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CAPITULO 1

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.

1. Introduccin

Durante los siglos XVII y XVIII, se daba por descontado que una funcin era una frmula o expresin que era la que daba la regla concreta y tangible para

calcular el valor de y, dado el de x. El concepto de funcin como correspondencia entre dos variables no aparece hasta el siglo XIX. Trataremos de ver que lo interesante de una funcin no es su expresin algortmica, que puede tener formas

diferentes para una misma funcin, sino la correspondencia en s. Los orgenes de la nocin de funcin y de su influencia en la evolucin de las

ciencias, pueden fijarse en el s. XVII. El concepto de funcin aparece en 1692 con Leibnitz y es utilizado por los Bernouilli desde 1694. Euler introdujo en 1734 el

smbolo f(x), defini el concepto general de funcin algebraica, incluso no expresada por radicales, y ms tarde Dirichlet estableci en 1854 el concepto general de funcin como correspondencia arbitraria entre dos variables.

De forma descriptiva e informal podemos decir que dados dos conjuntos X e Y, representando por x un elemento de X y por y un elemento de Y, con cada

elemento x de X est asociado un elemento y de Y y slo uno, de manera que el mismo elemento y puede estar asociado a varios elementos x distintos, aunque no

necesariamente todo elemento y aparecer asociado a algn elemento x. En general, el elemento y asociado a x, se representa como y = f(x); tambin se llama imagen de x, o valor de la funcin f en el punto x. El objeto as definido se llama funcin de X

en Y. Junto a la idea de funcin comenzaron a aparecer ciertas propiedades descriptivas generales, continuidad, derivabilidad, integrabilidad, etc.

Algunas funciones conocidas especialmente durante los siglos XVII y XVIII, fueron consideradas como bsicas o primitivas, tales como la funcin potencial, las

trigonomtricas, las logartmicas y exponenciales, etc. y a partir de ellas, se

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construa una frmula tomando una o varias de estas funciones y efectuando una

serie de operaciones, como la suma, producto, extraccin de races, y lo que es muy importante, la sustitucin de una variable en una funcin, por otra funcin, la

composicin de funciones. 1.1. Concepto de funcin real de variable real

Una funcin real de variable real es una aplicacin :f D en que D , no vaco. ( )x f x Se llama dominio de la funcin, al conjunto cuyos elementos son todos los

valores reales que puede tomar la funcin: { }( ) / ( )Dom f x D f x= . Se llama recorrido o imagen de la funcin al conjunto formado por todos los

valores que toma la funcin: { } con Im ( ) / ( )g f y x D f x y= = En la funcin ( )y f x= se dice que x es la variable independiente y que y es la variable dependiente.

A veces la visualizacin grfica de una funcin real de variable real resulta muy til, sobre todo en aquellos casos en los que no existe una frmula explcita que

nos la pueda definir. Definimos la grfica de una funcin o grafo de una funcin al conjunto de 2 :

( ){ }, / ( )G x y y f x= = Aunque no todas las funciones se pueden representar, para las funciones que

oscilan infinitas veces es imposible. Por ejemplo: 1y senx

=

0 si x es irracional1 si x es racional

( )f x =

Llamaremos F(D, ) al conjunto de todas las funciones definidas de D a

.

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1.2. Operaciones con funciones

Dadas dos funciones f y g diremos que son iguales, f = g, si tienen el mismo dominio D y se verifica que f(x) = g(x) x D .

Suma de funciones

Dadas dos funciones f y g, definidas en el mismo dominio, D, se define la

suma, f + g, como:

( ) x:

( ) ( ) ( )f g D

f g x f x g x+

+ = +

Proposicin: La operacin suma de funciones cumple las propiedades

conmutativa, asociativa, elemento neutro (f(x) = 0) y elemento opuesto (dada f(x), su opuesta es f(x)).

El conjunto (F(D, ), +) es un grupo abeliano aditivo. Producto de funciones

Dadas dos funciones f y g, definidas en el mismo dominio, D, definimos el producto, fg, como:

( ) x:

( ) ( ) ( )f g D

f g x f x g x

=

Proposicin: La operacin producto de funciones cumple las propiedades conmutativa, asociativa, elemento neutro (f(x) = 1) y elemento inverso (dada f(x) 0,

su inversa es 1/f(x)). El conjunto (F(D, ), ) es un semigrupo abeliano multiplicativo.

Propiedad: Se verifica la propiedad distributiva del producto respecto a la

suma. El conjunto (F(D, ), +, ) es un anillo conmutativo unitario.

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Producto de una funcin por un nmero real

Dada una funcin f y un nmero real , definimos el producto de un nmero real por una funcin, f, como:

( ) x:

( ) ( )f D

f x f x

=

Proposicin: Verifica las propiedades distributiva con respecto a la suma de funciones, distributiva con respecto a la suma de nmeros reales, pseudoasociativa,

elemento unidad. El conjunto (F(D, ), +, ) es un - espacio vectorial.

Composicin de funciones Dadas las funciones :f A y :g B , con ( )C f A B= , llamamos funcin compuesta de f con g, a la funcin:

( ) ( ) x:

( ) ( )g f C

g f x g f x

=

( )( ) ( ( ))

f g

g f

A f A

x f x g f x

C

Propiedades: La operacin de composicin de funciones es asociativa y tiene elemento neutro que es la identidad de funciones I(x) = x x . En general, no es

conmutativa. Funcin inversa o recproca

Dada la funcin :f A , llamamos funcin inversa de f, f-1, a la funcin que cumple: 1f f = I, 1f f = I De lo que podemos deducir que Img(f-1) = Dom(f) y que Img(f) = Dom(f-1).

Esta funcin, si existe, tiene que ser inyectiva ya que si con x y( ) ( )f x f y= -1 -1( ( )) ( ( ))f f x f f y =

x y = contradiccin. Nota: La existencia de la funcin recproca, no quiere decir que su clculo sea posible o fcil.

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Orden en F(D, )

Dadas dos funciones f, g: D definimos el orden en F(D, ) como: ( ) ( )f g f x g x x D

Proposicin: La relacin de orden anterior cumple las propiedades: reflexiva,

antisimtrica y transitiva. D.- Inmediata F(D, , ) es un conjunto ordenado.

La relacin no es de orden total, ya que dadas dos funciones f y g no podemos garantizar que f g o g f

Valor absoluto

Dada :f D Definimos el valor absoluto de una funcin f como: si 0

si 0 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

f x f xf x f xf x f x

= =

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1.3. Caractersticas de las funciones

Funciones acotadas

Dada :f D diremos que est acotada inferiormente si el conjunto Img(f), tambin lo est. O sea, si

K tal que ( )x D f x K K se llama cota superior.

Diremos que :f D est acotado superiormente si lo est Img(f). Si

K` tal que ( ) `x D f x K K`se llama cota inferior. Diremos que una funcin est acotada si lo est inferior y superiormente. Funciones montonas

Diremos que :f D es montona creciente si

1 2 1 2 1 2 con , ( ) ( )x x D x x f x f x , es estrictamente creciente si la desigualdad es estricta: 1 2 1 2 1 2 con , ( ) ( )x x D x x f x f x < < . Es montona decreciente si 1 2 1 2 1 2 con , ( ) ( )x x D x x f x f x , es estrictamente decreciente si la desigualdad es estricta:

1 2 1 2 1 2 con , ( ) ( )x x D x x f x f x < > Simetra de funciones

Dada :f D , decimos que es par si y ( ) ( )x D x D f x f x = , su representacin grfica es simtrica con respecto al eje OY. Decimos que es impar si

y ( ) ( )x D x D f x f x = , su representacin grfica es simtrica respecto al origen de coordenadas.

Funciones peridicas

Dada :f D , decimos que es peridica de periodo P, si P es el menor

nmero positivo que verifica que ( ) y ( ) ( )x D x P D f x P f x + + = Funciones continuas

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Dada :f D , decimos que es continua en D, si es continua en todos sus

puntos. Decimos que f es continua en un punto x0 si

0 00, , 0, : ( ) ( )x x f x f x > > < < x D

2. FUNCIONES ELEMENTALES; SITUACIONES REALES EN LAS QUE

APARECEN.

2.1. Funciones algebraicas

Las funciones algebraicas son aquellas construidas por un nmero finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicacin, divisin, potenciacin y

radicacin) aplicadas a la funcin identidad, f (x) = x, y a la funcin constante, f (x) = k.

En general, las funciones algebraicas abarcan a las funciones polinmicas,

racionales y las llamadas algebraicas explcitas. Funciones polinmicas

Una funcin :f D es polinmica si existen nmeros reales, 0 1, ,..., na a a

tales que 1 0( ) ...nnf x a x a a= + + + x D . La potencia ms alta de x con coeficiente distinto de 0 se llama grado de f. De primer grado: Son funciones :f tales que ( )f x mx n= + siendo

,m n .

