si cumple el teorema de rolle - yoquieroaprobar.es
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Bรกrbara Cรกnovas Conesa
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Junio 2017
Dada la funciรณn ๐(๐ฅ) = {๐ฅ2 + ๐ ๐ ๐ ๐ฅ โค 2โ๐ฅ2 โ ๐๐ฅ โ 9 ๐ ๐ ๐ฅ > 2
a) Calcula razonadamente los parรกmetros a y b para que ๐(๐ฅ) sea derivable en todo R. b) Enuncia el teorema de Rolle y comprueba si, para los valores hallados en el apartado anterior, la funciรณn ๐(๐ฅ)
verifica las hipรณtesis del teorema en el intervalo [-2, 6]. Para que ๐(๐ฅ) sea derivable, lo primero que tiene que cumplir es que sea continua, por lo que: ๐๐๐
๐ฅโ2โ๐(๐ฅ) = ๐๐๐
๐ฅโ2+๐(๐ฅ) = ๐(2)
๐๐๐๐ฅโ2โ
๐(๐ฅ) = ๐๐๐๐ฅโ2โ
(๐ฅ2 + ๐) = ๐ + ๐
๐๐๐๐ฅโ2+
๐(๐ฅ) = ๐๐๐๐ฅโ2+
(โ๐ฅ2 โ ๐๐ฅ โ 9) = โ๐๐ โ ๐๐
๐(2) = ๐ + ๐
| โ 4 + ๐ = โ13 โ 2๐ โ ๐ + ๐๐ = โ๐๐
Ademรกs, para que sea derivable se tiene que cumplir: ๐๐๐๐ฅโ2โ
๐โฒ(๐ฅ) = ๐๐๐๐ฅโ2+
๐โฒ(๐ฅ):
๐โฒ(๐ฅ) = {2๐ฅ ๐ ๐ ๐ฅ โค 2โ2๐ฅ โ ๐ ๐ ๐ ๐ฅ > 2
โ |๐๐๐๐ฅโ2โ
๐(๐ฅ) = ๐๐๐๐ฅโ2โ
(2๐ฅ) = ๐
๐๐๐๐ฅโ2+
๐โฒ(๐ฅ) = ๐๐๐๐ฅโ2+
(โ2๐ฅ โ ๐) = โ๐ โ ๐ โ ๐ = โ๐
Por รบltimo, sustituimos en la primera ecuaciรณn para obtener el valor de a:
๐ โ 16 = โ17 โ ๐ = โ๐ โ ๐(๐ฅ) = {๐ฅ2 โ 1 ๐ ๐ ๐ฅ โค 2โ๐ฅ2 + 8๐ฅ โ 9 ๐ ๐ ๐ฅ > 2
Teorema de Rolle: si una funciรณn ๐(๐ฅ) es continua en el intervalo [๐, ๐] , derivable en el intervalo (๐, ๐) y ๐(๐) = ๐(๐) ,
entonces existirรก un valor ๐ (๐, ๐) de manera que ๐โ(๐) = 0.
Para los valores hallados anteriormente:
๐(๐ฅ) โ
๐ถ๐๐๐ก๐๐๐ข๐: [โ2, 6] ๐ท๐๐๐๐ฃ๐๐๐๐ (โ2,6) ๐(โ2) = 3 โ ๐(6) = 3
|
Por tanto, si cumple el teorema de Rolle.
Con una chapa metรกlica de 8x5 metros se desea construir, cortando cuadrados en las esquinas, un cajรณn sin tapa de
volumen mรกximo. Haya razonadamente las dimensiones de dicho cajรณn.
La funciรณn a optimiza (maximizar) es el volumen:
๐(๐ฅ) = ๐ด๐๐๐ ๐ โ โ ๐(๐ฅ) = (5 โ 2๐ฅ) ยท (8 โ 2๐ฅ) ยท ๐ฅ โ ๐ฝ(๐) = ๐๐๐ โ ๐๐๐๐ + ๐๐๐
๐โฒ(๐ฅ) = 6๐ฅ2 โ 26๐ฅ + 20 โ ๐ฝโฒ(๐) = ๐ โ 6๐ฅ2 โ 26๐ฅ + 20 โ {๐๐ = ๐. ๐๐ ๐๐๐ = ๐ ๐
๐โฒโฒ(๐ฅ) = 12๐ฅ โ 26 โ {๐โฒโฒ(3.34) = 14.08 > 0 โ ๐ดรญ๐๐๐๐
๐โฒโฒ(1) = โ14 < 0 โ ๐ดรก๐๐๐๐ โ ๐ = ๐ ๐
Con lo que las dimensiones del cajรณn son 6x3x1.
