teorema rouché discusión sistemas
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1 Si tenemos un sistema compatible indeterminado de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, ¿se
puede conseguir un sistema incompatible añadiendo una tercera ecuación? Explicar la respuesta y dar un ejemplo.
Solución: Sí se puede conseguir. Basta con añadir una ecuación contradictoria con las otras dos. Por ejemplo:
6y2x2
3yx
Es un sistema compatible indeterminado. Si añadimos una tercera ecuación contradictoria a estas dos se tendrá un sistema incompatible:
4yx
6y2x2
3yx
2 Resuelve y clasifica los siguientes sistemas: a)
1yx
3y2x
b)
1.z3y2x
Solución: En el caso a) y operando sobre el sistema se tiene y = 2x - 3; y = x -1 de lo que se deduce x = 2 e y = 1 SCD En el caso b) todas las soluciones tienen la forma (x , y , z) del tipo (x , y , 2x -3y -1). Las soluciones de la forma:
1μ3λ2z
μy
λx
Es SCI
3 Resolver y clasificar el sistema:
0zyx
32zy2x
1zyx
Solución: Operando sobre el sistema:
μ)λ,μ,λ(z,yx
μ)λ,μ,2
λ
2
3(z,
2
y
2
3x
μ)λ,μ,λ(1z,y1x
0zyx
3z2yx2
1zyx
Las soluciones del sistema han de verificar:
.4
3μ0queloconμ,
4
1
2
3μ
2
11μ
2
λ
2
3μλ1
y2
1λquelocon0,μ0λ21μλμλ1
2
1λ
Ningún número real verifica la ecuación, en consecuencia, el sistema carece soluciones. El sistema es incompatible.
4 Estudiar la compatibilidad de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
362y4x
8y2xc);
64y2x
32yxb);
22y3x
35y2xa)
Solución: a) El rango de la matriz de coeficientes es dos, pues la matriz del sistema:
23
52
es equivalente a la matriz:
190
156
46
156
Cuyo rango es dos. La matriz ampliada:
223
352
Tiene rango dos, luego es compatible y determinado b) El rango de la matriz de coeficientes es uno, pues la segunda fila se obtiene multiplicando la primera por - 2. El rango de la matriz ampliada es uno, pues:
000
642
642
642
642
321
Entonces se tiene un sistema compatible. c) El rango es uno, de la matriz de coeficientes:
24
12
Pues:
00
24
24
24
24
12
El rango de la matriz ampliada es dos, pues:
2000
1624
3624
1624
3624
812
Entonces se tiene un sistema incompatible.
5
Dado el sistema
4ny1)x(2nn
1nyxn
2
2
en función del parámetro n: a) Escríbelo en forma matricial. b) Discútelo. c) Resuélvelo para n = 3.
Solución:
a)
n411)n(2n
1nn2
2
b)
2
1n1,n0,n01)nn(2n
11)n(2n
nn 22
2
2
Si n 0, 1,
2
1
, es S.C.D.
Si n = 0
11
10
0
S.I.
Si n = 1
3
41
11
S.I.
Si n =
2
1
0
22
1
14
1
y
0
21
12
1
S.C.I.
c) Para n = 3,
2
1y
18
5x
7140
139
12145
139
6 Sean S y S' dos sistemas de ecuaciones lineales con la misma matriz de coeficientes. Justificar con un ejemplo que uno de los dos sistemas puede ser compatible y el otro incompatible. Si ambos sistemas son compatibles, ¿puede ser uno determinado y el otro indeterminado? Razonar las respuestas.
Solución: Sea S y S' los sistemas que siguen, ambos con la misma matriz de coeficientes M:
21
10
11
M
7y2x
2y
3yx
S'
5y2x
2y
3yx
S
Se observa que r (M) = 2 puesto que:
0110
11
. Las matrices ampliadas correspondientes son:
721
210
311
N'y
521
210
311
N
Observamos que el determinante de N es igual cero y por lo tanto r (N) = 2 = r (M), luego el sistema es compatible; pero el determinante de N' es 2, distinto de cero y por lo tanto r (N') =3 distinto de r (M), luego el sistema es incompatible. Según el teorema de Rouché-Frobenius, si el sistema S es compatible determinado, el rango de la matriz de coeficientes y el rango de la matriz ampliada son iguales al número de incógnitas del sistema. Si el sistema S' es compatible indeterminado, el rango de la matriz de coeficientes y el rengo de la matriz ampliada son iguales y menor que el número de incógnitas. Si los sistemas S y S' tienen la misma matriz M de coeficientes, tendrán el mismo número de incógnitas, n: - S compatible determinado, luego r (M) = n - S compatible indeterminado, luego r (M) < n Esto lleva a contradicción, luego no puede ser S determinado y S' indeterminado (si tienen la misma matriz de coeficientes).
