la cual no es sobreyectiva.
Por otro lado, consideramos las matrices I =(
1 00 1
)y T =
(0 10 0
)enM2(C) y tomemos
A = span I, T (el espacio generado por I y T). Ya que A es un subespacio vectorial
nito dimensional del espacio de BanachM2(C) = B(C2), entonces este es carrado. Más
aún, la unidad de M2(C) es I, y I ∈ A. Y como T 2 = 0, para α, β, a, b ∈ C tenemos
(αI + βT ) (aI + bT ) = αaI + (αb+ aβ)T ∈ A
así A es una subálgebra de Banach unital de M2(C). Además si τ ∈ Ω(A), entonces
τ(I) = 1 por el lema 1.2.3. Como T 2 = 0, tenemos que τ(T )2 = τ(T 2) = 0 y así
τ(T ) = 0. Por lo tanto τ(aI + bT ) = a, para todo a, b ∈ C. Por lo que este es el único
caracter; i.e. Ω(A) = τ. Entonces T (τ) = τ(T ) = 0, de donde la representación de
Gelfand no es inyectiva.
1.3. Álgebras C*.
Denición 1.3.1. Un *-álgebra de Banach es un álgebra de Banach A junto con una
involución a 7−→ a∗ la cual satisface:
1. * es conjugada lineal, i.e., (λa)∗ = λa∗ y (a+ b)∗ = a∗ + b∗ para λ ∈ C, a ∈ A;
2. a∗∗ = a para todo a ∈ A;
3. (ab)∗ = b∗a∗ para todo a, b ∈ A.
Si A tiene una unidad 1, entonces 1∗ = 1∗1 = (1∗1)∗ = 1∗∗ = 1.
Sean A y B *-álgebras de Banach. La función φ : A→ B se llama *-homomorsmo
de álgebras si es lineal, multiplicativo y además preserva la involución, es decir:
10 Preliminares.
φ(a∗) = φ(a)∗.
Si A y B tienen unidad, decimos que el homomorsmo es unital si φ(1A) = 1B.
Denición 1.3.2. Una C∗-álgebra A es una *-álgebra de Banach tal que para cada
a ∈ A
‖a∗a‖ = ‖a‖2 .
Esta última condición es frecuentemente conocida como la C∗-propiedad de la nor-
ma, y asegura que la involución preserva la norma, es decir ‖a‖ = ‖a∗‖, y por tanto la
involución como función de A en A es continua.
Denición 1.3.3. Sea A una C*-álgebra.
Un elemento a ∈ A es normal si a conmuta con a∗. i.e, a∗a = aa∗.
Un elemento a ∈ A es hermitiano si a = a∗.
Un elemento p ∈ A es una proyección si p = p∗ = p2.
Si A es unital entonces un elemento u ∈ A es unitario si uu∗ = u∗u = 1.
Las siguientes proposiciones establecen algunas características y propiedades de los
elementos que acabamos de denir. Además se utilizaran en la demostración del teorema
de Gelfand-Naimark.
Proposición 1.3.4. Sea A una C∗-álgebra.
1. Si a ∈ A entonces a∗a es hermitiano.
2. Si p ∈ A es una proyección no cero entonces ‖p‖ = 1.
1.3. Álgebras C*. 11
Proposición 1.3.5. Si A es una C∗-álgebra conmutativa y con identidad entonces
κ(a∗) = κ(a) para todo a ∈ A y κ ∈ Ω(A).
Proposición 1.3.6. Si a es un elemento hermitiano de una C∗-álgebra entonces ‖a‖ =
r(a).
Como a∗a es hermitiano en una C*-álgebra A entonces tenemos que r(a∗a) =
‖a∗a‖ = ‖a‖2 y por lo tanto,
‖a‖ =√r(a∗a).
Esta relación nos dice que la norma está determinada por la estructura algebraica de A.
Adema± la última igualdad implica que los isomorsmos involutivos entre C*-álgebras
son isometrías. Entonces las isometrías y homomorsmos de C*-álgebras coinciden y
dada un álgebra involutiva no necesariamente existe una norma que la dote de una
estructura C*, pero en caso de que exista es única.
Teorema 1.3.7. (Stone-Weierstrass). Sea X un espacio topológico Hausdor compacto
y A ⊆ C(X). Si A es una *-subálgebra de C(X) que separa los puntos de X, entonces
A es uniformemente densa en C(X).
Ahora estamos listos para demostrar el teorema clásico de Gelfand-Naimark el cual
es un resultado central en el que se basará este trabajo. Básicamente establece que toda
C*-álgebra conmutativa puede verse como la C*-álgebra que consta de las funciones
continuas con valores en C denidas en un espacio topológico localmente compacto.
Cuando la C*-álgebra además tiene una unidad, este espacio topológico es compacto.
A continuación se detalla la estructura de esta importante C*-álgebra.
Consideremos un espacio topológico compacto X. Sea C(X) el espacio de las funcio-
nes continuas f : X → C. En particular toda función constante es una función continua,
12 Preliminares.
de modo que C(X) siempre es no vacío. Además dados x, y ∈ X, existe una función f
tal que f(x) 6= f(y) (por ser X compacto Hausdor, C(X) separa puntos por el lema
de Urysohn), es decir, hay sucientes funciones continuas, esto nos permite distinguir
los puntos de X.
El espacio vectorial complejo C(X) tiene estructura de C*-álgebra. Con el producto
usual de funciones complejas
fg(x) = f(x)g(x)
como producto algebraico es un álgebra asociativa, compleja, unital y conmutativa.
La operación * está dada por la conjugación compleja
f ∗(x) = f(x).
Con la norma
‖f‖ = maxx∈X|f(x)|
C(X) es un álgebra de Banach. Además cumple la propiedad C∗,
‖f ∗f‖ =∥∥ff∥∥ =
∥∥|f |2∥∥ = ‖f‖2 .
Teorema 1.3.8 (El teorema de Gelfand-Naimark). Si A es una C*-álgebra abeliana
con unidad entonces la representación de Gelfand de A,
γ : A −→ C(Ω(A)), a 7→ a
es un *-isomorsmo isométrico unital de A sobre C(Ω(A)).
1.3. Álgebras C*. 13
Demostración. Por el teorema 1.2.10 tenemos que γ es un homomorsmo de norma
decreciente y unital con ‖γ(a)‖ = r(a). Más aún, para a ∈ A y τ ∈ Ω(A) tenemos
a∗(τ) = τ(a∗) = τ(a) = a(τ) = (a)∗(τ)
por la proposición 1.3.5, de donde γ(a∗) = γ(a)∗ y por tanto γ es un *-homomorsmo.
Ahora a∗a es hemitiana por la proposición 1.3.4 (1), así por la proposición 1.3.6,
‖γ(a)‖2 = ‖γ(a)∗γ(a)‖ = ‖γ(a∗a)‖ = r(a∗a) = ‖a∗a‖ = ‖a‖2
Por lo tanto γ es una isometría.
Queda por demostrar que γ es sobreyectiva, por lo que apelamos al teorema de
Stone-Weierstrass. Recordemos que Ω(A) es un espacio compacto de Hausdor por
el Teorema 1.2.4. Ya que γ es un *-homomorsmo unital, su imagen γ(A) es una *-
subálgebra unital de C(Ω(A)). Si τ1, τ2 ∈ Ω(A) con τ1 6= τ2 entonces existe a ∈ A con
τ1(a) 6= τ2(a), por tanto a(τ1) 6= a(τ2) y así γ(A) separa los puntos de Ω(A). Por el
teorema de Stone-Weierstrass, γ(A) es denso en C(Ω(A)). Ya que γ es una isometría
lineal su rango es cerrado. Por tanto
γ(A) = γ(A) = C(Ω(A)).