Su dominio es todo el conjunto de los nmeros reales, su imagen tambin, y su

representacin grfica es una recta de pendiente m y ordenada en el origen n. Si 0n = , ( )f x mx= es un isomorfismo continuo de ( ),+ en ( ),+ , por tanto

es una aplicacin biyectiva y continua que verifica que 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x+ = +

1 2,x x .

Estas funciones reciben el nombre de lineales o de proporcionalidad directa y su grfica siempre pasa por el origen de coordenadas.

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Si 0n , ( )f x mx n= + , se llama funciones afines y su grfica no pasa por el origen de coordenadas, adems, si m > 0, la funcin es creciente y si m < 0 es decreciente.

Aplicaciones: Hay infinidad de aplicaciones de este tipo de funciones en la

vida real. El coste de una determinada cantidad de un producto vendido al peso. c(p) =

ap La longitud de una circunferencia en funcin de su dimetro L(d) = pid

La distancia recorrida por un mvil en un movimiento rectilneo uniforme e(t) = e0 + v0t

Cambio de escala lineal, por ejemplo para pasar de grados Fahrenheit a

grados centgrados. De 2 grado: Su expresin es 2( )f x ax bx c= + + con a, b, c nmeros reales.

0a .

Su dominio es el conjunto de los nmeros reales y su imagen tambin, su representacin grfica es una parbola, cuyo vrtice tiene por coordenadas

2 2,

b bV fa a

, los puntos de corte con el eje OX, si los tiene son las

soluciones, 1 2,x x , de la ecuacin 2 0ax bx c+ + = y con el eje OY, (0, y0).

Si a > 0 el vrtice es el mnimo de la funcin, si a < 0 es el mximo. Aplicaciones: Como antes hay infinidad.

La distancia recorrida por un mvil en un movimiento uniformemente

acelerado:

20 0 0

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( )e t e v t a t= + +

El rea de un crculo. 2( )a r rpi=

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Aplicaciones funciones polinmicas grado mayor que dos:

Volumen de un cubo: 3( )V l l=

Volumen de una esfera: 343

( )V r rpi=

Funciones potenciales

Su expresin es { } 0( )f x x = .Son isomorfismos continuos de ( ),+ en ( ),+ , por tanto son biyectivas, continuas y 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x = Funciones racionales

Son funciones del tipo ( )( ) ( )p xf xq x

= en los que p y q son funciones polinmicas y

su dominio es el conjunto de todos los nmeros reales excepto aquellos en los que q

se anula.

Caso particular las ( ) ax bf xcx d

+=

+ verificando que 0c y que ad bc . El

dominio es dc

, y si a y d son 0, y c es 1, obtenemos ( ) Kf xx

= llamada funcin

de proporcionalidad inversa, cuyo dominio es { }0 y su grfica es una hiprbola. Aplicaciones:

Relacin entre la base y la altura de un rectngulo de rea constante.

Ley de Ohm con V constante. Atraccin entre dos cuerpos de masas m1 y m2, siguiendo la ley de Newton

1 22

m mF Gr

=

Atraccin o repulsin entre dos cuerpos con cargas Q1 y Q2 siguiendo la ley de Coulomb

1 22QQF K

r=

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Funciones algebraicas implcitas

Funcin algebraica de grado m es aquella en la que y es una raz de una ecuacin polinmica de grado m en x, cuyos coeficientes son funciones racionales de x. Por ejemplo: 5 0y y x =

2.2. Funciones trascendentes

Son aquellas que no son algebraicas.

Funciones exponenciales Llamamos funcin exponencial a : ( , ) ( ,)f ++ con ( ) xf x a= y a + . Es biyectiva, continua y verifica que 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x+ = , convierte el grupo aditivo de los nmeros reales en el grupo multiplicativo de los reales positivos.

Aplicaciones: Clculo del inters compuesto y continuo. Crecimiento de poblaciones.

Desintegracin de sustancias radiactivas. Funciones logartmicas: Son las recprocas de las exponenciales. Llamamos funcin logartmica a : ( ,) ( , )f + + con ( ) logaf x x= y a + . Es biyectiva, continua y verifica que 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x = + Aplicaciones:

Las mismas que la exponencial, por ser recprocas. La escala de Richter que mide la intensidad de los terremotos.

Construccin de la regla del clculo. Funciones trigonomtricas y otras trascendentes

La funcin seno, coseno y tangente tambin son funciones trascendentes. As como las hiperblicas, elpticas, funciones de Bessel, de Legendre, gamma,...

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Otras funciones

La funcin escalonada, como f(x) = E(x), es la funcin parte entera de x, que tiene como dominio y su imagen es .

Tambin estn las funciones definidas a trozos que son aquellas que estn definidas de forma distinta en distintos intervalos del conjunto de nmeros reales.

Aplicacin: La funcin que nos da la escala de gravamen del IRPF.

3. MS SOBRE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARTMICAS Y LAS

SITUACIONES REALES EN LAS QUE APARECEN.

La exponencial y los logaritmos tienen mucha importancia en el clculo infinitesimal y son bastante tiles en el clculo numrico. Con ellos y sus

propiedades se pudo abreviar clculos que eran excesivamente largos con el uso de otras funciones. La concepcin de la progresin geomtrica formada por las potencias

sucesivas de un mismo nmero se remonta a los egipcios y a los babilonios y era familiar a los matemticos griegos.

En la Edad Media, Oresme (1313-1382) expone la regla m n n ma a a += , aparece por primera vez la nocin de exponente fraccionario positivo y un siglo ms tarde

Chuquet introdujo una notacin exponencial para las potencias de las incgnitas de las ecuaciones utilizando el exponente 0 y negativo. Stiffel extiende la idea de isomorfismo entre la progresin aritmtica de los exponentes y la progresin

geomtrica de las potencias a los negativos y fraccionarios, culminndolo con la definicin de los logaritmos y la construccin de las primeras tablas emprendida por

Napier y Brgi, donde se da implcitamente por supuesta la continuidad del isomorfismo entre y + al emplear la interpolacin por tablas; en la definicin de

Neper se da explcitamente.

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Los logaritmos y exponenciales adquieren mucha importancia en el Clculo Infinitesimal con el descubrimiento de los desarrollos en serie de ( )log 1 x+ y de

xe y de las propiedades diferenciales de estas funciones. Hasta mediados del S. XIX solo se admita intuitivamente la posibilidad de prolongar por continuidad al conjunto de los reales la funcin xa x , y solo

cuando la nocin de nmero real fue obtenida a partir de un nmero racional se dio una justificacin rigurosa de esta prolongacin.

3.1. Desarrollo de la funcin exponencial.

Potencia de exponente natural.

Definimos las potencias de exponente natural de un nmero real 0a >

como:1

1n na aa a a+

==

O sea, 1 2 3 2, , , ...a a a a a a a a= = =

Proposicin: i) n m n ma a a+ = a + y ,n m

ii) ( )mn n ma a = a + y ,n m iii) Si 1a > y ,n m , entonces: n mn m a a< <

iv) ( ) + a,b , nn n na b a b = D.- i) Por induccin: Sea n , para m = 1 1n na a a+ = por definicin. Suponemos cierto para m; n m n ma a a+ = , vemos que ocurre con m + 1: ( ) ( )1 1 1n m n m n m n m n ma a a a a a a a a+ + + + + += = = = ii) Tambin por induccin.

iii) Sea 1 1 na a< < , cierto para n = 1. Lo vemos para n + 1: 1 11 1 1n n n na a a a a a a+ +< < < < < .

Si 1 m n n m n n n mn m m n a a a a a a < < <

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siendo na el producto de a por s mismo n veces. Es fcil comprobar que ( ) ( ): , ,af ++ es un homomorfismo:

, ( ) ( ) ( )n k n ka a an k f n k a a a f n f k+ + = = = +

Potencia de exponente racional.

Pretendemos dar un sentido coherente a la expresin ra en la que a + (*) y r . Cuando r la nueva definicin coincidir con la anterior y veremos que las

propiedades se mantienen para potencias de exponente racional.

(*)Nota: Para que se siga cumpliendo la condicin ii) deber cumplirse 1

; y kk

ka a a = pero si k = 2 y a < 0

no existe ningn nmero real cuyo cuadrado sea a, por ello tomamos a > 0.

Proposicin: Sea a + y k . Existe un nico nmero real positivo cuya k-sima potencia es a. Ese nmero recibe el nombre de raz k-sima de a k a .

D.- Sea :f + ( ) kf x x= . Por ser + un intervalo y f continua, por el teorema del valor intermedio, ( )f + es un intervalo. Claramente ( )f + + .Adems:

( )0

lim 0x

f x

= y ( )limx

f x+

= + ( )f+ + ( )f + + = x + tal que kx a= para a +

Vemos ahora que x es nico: Suponemos k kx y a= = con ,x y + . Si n nx y x y< < , y en particular

k kx y< , contradiccin con la hiptesis. Si k kx y x y< > vuelve a ser una contradiccin, por lo que x = Y.