8
5
x
5 8
x
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EvAU _ Matemรกticas _ CC _ CLM
a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en funciรณn del parรกmetro ๐ โ:
๐๐ฅ โ ๐ฆ + ๐ง = ๐ โ 42๐ฅ + ๐ฆ โ ๐๐ง = ๐ โ 1 ๐ฆ โ ๐ง = โ3
}
b) Resuรฉlvelo razonadamente para el valor ๐ = โ1. Primero estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes:
๐ = (๐ โ1 12 1 โ๐0 1 โ1
) โ |๐| = ๐2 โ ๐ ๐2 โ ๐ = 0 {๐ = ๐๐ = ๐
โ ๐ โ โ โ {๐, ๐}: ๐น(๐ด) = ๐
Segundo, estudiamos para los valores de a obtenidos, el rango de la matriz ampliada:
๐ = 0 โ ๐โ = (0 โ1 12 1 00 1 โ1
|โ4โ1โ3) โ |๐๐๐ก| = |๐ถ1, ๐ถ2, ๐ถ3| = โ14 โ 0 โ ๐ = ๐: ๐น(๐ด
โ) = ๐
๐ = 1 โ ๐โ = (1 โ1 12 1 โ10 1 โ1
|โ30โ3) โ |๐๐๐ก| = |๐ถ1, ๐ถ2, ๐ถ3| = โ15 โ 0 โ ๐ = ๐: ๐น(๐ด
โ) = ๐
Segรบn el Teorema de Rouche-Frobenius: La condiciรณn necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incรณgnitas tenga soluciรณn es que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada sean iguales.
a R โ {0, 1} R(M) = R(M*) = 3 = nยบ incรณgnitas SCD
a = {0, 1} R(M)= 2 R(M*) = 3 SI
Para el valor de ๐ = โ1, el Sistema es Compatible Determinado. Lo resolvemos por Kramer:
โ๐ฅ โ ๐ฆ + ๐ง = โ52๐ฅ + ๐ฆ + ๐ง = โ2 ๐ฆ โ ๐ง = โ3
} โ |๐| = 2 โ
|
|
|
|๐ฅ =
|โ5 โ1 1โ2 1 1โ3 1 โ1
|
2=16
2= 8
๐ฆ =
|โ1 โ5 12 โ2 10 โ3 โ1
|
2=โ21
2
๐ง =
|โ1 โ1 โ52 1 โ20 1 โ3
|
2=โ15
2
โ (๐,โ๐๐
๐,โ๐๐
๐)
Dado el punto ๐(2,0,โ1) y las rectas ๐ โก๐ฅโ2
โ1=๐ฆ+1
2=๐ง
0 y ๐ โก {
๐ฅ โ ๐ฆ + 2๐ง = 0๐ฅ + ๐ง + 1 = 0
a) Determina razonadamente la posiciรณn relativa de las rectas ๐ y ๐ b) Encuentra razonadamente la ecuaciรณn general del plano que pasando por ๐ es paralelo a ๐ y a ๐ .
La posiciรณn relativa de ambas rectas la estudiamos con los rangos de las matrices M (formada por los vectores directores
de ambas rectas) y M* (formada por los dos vectores directores y por el vector ๐ ๐โโโโ โ, siendo R y S un punto de la recta r y s, respectivamente):
Recta r: Recta s
dโ r = (โ1, 2, 0) R = (2,โ1,0) ๐ ๐ = (1,โ1,2) ร (1,0,1) โ ๐ ๐= (โ1,1,1)
S = (0,โ2,โ1)
๐ ๐โโโโ โ = (โ2, โ1,โ1)
๐ = (โ1 2 0โ1 1 1
) โ |๐๐๐ก| = |๐ถ1, ๐ถ2| = 1 โ 0 โ ๐น๐(๐ด) = ๐
๐โ = (โ1 2 0โ1 1 1โ2 โ1 โ1
) = โ6 โ 0 โ ๐น๐(๐ดโ) = ๐
Es decir, las dos rectas Se Cruzan.