Otra línea de investigación, interesante, hace hincapié en el vínculo entre las propie-
dades algebraicas de C(X) y la topología de X. Aquí X será un espacio de Hausdor
completamente regular y consideraremos en C(X) su estructura de álgebra o (de forma
equivalente en este contexto) su estructura de anillo. El primer resultado que vincula
lo topológico con lo algebraico fue dado por Gelfand y Kolmogorov [3] en 1939 para
14 Preliminares.
espacios compactos. Para esto, ellos consideraron el espacio de ideales maximales de
C(X) dotados de la topología de Stone. Dicho sea de paso, este teorema sigue a par-
tir del teorema de Banach-Stone y el hecho de que isomorsmos de álgebras implican
isometrías (ver [4]).
Teorema 1.3.9 (Teorema de Gelfand-Kolmogorov). Sean X y Y espacios de Hausdor
compactos. Entonces, C(X) y C(Y ) son isomorfos como álgebras si y solo si X y Y
son homeomorfos. Más aún, todo isomorsmo de álgebras T : C(Y ) → C(X) es de la
forma Tf = f h donde h : X → Y es un homeomorsmo.
Demostración. Es claro que cuando h : X → Y es un homeomorsmo, entonces T :
C(Y )→ C(X) denido por Tf = f h es un isomorsmo de álgebras.
Inversamente, si T : C(Y ) → C(X) es un isomorsmo de álgebras entonces, para
cada x ∈ X, δx T : C(Y ) → R es un funcional multiplicativo no nulo. Así, por el
ejemplo 1.2.8, existe un único y = h(x) ∈ Y tal que δx T = δh(x), i.e. Tf(x) = f(h(x)),
para todo f ∈ C(Y ). Por tanto, el mapeo h : X → Y satisface Tf = f h ∈ C(X), para
todo f ∈ C(Y ). Por tanto h es continua, ya que C(Y ) separa puntos y es un subconjunto
cerrado de Y esto implica que Y está dotado con la topología débil generada por C(Y ).
Finalmente, considerando T−1 obtenemos que h es un homeomorsmo.
Ahora nos concentramos en el último teorema importante de este capítulo, conocido
con el nombre de teorema de Gelfand-Naimark-Segal. El cual dice básicamente que
toda C*-álgebra es isomorfa a un álgebra de operadores en un espacio de Hilbert. Este
hecho permite, por ejemplo, aplicar la teoría de C*-álgebras a la solución de ecuaciones
integro-diferenciales.
1.3. Álgebras C*. 15
Denición 1.3.10. Sea A una C*-álgebra. Si a ∈ A entonces decimos que a es positivo
y escribimos a ≥ 0 si a es hermitiano con σ(a) ⊆ R+. El conjunto de elementos positivos
de A se denotara por A+ = a ∈ A : a ≥ 0.
Ejemplo 1.3.11. En el caso de A = C(X) donde X es un espacio compacto Hausdor,
tenemos
C(X)+ = f ∈ C(X) : f(x) ∈ R+ para x ∈ X
= f ∈ C(X) : f = f ∗ y ‖f − t‖ ≤ t para algún t ∈ R+
= g∗g : g ∈ C(X) .
Teorema 1.3.12. Sea A una C*-álgebra unital. Para cada a ∈ A+ existe un único
elemento b ∈ A+ con b2 = a (ver [6]).
Si A es una C*-álgebra y a ∈ A entonces llamamos al único elemento b ∈ A+ con
b2 = a la raíz cuadrada positiva de a, y la escribimos como a1/2.
Lema 1.3.13. Sea A una C*-álgebra.
1. Si a es un elemento hermitiano de A entonces a2 ≥ 0.
2. Si a es un elemento hermitiano de A entonces a ≥ 0 si y solo si ‖a− t‖ ≤ t para
algún t ∈ R+.
3. Si a, b ∈ A con a ≥ 0 y b ≥ 0 entonces a+ b ≥ 0.
4. Si a ∈ A con a ≥ 0 y −a ≥ 0 entonces a = 0.
5. Si a ∈ A y −a∗a ≥ 0 entonces a = 0.
Se sigue de la partes (3) y (4) del lema anterior que la relación ≤ es un orden parcial
sobre A.
16 Preliminares.
Teorema 1.3.14. Si A es una C*-álgebra unital entonces A+ = a∗a : a ∈ A.
Para las demostraciones del lema 1.3.13 y del teorema 1.3.14 ver [6].
Si a, b ∈ A entonces vamos a escribir a ≤ b si b− a ≥ 0.
Lema 1.3.15. Si A es una C*-álgebra unital y a ∈ A+ entonces a ≤ ‖a‖ 1.
Sea H es un espacio de Hilbert y B(H) el espacio de los operadores acotados en H,
B(H) es una C*-álgebra: El producto algebraico se introduce por medio de la compo-
sición de operadores, con el que es un álgebra asociativa, compleja y unital. Además
el operador que asigna a cada a ∈ B(H) su operador adjunto a∗, es una involución en
B(H).
Daremos entonces la representación de una C*-álgebra en términos de espacios de
Hilbert por medio del teorema de Gelfand-Naimark-Segal (ver [6]).
Previo a el teorema principal primero, recordaremos algunas deniciones y daremos
algunos resultados previos.
Denición 1.3.16. Si V es un espacio vectorial. Una forma sesquilineal semidenida
positivamente sobre V es un mapeo (·, ·) : V × V → C tal que
(x, x) ≥ 0, (λx+ µy, z) = λ(x, z) + µ(y, z) y (y, x) = (x, y)
para todo x, y, z ∈ V y λ, µ ∈ C. Si este mapeo también satisface
(x, x) = 0 =⇒ x = 0.
Entonces decimos que es denida positiva, y es entonces un producto interno sobre V .
1.3. Álgebras C*. 17
Lema 1.3.17. (La desigualdad de Cauchy-Schwarz). Sea V un espacio vectorial y sea
(·, ·) : V × V → C una forma sesquilineal semidenida positiva. Entonces
|(x, y)|2 ≤ (x, x)(y, y) para todo x, y ∈ V.
Sea A un álgebra unital. Un funcional lineal τ : A→ C es positivo si τ(a) ≥ 0 para
todo a ∈ A+.
Si τ es un funcional lineal positivo sobre A y a, b ∈ A con a ≤ b entonces b−a ≥ 0 y
así τ(b− a) = τ(b)− τ(a) ≥ 0. Por lo tanto los funcionales lineales positivos preservan
el orden.
Lema 1.3.18. Sea A una C*-álgebra unital y τ un funcional lineal positivo sobre A.
1. τ(a∗) = τ(a) para todo a ∈ A.
2. |τ(a)| ≤ τ(1) ‖a‖ para todo a ∈ A. Por lo tanto τ ∈ A∗ y ‖τ‖ = τ(1).
Para ver la demostración del lema anterior y la del próximo consultar [6]. El si-
guiente resultado nos permitirá denir el análogo de los caracteres para álgebras no
conmutativas.
Lema 1.3.19. Sea A una C*-álgebra unital y τ ∈ A∗. Entonces τ es positivo si y solo
si ‖τ‖ = τ(1).
Sea A una C*-álgebra unital. Un estado sobre A es un funcional lineal positivo de
norma 1. Denotamos por S(A) al conjunto de estados de A. Por el lema anterior
S(A) = τ ∈ A∗ : ‖τ‖ = τ(1) = 1 .
18 Preliminares.
Si A es una C*-álgebra abeliana con identidad entonces Ω(A) ⊆ S(A) por el lema 1.2.3.
Por lo tanto los estados S(A) generalizan los caracteres en el caso abeliano. Además
S(A) es un espacio Hausdor compacto.
Lema 1.3.20. Sea A una C*-álgebra unital. Si a es un elemento hermitiano de A
entonces existe un estado τ ∈ S(A) con |τ(a)| = ‖a‖, (ver [6]).
El siguiente lema es importante para demostrar el teorema de Gelfand-Naimark-
Segal, ya que en este se construyen espacios de Hilbert H los cuales se utilizaran para
denir homomorsmos entre A y B(H), resultando esto fundamental para la demostra-
ción del teorema.
Lema 1.3.21. Sea A una C*-álgebra unital. Para todo τ ∈ S(A) existe un espacio de
Hilbert H y un *-homomorsmo π : A→ B(H) tal que
τ(a∗a) ≤ ‖π(a)‖2 ≤ ‖a‖2 para todo a ∈ A.