Esta proposicin nos permite definir 1

kka a= de forma que 1

( )kka a= a + y k .

Si tomamos ahora r + ; mr k= ; ,m k . Como 1r mk= ( )

1( ) mr m kka a a = = . Tambin

podemos escribir r mka a= , pues ( ) ( ) ( ) ( ) mkm mk km k mk k k ka a a a a = = = = y por la unicidad de la raz k-sima coinciden ambas definiciones.

Veamos que la definicin no depende de la pareja de nmeros naturales elegidos:

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Lema: Sean , , ,m k p q tales que pmk q= y a+ . Entonces: ( ) ( )m pqk a a= .

D.- Aplicando que ( ) ( ) ; y m,nm nn n m ma a a a += = y como mq = pk: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k q km m mq pk pq q q qmk a a a a a a = = = = = ( ) ( )

m pqk a a=

Definicin: Sea a + y r . Llamamos potencia r-sima de a, ra a la

definida:

- Si r > 0 ( )mr ka a = con ,m k tales que mr k= . - Si r = 0 0 1a =

- Si r < 0 1r ra a = (Claramente 0ra )

Adems r + 0 0;( 0)r r= .

Proposicin: Sea r 0r y :g + + ( ) rg x x= x + .

Entonces: g es biyectiva y continua. Adems: - Si r > 0, g es estrictamente creciente,

0lim ( ) 0x

g x

= y lim ( )x

g x+

= +

- Si r < 0, g es estrictamente decreciente, 0

lim ( )x

g x

= + y lim ( ) 0x

g x+

=

D.- 0; ,mr m kk= > . Sean , :mkf f+ +

con

( ) ; ( ) ;k mmkf x x f x x x += = . , mkf f son biyectivas, continuas y estrictamente crecientes. (Proposicin anterior)

1m kg f f = , g es biyectiva, continua y estrictamente creciente por ser composicin de funciones que lo son. Adems como

( )g + += , dados K + y 0 > ; , 0/ ( )M g > < y g(M) > K. Como g es estrictamente creciente

0 ( ) ( )( ) ( )x g x g

x M g x g M K < < < > >

0lim ( ) 0x

g x

= y lim ( )x

g x+

= + .

Si r < 0, se deduce del caso estudiado y abusando de la igualdad 1r

ra a =

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Proposicin: Sean ,a b + y ,r s . Entonces:

i) ( )r r ra b a b = , en particular ii) r s r sa a a+ =

iii) ( ) ( )s rr r s sa a a= = iv) Si a > 1; r sr s a a< <

v) Si a > 1; 1

1na

D.- i) Si r = 0 es evidente. Si r lo tenemos demostrado por induccin.

( )kk k kk ka b a b ab a b = = ; k Si mr k= ; ,m k ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m m mmr r rk k kk ka b a b a b a b a b = = = =

Si r < 0 ( ) ( )1 1 1 1r r r

r r r r ra b a ba b a ba b = = = =

ii) Si r + s = 0 es evidente, tambin si son 0 alguno de los dos.

Suponemos r + s > 0, si r, s > 0 sean mr k= , ps q= con , , ,m k p q

( ) ( ) ( )mq pk pkmqmq pk mq pkkq kq kqkq kq kqr s r sa a a a a a a a a+ ++ = = = = = Si uno de los dos es negativo, por ejemplo r < 0 s r r s r s r r r s r sa a a a a a a a a + + + = = =

Si r + s < 0, aplicando i) 1 1 1r s r s

r s r sa a aa a a

+ = = =

iii) Basta probar ( ) =sr r sa a , que es evidente si rs = 0 rs > 0. Si

= > 0mr ky 0ps q= >

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

kqkq p pkq pks pkq q mpr r r r mksr r s

kqkq kq mp mprs

a a a a a aa a

a a a

= = = = = =

= =

o r < 0 y s < 0. ( )( ) ( ) ( )1s

s sr srs r rra a a aa

= = = =

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o Si rs < 0. ( ) ( )1 1 srs rr srsa aa a = = =

iv) 1

1ka > 1mkk a > , 1rm k a > r +

Si r > 0 1 1 1 0r rra a ra = < > > . Por ii) 1 0r s s ra a a s r r s< > > <

v) 1 10 1n n< 1 { }sup : x ra a r r x= (Consecuencia de propiedad iv, de hecho ax es el mx)

Si tomamos x { }: ra r r x y est mayorado, ya que si s tal que s > x

r r x r sr s a a , dicho conjunto tiene supremo que llamamos xa . Si a < 1 el razonamiento anterior no vale, por lo que tendramos que definir

1 xxa a

=

Definicin: Sea a + y x cualesquiera. Se define xa como: o Si a > 1 { }sup : x ra a r r x= . (Para x se extiende a la de potencia

racional) o Si a = 1 1x = 1

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o Si a < 1 1x

xa a

= . (Tambin se extiende a potencia racional)

Est claro que 0xa > a + y x . Lema: Si a es un nmero real tal que a > 1. Entonces: i) ,x y con yxx y a a< < ii) x y yxa a a+ = iii) y + : xx a y =

iv) ( ) ( )xy x y yxa a a= = D.- i) ,x y x y< . Sean , :r s x r s y < < . Si z A )ipza y a z p< <

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Suponemos xa y< , como 1 1 1

1 x x xn n na a a a a+ = 1

: x mm a y+ 11

11 1 : x mn na m a ya

= > .

Paraz A1xz ma y a < < 1z x m < contradiccin, pues como x es el supA,

1x m no

puede ser mayorante de A.

En definitiva xa y= iv) Se demuestra parecido a ii) Tomando p = E(nx) y q = E(ny) y pos sucesiones ms adelante.

3.2. Funcin exponencial.

Sea a + . Llamamos funcin exponencial de base a a la aplicacin :f + definida por ( ) xf x a= x .

Nota: La exponencial de base 1 es la funcin constantemente igual a 1.

Propiedades: Sea a + 1a y :f + la funcin exponencial de base a, ( ) xf x a= x Entonces:

i) f es biyectiva y continua, adems ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = ,x y . ii) Si 1a > f es estrictamente creciente y verifica: ( )lim 0

xf x

= y

( )limx

f x+

= +

iii) Si 1a < f es estrictamente decreciente y verifica: ( )limx

f x

= + y

( )lim 0x

f x+

=

D.- Suponemos 1a > , por i) del lema anterior yxx y a a< < f estrictamente creciente

f inyectiva. Y por iii) del lema : xx a y = ( )f += f es biyectiva. Por ser f montona y su imagen un intervalo f es continua. El apartado ii) del lema x y yxa a a+ = nos da que ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = ,x y

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Dados ( ), 0 y fK + > = ( ) ( )1 1 con f y 0 con fM M K > > > > = +

< < < =

Si 1a < se deduce iii) usando que 1x

xa a

= x .

En resumen: Cualquiera sea a + 1a , la funcin ( ) xf x a= establece un

homeomorfismo entre + y y transforma el grupo aditivo de los nmeros reales

en el grupo multiplicativo de los nmeros reales positivos.

Adems por ser f inyectiva, podemos estudiar su inversa: 3.3. Funcin logartmica.

Sea a + 1a . Llamamos funcin logartmica de base a, loga , a la funcin

inversa de la funcin exponencial de base a. (En el sentido de la composicin de funciones).

Es la nica funcin definida de + en que verifica log + xa xa x= .

Dado +x , la imagen de x por la funcin logartmica de base a, loga x , se

llama logaritmo en base a de x. De las propiedades de la exponencial, deducimos: Corolario: Dado a + 1a y +: ( ) log xag g x x+ = , la funcin

logaritmo de base a. Entonces: i) g es biyectiva, continua y ( ) ( ) ( ) + x,yg x y g x g y = + ii) Si 1a > g es estrictamente creciente y verifica: ( )

0limx

g x

= y

( )limx

g x+

= +

iii) Si 1a < g es estrictamente decreciente y verifica: ( )0

limx

g x

= + y

( )limx

g x+

=

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D.- Por la propia definicin g es biyectiva, adems por se f inyectiva y continua g es continua.

Dados alog log log log, a a a ax y x yx y a a x y++ = = El crecimiento y decrecimiento de g , se deduce por ser la inversa de f, exponencial, que es creciente

para 1a > y decreciente para 1a < . Para 1a > como ( )g + = . Dados , 0 K > ( ) ( )1 1, 0 con g y gM M K > > > > = +

< < < =

La funcin loga x define un homeomorfismo entre y + que transforma el

grupo multiplicativo de los nmeros reales positivos en el grupo aditivo de los nmeros reales. 3.4. Exponencial de base e. Logaritmo neperiano.

