Teorema de pi

Este teorema necesario para análisis dimensional. Este dice que dada una relación física que se puede expresar en cuanto a una ecuación en la que contenga n magnitudes físicas y si estas magnitudes o variables se dan en términos de k cantidades físicas dimensionalmente independientes, entonces la primera ecuación puede escribirse con una serie de n-k numero a dimensional hecho con magnitudes originales.

Procedimiento:

1. Se escriben las n magnitudes físicas q, que intervienen en un problema particular, anotando sus dimensiones y el número k de dimensiones fundamentales. Existirán (n – k) números π.

2. Seleccionar k de estas magnitudes, sin que haya ninguna sin dimensiones, ni dos que tengan las mismas dimensiones. Todas las dimensiones fundamentales deben incluirse colectivamente en las magnitudes seleccionadas.

3. El primer grupo π puede expresarse como el producto de las magnitudes escogidas, elevada cada una a un exponente desconocido, y una de las otras magnitudes elevada a una potencia conocida (normalmente se toma igual a uno).

4. Mantener las magnitudes escogidas en (2) como variables repetidas y escoger una de las restantes variables para establecer el nuevo número π. Repetir el procedimiento para obtener los sucesivos números π.

5. En cada uno de los grupos π determinar los exponentes desconocidos mediante el análisis dimensional.

Ejemplo

Imaginemos un problema donde pretendemos relacionar la resistencia aerodinámica o fuerza aerodinámica Fa sobre un cuerpo, por ejemplo una esfera o cualquier otra forma geométrica, en función de su tamaño o dimensión característica d, la densidad del fluido ρ, la viscosidad η del mismo y la velocidad del cuerpo v en el seno de dicho fluido. Dado que parece que esas variables deberían explicar por sí mismas la resistencia aerodinámica se tiene relación matemática del tipo:

Puesto que tenemos 5 variables relevantes . Estas cinco variables no son dimensionalmente independientes ya que desde el punto de vista dimensional se tiene en términos de masa, tiempo y longitud que:

en este caso se tiene por tanto ya que todas las magnitudes son reducibles a sólo 3 magnitudes dimensionales independientes. Esto implica que existen combinaciones a dimensionales tales que la relación se puede reducir a la forma:

Para continuar se escogen arbitrariamente 3 de las cinco magnitudes originales como "básicas" y se forman junto con las otras dos consideradas "dependientes" productos a dimensionales. En este caso se toman como básicas por ejemplo ρ, v y d (aunque podría haberse hecho otra elección). Ahora buscamos exponentes enteros tales que los siguientes productos sean a dimensionales:

La condición de adimensionalidad para lleva a que por ejemplo:

Esto lleva al sistema de ecuaciones sobre los enteros:

Análogamente para el parámetro , se llega a que: y por tanto la relación buscada es:

Si se asumen ciertas condiciones de regularidad y diferenciabilidad sobre la función anterior, podrá usarse el teorema de la función implícita para escribir las relaciones:

Esta última ecuación dice es consistente con la expresión común para la resistencia aerodinámica:

http://www.cns.gatech.edu/~luzvela/epigrafe/teoremapi.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_%CF%80_de_Vaschy-Buckingham#Ejemplo

http://www.cns.gatech.edu/~luzvela/epigrafe/teoremapi.pdf