mini-video 1 de 3 materia: concepto. teorema de rouché sistemas de ecuaciones lineales
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Mini-video 1 de 3
Materia: Concepto. Teorema de Rouché
Sistemas de ecuaciones lineales
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Sistemas de ecuaciones lineales
Se definen:
mnmn11m
1nn1111
bxaxa
bxaxa
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Sistemas de ecuaciones lineales
Se definen:
Ejemplos:
mnmn11m
1nn1111
bxaxa
bxaxa
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2 a b 1x 2y 3z 9k 2
x 7x 9x 14 2a 3b 03y z 2k 5
2a 2b 0x x 2
ì ì- + =ï + =ïï ïìï - + - =ï ïï ï ïï - + = - =í í íï ï ï- + =ïï ïîï ï + =- = - ïîïïî
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Sistemas de ecuaciones lineales
Forma vectorial de un sistema:
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
1 2 3
3 2 1 2
1 x 7 x 9 x 14
1 0 1 2
æö æ ö æ ö æ ö-÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷Û + - + =ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç- -÷ ÷ ÷ ÷è ø è ø è ø è øç ç ç ç
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Sistemas de ecuaciones lineales
Forma vectorial de un sistema:
Forma matricial:
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
1 2 3
3 2 1 2
1 x 7 x 9 x 14
1 0 1 2
æö æ ö æ ö æ ö-÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷Û + - + =ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç- -÷ ÷ ÷ ÷è ø è ø è ø è øç ç ç ç
1
2
3
3 2 1 2 x
Ax b con: A 1 7 9 , b 14 , x x
1 0 1 2 x
æ ö æ ö æ ö- ÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= = - = =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç- -÷ ÷ ÷è ø è ø è øç ç ç
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Sistemas de ecuaciones lineales
Concepto de solución.
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Sistemas de ecuaciones lineales
Concepto de solución.
Ejemplo:
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14 x 1, x 2, x 3
x x 2
ì - + =ïïïïï - + = Þ = = =íïïï - = -ïïî
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Sistemas de ecuaciones lineales
Concepto de solución.
Ejemplo:
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14 x 1, x 2, x 3
x x 2
ì - + =ïïïïï - + = Þ = = =íïïï - = -ïïî
3 1 2 2 3 3 4 3 2
1 7 2 9 3 1 14 27 14
1 3 2
ì ´ - ´ + = - + =ïïïï - ´ + ´ = - + =íïïï - = -ïî
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Sistemas de ecuaciones lineales
Clasificación: - Compatibles (determinados/indeterminados)- Incompatibles
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Sistemas de ecuaciones lineales
Clasificación: - Compatibles (determinados/indeterminados)- Incompatibles
Ejemplos:
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2 a b 1x 2y 3z 9k 2
x 7x 9x 14 2a 3b 03y z 2k 5
2a 2b 0x x 2
ì ì- + =ï + =ïï ïìï - + - =ï ïï ï ïï - + = - =í í íï ï ï- + =ïï ïîï ï + =- = - ïîïïî
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Sistemas de ecuaciones lineales
Clasificación: - Compatibles (determinados/indeterminados)- Incompatibles
Ejemplos:
Soluciones:
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2 a b 1x 2y 3z 9k 2
x 7x 9x 14 2a 3b 03y z 2k 5
2a 2b 0x x 2
ì ì- + =ï + =ïï ïìï - + - =ï ïï ï ïï - + = - =í í íï ï ï- + =ïï ïîï ï + =- = - ïîïïî
1 2 3x 1, x 2, x 3= = =1 1
x ( 7z 23k 16), y (z 2k 5)3 3
= - + + = - +
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Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas homogéneos
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Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas homogéneos
Ejemplo:
x 2y 3z 9k 0
3y z 2k 0
ì - + - =ïïíï - + =ïî
1 1x ( 7z 23k), y (z 2k)
3 3= - + = -
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Sistemas de ecuaciones lineales
Teorema de Rouché-Frobenius
Para Ax b Sea: A* (A b)
Si rango(A) rango(A*) Sistema incompatible
Si rango(A) rango(A*) Sistema compatible
Si rango(A) nº incognitas determinado
Si rango(A) nº incognitas indeterminado
= =
¹ Þ
= Þ
= Þ
¹ Þ
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Sistemas de ecuaciones lineales
Teorema de Rouché-Frobenius
Ejemplo 1:
Para Ax b Sea: A* (A b)
Si rango(A) rango(A*) Sistema incompatible
Si rango(A) rango(A*) Sistema compatible
Si rango(A) nº incognitas determinado
Si rango(A) nº incognitas indeterminado
= =
¹ Þ
= Þ
= Þ
¹ Þ
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
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Sistemas de ecuaciones lineales
Teorema de Rouché-Frobenius
Ejemplo 1:
Para Ax b Sea: A* (A b)
