Modelos de Colas y Planeamiento de la Capacidad Book: Service Management. Fitzsimmons & Fitzsimmons.Dr. Juan Cevallos

Retos de la Planificacin de la CapacidadLa incapacidad para crear un flujo constante de la demanda para utilizar plenamente la capacidadCapacidad ociosa siempre una realidad para los servicios.Llegadas del cliente fluctan y demandas de servicio varan tambin.Los clientes son participantes en el servicio y el nivel de congestin impacta sobre la calidad percibida.Incapacidad para controlar los resultados de la demanda y medirla en trminos de insumos (por ejemplo, nmero de habitaciones de hotel en lugar de pernoctaciones).

Rol Estratgico de las decisiones sobre capacidadUtilizar la capacidad de largo alcance como una accin preventiva, cuando el mercado es demasiado pequeo para dos competidores (por ejemplo, la construccin de un hotel de lujo en una ciudad de tamao medio)Falta de planificacin de la capacidad a corto plazo puede generar clientes para la competencia (por ejemplo, la dotacin de personal restaurante).Decisiones sobre capacidad que balancean costos de prdida de ventas si la capacidad es insuficiente frente a las prdidas si la demanda no alcanza las expectativas.Estrategia de construccin por delante de la demanda se toma a menudo para evitar la prdida de clientes.

Planificacin de la Capacidad Tienda de galletas y helados Enfoque InicialUn estudiante emprendedor est considerando abrir una Tienda de Cookies y Ice Cream" tienda en el espacio que se ha dispuesto en un patio de comidas (food court). Las observaciones de trfico durante la hora del almuerzo sugieren una demanda pico potencial de 50 clientes, cada pedido en promedio: un helado, una orden de seis galletas y un refresco de 12 onzas como autoservicio; y el uso de una mesa por 20 minutos.

Una bandeja de galleta puede acomodar una docena de galletas y su tiempo de coccin es de 10 minutos. Un servidor requiere un promedio de 6 minutos para tomar un pedido, mezclar un lote de galletas, hacer el cambio, preparar el helado, y preparar la orden. Los requisitos de capacidad se determina mediante el clculo de las unidades de instalaciones, equipos y mano de obra necesaria para dar cabida a la demanda mxima (pico) prevista.

Requisitos de InstalacionesIncluye los asientos necesarios para dar cabida a los comensales. Vamos a utilizar una relacin llamada "Little's Law", para el clculo de los asientos necesarios. Esta ley establece que el nmero promedio de clientes en un sistema de L es igual a la tasa de llegada por el promedio de tiempo de espera W; o L = W. Con 50 clientes que llegan durante la hora pico y cada uno con estada de aproximadamente 20 minutos, o un tercio de hora; luego, necesitamos (50) (20/60) = 16,7 sillas.

Requisitos de EquiposNumber of cookie sheets needed = (50 customers/hour)(6 cookies/order) = 4.16 (12 cookies/sheet)(6 cycles/hour) Incluye el clculo del nmero de bandejas de galleta necesario. Esto se determina dividiendo el nmero total de las cookies ordenadas la hora entre la capacidad de una bandeja de horno que se utiliza para slo 10 minutos por lotes (reutilizados 6 veces por hora). Suponga que las rdenes se pueden combinar para llenar una bandeja. Nmero de bandejas para galletas necesarios = (50 clientes /hora) (6 galletas / orden) = 4,16 (12 galletas/bandeja) (6 ciclos / hora)

Requisitos de Mano de ObraCalcule el nmero de servidores necesarios. Al igual que en los clculos del equipo, se divide el total de minutos de tiempo de servidores demandados por hora entre una unidad de capacidad de servicio (60 minutos para la hora) Nmero de servidores necesarios = (50 clientes / hora) (6 minutos cada uno) = 5,0 (60 minutos / hora) Nota: Se trata de un anlisis bsico que se revisar con el anlisis de colas

