UNLZ - FI – ELECTROTECNIA – Primer cuatrimestre 2016 – Laura Duran

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TP Nº 3 – Teoremas de resolución de circuitos de Corriente Alterna

Problema Nº 1 Mediante el método de mallas, hallar la intensidad de corriente que circula por la impedancia , debida a cada una de las fuentes.

( )

( )

( )

( )

( )

Conceptos previos de interés

Definiciones

Nudo. Es un punto de conexión de tres o más hilos conductores. No debe confundirse un nudo con un simple cruce de hilos entre los que no se produce conexión eléctrica.

Rama. Es el tramo de hilo conductor comprendido entre dos nudos.

Malla. Es cualquier camino cerrado que pueda ser definido en el circuito.

Leyes fundamentales de los circuitos eléctricos

Las leyes básicas de los circuitos eléctricos se deducen como consecuencia de la interconexión de los diferentes elementos que constituyen el circuito, que impone restricciones en las relacio-nes entre las tensiones y las corrientes. Estas restricciones se conocen como Leyes de Kirch-hoff. La primera se denomina Ley de Kirchhoff para la corriente y se basa en el principio de con-tinuidad de la corriente eléctrica. La segunda es la Ley de Kirchhoff para la tensión y se basa en el principio de conservación de la energía.

Ley de Kirchhoff para la corriente. La suma algebraica de las intensidades de corriente que concurren en un nudo es igual a cero. El número de ecuaciones independientes que pueden definirse por la aplicación de esta ley es de ( ), siendo el número de nudos.

Ley de Kirchhoff para la tensión. La suma algebraica de las diferencias de potencial de todos los elementos incluidos en una malla es igual a cero. El número de ecuaciones indepen-

dientes que pueden definirse por la aplicación de esta ley es igual al número de ramas, , me-nos el de nudos menos uno, ( ). Es decir, del número total de mallas, , sólo proporcionan

ecuaciones independientes un total de ( ). Esto debe ser así ya que al sumar estas ecuaciones a las aportadas por la primera ley, se obtiene precisamente el número de incógnitas,

.

Aclarados estos conceptos y basados en los mismos, pasaremos a resolver el ejercicio.

Resolución

El método de las corrientes de malla es un medio de resolución de circuitos que consiste en la aplicación sistemática de la Ley de Kirchhoff para la tensión a lo largo de diversos caminos ce-rrados, que formarán un conjunto de mallas independientes del circuito.

El circuito del problema consta de tres nudos y cinco ramas por lo que el número de mallas independientes es tres, ya que según se explicó, . Se han elegido las tres mallas indicadas en la figura 11.

1 Como no se dan las polaridades de las fuentes, se adoptan las indicadas en la figura.

Figura 1

Z₁

Z₂

Z₃ Z₄

Z₅+ ‒

𝐦𝐈 𝐦𝐈𝐈 𝐦𝐈𝐈𝐈 ‒ +∿ U₁ ∿ U₂

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En cada una de las mallas se supone la existencia de una corriente, llamada corriente de malla. A estas intensidades de corriente se les supone un sentido de circulación elegido arbitrariamen-

te, como se muestra en la figura 2. Posteriormente procedemos a asig-nar los potenciales en cada una de las impedancias. Para definir las polaridades en los elementos pasi-vos, debemos tener en cuenta que la corriente va en el sentido del po-tencial decreciente (de a ), por tal motivo cuando definimos los sen-

tidos arbitrarios de circulación de las corrientes de malla, quedan definidas las polaridades co-rrespondientes en cada una de las impedancias por las cuales circulan estas corrientes.

Ulteriormente, se aplica la Ley de Kirchhoff para la tensión a cada una de las mallas teniendo en cuenta que existen elementos comunes a más de una malla que, por tanto, estarán recorridos por más de una corriente. Las ecuaciones que se obtienen para estas tres mallas son:

Malla I ( ) ( ) (1)

Malla II ( ) ( ) (2)

Malla III ( ) ( ) (3)

Sustituyendo por los valores dados y calculando2, se obtiene

( )

( )

( ) √

( )

( )

( ) ( ) ( ) √

( ) ( ) ( ) ( ) √

( ) ( ) ( )

(4)

Reemplazando los resultados obtenidos en ( ) en las ecuaciones ( ), ( ) y ( ), se tiene

√

√

Este sistema de ecuaciones puede expresarse en forma matricial de la siguiente manera:

[

] [

] [

]

O lo que es lo mismo,

[ ][ ̈] [ ̈ ]

donde la matriz [ ] se denomina matriz de impedancias, [ ̈] es la matriz columna de intensida-

2 Para facilitar el desarrollo algebraico en la resolución del problema, las correspondientes unidades se

expresarán sólo en el resultado final de cada cálculo.

Figura 2

Z₁

Z₂

Z₃ Z₄

Z₅

+

+

+

+

+

+

+

+

+

‒ ‒ ‒

‒ ‒

‒ ‒

‒

‒ 𝐈𝐈 𝐈𝐈𝐈 𝐈𝐈𝐈𝐈 ∿ U₂ ∿ U₁

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des de corriente de malla (incógnitas del sistema) y [ ̈ ] es la matriz columna de excitaciones.

Para resolver esta ecuación matricial se puede utilizar la Regla de Cramer. Las corrientes de malla se obtienen de forma general mediante la ecuación:

en la que es el determinante de la matriz de impedancias y es el determinante de la ma-triz obtenida de sustituir la columna por la matriz columna de excitaciones. Por lo tanto, las expresiones de las corrientes de malla quedan definidas por:

(5)

(6)

(7)

Cálculo de

[

√

√

] √ [( √ ) ( )]

( ) ( ) [ ( ) ( √ ) ]

√ √ ( ) ( ) ( )

( ) (8)

Como sólo se nos pide determinar la corriente que pasa , y como además la corriente que circula por la malla II es igual a la corriente solicitada, , procedemos al cálculo de

[

√

] √ ( )

( ) ( )

√ ( ) ( )

( ) (9)

Finalmente, reemplazando los valores obtenidos en ( ) y ( ) en la ecuación ( ), se tiene que la corriente de la malla dos es:

Además, como , se tiene que la corriente que circula por es:

Análogamente se podrían calcular y , para determinar las corrientes y si fuera necesario.