teoremas energeticos 42 73
DESCRIPTION
Ejercicios EstructuralTRANSCRIPT
-
Teoremas energticos fundamentales del anlisis estructural
Ejemplos
-
11. Estructura hiperesttica. Mtodo de flexibilidad (1)
5 m
1 2 3
10 m
5 m
P=1000
A B C
ABC rgida.
Barras 1,2,3 iguales. L=5 m
h=1
1 2 3
3 2
0
0 15 5 5
Y
A
F N N N P
M N N P
Equilibrio de la barra ABC:
2 ecuaciones, 3 incgnitas
Despejamos N1 y N3 en funcin de N2
1 2
3 2
2 2
3 31 1
3 3
N P N
N P N
Consideramos N2 redundante
(Esttica)
N1
P=1000
N2 N3
-
21. Estructura hiperesttica. Mtodo de flexibilidad (2)
Ecuacin de compatibilidad extra (2 T. Engesser)
* 21
2 jL
U NEA
*1 2 3
1 2 32 2 2 2
0U L N L N L N
N N NN EA N EA N EA N
*
2
0U
N
1 2 32 11 03 3
N L N L N L
EA EA EA
1 2 3
2 10
3 3N N N Ecuacin de compatibilidad extra
Se elimina L/EA
-
31. Estructura hiperesttica. Mtodo de flexibilidad (3)
2 ecuaciones de la esttica + la ecuacin extra: 3 ecs. y 3 incgnitas
1
2
3
0.429
0.357
0.214
N P
N P
N P
(Esttica)
Resolviendo:
Sustituyendo se obtiene N2
1 2
3 2
2 2
3 31 1
3 3
N P N
N P N
1 2 3
2 10
3 3N N N
Alargamientos:
1
2
3
2.145 /
1.785 /
1.070 /
P EA
P EA
P EA/Lj jN L EA
-
42. Prtico sencillo isosttico. Energa
2 2
2 2
N MU dx dx
EA EI
2 2 2
0 0 0
( ) ( ) ( )
2 2 2
H L HP Px PL
U dx dx dxEA EI EI
2 2 3 2 2
2 6 2
P H P L P LHU
EA EI EI
Trminos:
1. Compresin poste
2. Flexin viga
3. Flexin poste
21 3
6 3 3 21.8 10 1.2 10 3 10U P
H=400 cm L=500 cm IPE 300 A=53.8 I=8360
PL
PL
N=-P
x
N=0
L
H
P
-
52. Prtico sencillo isosttico. Deformacin vertical
3 2
3YU PH PL PLH
P EA EI EI
Derivada es inmediata,
pues U(P)