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El vector normal del plano es perpendicular a los vectores directores de las dos rectas. Por lo que el vector normal del plano lo hallamos haciendo el producto vectorial de los dos vectores directores. Una vez hallado dicho vector normal, usaremos la ecuaciรณn normal del plano para, junto con el punto P, hallar la ecuaciรณn del plano pedido.
๏ฟฝโ๏ฟฝ ๐ = (โ1,2,0) ร (โ1,1,1, ) โ ๏ฟฝโโ๏ฟฝ ๐ = (๐, ๐, ๐) โ ๐ โก 2(๐ฅ โ 2) + 1(๐ฆ โ 0) + 1(๐ง + 1) = 0 โ ๐ โก ๐๐ + ๐ + ๐ โ ๐ = ๐
a) Los operarios A, B y C producen, respectivamente, el 50%, el 30% y el 20% de las resistencias que se utilizan en un laboratorio de electrรณnica. Resultan defectuosas el 6% de las resistencias producidas por A, el 5% de las producidas por B y el 3% de las producidas por C. Se selecciona al azar una resistencia:
a.1. Calcula razonadamente la probabilidad de que sea defectuosa. a.2. Si es defectuosa, calcula razonadamente la probabilidad de que proceda del operario A.
b) Las resistencias se empaquetan al azar en cajas de cinco unidades. Calcula razonadamente la probabilidad de: b.1. Que en una caja haya exactamente tres resistencias fabricadas por B. b.2. Que en una caja haya al menos dos fabricadas por B.
Para responder a las preguntas del apartado a), hacemos un diagrama de รกrbol. Si llamamos a los sucesos:
- A = โque la resistencia escogida proceda del operario Aโ
- B = โque la resistencia escogida proceda del operario Bโ
- C = โque la resistencia escogida proceda del operario Cโ
- D = โque la resistencia escogida sea defectuosaโ
- Dฬ = โque la resistencia escogida no sea defectuosaโ
Para calcular la probabilidad de que sea defectuosa, usamos el teorema de la probabilidad total:
๐(๐ท) = ๐(๐ด) ยท ๐(๐ท|๐ด) + ๐(๐ต) ยท ๐(๐ท|๐ต) + ๐(๐ถ) ยท ๐(๐ท|๐ถ) = 0.5 ยท 0.06 + 0.3 ยท 0.05 + 0.2 ยท 0.03 โ ๐ท(๐ซ) = ๐. ๐๐๐๐
Para calcular la probabilidad de que siendo defectuosa sea del operario A, empleamos la probabilidad condicionada y el teorema de Bayes:
๐(๐ด|๐ท) =๐(๐ด โฉ ๐ท)
๐(๐ท)=๐(๐ท|๐ด) ยท (๐๐ด)
๐(๐ท)=0.06 ยท 0.5
0.0375โ ๐ท(๐จ|๐ซ) = ๐. ๐
En el apartado b) empleamos la distribuciรณn Binomial. Si designamos la variable X = โresistencia fabricada por el operario Bโ, sigue una distribuciรณn binomial: ๐ต๐๐ (๐, ๐)