Veremos que todas las funciones exponenciales y logartmicas se obtienen de

forma sencilla a partir de una sola funcin exponencial y una sola logartmica

respectivamente.

Proposicin: Sea a + . Entonces: ( ) x,yy xyxa a= . Adems si 1a , se tiene: ( ) +log log x y yya ax y x= D.- { }, , ,n ns x r x r . por la continuidad de la funcin exponencial de base a { }nr xa a , tambin { }nr s x sa a ; como :g + dada por ( ) + xsg x x= es continua ( ){ } ( ){ } ( ) ( )n ns sr r x xa g a g a a= = . Sea ahora y arbitrario y { } ,n ns y s . Por la continuidad de la funciones exponenciales de base a y xa respectivamente, tenemos:

{ }n xyxsa a , ( ){ } ( )ns yx xa a .

21

Como ya tenamos probado que ( ) ( ),nn s y xyxs x xa a n a a= = Para demostrar la segunda parte: ( )log log log, ya a ayy x x y xx y a a x a+ = = = Sean , , 1, 1a b a b+ . Suponemos conocidas las funciones exponencial y logartmicas de base a. Ello nos permite conocer las de base b.

En efecto: ( )log loga axb x bxb a a= = Sea ahora

( )log a loglog log log log ; como log 0 log logb x aa a ab b axx x b x b b x b

+ = = =

De esta forma podemos elegir un nmero real distinto de 1 y positivo como base de unas funciones exponenciales y logartmicas distinguidas a cuyo

conocimiento se reduce el de todas las dems. Este nmero ser: 1 1 1lim 1 ...1! 2! ! n

e n

= + + + + . Su inversa, la funcin logaritmo de base e se llama

logaritmo neperiano, Ln. Como hemos visto, todas las dems exponenciales y logartmicas se deducen

de estas dos:

x ,x xLnaa e a += { }+log x , 1a Lnxx aLna+

=

Corolario: - La funcin exponencial es biyectiva, continua y estrictamente creciente de + en tal que: lim 0 y limx x

x xe e

+= = +

- La funcin logaritmo neperiano es biyectiva, continua y estrictamente creciente de en + tal que

0lim y lim x x

Lnx Lnx +

= = +

Adems: x y yxe e e+ = ( )Ln x y Lnx Lny = +

22

3.5. Grficas de las funciones exponenciales y logartmicas

Exponenciales.

( ) xy f x a= =

( ) xy f x a= =

1a > 1a <

Logartmicas.

( ) log1

by f x xb

= =

>

( ) log1

by f x xb

= =

<

23

Obtencin de la grfica de exponencial a partir del logaritmo y viceversa

por simetra con respecto a la recta y = x.

ex y=x Lnx

3.6. Ejemplos de aplicaciones de estas funciones en otros campos.

o Fenmenos de crecimiento y anlisis de poblaciones. o Economa: Clculos de evolucin de los precios, inflacin, devaluacin, clculo

de intereses, etc. o Fsica: Estudios de los elementos radiactivos y su periodo de desintegracin.

Nmero de tomos en un instante dado: 1

0( ) tN t N e

= .

Oscilador libre amortiguado: Cualquier oscilador en su movimiento pierde amplitud debido al

rozamiento. Carga de un condesador: Si tenemos abierto un circuito formado por una

resistencia, una fuente de tensin y un condensador y lo cerramos, el condensador se carga a travs de la

resistencia y la diferencia potencial entre sus placas vara. Descarga de un condensador.

Ley de Lambert: El porcentaje de luz absorbida por una capa de material translcido es proporcional al espesor de la capa.

24

Caracterstica I/V de un diodo

( )

0 T( ) 1 ; v(t) es la tensin en los extremos. v /Tv tvI t I e kT q = =

0

( )( ) 1TI tv t v Ln I

= +

o Biologa: Estudios de fenmenos de reproduccin. La funcin exponencial vale para crecimientos continuos en condiciones favorables, pero no es del todo vlida en poblaciones de animales o vegetales. El modelo ms adecuado es el

de la funcin logstica 11 aty ke = + .

4. LMITES DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Uno de los lugares centrales del anlisis lo ocupa el concepto de lmite. Sobre l se apoya todo el aparato de las demostraciones infinitesimales.

Mientras que el clculo diferencial e integral surgi en el siglo XVII, el concepto de funcin vino a conocerse un siglo despus, los matemticos del siglo

XVIII probaron un conjunto de procedimientos para fundamentar el anlisis infinitesimal, pero casi todos estos mtodos resultaron insatisfactorios, hasta la llegada del limite, que entendido de una manera formal y rigurosa aparece a finales

del siglo XIX, lo cual difiere de la forma como se presenta actualmente el clculo, en donde primero se ensean funciones, luego limites y finalmente derivadas o

integrales. A finales del s. XVIII y principios del XIX era ms que evidente la necesidad de construccin de la teora de lmites como base del anlisis matemtico y una

reconstruccin radical de este ltimo. Euler (1707-1783) intenta por primera vez dar una definicin formal del concepto de funcin, antes de l, el matemtico y

filosofo francs Rene Descartes(1596-1650) mostr en sus trabajos de geometra

25

que tena una idea muy clara de los conceptos de ``variable'' y ``funcin''. Bernard

Bolzano, (1781-1848) fue el pionero en el anlisis de funciones, en sus trabajos estudi el criterio de convergencia de sucesiones y di una definicin rigurosa de

continuidad de funciones. Estudi profundamente las propiedades de las funciones continuas y demostr en relacin con stas, una serie de notables teoremas,

destacando el teorema de Bolzano: una funcin continua toma todos los valores comprendidos entre su mximo y su mnimo. En 1821, Cauchy consigui un enfoque lgico y apropiado del clculo, basando

su visin slo en cantidades finitas y el concepto de lmite. 4.1. Definiciones

Llamamos conjuntos abiertos a la familia de todas las uniones de intervalos abiertos, junto con el conjunto vaco. Se llama entorno de un punto x a cualquier

conjunto abierto que contiene al punto. Llamamos entorno reducido de un punto x al

conjunto que resulta de suprimir el punto x en un entorno ordinario. Un punto x R

es punto de acumulacin de un subconjunto A R, si todo entorno de x contiene por

lo menos un punto de A distinto de x. Podemos llamar A` al conjunto de puntos de

acumulacin de A.

Sea f: A R (A R). Sea x0 un punto de acumulacin de A. Diremos que f tiene

como lmite el nmero real L en el punto x0 si y slo si para cada > 0 ( R) existe

> 0 ( R) tal que x R con 0 < |x x0| < y x A, se tiene que |f(x) L| < .

Si f tiene lmite L en x0, escribiremos: 0

lim ( )x x

f x L

= , y diremos que L es el limite de

f(x) cuando x tiende a x0 .

26

4.2. Lmites laterales Al considerar el valor absoluto en la diferencia |x x0|, expresamos la posibilidad de el punto

x tienda hacia x0 por valores mayores o menores que x0. Pero, vamos a considerar el caso en que el punto x permanece siempre a la derecha del x0 o siempre a la izquierda.

Sea : (A )f A . Sea x0 un punto de acumulacin de A. Se dice que L

es el lmite por la izquierda (resp. por la derecha) de la funcin f en el punto x0 cuando para cada 0 ( ) >

0 0>0 ( ) tal que si 0 < x < x ( .0 )resp x x < 0, y tales que:0< x-x , ( ) y 0< x-x , ( )Sea =mnimo , , para los puntos x tales que 0< x-x

Dx A f x x A f x

< < < < <

0

0 0 0

0

x 0

pre que x-x

`( ) `( )tenemos c -x lim . Teniendo en cuenta la igualdad (1)'( ) `( )`( )( ) `( )lim lim lim( ) `( ) `( )

x xx xx x

xx x x x x xx

f c f cl lg c g cf cf x f x

g x g c g x

0 (resp. f(x) < 0) `x U Domf , con U`entorno reducido de x0,

0

1lim ( )x x f x = + (resp. - )

Sea :f A (A , no acotado superiormente). Se dice que lim ( )x

f x L+

=

si para cada 0 > , , ,B + tal que , ( ) .x A x B f x L > <

Anlogamente se define el lmite de una funcin en - , si est definida en A no acotado inferiormente.

29

5. CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

5.1. Continuidad de una funcin en un punto.

Sea :f A , A ,A . Diremos que f es continua en un punto

0x A para cada 0, > 0, > tal que si 0x x < y

0( ) ( )x A f x f x < . Notas: 1. En la continuidad no es necesario que x0 sea punto de acumulacin, si es un punto aislado f es continua. 2. Tambin podemos hablar de continuidad por la derecha o por la izquierda de un punto.