Demostración. Considere el mapeo (·, ·) : A× A→ C denido por
(a, b) = τ(b∗a), a, b ∈ A.
Es fácil checar que esta es una forma sesquilineal semidenida positiva. Observe que si
a ∈ A entonces a∗a ≤ ‖a‖2 1 por el lema 1.3.15, así
(a, a) = τ(a∗a) ≤ ‖a‖2 τ(1) = ‖a‖2 .
Más aún, si a, b, c ∈ A entonces (ab, c) = τ(c∗ab) = τ((a∗c)∗b) = (b, a∗c).
Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz (lema 1.3.17), para cada a ∈ A tenemos
1.3. Álgebras C*. 19
(a, a) = 0⇐⇒ (a, b) = 0 para todo b ∈ A.
Por tanto si N = a ∈ A : (a, a) = 0 entonces
N = a ∈ A : (a, b) = 0 para todo b ∈ A .
Usando esta expresión, podemos checar que N es un ideal izquierdo de A.
Considerando el espacio vectorial V = A/N y escribiendo [a] = a + N ∈ V para
a ∈ A. Denimos un mapeo 〈·, ·〉 : V × V → C por
〈[a] , [b]〉 = (a, b), a, b ∈ A.
Tenemos que está bien denido ya que si [a1] = [a2] y [b1] = [b2] entonces a2 − a1 ∈ N
y b2 − b1 ∈ N , asi (a1, b1) = (a1, b1) + (a2 − a1, b1) + (a2, b2 − b1) = (a2, b2). Se sigue
que 〈·, ·〉 es una forma sesquilineal semidenida positiva sobre V . En efecto, es denida
positiva ya que si 〈[a] , [a]〉 = 0 entonces (a, a) = 0 de modo que a ∈ N , i.e. [a] = 0. Por
tanto (V, 〈·, ·〉) es un espacio con producto interno.
Sea H la completación de este espacio y denotemos por L(V ) el conjunto de mapeos
lineales V → V , y sea π0 : A→ L(V ) dado por π0(a) [b] = [ab] para [b] ∈ V . Está bien
denida ya que si [b1] = [b2] entonces b2 − b1 ∈ N , así si a ∈ A entonces a(b2 − b1) =
ab2 − ab1 ∈ N (ya que N es ideal izquierdo) y así [ab1] = [ab2]. Más aún, para a, b ∈ A
tenemos b∗a∗ab ≤ ‖a‖2 b∗b, de modo que
‖[π0(a) [b]‖2 = ‖[ab]‖2 = (ab, ab) = τ(b∗a∗ab) ≤ ‖a‖2 τ(b∗b) = ‖a‖2 ‖[b]‖2 .
Por tanto ‖π0(a) [b]‖ ≤ ‖a‖ ‖b‖, así π0(a) es un mapeo lineal continuo y su norma de
operador satisface ‖π0(a)‖ ≤ ‖a‖.
20 Preliminares.
De manera que π0(a) tiene una única extensión a un mapeo en B(H), escribiendo
π(a), y ‖π(a)‖ ≤ ‖a‖. Esta dene un mapeo π : A→ B(H).
Armamos que π es un *-homomorsmo. Ya que si V es denso en H y π(a) es
continuo para todo a ∈ A, es suciente checar estas propiedades sobre V . Para a, b, c ∈ A
y λ ∈ C tenemos
π(a+ b) [c] = [(a+ b)c] = [ac+ bc] = π(a) [c] + π(b) [c] = (π(a) + π(b)) [c]
y
π(λa) = [c] = [λac] = λπ(a) [c]
así π es lineal,
π(ab) [c] = [abc] = π(a) [bc] = π(a)π(b) [c]
de donde π es un homomorsmo, y
〈π(a) [b] , [c]〉 = (ab, c) = (b, a∗c) = 〈[b] , π(a∗) [c]〉
de modo que π(a∗) = π(a)∗ por lo tanto π es un *-homomorsmo.
Queda por establecer la desigualdad τ(a∗a) ≤ ‖π(a)‖2 ≤ ‖a‖2. Ya hemos comentado
que ‖π(a)‖ ≤ ‖a‖. Ahora ‖[1]‖2 = (1, 1) = τ(1) = 1, así ‖π(a)‖2 ≥ ‖π(a) [1]‖2 =
‖[a]‖2 = (a, a) = τ(a∗a).
Ahora podemos demostrar que cada C*-álgebra es, salvo *-isomorsmo isométricos,
una subálgebra de B(H) para algún espacio de Hilbert H. Para ello, vamos a juntar
1.3. Álgebras C*. 21
todas las representaciones construidas en el Lema 1.3.21. Puesto que hay una gran
cantidad de estas representaciones. Primero veamos algunos tecnicismos.
Sea I un conjunto indexado. Sea αi ≥ 0 para cada i ∈ I, entonces decimos que
(αi)i∈I es sumable si el conjunto de sumas nitas
∑i∈J
αi : J es subconjunto finito de I
está acotada superiormente, y entonces declaramos el valor de
∑i∈I αi como el supremo
de este conjunto. Si (αi)i es sumable, escribimos∑
i∈I αi <∞.
Suponga que ti ∈ R y∑
i∈I |ti| < ∞. Escribiendo J = j ∈ I : tj ≥ 0 podemos
denir∑
i∈I ti =∑
j∈J tj −∑
k∈I−J(−tk). Similarmente, si λi ∈ C y∑
i∈I |λi| < ∞
entonces podemos denir∑
i∈I λi =∑
i∈I Re(λi) + i∑
i∈I Im(λi).
Si Hi : i ∈ I es una familia de espacios de Hilbert, entonces podemos denir un
espacio con producto interno H de la siguiente manera:
H =
(ξi)i∈I : ξi ∈ Hi para cada i ∈ I,
∑i∈I
‖ξi‖2 <∞
con las operaciones puntuales de espacios vectoriales (ξi)i∈I + (ηi)i∈I = (ξi + ηi)i∈I ,
λ(ξi)i∈I = (λξi)i∈I y el producto interno
〈(ξi)i∈I , (ηi)i∈I〉 =∑i∈I
〈ξi, ηi〉 .
Se sigue de Cauchy-Schwarz que∑
i∈I |〈ξi, ηi〉| <∞ si (ξi)i∈I , (ηi)i∈I ∈ H, esí el producto
interno está bien denido.
No es difícil mostrar que H es entonces un espacio con producto interno completo,
i.e. H es un espacio de Hilbert. Escribiremos
22 Preliminares.
H =⊕i∈I
Hi
y llamamos a H la suma directa Hilberiana de los espacios de Hilbert Hi : i ∈ I.
Suponga que ai ∈ B(Hi) para cada i ∈ I y que supi∈I ‖ai‖ < ∞. Podemos de-
nir un operador a ∈ B(H) por a((ξi)i∈I
)= (a (ξi))i∈I para (ξi)i∈I ∈ H. Note que∑
i∈I ‖aiξi‖2 ≤ (supi∈I ‖ai‖)
∑i∈I ‖ξi‖
2 para cada x ∈ X, así a es un operador acotado,
con ‖a‖ ≤ supi∈I ‖ai‖. En efecto, es fácil mostrar que ‖a‖ = supi∈I ‖ai‖. Escribiremos
a =⊕
i∈I ai.
Teorema 1.3.22. (El teorema de Gelfand-Naimark-Segal). Si A es una C*-álgebra
entonces A es isométricamente *-isomorfa a una subálgebra de B(H).