Modelos de Colas AnalticosNotacin para los modelos de colas de servidor paralelo: A / B / C, A = distribucin de tiempo entre llegadas, B = distribucin de los tiempos de servicio; C = nmero de servidores en paralelo.M = distribucin de tiempos entre llegadas o servicios exponencial (o el equivalente de la distribucin de Poisson de llegada o de tasa de servicio)D = tiempo de servicio o entre llegadas, determinstico o constante.Ek = distribucin Erlang con parmetro de forma k (si k = 1, entonces Erlang es equivalente a la exponencial; Si K = inf, entonces, Erlang es equivalente a determinstico)G = distribucin general con media y varianza (normal, uniforme, o cualquier distribucin emprica)

M/M/1: designa a modelo de cola de servidor nico con tasa de llegadas de Poisson y distribucin exponencial del tiempo de servicio. En la siguiente figura: clasificacin de modelos de colas.

Clasificacin de Modelos de Colas

Standard M/M/1; Standard M/M/c; Standard M/G/1; Self service M/G/inf; Finite queue M/M/1; Finite-Queue M/M/cEstado transitorio: Los valores de las caractersticas de funcionamiento son independientes del tiempo.El estado de equilibrio: las caractersticas del sistema son independientes del tiempo, y el sistema se considera en equilibrio estadstico.Las ecuaciones de los modelos de colas son los siguientes: Standard M/M/1, Standard M / M / c; Standard M/G/1; Autoservicio M / G / inf; Cola Finita M/M/1; Cola Finita M / M / c

Los smbolos usados son:n= nmero de clientes en el sistema = tasa de llegada media (llegada de clientes por hora). = tasa de servicio media por servidor ocupado (capacidad de servicio en clientes por hora) = / nmero medio de clientes en servicioN= nmero mximo de clientes permitidos en el sistema.c= nmero de servidoresPn= probabilidad de exactamente n clientes en el sistemaLs= nmero medio de clientes en el sistemaLq = nmero medio de clientes en colaLb= nmero medio de clientes en cola para un sistema ocupado

Ws = tiempo medio que cliente pasa en el sistema.Wq = tiempo medio que cliente pasa en colaWb = tiempo medio que cliente pasa en cola para un sistema ocupado.

Frmulas de ColasSingle Server Model with Poisson Arrival and Service Rates: M/M/1

1. Mean arrival rate:2. Mean service rate:3. Mean number in service:4. Probability of exactly n customers in the system:5. Probability of k or more customers in the system:6. Mean number of customers in the system:

7. Mean number of customers in queue:

8. Mean time in system:

9. Mean time in queue:

Queuing Formulas (cont.)

Single Server General Service Distribution Model: M/G/1

Mean number of customers in queue for two servers: M/M/2

Relationships among system characteristics:

Relaciones de Costos de un sistema de colasSea: Cw = Costo de un cliente de esperar en una cola por una horaCs = Costo por hora de servidorC = Nmero de servidores Lq= Nmero promedio de clientes en colaCosto Total/hora = Costo de servicio por hora + Costo de espera del cliente por horaCosto Total/hora = Cs C + Cw Lq (Slo considere sistemas where donde

Modelo Standard M/M/1Asunciones:Poblacin atendida: Una poblacin infinitivo o muy grande de clientes que llegan. Una cita no es necesaria.Proceso de llegadas. Distribucin exponencial negativa de los tiempos entre llegadas o la distribucin de Poisson de tasa de llegada.Configuracin de cola. Una sola lnea de espera, sin restricciones de longitud y no poniendo obstculos o rechazos.Cola de la disciplina. Primero llegar, primero servir PLPS.Proceso de servicio. Un servidor con una distribucin exponencial negativa de los tiempos de servicio.

Modelo Standard M/M/1nico servidor: crculo dentro del Cuadrado (un cliente en servicio) La tasa de llegada de Poisson tiene una media de Tasa media de servicio: Tres clientes en la cola de Lq Cuatro clientes en el sistema Ls Ecuaciones en el Apndice D.