1. Compresin poste 2. Flexin viga 3. Flexin poste
2 2 3 2 2
2 6 2
P H P L P LHU
EA EI EI
Comprobacin. Trabajo de la fuerza exterior
2 2 3 2 21
2 2 6 2YP H P L P LH
W P UEA EI EI
Y
U
P2 Teorema de Castigliano
D1
D2=PL3/3EI
D3=qL
q
q
-
63. Prtico sencillo isosttico. Deformacin horizontal. Planteamiento
Caso virtual unitario
V VM M M V N N N V
Caso real
2 2
2 2
N MU dx dx
EA EI0
X
V
U
V
PL
PL
N=-P
P
N=0
DX
H
Nv=0
V=1
Nv=1
Mv
+ V=0+
-
73. Prtico sencillo isosttico. Deformacin horizontal. Desarrollo.
Caso virtual
V
V
M M M V
N N N V
Caso real
2 2
2 2
N MU dx dx
EA EI
0 0
2 2
2 2XV V
U N N M Mdx dx
V EA V EI V
0 0V VV VX
N MN dx M dx
EA EI
V VX
N MN dx M dx
EA EI
H
Nv=0
V=1
Nv=1
Mv
+
PL
PL
N=-P
P
N=0
DX
-
83. Prtico sencillo isosttico. Deformacin horizontal. Clculo
Caso virtual unitarioCaso real
PL
PL
N=-P
P
N=0
DX
x
H
Nv=0
V=1
Nv=1
Mv
x
V VX
N MN dx M dx
EA EI
0
(0) ( ) ( ) ( )(1) (0) (0) ( )
H
X
P Px PLdx dx dx x dx
EA EA EI EI
2
2XPL H
EI
-
94. Prtico isosttico. Fuerza horizontal. Deformacin vertical
Caso virtual unitarioCaso real
PH
N=0
P
N=PDY
x
L
Nv=0
V=1
Nv=-1
Mv
xL
V VY
N MN dx M dx
EA EI
0
(0) ( ) ( )( 1) (0) ( )
H
Y
P Pxdx dx L dx
EA EA EI
2
2YPH L
EIIgual a la DX si la fuerza es PY
-
10
Prtico isosttico. Fuerza - Deformacin recprocas
Fuerza horizontal
Deformacin verticalFuerza vertical
Deformacin horizontal
2
2Y XP PX Y
PHL
EI
P
DX P
DY
No es casualidad. Consecuencia del Teorema
de reciprocidad de deformaciones de Maxwell
-
11
5. Viga apoyada. Carga uniforme. Deformacin en el centro
2
2 2
qLx qxM
0 /22
V xM x L
Caso V
/2 2 4
0 0
1 52
2 2 2 384
LLV
Y
M qLx qx x qLM dx dx
EI EI EI
Momento flector:
x
D
qL2/8
x
1
L/4
MV
Tablas:
42 2
0
5( /2)( /2)1
3 8 4 384
LV
Y
qLL L LM qL LM dx
EI EI L EI
-
12
5. Viga apoyada. Carga uniforme. Energa
2
2 2
qLx qxM
22 2 2 5
0 0
1
2 2 2 2 240
L LM qLx qx q L
U dx dxEI EI EI
Momento flector:
x
D
L=500 m q=12 kg/cm IPE 160 E=2.1 106 kg/cm2 I=869 cm4
Mmax= 375000 cm kg smax=3452 kg/cm2 sE=3600 kg/cm
2
U = 10275 (cm-kg) = 1008 (J) = 241 (cal)
Atencin: Flecha 5 cm (L/100) muy alta
-
13
6. Pieza curva. Energa. Deformacin vertical
cos
cos
sen
M PR
N P
Q P
2 2
2 2
N MU ds ds
EA EI
/2 /22 2 2 2 2
0 0
cos cos
2 2
P P RU Rd Rd
EA EI
2 2 3
8 8
P R P RU
EA EI
Deformacin:3
4 4YU PR PR
P EA EI
P
q
N
M
Q
R
P
DY
R h
-
14
6. Pieza curva. Energa. Deformacin horizontal
cos
cos
sen
M PR
N P
Q P
/2 /2
0 0
( cos ) ( cos )sen ( sen )X
P PRRd R R Rd
EA EI
3
2 2XPR PR
EA EI
1
q
NV
MV
QV
( sen )
sen
cos
V
V
V
M R R
N
Q
V VX
N MN ds M ds
EA EI
R
P
DXCaso VCaso real
-
Aplicacin a celosas planas de los teoremas energticos del anlisis estructural
Ejemplos
-
1. Celosa simple isosttica
L L
P
A BC
D
L
-
21. Celosa simple isosttica. Deformacin (1)
2 23 2 2
2 4j jN L P LUEA EA
L L
P/2 P/2
P-P/2 -P/2
P
A BC
D
L
Trabajo de la fuerza P:
Barras misma rea.
1
2 CYW P
Frmula de Clapeyron: W U
21 3 2 2
2 4CYP L
PEA
3 2 2
2CYPL
EA
Energa acumulada:
Esfuerzos por el mtodo de los nudos.
-
31. Celosa simple isosttica. Deformacin (2)
2 Castigliano CYU
P
1 1 2 1 2 1
2 2 2 2 2 2 2 2CYP L P L P L P L
EA EA EA EA
3 2 2
2CYPL
EA
2
2j jN LUEA
j j jCY
N L NU
P EA P
Barras misma rea.
Esfuerzos por el mtodo de los nudos.
L L
P/2 P/2
P-P/2 -P/2
P
A BC
D
L
-
2. Celosa simple isosttica
3 m 3 m
P2
A
4 m
P1
-
52. Celosa simple isosttica. Esfuerzos
2 21 2
2 2
N L N LU
EA EA
Barras misma rea.
Energa acumulada:
Esfuerzos por equilibrio de A.