Demostración. Dado τ ∈ S(A), escribamos Hτ y πτ : A → B(Hτ ) para el espacio de
Hilbert y el *-homomorsmo obtenidos del lema 1.3.21. Sea
H =⊕τ∈S(A)
Hτ y defina π(a) =⊕τ∈S(A)
πτ (a) para a ∈ A.
es fácil ver que esto dene un *-homomorsmo π : A → B(H). Si a ∈ A entonces ya
que ‖π(a)‖ = supτ∈S(A) ‖πτ (a)‖, tenemos
supτ∈S(A)
τ(a∗a) ≤ ‖π(a)‖2 ≤ ‖a‖2
por el lema 1.3.21. Sin embargo, a∗a es hermitiano de donde por el lema 1.3.20,
supτ∈S(A)
τ(a∗a) ≥ ‖a∗a‖ = ‖a‖2 .
Con estas dos últimas desigualdades juntas tenemos que ‖π(a)‖ = ‖a‖ para cada a ∈ A,
así π es un *-homomorsmo isométrico. En particular, el rango de π es una *-subálgebra
cerrada de B(H) por lo que es *isomorfo a A.
Capítulo 2
Productos simétricos y
n-homomorsmos de Frobenius.
En el capítulo anterior teníamos que un espacio Hausdor compacto X se podía
identicar con el espacio de caracteres Ω(A) donde A es una C*-álgebra de funciones
sobre X, es decir, X ∼= Ω(A) ⊆ Hom(A,C) (con A = C(X)). En este capítulo se
generaliza este resultado de la siguiente manera: en vez de X se toma su producto
simétrico denotado por Symn(X) := Xn/Σn y en lugar de Ω(A) trabajamos sobre los
n-homomorsmos de Frobenius sobre A, denotados por Φn(A), es decir, se identicará
Symn(X) con Φn(A) (ver [1]). Siendo el caso n = 1 el que ya conocemos: si A es
un álgebra (adecuada) de funciones sobre un espacio compacto X, entonces Φ1(A) es
el conjunto de homomorsmos de álgebras y, por la transformada de Gelfand, este es
homeomorfo a X.
Además esta identicación se dará para X nito, variedades anes y Hausdor
compacto. En particular cuando X es un espacio de Hausdor compacto y A = C(X)
25
26 Productos simétricos y n-homomorsmos de Frobenius.
es el anillo de funciones continuos complejo-valuadas sobre X, Φn(A) es precisamente
el conjunto de mapeos que se pueden escribir como la suma de n homomorsmos de
anillos y de esta manera se podrá identicar con Symn(X). Resultados análogos se
cumplen cuando A es un álgebra conmutativa nitamente generada. En particular,
cuandoX = Cm y el álgebra es el anillo A = C [u1, u2, ..., um] de funciones de polinomios
sobre X, probamos que Φn(A) es el producto simétrico de Symn(Cm).
Este capítulo se dividirá en tres secciones:
1. Probamos una identidad combinatoria que se satisface para particiones de con-
juntos y que pueden ser de interés independiente.
2. Se introducen las transformaciones de Frobenius y se desarrollan algunas de sus
propiedades básicas.
3. Establecemos la relación con los productos simétricos y se prueba el teorema
básico para conjuntos nitos, variedades anes y espacios de Hausdor compacto.
2.1. Una identidad sobre particiones.
Iniciamos mostrando una identidad sobre particiones de conjuntos la cual será útil
en la prueba de algunos resultados de las secciones posteriores de este capítulo.
Si σ es una permutación de un conjunto X, existe una partición de X dada por las
órbitas de la acción del grupo generado por σ. Claramente, dos permutaciones que dan
la misma partición tienen el mismo tipo de ciclo y por lo tanto el mismo signo; dado una
partición π, denotemos por ε(π) este signo y por n(π) el número de permutaciones que
dan lugar a π, así si las partes de π son P1, P2, ..., Pk, entonces n(π) =∏k
i=1(#Pi − 1)!.
2.1. Una identidad sobre particiones. 27
Sea P(X) el grupo abeliano libre en el conjunto de todas las particiones de X y
χ(X) =∑
ε(π)n(π)π ∈ P(X)
donde la suma está por todas las particiones de X.
Si π1, π2 son particiones de X,Y respectivamente, entonces se tiene una partición
natural π1π2 de la unión disjunta X t Y . Así, podemos denir χ(X)χ(Y ) ∈ P(X t Y ).
Si g : X −→ Y es un mapeo y π es una partición de Y tenemos, tomando imagen
inversa de las partes en π, una partición g∗π (estos tienen el mismo número de partes
si g es sobreyectiva) y por tanto un homomorsmo g∗ : P (Y )→ P (X).
Denición 2.1.1. un emparejamiento parcial φ entre dos conjuntos X,Y es una
biyección φ : Xφ → Yφ entre subconjuntos Xφ ⊂ X y Yφ ⊂ Y . Dado un emparejamiento
parcial φ, defínase una relación de equivalencia sobre X t Y por x ∼ y si φ(x) = y.
Denotamos el conjunto cociente por X tφ Y (su cardinalidad es #X + #Y −#Xφ) y
el mapeo cociente por qφ : X t Y → X tφ Y .
Proposición 2.1.2. Si X,Y son disjuntos, entonces
∑q∗φχ(X tφ Y ) = χ(X)χ(Y ) (2.1)
donde la suma es bajo todos los emparejamiento parcial φ entre X e Y , incluyendo el
emparejamiento parcial vacío.
Demostración. Sea π = P1 t P2 t ... t Pk una partición de X t Y donde
Pj = x1j, x2j, ..., xmj, y1j, y2j, ..., xnj con xij ∈ X yij ∈ Y
y sea
28 Productos simétricos y n-homomorsmos de Frobenius.
c(m,n, `) = (−1)m+n−`−1(m+ n− `− 1)!`!
(m
`
)(n
`
).
Entonces los coecientes de la partición π que aparecen a partir de términos derivados
de emparejamiento a lo largo de los subconjuntos de cardinalidad ` es
∑`1+`2+···+`k=`
c(m1, n1, `1)c(m2, n2, `2) . . . c(mk, nk, `k).
Por tanto, el coeciente de π en el lado izquierdo de (2.1) es
cπ =
min(m1,n1)∑`1=0
min(m2,n2)∑`2=0
· · ·min(mk,nk)∑
`k=0
c(m1, n1, `1)c(m2, n2, `2) . . . c(mk, nk, `k).
Para evaluar esta suma tomamos
d(m,n, `) =(m
` )(n`)
(m+n−1` )
= (−1)m+n−1(−1)` c(m,n,`)(m+n−1)!
y
Pm,n(t) =
min(m,n)∑`=0
d(m,n, `)(−t)`;
entonces
Cπ = ε(π)r=k∏r=1
(mr + nr − 1)!Pmr,nr(1).
El polinomio Pm,n(t) es un polinomio hipergeométrico, siendo una solución de la ecua-
ción diferencial
t(1− t)y′′(t)− (m+ n− 1)(1− t)y′(t)−mny(t) = 0.
2.2. Transformaciones de Frobenius. 29
Por tanto, sustituyendo t = 1 en la ecuación diferencial uno tiene Pm,n(1) = 0 para
min(m,n) > 0.
Por lo tanto, cπ = 0 a menos que cada parte de π consiste enteramente de x o
totalmente de y. En este caso, deje que la partición sea π1π2; su coeciente en el término
χ(X)χ(Y ) es ε(π1)n(π1)ε(π2)n(π2) (sólo puede ocurrir una vez en el producto). En el
lado izquierdo de la ecuación en (2.1), el único término en el que π1π2 aparece es
χ(X t Y ) y su coeciente es
ε(π1π2)n(π1π2) = ε(π1)n(π)ε(π2)n(π2).
De donde se tiene el resultado de la Proposición.
2.2. Transformaciones de Frobenius.
Del capítulo anterior teníamos que el conjunto de caracteres Ω(A) tenía algunas
propiedades interesantes que permitieron establecer los diferentes teoremas de Gelfand,
por ejemplo, además de ser multiplicativos (por denición), se tenía que en el caso de
ciertas álgebras con unidad A que τ(1A) = 1 para todo τ ∈ Ω(A). En esta sección se
construirá el conjunto de mapeos f : A→ C de n-homomorsmos de Frobenius Φn(A)
cuyos elementos cumplirán ecuaciones un poco más complejas: es decir, dado un mapeo
lineal f : A −→ C consideramos ciertos mapas que pueden ser pensados como una
versión superior de f y son denotados por Φn(f) : A⊗n −→ C; su denición está basada
sobre las formulas usadas por G. Frobenius [2]. El subconjunto Φn(A) ⊂ Hom(A,C)
de todos los mapeos lineales f tales que Φn+1(f) = 0 y f(1) = n es particularmente
interesante y desarrollaremos algunas de sus propiedades.