Modelo Standard M/M/1 : EcuacionesP0= 1- (I.1.) P(nk)= k (I.2)Pn= P0n (I.3) Ls = /(- ) (I.4) Lq = /(- ) (I.5) Lb = /(- ) (I.6)Ws=1/(- ) (I.7) Wq= /(- ) (I.8) Wb=1/(- ) (I.9)

Note: =/

Ejemplo: Rampa para botesEl Lago Travis tiene una rampa de lanzamiento cerca de la presa para las personas que remolcan sus botes al sitio de recreo. Un estudio de llegada de coches que llegan con sus botes remolcados indica una distribucin de Poisson con una tasa media de = 6 botes por hora de lanzamiento por la maana. Un examen de los datos recogidos de los tiempos de lanzamiento sugiere una distribucin exponencial con una media de 6 minutos por bote (equivale a una tasa de servicio = 10 botes lanzados por hora) es un buen desempeo.

If the other assumptions for an M/M/1 model apply (infinte calling population, no queue lenght restrictions, no balking or reneging, and FCFS queue discipline), then the equations found in Appendix D may be used to calculate the system characteristics.Si los dems supuestos de un modelo M/M/1 se aplican (poblacin por atender infinita, sin restricciones de longitud de la cola, no poniendo obstculos o no rechazos, y la disciplina de cola PLLPS), entonces las ecuaciones que se encuentran en el Apndice D se puede utilizar para calcular las caractersticas del sistema.(Nota: =/ =6/10=0.6)

SolucinProbabilidad que un cliente que llegue espere (para k=1): P(nk)=1 =0.61=0.6 (I.2) Probabilidad de encontrar la rampa vaca: P0= 1- = 1 0.6 = 0.4 (I.1.)Nmero medio de botes en el sistema : Ls = /(- ) = 6/(10-6) = 1.5 botes (I.4) Nmero medio de botes en cola: Lq = /(- ) = (0.6)(6)/(10-6) = 0.9 botes (I.5) Tiempo medio en el sistema: Ws=1/(- )= 1/(10-6)= 0.25 hora ( 15 min) (I.7)Tiempo medio en cola : Wq= /(- ) = 0.6/(10- 6)= 0.15 hora (9 min) (I.8)

Se encuentra que la rampa de botes esta ocupada 60% del tiempo.Las llegadas pueden esperar acceso inmediato a la rampa sin demora 40% del tiempo.Tiempo medio en el sistema Ws = 15 min es la suma de los tiempos medios en cola Wq= 9 min + tiempo medio de servicio = 6 min.Las llegadas pueden esperar encontrar N botes en el sistema Ls = 1.5 botes y N en cola Lq= 0.9 botes.El nmero esperado de botes en cola Lq= 0.9 botes + nmero esperado de botes siendo lanzados; deben sumar el nmero esperado de botes que se espera encontrar en el sistema Ls = 1.5 botes .

El N esperado de botes siendo lanzados en el sistema es el N esperado ser servidos = Nmero esperado cuando vaco P0(0) + Nmero esperado cuando ocupado P(n>0)(1) =(1-) (0) + (1) = = 0.6 botes en el proceso de lanzamiento de un bote + 0.9 botes en promedio en cola = 1.5 botes esperados en el sistema.La probabilidad n de clientes en el sistema: Pn= P0n = (1-) n (I.3)

Si queremos determinar el nmero de plazas de aparcamiento necesarias para garantizar que el 90% del tiempo, una persona que llega a la rampa del barco encuentra un espacio para estacionar a la espera de su lanzamiento.Mediante el uso repetido de la distribucin de probabilidad para los estados del sistema de valores crecientes de n; se acumulan las probabilidades de estado del sistema, hasta el 90% de aseguramiento se supere. Vea la tabla.