Teorema:Sea :f A ,A ,A y 0 `x A (punto de acumulacin de A),

diremos que f es continua en x0

0lim ( )

x xf x

y es precisamente f(x0)

D.- Comparamos la definicin de continuidad en un punto con la de lmite.

Teorema:Sea :f A ,A ,A y 0 `x A . Si f es continua en x0 y

0( ) 0f x , U entorno de x0 tal que la funcin no se anula en ningn punto x A U

y el signo de f(x) es el mismo que el de f(x0). D.- Sea f(x0) > 0. Elegimos un entorno U de f(x0) que no contenga al 0, (basta tomar

0( )f x < . Como f es continua: 0, > tal que si 0x x < y

0( ) ( )x A f x f x < ( ) 0f x > x tal que 0x x < , x A . (Anlogamente para f(x0) < 0). Teorema: Sea :f A ,A ,A y 0 `x A . Si f es continua en x0 y

0( ) 0f x , U entorno de x0 tal que la funcin est acotada en A U .

D.-Elegimos por ejemplo 1 = ha de existir 0, > tal que si

0x x < ,x A , ( )0 0( ) ( ) 1, ( ) 1f x f x f x + , f(x) acotada en A U . 5.2. lgebra de funciones continuas. Proposicin: Sean f y g dos funciones continuas en un punto x0. Entonces: 1) f + g, f g, son continuas en x0. 2) fg continua en x0.

30

3) Si 0( ) 0f x . Entonces: 1f es continua en x0.

4) Si 0( ) 0f x . Entonces: gf es continua en x0.

D.- Es inmediata teniendo en cuenta que le lmite de una suma, diferencia, producto o

cociente es la suma, diferencia, producto o cociente de de los lmites.

Composicin de funciones: Sea :f A B , ,A B , ,A B continua en

0x A y :g B A continua en t0 tal que 0 0( )t f x B= . Entonces, :f g A es

continua en x0. D.- Inmediata aplicando definicin de continuidad. Sea A ,A . Una funcin :f A es continua en A si es continua en todos sus puntos. El conjunto C(A) de todas las funciones continuas en A, con la suma y producto de funciones, es un anillo conmutativo. Adems considerando el producto de un nmero real por una funcin el conjunto C(A) es un espacio vectorial. Por tanto, podemos concluir que C(A) es un lgebra. 5.3. Discontinuidades Evitable: Si

0lim ( )

x xf x L

= pero f no est definida en x0 0( )f x L .

Bastara definir 0( )f x L= para que la funcin fuera continua en x0.

De primera especie: Si existen los lmites a la izquierda y a la derecha de x0, pero son distintos. Diremos que es finita si ambos lmites son finitos, e infinita si al menos uno es infinito. De segunda especie: cuando al menos uno de los lmites laterales no existe. Finito cuando la funcin se conserva acotada en un entorno reducido de x0 (caso de sen(1/x) en x0 = 0) e infinito en caso contrario.

31

5.4. Continuidad en un intervalo cerrado

Vamos a considerar [ ],A a b= . Teorema de los ceros de Bolzano: Si una funcin f es continua en un intervalo [ ],a b y en los extremos del intervalo toma valores de signo contrario, entonces existe algn punto c en (a, b) tal que f(c) = 0. D.- Supongamos que ( ) 0 ( )f a f b< < . Sea [ ]{ }, / ( ) 0A x a b f x= < . A pues a A y est acotado superiormente por b, por tanto tiene supremo, llamamos c = supA.

i) [ ],c a b . Como c es una cota superior y adems el supremo, es la menor de las cotas superiores, por tanto tenemos que c b . Adems a c , pues a A [ ],a c b c a b ii) f(c) no puede ser negativo. Si f(c) < 0 0 > en el que ( ),x c c + y f(x) < 0. Tomando [ ]0 ,x a b tal que 0c x c < < + 0( ) 0f x < y 0c x< . Tendramos que 0x A y 0c x< , contradiccin con la hiptesis de que c es el supremo de A.

iii) f(c) no puede ser positivo. Si f(c) > 0. 0 > en el que ( ),x c c + y f(x) > 0. Tomando [ ]0 ,x a b tal que 0c x c < < ; como c es el supremo de A y 0x c< tiene que existir un

1x A tal que 0 1x x c< < 1( ) 0f x < , pero esto no puede ser porque ( )1 ,x c c + 1( ) 0f x > .

De ii) y iii) obtenemos que f(c) = 0.

Teorema de los valores intermedios: Si f es una funcin continua en [ ],a b . Entonces, f toma cualquier valor comprendido entre f(a) y f(b). D.- Suponemos ( ) ( )f a f b< . Sea v tal que ( ) ( )f a v f b< < con g(x) = f(x) v, que es continua en [ ],a b por ser diferencia de funciones continuas. Adems, g(a) < 0 y g(b) > 0. Por el

teorema anterior [ ], / ( ) 0c a b g c = ( )f x v = . Teorema: Si f es una funcin continua en [ ],a b , entonces f est acotada en [ ],a b . D.- Elegimos un ( )0 0, / ( ) 0x a b f x , en dicho punto la funcin es continua por ser continua en [ ],a b , [ ]0 , `x a b teorema de apartado anterior U entorno de x0 tal que f est acotada en [ ],U a b f acotada en [ ],a b .

32

Teorema de Bolzano-Weierstrass: Si una funcin f es continua en un

intervalo cerrado [ ],a b . Entonces, existe algn punto [ ],c a b tal que [ ],x a b se verifica que ( ) ( )f x f c .

O sea, que una funcin f continua en [ ],a b alcanza en algn punto [ ],c a b su valor mximo f(c). D.- Sea [ ]{ }( )/ ,B f x x a b= ,B B est acotado superiormente. Sea supB = . Queremos ver que existe al menos un punto [ ],c a b tal que ( )f c = . Suponemos que [ ],x a b tuviramos ( )f c 1( ) ( )g x f x = sera continua en [ ],a b , por ser

cociente de funciones continuas y no anularse el denominador. Como supB = nmeros tan prximos a como se quiera, con lo que ( )f x se puede acercar a 0 todo lo que se desee g(x) se puede hacer ms grande que cualquier nmero g no acotada superiormente en [ ],a b . Contradiccin con el teorema anterior [ ],c a b para el que ( )f c = f(c) es el mximo valor de f en [ ],a b . Nota: Tambin se verifica que toda funcin continua en [a,b] alcanza en algn punto de [a,b] su valor mnimo. Para demostrarlo consideramos f.

Teorema: La imagen de un intervalo cerrado por una funcin continua es un intervalo cerrado o un punto. D.- f continua en [ ],a b , con constante (si lo fuera la imagen de [ ],a b sera un punto). Sean m y M dos puntos en los que f alanza el mnimo y el mximo respectivamente. Por el teorema anterior, f

alcanza todos los valores comprendidos entre f(m) y f(M).

Funciones uniformemente continuas: Diremos que f definida en [ ],a b es uniformemente continua cuando 0, >0 > tal que para cualesquiera [ ]1 2, ,x x a b con 1 2x x < ( ) ( )1 2f x f x < . Teorema: Si f es una funcin continua en un intervalo, entonces f es

uniformemente continua en dicho intervalo. Nota: Toda funcin uniformemente continua es continua, pero lo contrario no tiene por que ser cierto.

33

6. DERIVADA DE UNA FUNCIN EN UN PUNTO. FUNCIN

DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. APLICACIONES.

El clculo diferencial e integral constituye una de las grandes conquistas

intelectuales de la humanidad. Una vez que se construy, la historia de las matemticas ya no sera igual: la geometra, el lgebra y la aritmtica, la

trigonometra, se colocaran en una nueva perspectiva terica. Los nuevos conceptos y mtodos tendran tambin un impacto extraordinario en la descripcin y manipulacin de la realidad fsica.

La derivada aparece en el s. XVIII, cuando Fermat trat de determinar los mximos y los mnimos de ciertas funciones. Observ que una curva tiene en cada

uno de sus puntos una direccin definida que puede venir dada por la tangente, y que en aquellos puntos en los que la curva tiene un mximo o un mnimo, la tangente ha de

ser horizontal., por tanto el problema de localizar estos valores extremos se reduce al de la localizacin de las tangentes horizontales. Barrow fue el primero en descubrir que el problema de hallar el rea de una regin

limitada por una curva estaba ligado al de hallar la tangente en un punto de la curva. Newton y Leibnitz fueron quienes desarrollaron esta relacin.

Aunque la derivada se introdujo inicialmente para el estudio del problema de la tangente, pronto se vio que proporcionaba tambin un instrumento para el clculo de

velocidades, y en general, para el estudio de la variacin de una funcin. La notacin que expresa por f la derivada de la funcin f fue introducida por Lagrange a finales del s. XVIII, as como las derivadas de orden superior. Newton

usaba un punto, y , notacin que se sigue usando para expresar velocidades y

aceleraciones. Leibnitz usaba la notacin 0

limx

y yx x

=

.