7 Halla a para que el siguiente sistema sea incompatible:
28yax
5aay2x
Solución:
4a0a168a
a2 2
Si a = 4
024
12
y
028
14
, por lo que los rangos coinciden.
Si a = -4
4024
92
Por tanto, es incompatible si a = -4.
8
Halla a para que el sistema
21)y(a2x
a2yax
sea a) Compatible determinado. b) Compatible indeterminado. c) Incompatible
Solución:
2a1;a02aa1)(a2
1a 2
Si a = 1
022
11
y
022
11
, por lo que es S.C.I.
Si a = -2
422
42
, por lo que es S.I.
a) Para a 1 y a -2 b) Para a = 1 c) Para a = -2
9 Discutir el siguiente sistema, según los distintos valores que pueda tomar el parámetro a y resolverlo cuando sea compatible:
2zyx
2zx
4azy2x
Solución: Calculemos los rangos de la matriz A de coeficientes del sistema y de la matriz B ampliada del sistema. Dado que el determinante de A es a - 2 se tiene que si a es distinto de 2, el determinante no es nulo, luego r (A) = 3, pero si: a = 2 el determinante es nulo y r (A) = 2. Puesto que la cuarta columna de B es proporcional a la primera se puede decir que el rango de B es el mismo que el de la matriz que resulta de eliminar esa cuarta columna, que es A, luego r (A) = r (B). Así pues,
· si a2, r (A) = r (B) = 3 = nº de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado; y · si a = 2, r (A) = r (B) = 2 < nº de incógnitas, luego el sistema es compatible indeterminado. Para resolver en el caso de a distinto de 2 aplicaremos la regla de Cramer:
02a
0
2a
211
201
412
z;02a
0
2a
121
121
a42
y;22a
4a2
2a
112
102
a14
x
Para resolver en el caso de a = 2 observamos que el sistema dado es equivalente al subsistema principal:
z2x
z24yx2
De soluciones:
zz;01
0
1
z21
z242
y;z21
2z
1
0z2
1z24
x
10
Averigua los valores de m para los cuales el sistema
2zyx
42zmx
2zmyx
es compatible. Resuélvelo para m = 2. Solución:
2m1,m02m3m
111
20m
1m12
Si m = 1
2111
4201
2111
, y como la cuarta columna es el doble de la tercera, el rango de la matriz de coeficiente y de la ampliada coinciden, por lo que es compatible.
Si m = 2
2111
4202
2121
, y como la cuarta columna es el doble de la primera, el rango de la matriz de coeficiente y de la ampliada coinciden, por lo que es compatible. Por tanto, es compatible para cualquier valor de m. Resolvámoslo para m = 2. Podemos prescindir de la última fila por ser combinación lineal de las dos primeras, por lo que el sistema queda:
zz
y
z2x
4z2x2
2zy2x0
11
Se considera la matriz
a52
331
321
A
, siendo a un parámetro real.
a) Discute si existe solución del sistema
0
0
0
z
y
x
A
según los valores del parámetro a. En caso afirmativo, resuélvelo.
b) Para a = 6, discute si existe solución del sistema
0
1
0
z
y
x
A
Solución:
a) |A| = a - 6, entonces, si a = 6 es S.C.I. y si a 6 es S.C.D.
Si a 6, al ser S.C.D. y homogéneo, la solución es x = 0, y = 0, z = 0. Si a = 6, x = -3z, y = 0, z = z.
b)
1
052
131
021
, por lo que el rango de la matriz ampliada es 3, mientras que el rango de la matriz de coeficientes es 2. S.I.
12
Discute el sistema
112zyx
74)z(ayx
6zyx
según los valores del parámetro a y resuélvelo para a = 4.