30 Productos simétricos y n-homomorsmos de Frobenius.
En esta sección las álgebras con respecto a las cuales se denen las transformaciones
de Frobenius son conmutativas. Empezaremos deniendo un mapeo especial el cual
será fundamental para denir los n-homomorsmos de Frobenius, pero antes de esto
daremos una notación que se utilizara en dicha denición.
Dada una permutación σ ∈∑
n+1 escribimos esta como producto de ciclos disjuntos
(incluidos los de longitud uno)
σ = γ1γ2 · · · γq.
Si f : A→ B es un mapeo lineal y γ es el ciclo (r1r2 . . . rk) vamos a utilizar la notación
fγ(a1, a2, . . . , an+1) = f(ar1ar2 . . . ark). Escribiremos entonces
fσ = fγ1fγ2 · · · fγq .
Denición 2.2.1. Para un mapeo lineal f : A→ B donde A, B son álgebras conmu-
tativas, el mapeo Φm(f) : A⊗m → B está denido por
Φm(f)(a1, a2, . . . am) =∑σ∈
∑m
ε(σ)fσ(a1, a2, . . . , am).
El mapeo Φm(f) es claramente simétrico y multilineal. Y como ejemplo para m = 2
y m = 3 tenemos:
Φ2(f)(a1, a2) = f(a1)f(a2)− f(a1a2)
donde las respectivas permutaciones como productos de ciclos son σ1 = (1)(2) y σ2 =
(12). Y para m = 3
Φ3(f)(a1, a2, a3) = f(a1)f(a2)f(a3)− f(a1)f(a2a3)
−f(a2)f(a1a3)− f(a3)f(a1a2) + 2f(a1a2a3)
2.2. Transformaciones de Frobenius. 31
con σ1 = (1)(2)(3), σ2 = (1)(12), σ3 = (2)(13), σ4 = (3)(12), σ5 = (123) y por último
σ6 = (132).
Teniendo en cuenta la denición anterior y la proposición 2.1.2 podemos denir
f(χ(X)) de la siguiente manera:
Lema 2.2.2. Si X = (a1, a2, . . . , am) y χ(X) es denida como en la sección 1, entonces
Φm(f)(a1 ⊗ a2 ⊗ · · · ⊗ am) = f(χ(X)).
Demostración. Reescribiendo esta última denición, si P = [ai1 , ai2 , . . . , air ] es un
multi-subconjunto del multi-conjunto X = [a1, a2, . . . , am] ⊂ A, entonces se tiene que
fP (a1, a2, . . . , am) = f(ai1 , ai2 , . . . , air) y si π = P1 t P2 t · · · t Pk es una partición de
X, tenemos fπ = fP1fP2 . . . fPky Φm(f) =
∑ε(π)n(π)fπ.
Daremos ahora la denición inductiva del mapeo denido anteriormente y que fue
la utilizada por Frobenius en [2].
Denición 2.2.3. Para n ∈ N se dene, de forma inductiva, los mapeos lineales
Φn(f) : A⊗n → B empezando con Φ1(f) = f , Φ2(f)(a1, a2) = f(a1)f(a2) − f(a1a2) y
para n ≥ 2 como sigue:
Φn+1(f)(a1, a2, . . . , an+1) = f(a1)Φn(f)(a2, a3, . . . an+1)− Φn(f)(a1a2, . . . , an+1)−
Φn(f)(a2, a1a3, . . . , an+1)− . . .− Φn(f)(a2, a3, . . . , a1an+1).
Si X = a1, Y = a2, a3, . . . , an+1 entonces por la proposición 2.1.2 se tiene que
las dos deniciones 2.2.1 y 2.2.3 son equivalentes. Además se sigue inmediatamente de
la denición 2.2.3 que si f satisface Φn(f) ≡ 0, entonces Φn+1(f) ≡ 0.
32 Productos simétricos y n-homomorsmos de Frobenius.
Lema 2.2.4. Si B es un dominio y Φn+1(f) ≡ 0 pero Φn(f) 6≡ 0, entonces f(1) = n.
Demostración. Sea a1 = 1 entonces, usando la denición inductiva, obtenemos
0 = Φn+1(f)(1, a2, a3, . . . , an+1) = [f(1)− n] Φn(f)(a2, a3, . . . , an+1).
Pero ya que Φn(f) 6≡ 0, existen a2, a3, . . . , an+1 ∈ A tal que
Φn(f)(a2, a3, . . . , an+1) 6= 0
de donde f(1) = n.
Corolario 2.2.5. Si f : A → B satisface Φn+1(f) ≡ 0 y B es un dominio, entonces
f(1) ∈ 0, 1, 2, . . . , n.
Demostración. Si Φk(f) ≡ 0 para cada k = 1, . . . , n. Entonces en particular f(1) =
Φ1(f)(1) = 0. Pero en caso contrario podemos encontrar de manera inductiva el primer
k (de forma descendiente) tal que Φk(f) 6= 0 y 1 ≤ k ≤ n, de donde, por el Lema 2.2.4
f(1) = k.
Con el lema 2.2.4 pasamos a dar la siguiente denición la cual se puede pensar, para
este trabajo, como una generalización de los caracteres en el sentido de que para un
caracter τ(1A) = 1 y para este caso dependiendo de la dimensión n en la que estemos
trabajando tendremos τ(1A) = n.
Denición 2.2.6. Un mapeo lineal f : A → B es un n-homomorsmo de Frobe-
nius si Φn+1(f) ≡ 0 y f(1) = n.
2.2. Transformaciones de Frobenius. 33
Cuando B es un dominio, todo 1-homomorsmo de Frobenius f : A → B es un
homomorsmo de anillos.
Proposición 2.2.7. Si B es un dominio, entonces un mapeo lineal f : A→ B tal que
Φn+1(f) ≡ 0 y f(1) = k ≤ n es un k-homomorsmo de Frobenius.
Demostración. Aplicando la denición inductiva a Φn+1(f)(1, a2, . . . , an+1) = 0 tene-
mos
(k − n)Φn(f)(a2, . . . , an+1) = 0
así f es un k-homomorsmo de Frobenius. El resultado se sigue por inducción.
Se denota la subálgebra de tensores simétricos en A⊗n por SnA. El mapeo Φn(f)/n!
restringido a SnA tiene la siguiente propiedad multiplicativa:
Teorema 2.2.8. Si f : A→ B es un n-homomorsmo de Frobenius, entonces el mapeo
denido porΦn(f)
n!: SnA→ B
es un homomorsmo de anillos.
Demostración. Tomemos un elemento típico de SnA el cual sabemos es de la forma
a =∑σ∈
∑n
aσ(1) ⊗ aσ(2) ⊗ · · · ⊗ aσ(n)
por lo que el producto de dos de estos elementos sería de la forma
ab =∑
σ1,σ2∈∑
n
aσ1(1)bσ2(1) ⊗ aσ1(2)bσ2(2) ⊗ · · · ⊗ aσ1(n)bσ2(n).
34 Productos simétricos y n-homomorsmos de Frobenius.
Por el lema 2.2.2, si X = (a1, a2, . . . , an) y Y = (b1, b2, . . . , bn) tenemos
Φn(f)(a1, a2, . . . , an)Φn(f)(b1, b2, . . . , bn) = f(χ(X))f(χ(Y )).
Considerando X,Y disjuntos tenemos
f(χ(X))f(χ(Y )) = f(χ(X)χ(Y )).
Por la proposición 2.1.2 se tiene
f(χ(X)χ(Y )) =∑φ∈
∑n
f(q∗φχ(X tφ Y )).