Si rango(A) rango(A*) Sistema incompatible
Si rango(A) rango(A*) Sistema compatible
Si rango(A) nº incognitas determinado
Si rango(A) nº incognitas indeterminado
= =
¹ Þ
= Þ
= Þ
¹ Þ
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
3 2 1
rango(A) rango 1 7 9 3
1 0 1
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= - =ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç - ÷è øç3 2 1 2
rango(A*) rango 1 7 9 14 3
1 0 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= - =ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç - - ÷è øç
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Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo 2:
x 2y 3z 9k 2
3y z 2k 5
ì - + - =ïïíï - + =ïî
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Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo 2:
x 2y 3z 9k 2
3y z 2k 5
ì - + - =ïïíï - + =ïî
1 2 3 9rango(A) rango 2
0 3 1 2
æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø
1 2 3 9 2rango(A*) rango 2
0 3 1 2 5
æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø
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Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
x 2y 3z 9k 2
3y z 2k 5
ì - + - =ïïíï - + =ïî
1 2 3 9rango(A) rango 2
0 3 1 2
æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø
1 2 3 9 2rango(A*) rango 2
0 3 1 2 5
æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø
a b 1
2a 3b 0
2a 2b 0
ì + =ïïïï - =íïïï + =ïî
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Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
x 2y 3z 9k 2
3y z 2k 5
ì - + - =ïïíï - + =ïî
1 2 3 9rango(A) rango 2
0 3 1 2
æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø
1 2 3 9 2rango(A*) rango 2
0 3 1 2 5
æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø
a b 1
2a 3b 0
2a 2b 0
ì + =ïïïï - =íïïï + =ïî
1 1
rango(A) rango 2 3 2
2 2
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= - =ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷è øç
1 1 1
rango(A*) rango 2 3 0 3
2 2 0
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= - =ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷è øç
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Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo 4:Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solucióndel sistema:
:
1azyx
1zayx
1zyax
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Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo 4:Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solucióndel sistema:
Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
1azyx
1zayx
1zyax
3
a 1 1
Det(A) 1 a 1 a 3a 2
1 1 a
= = - +
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Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo 4:Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solucióndel sistema:
Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
Si este determinante es distinto de cero, el rango de A y el de la matriz ampliada, A*, serán iguales y el sistema será compatible y determinado.
1azyx
1zayx
1zyax
3
a 1 1
Det(A) 1 a 1 a 3a 2
1 1 a
= = - +
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Sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo 4:Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solucióndel sistema:
Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:
Si este determinante es distinto de cero, el rango de A y el de la matriz ampliada, A*, serán iguales y el sistema será compatible y determinado.Veamos los valores de «a» para los que se anula el determinante:
1azyx
1zayx
1zyax
3
a 1 1
Det(A) 1 a 1 a 3a 2
1 1 a
= = - +
3a 3a 2 0 a 1,a 2- + = Þ = =-
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Sistemas de ecuaciones lineales
Luego ya podemos afirmar:Si a1,-2: R(A)=R(A*)=3 Compatible y determinado
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Sistemas de ecuaciones lineales
Luego ya podemos afirmar:Si a1,-2: R(A)=R(A*)=3 Compatible y determinado
Veamos que pasa si a=1:
ax y z 1
x ay z 1
x y az 1
x y z 1
Si a 1 x y z 1
x y z 1
ü+ + = ïïïï+ + = ýïï+ + = ïïþü+ + = ïïïï= Þ + + = ýïï+ + = ïïþ
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Sistemas de ecuaciones lineales
Luego ya podemos afirmar:Si a1,-2: R(A)=R(A*)=3 Compatible y determinado
Veamos que pasa si a=1:
Luego si a=1: R(A)=R(A*)=1 Compatible e indeterminado
ax y z 1
x ay z 1
x y az 1
x y z 1
Si a 1 x y z 1
x y z 1
ü+ + = ïïïï+ + = ýïï+ + = ïïþü+ + = ïïïï= Þ + + = ýïï+ + = ïïþ
![Page 28: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/28.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