Solución:
2a04a2
211
4a11
111
, entonces si a 2 es S.C.D.
Si a = 2, el rango de la matriz de coeficientes es 2, y
36
1111
711
611
, por lo que es S.I.
Para a = 4, el sistema es
11z2yx
7yx
6zyx
9z
2y
5x
17302
18200
6111
11211
18200
6111
11211
7011
6111
13 Estudiar, dependiendo del parámetro m, el sistema de ecuaciones:
1mmz
0z
1
m)y(1
my
y
x
x
Y resolverlo para m = 2.
Solución: Dada la matriz de coeficientes del sistema:
mm11
1m0
011
A
Se tiene que su determinante es:
1)m(mmmm)(11m
mm11
1m0
01122
Si es nulo, entonces m = 0 o m = 1. · si m = 0,
011
100
011
A
Y la matriz ampliada queda como:
1011
0100
1011
B
Dado que el determinante de A es nulo y el menor:
0110
01
r (A) = 2. Dado que la tercera fila de B es igual a la primera r (B) = 2 = r (A) < nº de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. · si m = 1,
121
110
011
A
Y la matriz ampliada queda como:
2121
0110
1011
B
Dado que el determinante de A es nulo y el menor:
0110
11
r (A) = 2. Orlando ese menor la tercera fila y la cuarta columna de B tenemos:
0112
221
010
111
Y en consecuencia r (B) = 3 distinto de r (A). El sistema es incompatible, no tiene solución. · si el determinante no es nulo, para m distinto de 0 y 1 y r (A) = r (B) = 3 = nº de incógnitas. El sistema es compatible determinado, tiene una única solución. Veamos cuál es la solución para m = 2:
2x;1y;2z
2z
0zy2
1yx
3z2
0z
1
y3
y2
y
x
xIIIIII
.
14
Discute el sistema
16ny2n)x(3n
1nyxn
2
2
en función del parámetro n y resuélvelo cuando sea posible Solución:
Si n 0 y n
3
1
, S.C.D. Solución:
22 n
1)2(ny,
n
1n2x
Si n = 0, S.I.
Si n =
3
1
, S.C.I. Solución: x = -9 - 3y, y = y
15 Determinar para qué valores de m el siguiente sistema tiene solución única, tiene infinitas soluciones y no tiene solución:
36z3ym)x(1
13zyx
44zy2x
1yx
Solución: Efectuando transformaciones elementales de tipo fila sobre la matriz asociada al sistema intentamos llegar a un sistema triangular equivalente:
6m3000
0300
2410
1011
6m310m400
0300
2410
1011
2m64m0
0300
2410
1011
363m1
1311
4412
1011
3
10m4F
4)(mF
2)(F
1)(mF1)(F
4342
21
41
31
Fijándonos en el término 3m - 6 de la última ecuación se tienen las siguientes soluciones: - Si m = 2, 3m - 6 = 0 y el sistema es compatible determinado, tiene solución única (3 , -2 , 0) - Si m distinto de 2, el sistema es incompatible, no tiene solución - Por tanto, no existe valor de m que haga tener infinitas soluciones al sistema
16 Determina para qué valores del parámetro k, el sistema:
2kzk)y(5x
13z5y2x
0k)z(13yx
a) es compatible b) es incompatible Solución: Obtenemos primero la matriz de los coeficientes, A, y la matriz ampliada, B.
2k1k51
1352
0k131
B;
1k51
352
k131
A
Calculemos el rango de A. Tomando el menor de orden 2 formado a partir de las primera y segunda filas y columnas tenemos que:
051
31
Por tanto, r (A) 2 para todo k. Tomando y desarrollando el menor de orden 3:
1k51
352
k131
Se tiene que:
5)2)(k2(k
11
k21112)(k
k2k2
k21111)(·1
k2k20
k21110
k131
1k51
352
k13111
Por tanto, si 2 (k - 2)(k - 5) = 0, r (A) = 2; y si 2 (k - 2)(k - 5) 0, r (A) = 3. Es decir: si k =2 o k =5, r (A)=2; y en otro caso, r (A) =3. Ahora veamos k = 2
0131
1352
0131
B
y r(B)= 2 pues tiene dos filas iguales y además el menor
052
31
. Si k = 5
3101
1352
0431
B
Y r (B) mayor o igual a 2. Veamos si es dos o tres calculando los menores de orden 3:
03015)15(155
311)(·1
0155
152
031
301
152
03132
Luego r (B) = 3 y el sistema es incompatible.