Ya que f es un n-homomorsmo de Frobenius los únicos términos en el lado derecho
que no son nulos son aquellos en los que φ : X → Y es una permutación. Nuevamente
por el lema 2.2.2 tenemos que
∑φ∈
∑n
f(q∗φχ(X tφ Y )) =∑φ∈
∑n
Φn(f)(a1bφ(1), a2bφ(2), . . . , anbφ(n)).
Por lo tanto mediante la adición de todos los términos relevantes que obtenemos
Φn(f)(a)Φn(f)(b) =
=∑
σ1,σ2,σ3∈∑
n
Φn(f)(aσ1(1)bσ2(1)σ3(1), aσ1(2)bσ2(2)σ3(2), . . . , aσ1(n)bσ2(n)σ3(n))
= n!∑
σ1,σ2∈∑
n
Φn(f)(aσ1(1)bσ2(1), aσ1(2)bσ2(2), . . . , aσ1(n)bσ2(n))
= n!Φn(f)(ab).
2.2. Transformaciones de Frobenius. 35
Es fácil ver que Φn(f)(1, 1, . . . , 1) = n!.
Teorema 2.2.9. Si f , g son m,n-homomorsmos de Frobenius respectivamente, en-
tonces f + g es un (m+n)-homomorsmo de Frobenius.
Corolario 2.2.10. Si f : A→ B es la suma de n homomorsmos de anillos fi : A→
B, 1 ≤ i ≤ n, entonces f es un n-homomorsmo de Frobenius.
Vamos a enunciar algunas propiedades de Φn(f) que nos permitan demostrar el
teorema 2.2.9. Dado que Φn(f) es multilineal y simétrico, vamos a recordar un resultado
acerca de este tipo de mapeos que nos permite calcular Φn(f)(a1, a2, . . . , an) a partir
de elementos de la diagonal, es decir basta calcular Φn(f)(a, a, . . . , a).
Recordemos que dado una forma bilineal f : V × V → K, donde V es un espacio
vectorial y K un campo con característica 0, denimos q : V → K como q(v) := f(v, v).
La identidad de polarización establece que
f(x, y) =1
2(q(x+ y)− q(x)− q(y)) .
Lo cual es muy fácil de ver. Esto signica que la forma bilineal f está completamente
determinada por los valores f(v, v), ∀v ∈ V . De forma análoga para una forma trilineal
simétrica tendríamos
f(x, y, z) =1
6(q(x+ y + z)− q(x+ y)− q(y + z)− q(z + x) + q(x) + q(y) + q(z)) .
El siguiente resultado generaliza estas dos últimas igualdades, pero primero denimos
dos operadores que actúan sobre funciones v : E → F . Un operador diferencia ∆h, que
depende de h ∈ E, y Tr, la traza o valor en el origen:
36 Productos simétricos y n-homomorsmos de Frobenius.
(∆hv) (x) = v(x+ h)− v(x) , T r v = v(0)
Teorema 2.2.11. Sea E y F espacios lineales bajo un campo K de característica 0,
y sea f : En → F un mapeo multilineal simétrico. Entonces se tiene la identidad de
polarización
f(x1, . . . , xn) =1
n!Tr∆xn∆xn−1 . . .∆x1q.
Para la demostración de este teorema ver [8].
Para una partición λ = λ1, λ2, . . . , λq de n tomaremos
fλ(a, a, . . . , a) = f(a|λ1|)f(a|λ2|) . . . f(a|λq |)
y ε(λ) es el signo de una permutación cuya descomposición se compone de ciclos de
longitudes λ1, λ2, . . . , λq. Por tanto, por la denición 2.2.1
Φn(f)(a, a, . . . , a) =∑λ
ε(λ)n(λ)fλ(a, a, . . . , a)
donde n(λ) denota el número de elementos del grupo simétrico∑
n en la clase de
conjugación determinado por λ. A continuación algunas propiedades de los elementos
de la forma Φn(f)(a, a, . . . , a).
Lema 2.2.12.
Φn(f)(a, a, . . . , a) = (n− 1)!n∑k=1
(−1)k+1f(ak)Φn−k(f)(a, a, . . . , a)
(n− k)!.
Demostración. Este se obtiene a partir de la denición 2.2.1 al romper la suma
2.2. Transformaciones de Frobenius. 37
Φn(f)(a, a, . . . , a) =∑σ∈
∑n
ε(σ)fσ(a, a, . . . , a)
en partes correspondientes a la longitud del ciclo en la permutación σ que contiene n y
hay (n− 1)(n− 2) . . . (n− k + 1) tales ciclos de longitud k.
Corolario 2.2.13. La función generadora exponencial
∞∑n=0
Φn(f)(a, a, . . . , a)
n!tn = exp
(∞∑k=1
(−1)k+1f(ak)
ktk
).
Demostración. Esto se deduce del siguiente resultado bien conocido en combinatoria.
Lema 2.2.14. Si Φ0 = 1 y
Φn = (n− 1)!n∑k=1
skΦn−k
(n− k)!para n ≥ 1
entonces
∞∑n=0
Φn
n!tn = exp
(∞∑k=1
skktk
).
Demostración. Sea
Φ(t) =∞∑n=0
Φn
n!tn
y
s(t) =∞∑k=0
sktk.
38 Productos simétricos y n-homomorsmos de Frobenius.
Entonces por la hipótesis tenemos que tΦ′(t) = Φ(t)s(t) así
log(Φ(t)) =
∫s(t)
t.
Checando el término constante se tiene la conclusión deseada.
Demostración. (Teorema 2.2.9) Observamos en primer lugar que, por denición, un
mapa f es un n-homomorsmo de Frobenius si y sólo si la serie generadora exponencial
es un polinomio de grado n y f(1) = n, es decir, f es un n-homomorsmo de Frobenius
es equivalente a
exp
(∞∑k=1
(−1)k+1f(ak)
ktk
)=
n∑i=0
Φi(f)(a, a, . . . , a)
i!ti.
Por tanto para la suma f + g de dos m,n-homomorsmos de Frobenius tenemos que
∑∞k=0
Φk(f+g)(a,a,...,a)k!
tk = exp(∑∞
i=1(−1)i+1 (f+g)(ai)i
ti)
= exp(∑∞
i=1(−1)i+1 f(ai)iti)exp
(∑∞i=1(−1)i+1 g(a
i)iti)
=∑m
r=0Φr(f)(a,a,...,a)
r!tr∑n
s=0Φs(g)(a,a,...,a)
s!ts,
así Φk(f + g)(a, a, . . . , a) = 0 para k > m+ n y claramente (f + g)(1) = m+ n.
Estaremos interesados en el comportamiento de n-homomorsmos de Frobenius en
elementos idempotente en A, y el siguiente resultado es una generalización del Corolario
2.2.5.
Lema 2.2.15. Si B es un dominio y a ∈ A donde a2 = a y Φn+1(f)(a, a, . . . , a) = 0,
entonces f(a) = k para algún entero k con 0 ≤ k ≤ n.
2.2. Transformaciones de Frobenius. 39
Demostración. Si n = 1, entonces por denición Φ2(f)(a, a) = f(a)f(a) − f(a2) y
por hipótesis Φ2(f) = 0 de donde f(a)2 = f(a2) y por tanto f(a)(f(a) − 1) = 0.
Si Φn+1(f)(a, a, . . . , a) = 0, y a2 = a entonces de la denición inductiva de Φn+1(f)
tenemos
f(a)Φn(f)(a, a, . . . , a)− nΦn(f)(a, a, . . . , a) = 0.
Es decir
(f(a)− n)Φn(f)(a, a, . . . , a) = 0
pero por inducción tenemos
(f(a)− n) . . . (f(a)− 1)f(a) = 0.
Por lo tanto f(a) = k para algún entero k tal que 0 ≤ k ≤ n.
Lema 2.2.16. Si a ∈ A entonces
Φn(f)(a, 1, . . . , 1) = f(a)(f(1)− 1)(f(1)− 2) . . . (f(1)− (n− 1)).