34

6.1. Concepto de derivada y funcin derivada

Sea I un intervalo abierto de , sea 0 , sea f:I .x I

0 00

f(x ) ( )Si el cociente: con x , tiene lmite real cuando h 0, h f x h Ih+

+ se

dice que la funcin f es derivable en x0. Se designa este lmite por f(x0) y leeremos

derivada de f en x0. Es decir: 0

0 0 00 0 0

f(x ) ( ) ( ) ( )'( ) lim limh x x

h f x f x f xf x h x x +

= =

.

Puesto que el lmite es nico, la derivada de f en x0, si existe, es nica. Si f es derivable en todo 0x I , diremos que f es derivable en I.

En este caso, la funcin '( )x f x , definida en I, recibe el nombre de funcin

derivada de f, y la representaremos por f. Derivadas laterales

0 0f(x ) ( )Si tiene lmite real cuando h 0, con h>0, h f xh+

ese lmite lo

representamos por +0 f'(x )y leeremos derivada de f por la derecha en x0.

0 00 0

f(x ) ( )'( ) limh

h f xf x h++

+ = .

Anlogamente se define la derivada de f por la izquierda:

0 00

f(x ) ( )'( ) limh o

h f xf x h

+ =

Evidentemente, en todo punto x0 de I, f es derivable si y slo si existen las

derivadas laterales y coinciden. Teorema: Sea I un intervalo abierto de 0, y f:Ix I . Si existe f(x0),

entonces f es continua en x0.

( )0 00 0 0 0 00f(x ) ( ). ( ) ( ) lim ( ) ( ) 0 '( ) 0

hh f xD f x h f x h f x h f x f xh

+ + = + = = f continua en x0.

Notas: 1) En la definicin no admitimos que el lmite sea infinito, pues 0, no nos dice nada.

2) El recproco del teorema no es cierto, por ejemplo ( )f x x= , en x0 = 0 es continua, pero

no derivable.

35

1

1

Q

P

(a+h,f(a+h))

hf(a+h)-f(a)

6.2. Interpretacin geomtrica de la derivada

Las coordenadas de los puntos P y Q son resp. (a, f(a)) y (a+h, f(a+h)).

En el tringulo rectngulo cuya hipotenusa es PQ, la altura es f(a+h)-f(a)

y representa la diferencia de las ordenadas de los dos puntos P y Q.

En consecuencia, el cociente ( ) ( )f a h f ah+ , representa la tangente trigonomtrica

del ngulo que forma PQ con la horizontal. El nmero real tg, se denomina pendiente de la curva entre P y Q y da un mtodo para valorar la inclinacin de esta

lnea. Ecuacin de la recta tangente: Dada la funcin f, la ecuacin de la recta tangente en x0, es: 0 0 0'( )( )y y f x x x = , siendo f(x0) la pendiente de la tangente

a la curva de ecuacin y=f(x) en el punto (x0, f(x0)). 6.3. Clculo de derivadas

Funcin constante: 0 0 ( ) '( ) 0 xx I f x c f x I = =

0 00 0 0

( ) ( ). '( ) lim lim 0 ( ) '( ) 0 x Ih h

f x h f x c cD f x f x x f xh h +

= = = = =

Funcin identidad: 0 0 f(x) = x f'(x ) = 1 xx I I

0 00 0 0

. '( ) lim lim 1; x I f(x)=x f'(x)=1h h

x h x hD f x h h +

= = =

Funcin suma: Sean f y g funciones reales definidas en un cierto intervalo I. Si f y g son derivables en 0x I , se tiene: 0 0 0( )'( ) '( ) '( ) f g x f x g x+ = +

0 0 0 0 0 00 0 0

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( )'( ) lim limh h

f g x h f g x f x h g x h f x g xD f g x h h + + + + + +

+ = = =

36

0 00 00 00 0

( ) ( )( ) ( )lim lim '( ) '( ) ( )'( ) '( ) '( ) x Ih h

g x h g xf x h f x f x g x f g x f x g xh h + +

+ = + + = +

Funcin producto: Sean f y g funciones reales definidas en un intervalo

abierto I, si f y g son derivables en I, se tiene:

( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( ) x If g x f x g x f x g x= +

0 0

0 0 0

0

0 0 00

0 0

0 0 0 0 0

0 0

00 0

0

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( )'( ) lim lim

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim lim lim ( )

( ) ( )( ) lim '( )

x x x x

x x x x x x

x x

f g x f g x f x g x f x g xD f g x x x x xf x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g xx x x x

g x g xf x f x gx x

= = =

+ = +

+ =

0 0 0( ) ( ) '( ) ( )'( ) '( ) ( ) ( ) '( ) x Ix f x g x f g x f x g x f x g x+ = +

Funcin cociente: 1) Sea f una funcin real definida en un cierto intervalo abierto I. Si f es

derivable en 0 0 y f(x ) 0x I , se tiene: '

00 2

0

'( )1 ( )( )

f xxf f x

=

D.- Es anloga a la del producto, teniendo en cuenta que f es continua en x0, por ser derivable en x0,

y al ser 0f(x ) 0 , es f(x) 0 en un cierto entorno de x0

2) Sean f y g funciones reales definidas en un cierto intervalo abierto I. Si f y g son derivables en 0 0 y g(x ) 0x I , se tiene:

'0 0 0 0

0 20

'( ) ( ) ( ) '( )( )( )

f x g x f x g xf xg g x

=

D.- Aplicamos la derivada de un producto y el resultado anterior

Regla de la cadena: Sean I y J dos intervalos abiertos de nmeros reales. Sean una funcin 0: , f derivable en x .f I I Sea g:J , con f(I) ,J

0 0 g derivable en y ( ).f x=

Entonces, ( )0 0 0 0 es derivable en x , y se tiene: g f '( ) '( ( )) '( )g f x g f x f x=

37

00 0

0

0

0 0

g(y)-g(y ) '( ) si y y. : , definida por: h(y)= es inmediato comprobar 0 si y = y

que h es continua en y . Al ser f continua en x , por ser de

g yy yD h J

( ) ( ) ( ) ( )0

0

0 0 0

0 00 0

0 0

rivable en x , la funcin h es continuaen x , siendo: lim ( )( ) ( ( )) ( ) 0

1) Si f(x)=f(x ) es g f ( ) ( )( ) ( ) ( ( )) ( ( )). Entonces:

2) Si f(x) f(x ) es g(f(x))-g(f(x ))

x x

fh f x h f x h y

x g f xg f x g f x g f x g f x

= = =

=

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0

0 0

0 0 0

0 00 0

0 0

( ( )) '( ) ( ) ( )En ambos casos podemos poner: g f ( ) ( ) ( ) `( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )'( ) lim lim ( ) '( ) lim 'x x x x x x

h f x g y f x f xx g f x h f x g y f x f x

g f x g f x f x f xg f x h f x g y gx x x x

= +

= +

= = + =

0 0

0 0

( ) '( ), puesto que

h(f(x )) ( ) 0

y f x

h y= = Funcin inversa: Sea :f I continua e inyectiva sobre I, con

0 0'( ) 0, en xf x I . Entonces, la funcin inversa 1 : ( )f f I es derivable en

y0=f(x0), siendo: 1 0 10 0

1 1( )( ) '( ( )) '( )f y f f y f x

= =

D.- Podemos demostrarla aplicando la regla de la cadena a 1( )( )f f x x = . O bien: D.- La existencia de f-1 es consecuencia de que f sea continua e inyectiva. f es un

homeomorfismo entre I y f(I). En particular para cada ( ) , tal que f(x)=yy f I x I .