๐ฟ~๐ฉ๐๐ (๐, ๐. ๐)
โ {
๐ท(๐ฟ = ๐) = ๐. ๐๐๐๐
๐(๐ โฅ 2) = 1 โ ๐(๐ < 2) = 1 โ [๐(๐ = 0) + ๐(๐ = 1)] = 1 โ (0.1681 + 0.3602) โ ๐ท(๐ฟ โฅ ๐) = ๐. ๐๐๐๐
Pr
s
0,5
B
D
0,05
0,95
AD0,06
0,94
CD
D0,97
0,030,2
D
D0,3
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Calcula razonadamente los siguientes lรญmites:
๐๐๐๐ฅโโ2
๐ฅ3 + 3๐ฅ2 โ 4
๐ฅ3 + 5๐ฅ2 + 8๐ฅ + 4 ๐๐๐
๐ฅโ0
๐ฅ ๐ฟ๐ (๐ฅ + 1)
2 โ 2 cos๐ฅ
๐๐๐๐ฅโโ2
๐ฅ3 + 3๐ฅ2 โ 4
๐ฅ3 + 5๐ฅ2 + 8๐ฅ + 4=๐
๐
๐ณโฒ๐ฏรด๐๐๐๐๐โ ๐๐๐
๐ฅโโ2
3๐ฅ2 + 6๐ฅ
3๐ฅ2 + 10๐ฅ + 8=๐
๐
๐ณโฒ๐ฏรด๐๐๐๐๐โ ๐๐๐
๐ฅโโ2
6๐ฅ + 6
6๐ฅ + 10=โ6
โ2= ๐
๐๐๐๐ฅโ0
๐ฅ ๐ฟ๐ (๐ฅ + 1)
2 โ 2 cos ๐ฅ=๐
๐
๐ณโฒ๐ฏรด๐๐๐๐๐โ ๐๐๐
๐ฅโ0
๐ฟ๐(๐ฅ + 1) +๐ฅ
๐ฅ + 12 ๐ ๐๐ ๐ฅ
=๐
๐
๐ณโฒ๐ฏรด๐๐๐๐๐โ ๐๐๐
๐ฅโ0
1๐ฅ + 1 +
1(๐ฅ + 1)2
2 cos ๐ฅ= ๐๐๐๐ฅโ0
๐ฅ + 2(๐ฅ + 1)2
2 cos ๐ฅ=2
2= ๐
Dadas las funciones ๐(๐ฅ) = โ๐ฅ2 y ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 โ 2๐ฅ โ 4
a) Calcula razonadamente el รกrea del recinto cerrado limitado por sus grรกficas. b) Encuentra razonadamente la ecuaciรณn de la recta normal a la grรกfica de ๐(๐ฅ) en el punto de abscisa ๐ฅ = โ3.
El รกrea del recinto limitado por ambas grรกficas la calculamos con la integral definida entre los puntos de corte de ambas grรกficas, de la funciรณn diferencia: Puntos de Corte:
โ๐ฅ2 = ๐ฅ2 โ 2๐ฅ โ 4 โ โ2๐ฅ2 + 2๐ฅ + 4 = 0 โ {๐๐ = โ๐๐๐ = ๐
Para saber quรฉ funciรณn estรก por encima de la otra y asรญ calcular la funciรณn diferencia, sustituimos en cada funciรณn un valor que estรฉ dentro del intervalo (-1,2):
๐(0) = 0 ๐(0) = โ4
Es decir, f(x) se encuentra por encima de la funciรณn g(x). Por tanto:
๐ด = โซ ๐(๐ฅ) โ ๐(๐ฅ) ๐น๐ฅ2
โ1
= โซ โ2๐ฅ2 + 2๐ฅ + 4 ๐น๐ฅ2
โ1
= [โ2๐ฅ3
3+ ๐ฅ2 + 4๐ฅ]
โ1
2
= (โ16
3+ 4 + 8) โ (
2
3+ 1 โ 4) โ ๐จ = ๐ ๐๐
La ecuaciรณn de la recta normal a una funciรณn es:
๐ฆ โ ๐ฆ0 =โ1
๐โฒ(๐ฅ0)(๐ฅ โ ๐ฅ0) โ {
๐ฅ0 = โ3
๐ฆ0 = ๐(โ3) = 11
๐โฒ(๐ฅ) = 2๐ฅ โ 2 โ ๐โฒ(โ3) = โ8โ ๐ฆ โ 11 =
โ1
โ8(๐ฅ + 3) โ ๐ =
๐ + ๐๐
๐
Dadas matrices
๐ด = (2 1 0โ1 0 01 2 โ1
) ๐ต = (โ1 0 12 โ1 01 0 0
) ๐ถ = (0 1 00 3 0โ1 0 โ1
)
a) ยฟTiene inversa la matriz 2๐ผ3 + ๐ต? Razona la respuesta. ๐ผ3 es la matriz identidad de orden 3. b) Calcula razonadamente la matriz X que verifica que 2๐ + ๐ถ = ๐ด โ ๐ ยท ๐ต
Una matriz tiene inversa cuando es cuadrada y su determinante es distinto de cero.
