TEOREMA DE ROLLE

TEOREMA DE ROLLEALUMNOS: German Segovia ContrerasAbel Castro SalsavilcaCesar Guizado CntaroCarlos Huarachi Huamn

UNIVERSIDAD PERUANA DE INTEGRACION GLOBAL

TEOREMA DE ROLLEEl teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual una funcin derivable se anula cuando el valor de sta, en los extremos del intervalo es el mismo.Se puede enunciar de la siguiente manera,Si f es una funcin continua definida en un intervalo cerrado [a, b], derivable sobre el intervalo abierto y f (a) = f (b) , entonces:

Existe al menos un punto c perteneciente al intervalo tal que f'(c) = 0.Demostracin Grafica:En el siguiente grfico se observan las tres condiciones: la funcin es continua en el intervalo cerrado [a,b], es derivable y los valores que toma la funcin en los puntos a y b son iguales, es decir, f(a) = f(b). Existe, por lo tanto, al menos un punto c que pertenece al intervalo abierto en el cual la derivada de la funcin es igual a cero.

En la ilustracin anterior se ve una funcin constante, pero el teorema no slo se cumple en este caso. Se pueden dar tres casos en los que f(c) es distinto de f(a) y f(b):Debemos saber que:CASO N 1El punto mximo es igual a f(a) y f(b) y el punto mnimo es distinto de ambos, lo cual implica que la curva es cncava hacia arriba. El punto mnimo es m = f(c), y la derivada de la funcin en este punto es 0.

CASO N 2El punto mnimo es igual a f(a) y f(b) y el punto mximo es distinto de ambos, lo cual implica que la curva es cncava hacia abajo (o convexa). El punto mximo es M = f(c), y la derivada de la funcin en este punto es 0.

CASO N 3Tanto el punto mnimo como el punto mximo son distintos a f(a) yf(b). esto significa que dentro del intervalo cerrado [a,b] la funcin alcanza un punto mximom=f(c2) mayor al valor de la funcin en los extremosayby un punto mnimom=f(c1) menor a los mismos. tanto en el punto mximo como en el punto mnimo, la derivada de la funcin es nula. es decir,f'(c1) = 0 yf'(c2) = 0.

Ejercicios de Demostracin:

Comprobar que la funcin cumple con el teorema de Rolle en el intervalo [0, 2], Comprobamos que f(0)=f(2):