{ }{ }

{ }

-1 10

00

00

0-1

0

f ( ) ( )Sobre f(I)- definimos la funcin: y (y)=

x-xAnlogamente, sobre I- x definimos la funcin x (x)=f(x)-f(x )Evidentemente sobre f(I)- se verifica (y)=( f )( ). Teniendo en cue

y f yy y y

y y

0 0 0

0 0 0 0

1 10 0 0

0 0

0-1 1

-1 -100

0 0

nta adems que1 1lim ( ) ( ) , y que lim ( ) lim pues f'(x ) 0, resulta:( ) ( ) '( )

f ( ) ( ) 1 1(f )( ) lim lim (y)= lim ( f )( ) lim ( ) '( )

y y x x x x

y y y y y y x x

f y f y x x f x f x f xx x

y f yy y xy y f x f

= = = =

= = = = =

1 10 0

1'( ( )) ( ' )( )f y f f y =

Funcin logartmica: Sea +0( ) log , a , a > 1, a 1, x af x x= . Entonces:

00

log'( ) a ef x x=

38

0

00 0 0 0

00 0

0 0 00 0 00 0

0 00 0

1. ( ) ( ) log ( ) log log log 1 log 1

( ) ( ) 1 1 1 1 1 1log 1 log 1 log 1

( ) ( )'( ) lim

a a a a a

xh

a a a

h

x h hD f x h f x x h x xx xh

f x h f x xx x xh h x h xh h h

f x h f xf x h

+ + = + = = + = +

+ = + = + = +

+ =

0 0

0 00 00 0 0

1 1 1 1 1lim log 1 log lim 1 log

x xh h

a a ah hex xx x x

h h

= + = + =

Funcin logaritmo neperiano: Sea f(x) = Ln(x), y 0x + . Entonces:

00

1'( )f x x=

Adems: ( ) 000

'( )( ) ' ( )f xLnf x f x=

D.- Fcil aplicando la regla de la cadena: ( )0 0 0 00

1( ) ' '( ( )) '( ) '( )( )Lnf x Ln f x f x f xf x= =

Funcin exponencial: Sea 0( ) , a , a > 0, xxf x a= . Entonces: 0

0'( ) = xf x a Lna alog

a. Aplicamos lo anterior teniendo en cuenta que: x=a ; logx xD a x =

Funcin potencial: Sea ( ) f x x = . Entonces: 1

0 0 0 0'( ) , x 0,f x x x = >

00

0 0

0 0

. Los valores que toma f(x)=x son nmeros reales positivos; por tanto, su logaritmo es otra '( ) 1funcin real, y se tiene que: Lnf(x) = Lnx. Derivando ambos miembros en x : ( )

1'( )

Df xf x x

f x x

=

= 100

xx =

Funciones trigonomtricas: Sea 0( ) , con xf x senx= . Entonces, se tiene

que 0 0'( ) cosf x x=

39

( )2Si f(x) = cosx f'(x) = -sen x x ; Si f(x) = tgx f'(x)=1+ tgx ; x 2 , 2 2 2k kpi pi

pi pi + +

( ) ( )2 2

2

1 1( ) '( ) ; 1,1 ; f(x)=arccos f'(x)= ; 1,1 ; 1 1

1f(x) = arctgx f'(x)= ; x1+x

f x arcsenx f x x xx x

= =

0 00 0 0

00 0

0 0

. Lo demostramos para el seno, con el coseno se hace de forma anloga.

Sabemos que: senx - senx 2 cos . Dividiendo ambos miembros por x-x , con x x :2 2

22 cos , 2

Dx x x xsen

x xsensenx senx x xx x x x

+=

+=

0

0

00

0

0 00 0

0

12como lim , y pos ser la funcin cos continua2 221 en el punto x , tenemos: lim 2 cos cos2 2

x x

x x

x xsen x xx x

senx senx x xx x

+=

= =

6.4. Derivadas sucesivas. Teorema de Leibnizt.

Sea I un intervalo abierto de 0, x y f:I , derivable en x0, a la

derivada (f)(x0) se le llama derivada segunda de f en x0 y se designa por f(x0). Si f''(x)x I , la funcin que asigna a cada x el nmero f(x), de I en , se llama la derivada segunda de f en I.

En general, definidas las funciones f1)=f, f2)=f,...,fn)=(fn-1)) de I en , diremos que fk) es la funcin derivada k-sima (o derivada de orden k) de f en I. Teorema. Frmula de Leibnizt: Sean f y g dos funciones con derivada n-

sima en el intervalo abierto I. Entonces fg tiene derivada n-sima en I, y se

verifica que: ) ) 1) 1) 2) 2) 1) 1) )( ) ...1 2 1n n n n n nn n nfg f g f g f g f g fgn

= + + + + +

0) 0)

. Induccin sobre n: Para n=1 es correcta, pues la derivada de orden 0 de una funcin es la misma funcin: f ; .D

f g g

= =

k)Supongmosla cierta para n = k. Podemos poner: (fg) =k

) )

r=0

k . rk r rf g

Demostraremos que es cierta para n=k+1.

40

1

1

x1 x0 x2

f(x1)f(x0)f(x2)

1

1

x1 x0 x2

f(x1)

f(x0)f(x2)

kk+1) k) 1) ) ) 1)

r=0

1k+1) 1 ) )

0

k 1En efecto: (fg) =((fg) )= . Usando que: p 11Se obtiene: (fg)

k r r k r r

kk r r

r

k k kf g f gr p pk f gr

+ +

++

=

+ + + =

+ =

6.5. Aplicaciones

La existencia y el signo de la derivada de una funcin real en un punto dan informacin sobre el comportamiento de la funcin en un entorno de dicho punto.

6.5.1. Aplicaciones al estudio local de una funcin

Crecimiento y decrecimiento

Sea 0: , I intervalo abierto, xf I I , se dice que f es

estrictamente creciente en el punto x0 cuando

0 un entorno U del punto x (intervalo abierto que contiene al punto),

U I, tal que 1 0 2 1 2 1 0 2( ) ( ) ( ) x , con xf x f x f x x U x x< < < < .

Sea 0: , I intervalo abierto, xf I I , se dice que f es

estrictamente decreciente en el punto x0 cuando

0 un entorno U del punto x (intervalo abierto que contiene al punto),

U I, tal que 1 0 2 1 2 1 0 2( ) ( ) ( ) x , con xf x f x f x x U x x> > < < .

Una funcin es montona cuando es creciente o decreciente. Nota: Una funcin puede ser creciente o decreciente en un punto y no serlo en ningn intervalo que lo contenga.

Teorema: 1) Sea f una funcin real derivable en un punto x0. Si f es creciente en x0 0'( ) 0f x . Si f(x0) > 0 entonces f es estrictamente creciente.

2) Sea f una funcin real derivable en un punto x0. Si f es decreciente en x0 0'( ) 0f x .

41

Si f(x0) < 0 entonces f es estrictamente creciente.

0

0 00

0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( ). Si f es creciente en el punto x 0, para x U si lim , es

decir, si f'(x ) f'(x ) 0Igual para decrecim iento y crecim iento y decrecim iento estricto.

x xf x f x f x f xD x x x x

Mximos y mnimos

Sea 0: , I intervalo abierto, xf I I . Se dice que la funcin tiene

mximo relativo en el punto x0 cuando

0 0 un entorno U de x , U I, tal que se verifica f(x) f(x ) x U .

Sea 0: , I intervalo abierto, xf I I . Se dice que la funcin tiene mnimo

relativo en el punto x0 cuando

0 0 un entorno U de x , U I, tal que se verifica f(x) f(x ) x U .

En cualquiera de los dos casos se dice que f tiene un extremo relativo en x0. Si las desigualdades son estrictas se dice que el extremo es estricto.

Si la funcin f es derivable en el punto x0 y tiene un extremo relativo en dicho punto 0'( ) 0f x = . Si fuese 0 0'( ) 0 o '( ) 0f x f x> < la funcin sera estrictamente creciente o decreciente, y no podra tener en l un extremo relativo.

Teorema de Rolle: Sea f continua en un [a,b] y derivable en I=(a,b) y tal que f(a) = f(b). Entonces existe al menos un 0 0 tal que f'(x ) 0x I = .

. Por ser f continua en [a,b], por el teorema de Bolzano-Weierstrass existen puntos del intervaloen los que f alcanza su mximo M y su mnimo m:Si M=m f es constante f'(x)=0 x [a,b]Si M m M o m es

D

0 0 0

distinto de f(a)=f(b). Supongamos m f(a)=f(b) (el caso M f(a)=f(b) es anlogo.Por el teorema de Bolzano x tal que f(x ) la funcin tiene un mnimo relativo f'(x ) 0.I m

= =

Teorema del Valor Medio: Sea f continua en un [a,b] y derivable en I=(a,b), entonces existe un 0 0 tal que f(b)-f(a)=(b-a)f'(x ).x I

42

1

1

a b

f(a)

f(b)

x0

0 0 0 0 0

. Sea g definida en [a,b] por g(x) =[f(b)-f(a)]x-(b-a)f(x). g cumple las condiciones del teorema f(b)-f(a)de Rolle x tal que g'(x ) 0. Pero g'(x ) [f(b)-f(a)]-(b-a)f'(x )=0 f'(x )= .(b-a)

D

I

= =

La interpretacin geomtrica de este teorema es que

existe un punto donde la tangente a la funcin es paralela a la secante que une los puntos (a,f(a)) y (b, f(b)).

