TEOREMA DE LA ALTURA

1. Qu dice el Teorema de la Altura? Formularlo, construirlo en trminos matemticos.

2. Construir el Teorema en papel utilizando los instrumentos de dibujo adecuados.

Para efectuar la actividad consultar la animacin para demostrar este Teorema grficamente que se puede encontrar en la pgina del CNICE (http://www.isftic.mepsyd.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2002/geometria_triangulo/contenido.htm)

El teorema de la altura establece que la altura relativa a la hipotenusa de un tringulo rectngulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a sta. Es decir, si h es dicha altura y p y q los citados segmentos, se verifica que p/h=h/q, o lo que es lo mismo, h2=pq. (Formulacin del Teorema de la altura que aparece en la pgina CNICE)

En matemticas, el teorema de la altura establece que en cualquier tringulo rectngulo la altura relativa a la hipotenusa es la media proporcional entre las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_altura

Para demostrar el Teorema de la Altura, en primer lugar se dibuja un tringulo rectngulo. En la pgina del CNICE est dibujado el tringulo con la hipotenusa (segmento BC) como base.

Para realizar la demostracin grfica segn aparece en la animacin de la pgina citada, en primer lugar se dibuja un cuadrado de lado h, tomando como uno de los lados la altura del tringulo sobre la hipotenusa y estando otro de los lados sobre la proyeccin del cateto mayor sobre la hipotenusa. El rea de este cuadrado ser h2.

Despus se prolonga la altura por debajo de la hipotenusa y sobre esta prolongacin se toma la medida de la proyeccin del cateto menor (p). Se traza un segmento paralelo a la hipotenusa siendo uno de sus extremos el punto que se acaba de sealar y cuya longitud sea la de la proyeccin del cateto mayor (q). Se une el otro extremo de dicho segmento con el otro vrtice de la hipotenusa (es decir, con el punto C; si est correctamente hecho el dibujo el trazo deber ser perpendicular a la hipotenusa). Siguiendo estos pasos se ha dibujado un rectngulo de lados p y q, por tanto su rea ser pq.

Para demostrar grficamente que h2=mn, se utiliza el mtodo de divisin o equicomposicin. Se fragmenta al cuadrado de lado h en varios trozos que se colocan posteriormente sobre el rectngulo de lados p y q, rellenando toda su superficie, de modo que queda demostrado que sus reas son iguales y que por tanto: h2=pq.

Para realizar la equicomposicin segn aparece en la animacin de la pgina del CNICE, se mide sobre la altura del tringulo sobre la hipotenusa la longitud de la proyeccin del cateto menor (p) tantas veces como se pueda. Desde esos puntos marcados, se trazan segmentos perpendiculares a la altura. Un extremo de estos segmentos ser la altura y el otro el punto de corte entre el segmento trazado y el primer segmento con el que se corte (puede ser el otro lado del cuadrado o el cateto mayor). En el caso en el que los segmentos perpendiculares a la altura que se tracen, se cortan en primer lugar con el cateto mayor, se traza desde ese punto un segmento paralelo a la altura y el trazo termina cuando se corte con otro segmento perpendicular a la altura.

Estas piezas en las que queda dividida en cuadrado (cuadrilteros y tringulos) se colocan a continuacin sobre el rectngulo de dimensiones p y q.

Para dibujarlo, se prolonga el lado del cuadrado paralelo a la altura hasta que se corta con el otro lado del rectngulo de dimensiones p y q. En ese rectngulo dentro del rectngulo de dimensiones p y q que est debajo del cuadrado de lado h, se colocan los tringulos y cuadrilteros no rectangulares. En el resto del espacio del rectngulo de dimensiones p y q se dibujan los rectngulos.

La demostracin clsica de este resultado se basa en el hecho de que en un tringulo rectngulo los tringulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre s.

En el tringulo HBA, el cateto menor mide p y el cateto mayor mide h

En el tringulo HAC, el cateto menor mide h y el cateto mayor mide q

Por ser semejantes, sus lados homlogos sern proporcionales, por tanto: (p/h)=(h/q)

Que operando resulta h2=pq

Tambin se puede demostrar aplicando el Teorema de Pitgoras a los 3 tringulos:

Se sustituye el valor de c2 y b2 en la expresin

a2=c2+b2; a2= (p2+h2)+(h2+q2)=2h2+ p2+q2

Adems a=p+q y elevando esta expresin al cuadrado resulta: a2= p2+q2+2pq

Igualando ambas expresiones: 2h2+ p2+q2= p2+q2+2pq; Operando resulta se obtiene la expresin matemtica del Teorema de la altura: h2=pq

rea=h2

rea=pq

Tringulo BAC: a2=c2+b2

Tringulo AHB: c2=p2+h2

Tringulo AHC: b2=h2+q2