17
Se consideran las matrices
20
0λ
31
B111
λ21A
donde es cualquier número real.
a) Encuentra los valores de para los que AB es invertible
b) Determina los valores de para los que BA es invertible
c) Dados a y b , números reales cualesquiera, ¿ puede ser el sistema
b
a
z
y
x
A
compatible determinado ?
Solución:
a) Calculamos
1λ1
λ23λ21
20
0λ
31
111
λ21AB
siendoAB = 1 + 2 - 3 - 2 + 3 + 22 = 2
2 +
3 -2 ; calculamos las raíces de AB = 0
22 + 3 -2 = 0
4
53
4
1693λ
, luego las raíces son 1 = 1/2 y 2 = -2
Si 1 , 2 el determinante AB 0 y el rango de AB = 2, luego AB es invertible.
b) Calculemos
222
λλ2λ
3λ14
111
λ21
20
0λ
31
BA 2
01λ3
1λ3λ2
001
1λ31
1λ34
λ2
111
λ21
3λ14
λ2BA
, cualquiera que sea el valor de ; luego no existe valor
de para el que BA sea invertible
c) Para que el sistema
b
a
z
y
x
A
sea compatible es necesario que
b
arAr
y para que sea determinado
tiene que ser
b
arAr
= número de incógnitas , lo cual es imposible, pues el rango de A a lo sumo puede ser 2.
18
Discute el sistema
azax
0zy
1az2yx
según los valores del parámetro a y resuélvelo para a = 1.
Solución:
1a01a2a
10a
110
a212
, entonces si a 1 es S.C.D.
Si a = 1, el rango de la matriz de coeficientes es 2, y
0
101
010
121
y
0
111
010
111
, por lo que es S.C.I.
Para a = 1, el sistema es
1zx
0zy
1zy2x
, pero se puede prescindir de la última ecuación por ser combinación lineal de las dos primeras.
Entonces
zz
zy
z1x
0zy
1zy2x
19 Determina m para que sea compatible el sistema:
1m2z
13z
01)z(m
my
5y
3y
3x
2x
x
Solución: Obtenemos primero la matriz de los coeficientes, A, y la matriz ampliada, B, del sistema:
1m2m3
1352
01)(m31
B;
2m3
352
1)(m31
A
Debemos determinar los valores de m para los que r (A) = r (B). Calculemos el determinante de A.
5)2)(m2(m20m14m29)mm)(2(11)m11(31m39m
m2111
1)(·1
1m39m0
m21110
1)(m31
1)3(m23(3)m3(1)3
1)2(m32(3)52(1)2
1)(m31
2m3
352
1)(m31
2
11
Tomando el menor de orden 2 formado a partir de las primera y segunda filas y columnas tenemos que
052
31
Si tomamos un valor de m = 2 o m = 5 se tiene que el determinante es cero y por lo tanto r (A) = 2, pero si se toman valores distintos a estos el determinante no es cero y por lo tanto r (A) = 3. Veamos ahora qué pasa con todos estos valores en cuanto al rango de B. · si m = 2, la matriz queda como:
1223
1352
0131
B
Calculando el siguiente menor de orden 3 tenemos:
0
123
031
031
123
152
031
En consecuencia, r (B) = 2 = r (A). · si m = 5, la matriz queda como:
4253
1352
0431
B
Calculando el siguiente menor de orden 3 tenemos:
01444
4143
1112
001
453
152
031
En consecuencia, r (B) = 3 r (A). · si m es distinto de 2 y 5 r (B) = 3 = r (A). Así pues, el sistema es compatible para todo m distinto de 5 siendo indeterminado para m = 2, y determinado para el resto.
20
Discute el sistema
1ayx
1zy
2yax
según los valores del parámetro a.
Solución:
Si a 1, S.C.D. Si a = 1 o a = -1, S.I.