Teorema de Cauchy: Sea f y g funciones continuas en [a,b] y derivables en I=(a, b). Entonces: 0 0 0 tal que f'(x )[ ( ) ( )] '( )[ ( ) ( )].x I g b g a g x f b f a =

0 0 0 0 0

0

. Sea h definida en [a,b] por h(x) =[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(x). h cumple las condiciones del teorema de Rolle x tal que h'(x ) 0. Pero h'(x ) [f(b)-f(a)]g'(x )-[g(b)-g(a)]f'(x )=0

f'(x )[g(

DI

= = 0b)-g(a)]=g'(x )[ ( ) ( )]f b f a

Concavidad y convexidad Sea f definida en un intervalo abierto centrado en x0. Supongamos que existe

f continua en dicho intervalo. Entonces:

0 0

0 0

0 0 0

''( ) 0 f es convexa en x''( ) 0 f es cncava en x''( ) 0 y '( ) 0 En x hay un punto de inflexin

f xf xf x f x

> < =

Clculo de lmites

Regla de L`Hopital: Sean f y g dos funciones reales definidas y derivables en todos los puntos de un entorno reducido de x0. Supongamos que

0 0lim ( ) 0 lim ( )

x x x xf x g x

= = y que ( ) 0 y '( ) 0 xg x g x en dicho entorno. Entonces

para que exista 0

( )lim ( )x xf xg x es condicin suficiente que exista 0

'( )lim '( )x xf xg x , y si esta

condicin se verifica, dichos lmites son iguales.

43

[ ] [ ]

00 0

0

0 0

( ) ( )f(x). Teniendo en cuenta que f(x ) ( ) 0 y eligiendo x U`, escribimos: .g(x) ( ) ( )Aplicamos la 2 versin del teorema de Cauchy al intervalo x , (o al x,x segn se tome x)ya que se

f x f xD g x g x g xx

= = =

[ ]0 0

0

cumplen todas las condiciones, en particular g(x)-g(x ) 0, porque si no g(x)=g(x ), y por el teorema de Rolle, g`se anulara en algn punto en x , , en contra de la hiptesis de la

regla de L`Hpital

x

[ ]

[ ]0 0

0x 0

0

0 x 0

( ) ( ) `( )f(x). c x , , tal que (1).g(x) ( ) ( ) `( )`( )`( )Por hiptesis sabemos que lim lim ?'( ) `( )

`( )0, >0, tal que x , x-x . Como c x , , siem'( )

x

x

xx x x x x

f x f x f cx g x g x g cf cf x

g x g cf x l xg x

= =

> < <

0

0 0 0

0

x 0

pre que x-x

`( ) `( )tenemos c -x lim . Teniendo en cuenta la igualdad (1)'( ) `( )`( )( ) `( )lim lim lim( ) `( ) `( )

x xx xx x

xx x x x x xx

f c f cl lg c g cf cf x f x

g x g c g x

tendremos un mnimo relativo.

Si ( ( ) 0kf a < tendremos un mximo relativo. Nota: 1) Para que los teoremas anteriores puedan aplicarse se requiere que ( ( )kf a no se anule para todo k. 2) Una funcin puede alcanzar un extremo relativo en un punto en el cual no sea derivable, an teniendo derivadas en l, o en un punto donde ni siquiera sea continua.

11. Ramas Infinitas: Asntotas y Ramas Parablicas.

Sea f una funcin real definida en un intervalo abierto I. Sea G la grfica de esta

funcin o sea, de la curva y = f(x), respecto del sistema de referencia ortonormal

del plano 2 . ( ){ }, ( ) / ( )G x f x x Dom f= Si existen puntos (x,f(x)) de la curva G cuya distancia al origen sea mayor que

cualquier nmero prefijado, se dice que G posee ramas infinitas.

50

11.1. Asntotas.

Si G tiene ramas infinitas, se llaman asntotas a las rectas del plano 2 tales que la distancia a ellas de los puntos (x, f(x)) de la grfica tiende a 0 cuando estos puntos

se alejan infinitamente del origen. Asntotas verticales: Para f definida en un intervalo I con I=(a,b) (b,a) (a + )

(- ,a) . Si lim ( )

x af x

= o lim ( )

x af x

+= .

Decimos que la recta x a= es una asntota vertical de f.

Los signos de estos lmites nos informarn en cada caso concreto de la posicin de la curva respecto a la asntota.

Asntotas horizontales: Para f definida en un intervalo I con a I . Si lim ( )

xf x n

= . Entonces diremos que la recta

y n= es una asntota horizontal de f.

Si ( )x f x n > > la rama infinita queda por encima de su asntota. Si ( )x f x n > < la rama infinita queda por debajo de su asntota. Nota: A veces no queda ni por encima ni por debajo, como ocurre con y = (senx)/x.

Asntotas oblicuas: En los casos anteriores solo una de las coordenadas del punto de G tenda a . Las ramas infinitas que vemos ahora son aquellas en las que las dos coordenadas del punto de G, variable en la curva tienden a .

Suponemos que lim ( )x

f x+

= (tambin puede ser lim ( )x

f x

= ).

Si ( )lim 0x

f x mx+ = y es finito, se dice que y = f(x)

tiene una direccin asinttica que es la recta de ecuacin y mx= .

Si adems ( )lim ( ) 0x

f x mx n+

= y es finito, se dice que G

51

tiene como asntota a la recta de ecuacin y mx n= + .

D.- ( )( ) ( ) ( )( )2( ), ( ) , lim , ( ) , 01 xf x mx nd x f x mx n d x f x mx n

m +

+ = + =+

. Recprocamente, si

, de 0m n s tales que ( )( )lim , ( ) , 0x d x f x mx n + = y mx n = + es una asntota, pues la distancia del punto a la recta tiende a 0 cuando x tiende a .

11.2. Ramas parablicas.

y x=

Suponemos que lim ( )x

f x

= .

Si ( )lim 0x

f xx = . Se dice que y = f(x) tiene una

rama parablica en la direccin del eje OX cuando x . y = x2

Si ( )limx

f xx = . Diremos que y = f(x) tiene una

rama parablica en la direccin del eje OY cuando x . Cuando la curva tiene una direccin asinttica y mx= 0m ,

pero ( )lim ( )x

f x mx

= . Se dice que y = f(x) tiene una rama parablica en la

direccin y mx= cuando x .

y= 3x +logx tiene una rama en la direccin de y=3x

52

Notas: 1) Una curva puede no tener direcciones asintticas. y= x(3+cosx) , no existe ( )limx

f xx+

2) An teniendo una direccin asinttica, una curva puede no presentar ni asntota ni rama parablica. No existe

( )( )lim 3 cos ) 3x x x x + 12. Representacin Grfica de Funciones.

Como culminacin del estudio de las propiedades de la funcin real f suele hacerse la representacin de la grfica G.

Conviene proceder metdicamente estudiando: 1) Dominio. Son interesantes los casos en los que la expresin analtica de la funcin contenga races o logaritmos, que puedan dar lugar a valores complejos y no

reales de f(x). 2) Campos de Continuidad. Puntos del dominio donde f es continua. Puntos de

discontinuidad y naturaleza de sta. 3) Campos de derivabilidad. Puntos del dominio donde f es derivable

4) Cortes con los ejes cartesianos. f(x) = 0 y x = 0 5) Simetras y Periodicidad. Ser simtrica respecto al eje OY, (simetra par), geomtricamente significa que si doblamos el plano respecto de dicho eje ambos

trozos de la grfica se superponen. Serlo respecto al origen, (simetra impar),

significa que si doblamos el plano respecto al eje de ordenadas, y a continuacin

respecto al eje de abcisas, las grficas se superponen. En general, para que una funcin sea simtrica, par o impar, debe cumplirse que el

conjunto Domf sea simtrico respecto del punto x = 0. Ejemplos de funciones peridicas las trigonomtricas.

6) Extremos relativos. Puntos de Inflexin. Los puntos del dominio de f(x) que hay que considerar a la hora de buscar mximos y mnimos, ya sean relativos o

absolutos, deben cumplir alguna de las siguientes condiciones: 1) Sean puntos crticos de f, es decir, sean solucin de la ecuacin f(x) = 0.

53

2) Si Dom f = [a,b], entonces los puntos x = a y x = b.

3) Los puntos del Domf en los que la funcin f(x) no sea derivable. Para buscar los puntos de inflexin estudiaremos los puntos en los que f(x) = 0.

7) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Para determinarlos en una funcin derivable:

1) Buscamos los puntos crticos. 2) Estudiamos el signo de f en cada subintervalo determinado por dos puntos crticos consecutivos.

8) Convexidad y concavidad. Estudiamos la posicin de la curva respecto a su tangente. Para hallar los intervalos de convexidad y concavidad:

1) Se localizan los puntos en los que f se anula o donde no est definida. 2) Se consideran los subintervalos determinados por dos puntos consecutivos

de los determinados anteriormente. 9) Ramas infinitas: asntotas y ramas parablicas. Se hallan las ecuaciones de las asntotas y se estudia la posicin de la curva respecto a ellas. Se hallan las ramas

parablicas y se ve la direccin que sigue la curva. 10) Puntos de interseccin de la curva con las asntotas.

11) Trazado de la grfica.