Demostración. Si n = 1 entonces Φ1(f)(a) = f(a), es decir, se cumple trivialmente.
Ahora si n = 2 tenemos Φ2(f)(a, 1) = f(a)f(1) − f(a) = f(a)(f(1) − 1), de donde el
paso base se cumple sin problema.
El resultado se sigue fácilmente por inducción y teniendo en cuenta la denición
2.2.3.
40 Productos simétricos y n-homomorsmos de Frobenius.
2.3. Productos simétricos.
En esta sección demostramos los resultados más importantes del capítulo ya que
relacionamos los productos simétricos Symn(X) con los n-homomorsmos de Frobenius
Φn(C(X)) ⊆ Hom(C(X),C), queriendo establecer isomorsmos entre estos (note que
para n = 1 se tendría el respectivo caso de Gelfand).
Por denición, el n-ésimo producto simétrico de un espacio X se dene como
Symn := Xn/∑
n, es decir:
Symn(X) =
(x1, . . . , xn) :(xσ(1), . . . , xσ(n)
)∼ (x1, . . . , xn) ,∀σ ∈
∑n
,
donde∑
n es el grupo de todos las permutaciones de un conjunto con n elementos.
En otras palabras un D ∈ Symn(X) es una colección desordenada de puntos de X,
con frecuencia denotada por D = x1 + · · · + xn donde los puntos xi ∈ X no son
necesariamente distintos. De manera más general un producto G-simétrico es denido
por SymnG := Xn/G donde G ⊂
∑n es un subgrupo del grupo simétrico sobre n letras.
Ejemplo 2.3.1.
1. Symn([0, 1]) = ∆n, donde ∆n es un n-simplejo: Como [0, 1] es totalmente orde-
nado, Symn([0, 1]) = x1 + · · ·+ xn|0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn ≤ 1 = ∆n.
2. Symn(C) = Cn: Cada elemento z1 + · · · + zn ∈ Symn(C) puede ser identicado
con el polinomio mónico p(z) = (z − z1) . . . (z − zn) con ceros en zi.
Aunque vamos a demostrar una versión más general del siguiente resultado, vale la
pena comenzar con la siguiente prueba sencilla.
Teorema 2.3.2. Para un conjunto nito X, el mapeo evaluación
2.3. Productos simétricos. 41
E : Symn(X)→ Hom(C(X),C)
denido por [x1, x2, . . . , xn] → f →∑f(xr) es un isomorsmo sobre el conjunto de
n-homomorsmos de Frobenius.
Demostración. En primer lugar tenga en cuenta que la evaluación en un punto es
un homomorsmo de anillos C(X) → C de donde por corolario 2.2.10 se tiene que
E [x1, x2, . . . , xn] es un n-homomorsmo de Frobenius.
Sea D = [x1, x2, . . . , xn] un elemento de Symn(X) considerado como una suma
formal D =∑mrxr, donde mr ∈ Z+ y
∑mr = n. Sea er ∈ C(X) la función que es 1
en xr y 0 en otra parte. Entonces E(D)er = mr.
Ahora si f : C(X)→ C es un n-homomorsmo de Frobenius pero no un (n− 1)-
homomorsmo, entonces, por el lema 2.2.15, f(er) = fr ∈ Z+, y como la suma de los
idempotentes er es 1, tenemos∑fr = n. Así, D =
∑frxr es mapeado sobre f por E .
El mapeo E es inyectivo para una clase muy general de álgebras de funciones en
un espacio X (aquellos en los que las funciones separan puntos) y por lo que es un
isomorsmo en el caso de conjuntos nitos.
Teorema 2.3.3. Si f : C [u1, u2, . . . , um] → C es un n-homomorsmo de Frobenius
entonces existen puntos x1, x2, . . . , xn ∈ Cm tal que f(p) = p(x1) + p(x2) + · · ·+ p(xn).
Demostración. Por el teorema 2.2.8, tenemos que el mapeo
42 Productos simétricos y n-homomorsmos de Frobenius.
Φn(f)
n!: Sn(C [u1, u2, . . . , um])→ C
es un homomorsmo de anillos. Como Sn(C [u1, u2, . . . , um]) es el álgebra de funciones
de polinomios sobre Symn(Cm) entonces Φn(f)n!
viene dado por evaluación en un multi-
conjunto [x1, x2, . . . , xn] ⊂ Cm. Por lo que para p ∈ C [u1, u2, . . . , um] se tiene, por el
teorema 2.2.8, que:
Φn(f)
n!((p, 1, 1, . . . , 1) + (1, p, 1, . . . , 1) + · · ·+ (1, 1, . . . , p)) = p(x1) + p(x2) + · · ·+ p(xn).
Por otro lado de la denición de Φn(f), del hecho que f(1) = n y del lema 2.2.16
tenemos que:
Φn(f)
n!((p, 1, 1, . . . , 1) + (1, p, 1, . . . , 1) + · · ·+ (1, 1, . . . , p)) = f(p).
Por tanto igualando las dos últimas expresiones tenemos el resultado del teorema.
Reformulando este resultado y denotando el conjunto de los n-homomorsmos de
Frobenius f : C [u1, u2, . . . , um]→ C por Φn(Cm) tenemos el siguiente corolario.
Corolario 2.3.4. El mapeo evaluación E : Symn(Cm)→ Φn(Cm) es un homeomors-
mo.
El siguiente resultado corresponde a la implicación inversa del corolario 2.2.10.
Teorema 2.3.5. Sea A un álgebra conmutativa nitamente generada y sea f : A→ C
un n-homomorsmo de Frobenius. Entonces existen homomorsmos de anillos fi : A→
C para 1 ≤ i ≤ n tal que f = f1 + f2 + · · ·+ fn.
2.3. Productos simétricos. 43
Demostración. Para esto usaremos el Teorema 2.3.3 (el cual es un caso particular cuan-
do A es un álgebra de polinomios). Para esto tomemos q : C [u1, u2, . . . , um] → A un
mapeo cociente sobre A, cuyo kernel denotaremos por I. Entonces g = fq es un n-
homomorsmo de Frobenius sobre C [u1, u2, . . . , um] de donde, por el teorema 2.3.3,
existen homomorsmos de anillos gi : C [u1, u2, . . . , um]→ C con g = g1 + g2 + · · ·+ gn.
Veamos que cada gi se anula en I.
Primero etiquetamos los gi de modo que g1, g2 . . . , gk son distintos y
g = r1g1 + r2g2 + · · ·+ rkgk para ri ∈ N
Si θ es un polinomio en u1, u2, . . . , um, entonces gi(θ) = θ(gi(u1), gi(u2), . . . , gi(um))
ya que gi es un homomorsmo de anillos, y si ψ es otro de estos polinomios entonces
gi(ψθ) = gi(ψ)gi(θ). Si θ ∈ I, entonces g(θ) = 0 y g(ψθ) = 0 así1 1 · · · 1
g1(ψ) g2(ψ) · · · gk(ψ)...
.... . .
...
g1(ψ)k−1 g2(ψ)k−1 · · · gk(ψ)k−1
r1g1(θ)
r2g2(θ)...
rkgk(θ)
=
0
0...
0
Lema 2.3.6. Dado distintos mapeos lineales
g1, g2, . . . , gk : C [u1, u2, . . . , um]→ C
existe un ψ ∈ C [u1, u2, . . . , um] tal que g1(ψ), g2(ψ), . . . , gk(ψ) ∈ C son distintos.
Demostración. Por el supuesto de que los mapas son distintos, Ker(gi − gj) tienen
codimensión 1 para todo par i 6= j. Cualquier ψ /∈⋃i 6=jKer(gi−gj) cumple la condición
pedida.
44 Productos simétricos y n-homomorsmos de Frobenius.
Para tal ψ, la matriz anterior es no singular y así
r1g1(θ) = r2g2(θ) = · · · = rkgk(θ) = 0.
Por tanto cada gi se anula en I y por tanto dene un mapeo fi sobre A tal que f =
r1f1 + r2f2 + · · ·+ rkfk, es decir f es la suma de n homomorsmos de anillos.