21 Estudiar, según los distintos valores del parámetro m, y resolver, en los casos de compatibilidad, el siguiente sistema:
2mz
mz
1mz
y
my
y
mx
x
x
Solución: Obtenemos primero la matriz de coeficientes, A, y la matriz ampliada, B, del sistema:
2m11m
m1m1
1m11
By
11m
1m1
m11
A
Calculemos el determinante de A:
21)2)(m(m
m100
m11m0
m11
m)(2
111
1m1
m11
m)(2
11m2
1mm2
m1m2
11m
1m1
m11
Observamos los resultados si el determinante se hace nulo o no: · si m = -2, las matrices quedan como sigue:
4112
2121
1211
By
112
121
211
A
Dado que el menor formado por las primera y segunda filas y columnas no es nulo, se tiene que r (A) = 2. Ya en B, se observa que:
09
630
330
111
412
221
111
Por tanto, r (B) = 3 distinto de r (A), y el sistema es incompatible. · si m = 1, r (A) = r (B) = 1, pues en ambas matrices son iguales las tres filas. El número de incógnitas es mayor que los rangos. El sistema es compatible indeterminado. Veamos cuáles son sus infinitas soluciones: x + y + z = 1 ; x = 1 - y - z ; Se tienen las soluciones (1 - y - z, y, z) para todos y,z. · si m distinto de 1 y 2 r (A) = r (B) = 3 = número de incógnitas. El sistema es compatible determinado. Veamos la solución:
.2m
1m
1)2)(m(m
m1
111)(m
1)2)(m(m
1)m(mm10
1m1m0
111
1)2)(m(m
m1m
mm1
111
z
;2m
1
1)2)(m(m
m)(1m
111)(m
1)2)(m(m
m11)m(m0
m11m0
m11
1)2)(m(m
1mm
1m1
m11
y
;2m
1)(m
1)2)(m(m
)m)(1m(1
1)2)(m(m
11m
m100
m11
1)2)(m(m
11m
1mm
m11
x
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
22
Discute el sistema
01)z(myx
0z1)y(mx
0zyx
en función del parámetro m y resuélvelo cuando sea posible.
Solución:
Si m 0 y m -2, S.C.D. Solución x = y = z = 0 Si m = 0, S.C.I. Solución: x = -z, y = 0, z = z Si m = -2, S.C.I. Solución x = 0, y = z, z = z
23 Discutir y resolver el siguiente sistema según los distintos valores del parámetro m:
2m1)z(m
72m3z
6z
2)y(m
3y
5)y(m
3)x(2m
5)x(m
5x
Solución: Obtenemos primero las matriz de coeficientes, A, y la matriz ampliada, B, del sistema propuesto:
2m1m2m3m2
7m2335m
615)(m5
B;
1m2m3m2
335m
15)(m5
A
Para obtener los rangos de A y de B calcularemos el único menor de orden 3 posible en la matriz A:
|A|6m11m6m
3m5m2m3
12m310m
03m5m2m3
012m310m
15m5
1m2m3m2
335m
15)(m5
23
22
Ya que:
3)2)(m1)(m(m|A|
Tenemos los resultados siguientes según sea el valor de m: · si m = 1, las matrices quedan como sigue:
1011
9336
6145
B;
011
336
145
A
Observamos que el menor de orden 2, formado por la primera y segunda filas y la primera y tercera columnas de la matriz A, no es nulo, luego r (A) = 2. Se observa también que el siguiente menor de orden 3, formado a partir de B, es:
0
001
336
115
101
936
615
luego el r (B) = r (A) = 2 < 3 = número de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado. Las infinitas soluciones del sistema son:
λz
1λy
λ2x
Veamos el proceso: Dado que r (B) = 2 y que el menor de orden 2 anteriormente descrito no es nulo, en la matriz B se verifica que la primera y la segunda fila son linealmente independientes, y que la tercera filas es combinación lineal de las otras dos. Así, basta con resolver el siguiente sistema equivalente al propuesto:
z39y3x6
z6y4x5
λλ,z;1z9
9z9
36
45
z396
z65
xy;z29
18z9
36
45
3z39
4z6
x
· si m = 2, las matrices quedan como sigue:
0101
11337
6135
B;
101
337
135
A
Observamos que el menor de orden 2, formado por la primera y segunda filas y la segunda y tercera columnas de la matriz A, no es nulo, luego r (A) = 2.