Veamos que pasa si a=-2:
ax y z 1 2x y z 1
x ay z 1 Si a 2 x 2y z 1
x y az 1 x y 2z 1
ü ü+ + = - + + =ï ïï ïï ïï ï+ + = = - Þ +- + =ý ýï ïï ï+ + = + +- =ï ïï ïþ þ
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Sistemas de ecuaciones lineales
Veamos que pasa si a=-2:
Calculamos:
ax y z 1 2x y z 1
x ay z 1 Si a 2 x 2y z 1
x y az 1 x y 2z 1
ü ü+ + = - + + =ï ïï ïï ïï ï+ + = = - Þ +- + =ý ýï ïï ï+ + = + +- =ï ïï ïþ þ
2 1 1
rango(A) rango 1 2 1 2
1 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç= - =÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø
2 1 1 1
rango(A*) rango 1 2 1 1 3
1 1 2 1
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç= - =÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø
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Sistemas de ecuaciones lineales
Veamos que pasa si a=-2:
Calculamos:
Luego si a=-2: R(A)=2, R(A*)=3 Incompatible
ax y z 1 2x y z 1
x ay z 1 Si a 2 x 2y z 1
x y az 1 x y 2z 1
ü ü+ + = - + + =ï ïï ïï ïï ï+ + = = - Þ +- + =ý ýï ïï ï+ + = + +- =ï ïï ïþ þ
2 1 1
rango(A) rango 1 2 1 2
1 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç= - =÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø
2 1 1 1
rango(A*) rango 1 2 1 1 3
1 1 2 1
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç= - =÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø
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Mini-video 2 de 3
Materia: Resolución de Sistemas Lineales
Sistemas de ecuaciones lineales
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Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas equivalentes
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Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas equivalentes
Ejemplos:
4x
2x
4x3
2x
3
1x
2xx
0xx2
6xx
0xx2
6xx
2
1
2
21
21
21
21
21
21
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Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas equivalentes
Ejemplos:
Se obtienen:- Intercambiando entre sí dos ecuaciones- Multiplicando una ecuación por un número 0- Sumándole a una ecuación otra multiplicada por un número real cualquiera.
4x
2x
4x3
2x
3
1x
2xx
0xx2
6xx
0xx2
6xx
2
1
2
21
21
21
21
21
21
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Sistemas de ecuaciones lineales
Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo.
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Sistemas de ecuaciones lineales
Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo.
Ejemplo:1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
1 2 4
4x x 4x 3x 7 4 1 4 3 4 1 4 3 7
x 2x x 3 1 0 2 1 1 0 2 1 3A ; A*
3x x 2x 2x 4 3 1 2 2 3 1 2 2 4
2x x x 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1
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Sistemas de ecuaciones lineales
Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo.
Ejemplo:
Resulta que:Rango(A) =rango(A*)=2
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
1 2 4
4x x 4x 3x 7 4 1 4 3 4 1 4 3 7
x 2x x 3 1 0 2 1 1 0 2 1 3A ; A*
3x x 2x 2x 4 3 1 2 2 3 1 2 2 4
2x x x 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1
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Sistemas de ecuaciones lineales
Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo.
Ejemplo:
Resulta que:Rango(A) =rango(A*)=2
Con lo que resulta que hemos de sustituir el sistema por otro equivalente que tenga solo 2 ecuaciones:
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
1 2 4
4x x 4x 3x 7 4 1 4 3 4 1 4 3 7
x 2x x 3 1 0 2 1 1 0 2 1 3A ; A*
3x x 2x 2x 4 3 1 2 2 3 1 2 2 4
2x x x 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1
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Sistemas de ecuaciones lineales
Tenemos que: 1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 41 2 3 4
1 2 41 3 4
1 2 3 4 1 3 4
1 2 4 1 2 3 4
1 3 4
4x x 4x 3x 7
x 2x x 3
4x x 4x 3x 7
3x x 2x 2x 4
4x x 4x 3x 74x x 4x 3x 72x x x 1x 2x x 3
3x x 2x 2x 4 x 2x x 32x x x 1 3x x 2x 2x 4
x 2x x 3
2x
1 2 4
1 2 3 4
1 2 4
x x 1
3x x 2x 2x 4
2x x x 1
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Sistemas de ecuaciones lineales
Cualquiera de ellas nos valdrá.Por ejemplo:
1 2 3 4
1 2 3 41 3 4
1 3 41 2 3 4
1 2 4
4x x 4x 3x 7
4x x 4x 3x 7x 2x x 3
x 2x x 33x x 2x 2x 4
2x x x 1
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Sistemas de ecuaciones lineales
Cualquiera de ellas nos valdrá.Por ejemplo:
A este sistema le aplicaremos ya cualquiera de los métodos de resolución que veremos a continuación.