2๐ผ3 + ๐ต = (2 0 00 2 00 0 2
) + (โ1 0 12 โ1 01 0 0
) โ ๐๐ฐ๐ +๐ฉ = (๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
) โ |๐๐ฐ๐ +๐ฉ| = 3 โ ๐
Por lo que dicha matriz si tiene inversa.
2๐ + ๐ถ = ๐ด โ ๐๐ต โ 2๐ + ๐๐ต = ๐ด โ ๐ถ โ ๐(2๐ผ + ๐ต) = ๐ด โ ๐ถ โ ๐(2๐ผ + ๐ต)(2๐ผ + ๐ต)โ1 = (๐ด โ ๐ถ)(2๐ผ + ๐ต)โ1 โ ๐๐ผ
= (๐ด โ ๐ถ)(2๐ผ + ๐ต)โ1 โ ๐ฟ = (๐จ โ ๐ช)(๐๐ฐ + ๐ฉ)โ๐
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(2๐ผ + ๐ต)โ1 =1
|2๐ผ + ๐ต|((2๐ผ + ๐ต)๐ด๐๐)๐ก โ
{
|2๐ผ + ๐ต| = 3
(2๐ผ + ๐ต)๐ด๐๐ = (2 โ4 โ10 1 0โ1 2 1
)
((2๐ผ + ๐ต)๐ด๐๐) = (2 0 โ1โ4 1 2โ1 0 1
)
โ (๐๐ฐ + ๐ฉ)โ๐ =๐
๐(๐ ๐ โ๐โ๐ ๐ ๐โ๐ ๐ ๐
)
(๐ด โ ๐ถ) = (2 1 0โ1 0 01 2 โ1
) โ (0 1 00 3 0โ1 0 โ1
) โ (๐จ โ ๐ช) = (๐ ๐ ๐โ๐ โ๐ ๐๐ ๐ ๐
)
๐ = (๐ด โ ๐ถ)(2๐ผ + ๐ต)โ1 =1
3(2 0 0โ1 โ3 02 2 0
) ยท (2 0 โ1โ4 1 2โ1 0 1
) =1
3(4 0 โ210 โ3 โ5โ4 2 2
) โ ๐ฟ = (๐/๐ ๐ โ๐/๐๐๐/๐ โ๐ โ๐/๐โ๐/๐ ๐/๐ ๐/๐
)
a) Encuentra razonadamente la ecuaciรณn de la recta, en su forma general o implรญcita, que contiene a los puntos ๐(0,1,โ2) y ๐(4,โ3,0).
b) Encuentra razonadamente un punto que equidiste de ๐ y ๐ y que pertenezca a la recta ๐ โก {๐ฅ = 2 + ๐๐ฆ = โ๐ ๐ง = โ5
๐ โ โ
La recta s que contiene a los dos puntos P y Q, tendrรก como vector director el vector ๐๐โโโโ โ y como punto el P. Para hacer la ecuaciรณn general de la recta, hallamos primero la continua y de ahรญ, operando, llegamos a la general:
dโ r = ๐๐โโโโ โ = (4,โ4,2) โฅ (2,โ2,1)
๐ = (0,1,2) | โ ๐ โก
๐ฅ
2=๐ฆ โ 1
โ2=๐ง โ 2
1โ ๐ โก {
๐ฅ
2=๐ฆ โ 1
โ2๐ฅ
2=๐ง โ 2
1
โ ๐ โก {โ๐๐ โ ๐๐ + ๐ = ๐๐ โ ๐๐ + ๐ = ๐
El punto R desconocido es un punto de la recta r que estรก a igual distancia de los puntos P y Q. Hallamos la ecuaciรณn del plano que contiene al punto medio del segmento ๐๐ฬ ฬ ฬ ฬ
(M) y tiene como vector normal el vector ๐๐โโโโ โ.