Se observa también que el siguiente menor de orden 3, formado a partir de B, es
015113
63
010
1133
613
Luego el r (B) = 3 distinto de r (A) = 2. El sistema es incompatible. · si m = 3, las matrices quedan como sigue:
1213
13338
6125
B;
213
338
125
A
Observamos que el menor de orden 2, formado por la primera y tercera filas y la segunda y tercera columnas de la matriz A, no es nulo, luego r (A) = 2. Se observa que el menor de orden 3, formado a partir de B:
018
121
1333
612
Luego r (B)= 3 distinto de r (A)= 2. El sistema es incompatible. · si m distinto de 1, 2 y 3, r (A) = r (B) = 3 = número de incógnitas. El sistema es compatible determinado. Aplicando la regla de Cramer se tiene que la solución es:
3)2)(m(m
7)m3(mz
3)2)(m(m
18my
3)2)(m(m
15m4m2x
2
2
Veamos el proceso:
;3)2)(m(m
7)m3(m
3)2)(m1)(m(m
7)m1)(m3(m
1m2m3m2
335m
15m5
2m1m3m2
7m235m
615
z
;3)2)(m(m
18m
3)2)(m1)(m(m
18)1)(m(m
1m2m3m2
335m
15m5
1m2m3m2
37m25m
165
y
;3)2)(m(m
15m4m2
3)2)(m1)(m(m
15)m4m1)(2(m
1m2m3m2
335m
15m5
1m2m2m
337m2
15m6
x
22
22
24
Discute el sistema
1mmzm)y(1x
0zmy
1yx
según los valores del parámetro m y resuélvelo para el caso m = 0 Solución:
1m0,m0mm
mm11
1m0
0112
, por lo que si m 0 y m 1, es S.C.I.
Si m = 0, el rango de la matriz de coeficientes es 2, y
0
111
000
111
y
0
11
00
11
0
1
0
, por lo que es S.C.I.
Si m = 1, el rango de la matriz de coeficientes es 2, y
1
221
010
111
, por lo que es S.I.
En el caso en que m = 0, el sistema es
1yx
0z
1yx
, por lo que
0z
yy
y1x
25 Determinar el valor del parámetro p para que el sistema:
0z1)y(px
pzy1)x(p
1zy
a) tenga solución única b) tenga infinitas soluciones c) no tenga solución Calcular las soluciones del sistema en los casos que sea posible.
Solución: Obtenemos primero la matriz de los coeficientes, A, y la matriz ampliada, B.
011p1
p111p
1110
B;
11p1
111p
110
A
Calculemos el rango de A. Tomando el menor de orden 2 formado a partir de las primeras y terceras filas y columnas tenemos que:
011
10
Por tanto, r (A) mayor o igual a 2 para cualquier valor de p. A partir del menor anterior obtenemos el siguiente menor de orden 3:
1)p(pp1
01p1)(·1
1p1
101p
100
11p1
111p
11031
Luego si p = 1 o p = 0, r (A) = 2; en otro caso r (A) = 3. Caso p = 0:
0111
0111
1110
B
Y r (B) = 2, pues la segunda fila es igual a la tercera multiplicada por (-1). Sistema compatible indeterminado. Caso p = 1
0101
1110
1110
B
Y r (B) = 2, pues la segunda fila es igual a la primera. Sistema compatible indeterminado. Y si p es distinto de 0 y 1, r (B) = 3 . Sistema compatible determinado.- Resolvamos el caso p = 0:
1x
z1y
0zyx
1zy
Cuyas soluciones son:
λ
λz
λ1y
1x
Resolvamos el caso p = 1:
0zx
1zy
Se tienen las soluciones:
λ
λz
λ1y
λx
Resolvamos el caso p distinto de 0 y 1: :
1z
0y
1x
por la regla de Cramer:
11)p(p
1)p(p
1)p(p
1p1
111)(p
1)p(p
1p1
1)(p1p1)(
1)p(p
01p1
pp11p
100
11p1
111p
110
01p1
p11p
110
z
;01)p(p
0
1)p(p
100
1pp
111
11p1
111p
110
101
1p1p
110
y
;11)p(p
1)p(p
1)p(p
11p
111)1)((p
1)p(p
11p0
001p
111
11p1
111p
110
11p0
11p
111
x
31
12