1 2 3 4
1 2 3 41 3 4
1 3 41 2 3 4
1 2 4
4x x 4x 3x 7
4x x 4x 3x 7x 2x x 3
x 2x x 33x x 2x 2x 4
2x x x 1
![Page 42: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/42.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0
![Page 43: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/43.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0
Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado
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Sistemas de ecuaciones lineales
Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0
Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado
Resolución de sistemas Cramer:- reducción- sustitución- igualación
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Sistemas de ecuaciones lineales
Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0
Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado
Resolución de sistemas Cramer:- reducción- sustitución- igualación- matriz inversa Ax=b; x=A-1b
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Sistemas de ecuaciones lineales
Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0
Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado
Resolución de sistemas Cramer:- reducción- sustitución- igualación- matriz inversa Ax=b; x=A-1b- Regla de Cramer (Ejemplo)
Resolver mediante la Regla de Cramer el sistema:1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
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Sistemas de ecuaciones lineales
Tenemos:
1 2
3
2 2 1 3 2 1
14 7 9 1 14 9
2 0 1 1 2 18 16x 1; x 2;
3 2 1 3 2 18 81 7 9 1 7 9
1 0 1 1 0 1
3 2 2
1 7 14
1 0 2 24x 3
3 2 1 81 7 9
1 0 1
-
-
- - - -= = = = = =
- -
- -
- -
-
-
-= = =
-
-
-
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Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas Indeterminados
![Page 49: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/49.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas IndeterminadosIncógnitas principales y secundarias
![Page 50: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/50.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas IndeterminadosIncógnitas principales y secundariasResolución: paso a sistema Cramer
Ejemplo: Resolver
1xxx2
3xx2x
421
431
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Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas IndeterminadosIncógnitas principales y secundariasResolución: paso a sistema Cramer
Ejemplo: Resolver
Solución:
1xxx2
3xx2x
421
431
1 3 4
1 2 4
x 3 2x x1 0 2 1 1 0Rango 2, 0
2x x 1 x2 1 0 1 2 1
![Page 52: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/52.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
OjO con los sistemas mal condicionados
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Sistemas de ecuaciones lineales
OjO con los sistemas mal condicionados
1
2
3
1 0.5 0.33 x 1.83 1
0.5 0.33 0.25 x 1.08 Sol: 1
0.33 0.25 0.2 x 0.78 1
æ öæ ö æ ö æö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= ®ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè øè ø è ø è ø
![Page 54: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/54.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
OjO con los sistemas mal condicionados
1
2
3
1 0.5 0.33 x 1.83 1
0.5 0.33 0.25 x 1.08 Sol: 1
0.33 0.25 0.2 x 0.78 1
æ öæ ö æ ö æö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= ®ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè øè ø è ø è ø
1
2
3
4191 0.5 0.33 x 1.83
18850.5 0.33 0.25 x Sol:
630.33 0.25 0.2 x 0.78
1637
1.
3
1
6
æ ö÷ç - ÷ç ÷ç ÷çæ öæ ö æ ö ÷ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ ç=ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ ç ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç çè øè ø è ø ÷ç ÷ç ÷- ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
![Page 55: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/55.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
OjO con los sistemas mal condicionados
1
2
3
1 0.5 0.33 x 1.83 1
0.5 0.33 0.25 x 1.08 Sol: 1
0.33 0.25 0.2 x 0.78 1
æ öæ ö æ ö æö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= ®ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè øè ø è ø è ø
1
2
3
4191 0.5 0.33 x 1.83
18850.5 0.33 0.25 x Sol:
630.33 0.25 0.2 x 0.78
1637
1.
3
1
6
æ ö÷ç - ÷ç ÷ç ÷çæ öæ ö æ ö ÷ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ ç=ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ ç ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç çè øè ø è ø ÷ç ÷ç ÷- ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷Det(A) 0@
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Sistemas de ecuaciones lineales
Método de Gauss
Sea Ax=b y A*=(A|b)
El método consiste en obtener otro sistema equivalente con la matriz triangular o diagonal:
De tal forma que Ax=b I x=s x=s que sería la solución del sistema.
sIbA
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Sistemas de ecuaciones lineales
Método de Gauss
Sea Ax=b y A*=(A|b)
El método consiste en obtener otro sistema equivalente con la matriz triangular o diagonal:
De tal forma que Ax=b I x=s x=s que sería la solución del sistema.