Un estado de sistema de n=4 o menos ocurrir el 92% del tiempo. Entonces, el rea para 4 remolques de botes debe ser provisto porque 92% de las veces de llegadas se encontrar 3 (4 1 siendo servido) o menos personas esperando en cola para ser lanzados.

nPnP(nmero de clientes n)01234(0.4)(0.6)0 = 0.4(0.4)(0.6)1 = 0.24(0.4)(0.6)2 = 0.144(0.4)(0.6)3 = 0.0864(0.4)(0.6)4 = 0.0518440.40.640.7840.87040.92224

Modelo de Cola Finita M/M/1Suponga que N es el nmero mximo de clientes permitidos, o, en un modelo de servidor nico, que la N-1 indica el nmero mximo de clientes en la cola.Si un cliente llega a un punto en el tiempo cuando N clientes ya estn en el sistema, entonces los que llegan salen sin solicitar el servicio.Ejemplo: las centrales de llamadas telefnicas en las que las llamadas que entran se ponen en comunicacin hasta que todas las lneas troncales estn en uso y, a continuacin, cualquier persona ms que llama va a recibir una seal de ocupado.

Tenga en cuenta que la intensidad del trfico ahora podr ser superior a la unidad. PN representa la probabilidad de no unirse al sistema, y PN es el nmero esperado de clientes que se han perdido.Suponga que la sala de espera con capacidad de slo dos remolques de embarcaciones. Por lo tanto, N = 3 para el sistema. Usando las ecuaciones V.1 y V.5 se puede calcular las probabilidades de 0,1,2 y 3 clientes estando en el sistema cuando N = 3 y = 0.6.

P0 = (1-)/(1- N+1) ; for (V.1)Pn = P0n ; for n NLuego : Note que esta distribucin da totales de 1.00, lo que indica que se han representado todos los estados posibles del sistema. El estado del sistema n = 3 se produce el 10% del tiempo.

nCalculo P0 Pn0123((1-0.6)/(1- 0.64))(0.6)0((1-0.6)/(1- 0.64))(0.6)1((1-0.6)/(1- 0.64))(0.6)2((1-0.6)/(1- 0.64))(0.6)30.460.270.170.101.00

Con una tasa de llegada de 6 personas por hora, 0,6 personas por hora (6x0.10) encuentra la falta de espacio de espera y ver por otra parte para lanzamiento de su bote. Usando V.4, podemos calcular el nmero esperado en el sistema de Ls = 0,9. Se procesan slo el 90% de las llegadas.

= 1.5 0.6 = 0.9

Modelo M/G/1Para un Modelo M/G/1, cualquier distribucin del tiempo de servicio general con media E (t) y la varianza V (t) puede ser utilizado. La condicin de que

En la ecuacin III.2 the appearance of the service time variance term V(t) provides some interesting insights. la aparicin del tiempo de varianza del servicio V (t) proporciona algunas ideas interesantes.Es evidente que el nmero esperado de clientes en espera para el servicio se relaciona directamente con la variabilidad de los tiempos de servicio. Esto sugiere que la espera del cliente se puede reducir mediante el control de la variabilidad en los tiempos de servicio. Ejemplo, el men limitado de restaurantes de comida rpida contribuye a su xito, ya que dicha reduccin en la variedad de comidas que ofrece permite la estandarizacin del servicio

La variancia de la distribucin exponencial es 1/2 , y note que sustituyendo este valor para V(t) en la ecuacin III.2 da Lq = 2/(1-), que es equivalente a la ecuacin I.5 para el modelo standard M/M/1. Ahora considere el modelo M/D/1, con un tiempo de servicio determinstico y 0 de variancia. De acuerdo con la ecuacin III.2, cuando V(t)=0, entonces Lq= 2/(2(1-)).As, la mitad de la congestin medida por Lq se explica por la variacin en los tiempos de servicio.

Esto implica que la variabilidad en el tiempo entre llegadas de las explica la congestin restante. Existe un potencial considerable para reducir la congestin, simplemente mediante el uso de citas o reservas para controlar la variabilidad en las llegadas. La congestin en un sistema de espera se debe en partes iguales por la variabilidad en los tiempos de servicio y los tiempos entre llegadas, por lo tanto, las estrategias para el control de la congestin debe abordar ambas fuentes.

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