Por lo tanto el conjunto de homomorsmos de anillo distintos g1, . . . , gk da un
conjunto de vectores distintos v1, . . . , vk y existe un polinomio Ψ, de tal manera que
los números de Ψ(vi) = gi(Ψ) son distintos.
Corolario 2.3.7. Sea A un álgebra conmutativa nitamente generada y V = Φ1(A).
Entonces el mapeo evaluación Symn(V )→ Φn(A) es un isomorsmo de variedades.
SiX es un espacio Hausdor compacto, sea Symn(X) el producto simétricoXn/∑
n
y C(X) el álgebra de funciones continuas sobre X. Entonces el mapeo evaluación
E : Symn(X)→ Φn(C(X),C)
denido por
E [x1, x2, . . . , xn] (ϕ) = ϕ(x1) + ϕ(x2) + . . .+ ϕ(xn)
es una inmersión. Es claro que E es natural y así, si X admite una acción de gru-
po, E es equivariante. Por tanto, utilizando la transformación de Gelfand tenemos
que Φ1(C(X),C) ∼= X se ve que este es un caso especial del hecho general de que
Symn(Φ(A,B))→ Φn(A,B) es un isomorsmo cuando B es cualquier dominio conmu-
tativo.
2.3. Productos simétricos. 45
Ya hemos mostrado que el mapeo E es sobre cuando X es un conjunto nito.
Teorema 2.3.8. Si X es un espacio de Hausdor compacto y el espacio de funciones
C(X) tiene la norma del supremo, entonces el mapeo
E : Symn(X)→ Φcn(C(X),C)
es un homeomorsmo cuando el espacio de funcionales lineales continuos sobre C(X)
tiene la topología débil.
Corolario 2.3.9. Bajo estas condiciones, cada n-homomorsmo de Frobenius continuo
es la suma de n homomorsmos de anillos continuos.
Demostración. (Del teorema 2.3.8) Esta es una fácil adaptación de la prueba de 2.3.5.
Si f : C(X)→ C es un n-homomorsmo de Frobenius continuo, entonces se comprueba
fácilmente que
Φn(f)/n! : Sn(C(X))→ C
es un homomorsmo de anillos continuos. Pero Sn(C(X)) es isomorfo a el álgebra
C(Symn(X)) y el resultado se sigue como en el teorema 2.3.5.
El caso n = 1 es el clásico mapeo que se obtiene en la teoría de Gelfand. Sin embargo,
parece que las pruebas estándar en las que dicho mapeo es un isomorsmo, no se adaptan
a la generalización de este resultado. De hecho la mayor parte de las pruebas para el
caso clásico n = 1 no encuentran el punto de X en el que el homomorsmo de anillos
C(X)→ C es la evaluación.
Capítulo 3
Preguntas abiertas.
3.1. Homomorsmos de Frobenius sobre álgebras no
conmutativas.
Sea A una álgebra asociativa sobre C. Un mapeo lineal es llamado tracial (o trace-
like) si f(ab) = f(ba) para cualquier a y b en A. Note que con esta denición el mapeo
Φn(f) : A⊗n → C estaría bien denido para álgebras no conmutativas. Más aún, como
vimos en el inicio del capítulo 2, para cada permutación σ ∈∑
n el grupo simétrico
sobre n letras, puede ser descompuesto en productos de ciclos disjuntos de longitud n,
es decir, σ = γ1γ2 . . . γr. Si γ = (i1 . . . im) es un ciclo, habíamos denido
fγ(a1, a2, . . . an) = f(ai1 , ai2 . . . , aim)
de donde denimos
Φn(f)(a1, . . . , an) =∑σ∈
∑n
ε(σ)fγ1(a1, . . . an)fγ2(a1, . . . an) . . . fγr(a1, . . . an)
47
48 Preguntas abiertas.
donde ε(σ) es el signo de la permutación σ. Note que esto también funciona para álgebras
no conmutativas donde f es un trace-like porque en este caso el valor de fγ(a1, a2, . . . an)
depende solo del ciclo γ y es independiente de la manera que se escriba en términos de
las ai.
Aunque los n-homomorsmos de Frobenius se pueden denir dentro de la clase de
funciones traciales, su signicado geométrico todavía no es claro. Tampoco se sabe de
este el contexto correcto para la generalización de los n-homomorsmos de Frobenius a
álgebras no conmutativas. Se podría esperar que la noción correcta de n-homomorsmos
de Frobenius produzca análogos no conmutativos de productos simétricos.
3.2. Homomorsmos de C(X)→Mn(R).
En esta sección consideramos *-homomorsmos de C(X) a las matrices complejas n×
n. El espacio de homomorsmos de este tipo es similar al producto simétrico considerado
en el capítulo anterior, salvo que en lugar de las multiplicidades de los puntos uno tiene
que considerar etiquetas que son subespacios vectoriales en un espacio n-dimensional
(ver [7]).
Dado un espacio compacto X con punto base x0 y C0(X) el álgebra de funciones
reales continuas sobre X que se anulan en x0. Consideremos el espacio
Fn(X) =n⋃k=0
Hom∗(C(X);Mk(R))
con la topología débil, y tomando la inclusión
Mk(R) −→M(k+1)(R)
3.2. Homomorsmos de C(X)→Mn(R). 49
A 7−→
A 0
0 0
.
Este espacio tiene una descripción geométrica que permite pensar en este como un
espacio de conguraciones, donde los elementos de Fn(X) pueden ser vistos como sub-
conjuntos nitos de X, donde los elementos del subconjunto nito están etiquetados
por espacios vectoriales nito dimensional mutuamente ortogonales, y la topología tiene
las siguientes propiedades.
1. Si dos puntos convergen al mismo punto, las etiquetas en el límite será el límite
de la suma directa de las etiquetas de los puntos iniciales.
2. Si una sucesión converge a x0, entonces las etiquetas convergen a 0.
Formalicemos un poco esta descripción geométrica.
Lema 3.2.1. Dado F ∈ Gn(X) entonces para todo f ∈ C(X), G(f) es una matriz
normal.
Demostración. Ya que C(X) es conmutativo tenemos que G(ff ∗) = G(f ∗f) y como G
es un *-homomorsmo entonces G(f)G(f)∗ = G(f)∗G(f), es decir G(f) es una matriz
normal.
Note que al ser C(X) conmutativo también se tiene que cada par de elementos en
la imagen de G conmutan, entonces por álgebra lineal todos ellos se diagonalizan con
la misma base de espacios propios, es decir, los elementos en
G(f) : f ∈ C(X) ⊆Mn(R)
son simultáneamente diagonalizables y esto implica que pueden ser vistos como G(f) =
A−1D(f)A (donde A no depende de f), siendo las las de A los espacios propios y D(f)
50 Preguntas abiertas.
es una matriz diagonal cuyas entradas son C*-homomorsmos (no nulos) entre C(X) y
R que por el teorema de Gelfand-Naimark tenemos que dichos elementos en la diagonal
pueden ser vistos como elementos de X, luego todo G está caracterizado por sus valores
propios (puntos de X) y sus vectores propios (espacios vectoriales). Con lo que se tiene
la descripción deseada.
Denotamos por En(X, V ) el espacio que resulta de la descripción geométrica anterior
y sus elementos por Vxx ∈ S donde S es un subconjunto nito deX y∑
xi∈S dimVxi =
n. Teniendo en cuenta que para G ∈ Fn(X) tenemos que
G(f) = A−1D(f)A =
v11 · · · v1n
.... . .
...
vn1 · · · vnn
f(x1) 0 · · · 0
.... . .
...
0 · · · f(xn)
v11 · · · vn1
.... . .
...
v1n · · · vnn
de donde tendríamos un isomorsmo
E : En(X, V )→ Fn(X)
con
E[Vxixi ∈ S
](f) = A−1D(f)A.
Una pregunta abierta que surge es si se puede denir n-homomorsmos de Frobenius
en Fn(X) y en tal caso cuál sería la relación de Symn(X) con En(X, V ).
Bibliografía
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