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Curso 2004/2005 Dpto. Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla

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Teoría de errores y presentación de resultados

Fundamentos Físicos de la Ingeniería1er curso de ingeniería industrial


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Índice

• Cifras significativas• Error en la medida

– Expresión de una magnitud con su error• Regla de redondeo

– Cálculo de errores• Medida directa• Medida indirecta

• Unidades• Rectas de mejor ajuste


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Cifras significativas

• Número de cifras de un dato• Ejemplos:

Dato Cifras significativas318 kg 312.45 V 40.0321 A 323.30 J 445000 m Ambiguo


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Error en la medida

Tipos de error (según la causa)• Sistemático eliminable• Aleatorio bandas de error:

Ej: V0 = 3.2±0.3 V

Expresión del error:• Absoluto: x±Ex ¡Tiene unidades!• Relativo: εx=Ex/x Adimensional


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Expresión de la cantidad con su error

• La banda de error limita el número de cifras significativas:

U=2.32865±0.3 J– Si el resultado es incierto en su primera cifra

decimal no tiene sentido dar más

U=2.3±0.312689 J– Las primeras cifras del error nos dicen donde

está la incertidumbre


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Reglas de redondeo1. Se escriben cantidad y error con todas sus cifras:

2. Se examinan las dos primeras cifras del error: ¿Son ≤25? Si: se retienen ambas y se redondeaNo: se retiene la primera y se redondea

3. Se toman las cifras significativas que marca el error y se redondea

R=2.83256 R=2.83256 ±± 0.08621 0.08621 ΩΩ

R=2.83256 R=2.83256 ±± 0.09 0.09 ΩΩ

R=2.83 R=2.83 ±± 0.09 0.09 ΩΩ

Redondeo: afecta a la última cifra retenida

• Si la siguiente cifra es <5: se mantiene

• Si la cifra siguiente es ≥5: se incrementa una unidad


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Reglas de redondeo1. Se escriben la cantidad y su error con

todas sus cifras:

I= 2.30408415 ± 0.002156 AI= 2.30408415 ± 0.03674 AI= 2.30408415 ± 0.2036 AI= 2.30408415 ± 2.87 AI= 2.30408415 ± 234 AI= 2.30408415 ± 0.00962 AI= 2.30408415 ± 0.257 A

Reglas de redondeo2. Se examinan las dos primeras cifras del

error: ¿Son ≤25? Si: se retienen ambas y se redondeaNo: se retiene la primera y se redondea

I= 2.30408415 ± 0.002156 AI= 2.30408415 ± 0.03674 AI= 2.30408415 ± 0.2036 AI= 2.30408415 ± 2.87 AI= 2.30408415 ± 234 AI= 2.30408415 ± 0.00962 AI= 2.30408415 ± 0.257 A

0.0022 A0.0022 A0.04 A0.04 A0.20 A0.20 A3 A3 A

230 A230 A

0.3 A0.3 A0.010 A0.010 A


8

I= 2.3041 ± 0.0022 AI= 2.30 ± 0.04 AI= 2.30 ± 0.20 AI= 2 ± 3 AI= 0 ± 230 AI= 2.304 ± 0.010 AI= 2.3 ± 0.3 A

I= 2.3041 ± 0.0022 AI= 2.30 ± 0.04 AI= 2.30 ± 0.20 AI= 2 ± 3 AI= 0 ± 230 AI= 2.304 ± 0.010 A

I= 2.3041 ± 0.0022 AI= 2.30 ± 0.04 AI= 2.30 ± 0.20 AI= 2 ± 3 AI= 0 ± 230 A

I= 2.3041 ± 0.0022 AI= 2.30 ± 0.04 AI= 2.30 ± 0.20 AI= 2 ± 3 A

Reglas de redondeo3. Se toman las cifras significativas que

marca el error y se redondea

I= 2.30408415 ± 0.0022 AI= 2.30408415 ± 0.04 AI= 2.30408415 ± 0.20 AI= 2.30408415 ± 3 AI= 2.30408415 ± 230 AI= 2.30408415 ± 0.010 AI= 2.30408415 ± 0.3 A

I= 2.3041 ± 0.0022 AI= 2.30 ± 0.04 AI= 2.30 ± 0.20 A

I= 2.3041 ± 0.0022 AI= 2.30 ± 0.04 AI= 2.3041 ± 0.0022 A


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Cálculo de errores

Estudiaremos diferentes casos:• Medida directa

– Una sola medida– Varias medidas

• Medida indirecta– Función de una sola variable: z=f(x)– Función de varias variables: z=f(x,y,w)


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Error de una medida directa

• El error depende de la precisión del aparato

Aparatos digitales: se toma como error la propia precisión.

Excepción en el redondeo: 0.1 en vez de 0.10

Aparatos analógicos: se toma como error la mitad de la precisión

Pueden tomarse mitades como resultadoSi ha de enrasarse por dos extremos: doble error


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Error de varias medidas directas

• Se realizan si existe una incertidumbre no achacable al aparato de medida:

1

1 n

ii

x xn =

= ∑1 2 3, , ,..., nx x x x• Medidas:

• Resultado: valor medio

• Error: desviación cuadrática media de la media de los datos

Si Ex es menor que el error del instrumento de medida, se escoge este último


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Error de varias medidas directas

• Error: cantidades relacionadas

12 21

n nxE

n nσ σ −= =−

σn : desviación estándar de la población(xσn en las calculadoras)

σn-1 : desviación estándar de la muestra(xσn-1 en las calculadoras)


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Error de una medida indirectaFunción de una variable