Se puede utilizar en sistemas incompatibles / compatibles / determinados / indeterminados.
sIbA
![Page 58: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/58.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
Ejemplo:
![Page 59: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/59.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
Ejemplo:
3 2 1 2
1 7 9 14
1 0 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø
![Page 60: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/60.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
Ejemplo:
3 2 1 2
1 7 9 14
1 0 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø
3 2 1 2 2 1 21
3 3 3 3 3 3 31 7 9 14 1 7 9 14
1 0 1 2 1 0 1 2
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷» - = -ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç ç÷ ÷è ø è øç ç÷ ÷
![Page 61: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/61.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
Ejemplo:
3 2 1 2
1 7 9 14
1 0 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø
3 2 1 2 2 1 21
3 3 3 3 3 3 31 7 9 14 1 7 9 14
1 0 1 2 1 0 1 2
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷» - = -ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç ç÷ ÷è ø è øç ç÷ ÷
2 1 21
3 3 319 26 40
03 3 3
1 0 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
![Page 62: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/62.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
Ejemplo:
3 2 1 2
1 7 9 14
1 0 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø
3 2 1 2 2 1 21
3 3 3 3 3 3 31 7 9 14 1 7 9 14
1 0 1 2 1 0 1 2
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷» - = -ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç ç÷ ÷è ø è øç ç÷ ÷
2 1 21
3 3 319 26 40
03 3 3
1 0 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷2 1 21
3 3 319 26 40
03 3 3
2 4 80
3 3 3
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
![Page 63: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/63.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
Ejemplo:
3 2 1 2
1 7 9 14
1 0 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø
3 2 1 2 2 1 21
3 3 3 3 3 3 31 7 9 14 1 7 9 14
1 0 1 2 1 0 1 2
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷» - = -ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç ç÷ ÷è ø è øç ç÷ ÷
2 1 21
3 3 319 26 40
03 3 3
1 0 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷2 1 21
3 3 319 26 40
03 3 3
2 4 80
3 3 3
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
2 1 21
3 3 326 40
0 119 19
2 4 80
3 3 3
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
![Page 64: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/64.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
1 2 3
1 2 3
1 3
3x 2x x 2
x 7x 9x 14
x x 2
ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî
Ejemplo:
3 2 1 2
1 7 9 14
1 0 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø
3 2 1 2 2 1 21
3 3 3 3 3 3 31 7 9 14 1 7 9 14
1 0 1 2 1 0 1 2
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷» - = -ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç ç÷ ÷è ø è øç ç÷ ÷
2 1 21
3 3 319 26 40
03 3 3
1 0 1 2
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷2 1 21
3 3 319 26 40
03 3 3
2 4 80
3 3 3
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
2 1 21
3 3 326 40
0 119 19
2 4 80
3 3 3
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
11 141 0
19 1926 40
0 119 19
2 4 80
3 3 3
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
![Page 65: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/65.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
11 141 0
19 1926 40
0 119 198 24
0 019 19
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
![Page 66: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/66.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
11 141 0
19 1926 40
0 119 198 24
0 019 19
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
11 141 0
19 1926 40
0 119 19
0 0 1 3
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
![Page 67: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/67.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
11 141 0
19 1926 40
0 119 198 24
0 019 19
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
11 141 0
19 1926 40
0 119 19
0 0 1 3
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
11 141 0
19 190 1 0 2
0 0 1 3
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷» ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çç ÷è øç ÷
![Page 68: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/68.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
11 141 0
19 1926 40
0 119 198 24
0 019 19
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
11 141 0
19 1926 40
0 119 19
0 0 1 3
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
11 141 0
19 190 1 0 2
0 0 1 3
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷» ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çç ÷è øç ÷
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷» ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
![Page 69: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/69.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
11 141 0
19 1926 40
0 119 198 24
0 019 19
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
11 141 0
19 1926 40
0 119 19
0 0 1 3
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷
11 141 0
19 190 1 0 2
0 0 1 3
æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷» ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çç ÷è øç ÷
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷» ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø
Luego la solución es x1=1, x2=2, x3=3.
![Page 70: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/70.jpg)
Mini-video 3 de 3
Materia: Prácticas con
Sistemas de ecuaciones lineales
![Page 71: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/71.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
La función RowReduce[ ] de Mathematica:
![Page 72: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/72.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
La función RowReduce[ ] de Mathematica:
![Page 73: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/73.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
La función Solve[ ] de Mathematica:
![Page 74: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/74.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
La función Solve[ ] de Mathematica:
![Page 75: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/75.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
La función Solve[ ] de Mathematica:
![Page 76: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/76.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
![Page 77: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/77.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
OJO con los sistemas indeterminados:
![Page 78: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/78.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
OJO con los sistemas indeterminados:
![Page 79: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/79.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales
OJO con los sistemas indeterminados:
![Page 80: Mini-video 1 de 3 Materia: Concepto. Teorema de Rouché Sistemas de ecuaciones lineales](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022051821/5665b43f1a28abb57c906338/html5/thumbnails/80.jpg)
Sistemas de ecuaciones lineales