๐๐โโโโ โ = (2,โ2,1)
๐ = (2,โ1,โ1)| โ ๐ โก 2(๐ฅ โ 2) โ 2(๐ฆ + 1) + 1(๐ง + 1) = 0 โ ๐ โก ๐๐ โ ๐๐ + ๐ + ๐ = ๐
El punto R lo hallamos como el punto intersecciรณn entre la recta r y el plano , para ello ponemos la ecuaciรณn de la recta r en forma paramรฉtrica, รฉsta nos da un punto genรฉrico de R. El cual sustituiremos en la ecuaciรณn del plano, hallando el parรกmetro . Por รบltimo, sustituiremos en el punto genรฉrico, calculando asรญ el punto que equidista de P y Q:
๐ โก {๐ฅ = 2๐ ๐ฆ = 1 โ 2๐๐ง = 2 + ๐
โ ๐ = (2๐, 1 โ 2๐, 2 + ๐) โ ๐ โก 2(2๐) โ 2(1 โ 2๐) + 2 + ๐ + 5 = 0 โ ๐ = โ๐
๐โ ๐น = (โ
๐๐
๐,๐๐
๐,๐๐
๐)
P
Q
r
R M
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a) En mi casa dispongo de dos estanterรญas A y B. En A tengo 20 novelas, 10 ensayos y 10 libros de matemรกticas y en la B tengo 12 novelas y 8 libros de matemรกticas. Elijo una estanterรญa al azar y de ella, tambiรฉn al azar, un libro. Calcula razonadamente la probabilidad de que:
a.1. El libro elegido sea de matemรกticas. a.2. Si el libro elegido resultรณ ser de matemรกticas, que fuera de la estanterรญa B.
b) El tiempo de espera en una parada de autobรบs se distribuye segรบn una distribuciรณn normal de media 15 minutos y desviaciรณn tรญpica 5 minutos.
b.1. Calcula razonadamente la probabilidad de esperar menos de 13 minutos. b.2 ยฟCuรกntos minutos de espera son superados por el 33% de los usuarios?
Para responder a las preguntas del apartado a), hacemos un diagrama de รกrbol. Si llamamos a los sucesos:
- A = โque el libro escogido sea de la estanterรญa Aโ
- B = โque el libro escogido sea de la estanterรญa Bโ
- N = โque el libro escogido sea una Novelaโ
- E = โque el libro escogido sea un Ensayoโ
- M = โque el libro escogido sea de Matemรกticasโ
Para calcular la probabilidad de que el libro elegido sea de matemรกticas, usamos el teorema de la probabilidad total:
๐(๐) = ๐(๐ด) ยท ๐(๐|๐ด) + ๐(๐ต) ยท ๐(๐|๐ต) = 0.5 ยท1
4+ 0.5 ยท
2
5โ ๐ท(๐ด) = ๐. ๐๐๐
Para calcular la probabilidad de que siendo de matemรกticas, sea de la estanterรญa B, empleamos la probabilidad condicionada y el teorema de Bayes:
๐(๐ต|๐) =๐(๐ต โฉ๐)
๐(๐)=๐(๐|๐ต) ยท ๐(๐ต)
๐(๐)=
25ยท 0.5
0.325โ ๐ท(๐ฉ|๐ด) = ๐. ๐๐
En el apartado b) empleamos la distribuciรณn Normal. Si designamos la variable X = โtiempo de espera en una parada de autobรบsโ, sigue una distribuciรณn normal: ๐ (๐, ๐)
๐ฟ~๐ต (๐๐,๐)
La probabilidad de esperar menos de 13 minutos serรก:
๐(๐ < 13)๐ป๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐โ ๐ (
๐ โ ๐
๐<13 โ 15
5) = ๐(๐ < โ0.4)
Si nos fijamos en la curva de la distribuciรณn normal tipificada vemos como, al ser el รกrea debajo de la curva igual a 1:
๐(๐ < โ0.4) = 1 โ ๐(๐ > 0.42)๐บ๐๐๐๐๐ ๐ช๐๐๐๐๐๐๐๐โ 1 โ [1 โ ๐(๐ฅ < 0.4)
๐ฉ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ป๐๐๐๐โ 1 โ (1 โ 0.6554)] โ ๐ท(๐ฟ < ๐๐)
= ๐. ๐๐๐๐
0,5 M
A
N1/2
1/4
B
N
M2/5
3/50,5
E1/4
E0
0,4-0,4