• Suponemos: • Resultado:

• Error:

0 con ( )xx x E z f x= ± =

0 0( )z f x=

0

z xx

fE Ex∂

=∂

20

4DS π

=Ejemplo: sección de un cable:

0

0

2s D DD

DSE E ED

π∂= =∂

DError de la medida:


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Error de una medida indirectaFunción de una variable

• Algunos casos sencillos:

y Kx=

• Una variable proporcional a otra:

• Función exponencial:

• Logaritmo:

0

y x xx

yE E KEx∂

= =∂

xy ae= xy x xE ae E yE= =

lny x= xy x

EEx

ε= =


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Error de una medida indirectaFunción de varias variables

• Suponemos:

0 00

22 22 2 2

z x y wx wy

f f fE E E Ex y w

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

0 0 0 ; ; x y wx x E y y E w w E= ± = ± = ±

0 0 0 0( , , )z f x y w=

( , , )z f x y w=

• Resultado:• Error:

Unidades• Todos los datos deben ir acompañados de sus

unidades. También resultados intermedios

• Serie de medidas consecutivas17 mm – 15 mm – 12 mm – 8 mm

17 – 15 – 12 – 8 (mm)

• Tablas:F(N) a(m/s2)1.0 2.12.0 4.33.2 6.2


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Rectas de mejor ajuste

• Estudio de la dependencia (lineal) de una variable con otra. Permite:

Verificar relación linealDeterminar alguna magnitud de forma indirecta (Ej: pendiente en V=IR)Interpolación o extrapolaciónAjustar una función no lineal en una región restringida


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Rectas de mejor ajusteV(mV) I(mA)

1.0 2.82.0 6.22.9 9.13.9 12.55.0 14.76.1 18.17 21.0

8.2 24.29.0 26.510.2 30.011.1 33.511.9 35.9

• Paso 1: gráfica de los datos– Permite verificar relación lineal.– Permite eliminar puntos erróneos.


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Recta de mejor ajusteV(mV) I(mA)

1.0 2.82.0 6.22.9 9.13.9 12.55.0 14.76.1 18.17 21.0

8.2 24.29.0 26.510.2 30.011.1 33.511.9 35.9

V frente a I

0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20 25 30 35 40

I(mA)

V(m

V)


21

Recta de mejor ajusteV frente a I

0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20 25 30 35 40

I(mA)

V(m

V)

• Marcar claramente datos experimentales (aspas si se representan a mano)

• No señalar datos experimentales en los ejes

• Magnitudes y unidades en los ejes

• Debe ocupar toda la página


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Recta de mejor ajusteV frente a I

0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20 25 30 35 40

I(mA)

V(m

V)

2,8

6,2

9,1

12,5

14,7

18,1

21

24,2

26,5

30

33,5

35,9

2,8

6,2

9,1

12,5

14,7

18,1

21

24,2

26,5

30

33,5

35,9

V frente a I

02468

101214161820

0 10 20 30 40 50

I(mA)

V(m

V)

• Marcar claramente datos experimentales (aspas si se representan a mano)

• No señalar datos experimentales en los ejes

• Magnitudes y unidades en los ejes

• Debe ocupar toda la página


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Rectas de mejor ajuste• Paso 2: Obtención del coeficiente de correlación

(r)– Es una medida del grado de alineación– r Є (-1,1)– No tiene error– No tiene unidades– Redondeo: hasta la primera cifra distinta de 9.

Ejemplos:r = 0.999678 r = 0.9996r = -0.99128 r = -0.991r = 1.099678 r = Erróneo


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• Paso 3: Obtención de pendiente y ordenada en el origen: y=ax+b– Tienen unidades que hay que especificar– Tienen error: hay que redondear

Para nuestro ejemplo: V = bI + a

r = 0.99934675 r = 0.9993

b = 0.3366870 Ωb = R = 0.337 ± 0.008 Ω

a = -0.05 ± 0.17 mV

Eb =0.00770058 Ωa = -0.05442597 mVEa = 0.17030002 mV


25


• Paso 4: Trazado de la recta de mejor ajustesobre la gráfica– Se realiza a partir de dos puntos– Estos puntos NO SE REPRESENTAN– Debe observarse si, efectivamente, es la recta

de mejor ajuste


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Rectas de mejor ajusteV frente a I

0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20 25 30 35 40

I(mA)

V(m

V)


27

Rectas de mejor ajuste: ejemplosV frente a I

0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20 25 30 35 40

I(mA)

V(m

V)

¡Recta mal calculada o mal trazada!


28


0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20 25 30 35 40

I(mA)

V(m

V)

¡Punto erróneo!: debe eliminarse


29


0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20 25 30 35 40

¡Faltan etiquetas en los ejes!


30


0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20 25 30 35 40

I(mA)

V(m

V)

¡Recta mal calculada o mal trazada!


31


0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20 25 30 35 40

I

V

¡Faltan puntos experimentales y unidades!


32


0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20 25 30 35 40

I(mA)

V(m

V)

Para gráficas por ordenador: incluir tramas


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0

2

4

6

8

10

12

14

0 5 10 15 20 25 30 35 40

I(mA)

V(m

V)

Datos caso 1Recta caso 1Datos caso 2Recta caso 2

Para varias curvas: distintos símbolos y colores


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Rectas de mejor ajusteResumen de pasos a seguir:• Representar los datos experimentales

• Obtener el coeficiente de correlación

• Calcular de la pendiente y la ordenada en el origen con su error

• Obtener información física

• Representar la recta de mejor ajuste

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