3 m 3 m
P2A
4 m
P1
1 2
L=5 m
2 2 1
1 1 2
sen sen
cos cos
P N N
P N N
1 1 2
2 1 2
5 5
8 65 5
8 6
N P P
N P P
P2
P1
N1 N2a a
-
62. Celosa simple isosttica. Deformacin (1)
1 1 2 2
2 2
2 2
2 2AXN L N N L N
EA P EA P
Deformacin X de A. P2
A
P1
1 2
DAX
2AX
U
P
1 22 25 5
2 6 2 6AXN L N L
EA EA
250
36AXPL
EA
Sustituyendo N
2 Teorema de Castigliano
-
72. Celosa simple isosttica. Deformacin (2)
1 1 2 2
1 1
2 2
2 2AYN L N N L N
EA P EA P
Deformacin Y de A.P2
A
P1
1 2
DAY
1AY
U
P
1 22 25 5
2 8 2 8AXN L N L
EA EA
150
64AXPL
EA
Sustituyendo N
2 Teorema de Castigliano
-
3. Celosa hiperesttica
Aplicacin (intuitiva) del mtodo de rigidez
4 m
PA
1
2
3
3 m
3 m
a
-
93. Celosa hiperesttica (1: estudio de la deformacin)
4 m
PA
1
2
3
3 m
3 m
a
Barras iguales.
21
2 Ljj
EAU
L
1
2
3
cos 4 / 5
cos 4 / 5
L X X
L X
L X X
A
DX
DX cosa
a
a
DX cosa
Deformacin de la estructura:
Punto A se mueve en horizontal
b=3 r=6 n=4 h=1
-
10
3. Celosa hiperesttica (2: resolucin)
DL1=4 DX /5
DL3=4 DX /5
DL2=DX
2 2 2(4 / 5) ( ) (4 / 5)
2 5(m) 2 4(m) 2 5(m)X X XEA EA EAU
2253 ( )1000 X
U EA
Teorema 1 de Castigliano:
2 253
1000 XX
UP EA
500
253XP
EA
Ecuacin de equilibrio de la estructura
en la direccin de DX
Dada P, hallamos la deformacin
-
11
3. Celosa hiperesttica (3: esfuerzos en las barras)
Alargamientos de las barras
1
2
3
4004 / 5
253500
253400
4 / 5253
L X
L X
L X
P
EAP
EAP
EA
Esfuerzos en las barras
j Ljj
EAN
L
1
2
3
80
253125
25380
253
PN
PN
PN
DL1=4 DX /5
DL3=4 DX /5
DL2=DX
-
4. Celosa hiperesttica
Aplicacin (intuitiva) del mtodo de flexibilidad
4 m
PA
1
2
3
3 m
3 m
a
-
13
4. Celosa hiperesttica. Mtodo de flexibilidad (1)
4 m
P1A
1
2
3
3 m
3 m
a
P2
Barras iguales.
1 1 2 3
2 1 3
cos cos
sen sen
P N N N
P N NP2
a
N1
N2
N3
P1
Equilibrio del nudo A: 2 ecuaciones, 3 incgnitas
b=3 r=6 n=4 h=1
Despejamos N1 y N3 en funcin de N2
1 1 2 2
3 1 2 2
5 5 5
8 6 85 5 5
8 6 8
N P P N
N P P N
Consideramos N2 redundante(1)
-
14
4. Celosa hiperesttica. Mtodo de flexibilidad (2)
Ecuacin de compatibilidad extra (2 Engesser)
* 21
2j
j
LU N
EA
*1 1 2 2 3 3
1 2 32 2 2 2
0U L N L N L N
N N NN EA N EA N EA N
*
2
0U
N
1 1 2 2 3 35 51 08 8
N L N L N L
EA EA EA
1 2 35 5 4 5 51 08 8
N N N
EA EA EA
1 32
25 254 0
8 8
N NN Ecuacin de compatibilidad extra
P1A
1
2
3
a
P2
Se simplifica EA
-
15
4. Celosa hiperesttica. Mtodo de flexibilidad (3)
2 ecuaciones de la esttica (1) y la ecuacin extra: 3 ecs. y 3 incgnitas
1 1 2
2 1
3 1 2
80 5
253 6125
25380 5
253 6
N P P
N P
N P P
1 1 2 2
3 1 2 2
5 5 5
8 6 85 5 5
8 6 8
N P P N
N P P N(1)
1 32
25 254 0
8 8
N NN
Resolviendo:
Sustituyendo sale N2
-
16
4. Celosa hiperesttica. Mtodo de flexibilidad (4)
Deformacin vertical (2 Castigliano)
* 21
2j
j
LU N
EA
*1 1 2 2 3 3
2 1 2 32 2 2 2
U L N L N L NN N N
P EA P EA P EA P
*
22
U
P
1 2 32 1 2 3
5 50
6 6
L L LN N N
EA EA EA
2 1 3
5( ) 5( )6
mN N
EA2 2
250(m)
36P
EA
P1A
1
2
3
a
P2